Bài giảng Giải tích phức nâng cao chủ yếu được dùng như là tài liệu học tập chính cho học viên Cao học các ngành Toán lý thuyết và Ứng dụng tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Mục tiêu chính của tài liệu là tập trung vào những kết quả định tính cơ bản nhất của Lý thuyết hàm chỉnh hình mà có thể học viên đã được học hay áp dụng trong tính toán trước đó.
Tích phân Cauchy
Đầu tiên, ta định nghĩa tích phân Cauchy cho hàm biến thực nhưng có giá trị phức.
Trong khoảng con compact \( [a, b] \subset \mathbb{R} \), hàm thực \( f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) được xác định là liên tục và có thể phân tích thành \( f(t) = u(t) + v(t) \), trong đó \( u \) và \( v \) là các hàm thực liên tục trên \( [a, b] \) Từ đó, ta định nghĩa tích phân của \( f \) như sau: \[\int_a^b f(t) dt = \int_a^b u(t) dt + \int_a^b v(t) dt.\]
Với các ký hiệu và định nghĩa trên, ta có ˆ b a fptqdt ¤ˆ b a
Xét θ là số thực sẽ được chọn sau Khi đó, ta có (học viên tự chứng minh các (bất) đẳng thức trong chứng minh)
Cuối cùng, chọnθ Arg ˆ b a fptqdt
, ta có được bất đẳng thức cần chứng minh.
Tích phân Cauchy tổng quát được định nghĩa trên một đường cong trong tập mở DC Một đường trong D được xác định bởi hàm α : [ra, bs] → D liên tục và khả vi từng khúc, với [ra, bs] là khoảng con compact trong R Điều này có nghĩa là tồn tại phân hoạch a0, a1, , am, cùng với các hàm αk ∈ C^1 trên [ak, ak+1] sao cho αk liên tục trên đoạn [ak, ak+1] với k = 1, , m Tập ảnh rαs : α([ra, bs]) được gọi là vết của α, và cần lưu ý rằng vết này khác với đường α.
Hàm phức f được xác định và liên tục trên vết rαs của đường cong α Tích phân của f trên đường α được định nghĩa bởi công thức ˆ α fpzqdz, với k1 ˆ α k fpzqdz và k1 ˆ a k a k1 fpα k ptqqα 1 k ptqdt (1.2.2), trong đó vế phải được định nghĩa như trên.
Trong mặt phẳng phức, tdx, dyu là cơ sở cho dạng vi phân de Rham thực loại
Trong không gian R^2 và tdz, d¯zu là cơ sở cho dạng vi phân de Rham phức loại p1,0q và p0,1q trong C, với dz = dx + idy và d¯z = dx - idy Tích phân của |f| trên đường cong α theo độ đo dương |dz| được định nghĩa bởi ˆ α.
Từ đó, ta có Định lý 1.1 (Bất đẳng thức cơ bản (ML-estimates)).
Giả sử f : D ẹ C là hàm liờn tục, và α : ra, bs ẹ D là một đường cong trong D. Khi đó, ta có: ˆ α fpzqdz ¤ˆ α
|fpzq||dz| ¤M L, với M supt|fpzq|:z P rαsu và L ám k 1 ˆ a k a k1
|α 1 k ptq|dt là độ đài của α.
Bất đẳng thức này là kết quả trực tiếp của ˆ α fpzqdz ˆ b a fpαptqqα 1 ptqdt ¤ˆ b a
Thành phần cuối cùng lại bị chặn trên bởi ˆ α
|α 1 k ptq|dt M L. Định lý 1.2 (Định lý hội tụ).
Giả sử DC là một tập mở và f, f n là các hàm liên tục trên DC Nếu α là một đường cong trong D và dãy hàm f n hội tụ đều về f trên α, thì ta có lim n→∞ ∫ α f n(p(z))dz = ∫ α f(p(z))dz.
Xem như bài tập cho người học viên.
Bổ đề 1.1 (Bổ đề cung nhỏ - cung lớn).
Giả sử π α β ¤π Xét A :Apz0,rα, βsq: tz0 r.e iθ : r ¥0, θ P rα, βsu là góc vô hạn đỉnh tại z 0 , quét từ góc lượng giác α đến β.
Xộtf :Apz 0 ,rα, βsqztz 0 u ẹC là hàm liờn tục và cung bị chặnγ r pθq tz 0 re iθ : θ P rα, βsu, với r ¡0 cho trước.
Nếu lim z ẹ z 0 ,z P Apzz 0 qfpzq λ PC thỡ lim r ẹ 0 ˆ γ r fpzqdz iλpβαq.
Nếu lim z ẹ8 ,z P Azfpzq λPC thỡ lim r ẹ 8 ˆ γ r fpzqdz iλpβαq.
Khi giới hạn của hàm \( z \) tiến ra vô cùng, nếu giới hạn này là hữu hạn, thì hàm \( fpzq \) sẽ tiến về không khi \( z \) tiến ra vô cùng Do đó, ta có thể kết luận rằng \( \lim_{z \to \infty} z P Azfpzq \) sẽ bằng \( \lambda P C \) và \( \lim_{z \to \infty} z P Apzz = 0 \).
Ta xem hàm f(z) với z thuộc tập hợp số thực Trong cả hai trường hợp, ta luôn có p(z) > 0 Bây giờ, ta xét tích phân của hàm γ(r, f(z)) và các biến thể của nó.
Với tích phân thứ nhất, trong cả hai trường hợp, ta luôn có ˆ γ r λ zz 0 dz ˆ β α λ re iθ rie iθ dθiλpβαq.
Bởi Ước lượng ML, ta lại có ˆ γ r gpzqdz ¤ˆ γ r
Trong bài viết này, chúng ta xem xét giới hạn của hàm ||g||r khi z tiến về 0 hoặc 8 Cụ thể, khi z thuộc γ r và z tiến về 0, ta nhận thấy rằng pzz 0 qgpzq cũng tiến về 0 Tương tự, trong trường hợp z thuộc γ r và z tiến về 8, ta cũng có lim r ẹ 8r||g||r 0 Kết hợp các trường hợp này, chúng ta đã chứng minh được giới hạn cần thiết cho cả cung nhỏ và cung lớn.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá mối liên hệ giữa tích phân phức và đạo hàm phức Câu hỏi chính mà chúng ta sẽ tìm hiểu là: Tích phân của một hàm khả vi phức sẽ mang lại những kết quả gì?
Giả sử fpzq upx, yq ivpx, yq, với z x iy, x, y thuộc R, u và v là hai hàm số thực, đường cong trơn tham số α(t) = x(t) + iy(t), t thuộc [a, b] Khi đó, ta có tích phân đường loại 2 được tính như sau: ∫_a^b pup(x(t), y(t)) iv(x(t), y(t))q dt = ∫_a^b pup(x(t), y(t)) iv(x(t), y(t))q (x'(t) + iy'(t)) dt = ∫_a^b p v(x(t), y(t)) dx + u(x, y) dy.
Do đó, một cách hình thức, ta có thể định nghĩa fpzqdz pupx, yq ivpx, yqqpdx idyq:upx, yqdxvpx, yqdy ipvpx, yqdx upx, yqdyq.
Một dạng vi phân thực cấp 1 có dạng P(px, y)dx + Q(px, y)dy, trong đó P và Q là các hàm thực hai biến Dạng vi phân này được gọi là thuộc lớp C¹ nếu các hàm hệ số P(px, y) và Q(px, y) đều thuộc C¹.
Ppx, yqdx Qpx, yqdy thuộc lớp C 0 được gọi là khớp nếu tồn tại hàm thực fpx, yq thuộc lớp C 1 sao cho df Ppx, yqdx Qpx, yqdy (hay ∇fpx, yq pPpx, yq, Qpx, yqq) Trong trường hợp này, f được gọi là nguyên hàm của dạng vi phân Ppx, yqdx Qpx, yqdy Một dạng vi phân thực cấp một Ppx, yqdx Qpx, yqdy thuộc C 1 được gọi là dạng vi phân đóng nếu và chỉ nếu BQ.
By Vì dpdfq 0, nên nếu một dạng vi phân thực cấp một thuộc lớp C 1 là khớp thi nó phải là dạng đóng.
Dạng vi phân fpzqdz được chia thành hai thành phần: fpzqdz (dạng vi phân thực cấp một) và i (dạng vi phân thực cấp một), được gọi là dạng vi phân phức loại p1,0q Ký hiệu fpzqd¯z : pupx, yq ivpx, yqqpdxidyq : upx, yqdxvpx, yqdyipvpx, yqdx upx, yqdyq là dạng vi phân phức loại p0,1q Các dạng vi phân phức này rất quan trọng trong lý thuyết về Phương trình Cauchy-Riemann không thuần nhất Dạng vi phân fpzqdz là dạng vi phân đóng nếu và chỉ nếu phần thực udxvdy và phần ảovdx udy của nó là đóng, tương đương với hệ thức Cauchy-Riemann Trong Giải tích vector, tích phân đường loại hai của một dạng vi phân thực cấp một thuộc lớp C 1 đóng không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối Do đó, áp dụng tính độc lập vào đường cho udxvdy và vdx udy, ta có kết quả rằng tích phân phức của hàm chỉnh hình không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, chỉ phụ thuộc vào điểm bắt đầu và kết thúc.
Xột D là một tập con mở trong C, với hàm f : D ẹ C chỉnh hỡnh Nếu α và β là hai đường cong trong D có cùng điểm bắt đầu và kết thúc, ta có ˆ α fpzqdz = ˆ β fpzqdz Xét đường cong γ định hướng dương và chọn hai điểm A và B khác nhau trên γ, với hướng từ A đến B Đường cong γ có thể được chia thành hai đường cong α nối A đến B và β nối B đến A, với β có cùng quỹ đạo nhưng ngược hướng Nếu f chỉnh hình trên tập mở DC chứa γ, thì ˆ α fpzqdz + ˆ β fpzqdz = 0.
Hệ quả là ˆ α pβq fpzqdz ˆ γ fpzqdz 0.
Một cách khác, bởi Định lý Green, ta cũng có ngay kết quả tương tự. Định lý 1.4 (Cauchy-Green).
Giả sử D là một tập mở và f : D → C là hàm chỉnh hình, với f' tồn tại và liên tục trên D Khi đó, tích phân ˆ γ f(z) dz = 0 cho mọi đường cong kín γ nằm trong D, với miền bên trong γ là tập con của D.
Một hệ quả của cả hai định lý này được phát biểu như sau.
Các kết quả định tính cơ bản
Trong phần này, chúng ta khám phá những khái niệm và kết quả định tính cơ bản trong lý thuyết Giải tích phức một biến, liên quan đến lý thuyết vi tích phân phức Nội dung chính bao gồm ba định lý quan trọng: Định lý đồng nhất, Định lý ánh xạ mở và Tính chất giá trị lớn nhất Định lý đồng nhất bắt đầu với khái niệm bậc của hàm, được hiểu một cách đơn giản là bậc của hàm tương ứng với bậc của đa thức có tốc độ hội tụ tương tự.
Nếu D là một tập mở và f: D → C là một hàm chỉnh hình, với c là một điểm thuộc D và m là một số nguyên dương, thì hàm f được gọi là có bậc m tại c nếu giới hạn limz → c (f(z) - f(c)) / (z - c)^m tồn tại và là một số phức khác không.
Khi đó ta viết ordpf, cq m.
Hàm f có bậc bằng không tại điểm c nếu và chỉ nếu giới hạn của f tại c bằng 0, do f là hàm liên tục Nếu f đồng nhất bằng không trong một lân cận của c, thì f được coi là có bậc là 8 tại c.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm chỉnh hình không địa phương có bậc hữu hạn, điều này không đúng với hàm thực Ví dụ, hàm \( x^{i} e^{x^2} \sin(p1\{x\}) \) không thể có bậc với lũy thừa \( x^m \) khi \( x \) tiến về 0 Học viên hãy tự chứng minh rằng nếu bậc tồn tại thì nó là duy nhất.
Giả sử D là một tập mở trong C và f : D → C là hàm chỉnh hình Nếu c là một điểm trong D và f không đồng nhất bằng không trên mọi lân cận của c, thì tồn tại một hàm g chỉnh hình trên D, khác không tại c, cùng với một số nguyên không âm m sao cho f(z) = (z - c)^m g(z).
Công cụ chủ yếu để chứng minh kết quả này là Khai triển Taylor của hàm f Nếu r là khoảng cách giữa các điểm distpc,CzDq trong đĩa mở Dpc, rq, thì ta có fpzq = c0 + c1pzcq + + cnpzcq^n, với cn = f(pnq) / n!.
Nếu tất cả các hệ số khai triển c n, n0,1, đều bằng không, thì hàm f sẽ đồng nhất bằng không xung quanh điểm c, điều này mâu thuẫn với điều kiện của mệnh đề.
Do đó, phải xảy ra điều ngược lại, nghĩa là tồn tại ít nhất chỉ sốnsao cho c n 0.
Ta gọi m là chỉ số nhỏ nhất trong tất cả các chỉ số này, nghĩa là c m 0 và c n 0 với mọi n m.
Viết lại khai triển, ta có fpzq cmpzcq m cm 1pzcq m 1 pzcq m pcm cm 1pzcq q Tiếp theo, chúng ta định nghĩa hàm gpzq c m c m 1 pzcq , và chứng minh rằng hàm g thỏa mãn các tính chất được nêu trong mệnh đề Do đó, chúng ta đã hoàn tất chứng minh.
Trong chứng minh, ta thấy rằng hàm f có bậc m tại điểm c, nghĩa là mọi hàm chỉnh hình không đồng nhất bằng không địa phương đều có bậc tồn tại Bậc này tương ứng với chỉ số nhỏ nhất trong các chỉ số mà hệ số khai triển khác không Điều này dẫn đến định nghĩa tương đương về bậc của hàm chỉnh hình: ordpf, cq m ¡0 nếu và chỉ nếu fpcq f 1 pcq f p m 1 q pcq 0 và f p m q pcq 0 Nếu fpcq 0, thì ordpf, cq 0, và nếu fpcq 0 thì ordpf, cq m ¥1, được gọi là bội của không điểmc, khái niệm này tổng quát hóa bội của nghiệm cho các đa thức.
Nhắc lại rằng tập không điểm của f trên D được ký hiệu bởi
ZpD, fq tz PD :fpzq 0u.
Ta nói cP ZpD, fq là một không điểm cô lập nếu c không là một điểm tụ, nghĩa là tồn tại lân cận U của csao cho U XZpD, fq tcu.
Trong không gian topo Hausdorff tổng quát, tập hợp các điểm tụ của một tập con luôn là một tập đóng Tính chất này có thể được chứng minh và tìm thấy trong các giáo trình về topo cơ bản.
Bổ đề 1.3 (Bổ đề về tập không điểm).
Cho D là một tập mở trong C và f : D → C là hàm chỉnh hình Xét một điểm c thuộc D, các tính chất sau đây là tương đương: i c là điểm tụ của tập không điểm ZpD, fq ii c thuộc phần trong của tập không điểm ZpD, fq iii Đối với mọi n ≥ 0, ta có f(p_n) → q khi n tiến tới vô cực.
Hơn nữa, nếu D là một miền thì f đồng nhất bằng không trên D nếu và chỉ nếu
ZpD, fq chứa ít nhất một điểm tụ thuộc D.
Chứng minh. Định lý được chứng minh theo sơ đồ sau.
Ta chứng minh rằng c là điểm tụ của ZpD, fq Nếu c không phải là điểm trong của ZpD, fq, thì mọi đĩa mở tâm tại c không chứa trong ZpD, fq Điều này dẫn đến việc f không đồng nhất bằng không trên mọi lân cận của c, từ đó suy ra f có bậc hữu hạn m tại c Theo kết quả trước, ta tìm được hàm chỉnh hình g trên D sao cho g(c) = 0 và f'(z) = p(z)c^m g(z) Vì g là hàm liên tục, tồn tại số thực δ > 0 đủ nhỏ sao cho g(z) = 0 với mọi z thuộc D(c, δ) Điều này cho thấy tồn tại một lân cận D(c, δ) của c sao cho D(c, δ) nằm trong ZpD, fq, dẫn đến mâu thuẫn vì c là điểm cô lập.
Chúng tôi chứng minh rằng ii dẫn đến iii Nếu c là một điểm trong ZpD, fq, thì tồn tại một đĩa mở Dpc, rq sao cho Dpc, rq nằm trong ZpD, fq Điều này có nghĩa là f đồng nhất bằng không trên một lân cận của c, và do đó, trong lân cận này, ta có iii, và iii cũng đúng tại c thuộc lân cận này.
Nếu tất cả các đạo hàm của hàm số f tại điểm c đều triệt tiêu, theo khai triển Taylor, f sẽ đồng nhất bằng không trong một đĩa mở quanh c Điều này có nghĩa rằng c là một điểm trong của tập hợp ZpD, fq Do đó, c được xác định là một điểm tụ của ZpD, fq.
Tính chất idẫn đến ii khẳng định rằng ZpD, fq là tập mở và đóng trong D Nếu D liên thông, ZpDq, f sẽ là tập rỗng hoặc bằng chính D Do đó, ZpD, fq chứa ít nhất một điểm tụ khi và chỉ khi ZpD, fq D, tức là f đồng nhất bằng không trên D.
Thác triển giải tích dọc theo đường cong
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm về việc mở rộng miền xác định tính chỉnh hình của hàm phức Sự mở rộng này chỉ có thể thực hiện một cách duy nhất theo Định lý đồng nhất đã được đề cập trước đó.
Giả sử U, V và C là các miền sao cho U giao V không rỗng Nếu f: U → C và g: V → C là các hàm chỉnh hình với tích fg trên U giao V, thì pg và Vq được gọi là thác triển giải tích trực tiếp của pf và Uq Trong trường hợp này, tồn tại duy nhất một hàm chỉnh hình h: U ∪ V → C sao cho hf trên U và hg trên V.
Thuật ngữ “trực tiếp” trong ngữ cảnh này là một khái niệm tổng quát và có thể không cần thiết, nhưng được sử dụng để phân biệt với khái niệm thác triển giải tích khác.
Giả sử γ : r0,1s → C là một đường cong liên tục nối z0 với wγp1q Chúng ta xem xét dãy hữu hạn các tập lồi mở trong mặt phẳng phức D0, D1, , Dn sao cho z0 thuộc D0 và w thuộc Dn Giả định rằng dãy này được liên kết với nhau bởi đường cong γ, nghĩa là tồn tại một phân hoạch.
2 ảnhγpra k , a k 1 sq D k với mọi0¤k ¤n Khi đó γpa k 1 q PD k XD k 1
Nếu \( f_0 \) là hàm chỉnh hình trên \( D_0 \), và tồn tại dãy các hàm chỉnh hình \( f_1, \ldots, f_n \) sao cho \( p(f_k, D_k) \) là thác triển giải tích trực tiếp của \( p(f_k, D_k) \) theo nghĩa trên với \( k = 0, \ldots, n-1 \), thì ta nói \( p(f_0, D_0) \) có thác triển giải tích dọc theo dãy tập lồi.
D 0 , D 1 , D n được liên kết bởi đường cong γ
Trong định lý 1.21, chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm chỉnh hình \( f \) là hoàn toàn không phụ thuộc vào sự lựa chọn phân hoạch của đoạn \( [0,1] \) và các tập lồi mở \( D_k \) Điều này đảm bảo rằng hàm chỉnh hình được định nghĩa một cách rõ ràng và được gọi là thác triển giải tích của \( p_{f_0}, D_0 \) dọc theo đường cong \( \gamma \), thường được ký hiệu là \( f_\gamma \).
Giả sử pg0, E0q, , pgm, Emqlà một thác triển giải tích của pg0, E0q dọc theo các tập lồi E0, , Em được kết nối bởi đường cong γ Nếu f0 g0 trong một lân cận nào đó của z0 thì gm fn trên một lân cận nào đó của γp1q Do đó, pgm, Emq cũng là thác triển giải tích trực tiếp của pfn, Dnq.
Giả sử rằng hai thác triển được xây dựng từ cùng một phân hoạch a 0, a 1, , a n Chúng ta sẽ chứng minh rằng mỗi pg k, E k q là thác triển giải tích trực tiếp của pf k, D k q, dẫn đến sự duy nhất địa phương theo Định lý đồng nhất Nếu f0 g0 trên một lân cận nào đó của z0, thì pg0, E0q chính là thác triển giải tích trực tiếp của pf 0, D 0 q Nhờ vào tính chất mở và liên thông của D 0 XE 0 H, mà chứa ít nhất γpa 0 q z 0, nên f 0 g 0 trên toàn tập D 0 XE 0.
Giả thiết rằng f 0 f 1 nằm trên D 0 XD 1 và g 0 g 1 nằm trên E 0 XE 1, dẫn đến việc f 1 g 1 tồn tại trên tập mở pD 0 XD 1 XE 0 XE 1 q D 1 XE 1 và không rỗng vì chứa ít nhất z 0 Điều này cho thấy f 1 g 1 có mặt trên toàn bộ tập D 1 XE 1, có nghĩa là pg 1 , E 1 qcũng là thác triển giải tích trực tiếp của pf 1 , D 1 q.
Chúng ta có thể chứng minh rằng g n f n tồn tại trong một lân cận nào đó của γp1q và pg n , E n q, là thác triển giải tích trực tiếp của pf n , D n q Giả sử có sự thay đổi phân hoạch trong hai thác triển này, từ đó chúng ta có thể sắp xếp lại để tạo ra một phân hoạch chung mà vẫn giữ nguyên các tính chất của các thác triển giải tích Cụ thể, bằng cách chèn một điểm c vào giữa đoạn ra k , a k 1 s, ta tạo ra dãy tập lồi mới tD 0 , , D k , D k , , D n u (với D k được lập lại hai lần) sao cho γprak, csq và γpc, ak 1q đều nằm trong Dk Do đó, dãy thác triển giải tích pf 0 , D 0 q, , pf k , D k q, pf k , D k q, , pf n D n q tương ứng với γ được hình thành.
Phân hoạch mới được xác định bởi các giá trị 0, a1, , ak, c, ak+1, , an tạo ra dãy pg0, E0q, , pgk, Ekq, pgk, Ekq, , pgn, Enq, là kết quả của thác triển giải tích của pg0, E0q, trong đó f0 g0 tồn tại trên một lân cận nào đó của z0.
Với hai dãy thác triển mới có chung phân hoạch, ta có pg k, E k q là thác triển giải tích trực tiếp của pf k, D k q Nhờ cách xây dựng, g k g k trên E k XE k, và vì f k g k trên D k XE k, nên g k f k trên D k XE k XE k Tập giao này chứa ít nhất z k γpcq, do đó khẳng định rằng pg k, E k q là thác triển giải tích trực tiếp của pf k, D k q.
Tiếp tục, ta lại áp dụng phần đầu của chứng minh cho nhánh thứ hai của đường cong mà được định nghĩa bởira k 1 , a n svới tương ứng phân hoạchra k 1 , a k 2 , , a n s.
Và do đó, ta chứng minh xong định lý.
Hàm logarithm phức log(p(z)) được định nghĩa thông qua chuỗi lũy thừa trên đĩa có tâm tại 1 và bán kính dương 1 Đường cong γ là một đường tròn cùng tâm với bán kính 1, được định hướng theo chiều dương lượng giác Khi ta thác triển hàm log(p(z)) dọc theo đường cong này, và xét p(g), D(q) là thác triển giải tích cuối cùng của p(log(p(z)), D(0)q, thì sau khi quay một vòng trong lân cận xung quanh 1, hàm g phải có dạng g(p(z)) = log(p(z)) + i2π.
Hiển nhiên, g khác vớilog một hằng số và do đó có thể bằng nhau xung quanh1mặc dù ta tiến hành thác triển quay về 1.
Xét hàm f(z) = p^(1/2) log(p(z)) trong lân cận của 1 từ nhánh chính của hàm logarithm phức, cần lưu ý rằng hàm này khác với hàm biến thực Hàm căn bậc hai số phức không giống như hàm f Khi thực hiện phát triển giải tích hàm f dọc theo đường tròn đơn vị, ta nhận thấy rằng phát triển này tương ứng với gp(z) = e^(1/2 log(p(z)) + i2π) e^(1/2 log(p(z))) f(z) Quan trọng là hàm f thực sự là nghiệm của phương trình f(z) = 2z trong lân cận của 1.
Phương trình trong ví dụ trên khác với phương trình fpzq vì tính chỉnh hình của vế phải, trong khi vế trái luôn là hàm chỉnh hình Hàm ? z không thể giải tích tại gốc tọa độ và không thể triển khai thành hàm chỉnh hình từ Cẹ C Tuy nhiên, tồn tại một đối tượng khác có những tính chất quan trọng của mặt phẳng phức, cho phép khắc phục được vấn đề này, đó là mặt Riemann.