CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Quan điểm giáo dục về sai lầm của học sinh
Giáo dục ở Việt Nam đang đối mặt với những thách thức và cơ hội lớn do nhu cầu phát triển bền vững Để đáp ứng yêu cầu đổi mới, việc định hướng phát triển giáo dục và đào tạo trở nên thiết yếu Trong bối cảnh toàn cầu hóa và sự tiến bộ của khoa học công nghệ, các vấn đề về môi trường, dân số và khí hậu ngày càng nghiêm trọng Do đó, giáo dục cần có sự thay đổi căn bản và toàn diện để phù hợp với yêu cầu mới.
Để thực hiện sự thay đổi căn bản và toàn diện trong giáo dục, các quyết sách cần không chỉ giải quyết các vấn đề cấp bách hiện tại mà còn phải xây dựng nền tảng cho sự phát triển bền vững của toàn bộ hệ thống giáo dục trong tương lai Do đó, mỗi quyết định cần được xem xét kỹ lưỡng dựa trên các luận cứ khoa học vững chắc.
Sự đổi mới tư duy giáo dục là cần thiết để đáp ứng yêu cầu phát triển trong bối cảnh toàn cầu hiện nay Triết lý giáo dục đóng vai trò quan trọng trong việc định hướng hoạt động giáo dục và cần được điều chỉnh để phù hợp với mục tiêu đào tạo mới Để nâng cao trí tuệ và năng lực con người Việt Nam, giáo dục cần có sự thay đổi căn bản và toàn diện, khác với những cải cách tạm thời đã thực hiện trước đây Nhiều nhà giáo, nhà khoa học và nhà quản lý giáo dục đã kêu gọi cải cách giáo dục, nhấn mạnh sự cần thiết của một mô hình phát triển và mục tiêu giáo dục sâu sắc và đồng bộ.
Quá trình đổi mới giáo dục gắn liền với việc cải cách dạy học, bao gồm hai khía cạnh chính: hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh Trong lý thuyết dạy học, có những quan điểm khác nhau về vai trò của giáo viên và học sinh, nhưng có thể tóm gọn thành hai hướng chính: một bên chú trọng vào vai trò của giáo viên, bên còn lại nhấn mạnh vai trò của học sinh.
Trong lịch sử giáo dục, trước khi có tổ chức nhà trường, giáo viên dạy nhóm nhỏ học sinh với sự chênh lệch về tuổi tác và trình độ Khi trường học ra đời, lớp học trở nên đông đúc, khiến giáo viên khó lòng chăm sóc từng học sinh, dẫn đến phương pháp dạy học “thông báo - đồng loạt” Giáo viên tập trung vào việc hoàn thành chương trình, trong khi học sinh chủ yếu học thụ động và ghi nhớ Tình trạng này hiện nay đang ảnh hưởng đến chất lượng giáo dục, không đáp ứng được yêu cầu xã hội Để cải thiện, cần phát huy tính tích cực của học sinh và áp dụng phương pháp “dạy học phân hóa”, chú trọng đến nhu cầu và khả năng của từng cá nhân Các phương pháp “dạy học tích cực” và “lấy người học làm trung tâm” đã được phát triển nhằm đáp ứng những yêu cầu này.
Triết lý dạy học hướng vào người học, chịu ảnh hưởng từ các nhà tư tưởng như J Dewey, S Freud, C Rogers và Maslow, nhấn mạnh tôn trọng tính tự nhiên của trẻ em Giáo dục không chỉ là sự chuẩn bị cho cuộc sống mà là cuộc sống thực sự của trẻ Do đó, phương pháp giáo dục cần lấy trẻ em làm trung tâm, coi trẻ như mặt trời, từ đó tạo động lực học tập và phát triển tự nhiên Đây là một khuynh hướng nhân văn tiến bộ, mang tính thực dụng và có phần cực đoan.
Dạy học hướng vào người học yêu cầu giáo viên phải chú ý đến đặc điểm của học sinh, tạo điều kiện cho họ suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn Các tác động sư phạm cần nhằm khơi dậy và phát triển tiềm năng của từng học sinh trong tập thể Học sinh được khuyến khích tự hoạt động và khám phá kiến thức dưới sự hướng dẫn của giáo viên, từ đó hình thành năng lực và phẩm chất cần thiết theo mục tiêu giáo dục Học sinh không hoàn toàn phụ thuộc vào giáo viên mà chủ yếu tương tác trực tiếp với kiến thức và bạn bè thông qua hành động của chính mình, khẳng định vai trò chủ thể trong việc tìm ra tri thức.
Dạy học hướng vào người học yêu cầu giáo viên nỗ lực và đầu tư công sức nhiều hơn so với phương pháp thầy đọc trò chép Tuy nhiên, vai trò chủ đạo của giáo viên trong quá trình dạy học vẫn được duy trì.
Dạy học hướng vào người học có những đặc điểm:
Mục tiêu dạy học là chuẩn bị cho học sinh khả năng thích ứng với cuộc sống xã hội, đồng thời tôn trọng nhu cầu, lợi ích và tiềm năng của từng học sinh.
-Ve nội dung dạy học: ngoài tri thức lí thuyết, chú trọng các kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Phương pháp dạy học hiện đại tập trung vào việc tổ chức hoạt động cho học sinh, khuyến khích các em áp dụng hiểu biết và kinh nghiệm cá nhân để chiếm lĩnh tri thức Đồng thời, phương pháp này cũng chú trọng rèn luyện kỹ năng tự học và thực hành nghiên cứu, giúp học sinh phát triển tư duy độc lập và khả năng giải quyết vấn đề.
-về hình thức tổ chức dạy học: sử dụng nhiều hình thức dạy học phong phú như: tự học, học theo nhóm, lên lớp, thảo luận, tham quan,
-về đánh giá: học sinh được tự đánh giá và tham gia đánh giá lẫn nhau theo chuẩn, giáo viên giữ vai trò là trọng tài.
Tích cực chủ động trong học tập giúp người học phát triển tư duy độc lập và sáng tạo Vai trò của người thầy là hướng dẫn và khẳng định các chân lý khoa học, từ đó giúp học sinh nhận diện đúng sai Những câu trả lời sai của học sinh thường có lý do riêng, và từ đó, giáo viên cần chỉ ra sai lầm, uốn nắn để học sinh hiểu đúng Qua quá trình này, học sinh sẽ nắm vững kiến thức và tránh lặp lại lỗi tương tự Do đó, giáo viên cần có cái nhìn tích cực đối với sai lầm của học sinh, từ đó hỗ trợ họ chiếm lĩnh tri thức khoa học và phát huy khả năng tự học.
Jean Piaget (1896 - 1980), một trong những nhà tâm lý học và triết học đầu tiên nghiên cứu về quá trình nhận thức và phát triển ở trẻ em.
Tượng Piaget tại Geneva, Thụy Sĩ
Trung tâm tư tưởng của J Piaget nhấn mạnh rằng con người trong quá trình khám phá thế giới tự tạo ra kiến thức và hình thành thế giới riêng của mình Giáo dục đóng vai trò là sự hỗ trợ, giúp con người phát triển khả năng tự học và tự khai sáng.
Jean Piaget nhấn mạnh rằng việc hiểu những sai sót của học sinh là cách để nhận biết tư duy toán học của các em Ông cũng cho rằng trẻ em học hỏi thông qua quá trình tìm kiếm và mắc lỗi, đồng thời phát triển khả năng làm việc chủ động và độc lập, không bị giới hạn về thời gian.
Hiện nay, nhiều nhà sư phạm ủng hộ mô hình dạy học tương tác, vì nó phù hợp với cách mà con người học và phát triển, như được nêu trong lý thuyết của J Piaget và các lý thuyết phát sinh nhận thức khác Khi học sinh được khuyến khích tham gia vào các hoạt động khám phá phù hợp với trình độ nhận thức của mình, động cơ học tập sẽ được nâng cao, dẫn đến kết quả học tập tốt hơn.
Tổng quan về logic toán
1.2.1 Mệnh đề và các phép logic
Mệnh đề là những câu phản ánh tính đúng hoặc sai, được kí hiệu bằng các chữ cái như a, b, c, v.v Trong lôgic, chúng ta không chú trọng đến cấu trúc ngữ pháp mà chỉ quan tâm đến giá trị "đúng" hoặc "sai" của mệnh đề Nếu mệnh đề a đúng, giá trị chân lí của nó được kí hiệu là G(a) = 1; ngược lại, nếu mệnh đề a sai, giá trị chân lí là G(a) = 0.
Những câu nghi vấn, câu mệnh lệnh và câu cảm thán đều không phải là mệnh đề.
Ta thừa nhận các luật sau đây của lôgic mệnh đề:
• Luật bài trung: Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không đúng cũng không sai.
• Luật mâu thuẫn (hay còn gọi là luật phi mâu thuẫn): không có mệnh đề nào vừa đúng hoặc vừa sai.
Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu là ã, đúng khi a sai và sai khi a đúng.
Hội của hai mệnh đề a và b tạo thành một mệnh đề c, được ký hiệu là c = a A b Mệnh đề này chỉ đúng khi cả hai mệnh đề a và b đều đúng, và sẽ sai trong mọi trường hợp còn lại.
Để thiết lập mệnh đề hội giữa hai mệnh đề a và b, chúng ta có thể kết hợp chúng bằng liên từ “và” hoặc các liên từ tương tự như: mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn, cùng Ngoài ra, có thể sử dụng dấu phẩy hoặc không dùng liên từ nào.
Mệnh đề c được tạo ra từ hai mệnh đề a và b, được biểu diễn là c = a v b Mệnh đề c sẽ đúng khi ít nhất một trong hai mệnh đề a hoặc b đúng, và sẽ sai khi cả hai mệnh đề a và b đều sai.
J Để lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ “hoặc”
(hay một liên từ khác cùng loại).
J Khi thiết lập mệnh đề tuyển của nhiều mệnh đề ta dùng dấu phẩy thay cho liên từ
Chẳng hạn: “Số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2”.
Mệnh đề a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, sai khi a đúng mà b sai và đúng với các trường hợp còn lại.
J Mệnh đề “a kéo theo b” thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn như “nếu a thì b”, “a suy ra b”, “có a thì có b”,
Trong logic, khi đánh giá giá trị chân lý của mệnh đề a và b, người ta không xem xét mối quan hệ nội dung giữa chúng Việc a có phải là nguyên nhân dẫn đến b hay không không quan trọng; điều cốt yếu là tập trung vào tính đúng sai của từng mệnh đề.
Mệnh đề a tương đương b là một mệnh đề, kí hiệu a b, đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại.
Trong thực tế, mệnh đề “a tương đương b” còn được biểu diễn dưới nhiều hình thức khác nhau như: “a khi và chỉ khi b”, “a nếu và chỉ nếu b”.
Nếu ta gọi p q (1) là mệnh đề thuận thì: q p (2) là mệnh đề đảo của (1) p q (3) là mệnh đề phản của (1) q p (4) là mệnh đề phản đảo của (1)
Các mệnh đề thuận, đảo, phản và phản đảo ta gọi là những mệnh đề liên hợp.
- Mệnh đề thuận tương đương lôgic với mệnh đề phản đảo.
- Mệnh đề phản tương đương lôgic với mệnh đề đảo.
Mệnh đề thuận và mệnh đề đảo có thể cùng chân trị hoặc khác chân trị Nếu có cùng chân trị thì khi đó trở thành phép tương đương.
1.2.2 Hàm mệnh đề - Mệnh đề tổng quát, tồn tại
1.2.2.1 Khái niệm về hàm mệnh đề
Hàm mệnh đề là những câu chứa các biến, chưa phải là mệnh đề cho đến khi các biến này được thay thế bằng các phần tử xác định thuộc tập X, lúc đó nó sẽ trở thành mệnh đề có thể đúng hoặc sai.
Tập X gọi là miền xác định; tập các phần tử thuộc X khi thay vào ta được mệnh đề đúng gọi là miền đúng; thay vào ta được mệnh đề sai gọi là miền sai của hàm mệnh đề đó.
Ta dùng các kí hiệu T(n), F(x), G(y), để chỉ các hàm mệnh đề.
Hàm mệnh đề T(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3” có miền xác định là tập các số tự nhiên.
Tập các số tự nhiên chia hết cho 3 là miền đúng của T(n).
Tập các số tự nhiên không chia hết cho 3 là miền sai của T(n).
1.2.2.2 Các phép toán trên hàm mệnh đề a) Phép phủ định
Cho F(x) là một hàm mệnh đề xác định trên miền X Phủ định của hàm mệnh đề F(x) được kí hiệu là F(x), với điều kiện rằng đối với mỗi a thuộc X, F(a) là mệnh đề phủ định của F(a).
T(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3” là hàm mệnh đề.
T(n) = “ Số tự nhiên n không chia hết cho 3” là hàm mệnh đề phủ định. b) Phép hội
Cho hai hàm mệnh đề F(x) và G(x) xác định trên tập X, hội của chúng được định nghĩa là một hàm mệnh đề H(x), ký hiệu H(x) = F(x) n G(x) Hàm H(x) cũng xác định trên miền X, với mọi a thuộc X, mệnh đề H(a) là hội của hai mệnh đề F(a) và G(a).
Hội của hai hàm mệnh đề:
F(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3”
G(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 5” là hàm mệnh đề:
H(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3 và 5”
Cũng tương tự như trên, ta định nghĩa các phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương trên các hàm mệnh đề.
Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên mien X Ta gọi mệnh đề dạng:
“Với mọi x G X, T(x)” là mệnh đề tổng quát (hoặc toàn thể, phổ biến, phổ cập, ), kí hiệu là:
“ V n G n là số nguyên tố” là mệnh đề sai
“ V n G 2n là số chẵn” là mệnh đề đúng
Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên mien X Ta gọi mệnh đề dạng:
“Tồn tại x G X sao cho T(x)” là mệnh đề tồn tại Kí hiệu là:
“Tồn tại số tự nhiên n sao cho n là số nguyên tố” là mệnh đề đúng
“Tồn tại số thực x sao cho x2 — 1 = 0” là mệnh đề đúng
“Tồn tại số thực x sao cho x2 + 1 = 0” là mệnh đề sai
1.2.3 Quy tắc suy luận Định nghĩa: Cho A, B, C là những công thức Nếu tất cả các hệ chân lí của các biến mệnh đề có mặt trong các công thức đó làm cho A, B nhận giá trị chân lí bằng 1 cũng làm cho C nhận giá trị chân lí bằng 1 thì ta nói có một quy tắc suy luận từ các tiên đề A, B dẫn tới hệ quả lôgic C của chúng.
Để chứng minh C là một quy tắc suy luận, ta chỉ cần lập bảng giá trị chân lý cho các công thức A, B, C, trong đó chỉ ra rằng mỗi khi A và B có giá trị chân lý bằng 1, thì C cũng có giá trị chân lý bằng 1 Bài viết này sẽ tìm hiểu các quy tắc suy luận liên quan.
1.2.3.1 Quy tắc suy luận Modus ponens p q, p
Ta thấy p ^ q và p nhận giá trị chân lí bằng 1 thì q cũng nhận giá trị chân lí bằng 1.
“p^q” là mệnh đề “Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song”
“p” là mệnh đề “ ABCD là hình bình hành”
“q” là mệnh đề “các cặp cạnh đối song song”
1.2.3.2 Quy tắc suy luận Modus Tollens p y q, ~q p
1.2.3.3 Quy tắc suy luận bắc cầu p q, q r p r
Khi p q và q r nhận giá trị chân lí bằng 1 thì p r cũng nhận giá trị chân lí bằng 1.
“p^q” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3”
Mệnh đề "Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3" có thể được mở rộng theo quy tắc suy luận bắc cầu, dẫn đến kết luận rằng "Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 3".
1.2.3.4 Quy tắc chứng minh phản chứng p Ả q, ~p ~q p
Khi p A q và p q luôn không cùng giá trị chân lí là 1 thì p sẽ nhận giá trị chân lí là 0 Do đó, điều giả sử là không đúng.
1.2.4 Suy luận và chứng minh
Suy luận là quá trình rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã biết, trong đó các mệnh đề đã có được gọi là tiền đề, còn mệnh đề mới được hình thành là kết luận của quá trình suy luận.
Hai kiểu suy luận phổ biến là suy luận diễn dịch và suy luận nghe có lý Suy luận diễn dịch, còn được gọi là suy diễn, là quá trình rút ra kết luận từ các giả định hoặc nguyên lý chung.
Suy luận diễn dịch, hay còn gọi là suy diễn, là quá trình suy luận dựa trên các quy tắc tổng quát của logic mệnh đề Trong phương pháp này, nếu các tiền đề được đưa ra là đúng, thì kết luận rút ra từ chúng cũng sẽ chính xác.
Trong lôgic vị từ, ngoài những quy tắc của suy luận cua logic mệnh đề ta thường gặp và vận dụng hai quy tắc suy luận dưới đây:
Có nghĩa là nếu P(x) đúng với mọi x G X và a G X thì P(a) là mệnh đề đúng.
Nếu P(x) Q(x) đúng với mọi x G X và P(a) đúng thì Q(a) cũng là mệnh đề đúng.
Mọi số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9.
Số 432135 có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Vậy số 432135 chia hết cho 9.
Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.
Tứ giác ABCD là hình thoi.
Vậy AC ± BD b) Suy luận nghe có lí
SAI LẦM CỦA HỌC SINH
Nguyên nhân của sai lầm
2.1.1 Chưa nắm vững các định nghĩa, định lí
Khái niệm là sản phẩm của tư duy toán học, bao gồm nội hàm và ngoại diện Nội hàm là tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho bản chất của đối tượng, trong khi ngoại diện là tập hợp các đối tượng chứa những dấu hiệu đó Việc hiểu sai hoặc không đầy đủ về khái niệm có thể dẫn đến sai lầm trong giải toán Nhiều khái niệm trong toán học mở rộng hoặc thu hẹp các khái niệm trước đó, do đó, việc nắm vững khái niệm là rất quan trọng để hiểu và hình thành biểu tượng về các khái niệm khác Mối liên hệ giữa các khái niệm trong toán học có tính logic và liên kết chặt chẽ với nhau.
Sự "mất gốc" kiến thức của học sinh chủ yếu liên quan đến việc thiếu hiểu biết về các khái niệm cơ bản Khi không nắm vững các khái niệm này, học sinh dễ gặp khủng hoảng kiến thức nghiêm trọng, dẫn đến những hiểu lầm và sai sót trong quá trình giải toán Các khái niệm là những mệnh đề đúng, và khi hiểu sai về chúng, học sinh sẽ thực hiện các phép toán và suy luận không chính xác.
Định lý là một mệnh đề đã được xác nhận đúng, thường có cấu trúc A B, trong đó A là giả thiết và xác định phạm vi áp dụng của định lý A được xem là điều kiện đủ để có B Tuy nhiên, nhiều học sinh không hiểu rõ hoặc xem nhẹ giả thiết A, dẫn đến việc áp dụng định lý sai Việc không nắm vững giả thiết có thể khiến học sinh áp dụng định lý ra ngoài phạm vi cho phép Họ thường nhầm lẫn rằng giả thiết A phải đúng thì kết luận B mới đúng, nhưng thực tế, đây là phép kéo theo và có thể có trường hợp không có A nhưng vẫn suy ra được B.
B (A sai và B sai hoặc A sai và B đúng).
2.1.2 Chưa đọc kĩ đề bài
- Đọc không kĩ đề ra dẫn đến hiểu nhầm kiến thức, không phát hiện được các nội dung chính trong bài tập.
- Không xét hết các trường hợp dẫn đến “thiếu nghiệm”.
- Vận dụng các phương pháp giải toán một cách không hợp lí và triệt để trong việc giải các bài tập.
- Thiếu sót các giả thiết, nhầm lẫn điều phải chứng minh
Suy luận là một hoạt động trí tuệ quan trọng trong phán đoán, thuộc hình thức tư duy Việc giải toán thông qua suy luận dựa vào nguyên tắc của lôgic học Học sinh thiếu kiến thức lôgic sẽ dễ mắc sai lầm trong quá trình suy luận, dẫn đến lỗi trong giải toán.
Việc thiếu hiểu biết về phép tuyển và phép hội gây khó khăn cho học sinh trong việc tiếp thu các khái niệm và định lý Nhiều định lý có giả thiết và kết luận với cấu trúc tuyển hoặc hội, và nhiều tính chất đặc trưng của khái niệm cũng mang các cấu trúc này.
Phép toán kéo theo trong lôgic đóng vai trò quan trọng trong việc phát biểu định lý và khái niệm, cũng như trong lập luận giải bài toán Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc phân biệt giả thiết, kết luận, điều kiện cần và điều kiện đủ, dẫn đến khó khăn trong định hướng cách giải bài toán.
Học sinh thường thiếu hiểu biết về các quy tắc suy luận, dẫn đến nhiều sai lầm trong các phép tính chứng minh Mỗi chứng minh toán học bao gồm các bước cơ bản, và mỗi bước này được thực hiện theo những quy tắc nhất định, gọi là quy tắc suy luận.
Học sinh thường chưa nắm rõ bản chất của phép quy nạp toán học, dẫn đến việc sử dụng sai các phương pháp như phép tương tự hay phép thay thế thay cho chứng minh quy nạp Họ cũng không hiểu rõ các phép toán đại số mệnh đề như phủ định, kéo theo, hội, tuyển, và tương đương Việc không nắm vững thuộc tính của các lượng từ như “mọi”, “tồn tại”, “và”, “hoặc” càng làm cho việc áp dụng quy nạp toán học trở nên khó khăn hơn.
2.1.4 Không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản
Để giải quyết các bài toán cơ bản, học sinh cần nắm vững phương pháp và quy tắc, nếu không sẽ gặp khó khăn trong việc xác định các trường hợp cần xét, dẫn đến việc đưa ra điều kiện sai Điều này phản ánh một vấn đề quan trọng trong lôgic toán.
- Không biện luận đủ các trường hợp xảy ra của bài toán.
- Không áp dụng đúng phạm vi và dẫn đến bế tắc, không đi đến lời giải cuối cùng.
- Bỏ qua những bước quan trọng và đi đến ngay kết luận, học sinh còn nhầm lẫn phép tương tự trong một số trường hợp.
- Không nắm vững phương pháp giải của cùng một loại bài toán, học sinh không tìm ra phương pháp giải tối ưu cho một bài toán cụ thể.
- Lời giải không có trình tự lôgic và khong biết khi nào kết thúc lời giải.
2.1.5 Xác định giả thiết, kết luận của bài toán không rõ ràng
Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc phân biệt giữa giả thiết và kết luận của bài toán, dẫn đến việc không biết bắt đầu từ đâu để chứng minh Khi không xác định rõ giả thiết, các em sẽ thiếu dữ kiện cần thiết để giải quyết bài toán.
2.1.6 Chưa sử dụng, khai thác hết giả thiết
Học sinh thường bỏ sót giả thiết trong đề bài, dẫn đến khó khăn trong việc giải toán, đặc biệt là trong phần hình học, nơi các kiến thức liên quan chặt chẽ với nhau Việc nắm vững định nghĩa và tính chất của từng nội dung học là rất quan trọng để áp dụng kiến thức vào bài toán cụ thể Học sinh trung bình trở xuống thường gặp khó khăn và có tâm lý sợ hãi với hình học do phương pháp học không đúng và thiếu sự chăm chỉ trong việc nắm vững lý thuyết cũng như luyện tập Điều này khiến các em không khai thác tốt giả thiết để giải quyết bài toán.
Một số sai lầm thường gặp và cách khắc phục
2.2.1 Số học và đại số
2.2.1.1 Chia hết của một tổng cho một số
Xét xem tổng sau có chia hết cho 3 không: 43 + 122
Vì 43 không chia hết cho 3
Nên 43 + 122 không chia hết cho 3.
Sai lầm và nguyên nhân:
Tính chất chia hết của một tổng: a ỉ m và b ỉ m (a + b) ỉ m
Học sinh thường áp dụng suy luận rằng nếu tất cả các số đều chia hết cho một số nhất định, thì tổng của chúng cũng sẽ chia hết cho số đó Ngược lại, nếu các số không chia hết cho một số nào, tổng của chúng cũng sẽ không chia hết cho số đó Tuy nhiên, việc sử dụng phép tương tự này có thể dẫn đến những sai lầm trong quá trình suy luận.
Rút gọn biểu thức: A = ( - x) 2 yx 5 ( - y) 3
A = ( - x) 2 yx 5 ( - y) 3 = ( - x) 2 x 5 y.( - y) 3 = ( - x) 2+5 ( - y) 1+3 = ( - x) 7 ( - y) 4 = x 7 y 4 Sai lầm và nguyên nhân:
Học sinh chưa nắm vững quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số Do đó, học sinh nhầm lẫn (- x) 2
Học sinh nhầm lẫn công thức lũy thừa của lũy thừa với tầng lũy thừa.
Suy ra x = - 4 thỏa yêu cầu bài toán.
Học sinh không nắm vững tính chất của lũy thừa với số mũ chẵn.
Như vậy, đây là phép tuyển Học sinh chỉ xét 1 trường hợp A = B và còn thiếu 1 trường hợp A = — B
Nguyên nhân: Đây là phép tuyển gồm 2 trường hợp hoặc n = 0 hoặc n # 0 Ở đây, học sinh chỉ xét trường hợp n # 0 Như vậy, học sinh xét thiếu trường hợp n = 0.
Học sinh không chú ý đến trường hợp này cơ số nhỏ hơn 1 khi so sánh hai lũy thừa.
Học sinh sử dụng phép kéo theo:
Mệnh đề a kéo theo b Trong trường hợp này, a đúng nhưng b sai Do đó, phép kéo theo là sai Chính vì vậy, kết quả học sinh làm là sai.
Cho b = c = d = a Tính giá trị của biểu thức M = 2012b + 2013d a b c d a b cd a + b + c + d
Lời giải là phép tuyển gồm 2 trường hợp hoặc a + b + c + d = 0 hoặc a + b + c + d # 0. Tuy nhiên, học sinh chỉ xét với trường hợp a + b + c + d # 0.
Trong trường hợp a + b + c + d = 0 thì học sinh chưa xét.
2.2.I.3 Dãy tỉ số bằng nhau
+ Với a + b + c + d # 0: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b c d a + b + c + d b = c = d = a = b + c + d + a = 1
Tiếp tục giải như lời giải của học sinh.
Khi đó b + c + d + a không tồn tại (do mẫu bằng 0)
Do đó, với cách giải này thì không giải được với trường hợp a + b + c + d = 0
Ta có cách giải sau:
Ta có: a = kb ; b = kc ; c = kd ; d = ka
Suy ra a = kb = k.kc = k.k.kd = k.k.k.k.a = k 4 a
Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 sao cho: a + b - c a - b + c - a + b + c c = b = a
Như vậy a = 1; b = 1; c = -2 thỏa yêu cầu bài toán nhưng:
Khi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được kết quả a + b + c
Trong trường hợp này, hoặc a + b + c = 0 hoặc a + b + c # 0 Nó chính là phép tuyển mà học sinh chỉ xét trường hợp a + b + c # 0 và thiếu đi trường hợp a + b + c = 0.
Do đó M = abc = abc = abc = -1
Ví dụ 9: (Bài 16 trang 12_Toán 9_ Tập 1 SGK)
Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng hơn con voi”?
Giả sử con muỗi nặng m (gam), con voi nặng V (gam) Ta có: m 2 + V 2 = V 2 + m 2
Cộng cả hai vế với - 2mV, ta có: m 2 + V 2 - 2mV = V 2 + m 2 - 2mV hay (m - V) 2 = (V - m) 2
Lấy căn bậc hai của mỗi vế trên, ta được:
Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Sai lầm và nguyên nhân:
Con muỗi không thể nặng bằng con voi.
Học sinh chưa nắm vững phương trình dạng:
Như vậy, đây là phép tuyển mà học sinh chỉ xét 1 trường hợp A = B và thiếu trường hợp
Tuyển của hai mệnh đề đúng khi ít nhất một trong hai mệnh đề đúng và sai khi cả hai mệnh đề cùng sai.
Lời giải ở bước này còn thiếu 1 trường hợp: sl(m - V) 2 =7(V - m) 2
Giả sử con muỗi nặng m (gam), con voi nặng V (gam) Ta có: m 2 + V 2 = V 2 + m 2
Cộng cả hai vế với — 2mV, ta có: m 2 + V 2 — 2mV = V 2 + m 2 — 2mV hay (m - V) 2 = (V - m) 2
Lấy căn bậc hai của mỗi vế trên, ta được:
Vậy con muỗi không nặng bằng con voi.
Tính giá trị biểu thức M biết rằng:
Vì x 2 - 4x + 9 = (x -2) 2 + 5 > 5 với mọi x x 2 - 4x + 8 = (x -2) 2 + 4 > 4 với mọi x
Suy ra m = V (vô lí) hoặc 0 = 0 (đúng)
Nên M > 0 và xác định với mọi x
Trong mệnh đề kéo theo, nếu giả thiết sai, kết luận có thể đúng hoặc sai Ngược lại, nếu giả thiết đúng thì kết luận cũng sẽ đúng Vì vậy, để suy luận chính xác, cần phải bắt đầu từ giả thiết đúng Trong trường hợp này, khi giả thiết sai, học sinh sẽ rút ra kết luận sai.
Tập xác định: x e IR Từ giả thiết: ^ x - 4x + 9 — ^ x - 4x + 8 = 2
4>Jx 2 - 4x + 8 = — 3 vii ỵjx 2 - 4x + 9 _ yj.\" - 4x + 8 = 2 viii e 0
Vậy không tính được giá trị của M.
Vậy x = — 4 thỏa yêu cầu bài toán.
Học sinh không nắm vững hằng đắng thức: = { - A n ế U A 0) và thiếu 1 trường hợp còn lại (x < 0)
Do đó, nghiệm sẽ không đầy đủ.
Ví dụ 12: (Bài 34 trang 49_Tập 2_ Toán 8_ SGK)
Tìm sai lầm trong các “lời giải” sau: a) Giải bất phương trình: — 2x > 23
Ta có: —2x > 23 x > 23 + 2 x > 25 Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 25
Vậy bất phương trình có nghiệm là x > — 28.
Sai lầm và nguyên nhân: a) Với lời giải trên thì nghiệm của bất phương trình là x > 25 Xét x = 26:
Suy ra x = 26 không phải là nghiệm của bất phương trình (mâu thuẫn)
Học sinh thường nhầm lẫn giữa phép nhân và phép cộng khi làm bài toán, dẫn đến việc thực hiện phép chuyển vế không chính xác Trong trường hợp này, lời giải áp dụng phép tương đương, nhưng hai mệnh đề không có cùng giá trị chân lý, do đó phép tương đương được sử dụng là sai.
12 Với lời giải trên thì nghiệm của bất phương trình là x > - 28
Suy ra x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình (mâu thuẫn)
Học sinh thường không hiểu rõ tính chất của bất phương trình, đặc biệt là khi nhân hai vế với một số âm sẽ làm thay đổi chiều của bất đẳng thức Trong trường hợp này, việc sử dụng phép tương đương là không chính xác, vì hai mệnh đề không có cùng giá trị chân lý Do đó, cần phải cẩn trọng khi áp dụng phép tương đương trong giải bất phương trình.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < ix 3 b) - 7 x > 12 ix.12
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -28.
Vạy nghiệm của bất phương trình là x > -2011.
Với lời giải trên thì nghiệm của bất phương trình là x > -2011.
Xét x = 0, bất phương trình đã cho trở thành:
Do đó x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình (mâu thuẫn với lời giải trên)
Khi giải phương trình tích, cần chú ý đơn giản hóa các biểu thức khác 0 Học sinh thường nhầm lẫn giữa phương trình và bất phương trình, dẫn đến việc áp dụng sai quy tắc Do đó, việc hiểu rõ tính chất của bất đẳng thức là rất quan trọng: “Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, bất đẳng thức mới sẽ ngược chiều so với bất đẳng thức ban đầu.”
Như cách giải trên nhưng sửa lại từ chỗ:
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -2011
Giải bất phương trình sau: x — 2 < 0 Điều kiện: x # 0 x 2 +1
Vậy nghiệm của bất phương trình: x < 0
Với lời giải trên thì nghiệm của bất phương trình là x < 0
Xét x = 1, bất phương trình đã cho trở thành:
Suy ra x = 1 cũng là nghiệm của bất phương trình.
Vậy kết luận: “nghiệm của bất phương trình: x < 0” là sai.
Như vậy, đây là phép tuyển gồm hai trường hợp Ở đây lời giải chỉ xét trường hợp A #: 0,
Lời giải đúng: x 2 +1 x - 2 < 0 Điều kiện: x # 0 x 2 + 1 x
Vậy nghiệm của bất phương trình: Ọ x < 0
2.2.I.6 Nghiệm của phương trình bậc hai
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2 X 2 - 5X + m - 1
Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của (1)
Theo định lí Viét ta có: Ọ X 1 + x 2 = 5 Ọ X X = m- 1 Ọ x 1 x 2 =m - 1
(1) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2.
Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt X 1 = 2 và X 2 = 3 (mâu thuẫn yêu cầu bài toán).
32 ũ A > 0 ũ 25 - 4(m - 1) > 0 ũ „ ũ 1 „ ũ x 1 > 2 õ x 1 + x 2 > 4 Ở đây mệnh đề tương đương gồm mệnh đề thuận: ũ x > 2 ũ X1 X2 > 4
Mệnh đề tương đương đúng khi cả hai mệnh đề thuận và đảo cùng đúng hoặc cùng sai.
Mệnh đề thuận là đúng.
Mệnh đề đảo: ũ x 1 + x 2 > 4 ũ x 1 > 2 ũ,— " ũ _ „ ũ xx > 4 ũ x 2 > 2 Jà sai. ũ x 1 = 5 ũ 5 + 1 > 4 ũ x _1 ũc ,1 „
Tồn tại : ũ X2 sao cho: ũ ■ > ũ 5 > 2 Mà ũ 1 c 2 ũ x 1 = 5 ũ x = 1 Như vậy ũ X2 không thỏa mệnh đề đảo.
Do đó, mệnh đề tương đương là sai.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2
Cho phương trình sau: x - (2m - 3)x + m - 2m + 2 = 0 Định m để phương trình có hai nghiệm X1 , X2 thỏa mãn x ' + x 2 2013 đạt giá trị nhỏ nhất.
1 Phương trình có hai nghiệm △ > 0 4m - 1 < 0 m < 4
Theo hệ thức Vi-ét ta có: ũ X 1 + x 2 = 2m - 3
Vậy giá trị nhỏ nhất là -2016
Với m = 2, phương trình đã cho trở thành: x - x + 2 = 0 (1)
Khi đó, phương trình (1) vô nghiệm.
Suy ra với m = 2 không thỏa yêu cầu bài toán là phương trình có hai nghiệm.
Do đó, dấu “=” ở x ' + x 2 - 2013 > - 2016 không xảy ra.
Phương trình có hai nghiệm m < 4 Ở đây, lời giải không “hội” với điều kiện để phương trình có 2 ngiệm.
Do đó, học sinh sử dụng giả thiết không có để suy ra kết luận dẫn đến phép suy diễn sai n 29
1 Phương trình có hai nghiệm △ > 0 4m - 1 < 0 m < 4
Theo hệ thức Vi-ét ta có: ũ x 1 + x 2 =2m - 3 ũ 2 ũ x 1 x 2 = m - 2m + 2
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: ũ x 1 + x 2 =- (mm + 1) ũ 12 ■■ ũ x 1 x 2 = m - 2
Vậy m = 2 hoặc m = -2 thỏa mãn bài toán.
Với m = 2 thì phương trình đã cho trở thành: x
Nguyên nhân sai lầm: Đây là mệnh đề hội Bài toán cần kết hợp xét thêm điều kiện X 1 , X 2 # 0 để thỏa mãn 2x 1 - 1
Lời giải không kết hợp điều kiện của X 1 , X 2 # 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
0 x 1 x 2 =m - 2 Để hai nghiệm của phương trình khác 0 thì m # 2
Vì m # 2 nên m = —2 thỏa mãn bài toán.
Vậy m = —2 thỏa yêu cầu bài toán.
Tìm điều kiện của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.
Phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt ô A ' > 0
Vậy m < 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Sai lầm: m = — 1 thì phương trình đã cho trở thành: 2x + 1 = 0
Do đó, phương trình chỉ có 1 nghiệm là x = 2 không thỏa yêu cầu bài toán.
Học sinh chưa nắm vững định nghĩa phương trình bậc hai. ax 2 + bx + c = 0 (a # 0)
Để phương trình bậc hai tồn tại, hệ số a phải khác 0 Vì vậy, để giải bài toán, cần đảm bảo điều kiện tồn tại của phương trình bậc hai và điều kiện để phương trình có hai nghiệm.
Ta có: A' = m 2 - (m + 1)(m + 2) = —3m - 2 ũ m + 1 / 0 Phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt ô ũ A > 0 ũ m + 1 / 0 ũ - 3m - 2 > 0
Vậy với ũ 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
2.2.I.7 Giá trị của biểu thức
Ví dụ 19: Cho biểu thức: B = + 2 — 3y fx - 1 — 3 x + 5y ỉx - 2
Tìm các giá trị của x e Q để B nhận giá trị nguyên.
Kết luận này có thể đúng hoặc sai, do đó, việc áp dụng kiểu quy nạp không hoàn toàn là cần thiết Mặc dù xuất phát từ tiền đề đúng, nhưng kết luận được rút ra vẫn có thể không chính xác.
Do x E Q nên + 2 cũng có thể không là số nguyên nên không thể khẳng định + 2 là ước của 5 được.
Lời giải như trên và sửa lại từ chỗ:
5 Để B là số nguyên thì + 2 là số nguyên
Ta có + 2 > 2 với mọi x thỏa điều kiện xác định.
Như vậy + 2 nhận giá trị 1 hoặc 2
+ Với + 2 = 1 thì + 2 = 5 Jx = 3 x = 9 (thỏa điều kiện)
+ Với Jx + 2 = 2 thì Jx + 2 = 2,5 = 2 x = 4 (thỏa điều kiện)
Cho x # 0 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x x x + — 1 Đặt y = x
Dấu đẳng thức xảy ra y - 1 = 0 y = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.
Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của A là 2
Học sinh suy diễn khi sử dụng giả thiết không có nên dẫn đến kết quả mâu thuẫn.
Suy diễn là quá trình suy luận dựa trên các quy tắc của lôgic mệnh đề Để có được kết luận chính xác, cần phải xuất phát từ những mệnh đề đúng.
Lời giải sai vì không tồn tại giá trị của x để y = 1 Do đó, dấu “=” không thể xảy ra.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3.
(d 2 ): y = 3x + 1 - 2m Tìm tham số m để hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) song song với nhau.
Hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) song song với nhau khi
Vậy khi m = 2 thì hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) song song với nhau.
Học sinh chưa nắm vững về điều kiện hai đường thẳng song song:
41 Ọ, (d i ) // (d2) ~ Ọ b Đây là mệnh đề hội nên cần phải kết hợp 2 điều kiện với nhau Trong khi lời giải chỉ xét
1 diều kiện nên dẫn đến kết luận sai.
Vậy không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
2.2.I.9 Bất đẳng thức tam giác
Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 < 2( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )
Do a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác nên | b - c | < a ô• b 2 - 2bc + c 2 < a 2 ô• b 2 + c 2 - a 2 < 2bc
Khi góc A lớn hơn 90 ° thì a 2 > b 2 + c 2
Suy ra (b 2 + c 2 - a 2 ) 2 < (2bc) 2 là không chặt chẽ
Học sinh áp dụng phép kéo theo từ giả thiết đúng để rút ra kết luận, tuy nhiên, kết luận này có thể đúng hoặc sai Vì vậy, mệnh đề kéo theo có tính chất không chắc chắn, dẫn đến việc phép kéo theo không được coi là chặt chẽ.
Học sinh cần chú ý rằng: { AA B B 0 A 2 < B 2
Do đó, để rút ra kết luận trong trường hợp này là phép hội.
Học sinh khi bình phương hai vế mà không xét điều kiện của A và B. Ở bước biến đổi: b 2 + c 2 — a 2 < 2bc (b 2 + c 2 — a 2 ) 2 < (2bc) 2 là chưa đúng Nếu b 2 + c 2 — a 2
< 0 và | b 2 + c 2 — a 2 | > 2bc thì bước đó đã sai.
Khi góc A lớn hơn 90° thì a 2 > b 2 + c 2 , khi đó không thể có b 2 + c 2 — a 2 > 0
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên: ũ b - c - a < 0
■ b - c + a > 0 ũ b + c - a > 0 ũ b + c + a > 0 (bất đẳng thức trong tam giác)
Do đó, bất đẳng thức (2) đúng.
Vậy bất đẳng thức (1) đúng.
2.2.1.10 Phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 23: (Bài 13 trang 13_Tập 2_ Toán 8_ SGK)
Bạn Hòa giải như sau: x(x+2) = x(x+3) ô x + 2 = x + 3 ô x - x = 3 - 2 ô 0x = 1 (vụ nghiệm)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Sai lầm và nguyên nhân: x = 0 là nghiệm của phương trình.
Học sinh chưa nắm vững:
A = 0thì phương trình thỏa mãn
A ■ 0 thì phương trình trở thành: B =C Đây là phép tuyển gồm 2 trường hợp Học sinh xét thiếu trường hợp A = 0 nên dẫn đến kết luận sai.
+ Với x = 0 thỏa (1) nên x = 0 là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0
Vậy phương trình có nghiệm: x =0
Ví dụ 24: (Bài 50b trang 33_Tập 2_ Toán 8_ SGK)
151 Vậy nghiệm của phương trình: S = { xi }
Sai lầm và nguyên nhân:
Thay x = 12 vào phương trình (1) ta được:
Học sinh chưa nắm vững và còn nhầm lẫn về quy tắc bỏ dấu ngoặc khi trước dấu ngoặc là dấu “ - ”.
Vậy nghiệm của phương trình: S = 0
Ví dụ 25: (Bài 52c trang 33_Tập 2_ Toán 8_ SGK)
Giải phương trình: x + 1 + x - 1 _ 2( x 2 + 2) x - 2 x + 2 x 2 - 4 (1) ĐKXĐ: x # 2 và x # -2
Vậy phương trình có vô số nghiệm.
Sai lầm phổ biến là cho rằng x = 2 hoặc x = -2 là nghiệm của phương trình, trong khi thực tế chúng không thuộc tập xác định Học sinh thường không kết hợp nghiệm đã tìm được với điều kiện xác định của bài toán Để giải đúng, cần lưu ý rằng x phải khác 2 và x phải khác -2, từ đó mới có thể đưa ra kết luận chính xác về nghiệm của phương trình.
Lời giải đúng: ĐKXĐ: x # 2 và x # -2
Vậy phương trình có vô số nghiệm: S = { x (E IRỊ x # 2; x # -2}
2.2.1.11 Tỉ số của hai số
Ví dụ 26: (Bài 140 trang 58_Tập 2_ Toán 6_ SGK)
Một con chuột nặng 30g còn con voi nặng 5 tấn.
Tỉ số giữa khối lượng của chuột và khối lượng của voi là 5 = 6 Nghĩa là 1 con chuột nặng bằng 6 con voi!
Em có tin như vậy không? Sai lầm là ở chỗ nào?
Sai lầm và nguyên nhân:
Khi lập tỉ số, học sinh thường chỉ chú ý đến hai con số mà bỏ qua đơn vị đo, trong khi thực tế, các bài toán thường đi kèm với đơn vị Do đó, việc không đưa các số liệu về cùng một đơn vị đo có thể dẫn đến sai sót trong quá trình giải quyết bài toán.
Lời giải đúng: Đổi: 5 tấn = 5.000.000 g
Tỉ số giữa khối lượng của chuột và khối lượng của voi là 5000000 3
Vậy con voi nặng hơn con chuột.
Ví dụ 27: (Bài 27 trang 16_Tập 2_ Toán 6_ SGK)
Một học sinh đã rút gọn như sau:
Bạn đó giải thích: “Trước hết em rút gọn cho 10, rồi rút gọn cho 5”.
Bạn sai ở chỗ nào? Vì sao?
Sai lầm và nguyên nhân:
Để rút gọn một phân số, bạn cần chia cả tử số và mẫu số cho một ước chung (khác 1 và -1) của chúng Quy tắc này giúp đơn giản hóa phân số một cách hiệu quả.
Học sinh thường áp dụng kiểu suy luận nghe có lý, nhưng khi rút gọn phân số, họ dễ nhầm lẫn giữa phép cộng và phép nhân Để rút gọn phân số, cần phân tích tử số và mẫu số dưới dạng tích và chia cả hai với cùng một số khác 0 Tuy nhiên, nhiều học sinh nghĩ rằng có thể rút gọn bằng cách trừ đi số hạng giống nhau từ tử số và mẫu số khi chúng ở dạng tổng, dẫn đến sai lầm do sử dụng phép cộng thay vì phép nhân.
Ví dụ 28: (Bài 28 trang 38_Tập 2_ Toán 7_ SGK)
Bạn Đức đố: “Bậc của đa thức M = x 6 - y 5 + x 4 y 4 + 1 bằng bao nhiêu?”
Bạn Thọ nói: “Đa thức M có bậc là 6”.
Bạn Hương nói: “Đa thức M có bậc là 5”.
Bạn Sơn nhận xét: “Cả hai bạn đều sai”.
Theo em, ai đúng? Ai sai? Vì sao? Ạ Ạ
Bậc của đa thức được định nghĩa là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức Sai lầm thường gặp liên quan đến việc xác định bậc này có thể xuất phát từ việc không nhận diện chính xác hạng tử cao nhất Việc hiểu rõ định nghĩa và cách xác định bậc đa thức là rất quan trọng để tránh những sai sót trong quá trình giải toán.
Để xác định bậc của đa thức, cần xem xét bậc của từng hạng tử đối với tất cả các biến có trong đa thức, không chỉ tập trung vào một biến cụ thể.
