ĐỀ tài NGHIÊN cứu KHOA học của SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN cứu KHOA học năm học 2017 2018 một số ỨNG DỤNG THỰC tế của CHÉO HOÁ MA TRẬN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2017-2018 MỘT SỐ ỨN

Mục tiêu đề tài

Tìm hiểu nghiên cứu một số ví dụ thực tế của phương pháp chéo hóa ma trận [1, III.5], [2, chap.5]

Hệ động lực tuyến tính rời rạc được mô tả bởi công thức x k  1  Ax k, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như di truyền học, mối quan hệ giữa thú ăn thịt và thú bị ăn thịt, dự đoán dân số thông qua dãy Markov, và công thức tổng quát của dãy Fibonacci.

Hệ động lực tuyến tính liên tục, hay còn gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất, được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Ví dụ, trong các mạch điện, hệ thống này giúp mô tả hành vi của dòng điện và điện áp Ngoài ra, trong ngành công nghiệp hóa chất, nó cũng được sử dụng để phân tích hệ các thùng chất lỏng trong nhà máy, góp phần vào việc tối ưu hóa quy trình sản xuất.

3 Tính mới và sáng tạo:

Kết quả của đề tài được sinh viên tổng hợp, nghiên cứu từ nhiều tài liệu nước ngoài

[1] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, Toán cao cấp-

[2] David C Lay, Linear algebra and its applications, 4 th Edition, Addison-Wesley, 2012

[3] Ali A Dad-del, Genetics, https://www.math.ucdavis.edu/~daddel/linear_algebra_appl/Applications/Genetics/genetics/n ode4.html

[4] Philippe Malbos, Analyse Matricielle et algebra lineaire applique, http://math.univ- lyon1.fr/~malbos/Ens/amalaa11.pdf

Một báo cáo tổng kết đề tài

Đề tài này sẽ mang lại những đóng góp quan trọng về kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng, và khả năng áp dụng, đặc biệt hữu ích cho sinh viên ngành Toán và sinh viên khoa Khoa học tự nhiên Nó sẽ là tài liệu tham khảo quý giá cho môn Đại số tuyến tính và Toán cao cấp A2, hỗ trợ quá trình học tập và nghiên cứu của sinh viên.

Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu đề tài cần ghi rõ họ tên tác giả, nhan đề bài viết và các thông tin xuất bản nếu có Ngoài ra, cần có nhận xét và đánh giá từ cơ sở đã áp dụng các kết quả nghiên cứu, nếu có.

Sinh viên chịu trách nhiệm chính thực hiện đề tài

(Ký và ghi rõ họ, tên)

Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên thực hiện đề tài (phần này do người hướng dẫn ghi):

Xác nhận của lãnh đạo khoa Người hướng dẫn

(Ký và ghi rõ họ, tên) (Ký và ghi rõ họ, tên)

UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN:

Họ và tên: Nguyễn Đức Quang

Lớp: D16TO02 Khóa: Khoa: Khoa học tự nhiên Địa chỉ liên hệ: 45B/3- Đồng An 3- Bình Hoà- Thuận An-Bình Dương Điện thoại: 01204145356 Email: cibunguyen@gmail.com

II QUÁ TRÌNH HỌC TẬP (kê khai thành tích của sinh viên từ năm thứ 1 đến năm đang học):

Ngành học: Toán học Khoa: Khoa học tự nhiên

Kết quả xếp loại học tập:

Sơ lược thành tích: HKI: HKII:

Ngành học: Toán học Khoa: Khoa học tự nhiên

Kết quả xếp loại học tập:

Sơ lược thành tích: HKI: HKII:

Xác nhận của lãnh đạo khoa Sinh viên chịu trách nhiệm chính

(Ký và ghi rõ họ, tên) thực hiện đề tài

(Ký và ghi rõ họ, tên) Ảnh 4x6

DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

STT Họ và tên MSSV Lớp Khoa

1 Nguyễn Đức Quang 1624601010075 D16TO02 KHTN

2 Lê Nguyễn Viết Tường 1511402090133 C15TO03 KHTN

1 Tính cấp thiết của đề tài 9

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu 9

4 Sản phẩm và khả năng ứng dụng 9

Chương I – PHƯƠNG PHÁP CHÉO HÓA MA TRẬN 10

1 Giá trị riêng – Vectơ riêng 10

2.2 Điều kiện chéo hóa được 12

2.3 Thuật toán chéo hóa ma trân 14

Chương II – MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA 16

1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc [2, 5.6, trang 301] 16

1.1 Bài toán về di truyền học [3] 16

1.2 Mối liên hệ giữa thú bị ăn thịt và thú ăn thịt [2, 5.6] 19

1.3 Ứng dụng của dãy Markov về dự đoán dân số [2, 4.9] 20

1.4 Tính số hạng tổng quát của dãy Fibonacci 22

2 Hệ động lực tuyến tính liên tục [2, 5.7] 23

2.1 Ứng dụng trong mạch điện [2, 5.7] 25

2.2 Hệ thống thùng chất lỏng [4, chương 11] 26

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 29

Đại số tuyến tính là một môn học cơ bản quan trọng đối với sinh viên ngành Toán, với nhiều ứng dụng thực tiễn rộng rãi Tuy nhiên, hiện nay, số lượng sách tham khảo về môn học này tại thư viện trường còn hạn chế, đặc biệt là những ví dụ thực tế liên quan.

Chúng tôi đã chọn đề tài “Một số ứng dụng thực tế của chéo hóa ma trận” để khám phá những ứng dụng cụ thể trong các lĩnh vực Toán, Lý, Hóa, Sinh và Môi trường Mục tiêu là kết nối lý thuyết với thực hành, từ đó tăng cường hứng thú trong học tập cho sinh viên.

Tìm hiểu nghiên cứu một số ví dụ thực tế của phương pháp chéo hóa ma trận [1, III.5], [2, chap.5]

Hệ động lực tuyến tính rời rạc có thể được biểu diễn dưới dạng x k  1  Ax k, với nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như di truyền học, mối quan hệ giữa thú bị ăn thịt và thú ăn thịt, dự đoán dân số thông qua dãy Markov, cũng như công thức tổng quát của dãy Fibonacci.

Hệ động lực tuyến tính liên tục, hay còn gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất, có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như mạch điện và hệ thống các thùng chất lỏng trong nhà máy hóa chất Các ví dụ cụ thể bao gồm việc phân tích mạch điện và mô hình hóa các quy trình trong công nghiệp hóa chất.

Sản phẩm và khả năng ứng dụng

Đề tài này sẽ rất hữu ích cho sinh viên ngành Toán và sinh viên khoa Khoa học tự nhiên trong quá trình học tập và nghiên cứu Nó cũng là tài liệu tham khảo quan trọng cho môn Đại số tuyến tính và Toán cao cấp A2.

Nội dung nghiên cứu

Bài viết gồm hai chương: Chương I trình bày cơ sở lý thuyết về phương pháp chéo hóa ma trận, trong khi Chương II khám phá ứng dụng của phương pháp này trong hai dạng phương trình động lực tuyến tính, bao gồm rời rạc và liên tục, thường gặp trong các lĩnh vực của cuộc sống.

PHƯƠNG PHÁP CHÉO HÓA MA TRẬN

Giá trị riêng – Vectơ riêng

Cho f là một toán tử tuyến tính trên K – không gian vectơ V Số K được gọi là một giá trị riêng của f nếu tồn tại một vectơ u V  \ 0   sao cho

Vectơ u0 đó gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng 

Ví dụ 1: Xét toán tử tuyến tính f trên không gian vectơ 2

Khi đó với  2; 2    2 ta có f  2; 2     2; 2   nên  2; 2   là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  1

Cho ma trận AM n   K Số K được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại vectơ

Vectơ x0 đó gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng  Để thuận tiện, đôi khi ta sẽ viết đẳng thức (1.2) đơn giản là Axx, tức là xem xK n M n 1   K

  là ma trận của toán tử tuyến tính f ở ví dụ 1

Khi đó với u   2;   2  2 ta có: 2 2

    nên u là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng  1

Cho K là một giá trị riêng của toán tử tuyến tính f trên K – không gian vectơ V Khi đó,

E   uV f u u là không gian con của V và được gọi là không gian con riêng của f ứng với giá trị riêng .

Ví dụ 3: Theo ví dụ 1, không gian con riêng ứng với giá trị riêng  1 là

Cho A   a ij là ma trận vuông cấp n trên K Định thức của ma trận AI n trên K    (với

I n là là ma trận đơn vị cấp n trên K) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A và kí hiệu là f A  

Phương trình f A   0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A

Ví dụ 4: Theo ví dụ 1, trước tiên ta tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc của 2 Ta có:

Vậy ma trận của f là 5 4

  Phương trình đặc trưng của f là:

1.5 Tính chất [1, trang 262] Định lí 1: Nếu  o là giá trị riêng bội k (nghĩa là  o là nghiệm bội k của đa thức đặc trưng) của toán tử tuyến tính f trên V thì dim E   o k

Giả sử E   o có một cơ sở là  u u 1, 2, ,u l 

Bổ sung vào cơ sở này để thu được một cơ sở của V: B u u 1, 2, , ,u u l l  1, ,u n 

Vì f u   1  o u 1, f u   2  o u 2, , f u   l  o l u nên ma trận của f trong cơ sở B có dạng:

Do đó đa thức đặc trưng của A có dạng f A         o    l

Trong đó,     là một đa thức của 

Theo định lý 2, các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của một toán tử tuyến tính f là độc lập tuyến tính Điều này có nghĩa là nếu f A(λ) nhận λ o làm nghiệm bội k, thì k phải nhỏ hơn hoặc bằng 1, tức là dim E(λ o) ≤ k.

Giả sử rằng  1,  2, ,  m là các giá trị riêng khác nhau và u 1, u 2, , u m là các vectơ riêng tương ứng Chúng ta sẽ chứng minh rằng hệ vectơ u 1, u 2, , u m là độc lập tuyến tính thông qua phương pháp quy nạp theo m.

Nếu m1 thì hệ gồm một vectơ riêng u 1 là độc lập tuyến tính vì u 1 0

Giả sử điều khẳng định của định lí đúng cho mọi hệ gồm k vectơ riêng  k  1  và

1, 2, , k 1 u u u  là hệ gồm k1 vectơ riêng lần lượt ứng với k1 giá trị riêng khác nhau từng đôi một   1 , 2 , , k  1 Ta sẽ chứng minh rằng u u 1 , 2 , ,u k  1 độc lập tuyến tính

Thật vậy, giả sử có đẳng thức

Vì f là ánh xạ tuyến tính và u i là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  i  i  1, k  1  nên

Nhân 2 vế của (1) với  k  1 ta có:

Mà u u 1 , 2 , ,u k độc lập tuyến tính (theo giả thiết quy nạp) nên từ (4) ta có:

Từ (1) lại suy ra a u k  1 k  1 0, và do u k  1 0 nên  k  1 0

Do đó a i 0;i1,k1, do đó u u 1 , 2 , ,u k  1 độc lập tuyến tính.

Chéo hóa ma trận

Hai ma trận vuông A và B được gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại một ma trận vuông T cấp n khả nghịch sao cho BT AT  1

Một ma trận vuông được gọi là chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo

2.2 Điều kiện chéo hóa được

2.2.1 Định lí [1, Định lí 5.8.1, trang 264]: Điều kiện cần và đủ để ma trận AM n   K chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính

Chứng minh: Điều kiện cần

Giả sử AM n   K chéo hóa được

Gọi f là toán tử tuyến tính trên K n có ma trận là A trong cơ sở chính tắc

Khi đó f cũng chéo hóa được, nghĩa là tồn tại cơ sở B e e 1, , ,2 e n  của K n để ma trận của f có dạng chéo là

Như vậy e e 1 , , , 2 e n là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của f , do đó cũng là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A Điều kiện đủ

Giả sử AM n   K có n vectơ riêng độc lập tuyến tính là u k  x k 1,x k 2, ,x kn , k 1, ,n trong đó u k là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  k (các  k có thể trùng nhau)

Theo định nghĩa 1.2 ta có:

Lập ma trận C mà các cột lần lượt là các vectơ u k , k 1, ;n tức là:

Mặt khác, gọi D là ma trận chéo mà các phần tử trên đường chéo lần lượt là các giá trị riêng

Vì các vectơ u u 1 , 2 , ,u n độc lập tuyến tính

Nên rank C    n hay det C  0, do đó tồn tại ma trận nghịch đảo C  1

Nhân C  1 vào bên trái hai vế của đẳng thức ACCD ta có: C AC  1 C CD  1 D

Vậy ma trận A được chéo hóa bởi ma trận C

Ma trận A thuộc M n (K) có thể được chéo hóa nếu và chỉ nếu A có n giá trị riêng, bao gồm cả bội số, và số chiều của tất cả các không gian con riêng tương ứng bằng số bội của giá trị riêng đó.

Nghĩa là, nếu AM n   K có các giá trị riêng phân biệt   1 , 2 , , k với số bội tương ứng là

Chứng minh Điều kiện cần

Giả sử A chéo hóa được, theo định lí 2.2.1, A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính là

11, 12, , 1 , 21, 22, , 2 , , 1, 2, , ; m m k k km k u u u u u u u u u trong đó u ij là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng  i ; j1,m i i , 1, ;k m 1 m 2   m k n.

Vì dim E    i  n i  i  1, k  , mà u u i 1 , i 2 , , u im i độc lập tuyến tính

Từ đó cũng có dim E   i n i , i1, k Điều kiện đủ

Trong mỗi không gian con riêng E   i ta chọn một cơ sở B i gồm n i vectơ, i1, k

 Khi đó B gồm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A nên theo định lí 2.2.1, A chéo hóa được

2.3 Thuật toán chéo hóa ma trân

Cho AM n   K Để chéo hóa A (nếu có thể), ta có thuật toán sau đây:

Bước 1: Lập đa thức đặc trưng của A và giải phương trình đặc trưng để tìm các giá trị riêng của A

+ Nếu A không có giá trị riêng nào thì A không chéo hóa được Thuật toán kết thúc

+ Giả sử A có k giá trị riêng đôi một phân biệt   1 , 2 , , k với số bội tương ứng là

(i) Nếu n 1   n 2 n k n thì A không chéo hóa được Thuật toán kết thúc

(ii) Nếu n 1   n 2 n k n thì làm tiếp bước 2

Bước 2: Với mỗi giá trị riêng  i tính rank A   i n I r i (lúc đó dim E   i  n r i ), i1, k

+ Nếu tồn tại  i mà r i  n n i (nghĩa là dim E   i n i ) thì A không chéo hóa được Thuật toán kết thúc

+ Nếu r i  n n i (nghĩa là dim E   i n i ),  i 1, ,k thì kết luận A chéo hóa được Với mỗi

 i , tìm một cơ sở của không gian con riêng E   i , i1, k Sau đó làm tiếp bước 3

Bước 3: Lập ma trận C mà các cột lần lượt là các vectơ cơ sở của các không gian con riêng

C là ma trận chéo hóa A, và D = C AC⁻¹ là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng của A.

  có chéo hóa được không? Nếu được hãy đưa nó về dạng chéo

* Ta có đa thức đặc trưng A   I      5   2   1 

* Giải phương trình đặc trưng     5   2    1  0 ta được các giá trị riêng

* Tìm các không gian con riêng

+ Không gian con riêng E  1 ứng với giá trị riêng  1 5 là không gian nghiệm của hệ

Hệ phương trình có nghiệm tổng quát là     ;  ;  với ,    tùy ý

Do đó dimE  1 2 (bằng số bội) và có một cơ sở là B 1  1; 1;0 ; 0;0;1    

+ Không gian con riêng E  2 ứng với giá trị riêng  2 1 là không gian nghiệm của hệ

Hệ phương trình có nghiệm tổng quát là    ; ;0  với   tùy ý

Do đó dimE  2 1 (bằng số bội) và có một cơ sở là B 2    1;1;0  

Vì các không gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên

MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA

Hệ động lực tuyến tính rời rạc [2, 5.6, trang 301]

Giá trị riêng và vectơ riêng đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích sự phát triển của hệ động lực thông qua phương trình khác biệt x k  1  Ax k Những yếu tố này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hệ thống và cách mà nó thay đổi theo thời gian.

Giả sử A là ma trận chéo hóa của ánh xạ tuyến tính f với n vectơ riêng độc lập tuyến tính v₁, v₂, , vₙ tương ứng với các giá trị riêng λ₁, λ₂, , λₙ Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ xem xét trường hợp này.

Khi đó  v v 1, , ,2 v n  là cơ sở của n và do đó vectơ x 0 ban đầu sẽ được viết dưới dạng

Khi tính toán các trường hợp tổng quát, ta sẽ được những vectơ x i như sau:

Tổng quát hơn chúng ta sẽ có:

Mệnh đề 1: Xét ma trận chéo

Mệnh đề 2: Nếu A chéo hóa được và tồn tại ma trận khả nghịch P, ma trận chéo D sao cho

Ta có: DP AP  1 nên APDP  1

Do đó A k   PDP  1   k  PDP  1  PDP  1   PDP  1   PDP PDP  1  1 PDP  1  PD P k  1

Đối với các bài toán hệ động lực tuyến tính rời rạc, để tính x k, chúng ta cần xác định A k Theo các mệnh đề đã nêu, việc tính D k trở nên đơn giản hơn.

1.1 Bài toán về di truyền học [3]

Một vấn đề thường gặp trong lĩnh vực di truyền học là xác định xác suất xuất hiện của một kiểu gen cụ thể sau một khoảng thời gian nhất định Chẳng hạn, chúng ta có thể nghiên cứu tỷ lệ của ba kiểu gen ở thế hệ thứ n của bò, dựa trên tỷ lệ ban đầu đã được thiết lập.

Giáo sư Vetar tại Đại học Davis, California, đã phát hiện rằng bò có gen AA có khả năng sản xuất sữa chất lượng tốt hơn các kiểu gen khác Để tìm hiểu xác suất xuất hiện các kiểu gen AA, Aa hoặc aa khi chỉ chọn gen AA kết hợp với các kiểu gen khác, chúng ta sẽ phân tích vấn đề qua ba trường hợp khác nhau.

 Nếu lai AA với AA thì luôn cho kiểu gen AA Do đó xác suất của thế hệ con AA , Aa và aa tương ứng là 1, 0 và 0

Khi lai Aa với AA, con cái sẽ có 50% khả năng mang gen AA và 50% khả năng mang gen Aa Do đó, xác suất xuất hiện các kiểu gen AA, Aa và aa lần lượt là 1/2, 1/2 và 0.

 Nếu lai aa với AA thì luôn cho kiểu gen Aa Do đó, xác suất của các kiểu gen AA, Aa và aa tương ứng là 0, 1 và 0

Khung này được thể hiện qua bảng sau đây:

Kiểu gen của cha mẹ

AA – AA AA – Aa AA – aa

Ma trận sau là kết quả của sự quan sát:

  tương ứng là AA lai với AA, AA lai với Aa và AA lai với aa

Giả sử sự phân bổ ban đầu của bò là đồng đều ở các kiểu gen Do đó vectơ phân phối ban đầu x 0 được cho là: 0

Một năm sau đó, sự phân bổ là 1 0

Sau một năm nữa thì sự phân bổ sẽ là:

Sau n năm thì sự phân bổ sẽ là: x n A x n 0

* Xét AI 0 ta được các giá trị riêng 1 2 1 3

    2   + Không gian con riêng E  1 ứng với giá trị riêng  1 0 là không gian nghiệm của hệ

Do đó dimE  1 1 và có một cơ sở là B 1  1; 2;1  

+ Không gian con riêng E  2 ứng với giá trị riêng 2 1

  2 là không gian nghiệm của hệ 9

Do đó dimE  2 1 và có một cơ sở là B 2    1;1;0 

+ Không gian con riêng E  3 ứng với giá trị riêng  3 1 là không gian nghiệm của hệ

Do đó dimE  3 1 và có một cơ sở là B 3    1;0;0  

Vì các không gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên

Do đó ta có ma trận nghịch đảo

Theo mệnh đề 2, ta có A n PD P n  1

Như vậy sau n năm thì sự phân bổ sẽ là

Bây giờ nếu n tiến ra vô cùng  n    thì 1

2 n tiến về 0 Khi đó x n sẽ tiến tới 1

Nghĩa là kiểu gen AA kết hợp với bất kì kiểu gen nào cũng cho ra tỉ lệ con AA gần 100% khi n tiến ra vô cùng

1.2 Mối liên hệ giữa thú bị ăn thịt và thú ăn thịt [2, 5.6]

Trong rừng cây Redwood của California, chuột rừng đóng vai trò quan trọng khi cung cấp tới 80% chế độ ăn cho cú, loài săn mồi chính của chúng Số lượng cú và chuột rừng tại thời điểm k được biểu thị bằng k k k x O.

  trong đóO k là số lượng cú được tính theo k tháng và R k là số lượng chuột được nghiên cứu qua k tháng Giả sử:

Trong mô hình này, tham số dương p xác định mối quan hệ giữa số lượng cú và chuột rừng Cụ thể, nếu không có chuột rừng làm thức ăn, chỉ 50% số cú sẽ tồn tại mỗi tháng Ngược lại, khi chuột dồi dào, số lượng cú sẽ tăng theo hàm số (0,4)R k Hơn nữa, nếu không có cú săn mồi, số lượng chuột sẽ tăng 10% mỗi tháng, trong khi sự giảm sút số lượng chuột do bị cú ăn thịt được thể hiện qua hàm số (−p)O.k.

  Giả sử ban đầu số cú là a và số chuột gỗ trong rừng là b Khi đó ta có: 0 a x b

  Giả sử xétp0,104, ta có:

Sau 1 tháng, số cú và số chuột của khu rừng sẽ được biểu thị: x 1  A x 0

Sau 2 tháng, số cú và số chuột của khu rừng sẽ được biểu thị: x 2  A x 1  A x 2 0

Sau k tháng, số cú và số chuột của khu rừng sẽ được biểu thị: x k  A x k 0

* Xét AI 0 ta được các giá trị riêng  1 1,02; 2 0,58

+ Không gian con riêngE  1 ứng với giá trị riêng  1 1,02 là không gian nghiệm của hệ

Do đó dimE  1 =1 và có một cơ sở là B 1  10; 13 

+ Không gian con riêng E  2 ứng với giá trị riêng 2 0,58 là không gian nghiệm của hệ

Do đó dimE  2 = 1 và có một cơ sở B 2   5; 1

Vì các không gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên

Từ đó ta có ma trận chéo 1, 02 0

  và ma trận khả nghịch 10 5

Theo mệnh đề 2, ta cóA k PD P k  1

Vậy sau k tháng thì số lượng cú và chuột sẽ được biểu thị là:

Bây giờ nếu k tiến ra vô cùng  k    thì tỉ lệ giữa cú và chuột là 10 2

1.3 Ứng dụng của dãy Markov về dự đoán dân số [2, 4.9]

Mỗi năm 5% dân số của thành phố di chuyển đến vùng ngoại ô, và 3% dân từ ngoại ô di chuyển đến thành phố

Ma trận thể hiện sự thay đổi dân số khi di chuyển giữa hai vùng cho thấy 5% dân số thành phố rời đi, trong khi đó, khu vực ngoại ô có 3% dân số rời khỏi vùng này.

Hàng thứ nhất của A cho thấy 95% dân số sống trong thành phố, trong khi chỉ có 3% dân số ngoại ô chuyển đến thành phố Ngược lại, hàng thứ hai chỉ ra rằng 5% dân số thành phố sinh sống tại vùng ngoại ô, còn lại 97% là dân số của vùng ngoại ô Tổng cộng, dân số ở cả hai khu vực thành phố và ngoại ô đều đạt 100%.

Vào năm 2000, dân số thành phố là 600.000 người và ngoại ô là 400.000 người Trong năm 2001, dân số thành phố sẽ tăng lên do 3% dân số ngoại ô chuyển đến, tức là 12.000 người, trong khi dân số ngoại ô giảm 5% từ thành phố, tương đương 30.000 người Do đó, dân số thành phố năm 2001 sẽ là 612.000 người và dân số ngoại ô sẽ còn 370.000 người Sang năm 2002, tiếp tục áp dụng tỷ lệ di chuyển tương tự, dân số thành phố sẽ lại tăng 3% từ ngoại ô và ngoại ô giảm 5% từ thành phố, dẫn đến sự thay đổi dân số ở cả hai khu vực Sự biến động dân số này sẽ tiếp diễn theo từng năm, với xu hướng tăng giảm phụ thuộc vào tỷ lệ di cư giữa hai khu vực.

 là dân số ban đầu ở hai vùng thành phố và ngoại ô của năm 2000

Năm 2001 dân số ở hai vùng thành phố và ngoại ô biểu thị qua:

Năm 2002 dân số ở hai vùng thành phố và ngoại ô biểu thị qua:

Sau k năm (kể từ năm 2000) thì sự phân bổ sẽ là: x k  A x k 0

* Xét AI 0 ta được các giá trị riêng  1 1; 2 0,92

+ Không gian con riêng E  1 ứng với giá trị riêng  1 1 là không gian nghiệm của hệ

Do đó dim E  1 = 1 và có một cơ sở 1 3

B    + Không gian con riêng E  2 ứng với trị riêng  2 0,92 là không gian nghiệm của hệ

Do đó dim E  2 = 1 và có một cơ sở B 2  {( 1;1)}

Vì các không gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên

Do đó ta có ma trận nghịch đảo P 0, 6 1

Theo mệnh đề 2, ta cóA k PD P k  1 thành phố ngoại ô

Vậy sau k năm (kể từ năm 2000) thì sự phân bổ sẽ là:

Bây giờ nếu k tiến ra vô cùng  k    thì  0,92  k  0 Khi đó x k sẽ tiến tới 375000

1.4 Tính số hạng tổng quát của dãy Fibonacci

Dãy Fibonacci   F n là dãy các số nguyên được xác định bởi F 0 0, F 1 1 và

Xét det  A   I   0 ta được các giá trị riêng 1 1 5 2 1 5

Khi đó không gian con riêng ứng với giá trị riêng 1 1 5

Khi đó không gian con riêng ứng với giá trị riêng 2 1 5

Vì các không gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên