Bat dang thuc NVXa

Phương pháp vận dụng các bất ñẳng thức ñã biết Trong mục này chúng tôi chỉ xin ñề cập tới một số bài toán vận dụng bất ñẳng thức Côsi và bất ñẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt ñối... Ch[r]

KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 4

ðịnh nghĩa

Cho hai số thực a và b, ta nói “a lớn hơn b” khi a - b là số dương, tức là b - a là số âm, và ngược lại, ta nói “b nhỏ hơn a” Nếu a - b là số không âm, ta nói “a lớn hơn hoặc bằng b”, và viết “a ≥ b”, trong khi “b ≤ a” biểu thị rằng b nhỏ hơn hoặc bằng a Tóm lại, các mối quan hệ giữa a và b có thể được diễn đạt qua các ký hiệu so sánh như a > b, a ≥ b, b < a và b ≤ a.

Bất đẳng thức là các mệnh đề có dạng “a > b”, “a < b”, “a ≥ b” hoặc “a ≤ b” Trong đó, hai bất đẳng thức đầu tiên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt, còn hai bất đẳng thức sau gọi là bất đẳng thức không nghiêm ngặt Khi đề cập đến bất đẳng thức, chúng ta thường hiểu đó là các mệnh đề đúng Bài toán chứng minh bất đẳng thức là bài toán chứng minh rằng mệnh đề đó đúng.

Một số tính chất

Chỳng ta ủề cập tới ở ủõy một số tớnh chất thường gặp của bất ủẳng thức

2) a< ⇔ + < +b a c b c (a < + ⇔ − 1

64 (2) Mõu thuẫn giữa (1) và (2) chứng tỏ ủiều ta giả sử là sai Vậy trong ba bất ủẳng thức ủó cho cú ớt nhất một bất ủẳng thức sai

Cho f(x) = x 2 +ax + b Chứng minh rằng trong ba số |f(–1)|, |f(0)|, |f(1)| có ít nhất một số không bé hơn 1

Giả sử cả ba số |f(–1)|, |f(0)|, |f(1)| ủều bộ hơn 1

− < < Mõu thuẫn giữa (4) và (5) chứng tỏ ủiều ta giả sử là sai

Vậy trong ba số |f(–1)|, |f(0)|, |f(1)| có ít nhất một số không bé hơn 1

Ph ươ ng pháp qui n ạ p toán h ọ c

ðể chứng minh bất ủẳng thức là mệnh ủề cú dạng " n∀ ∈ℤ, n≥n : P(n)" 0 (n 0 là ấ

Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

12 một số nguyên cho trước) ta có thể làm theo 2 bước:

+ Bước 1 (bước cơ sở): Chứng tỏ P(n) ủỳng với n = n 0 (tức là chứng minh P(n 0 ) ủỳng)

Bước 2 trong quy trình chứng minh bằng quy nạp toán học yêu cầu giả sử P(k) đúng với k thuộc tập số nguyên và k lớn hơn hoặc bằng n 0, sau đó chứng minh rằng P(k+1) cũng đúng Trong nhiều trường hợp, bước này có thể được thực hiện bằng cách giả sử P(n) đúng với mọi n thuộc tập số nguyên từ n 0 đến k, và chứng minh P(n) đúng với n = k + 1 Khi hoàn thành cả hai bước, theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có thể kết luận rằng P(n) đúng với mọi số nguyên n lớn hơn hoặc bằng n 0.

Có những bài toán ta phải vận dụng phương pháp qui nạp nhiều lần (ví dụ 12)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 6 ta có n! 3 (*).> n

Với n = 7 ta cú 7! = 5040 > 2187 = 3 7 , tức là (*) ủỳng với n = 7

Giả sử (*) ủỳng với n = k (k∈ℤ, k≥7), tức là k! 3 (1).> k Ta cần chứng minh (*) ủỳng với n = k + 1, tức là phải chứng minh (k 1)! 3+ > k 1 + (2)

Thật vậy, từ (1) suy ra (k 1).k! 3 (k+1).+ > k Mà k≥7 nờn k + 1 > 3 Dẫn ủến k k k 1

(k 1)!+ = +(k 1).k! 3 (k+1)>3 3> =3 + Vậy (2) ủỳng Theo nguyờn lớ qui nạp toỏn học, bất ủẳng thức (*) ủỳng với mọi số nguyờn n > 6

Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n > 11 ủều tồn tại cỏc số tự nhiờn x, y sao cho n=4x+5y.

Với n = 12, ta có 12 = 4.3 + 5.0 (x = 3, y = 0), điều này khẳng định bài toán đúng với n = 12 Kiểm tra trực tiếp cho thấy khẳng định cũng đúng với n = 13 và n = 14 Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh khẳng định đúng với mọi số nguyên n > 14 Giả sử khẳng định đúng với mọi n ∈ ℕ, 12 ≤ n ≤ k (k ∈ ℤ, k ≥ 15), ta cần chứng minh khẳng định cũng đúng với n = k + 1 Vì 12 ≤ k, theo giả thiết quy nạp, khẳng định đúng với n = k - 3, tức là tồn tại hai số tự nhiên x, y sao cho k - 3 = 4x + 5y Do đó, k + 1 = 4(x + 1) + 5y, chứng tỏ khẳng định đúng với n = k + 1 Vậy điều cần chứng minh là đúng.

Với n = 1 thỡ bất ủẳng thức ủó cho ủỳng, và xảy ra dấu “=” (Coi n = 1 là trường hợp riêng của a 1 = a 2 = …= a n )

13 Với n = 2 thỡ bất ủẳng thức ủó cho trở thành m m m

  Ta sẽ chứng minh (1) bằng phương pháp qui nạp theo m

– Với m = 1 thỡ (1) ủỳng và xảy ra dấu “=” Ta cũng kiểm tra ủược (1) ủỳng khi m = 2, dấu “=” xảy ra khi a 1 = a 2

– Giả sử (1) ủỳng với m = k (k∈ℕ*), tức là k k k

  Ta phải chứng minh (1) ủỳng với m = k + 1, tức là phải chứng minh k 1 k 1 k 1

Bõy giờ ủể chứng minh (3) ta ủi chứng minh k k k 1 k 1

⇔ − + − ≥ ⇔ − − ≥ (luụn ủỳng do k∈ℕ*, a , a 1 2 ≥0). Dấu “=” xảy ra khi a 1 = a 2 Túm lại (1) ủỳng với mọi số nguyờn dương m Nghĩa là bất ủẳng thức ủó cho ủỳng với n = 2, và dấu “=” xảy ra khi a 1 = a 2

Giả sử bất ủẳng thức ủó cho ủỳng với n = p (p∈ℕ*) Tức là m m m m

  dấu “=” xảy ra khi a 1 = …= a p Ta ủi chứng minh bất ủẳng thức ủó cho ủỳng với n = p + 1, tức là ủi chứng minh bất ủẳng thức m m m m m

+  +  dấu “=” xảy ra khi a 1 = …= a p+1 Vậy bất ủẳng thức ủó cho ủược chứng minh, dấu “=” xảy ra khi m = 1, hoặc a 1 = a 2 =…= a n

Phương phỏp vận dụng cỏc bất ủẳng thức ủó biết

Trong mục này, chúng tôi sẽ đề cập đến một số bài toán áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b 2c 6

☺ HƯỚNG DẪN Áp dụng bất ủẳng thức Cụsi ta cú a 2a 2ac 2ab 2 6 a b 2c ( 2c) ( b) 2 2 ( ab ac ) (1).

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 2a

(ủiều này khụng xảy ra) Vậy ta luụn có a b 2c 6

☺ HƯỚNG DẪN ðặt: x=2 , y a =2 , z b =2 c thì x, y, z > 0 và x.y.z = 1 Ta cần chứng minh

3 3 3 x +y +z ≥ + +x y z Áp dụng bất ủẳng thức Cụsi cho cỏc trường hợp 3 số dương, ta có x+ + ≥y z 3 xyz 3 =3⇒x+ + − ≥y z 3 0 (1); x 3 + + ≥1 1 3 x 3 3 =3x ⇒x≥3x−2 (2). Tương tự ta cú y 3 ≥3y−2 (3); z 3 ≥3z−2 (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ta thu ủược

3 3 3 x +y +z ≥3(x+ + − =y z) 6 (x+ + +y z) 2(x+ + − ≥ + +y z 3) x y z Vậy bất ủẳng thức 8 a + + ≥8 b 8 c 2 a +2 b +2 c ủược chứng minh, dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 0

1) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1 1 1 x+ + =y z 4 Chứng minh rằng

− − − , với a, b, c, và p lần lượt là ủộ dài các cạnh và nửa chu vi của một tam giác bất kì

1) Với mọi số thực a > 0, b > 0 ỏp dụng bất ủẳng thức Cụsi ta ủược a+ ≥b 2 ab >0,

+ dấu “=” xảy ra khi a = b Áp dụng bất ủẳng thức (1), ta cú 1 1 4 x+ ≥y x y,

+ + Tương tự ta chứng minh ủược

+ + + + Từ ủú và lưu ý thờm 1 1 1 x + + =y z 4 ta ủược 1 1 1 1 1 1 1

2) Vận dụng bất ủẳng thức (1), lưu ý rằng a + b + c = 2p, ta cú

3) Áp dụng bất ủẳng thức Cụsi với hai số ta cú x x x x

      Bõy giờ ỏp dụng bất ủẳng thức Cụsi với ba số thì 3 x +4 x +5 x ≥3 60 3 x >0, x x x

+ + ≥ > nhõn hai bất ủẳng thức này, vế với vế, thu ủược x x x x x x

      (ủpcm) Dấu “=” xảy ra khi x = 0

Cho ủa thức P(x) bậc 2010 cú ủỳng 2010 nghiệm thực dương, hệ số bậc cao nhất là 1 Chứng minh rằng P '(0) + 2010 2010 P 2009 (0) ≤ 0.

Giả sử x 1 , x 2 , …, x 2010 là 2010 nghiệm thực dương của ủa thức P(x) ủó cho, suy ra P(x) = (x – x 1 )(x – x 2 )…(x – x 2010 ) ⇒ P(0) = x 1 x 2 … x 2010 Ta có

− − − Áp dụng bất ủẳng thức

Cụsi cho 2010 số dương, ủi ủến

Cho x 0 là nghiệm của ủa thức P(x) = a 0 + a 1 x + … + a n x n bậc n (n∈N*, a n ≠ 0) ðặt

Xuất phỏt từ bất ủẳng thức a + ≥ +b a b và bằng phương phỏp qui nạp ta chứng minh ủược bất ủẳng thức a 1 + + a n ≥ a 1 + + a n

Nếu |x 0 | ≤ 1 thì có ngay x 0 ≤ +1 M vì M ≥ 0

Nhận xột Bất ủẳng thức x 0 ≤ +1 M cho ta một ủỏnh giỏ về khoảng nghiệm của phương trỡnh ủa thức

Ta có | a 1|− +|1|+| b |+ + + − ≥ − + +| c 2 | | 2 | | a 1 1| | b |+ + − =| c 2 2 | | a |+| b |+| c | 13.≥ Vậy | a 1|− +| b |+ + ≥| c 2 | 10 Việc chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào xin dành cho bạn ủọc

Các phương pháp chúng tôi giới thiệu liên quan đến nhiều khía cạnh phong phú của toán phổ thông, vì vậy học sinh cần có nền tảng kiến thức vững chắc và rộng rãi Họ cũng cần có những nhận xét tinh tế để hiểu thấu được các mối quan hệ trong bài toán.

Phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác

Học sinh cần ghi nhớ các công thức và tính chất của hàm số lượng giác, đặc biệt là các bất đẳng thức liên quan Việc chuyển đổi từ bài toán đại số sang bài toán lượng giác không chỉ giúp giải quyết vấn đề dễ dàng hơn mà còn làm sáng tỏ bản chất của bài toán, từ đó gợi ý cho sự phát triển của bài toán tiếp theo.

– Nếu ủiều kiện của biến x ≤k (k >0) thỡ cú thể ủổi biến x k.sin u (u ; )

– Nếu cú x 2 +y 2 =k (k 2 >0) thỡ ủặt x = k sin , y α = k cos , α α ∈ [ 0; 2 π )

18 – Nếu x≥ >k 0 thỡ cú thể ủặt k x , 0; cos 2 π

= α α∈  Lỳc ủú x 2 − =k 2 k tan 2 2 α và tanα>0, sinα >0.

– Nếu | x | k≥ >0 thỡ cú thể ủặt k π π x , 0; ; cos 2 2

= α α∈   ∪ π Lỳc ủú x 2 − =k 2 k tan 2 2 α và sinα >0.

– Nếu bất ủẳng thức cú biểu thức x 2 +k 2 thỡ cú thể ủặt x k tan , ;

– Với x∈ ℝ ta cú thể ủặt x = tanγ , ;

– Nếu bài toán xuất hiện biểu thức có dạng +

1 ab thỡ cú thể ủặt a = tanx, b = tany, với  π π

– Với mọi số nguyên dương n và với mọi số thực x thì sin 2n x sin x, cos≤ 2n x cosx.≤

Cho hai số thực x, y thoả mãn x 2 +4y 2 =4 Chứng minh 9 85 2x 2 3xy y 2 9 85.

Kớ hiệu M 2x= 2 −3xy y + 2 ðặt x = 2cost, y = sint với t∈[0;2 )π , khi ủú ta biến ủổi ủược

Dấu “=” bên trái xảy ra khi

Dấu “=” bên phải xảy ra khi

☺ HƯỚNG DẪN ðặt a=tan x, b=tan y với x, y ;

(tan x tan y)(1 tan x tan y) 1 1 1 (a b)(1 ab) 1 sin(2x 2y)

“=” bên trái xảy ra khi x, y 2 2 ; a b 1 ab sin(2x 2y) 1 π π

Dấu “=” bên phải xảy ra khi x, y ; a b 1 ab.

Phương pháp vận dụng kiến thức hình học

Chứng minh với mọi số thực a, b, c, x, y, z ta luụn cú bất ủẳng thức

(ax+by+cz) ≤(a +b +c )(x +y +z ) (bất ủẳng thức Bunhiacụpxki)

Trong không gian tọa độ Oxyz, chọn hai vectơ u = (a; b; c) và v = (x; y; z) Áp dụng bất đẳng thức u.v ≤ ||u|| ||v||, ta có ax + by + cz ≤ √(a² + b² + c²) √(x² + y² + z²) Bình phương hai vế, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh: (ax + by + cz)² ≤ (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) Dấu "=" xảy ra khi hai vectơ u và v cựng phương, tức là khi ay = bx, az = cx, và bz = cy.

Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc Chứng minh

Trong mặt phẳng toạ ủộ Oxy chọn u ( ;1 2), v ( ;1 2), w ( ;1 2). a b b c c a

(vỡ ab + bc + ca = abc) Áp dụng bất ủẳng thức

+ + + + + ≥ Dấu “=” xảy ra khiu, v, w ủụi một cựng phương, tìm ra a = b = c = 3

Chứng minh 11 2− +y 2 x y− + ≥5 5, với mọi x, y thoả mãn x 2 + y – 2x – 6y 6 0 2 + =

Ta thấy x 2 + y – 2x – 6y 2 + 6 = 0 là ủường trũn (C) tõm I(1; 3), bỏn kớnh R = 2 Vỡ x, y thoả mãn x 2 + y – 2x – 6y 2 + 6 = 0 nên 11 2− y+2 x− +y 5 =

= x − + − y + x + + − y = + với ủiểm N(1; 4) nằm bờn trong (C), ủiểm P(–1; 5) nằm bờn ngoài (C), và M(x; y) ∈ (C) Gọi M0 là giao ủiểm của ủoạn thẳng PN với ủường trũn (C) thỡ o − 1 23

NM PM PN 5, nên 11 2− +y 2 x y− + ≥5 5, dấu “=” xảy ra khi M trùng với o −

Cho a, b, c∈[0;1] Chứng minh rằng a+ + ≤ +b c 1 ab+bc+ca.

Trong tam giác ABC có cạnh bằng 1, xét các điểm M, N, P lần lượt nằm trên các đoạn thẳng AB, BC, CA với AM = a, BN = b, CP = c Tổng diện tích của các tam giác AMP, BMN và CNP không vượt quá diện tích của tam giác ABC.

Dấu "=" xuất hiện khi một trong ba tam giác AMP, BMN, CNP trùng với tam giác ABC, tức là trong ba số a, b, c có một số bằng 0, một số bằng 1, và một số còn lại thuộc khoảng [0; 1].

Phương pháp vận dụng kiến thức hàm số

Bằng cách khảo sát tính đơn điệu của một hàm số phù hợp, chúng ta có thể chứng minh một số bất đẳng thức Ngoài ra, việc tìm tập giá trị của hàm số cũng giúp chúng ta chứng minh các bất đẳng thức này.

Nếu hàm f(x) và g(x) cựng ủồng biến (hoặc cựng nghịch biến) trờn tập D thỡ

(f (a) f (b) g(a) g(b)− ) ( − )≥ ∀0, a, b∈D Nếu f(x) ủồng biến trờn D cũn g(x) nghịch biến trên D thì (f (a) f (b) g(a) g(b)− ) ( − )≤ ∀0, a, b∈D.

Hàm số bậc hai là một công cụ quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng thức Để hiểu rõ hơn về nó, chúng ta cần nắm vững kiến thức liên quan đến phương trình và bất phương trình bậc hai Dưới đây là một số nhận xét cần lưu ý về hàm số này.

Để chứng minh bất đẳng thức b² - 4ac ≥ 0 (với a ≠ 0), ta cần biết rằng phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có nghiệm nếu và chỉ nếu b² - 4ac ≥ 0 Do đó, việc chứng minh bất đẳng thức này đồng nghĩa với việc chứng minh rằng phương trình ax² + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm.

Nếu a > 0, thì điều kiện ax² + bx + c > 0 với mọi x ∈ R tương đương với b² - 4ac < 0, và ax² + bx + c ≥ 0 với mọi x ∈ R tương đương với b² - 4ac ≤ 0 Ngược lại, nếu a < 0, thì ax² + bx + c < 0 với mọi x ∈ R tương đương với b² - 4ac < 0, và ax² + bx + c ≤ 0 với mọi x ∈ R tương đương với b² - 4ac ≤ 0 Cần lưu ý rằng việc thay thế một hằng số bằng một biến số thích hợp có thể giúp chứng minh các điều kiện trên Để chứng minh b² - 4ac < 0, ta cũng cần chứng minh phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm.

Nhận xét 3 Nếu a≤ ≤x b thì (x – a)(b – x) ≥ 0 hay x 2 – (a + b)x + ab ≤ 0

Nhận xét 4 Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + = c 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x , x 1 2

(phân biệt hoặc trùng nhau) thì x 1 x 2 b ; x x 1 2 c a a

+ = − = (ủịnh lớ VIET) Nếu hai số u, v có tổng u + = v S, u.v = P thì u, v là hai nghiệm của phương trình bậc hai x 2 − Sx + = P 0

Nhận xét 5 Xét hàm số có dạng

Để tìm nghiệm x của phương trình ẩn y, chúng ta cần xác định điều kiện cho y Khi đó, ta có thể xác định tập giá trị của y và từ đó chứng minh một số bất đẳng thức có dạng một vế là hằng số và một vế là biểu thức như hàm số y.

Nhận xột 6 Ta cú thể dựa vào bảng biến thiờn của hàm số bậc hai (SGK ðại số 10) ủể tìm GTLN, NN của hàm số Nếu a > 0 thì ax 2 bx c , x ,

Nhận xột 7 ðể chứng minh bất ủẳng thức mà một vế là biểu thức thuần nhất bậc hai dạng

= + + còn một vế là hằng số, ta có thể xét y = 0, rồi xét y ≠ 0 và chia cả tử, mẫu của P cho y 2 , ủặt t x

= y, ủưa về ỏp dụng nhận xột 5

Nhận xét 8 a) ðể chứng minh bất ủẳng thức mà một vế là hằng số và một vế là biểu thức cú

Để giải phương trình \( \tan x \cos x = 0 \), trước tiên ta cần xác định khi nào \( \cos x \neq 0 \) và sau đó chia cả tử và mẫu của biểu thức \( P \) cho \( \cos^2 x \) Tiếp theo, đặt \( t = \tan x \) để chuyển đổi về dạng có thể áp dụng định lý Cuối cùng, để chứng minh bất đẳng thức, ta cần xác định một vế có dạng biểu thức cụ thể.

P = a sin x + b sin x cos x + c.cos x còn một vế là hằng số, ta viết lại P ở dạng

= + rồi làm tiếp như nhận xét 8a c) ðể chứng minh bất ủẳng thức mà một vế là biểu thức cú dạng

= + + cũn một vế là hằng số, ta biến ủổi biểu thức P ủể làm tiếp như nhận xét 8a như sau

2a sin cos b(cos sin ) c(cos sin )

2a sin cos b (cos sin ) c (cos sin )

d) ðể chứng minh bất ủẳng thức mà một vế là biểu thức cú dạng

P = a sin x + b cos x + c cũn một vế là hằng số, ta biến ủổi

2a sin cos b(cos sin ) c(cos sin )

= + và làm tiếp như nhận xét 8a

Để chứng minh bất đẳng thức có dạng b² - 4ac > 0 (với a ≠ 0), ta cần xem xét tam thức bậc hai f(x) = ax² ± bx + c Điều này chỉ xảy ra khi delta (∆) lớn hơn 0, tức là ∆ > 0, cho thấy tam thức này có hai nghiệm thực α và β Khi đó, ta có f(α) > 0 và f(β) < 0, từ đó khẳng định rằng tam thức bậc hai này là hàm số lồi.

Nếu a > 0, đồ thị hàm số y = ax² + bx + c là một parabol (P) mở lên trên Điều này có nghĩa là với bất kỳ hai điểm phân biệt A và B trên (P), nếu M là một điểm thuộc đoạn AB (M khác A, B) và N là một điểm trên cung AB của (P) với xM = xN, thì luôn có yM > yN Ngược lại, nếu a < 0, thì yM < yN.

Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a > 0, a 2 = bc, và a + b + c = abc Chứng minh a ≥ 3 , b > 0, c > 0, b 2 + c 2 ≥ 2a 2

Từ giả thiết ta có bc = a 2 , b + c = abc – a = a(bc – 1) = a(a 2 – 1) nên b và c là hai nghiệm của phương trình x 2 – a(a 2 – 1)x + a 2 = 0 Vì phương trình này có nghiệm nên

∆ = (a 3 – a) 2 – 4a 2 ≥ 0 ⇔ (a 2 – 1) 2 ≥ 4 ⇔ a 2 ≥ 3 Từ ủõy và do a > 0 suy ra a ≥ 3 Lỳc này b + c = a(a 2 – 1) > 0 và bc = a 2 > 0 nên b > 0, c > 0 Hơn nữa b 2 + c 2 =(b + c) 2 – 2bc = (a 3 – a) 2 – 2a 2 = a 2 ((a 2 – 1) 2 – 2) ≥ 2a 2 Vậy ta cú ủiều phải chứng minh

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, d, e thì a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e)

Ta xét tam thức bậc hai ẩn x là f(x) = x 2 – (b + c + d + e)x + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 , có biệt thức ∆= (b + c + d + e) 2 – 4(b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ) = – (b – c) 2 – (b – d) 2 – (b – e) 2 – (c – d) 2 – (c – e) 2 – (d – e) 2 ≤ 0 nên 1.f(x) ≥ 0 ∀x∈R, suy ra f(a) ≥ 0 hay a 2 – (b + c + d + e)a + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ 0 Vậy ta luôn có a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e), với mọi số thực a, b, c, d, e

Chứng minh rằng với mọi số thực a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 ta có

Trường hợp 1: Nếu a 1 2 + +a 2 2 a 3 2 = 0 ⇔ a 1 = a 2 = a 3 = 0 thỡ bất ủẳng thức ủó cho hiển nhiờn ủỳng

Trường hợp 2: Xét a 1 2 + +a 2 2 a 3 2 > 0 Có (a 1 x + b 1 ) 2 + (a 2 x + b 2 ) 2 + (a 3 x + b 3 ) 2 ≥ 0 ∀x∈R, hay f(x) = (a 1 2 + + a 2 2 a 3 2 )x 2 +2x(a b + a b + a b 1 1 2 2 3 3 ) + b 1 2 + +b 2 2 b 2 3 ≥ 0 ∀x∈R Như vậy tam thức bậc hai f(x) sẽ có ∆’ = (a b + a b + a b 1 1 2 2 3 3 ) 2 – (a 1 2 + +a 2 2 a )(b 2 3 1 2 + +b 2 2 b ) 2 3 ≤ 0 Tức là ta có (a b + a b + a b ) 1 1 2 2 3 3 2 ≤(a 1 2 + +a 2 2 a )(b 2 3 1 2 +b 2 2 +b ) 3 2

Vậy bất ủẳng thức ủó cho ủược chứng minh Cỏc bạn tự tỡm ủiều kiện ủể dấu “=” xảy ra

Theo bất ủẳng thức Cụsi ta cú x 2010 2 x 2010 2 2010

2009 + x ≥ 2009 x = 2009, dấu “=” xảy ra khi x = 2009.2010 Mặt khác, với x ∈ [2009; 2010] thì (x – 2009)(2010 – x) ≥ 0 hay

2009+ x ≤ 2009, ∀ x ∈ [2009; 2010] Dấu “=” xảy ra khi x = 2009 hoặc x = 2010

Nhận xét Bài toán này có thể làm bằng phương pháp khảo sát hàm số

24 luôn có (n k)(k 1)− − ≥0⇒k(n k 1)− + ≥n, lần lượt cho k = 1, 2, 3, …, n – 1, n ta thu ủược n bất ủẳng thức mà hai vế ủều dương:

(n –1).2 ≥ n n.1 ≥ n Nhõn n bất ủẳng thức này, vế với vế tương ứng, dẫn tới (n!) 2 ≥ n n hay n

, n * n ≤ n!≤ n ∀ ∈ℕ , và lim1 n = lim 1 n = 0, suy ra lim n

Chứng minh với mọi số thực x ta có

Xét u = 2 sin x 12 sin x 4 + + 4 sin x cos 2x + = 5 2 sin x 8sin x 16 sin x 4 − 3 + + 5 ðặt t = sinx,

− ≤ ≤ , thì u=2t 4 −8t 3 +16t+ =5 2(t 2 −2t) 2 −8(t 2 −2t) 5.+ ðặt v = − t 2 2t thì u = 2v 2 − 8v 5 + Xét hàm v = − t 2 2t với − ≤ ≤ 1 t 1, có bảng biến thiên t -∞ -1 1 + ∞ v = − t 2 2t + ∞ 3 -1 + ∞

Suy ra − ≤ ≤ 1 v 3 Ta lại xét hàm số u = 2v 2 − 8v 5 + với− ≤ ≤ 1 v 3, có bảng biến thiên v - ∞ -1 2 3 + ∞ u = 2v 2 − 8v 5 + + ∞

Suy ra − ≤ ≤ 3 u 15 Với cỏch ủặt u như trờn ủõy thỡ bất ủẳng thức ủó cho viết là u u

− ≤ − ≤ Ta ủặt tiếp w = 2 u Do − ≤ ≤3 u 15 nờn

− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ Bây giờ ta xét hàm y=w2−w với 2 w 128 2

− ≤ − ≤ Ta có ủiều phải chứng minh Cỏc bạn tự kiểm tra xem cỏc dấu “=” xảy ra khi nào

Chứng minh rằng với mọi a, b khác 0 ta có

Bài toỏn này cú nhiều cỏch làm, chỳng tụi xin giới thiệu ở ủõy một cỏch ðặt t a b b a

1) Ta cần chứng minh t 2 − ≥2 t (1), t∀ ∈ −∞ − ∪ +∞( ; 2] [2; ) Do (1)⇔ − − ≥t 2 t 2 0 (t+1)(t 2) 0,

⇔ − ≥ và nếu t ≥ 2 thì t 1 + > 0, t − ≥ 2 0 ⇒ (t+1)(t − 2) ≥ 0, nếu t ≤ − 2 thỡt 1 + < − < 1 0, t − < − < 2 3 0 ⇒ (t+1)(t − 2) ≥ 0, tức là (1) luụn ủỳng với mọi t ∈ −∞ − ∪ ( ; 2] [2; +∞ ) Vậy ta luôn có

2 2 a b a b b a b + a ≥ + , với mọi a ≠ 0, b ≠ 0, dấu “=” xảy ra khi t = 2 hay a = b (ðể chứng minh (1) ta có thể sử dụng bảng biến thiên)

2) Ta cần chứng minh 2(t 2 − − + ≥ ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞2) 5t 6 0, t ( ; 2] [2; ) (Tương tự như ý 1)

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có

Do x 2 +z 2 + > ∀1 0, x, z∈ℝ, nờn bất dẳng thức cần chứng minh tương ủương với

Xét tam thức bậc hai \( f(x) = x^2 - 2xyz + (2yz^2 - yz^2 + y^2 - 2yz + 2) \) với hệ số của \( x^2 \) bằng 1 và \( \Delta = g(y) = - (z^2 - z_1)y^2 + 2yz - 2 \) Chúng ta cũng cần phân tích tam thức bậc hai \( g(y) \) ẩn \( y \) (coi \( z \) là tham số) với hệ số của \( y^2 \).

− + − = − − − < ∀ ∈ ℝ và ∆ = − +' y z 2 2z 2− = − −(z 1) 2 − < ∀ ∈1 0, z ℝ Do ủú g(y) luụn cựng dấu với hệ số của y 2 với mọi y (và với mọi z), hay ' x g(y) 0, y, z

∆ = < ∀ ∈ ℝ Suy ra f(x) luôn cùng dấu với hệ số của x 2 với mọi x (và với mọi y, z), nghĩa là x 2 −2xyz+(2y z 2 2 −y z 2 +y 2 −2yz+ > ∀2) 0, x, y, z∈ℝ Như vậy ta luụn cú bất ủẳng thức

VÍ DỤ 33 a) Cho 2x − y = 1, chứng minh x 2 + 2y 2 2

2 + 3 =1, chứng minh | x + ≤ y | 5 c) Cho x 2 +4y 2 + +x 2y 4xy+ ≤2 Chứng minh − ≤ + 2 x 2y ≤ 1

Bài viết này sẽ áp dụng kiến thức về lượng giác, vectơ và bất phương trình Bunhiacụpxki để giải quyết vấn đề thông qua hàm số bậc hai, phương trình bậc hai và bất phương trình bậc hai Cụ thể, từ phương trình 2x − y = 1, ta có y = 2x − 1 Do đó, ta có thể biến đổi x^2 + 2y^2 thành x^2 + 2(2x − 1)^2, dẫn đến biểu thức 9x^2 − 8x + 2^2.

  b) ðặt Q = x + y ⇒ y = x − Q, thế vào ủẳng thức ủề bài cho, ta ủược

5x 4xQ 2Q 6 0 Phương trình bậc hai ẩn x này có nghiệm khi

∆ = − ≥ ⇔ − ≤ ≤ Từ miền giỏ trị của Q ta suy ra bất ủẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi

 c) ðặt t = + x 2y thì x 2 +4y 2 + + +x 2y 4xy 2≤ ⇔(x 2 +4xy+4y ) (x 2 + +2y) 2− ≤0 hay t 2 + − ≤ t 2 0 ⇔ − ≤ ≤ 2 t 1 dẫn tới − ≤ + 2 x 2y 1 (ủpcm) ≤ Việc tỡm ra ủiều kiện ủể xảy ra dấu “=” ủược làm tương tự như cỏc ý trờn

Chứng minh rằng với mọi x thì − ≤1 3cos x 2sin 2x 2 + ≤4.

☺ HƯỚNG DẪN ðặt y 2 +2 sin 2x 2 +4sin x cos x Nếu cos x = 0 thì y = 0 Nếu cos x ≠ 0 ta biến ủối

3 cos x 4 sin x cos x sin x cos x tan x 1

+ = + + ðặt t = tanx thì hàm số y trở thành

= + + Coi t là ẩn, y là tham số, và biến ủổi

= − 4 với y ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai và có nghiệm khi ' y2 3y 4 0 1 y 4 (y 0).

Hàm số y = 2 + 2sin²x có nghiệm khi −1 ≤ y ≤ 4, tức là tập giá trị của hàm số này là đoạn [-1; 4] Để chứng minh điều này, các bạn hãy giải các phương trình lượng giác để tìm điều kiện cho mỗi dấu "=" xảy ra.

Với mọi tam giác nhọn ABC, chứng minh rằng 9cos A 6(cos B cos C) 11.+ + ≤

☺ HƯỚNG DẪN ðặt M = 9 cos A 6(cos B cos C) + + , do vai trũ của cosB và cosC như nhau nờn ta biến ủổi

M 9cos A 6(cos B cosC) 9cos A 13.cos cos 9 18sin 12.sin cos

= ⇒ ∈ ta xét hàm số f (t) = − 18t 2 + 12t + 9 trên khoảng (0; 2 ),

Từ ủú suy ra 18t 2 12t 9 11( t (0; 2 )) 18sin 2 A 12 sin A 9 11 M 11.

Vậy 9cos A 6(cos B cos C) 11.+ + ≤ Dấu “=” xảy ra khi

Cho cỏc số thực m, n, p thoả món ủiều kiện (m + p)(m + + < n p) 0 Chứng minh rằng

Nếu m = 0 việc kiểm tra tớnh ủỳng ủắn của bất ủẳng thức cần chứng minh xin dành cho

28 bạn ủọc Với m ≠ 0 ta xột tam thức bậc hai f (x) = mx 2 + − (n p)x + + + m n p, cú f(0) = m + n + p và f(−1) = 2(m + p) nờn f(0).f(−1) < 0, chứng tỏ f(x) ủổi dấu, vậy phải cú ∆ > ⇔ 0 n 2 + p 2 > 2[2m(m + + + n p) np] (ủpcm)

Tam thức f (x) = x 2 − + + (1 a 1 a 2 + + a )x n + (a 1 2 + a 2 2 + + a ) 2 n ủổi dấu vỡ

Cho f(x) ax = 2 + + bx c (a 0), và x > 1 < < x 2 x 3 Chứng minh 3 2 3 1 2 1

Lấy A(x ; f (x )), B((x ; f (x )), C(x ; f (x )) 1 1 2 2 3 3 thuộc parabol (P): y = f (x) = ax 2 + bx + c. ðường thẳng AC có hệ số góc 3 1

− và ủi qua ủiểm A nờn cú phương trỡnh

1 1 y = k(x − x ) f (x ) + ðường thẳng x = x 2 cắt ủoạn thẳng AC tại

− Do (P) quay bề lõm lên trên nên y M > y B hay

AC ủi qua C và cú hệ số gúc 3 1

− nên phương trình của nó lại có thể viết ở dạng y = k(x − x ) f (x ) 3 + 3 Vỡ thế lại cú thể biểu diễn giao ủiểm của ủường thẳng AC và ủường thẳng x = x 2 là ủiểm 2 2 3 3 1 3

Nếu a + b = 0 thỡ ta ủược bất ủẳng thức a n + −( a) n ≥0 luụn ủỳng, dấu “=” xảy ra khi n lẻ hoặc a = b = 0

Với n = 1 bất ủẳng thức hiển nhiờn ủỳng, và xảy ra dấu “=”

Với n > 1, ta ủặt c = a+ >b 0, xột hàm số f(x) = x n + (c – x) n trờn tập số thực, cú ủạo hàm f '(x)=n(x n 1 − − −(c x) n 1 − ) Ta có f'(x) 0> ⇔n(x n 1 − − −(c x) n 1 − ) 0> ⇔x n 1 − − −(c x) n 1 − >0 Nếu n chẵn thì n – 1 là số lẻ nên n 1 − − − n 1 − > ⇔ n 1 − > − n 1 − ⇔ > − ⇔ >c x (c x) 0 x (c x) x c x x

2 Nếu n lẻ thì n – 1 chẵn nên x n 1 − − −(c x) n 1 − > ⇔0 x n 1 − > −(c x) n 1 − ⇔ > − ⇔ > −x c x x 2 (c x) 2

2 Tức là ta luôn có > ⇔ > c f '(x) 0 x

2 Hoàn toàn tương tự ta chỉ ra ủược < ⇔ < c = ⇔ = c f '(x) 0 x , f '(x) 0 x

2 2 Lập bảng biến thiên và suy ra

Vậy bất ủẳng thức ủó cho ủược chứng minh Dấu “=” xảy ra khi hoặc a = b, hoặc n lẻ và a = – b,

Chứng minh rằng sin x 2.ln(x 1) e 1 , x (0; ).

Xét hàm f(x) = e x − −x 1 với x≥0 Có f '(x) e= − ≥ ∀ ≥ x 1 0 x 0,f '(x)=0 khi x = 0, nờn f(x) ủồng biến trờn [ 0; +∞ ) Do ủú e x ≥ +1 x (1), x∀ ≥0, dấu “=” xảy ra khi x = 0

Từ (1) suy ra e sin x 1 sin x (2), x (0; ),

∈  có 2 g'(x) cosx= − π Phương trình g '(x)=0 có nghiệm duy nhất x 0 trên khoảng (0; ).

2 π Ta có bảng biến thiên x 0 x0

Từ (2) và (4) ta có sinx 2x e 1 (5), x (0; ).

> + ∀ ∈ π π Từ (3) và (5) suy ra sin x 2.ln(x 1) e 1 , x (0; )

1) Chứng minh x α+β +y α+β ≥x y α β +x y , x, y, , β α ∀ α β >0 (xem ví dụ 2)

2) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta luụn cú bất ủẳng thức a 1 b 1 a b

1) x α+β +y α+β ≥x y α β +x y β α ⇔(x α −y )(x α β −y ) 0 (*) β ≥ Hàm số luỹ thừa f(t)=t α ủồng biến trờn khoảng (0;+∞) vỡ f '(t)= α.t α− 1 > ∀ > α >0, t 0, 0 Tương tự, hàm số g(t)=t β cũng ủồng biến trờn khoảng (0;+∞) Như vậy với mọi số dương x, y,α β, ta luụn cú (f(x) – f(y)).(g(x) – g(y)) ≥0, chứng tỏ (*) ủỳng Bất ủẳng thức ủó cho ủược chứng minh Dấu “=” xảy ra khi x = y

2) Áp dụng tớnh chất ủơn ủiệu của hàm số mũ ta cú bất ủẳng thức a b

(2 −2 )(a− ≥ ∀b) 0, a, b∈ℝ Biến ủổi ta ủược a.2 a +b.2 b ≥a.2 b +b.2 , a giả thiết cho a, b dương, nờn ta chia hai vế của bất ủẳng thức này cho ab, thu ủược bất ủẳng thức tương ủương a b a b

2 2 a + b ta ủược bất ủẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b

VẬN DỤNG BẤT ðẲNG THỨC ðỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 31 1 Nhắc lại ủịnh nghĩa giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất

Một số vớ dụ vận dụng bất ủẳng thức ủể tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= | x 1 |+ +| x−2 |

☺ HƯỚNG DẪN Áp dụng |a| + |b| ≥ |a + b| ta có | x 1| | x 2 | + + − = | x 1| | 2 x | + + − ≥ | x 1 2 x | + + − =3.

Dấu “=” xảy ra khi (x 1)(2+ − ≥ ⇔ ≤ ≤x) 0 1 x 2.Vậy x min y 3,

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 3 x 1− + 3 3 x.−

Chúng ta có thể lập bảng biến thiên cho hàm số này để rút ra kết luận về giá trị lớn nhất Lưu ý rằng đồ thị của hàm số được thể hiện như hình vẽ sau.

2 1 f(x) ln6 lnx ln 1 x ln6 ln ln3,

Cho hai số không âm x, y thoả mãn x + y =1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức x y

+ Vậy max P =1, ủạt ủược khi x y 1 x 0, y 1 xy 0 x 1, y 0;

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 2 f(x) ln(6x) ln(1 x ).

☺ HƯỚNG DẪN ðiều kiện: 0 < x < 1 Biến ủổi f(x)=ln 6+ln x+ln 1 x − 2 Với mọi a, b ta cú (a−b)2 ≥0 nên

+ ≥ dấu “=” xảy ra khi a = b Với hai số a, b dương thì

2 2 a b ln ln ab ln a ln b,

 ðặt a= 3 x 1, b− = 3 3 x,− thì a + b = y và a 3 +b 3 =2 Nếu y≥0 thì a+ ≥b 0, áp dụng bất ủẳng thức ở vớ dụ 39 ta cú

  Dấu “=” xảy ra khi a= ±b hay x = 2 Nếu y < 0 thì hiển nhiên y −2 2 Như vậy luôn có M≥ −2, dấu “=” xảy ra khi x = – 2 hay a= − ≠b 0 Túm lại minM = –2, ủạt ủược khi a= − ≠b 0.

Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn ab + bc+ ca =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

☺ HƯỚNG DẪN Áp dụng bất ủẳng thức Cụsi ta cú

⇔ = = Ta cũng cú hai bất ủẳng thức tương tự b3 b 2

+ + mà dấu “=” ủều xảy ra khi a = b = c Cộng ba bất ủẳng thức này theo từng vế tương ứng ta ủược

Các bài tập tham khảo dưới đây chưa phải là hệ thống đầy đủ các dạng toán bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi đại học Chúng tôi mong nhận được những bổ sung từ phía bạn đọc để tài liệu này có thể phục vụ tốt hơn cho nhiệm vụ ôn thi Chúng tôi cũng rất mong được trao đổi với các bạn về lời giải các bài toán này Đây là mảng kiến thức khó, hi vọng rằng các bạn học sinh sẽ có kiên trì và sự đam mê để học tập tốt Chúc các bạn thành công!

Bài 1 Chứng minh rằng n n i i i=1 i=1 sinx x

3 ab bc ca a b c 3 2 abc abc max a b ; b c ; c a , a, b, c 0.

Bài 3 Gọi x , x 1 2 là hai nghiệm của phương trình 2x 2 + 2(m 1)x + + m 2 + 4m 3 + = 0 (m là tham số) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (GTLN, NN) của biểu thức

Bài 4 Cho các số thực x, y thoả mãn x 3 x 1− + =3 y+ −2 y Tìm GTLN, NN của biểu thức T = + x y

Bài 5 1) Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thoả mãn (x+y)xy=x 2 +y 2 −xy Tìm GTLN của

2) Cho x 2 + y 2 = 2, tìm GTLN, NN của P = 2(x 3 + y 3 ) − 3xy

Bài 6 Giả sử (x; y) là nghiệm dương của hệ phương trình

 (với m là tham số) Tìm GTLN của biểu thức F = xy + 2(x + y).

Bài 7 a) Tìm GTLN, NN của hàm số y= x+ +3 6 x− − (x+3)(6 x).− b) Tìm GTNN của hàm số y = + (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4). c) Tìm GTLN, NN của y 2 sin x cos x

= − + d) Tìm GTLN, NN của y cos 3x a.sin 3x 1 ,

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = −(x^2y + 1) + 2 + (2x + ay + 5), với a là số cố định và x, y là các số thay đổi Tiếp theo, xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x Sau đó, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2sin^2 x + 4sin x cos x + 5 Cuối cùng, xác định giá trị lớn nhất của các hàm số: a) f(x) = x^2 - x; b) g(x) = 2x - 1; c) h(x) = x^4 - x^2.

= − = − = + − i) Tìm GTLN, NN của y 1 3sin x

= + + j) Tìm GTNN của M= −x 2 xy+3y 2 x− +5. k) ỡm GTLN, NN của hàm số f(x)= 2 cos 2x+4 sin x trờn ủoạn 0;

Bài 8 Cho x 2 +y 2 =1, tìm GTLN, NN của M=4xy 3y + 2

Bài 9 Cho 0< ≤ ≤x y z, chứng minh 1 1 1 1 1 y( ) (x z) ( )(x z). x + +z y + ≤ x+z + Bài 10 Cho tam giác ABC bất kì, chứng minh

2) A B C A B C cot cot cot 3(tan tan tan ).

3) sin A sin B sin C cos A cos B cos C 2.

4) A B C sin A sin B sin C cos cos cos

A B C sin A sin B sin C cos cos cos

Bài 11 Chứng minh với mọi x, y z không âm ta có

Bài 12 Cho ba số dương a, b, c, chứng minh rằng

Bài 13 Cho a≥1, b≥1 Chứng minh 2 2 2 a b log a log b 2 log

Bài 14 Chứng minh cỏc bất ủẳng thức sau x3

5) sinA+sin B+sin C+tan A+tan B+tan C> π2 , với mọi tam giác nhọn ABC

6) 8(sin 2 A sin 2 B sin 2 C ) sin A sin B sin C

4 + 4 + 4 + + + > π với mọi tam giác ABC

7) 8(sin 2 A sin 2 B sin 2 C ) sin 2A sin 2B sin 2C 2

2 + 2 + 2 + + + > π với mọi tam giác ABC

10) Một hình trụ có thể tích V nội tiếp trong một hình cầu có bán kính R Chứng minh rằng

13) Cho a, b, c, d > 0, ab + bc + cd + da = 4, chứng minh

Bài 15 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a 2 +b 2 +c 2 =1 Tìm GTNN của biểu thức

Bài 16 a) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 1 2 3 1. a + + = b c Chứng minh abc≥ 162. b) Cho a > b > −1 Chứng minh a 4 2 3.

+ + = 4 Chứng minh 3 a+3b+ 3 b 3c+ + 3 c 3a+ ≤3. e) Cho x > 0, chứng minh 2

+ + + g) Cho a≥1, b≥1, chứng minh a b 1− +b a 1− ≤ab. h) Cho x > 0, y > 0, chứng minh y

3) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+25b 64c+ =49, chứng minh 4 9 16 49. a+ +b c ≥

Bài 18 Cho x 2 +xy+y 2 , y 2 +yz+z 2 =3, chứng minh xy+yz+zx≤8.

Bài 20 Cho a + + > b c 0, ab + + bc ca > 0, abc > 0,chứng minh a > 0, b > 0, c > 0

2) Cho x + y + z = 0, chứng minh 3 4 + x + 3 4 + y + 3 4 + z ≥ 6. i) Cho n, k∈ℕvà 0≤ ≤k n,chứng minh rằng C n 2n k − C n 2n k + ≤(C 2n n ) 2

38 Bài 23 1) Cho x, y, z > 0, xyz = 1, chứng minh

Bài 24 1) Cho a, b, c > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của P a b c b c c a a b

2) Cho a, b, c > 0, a + b + c = 2abc, tìm GTLN của

Bài 25 Cho a, b, c > 0 và a b c 1, m + + = n p chứng minh m+ + ≥n p ( a + b+ c ) 2 Bài 26 Chứng minh rằng 5 5x + 2 + − + 2 x 13x 2 + ≥ 9 5x 2 + 24x 5 , x − ∀ ∈ ℝ

Bài 29 Cho a 2 +b 2 =4, chứng minh 3a 2 +8ab 3b− 2 ≤20.

Bài 30 Cho a 2 +b 2 +2a+2b 1 0, c+ = 2 +d 2 +17=6(c d),+ chứng minh rằng

Bài 31 Cho a 2 +b 2 =1, c d+ =3, chứng ac bd cd 9 6 2

Bài 32 Cho x 2 +y 2 −2x−2y 1+ =0 Chứng minh rằng

Bài 33 Tìm giá trị lớn nhất của P = a 1 b − 2 + b 1 a − 2 + 3(ab − (1 a )(1 b ) ) − 2 − 2

Bài 34 Chứng minh với mọi x, y ta có

Bài 36 Cho a, b, c là ủộ dài ba cạnh một tam giỏc, chứng minh:

1) Nếu tam giỏc ủú nhọn thỡ a 2 , b 2 , c 2 lại là ủộ dài ba cạnh của một tam giỏc

7) Nếu chu vi tam giác bằng 1 thì a 2 b 2 c 2 1

Bài 39 1) Cho x > 0, y > 0, 2 3 6, x+ =y tìm GTNN của biểu thức S = x + y

Bài 40 1) Cho f(x) = ax 2 + bx + c thỏa mãn f ( 1)− ≤1, f (0) ≤1, f (1) ≤1, chứng minh rằng f (x) 5

2) Cho 0 < a, b, c < 2, chứng minh cú ớt nhất một trong cỏc bất ủẳng thức sau ủõy là sai: a(2 – b) > 1; b(2 – c) > 1; c(2 – a) > 1

Bài 41 1) Cho (x 1)− 2 + −(y 2) 2 + −(z 1) 2 =1, tìm GTLN của T= +x 2y 3z 8 + −

3) Cho tam giác ABC nhọn, tìm GTNN của F = t anA + tan B + tan C + 2 t anA tan B tan C.

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của A a b c b c 1 c a 1 a b 1

5) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

6) Tìm giá trị nhỏ nhất của C a b c ab 2bc

7) Cho x 2 +y 2 +z 2 =1, tìm GTLN, NN của P = + + + x y z xy + yz + zx.

9) Cho x + y = 2, tìm GTNN của các biểu thức A=x 2 +y ; B 2 =x 4 +y ; C 4 =x 8 +y 8

10) Cho ba số không x, y, z thỏa mãn x + + ≤ y z 1, hãy a) Tìm GTNN của S 1 1 1

11) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x y 3 ,

12) Với tam giác ABC bất kì, tìm GTLN của M = 6 cos A 3(cos B cos C) + +

Bài 42 1)Chứng minh rằng với mọi số thự nhiên n > 1 ta có:

2) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:

3) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a 2 +b 2 +c 2 =3,tìm giá trị nhỏ nhất của biể thức 1 1 1 3

3) Chứng minh cỏc bất ủẳng thức

8 5 2 bc ca ab a) a b c, a, b, c 0 b)(a b)(b c)(c a) 8abc, a, b, c 0. a b c c)a a a a 1 0, a d)ab(a b) bc(b c) ca(c a) 6abc, a, b, c 0. e)(a 2b)(b 2c)(c 2a) 27abc, a, b, c 0.

4) Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d không âm ta có a b c d 4 abcd.

5) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z, t ta có x 4 +y 4 + + ≥z 4 t 4 4xyzt.

6) Cho hai số dương x, y ta ủặt m x y , g xy , h 1 1 ( 1 ).

8) Cho x, y, z > 0, xy + yz + zx ≤ 2xyz, chứng minh

9) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz(x + + = y z) 1, chứng minh (x + y)(y + ≥ z) 2.

10) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + ≤ y 1, chứng minh x 2 1 2 y 2 1 2 17. x y

Bài 43 1) Cho a, b, c ≥ 0, chứng minh a b 3 + b c c a 3 + 3 ≥ a bc ab c abc 2 + 2 + 2

5) Cho tam giỏc ABC, gọi x, y, z lần lượt là khoảng cỏch từ ủiểm M ở bờn trong tam giỏc ủến cỏc cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng

+ + ≤ (với a, b, c là ủộ dài ba cạnh, R là bỏn kớnh ủường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC)

Bài 44 1) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + + = y z) 3yz, chứng minh rằng

2) Cho 0 < a < b < 1, chứng minh a ln b b ln a 2 − 2 > ln a − ln b.

3) Cho a, b, c ≥ 2, chứng minh log b c + a + log c a + b log + a b + c > 1.

Tiêu đề	Bất Đẳng Thức
Tác giả	Nguyễn Văn Xá
Trường học	Trường THPT Yên Phong Số 2
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	chuyên đề
Thành phố	Bắc Ninh

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	1,07 MB