Các phương pháp giải bài toán tấm
Có hai phương pháp giải bài toán tấm:
Nội dung của phương pháp này là giải trực tiếp phương trình Sophie
Gerrmain-Lagrange với các điều kiện biên cụ thể cho từng bài toán là một nhiệm vụ phức tạp trong lĩnh vực toán học Nghiên cứu này chủ yếu tập trung vào các khía cạnh của đại học thủy lợi, nơi mà việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn là rất quan trọng Một trong những điểm nổi bật là lời giải của Navier và Levy cho tấm chữ nhật chịu uốn, cùng với phương pháp biến phân, đã mở ra nhiều hướng đi mới trong việc giải quyết các bài toán kỹ thuật liên quan đến tấm có biên tựa.
+ Xét tấm chữ nhật có biên tựa, chịu tải trọng phân bố q(x, y)
Khi đó ta có các điều kiện biên như sau:
Navier đề nghị khai triển hàm độ võng w(x, y) và hàm tải trọng q(x, y) thành các chuỗi lượng giác kép:
A R mn R và B R mn R , là các hằng số
B R mn R = 4 ab 0 0 ( , ) sin sin a b m x n y q x y dxdy a b π π
Biết được độ võng w, ta có thể tìm được nội lực trong tấm b Lời giải của Levy cho tấm có hai bên tựa song song
Xét tấm chữ nhật có hai biên tựa song song và hai biên tựa còn lại có điều kiện biên bất kỳ, chịu tải trọng phân bố q(x, y)
Ta có điều kiện biên sau:
Levy đã đề xuất phương pháp khai triển hàm độ võng w(x, y) và hàm tải trọng q(x, y) thành chuỗi lượng giác đơn Phương pháp này có thể mang lại những lợi ích đáng kể trong lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng của độ võng và tải trọng trong các công trình xây dựng Việc áp dụng chuỗi lượng giác giúp đơn giản hóa các tính toán phức tạp, từ đó nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong thiết kế kỹ thuật.
∑∫ = (1.21) Thay (1.20) và (1.21) vào phương trình Sophie Germain-Lagrange ta nhận được phương trình vi phân
∫ π (1.22) Nghiệm của phương trình (1.22) là
A R m, R B R m, R C R m, R D R m R là các hằng số được xác định theo các điều kiện biên còn lại; f(y) là hàm số một biến y và được xác định theo tải trọng q(x, y) và độ cứng D
Lời giải (1.20) và (1.23) của Levy mang tính tổng quát cao hơn và đạt được kết quả hội tụ tốt hơn, tuy nhiên, chúng cũng phức tạp hơn so với lời giải của Navier đã được trình bày trước đó Phương pháp biến phân là một trong những phương pháp quan trọng trong lĩnh vực này.
Bài toán biến thân tìm cực trị của phiếm hàm, là đại lượng phụ thuộc vào nhiều hàm số và biến số độc lập Trong cơ học và lý thuyết đàn hồi, năng lượng hệ là phiếm hàm của nội lực, chuyển vị và biến dạng Nguyên lý biến phân trong lý thuyết đàn hồi xác định các điều kiện cực trị cho phiếm hàm này Bài toán biến phân liên quan đến nguyên lý năng lượng cực tiểu, với trường ứng suất, biến dạng và chuyển vị thực là những trường giúp phiếm hàm năng lượng toàn phần đạt giá trị cực tiểu Để giải quyết bài toán, người ta thiết lập các điều kiện cực trị của phiếm hàm bằng cách giả thiết dạng của các hàm dừng.
Các phương pháp biến phân là các phương pháp gần đúng để giải bài toán tấm nói riêng và bài toán kết cấu nói chung
Chúng ta sẽ đề cập đến hai phương pháp giải trực tiếp bài toán biến phân, đó là phương pháp Ritz-Timoshenko và phương pháp Boubnov-Galerkin
Phương pháp Ritz-Timoshenko là một kỹ thuật quan trọng trong lĩnh vực thủy lực, được áp dụng để phân tích và giải quyết các vấn đề liên quan đến dòng chảy và áp lực trong hệ thống thủy lực Kỹ thuật này giúp tối ưu hóa thiết kế và nâng cao hiệu suất của các công trình thủy lợi Bằng cách sử dụng các phương trình toán học phức tạp, phương pháp Ritz-Timoshenko cho phép dự đoán chính xác hành vi của nước trong các tình huống khác nhau, từ đó hỗ trợ các kỹ sư trong việc đưa ra quyết định thiết kế hợp lý Việc áp dụng phương pháp này không chỉ giúp tiết kiệm thời gian mà còn giảm thiểu chi phí cho các dự án thủy lợi.
Phương pháp này nhằm tìm cực trị của phiếm hàm thế năng toàn phần Π, thường được biểu diễn dưới dạng tích phân xác định, là hàm của độ võng w Để thực hiện điều này, ta chọn nghiệm dưới dạng: w(x,y)=.
Trong nghiên cứu này, phương trình ∑ = (1.24) được thiết lập với các hàm số tạm thời a R i R chưa xác định, trong khi f(x, y) là các hàm tọa độ tự chọn phù hợp với các điều kiện biên của tấm Số bậc tự do của tấm được ký hiệu là n Khi thay thế (1.24) vào biểu thức của phiếm hàm thế năng toàn phần và thực hiện tích phân, chúng ta thu được giá trị phiếm hàm Π, là một hàm của các trị số a R i R Điều kiện cực trị của phiếm hàm Π được diễn đạt qua hệ các phương trình đại số a i.
Giải hệ phương trình ta tìm được các hệ số a R i R , thay chúng trở lại quan hệ (1.24)
Ta tìm được nghiệm w(x, y) của bài toán biến phân
Chọn hàm độ võng theo dạng (1.24), mỗi số hạng f R i R (x, y) trong chuỗi cần tuân thủ các điều kiện biên về động học và tĩnh học, mặc dù không bắt buộc phải thỏa mãn phương trình Sophie Germain-Lagrange.
Phương trình Sophie Germain-Lagrange thể hiện sự cân bằng giữa nội lực và ngoại lực theo phương z, do đó tổng công của chúng trên những chuyển vị khả dĩ vô cùng nhỏ δw phải bằng 0.
Phương trình biến phân của tấm chịu uốn được biểu diễn bởi công thức ∫∫ Ω [D ∇ 4 w - p R z R (x,y)] δ wdxdy = 0 (1.26) Từ phương trình này cùng với các điều kiện bắt buộc đối với các hàm f R i R (x, y), ta có thể xác định hệ phương trình tương ứng.
Bài viết này trình bày một phương trình toán học quan trọng liên quan đến đại học Thủy Lợi, cụ thể là phương trình tích phân ∫∫ Ω (D ∇ 4 w - p R z R )f R n R (x,y) dxdy = 0 Đại học Thủy Lợi nổi bật với các nghiên cứu và ứng dụng trong lĩnh vực thủy lợi và kỹ thuật, góp phần vào sự phát triển bền vững trong quản lý nước và tài nguyên Các chương trình đào tạo tại đây cung cấp kiến thức chuyên sâu, giúp sinh viên nắm vững các khái niệm lý thuyết và thực tiễn trong ngành.
Từ hệ n phương trình đại số này ta tìm được các hệ số a R 1 R , a R 2, R a R 3 R … a R n R và tìm được độ võng w và giải được bài toán biến phân
Việc tính toán kết cấu cho công trình xây dựng, đặc biệt là thủy điện, ngày càng phức tạp do sự đa dạng trong hình dạng công trình, việc áp dụng nhiều loại vật liệu mới và yêu cầu cao về độ chính xác.
Trong nhiều trường hợp, phương pháp chính xác không đáp ứng được yêu cầu, dẫn đến sự ra đời của phương pháp số (phương pháp rời rạc hoá) Các phương pháp rời rạc hoá được chia thành hai nhóm chính.
Các phương pháp rời rạc kiểu toán học sử dụng nghiệm gần đúng thay vì mô tả nghiệm của bài toán qua các hàm Cụ thể, các hệ hàm xấp xỉ được chọn từ một số hữu hạn Ví dụ điển hình là phương pháp lưới, trong đó các vi phân được thay thế bằng các sai phân.
Các phương pháp rời rạc kiểu vật lý là cách thay thế hệ thực (hệ liên tục) bằng một mô hình vật lý gần đúng, sử dụng một số hữu hạn các phần tử Một trong những phương pháp phổ biến trong nhóm này là phương pháp sai phân hữu hạn, cho phép giải quyết các bài toán phức tạp thông qua việc xác định lời giải bằng số hữu hạn.
Phương pháp sai phân hữu hạn (PP SPHH) là một phương pháp số, gần đúng để giải phương trình vi phân
Lựa chọn các thông số cho mô hình
Trong luận văn này, tác giả lựa chọn mô hình Winkler để xác định độ lún của công trình trên nền đất, với các thông số bao gồm mô đun đàn hồi E R s R, hệ số Poisson của đất ν R s R, mô đun đàn hồi của bê tông E, hệ số Poisson của bê tông ν, chiều dài cọc, và kích thước tấm (chiều dày h, chiều rộng, chiều dài BxL).
Cùng với sự tiến bộ của khoa học công nghệ, các bài toán phức tạp và có khối lượng lớn ngày càng được giải quyết với độ chính xác cao Phương pháp phần tử hữu hạn, mặc dù thuộc loại bài toán biến phân, nhưng khác với các phương pháp cổ điển ở chỗ nó chỉ tìm kiếm dạng hàm xấp xỉ trong từng miền con của miền xác định, thay vì toàn bộ miền Điều này mang lại lợi ích lớn khi giải quyết các bài toán có miền xác định bao gồm nhiều miền con với các đặc tính khác nhau.
Luận văn này tập trung nghiên cứu vị trí cọc hợp lý nhằm giảm thiểu chênh lệch lún của công trình trên nền đất yếu Sức chịu tải của cọc được xác định dựa vào ma sát dọc theo thân cọc và sức chống đầu mũi cọc.
Sức chịu tải của cọc được tính bằng công thức sau:
- A R mb R là diện tích mặt bên của cọc, t R c R là lực ma sát dọc theo thân cọc, thuộc lớp đất thứ i;
- A R mc R là diện tích đầu mũi cọc, p R c R là sức chống đầu mũi cọc
Nội lực trong cọc phụ thuộc vào biến dạng của cọc, với trường hợp cọc chỉ chịu nén thì nội lực chỉ là lực nén Khi thiết kế móng trên hệ thống cọc, người ta thường phân tải cho mỗi cọc theo công thức tính ứng suất cho trường hợp nén lệch tâm Tuy nhiên, lực phân cho mỗi cọc thực tế lại phụ thuộc vào chuyển vị ở đầu cọc, mà chuyển vị này liên quan đến biến dạng dọc theo thân cọc và độ võng của bản đáy đặt trên đầu cọc.
Biến dạng dọc theo thân cọc phụ thuộc vào kích thước mặt cắt, vật liệu cọc, lực ma sát dọc thân cọc và sức chống đầu mũi cọc Để tính toán chuyển vị dọc theo thân cọc, cần xem xét tương tác giữa cọc và nền, thường mô phỏng lực ma sát và sức chống đầu mũi cọc bằng cách sử dụng lò xo nén dọc theo thân cọc và lò xo tại đầu mũi cọc.
Liên hệ giữa độ lún của lò xo δ và độ cứng của lò xo k được biểu diễn bằng công thức:
Lực nén s trong lò xo xuất hiện khi lò xo được đặt dọc theo thân cọc, tạo ra lực ma sát dọc theo thân cọc Khi lò xo được đặt ở đầu mũi cọc, lực này trở thành sức chống đầu mũi cọc Độ cứng của lò xo dọc theo thân cọc được tính theo công thức: c = o = c = t.
V R o R là chuyển vị trượt dọc theo chiều dài cọc
T R c R là giá trị trung bình của lực ma sát trong lĩnh vực thủy lực Hiểu rõ về lực ma sát là rất quan trọng trong các ứng dụng liên quan đến dòng chảy và thiết kế hệ thống thủy lực Việc xác định chính xác giá trị này giúp tối ưu hóa hiệu suất của các thiết bị và công trình thủy lợi.
Cò n độ cứng của lò xo đặt ở đầu mũi cọc được tính theo công thức: w 0
Trong đó: w R o R là chuyển vị của cọc p R c R là áp lực ở đầu cọc
Trong trường hợp cọc chịu tải trọng ngang, sức kháng của nền và cọc được mô phỏng bằng lò xo đặt vuông góc với trục của cọc.
Móng cọc
Từ thời xa xưa, con người đã sử dụng cọc để làm móng nhà, với các di tích khảo cổ cho thấy rằng từ hàng trăm năm trước công nguyên, cọc đã được dùng để xây dựng nhà sàn trên mặt nước Việc xây dựng nhà trên mặt nước có thể nhằm mục đích chống lại sự tấn công của quân địch hoặc thú dữ, đồng thời cũng giúp dễ dàng kiếm thức ăn như tôm, cá Ngày nay, móng cọc vẫn được áp dụng để xây dựng trên những khu đất không thuận lợi cho móng nông.
Móng cọc đang trở thành lựa chọn phổ biến trong xây dựng dân dụng và công nghiệp nhờ vào những ưu điểm vượt trội như giảm chi phí vật liệu, giảm khối lượng công tác đất, hạn chế ảnh hưởng của nước ngầm trong quá trình thi công, khả năng cơ giới hóa cao và thường ít bị lún.
Móng cọc được ứng dụng rộng rãi nhờ vào những ưu điểm vượt trội của nó Các nhà khoa học đã tiến hành nghiên cứu sâu và phát triển nhiều loại vật liệu cũng như hình thức chế tạo móng cọc khác nhau.
Phânloại cọc
Cọc được phân loại theo vật liệu chế tạo thành các loại chính như: cọc gỗ, cọc tre, cọc bê tông, cọc bê tông cốt thép, cọc thép, cọc thép bê tông và cọc liên hợp.
Theo phương pháp thi công, cọc được phân ra
Cọc đóng là loại cọc được chế tạo sẵn, được đưa xuống đất bằng các phương pháp như đóng bằng búa máy, rung, ép hoặc xoắn, có thể sử dụng khoan dẫn hoặc không.
- Cọc nhồi: Được đổ tại chỗ trong các hố khoan hoặc hố tạo bằng cách đóng ống thiết bị
Cọc đóng là một phần quan trọng trong xây dựng công trình thủy lợi, đóng vai trò quyết định trong việc đảm bảo tính ổn định và an toàn cho các công trình này Việc sử dụng cọc đóng đúng cách sẽ giúp tăng cường khả năng chịu lực và chống lún cho nền móng Các kỹ thuật và phương pháp đóng cọc hiện đại đang được áp dụng tại các trường đại học, đặc biệt là tại Đại học Thủy lợi, nhằm nâng cao chất lượng đào tạo và nghiên cứu trong lĩnh vực này Sự phát triển của công nghệ đóng cọc cũng góp phần cải thiện hiệu quả thi công và giảm thiểu tác động đến môi trường.
Cọc đóng thường dùng là:
Cọc gỗ có thể được thi công từ một cây gỗ Loại này có chiều dài từ 4,5 đến
Cọc gỗ có chiều dài 12m và đường kính từ 18 đến 36cm Để tăng chiều dài, người ta nối các đoạn gỗ lại với nhau, trong khi để tăng tiết diện, có thể ghép 3 hoặc 4 cây gỗ bằng bulông Do gỗ dễ bị mục khi độ ẩm thay đổi, nên cọc gỗ cần được đặt dưới mực nước ngầm thấp nhất để đảm bảo độ bền.
2.4.1 2.2 Cọc bê tông cốt thép đúc sẵn a Cọc bê tông cốt thép hình lăng trụ
Loại cọc này được chế tạo với các loại kích thước sau:
Tiết diện 20 x 20cm, chiều dài 3 ÷ 7m
Khi chiều dài cọc vượt quá 16m, việc sử dụng cốt thép không dự ứng lực sẽ yêu cầu tiết diện cọc lớn hơn, dẫn đến việc tiêu tốn vật liệu và gặp khó khăn trong vận chuyển và hạ cọc Do đó, để chế tạo cọc dài hơn 16m, thép dự ứng lực được ưa chuộng, cho phép sản xuất cọc với chiều dài lên tới 25m Cọc bê tông cốt thép có tiết diện vuông và lỗ rỗng tròn cũng là một lựa chọn hiệu quả trong xây dựng.
Móng cọc là một yếu tố quan trọng trong xây dựng dân dụng và công nghiệp, vì vậy việc tiết kiệm chi phí bê tông và cốt thép, cũng như giảm trọng lượng cọc là rất cần thiết Để đạt được mục tiêu này, cọc rỗng được sử dụng, với thiết kế lỗ rỗng kéo dài toàn bộ chiều dài của cọc nhằm đảm bảo thuận tiện trong chế tạo Để sản xuất cọc, cần sử dụng bê tông có mác 300.
Cọc có tiết diện vuông với lỗ rỗng tròn không vát nhọn ở đầu giúp giảm độ phức tạp trong chế tạo và bảo đảm độ bền khi vận chuyển, cất xếp và đóng cọc Để bịt kín mũi cọc khi hạ xuống đất, có thể chế tạo mũi cọc riêng biệt và gắn vào lỗ rỗng của cọc, tạo thành nhân đất nén chặt Loại cọc này thích hợp để hạ vào các loại đất như đất sét dẻo mềm, dẻo cứng, cát, cát pha xốp hoặc chặt trung bình.
Khi sử dụng cọc nối trên đất cứng và nửa cứng, cần chú ý bảo vệ bê tông cọc khỏi bị hư hại trong quá trình hạ cọc Cọc nối có thể có tiết diện đặc hoặc rỗng, được tạo thành từ các đoạn dài tối đa 8m, với tổng chiều dài có thể lên đến 30m hoặc hơn Các đoạn cọc được kết nối bằng bulông hoặc hàn, và sau khi hạ đoạn đầu tiên đến độ sâu nhất định, đoạn thứ hai sẽ được nối và tiếp tục hạ xuống Phương pháp hàn được sử dụng để nối các mặt bích của cọc, tuy nhiên, cọc nối gặp phải một số nhược điểm như khó đảm bảo trục các đoạn cọc thẳng hàng, có nguy cơ gãy hoặc đứt tại chỗ nối Ngoài ra, các mặt bích thép tiếp xúc với đất có thể bị ăn mòn nếu không được bảo vệ đúng cách, ảnh hưởng đến sức chịu tải của cọc và làm tăng thời gian thi công cũng như chi phí.
Cọc thép thường được sử dụng dưới dạng thép hình hoặc ống tròn với nhiều kích thước đường kính khác nhau, bao gồm cả ống thép có tiết diện ngang hình đa giác.
Ngoài cọc ống thép, còn nhiều loại cọc ống với tiết diện khác nhau Khi hạ cọc ống thép xuống đất, mũi cọc có thể được bịt kín, sau đó lòng ống sẽ được đổ đầy bằng bê tông hoặc vữa ximăng cát vàng.
Trong thực tế đã dùng cả loại ống thép đường kính 108 – 159 mm
Cọc nhồi cũng bao gồm nhiều loại với phương pháp thi công khác nhau, thông thường gồm:
- Thi công trong hố có ống chống vách và ống này được rút ra khỏi đất
Thuộc loại này có sọc Straux, cọc đầm nhanh, cọc Franki
Thi công trong hố có ống chống vánh là một kỹ thuật quan trọng trong xây dựng, trong đó ống này được để lại trong đất mà không rút ra Việc sử dụng ống chống vánh giúp tăng cường độ ổn định cho công trình và ngăn ngừa sự sụt lún của đất Kỹ thuật này thường được áp dụng trong các dự án xây dựng lớn, đặc biệt là trong lĩnh vực thủy lợi Sự hiệu quả của phương pháp này phụ thuộc vào thiết kế và vật liệu của ống, cũng như điều kiện địa chất của khu vực thi công.
- Thi công trong hố khoan không có ống chống vách Thuộc loại này có cọc khoan nhồi, cọc nhồi rung, cọc nhồi hơi
Bài viết đã giới thiệu nhiều loại cọc khác nhau, mỗi loại đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng Việc lựa chọn loại cọc phù hợp cần dựa trên các điều kiện ứng dụng cụ thể và yêu cầu sử dụng thiết bị thi công tương ứng.
Việc chọn loại cọc phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo các điều kiện kỹ thuật và kinh tế, phụ thuộc vào nhiều yếu tố như địa chất công trình, địa chất thủy văn, đặc điểm và tải trọng của công trình, cũng như khả năng của đơn vị thi công Điều này bao gồm máy móc thiết bị đồng bộ và đội ngũ chuyên thi công các loại cọc phức tạp Ngoài ra, khả năng tài chính của chủ đầu tư và kinh nghiệm của người thiết kế cũng đóng vai trò quan trọng trong quá trình lựa chọn.
CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT, BIẾN DẠNG BẰNG FEM
3.1 Giải bài toán tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp PTHH (Phương pháp phần tử hữu hạn) hiện đang được áp dụng rộng rãi để giải quyết các bài toán kết cấu, đặc biệt là trong phân tích tấm chịu uốn Trong phương pháp này, phần tử chữ nhật thường được sử dụng, trong đó các chuyển vị u, v trong mặt phẳng tấm được xấp xỉ bằng hàm bậc nhất, trong khi độ võng w được xấp xỉ bằng hàm bậc ba So với phương pháp giải tích, PTHH mang lại khả năng giải quyết đa dạng hơn với nhiều tình huống tải trọng, hình thức kết cấu và điều kiện ràng buộc về chuyển vị tại các vị trí liên kết.
3.1.1 Trình tự giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Bước đầu tiên trong quá trình tính toán là chia miền thành các phần tử nhỏ hơn, được liên kết qua một số điểm nút hữu hạn Những điểm nút này có thể là các đỉnh của phần tử hoặc là những điểm quy ước trên các cạnh của phần tử.
U Bước 2: U Trong phạm vi của mỗi phần tử, ta giả thiết một dạng phân bố xác định nào đó của hàm cần tìm, có thể đó là:
+ Cả hàm chuyển vị và hàm ứng suất