 Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  RÚT GỌN CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN §0 CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN A2 =| A | AB = A A = ( A  0, B  0) (Khai phương thương) B B A2 B =| A | B ( B  0) (Đưa thừa số dấu căn) A B ( A  0, B  0) (Khai phương tích) A B = A2 B ( A  0, B  0) (Đưa thừa số vào dấu căn) A B = − A2 B ( A  0, B  0) (Đưa thừa số vào dấu căn) A = AB ( AB  0, B  0) (Khử mẫu biểu thức lấy căn) B |B| A A B = ( B  0) (Trục thức mẫu) B B C C ( A B) = ( A  0, A  B ) (Trục thức mẫu) A− B AB C C( A B) = ( A  0, B  0, A  B) (Trục thức mẫu) A− B A B §1 ĐỊNH NGHĨA CĂN BẬC HAI 1.1 TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHƠNG CHỨA THAM SỐ Bài (Khánh Hịa 2009) Cho A = + 15 B = − 15 Hãy so sánh A+B AB § CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC I A2 =| A | CĂN THỨC BẬC HAI Bài (HCM 1997 – 1998) Tìm tất giá trị A để biểu thức x − có nghĩa Bài (HCM 1996 – 1997) Cho A = x − a Tìm điều kiện xác định A b Tìm x cho A = Bài (HCM 1991) Tìm tập xác định y = x − + Bài (Thái Bình 1994 – 1995) Tìm x: x −3 x + − = Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  Bài (HCM 1993 – 1994) Giải phương trình x−4 = 2− x Bài (HCM 1995-1996) Giải phương trình x−4 = 4− x Bài (HCM 1994-1995) So sánh + Bài (Huế 1994-1995) Cho biểu thức A = −2 x3 + x2 − x − Tính giá trị A x = II HẰNG ĐẲNG THỨC 1+ A2 =| A | − 9−4 Bài (Thái Bình 2005-2006) Tính (2 − 3) + − Bài (HCM 1994-1995) Rút gọn Bài (Lâm Đồng 1996-997) Tính A = + + − Bài (Hồ Chí Minh 2008) Rút gọn A = − − + Bài (Lâm Đồng 1995-1996) Tính A = 24 + 16 − 24 − 16 Bài (Vinh 2004 – 2005) Rút gọn A = + 15 − 15 + 2 2 x − 1, x  Bài (Lâm Đồng 1999) Chứng minh x + ( x − 1) =  1, x  Bài (Bình Dương 2010) Rút gọn M = 16 x + x + Tính giá trị M x = Bài (HCM 1994-1995) Rút gọn khơng cịn dấu dấu giá trị tuyệt đối: Bài 10 ( TNHCM 1991) Rút gọn A = a − 6a + x2 − 6x + x −3 Bài 11 (Huế 1995-1996) Rút gọn A = x + x − x + Bài 12 (Quốc Học Huế 1997 – 1998) Rút gọn P = x + x + − x − x + Bài 13 (Nam Định 2009) Tìm x, biết Bài 14 (Huế 2002 – 2003) Giải pt (2 x − 1) = x − x + = 49 Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  x2 − x + = Bài 15 (Huế 1994-1995) Giải pt x2 − x + − = Bài 16 (Quận 2017) Giải phương trình Bài 17 (Chun Lê Q Đơn Bình Định 2005 – 2006) Giải pt Bài 18 (HCM 1992 -1993) Cho pt x2 − x + + x = x2 − x + = + − − a Rút gọn vế phải pt b Giải phương trình Bài 19 (Hải Phòng 1995 – 1996) Rút gọn M = Bài 20 (Cần Thơ 2010) Cho biểu thức E = − 4m − 4m + 4m − x2 − x + 2x −1 a Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa b Rút gọn biểu thức cho với x  ( x − 1)2 − ;x  Bài 21 (TN Hải Phòng 1999) Cho M = x−2 a) Rút gọn M b) Tính giá trị M x = x − x2 − x + 1 (x  ; x   ) Bài 22 (Nam Hà 1995 – 1996) Rút gọn C = − 49 x Bài 23 (Nguyễn Thượng Hiền + Nguyên Thị Minh Khai) Rút gọn A = x + x −1 + x − x −1 Bài 24 (Lê Quý Đôn HCM 1996 – 1997) Rút gọn A = x − + x − − x + − x − Bài 25 (Ba Đình 1992 – 1993) Rút gọn A = x − − x − − x + − x − ,3  x  Bài 26 (Hùng Vương HCM 1997-98) Cho A = a + a − + a − a − a Tìm đk b Tính A a  Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  § + LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG Bài (Huế 2008) Tìm x, biết 3x − 12 x + 27 x = 28 x + + 16 x + 48 = + x + 27 Bài (Tây Hồ 2017) Giải phương trình Bài (Huế 2006) Rút gọn A = x (9 x − x + 1);0  x  3x − § + BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Bài (HCM 2009) Rút gọn A = 15 − + + 1+ 5  14 − 15 −  + Bài (An Giang 2009) Không dùng máy tính, tính A =   : −1 −1  −  6−2 − 20 Bài (Hải Phòng 1999 – 2000) Rút gọn Bài (Phú Yên 2009) Trục mẫu: A = 25 ;B = 7+2 4+2 §8 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA THAM SỐ Bài (Hồ Chí Minh 2006) Rút gọn A = 15 − 12 − −2 2−  216 −  − Bài (Huế 1994-1995) Tính   −    − 5−  + Bài (Đà Nẵng 2011) Rút gọn Q =   : −1  −  −1 Bài (Hồ Chí Minh 2007) Rút gọn a A = 4−2 6− b B = (3 + 6) − 3 Bài (HCM 2010) Rút gọn biểu thức a A = 12 − − 21 − 12 Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Toán Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  2  5  3 b  + + − −  +  − + + −  2  2  Bài (HCM 2012) Rút gọn A = (2 − 3) 26 + 15 − (2 + 3) 26 − 15 Bài (Hồ Chí Minh 2011) Rút gọn A = 3−4 3+4 − +1 5−2 RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA THAM SỐ Bài (Đồng Tháp 2012) Rút gọn C = x +1 − : ; x  0, x  x −3 x −9 x +3 Đáp số: C = Bài (Hồ Chí Minh 2012) Rút gọn B = Đáp số: B = x + − ; x  0, x  x + x x −1 x − x x Bài (HN 2021) Cho hai biểu thức A = minh A + B = x x 3x + B = , với x  0; x  Chứng − x −3 x −9 x +3 x +3  x −1 x +1    − Bài (Hà Nam 1999) Rút gọn A =    x −  x −1   x  x +1 Đáp số: A = -4  a + a  a − a  Bài (Lê Hồng Phong 1990-1991 Ban C, D) Rút gọn 1 + 1 −  (a  0; a  1) a +  a −    Đáp số: – a  a −2 a +2   − Bài (Hồ Chí Minh 2006) Rút gọn B =    a −  ; a  0, a  a + a − a     Đáp số B = −8 a +1     a −1 − Bài (Hải Dương 2008) Rút gọn P = 1 −    ; a  0; a  a −   a  a + Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  Đáp số: P = − a a   x  − Bài (Lam Sơn 2005 – 2006) Cho M =  x +    x +   x + x +   a Tìm điều kiện xác định M b Rút gọn M Đáp số: a) x  b) M = x +1 x +1  x −1  Bài (Huế 2007) Rút gọn B =  − ( x  0; x  1) : x +1  x + x +1  x+ x Đáp số: B = − x +1 x Bài 10 (Hồ Chí Minh 2008) Rút gọn  x −1 x −1  x x + 2x − x − B =  − ( x  0; x  4)  x − x + x + x   Đáp số: B = 4( x − 1) x Bài 11 (HCM 1999) Rút gọn A = a a −1 a a +1 − (a  0; a  1) a− a a+ a Đáp số: A =  x+ y x − y   x + xy  + : Bài 12 (HCM 2009) Rút gọn B =   − xy + xy   − xy    Bài 13 (Lê Hồng Phong 1994-1995 + Quốc Học Huế 1997-1998) Cho A = x +1 : x − x x x +x+ x a Tìm tập xác định A b Rút gọn A Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  Bài 14 (Lê Hồng Phong 2004 – 2005) Rút gọn A = x2 − x x2 + x − + x + 1( x  0) x + x +1 x − x +1 Đáp số: A = x − x + Bài 15 (Lê Hồng Phong 2004-2005) Rút gọn  2+ x x −  x x + x − x −  B =  −   ( x  0)  x − x + x + x    Đáp số: B = 2  a −1 a +1    + Bài 16 (Lê Hồng Phong 2006-2007) Rút gọn B =   1 −  (a  0; a  1) a −   a +   a +1 Đáp số A = a −1 a +1 Bài 17 (Quốc Học Huế 2003 – 2004) Cho A = b ab − a − a a a Tìm đk để A xác định b Rút gọn A RÚT GỌN RỒI TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài (Lai Châu 2019) Cho M = 1 x + − x −2 x +2 4− x a) Tìm điều kiện để biểu thức M có nghĩa b) Rút gọn biểu thức c) Tính giá trị M biết x = 16    − Bài (HCM 1997 – 1998) Cho biểu thức M =  1 −  với a  1, a  a  − a + a  a Rút gọn M b Tính giá trị M a = Đáp số:  + a −1 + a   a −1  a) M =     = (1 − a )(1 + a ) a    = a a −1 =− (1 − a )(1 + a ) a 1+ a Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang  Nguyễn Văn Hiệp b) Thay a = Bài tập Rút gọn Căn thức  M =− =− 1+  x  x + ( x  0; x  1) Bài (Nam Định 2010) Cho biểu thức P =   x +1 x + x +  x −1 a Rút gọn P b Chứng minh x = + 2 P = Đáp số a) P = =  x +2+ x− x  x x Ta có P =   x −1  ( x − 1)( x + 1)  x + x + x+ x +2 x x = x −1 x + x + x −1 b) Ta có x = ( + 1)  x = + nên P = Bài (Thanh Hóa 2019) Cho A = +1 = 2+2 2 x +2 , với x  0; x  − − x +3 x+ x −6 x −2 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = +   1   + − Bài (TN Hà Nam 1999) Cho A =  , với a  0; a  : +  1− a 1+ a   1− a 1+ a  a a) Rút gọn A b) Tính giá trị A a = + 2 Đáp số a) A = b) A = a ( + 1) = 3( − 1) = 2( + 1) 2 x+x   x +2  − Bài (TN Hà Nội 1993) Cho biểu thức B =   : 1 −  x −   x + x +   x x −1 a Rút gọn B Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  B x = + b Tính Đáp số a) B = x −1 B= b) +1 Bài (TN Hà Nội 1997) Cho P = 2a + a +2 + − a a −1 a + a + a −1 a Rút gọn P b Tính giá trị P a = − 2 Đáp số: a) Ta có P = 2a + a +2 + − ( a − 1)(a + a + 1) a + a + a −1 = 2a + + ( a + 2)( a − 1) − 2(a + a + 1) ( a − 1)(a + a + 1) = 2a + + a + a − − 2a − a − ( a − 1)(a + a + 1) = a− a a ( a − 1) a = = ( a − 1)(a + a + 1) ( a − 1)(a + a + 1) a + a + b) P = P= = 2 −1 Với a = − 2 = ( − 1)  a = − nên −1 − ( − 1)(3 + 2) = = 9−2 − 2 + −1 +1 − + − − 2 −1 = 7  a   a − Bài (Vĩnh Phú 1995 – 1996) Cho A = 1 −  :   a + a + a a + a + a +     a Rút gọn A b Tính giá trị A a = 1996 − 1995 Đáp số a) A = a + b) A = 1995 Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Toán Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức    x+ x  x Bài (HÀ TÂY 2008) Cho biểu thức: M =   x x + x + x + + x +  :  x − − x x − x + x −  ( x  0; x  1)    a Rút gọn M b Tính giá trị M x = + + − Đáp số: x +1 x −1 a) M = b) x =  M =   x 3  + + + 1 Bài 10 (Quốc Học Huế 1998 – 1999) Cho biểu thức A =     x + x + x − 27  x  a Rút gọn A b Tính giá trị A x = + Đáp số a) A = x− b) A = Bài 11 (HN 1993) Cho biểu thức M = ( x +1 2x + x x +1 2x + x + − 1) : (1 + − ) 2x +1 2x −1 2x +1 2x −1 a ) Rút gọn M b ) Tính M x = (3+2 ) Đáp số a) M = − x b) M = −( + 1) ( a − b )2 + ab ab : Bài 12 (Quãng Ngãi 2008) Cho biểu thức P = a+ b a b −b a a Tìm điều kiện a, b để biểu thức P xác định rút gọn P b Tìm giá trị P a = 15 − + 33 − 12 ; b = 24 Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 10  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức   x x 3x +   x −  + − − 1 , với Bài 24 (Long Biên 2017) Cho biểu thức P =   :  x − x + x − x −     x  0, x  a) Rút gọn P b) Tìm x để P đạt giá trị lớn Bài 25 (Cầu Giấy 2017) Cho A= x− x +2 x +3 B= x +2 x +4 + − , với x +3 x −2 x+ x −6 x  0, x  a) Rút gọn B b) Cho M = B : A Tìm x để M có giá trị lớn RÚT GỌN RỒI TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT Bài (Hà Nội 2019) Cho hai biểu thức A = ( ) B =  15 − x +1 25 − x x  x +1 + , với  : x +  x −  x − 25 x  0, x  25 a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn Bài (Ngô Sĩ Liên 2021) Cho hai biểu thức N = 24 M = x +6 x 17 x + 30 , + + x − 36 x +6 x −6 với x  0; x  36 1) Tính giá trị biểu thức N x = 2) Rút gọn biểu thức M 3) Tìm số nguyên x để biểu thức P = N.M có giá trị nguyên lớn Bài (Trưng Vương 2017) Cho hai biểu thức A =  x x  x x +2 + B =   : x −3 x −3 1+ x  x− x −6 với x  0, x  a) Tính giá trị A x = 36 b) Rút gọn biểu thức B c) Với x  , tìm giá trị lớn biểu thức P = A.B Bài (Hồn Kiếm Kì – 2017) Cho hai biểu thức A =  x +1 x  x− x B =  , +  x − x −1 x − x +   với x  0, x  a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Rút gọn B c) Với x  , x  Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P = A.B Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 33  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  x −2 x −1 x 2−5 x B = , với x  0, x  − − x−4 x +2 x +2 2− x 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị lớn biểu thức M = A.B , x  , x  101 Bài (Trưng Vương 2019) Cho A = Bài (Trưng Vương 2021) Cho hai biểu thức N = 24 M = x +6 x 17 x + 30 , + + x − 36 x +6 x −6 với x  0; x  36 1) Tính giá trị biểu thức N x = 2) Rút gọn biểu thức M 3) Tìm số nguyên x để biểu thức L = N.M có giá trị nguyên lớn RÚT GỌN VÀ TÌM ĐK ĐỂ PT, BPT CĨ NGHIỆM Bài (KSCL Ngơ Sĩ Liên 2017) Cho hai biểu thức A = x +9 x+2 x B = , với − x −1 x+ x −2 x +2 x  0, x  1) Tính giá trị biểu thức A x = A x +9 2) Chứng minh = B x +1 A = m có nghiệm x B x −2 x x +1 + B = , với x  0; x  x −1 x +1 x −1 3) Tìm tất giá trị m để phương trình Bài (Ngơ Sĩ Liên 2020) Cho biểu thức A = a) Tính giá trị A x = 25 b) Chứng minh B = x +1 x −1 c) Tìm tất giá trị m để phương trình Bài (Trưng Vương 2021) Cho hai biểu thức A = − x  0; x  A = m có nghiệm B x x +1 + B = , với x +1 x + 9x −1 1) Tính giá trị biểu thức B x = 64 − 27 2) Rút gọn biểu thức A tính P = A : B 3) Với m  1, chứng tỏ phương trình P = m có hai nghiệm phân biệt ƠN TẬP CHƯƠNG I Bài (Lê Hồng Phong 1992 – 1993 Ban C, D) Cho y = x − 11 x−2 −3 a Tìm tập xác định y b Rút gọn y cách loại bỏ dấu c Tính giá trị y x = 23 −12 Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 34  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  Bài (Hà Nội 2013) Cho A = 2+ x x −1 x +1 ;B = + ( với x > 0) x x x+ x a Tính giá trị biểu thức A x = 64 b Rút gọn biểu thức B c Tìm x để A  B Đáp số a) A = b) B = c) x +2 x +1 A    x  B   x −1 − x   Bài (Ngô Sĩ Liên) Cho P =  x − +  , với x  0; x  : x   x x + x   a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 2+ c) Tìm x thỏa mãn P x = x − − x − Bài (Ngô Sĩ Liên) Cho A = x+2 x− x +3 B = , với x  0; x  − x + x +1 x −1 x x −1 a) Tính giá trị B x = 36 b) Rút gọn biểu thức A c) Đặt P = A : (1 − B ) Tìm x để P  −1 Bài (Trưng Vương) Cho biểu thức C = x x −1 x x +1 x +1 − + , với x  0; x  x− x x+ x x a) Rút gọn C b) Tìm x để C = c) So sánh C Bài (HN 2012) a ) Cho biểu thức A = x +4 Tính giá trị biểu thức x = 36 x +2  x  x + 16 + b ) Rút gọn biểu thức B =  (với x  , x  16 ) : x −  x +  x +4 Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 35  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  c ) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B.(A-1) số nguyên Đáp số a) A = b) B = x +2 x − 16 c) B( A − 1) = x − 16 Từ x = 17;15;18;14 Bài (Ngô Sĩ Liên 2016) Cho hai biểu thức A = x x +1 2x + x + B = , với − x + x +1 x x +1 x +1 x0 a) Rút gọn biểu thức A tính giá trị A x = b) Rút gọn biểu thức M = A.B Tìm x để M  c) Tìm giá trị x để M nhận giá trị ngun Bài (Giữa Kì I Ngơ Sĩ Liên 2018) Cho hai biểu thức P = x +5 Q = x −2 x −1 x − , với − 4− x x +2 x  0; x  a) Tính giá trị P x = b) Chứng minh Q = c) Đặt M = x x −2 Q Tìm x để M  P d) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị số nguyên  x −2  Bài (Nghệ An 2012 – 2013) Cho biểu thức A =  +  x −2 x  x +2 a) Tìm đk xác định rút gọn A b) Tìm x để A  c) Tìm tất giá trị x để B = A đạt giá trị nguyên Đáp số a) A = b) A  x +2   x  Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Toán Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 36  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  64    x=3 x = B = 14   B  mà B nguyên nên  c) B = A =   3 x +6 B =  x=1 x =   Bài 10 (Giữa Kì I – Ams 2020) Cho hai biểu thức A = ( x −2 x+2 ) B = x −1 x − , với + x−4 x +2 x  0; x  x x −2 b) Tìm tất giá trị x cho B  c) Tìm giá trị thực x cho A.B nhận giá trị nguyên x x + − 11 x x −3 Bài 11 (Ngô Sĩ Liên) Cho A = ; B= , với x  0; x  + + 9− x x +3 x −3 x +1 a) Chứng minh B = a) Tính giá trị B x = 36 b) Rút gọn A c) Tìm x để P = A.B nhận giá trị số nguyên Bài 12 (Ngô Sĩ Liên) Cho P = 1 x+2 x −7 x −1 − ; Q= , với x  0; x  1; x  + x −9 3+ x x −1 3− x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = c) Đặt M = P : Q Tìm x để M  d) Tìm giá trị nguyên x để M nhận giá trị nguyên Bài 13 (Ngô Sĩ Liên) Cho biểu thức P = x +1 x 2+5 x , với x  0; x  + + 4− x x −2 x +2 a) Rút gọn P b) Tính giá trị x P = c) Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên Bài 14 (Ngô Sĩ Liên 2019) Cho biểu thức A = x −6 x −3 − + B = x−2 x 2− x x x −2 , với x +1 x  0; x  a) Tính giá trị biểu thức B x = b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm số nguyên x để AB  Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 37  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  Bài 15 (Giữa Kì I Ngơ Sĩ Liên 2019) Cho A = x+7 x x −1 2x − x − B = , với + − x −9 x x +3 x −3 x  0; x  a) Tính giá trị B x = 25 b) Chứng minh A = c) Tìm x để A  d) Đặt S = x x −3 + B Tìm giá trị nhỏ biểu thức S A Bài 16 (Ngô Sĩ Liên) Cho P = x x + 26 x − 19 x x −3 , với x  0; x  − + x + x −3 x −1 x +3 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = − 2 c) Tìm x để P = d) Tìm giá trị nhỏ P Bài 17 (Trưng Vương) Cho C = x x + 26 x − 19 x x −3 , với x  0; x  − + x + x −3 x −1 x +3 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm x để C ( ) x + = 10 x c) Tìm giá trị nhỏ C Bài 18 (Trưng Vương) Cho D = x+2 x +1 + + , với x  0; x  x x −1 x + x + 1 − x a) Rút gọn D b) Chứng minh D  c) Tìm x để D = d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Bài 19 (Ngô Sĩ Liên) Cho P = + x D x x −4 + − , với x  0; x  x −1 x −1 x +1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = −1 c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) So sánh P với e) Tìm giá trị nhỏ P Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 38  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  Bài 20 (Trưng Vương) Cho A = x +1 x −1 x +1 , với x  0; x  + − x −1 x −1 x +1 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = − c) Tìm x để A = − d) Tìm x để A  e) Tìm x để A  f) Tìm x nguyên để A nguyên g) Tìm x để A ( ) x +1 = −x h) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ ( ) i) Tìm giá trị lớn biểu thức P = A − x + x Bài 21 (Trưng Vương Kì I – 2015) Cho hai biểu thức A = B= x −9 x −3 x −5 x +3 , với x  0; x  + + x −9 x −3 x +3 a) Khi x = 36 , tính giá trị biểu thức A b) Rút gọn biểu thức B x c) Tìm x để B = d) Với x  , tìm giá trị nhỏ P = A.B Bài 22 (Kì I Hồn Kiếm 2017) Cho biểu thức A = − B= x 1+ x ; x +3 x +2 x +2 + + , với x  0, x  4, x  x − 3− x x −5 x + a) Hãy tính giá trị biểu thức A x = 16 b) Rút gọn B c) Xét biểu thức T = A Hãy tìm giá trị nhỏ T B Bài 23 (Trưng Vương) Cho biểu thức B = x −9 x + x +1 − − , với x  0; x  4; x  x −5 x +6 x − 3− x a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị biểu thức B x = 3− c) Tìm giá trị nguyên x để B nhận giá trị nguyên d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = B Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 39  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức   x  x +1 Bài 24 (Trưng Vương) Cho E =  , với x  0; x  +  : x −1  x + x +  x x −1 a) Rút gọn biểu thức E b) Tính giá trị biểu thức E biết x = + 2 − − 2 c) Tìm x để E  d) Tìm số tự nhiên x để E số tự nhiên e) Tìm x để E = x f) Với x  , so sánh E E   2x +1   + x3 x Bài 25 (Trưng Vương) Cho F =  − − x   , với x  0; x      x −1 x + x +   + x  a) Rút gọn biểu thức F b) Tìm x để F = c) Tìm x để F  − d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = F x e) So sánh M với − x Bài 26 (Đề Ơn Tập – Hồn Kiếm 2018) Cho hai biểu thức A = a −1 a +1  a    B =  − +  :    a −1 a − a   a + a −1  a) Tính giá trị biểu thức A a = b) Rút gọn biểu thức B B c) So sánh với A B ( A + 2) d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Bài 27 (Ơn tập Hồn Kiếm Kì – 2018) Cho hai biểu thức A = x −3 x x +2  x  x+9 , với x  0, x  B =  − : x +  x +  x −3 1) Tính giá trị biểu thức A biết x = 25 rút gọn B 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A.B 3) Tìm giá trị x để biểu thức A.B nhận giá trị nguyên Bài 28 (Thi Thử HN 2015) Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 40  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  x −1 Tính giá trị biểu thức x = 16 x +1  1  x +1 b) Rút gọn biểu thức B =  với x > 0, x  +  : x −1 x− x x −1 B c) Tìm giá trị x để A = d) Tìm giá trị lớn biểu thức P = B - x  x  x Bài 29 (Ngô Sĩ Liên) Cho P =  , với x  +  : x x + x + x   a) Cho biểu thức A= ( ) a) Rút gọn P b) Tìm x để P = −1 c) Tính giá trị P x = 8 − −1 +1 d) Tìm x để P  x + e) So sánh P với f) Tìm giá trị nhỏ P Bài 30 (Ngô Sĩ Liên) Cho biểu thức P =  x +1 x+ x 2− x  :  − +  , với x  0; x  x − x +1  x − x x − x  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P  c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P = e) Với x  , tìm giá trị nhỏ P     Bài 31 (Ngô Sĩ Liên) Cho biểu thức P =  − :  1+  x −1 x + x −    ( 3− x )( x −1   , với x +2   ) x  0; x  a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = − c) Tìm x để P = x d) Tìm x để P  − x e) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên f) Tìm giá trị nhỏ P Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 41  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  Bài 32 (ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 1994) Cho biểu thức   2a +   + a3 a P =  − − a       a −1 a + a +   + a  a Rút gọn P b Xét dấu biểu thức P − a Đáp số a) P = a −  P = a −1  b) Để − a có nghĩa suy a  mà a   a    suy P − a    1− a   a +1 a −1 a   a − a −  − − − Bài 33 (TN Hà Nội 1995 + HN 1992) Cho A =   :   a +1 a −1   a −1 a −   a −1 a Rút gọn A b So sánh A với Đáp số: a) A = a a+4 b) Xét A − = a −( a − 2) −1 =  nên A  a+4 a+4  x −4   x +2 x  + − Bài 34 (TN Hà Nội 2001) Cho biểu thức P =   :   x −2  x x −   x ( x − 2) a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = − c) Tìm giá trị n để có x thỏa mãn ( x + 1) P  x + n (*) Đáp số a) P = − x b) Tại x = −  P = − ( − 1) = − c) Ta có (*)  ( x + 1)(1 − x )  x + n  − x  x + n  − x − x +  n (1) Ta có A = − x − x +  1, x  0; x  nên để có x thỏa mãn (1) n  Bài 35 (Hùng Vương HCM 1995-1996) Cho A = 1+ x  x +2  −   (Đầu bài) x  x + x + 1 − x  Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 42  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  a Tìm đk b Rút gọn c Tìm x để A > d Tìm x để A  −1 Đáp số a) x  0; x  b) A = x (1 − x) c) A    x  d) A  −1   −1  x (1 − x) 1+ x − +1   x (1 − x)  x −4   2+ x x  + − Bài 36 (TN Hà Nội 2005) Cho P =   :   x − 2 x − x x x −     a Rút gọn P b Tính giá trị P x = 3− c Tìm m để có x thỏa mãn P = mx x − 2mx + (*) Đáp số a) P = x − b) P = 3− 6−2 5 −1 −1 = −1 = −1= −3  x = 2( L) c) Ta có (*)  x − = mx( x − 2) +  ( x − 2)(1 − mx) =   x =  m m  x   Mà    x  m   Bài 37 (Đồng Nai 2011) Cho biết a + b = a − + b − (a  1; b  1) Chứng minh a + b = ab Bài 38 (ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHU VĂN AN - HN AMS NĂM 1992 – VÒNG 1) Cho biểu thức  − a a  + a a  (1 − a)3 P =  + 1  + a − a  : + a  a −a   a Rút gọn P Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 43  Nguyễn Văn Hiệp b Với điều kiện để Bài tập Rút gọn Căn thức  P có nghĩa, so sánh P với P Đáp số a) P = a (1 − a ) b) Để có P  P   a  nghĩa  a (1 − a )  1.1 =  P = Khi   P 1 P  P a (1 − a ) Bài 39 (ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHU VĂN AN - HN AMS NĂM 2001– VÒNG 1) Cho biểu thức P= x +1 x + x +1 − − x −1 x x −1 x + x + a Rút gọn P b Tìm giá trị lớn biểu thức Q = + x P Đáp số a) P = − x x + x +1 b) Ta có Q = 2   + x = −2 −  x +   −2 − 2 P x  Từ có max Q = −2 − 2 đạt x =  x− y x x−y y Bài 40 (Trưng Vương) Cho D =  −  :  x− y x− y   ( x− y ) + xy x+ y , với x, y  0; x  y a) Rút gọn D b) Chứng minh D  c) So sánh D D Bài 41 (Huế 1995) Cho A = ( x + y ) − xy x− y ;B = x y+y x xy a) Tìm điều kiện xác định biểu thức b) Rút gọn A B c) Tính tích A B x = − 2; y = +   a a   a a a + − Bài 42 (Hà Nam 1999) Cho A =   :   (a, b  0)  a + b b − a   a + b a + b + ab  Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Toán Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 44  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  a) Rút gọn A b) Tính giá trị A a = + 2; b = − 2 c) Tìm a, b trường hợp Bài 43 (Hà tây 1996) Cho A = a = ; A = b x3 2x 1− x − với x, y  0; x  y; x  xy − y x + x − xy − y − x a) Rút gọn A b) Tìm tất giá trị nguyên dương x để y = 625 A  0, BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài (Hai Bà Trưng 2016) Cho biểu thức P = x +1  x +1  x−2 A =  , với +  x −1 x +  x −1  x+2 x x  0, x  a) Rút gọn biểu thức A b) So sánh giá trị biểu thức A với c) Tìm giá trị x để P ( x − 1) = A  1− x  Bài (Nguyễn Du 2016) Cho B =  , với x  0, x  − : x +1  x + x +1  x+ x a) Rút gọn B b) Tính B với x = 36 c) So sánh B với |B| Bài (Ba Đình 2016) Cho A = x −1  x −1 − x  : +  , với x  0, x  x  x x +  a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A x = c) Chứng minh A   x + x + 10  + Bài (Tây Hồ 2017) Cho A =  B = x + , với x  0, x   : x − − x x −   a) Tính giá trị biểu thức B x = 16 b) Rút gọn A c) Tìm x để A  B Bài (Bắc Từ Liêm 2017) Cho A = x +1 x +1 − B = , với x  0, x  x −1 x− x x −1 a) Tính giá trị A x = 25 Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 45  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  b) Rút gọn B c) Cho P = A.B So sánh giá trị P với Bài (Quận 2017) Cho hai biểu thức A = x −4 x x −4 + − B = , với x −1 x −1 x +1 x −1 x  0, x  a) Tính giá trị A x = b) Rút gọn B c) So sánh A.B với Bài (Quận 2017) Cho biểu thức P = x x x−2 x x −2 + − Q = , với x−4 x −2 x +2 x +2 x  0, x  a) Rút gọn P b) Tìm x cho P = c) Biết M = P : Q Tìm x để M  Bài (Cầu Giấy 2017) Cho A = x −5 B = x x x − , với x  0, x  25 x − x − 25 a) Tính giá trị biểu thức A x = 81 b) Cho P = A.B Chứng minh P = x +2 x +5 c) So sánh P P2 Bài (Hà Đông 2017) Cho biểu thức A = x 2x − x + + + 9− x x +3 x −3 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn A b) Tìm x để A = c) Tìm số nguyên x cho A có giá trị số nguyên Bài 10 (Long Biên 2016) Cho M = x x −3 , với x  0, x  − x − ( x − 1)( x + 2) a) Rút gọn M b) Tìm giá trị x để M = c) Tìm số nguyên x để M có giá trị số nguyên  x  + Bài 11 (Đan Phượng 2017) Cho A =  , với x  0, x   :  x −1 x −1  x −1 a) Rút gọn A Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 46  Nguyễn Văn Hiệp Bài tập Rút gọn Căn thức  b) Tìm x để A = c) Tìm giá trị nguyên x để A số nguyên Bài 12 (Đống Đa 2017) Cho biểu thức P = 3x + x − x +1 x −2 − + , với x  0, x  x+ x −2 x + 1− x a) Rút gọn P b) So sánh P với c) Tìm x để P , với điều kiện P có nghĩa số nguyên P  x −1  x + Bài 13 (Thanh Trì 2016) Cho B =  , với x   : x +1  x + x  x a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để B có giá trị c) Tìm giá trị nhỏ B Bài 14 (Nam Từ Liêm 2016) Cho A = a) Chứng minh A = x +3 x x +1 x+7 + + B = , với x  0, x  9− x x +3 x −3 x x x +3 b) So sánh A với c) Tìm giá trị nhỏ P = A.B Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học Tốn Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 47 ... P nguy? ?n dương suy x −3  nguy? ?n dương Từ có x −3 3 18 = n? ?? * x −3 =  x = 3+  x = 9+ +  N * n n n n x −3  18 + ? ?N* n n2  18 +   1 8n +  n  90  (n − 9)  −9  n −   n  18 n n v? ??i n. .. không a = không a = thỏa Để làm chặt chẽ có 2 4 = n  a = 1+  a = 1+ +  N * n n n a −1  4n +  n2   (n − 2)2  −2  n −   n  n tự nhi? ?n, thử trường hợp Bài 13 (ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THÀNH... nguy? ?n x để P nh? ?n giá trị nguy? ?n d) So sánh P v? ??i e) Tìm giá trị nhỏ P Xem thêm tài liệu thầy Nhóm: Học T? ?n Cùng Thầy Hiệp https://www.facebook.com/groups/324990579236122 Trang 38  Nguy? ?n V? ?n