Tập iđêan nguyên tố liên kết
Trước tiên, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa về iđêan nguyên tố liên kết và một số ký hiệu được sử dụng trong luận văn Định nghĩa 1.1.1 nêu rõ rằng, cho M là một R−môđun và x là phần tử của M.
(i) Tập Ann R (x) = {a ∈ R | ax = 0} được gọi là linh hóa tử của phần tử x;
(ii) Tập Ann R (M ) = {a ∈ R | ax = 0, ∀x ∈ M } được gọi là linh hóa tử của môđun M.
Chú ý 1.1.2 Ann R (x) và Ann R (M ) là các iđêan của R. Định nghĩa 1.1.3 ChoM là mộtR−môđun Một iđêan nguyên tố p của
R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x ∈ M, x 6= 0 sao cho Ann R (x) =p.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu làAss R (M) hoặcAss(M ) nếu không muốn nhấn mạnh vào vành R Như vậy,
Nhận xét 1.1.4 Cho p là một iđêan nguyên tố liên kết bất kì của R khi đó Ass R (R/p) = {p}.
Chứng minh Với mọi 0 6= x = a +p∈ R/p, ta có
=p. Vậy Ass R (R/p) = {p}. Định nghĩa 1.1.5 Phần tử a của vành R được gọi là một ước của không của R−môđun M nếu tồn tại x ∈ M, x 6= 0 sao cho ax = 0.
Tập các ước của không của M được kí hiệu là ZD R (M ). Định lý 1.1.6 ([12], Định lí 6.1) ChoRlà vành Noether vàM làR−môđun khác không Khi đó,
(i) Phần tử cực đại trong họ các iđêan F = {Ann R (x) | 0 6= x ∈ M } là iđêan nguyên tố liên kết của M.
(i) Giả sử p = Ann(x) ∈ F, p là phần tử cực đại của F Ta cần chứng minh p nguyên tố.
Với mọi a, b ∈ R mà ab ∈p, b / ∈ p ta có, abx = 0, bx 6= 0 Do 0 6= bx ∈ M nên Ann(bx) ∈ F Vì Ann(x) ⊂ Ann(bx) và Ann(x) là phần tử cực đại nên
Ann(bx) = Ann(x) Do abx = 0 nên a ∈ Ann(bx) Suy ra a ∈ Ann(x) Suy ra p là iđêan nguyên tố Vậy p là iđêan nguyên tố liên kết của M.
(ii) Giả sử a ∈ [ p∈Ass R (M ) p thì tồn tại p ∈ Ass R (M ) sao cho a ∈ p tức là tồn tại x 6= 0, x ∈ M để ax = 0 Suy ra a ∈ZD R (M ) Do đó,
Giả sử α ∈ZD R (M ) Khi đó, ∃x 6= 0 sao cho αx = 0 Suy ra α ∈ Ann(x).
Do đó tồn tại p∈ Ass(M ) để Ann(x) ⊆p Suy ra α ∈ [ p∈Ass R (M ) p Do đó,
Hệ quả 1.1.7 ChoR là vành Noether, M là một R−môđun Khi đóM 6= 0 khi và chỉ khi Ass R (M ) 6=∅.
Chứng minh Vì M 6= 0 nên tồn tại 0 6= x ∈ M Theo Định lí 1.1.6 thì tập
Vì F 6=∅ và R là vành Noether, nên tồn tại một phần tử cực đại p trong F Theo Định lí 1.1.6, p là iđêan nguyên tố liên kết của M, do đó p thuộc Ass R (M) và Ass R (M) 6=∅ Ngược lại, nếu Ass R (M) 6=∅, thì tồn tại một phần tử khác không bằng 0 trong M, sao cho Ann R (x) = p với p là nguyên tố, dẫn đến M 6= 0.
Mệnh đề 1.1.8 Cho M là một R−môđun, p là iđêan nguyên tố của vành
R Khi đó p∈ Ass R (M) khi và chỉ khi tồn tại một môđun con N của M sao cho N ∼ = R/p.
Chứng minh Giả sử p∈ Ass R (M ) Khi đó, tồn tại0 6= x ∈ M,p= Ann R (x). Đặt N = Rx ⊆ M và xét ánh xạ f được xác định bởi f : R −→ Rx = N a 7−→ ax
Khi đó f là R−toàn cấu Theo định lí đẳng cấu thì N ∼ = R/ Ker f = R/ Ann(x) = R/p.
Ngược lại, ta có Ass R (R/p) = {p} = Ass R (N ) Do đó tồn tại phần tử x 6= 0, x ∈ N ⊆ M,p= Ann R (x) Suy ra p∈ Ass R (M ).
Mệnh đề đã được chứng minh.
Bổ đề 1.1.9 Cho M và N là các R−môđun Khi đó, nếu N ⊂ M thì Ass R (N ) ⊂ Ass R (M ).
Chứng minh Với mọi p∈ Ass R (N ), tồn tại0 6= x ∈ N sao cho p= Ann R (x).
Do x ∈ N ⊂ M nên x ∈ M Suy ra p∈ Ass R (M ).
Vậy Ass R (N ) ⊂ Ass R (M ). Định lý 1.1.10 ([13], Định lí 6.3)
0 → M 0 − → f M − → g M 00 → 0 (1.1) là dãy khớp các R−môđun Khi đó ta có Ass R (M ) ⊂ Ass R (M 0 ) ∪ Ass R (M 00 ).
Chứng minh Với mọi p ∈ Ass R (M ), theo Mệnh đề 1.1.8 thì M chứa một môđun con N ∼ = R/p Ta có thể xem như N = R/p.
Với mọi 0 6= x ∈ N ta có x = a +p, a / ∈p Do đó
+) Nếu N ∩ M 0 6= {0}, thì tồn tại 0 6= x ∈ N ∩ M 0 nên x ∈ N và x ∈ M 0 Do
0 6= x ∈ N nên Ann R (x) = p Hơn nữa, vì x ∈ M 0 nên p∈ Ass R (M 0 ) (1.2)
Vì (1.1) là dãy khớp nên Imf =Kerg = M 0
Suy ra g| N là đơn cấu Suy ra N ⊂ M 00 Theo Bổ đề 1.1.9 thì Ass R (N ) ⊂ Ass R (M 00 ) Mà Ass R (N ) = {p} nên theo Nhận xét 1.1.4, ta có p∈ Ass R (M 00 ) (1.3)
Từ (1.2) và (1.3) suy ra p∈ Ass R (M 0 ) ∪ Ass R (M 00 ).
Vậy Ass R (M) ⊂ Ass R (M 0 ) ∪ Ass R (M 00 ). Định lý 1.1.11 ([13], Định lí 6.4) Cho R là vành Noether và M 6= 0 là R−môđun hữu hạn sinh Khi đó tồn tại chuỗi
0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ⊂ M n = M với M i , i = 1, n là các môđun con của M sao cho với mỗi i ta có M i /M i−1 ∼ = R/p i , với p i ∈ Spec R.
Chứng minh Do M 6= 0 nênAss R (M ) 6=∅ Chọnp 1 ∈ Ass R (M ) Khi đó tồn tại M 1 là môđun con của M sao cho M 1 ∼ = R/p 1 hay M 1 /M 0 ∼ = R/p 1
Nếu M 1 6= M thì M/M 1 6= 0, do đó Ass(M/M 1 ) 6= ∅ Chọn p 2 ∈ Ass(M/M 1 ), khi đó tồn tạiM 2 /M 1 là môđun con củaM/M 1 sao choM 2 /M 1 ∼ = R/p 2
Tiếp tục quá trình trên ta có dãy các môđun con của M
Vì M là R−môđun Noether, nên tồn tại số nguyên k ∈ N sao cho M n = M k với mọi n ≥ k Nếu M k không bằng M, thì M/M k khác 0, dẫn đến việc Ass R (M/M k) không rỗng, từ đó tồn tại phần tử p k+1 trong Ass R (M/M k) Điều này cho thấy tồn tại M k+1 /M k là một phần của M/M k, với M k+1 /M k đồng cấu với R/p k+1 và M k nằm trong M k+1 Tuy nhiên, điều này tạo ra một mâu thuẫn.
Vậy M k = M Ta có điều cần chứng minh. Định lý 1.1.12 ([13], Định lí 6.5) Cho R là vành Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh Khi đó Ass R (M ) là tập hữu hạn.
Chứng minh Nếu M = 0 thì Ass R (M ) =∅ do đó Ass R (M ) là tập hữu hạn. Nếu M 6= 0, theo Định lí 1.1.11 tồn tại một chuỗi
0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ⊂ M n = M các môđun con của M, sao cho M i /M i−1 ∼ = R/p i với p i ∈ Spec R.
Xét dãy khớp 0 → M n−1 → M → M/M n−1 → 0, theo Định lí 1.1.10 ta có
Ass R (M/M n−1 ) = Ass(R/p n ) = {p n }. Xét dãy khớp
Ass R (M n−1 /M n−2 ) = Ass(R/p n−1 ) = {p n−1 }. Tiếp tục quá trình trên ta có dãy khớp
Vậy Ass R (M ) là tập hữu hạn.
Dãy chính quy và độ sâu
Trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm về dãy chính quy theo cuốn sách
Dãy chính quy là khái niệm quan trọng trong đại số giao hoán, từ đó phát triển nhiều vấn đề trong hình học đại số.
Cho M là R−môđun hữu hạn sinh Phần tử a của R được xem là phần tử chính quy của M nếu với mọi x thuộc M và x khác 0, thì a x khác 0 Một dãy các phần tử a1, a2, , an của R được gọi là dãy chính quy của M nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Trong lý thuyết đại số, phần tử a_i được coi là phần tử chính quy của M/(a_1, a_2, , a_{i−1})M, với i = 1, , n Đồng thời, dãy các phần tử a_1, a_2, , a_n của R được gọi là dãy chính quy yếu M nếu nó chỉ thỏa mãn điều kiện (b) trong định nghĩa trước đó.
Một phần tử \( a \in R \) được coi là phần tử chính quy của \( M \) nếu và chỉ nếu \( a \) không phải là ước của không của \( M \) Theo Định lý 1.1.6, điều này dẫn đến việc \( a \notin p \) với mọi \( p \in Ass R (M) \) Do đó, dãy \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) là dãy chính quy của \( M \) khi và chỉ khi \( M/(a_1, a_2, \ldots, a_n)M \neq 0 \) và \( a_i \notin p \) với mọi \( p \in Ass R (M/(a_1, a_2, \ldots, a_{i-1})M) \) cho mọi \( i = 1, \ldots, n \).
Mệnh đề 1.2.3 Cho x 1 , x 2 là M −dãy chính quy Khi đó x 1 là phần tử chính quy của M/x 2 M.
Giả sử x₁(z + x₂M) = 0, ta chứng minh rằng z + x₂M = 0 hay z ∈ x₂M Từ đó, x₁z ∈ x₂M dẫn đến x₁z = x₂z₀ với z₀ ∈ M, và suy ra x₂z₀ ∈ x₁M Do đó, x₂(z₀ + x₁M) = 0 Vì x₂ là phần tử chính quy của M/x₁M, nên z₀ + x₁M = 0, suy ra z₀ ∈ x₁M Kết luận, z₀ = x₁z₀₀ với z₀₀ ∈ M, và từ đó x₁z = x₂x₁z₀₀, dẫn đến z = x₂z₀₀ ∈ x₂M Vậy x₁ là phần tử chính quy của M/x₂M.
Mệnh đề 1.2.4 Cho x 1 , x 2 là M −dãy chính quy và
\ i=1 x i 1 M = 0 Khi đó, x 2 là phần tử chính quy của M.
Chứng minh Giả sử x 2 z = 0, z ∈ M Khi đó x 2 (z + x 1 M) = x 2 z + x 1 M = x 1 M = 0 Vì x 2 là phần tử chính quy của M/x 1 M nên z + x 1 M = 0 Do đó, z ∈ x 1 M, suy ra z = x 1 z 0 , z 0 ∈ M Khi đó 0 = x 2 z = x 2 x 1 z 0 = x 1 (x 2 z 0 ) Vì x 1 là phần tử chính quy trên M nên x 2 z 0 = 0.
Lặp lại quá trình trên ta có z 0 ∈ x 1 M Do đó, z ∈ x 2 1 M Tiếp tục quá trình trên ta có z ∈ x k i M, ∀k Suy ra z ∈
\ i=1 x i 1 M = 0 Vậy x 2 là phần tử chính quy của M. Áp dụng Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.5 Cho x 1 , x 2 là M −dãy chính quy và
Trong một vành Noether địa phương R, nếu M là một R-môđun hữu hạn sinh và x₁, , xₙ là một dãy chính quy của M, thì mọi hoán vị của x₁, , xₙ cũng là một dãy chính quy của M.
Để chứng minh rằng x1, , xi, xi-1, , xn là một M-dãy, ta cần lưu ý rằng mỗi phép thế là tích của các chuyển vị Giả thiết của mệnh đề cho phép áp dụng với M = M/(x1, , xi-1)M và M-dãy xi, xi+1, , xn Do đó, chỉ cần kiểm tra trường hợp i = 2 và chứng minh rằng x2, x1 là một M-dãy Bằng cách áp dụng Bổ đề Nakayama và Hệ quả 1.2.5, ta có thể đạt được điều cần chứng minh.
Bổ đề 1.2.7 Nếu b 1 , , b n là một M−dóy chớnh quy và b 1 ξ 1 +ã ã ã +b n ξ n = 0 với ξ i ∈ M thỡ ξ i ∈ b 1 M + ã ã ã + b n M, ∀i = 1, n.
Chứng minh Chứng minh quy nạp theo n.
+) Với n = 1, giả sử b 1 là phần tử M −chính quy và b 1 ξ 1 = 0, ξ 1 ∈ M Suy ra ξ 1 = 0 do đó ξ 1 ∈ b 1 M.
+) Giả sử bổ đề trên đúng với n − 1, tức là nếu b 1 , , b n−1 là một M −dãy chớnh quy và b 1 ξ 1 + ã ã ã + b n−1 ξ n−1 = 0 với ξ i ∈ M thỡ ξ i ∈ b 1 M + ã ã ã + b n−1 M,
∀i = 1, n − 1 Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với n, giả sửb 1 , , b n là một
M −dóy chớnh quy và b 1 ξ 1 + ã ã ã + b n ξ n = 0 với ξ i ∈ M, ta chứng minh ξ i ∈ M thỡξ i ∈ b 1 M +ã ã ã+b n M, ∀i = 1, n Thật vậy, vỡb 1 ξ 1 +ã ã ã+b n ξ n = 0nờnb n ξ n =
0 Hơn nữa, theo giả thiếtb 1 , , b n là một M −dãy chính quy nênb n là phần tử M/ (b 1 , , b n−1 ) M −chính quy, do đó ξ n + (b 1 , , b n−1 ) M = 0 suy ra ξ n ∈ (b 1 , , b n−1 ) M ⊂ (b 1 , , b n ) M, suy raξ n = b 1 β 1 + b 2 β 2 + + b n−1 β n−1 , β i ∈ M,
∀i = 1, n − 1 Khi đú,b 1 ξ 1 +ã ã ã+b n ξ n = b 1 ξ 1 +ã ã ã+b n−1 ξ n−1 +b n (b 1 β 1 +b 2 β 2 + + b n−1 β n−1 ) = 0hayb 1 (ξ 1 + b n β 1 )+b 2 (ξ 2 + b n β 2 )+ +b n−1 (ξ n−1 + b n β n−1 ) = 0. Mặt khỏc, do giả thiết quy nạp nờn ta cú ξ i + b n β i ∈ (b 1 M + ã ã ã + b n−1 M ),
Vậy bổ đề đã được chứng minh. Định lý 1.2.8 ([13], Định lý 16.1) Nếu a 1 , , a n làM −dãy chính quy thì a δ 1 1 , , a δ n n là M−dãy chính quy.
Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo δ rằng a δ 1 , a 2 , , a n là M −dãy chính quy.
+) Với δ > 1 Giả sử dãy trên đúng vớiδ − 1 Ta chứng minh dãy trên đúng với δ.
Nếu a₁ là phần tử chính quy của M, thì a₁δ₁ cũng là phần tử chính quy của M Đối với i > 1, ta chứng minh rằng a₁δ₁, , aᵢ là một M-dãy chính quy Với ω ∈ M, ta có aᵢ(ω + (a₁δ₁, , aᵢ₋₁)M) = 0, tức là aᵢω ∈ (a₁δ₁, , aᵢ₋₁)M Điều này dẫn đến aᵢω = a₁δ₁ξ₁ + + aᵢ₋₁ξᵢ₋₁, với ξᵢ ∈ M Do (a₁δ₁, , aᵢ₋₁)M ⊂ (a₁δ₋₁₁, , aᵢ₋₁)M, nên aᵢω ∈ (a₁δ₋₁₁, , aᵢ₋₁)M Hơn nữa, (a₁δ₋₁₁, , aᵢ₋₁, aᵢ) là M-dãy chính quy, do đó ω ∈ (a₁δ₋₁₁, , aᵢ₋₁)M Từ đó, ta có ω = a₁δ₋₁₁η₁ + + aᵢ₋₁ηᵢ₋₁, với ηᵢ ∈ M Suy ra aᵢω = aᵢa₁δ₋₁₁η₁ + + aᵢaᵢ₋₁ηᵢ₋₁ Từ đó, ta có 0 = a₁δ₋₁₁(a₁ξ₁ - aᵢη₁) + + aᵢ₋₁(ξᵢ₋₁ - aᵢηᵢ₋₁) Vì a₁δ₋₁₁, , aᵢ₋₁ là M-dãy chính quy, theo Bổ đề 1.2.7, a₁ξ₁ - aᵢη₁ ∈ a₁δ₋₁₁M + + aᵢ₋₁M, dẫn đến aᵢη₁ ∈ a₁M + + aᵢ₋₁M.
Vỡ a 1 , , a i−1 , a i là M −dóy chớnh quy nờn η 1 ∈ a 1 M + ã ã ã + a i−1 M hay η 1 = a 1 η 0 1 + ã ã ã + a i−1 η i−1 0 Do đú, ω = a δ 1 η 1 0 + a δ−1 1 a 2 η 0 2 + ã ã ã + a δ−1 1 a i−1 η 0 i−1 + a 2 η 2 + ã ã ã + a i−1 η i−1
Suy ra a i là phần tử chính quy của M/(a δ 1 , a 2 , , a i−1 )M Nếu a 1 , , a n là M−dãy chính quy, thì a δ 1 1 , a 2 , , a n cũng là M−dãy chính quy Do đó, a 2 , , a n là M/a δ 1 1 M−dãy chính quy Kết luận, a δ 2 2 , , a n là M/a δ 1 1 M−dãy chính quy.
Tiếp tục quá trình trên ta có, a δ n n là M/(a δ 1 1 , , a δ n−1 n −1 )M −dãy chính quy.
Vỡ (a δ 1 1 M + ã ã ã + a δ n n M) thuộc a 1 M + ã ã ã + a n M và M/(a 1 M + ã ã ã + a n M) không bằng 0 Định lý đã được chứng minh Định nghĩa 1.2.9: Cho R là vành giao hoán Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0 Giả sử I là iđêan của R sao cho M không bằng IM và a 1, , a n là
M −dãy chính quy trong I Ta nói rằng a 1 , , a n là M−dãy chính quy tối đại trong I nếu không tồn tại phần tử a n+1 ∈ I sao cho a 1 , , a n , a n+1 là
M −dãy chính quy có độ dài n + 1. Định nghĩa 1.2.10 Cho M là R−môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của
Độ sâu của M trong I, ký hiệu là depth(I, M), được xác định khi R sao cho IM 6= M Trong trường hợp này, mọi dãy chính quy cực đại của M trong I có cùng độ dài, và độ dài chung này được gọi là độ sâu Nếu IM = M, ta quy ước rằng depth(I, M) = +∞ Công thức tính độ sâu của M trong I được cho bởi depth(I, M) = inf{i | Ext i R (R/I, M) 6= 0}.
Trong trường hợp (R,m) là vành giao hoán Noether địa phương thì depth(m, M) được gọi là độ sâu của M và ký hiệu bởi depth(M ).
Năm 1978, N T Cuong, P Schenzel và N V Trung ([5]) đã đưa ra khái niệm dãy lọc chính quy là một mở rộng của dãy chính quy.
Giả thiết R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m và M là R− môđun hữu hạn sinh. Định nghĩa 1.2.11.
(i) Một phần tửx ∈m được gọi là phần tử lọc chính quy đối với M nếu x / ∈p với mọi p∈ Ass R (M )\{m}.
Một dãy các phần tử x₁, , xₙ của R được gọi là dãy lọc chính quy của M nếu mỗi phần tử xᵢ là phần tử lọc chính quy của M/(x₁, , xᵢ₋₁)M cho mọi i = 1, , n.
Mệnh đề 1.2.12 ([15]) Cho dãy các phần tử x 1 , x 2 , , x n ∈m Khi đó, (i) x 1 , x 2 , , x n là M −dãy lọc chính quy nếu và chỉ nếu x 1 1 , x 1 2 , , x 1 n là
M p −dãy chính quy với mọi p∈ Supp(M )\{m} chứa x 1 , x 2 , , x n
(ii) Nếu x 1 , x 2 , , x n là M −dãy lọc chính quy thì x α 1 1 , x α 2 2 , , x α n n cũng là M −dãy chính quy lọc với mọi α 1 , α 2 , , α n ∈N.
Để chứng minh bằng quy nạp, chúng ta chỉ cần xem xét trường hợp n = 1 Cho x₁ là dãy lọc chính quy của M và p thuộc Supp(M) \ {m} sao cho x₁ ∈ p Giả sử x₁₁ không phải là dãy chính quy của Mp Khi đó, tồn tại qR p ∈ Ass R p (Mp) sao cho x₁₁ ∈ qR p Từ đó, ta suy ra x₁ ∈ q và q ∈ Ass R (M), với dim R/q ≥ 1 Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết rằng x₁ là dãy lọc chính quy của M.
Ngược lại, x₁ là dãy chính quy của Mₚ với mọi p ∈ Supp(M) \ {m} chứa x₁ Giả sử x₁ không phải là phần tử lọc chính quy của M, thì tồn tại p ∈ Ass R(M) với x₁ ∈ p và dim R/p ≥ 1 Do đó, x₁₁ ∈ pRₚ ∈ Ass Mₚ, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng x₁₁ là phần tử chính quy của Mₚ.
Theo (i) ta có x 1 1 , x 1 2 , , x 1 n là M p −dãy chính quy với mọi p∈ T Theo Định lí 1.2.8 thì x α 1
1 , , x αn n 1 làM p - dãy chính quy với mọi p∈ T Do đó, theo (i) ta lại có x α 1 1 , x α 2 2 , , x α n n là M- dãy lọc chính quy.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nếu I là lý thuyết của vành R với điều kiện dim(M/IM) ≥ 1, thì mọi M-dãy lọc chính quy trong I đều có độ dài hữu hạn Ngoài ra, mọi M-dãy lọc chính quy đều có thể được bổ sung thành dãy cực đại, và tất cả các dãy cực đại này đều có cùng độ dài.
Nếu dim(M/IM ) ≤ 0thì mọi số nguyên dương n đều có thể chọn ra một
Môđun đối đồng điều địa phương
Hàm tử dẫn xuất phải
Định nghĩa 1.3.1 ([2]) Hàm tử dẫn xuất phải thứ icủa hàm tử hiệp biến
F kí hiệu là R i F được xác định như sau:
(i) Với mọi môđun M và một giải thức nội xạ thu gọn của M:
− → Tác động F vào P M , ta được đối phức:
(ii) Với f : M → N và một giải thức nội xạ thu gọn của môđun N:
− → theo định lí so sánh các giải thức nội xạ, luôn tồn tại một phép biến đổi đối phức f ¯ : P M → Q N Tác động F vào f ¯ , ta được phép biến đổi đối phức
Môđun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.3.2 ChoI là một iđêan của vànhRvà M là mộtR−môđun. Đặt
(0 : M I) := {m ∈ M | mI = 0} trong đó mI = {ma | a ∈ I}.
(0 : M I n ) Định nghĩa 1.3.3 ([2]) MôđunΓ I (M)được gọi là môđun conI−xoắn của môđun M.
Môđun M được gọi là môđun I −xoắn nếuΓ I (M ) = M.
Mệnh đề 1.3.4 ([2]) Cho vành R, I ⊂ R là một iđêan Nếu h : M → N là một đồng cấu R−môđun thì ta có h(Γ I (M )) ⊂ Γ I (N ).
Chứng minh rằng với x ∈ h(Γ I (M )), tồn tại m ∈ Γ I (M) sao cho x = h(m) Do m ∈ Γ I (M), có n 0 ∈ N với m ∈ (0 : M I n 0 ) Hơn nữa, h(m)I n 0 = h(mI n 0 ) = h(0) = 0, cho thấy h là đồng cấu R−môđun Từ đó, suy ra xI n 0 = 0, hay x ∈ (0 : N I n 0 ), dẫn đến kết luận x ∈ [ n∈N.
Mệnh đề 1.3.5 ([2]) Cho vành R, I ⊂ R là một iđêan và h : M → N là một đồng cấu R−môđun Khi đó tương ứng Γ I (h) : Γ I (M ) −→ Γ I (N ) m 7−→ h(m) là một đồng cấu R−môđun.
Chứng minh Ta có h(Γ I (M )) ⊂ Γ I (N ) suy ra Γ I (h) xác định.
Vậy Γ I (h) là một đồng cấu R−môđun.
Mệnh đề 1.3.6 ([2]) Cho vành R, I ⊂ R là một iđêan Khi đó Γ I (•) xác định một hàm tử tuyến tính hiệp biến của R−môđun Hàm tử Γ I (•) được gọi là hàm tử I−xoắn.
Chứng minh Ta cần chứng minh Γ I (•) thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa hàm tử tuyến tính hiệp biến.
+ Với mọi h : M → N là đồng cấu R−môđun, theo Mệnh đề 1.3.5 thì Γ I (h) : Γ I (M ) → Γ I (N ) là đồng cấu R−môđun.
+ Với mọi m ∈ Γ I (M), h : M → N, l : N → P là các đồng cấu R−môđun, ta có Γ I (l ◦ h)(m) = (l ◦ h)(m) = l ◦ (h(m)) = l ◦ Γ I (h)(m)
+ Với mọi m ∈ Γ I (M ), ta có Γ I (id M )(m) = id M (m) = m = id Γ I (M ) (m). Suy ra Γ I (id M ) = id Γ I (M )
+ Với mọi m ∈ Γ I (M ), h, l : M → N là các đồng cấu R−môđun, ta có Γ I (l + h)(m) = (l + h)(m) = l(m) + h(m) = Γ I (l)(m) + Γ I (h)(m) = Γ I (l) + Γ I (h)
+ Với mọi r ∈ R, h : M → N là đồng cấu R−môđun, ta có Γ I (rh)(m) = (rh)(m) = rh(m) = rΓ I (h)(m).
Hàm tử tuyến tính hiệp biến Γ I (•) thuộc phạm trù R−môđun Theo định nghĩa, cho một iđêan I ⊆ R và một số nguyên i ∈ N, hàm tử dẫn xuất thứ i của hàm tử Γ I (•) được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I, ký hiệu là H I i (•).
Cho M là R−môđun Khi đó luôn tồn tại một phép giải phải nội xạ ((P • , d • ); a) của M sao cho ta có dãy sau khớp
−→ P 3 → với mỗi R−môđun P i là môđun nội xạ, với mọi i ∈ Z Khi đó, ta có giải thức nội xạ thu gọn:
−→ P 3 → Tác động hàm tử I−xoắn Γ I (•), ta được đối phức mới (Γ I (P • ), Γ I (d • ))
−−−−→ Γ I (P 3 ) → Khi đó, môđun đối đồng điều thứ i của đối phức này là
H I i (M ) = H i (Γ I (P • ), Γ I (d • )) = Ker(Γ I (d i ))/ Im(Γ I (d i−1 )). Định nghĩa 1.3.8 ([2]) H I i (M ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của R−môđun M đối với iđêan I.
Cho f : M → N là đồng cấu R−môđun Đồng cấu cảm sinh bởi f trong đối đồng điều địa phương thứ itheo iđêan I được định nghĩa như đồng cấu R−môđun:
Trong đó ((M • , d • ); a), ((N • , e • ); b) là phép giải phải nội xạ tương ứng của
(i) VìΓ I (•) là hàm tử hiệp biến và tuyến tính (theo Mệnh đề 1.3.6) nên hàm tử đối đồng điều địa phương H I i (•) cũng hiệp biến và tuyến tính.
Giả sử f : M → N và g : N → P là các đồng cấu R−môđun.
I (M ). Suy ra H I i (•) là hiệp biến.
Cho h : M → N là đồng cấu R−môđun và λ ∈ R.
Suy ra H I i (•) là R−tuyến tính.
(ii) Vì Γ I (•) là khớp trái nên H I 0 (•) là tương đương tự nhiên với Γ I (•) Vì vậy, chúng ta có thể đồng nhất hai hàm tử này với nhau.
Dãy khớp ngắn các R−môđun (A) được biểu diễn như sau: 0 → L − → f M − → g N → 0 Đối với mọi i ∈ N, việc tác động môđun đối đồng điều vào và sử dụng đồng cấu kết nối H I i (N ) → H I i−1 (L) giúp liên kết dãy khớp ngắn (A) thành dãy dài vô hạn đối đồng điều địa phương.
(iv) Cho sơ đồ giao hoán của R−môđun:
0 L 0 M 0 N 0 0 f g f 0 g 0 λ à ν với các dòng là khớp Khi đó ta có sơ đồ sau giao hoán: ã ã ã H I i (L) H I i (M ) H I i (N ) H I i+1 (L) ã ã ã ã ã ã H I i (L 0 ) H I i (M 0 ) H I i (N 0 ) H I i+1 (L 0 ) ã ã ã
Thật vậy giả sử à ◦ f = f 0 ◦ λ theo (i) ta cú H I i hiệp biến do đú khi ta tác động hai phía bởi hàm tử đối đồng điều địa phương H I i ta có
Chú ý 1.3.10 ([2]) Cho I và J là hai iđêan có √ I = √
Khi đó H I i (M ) = H J i (M ), với mọi i ∈N với M là R−môđun.
Mệnh đề 1.3.11 ([2]) Nếu M là R−môđun I −xoắn và N ⊆ M là môđun con của M Khi đó N, M/N là môđun I −xoắn.
Chứng minh rằng M là môđun I−xoắn, ta có M = Γ I (M ) Đối với mọi phần tử m ∈ M, tồn tại n ∈ N sao cho I n m = 0 Do N ⊆ M, nên với x ∈ N, ta có x ∈ M Điều này cho thấy với mọi x ∈ N, tồn tại n ∈ N sao cho I n x = 0, từ đó suy ra N là môđun I−xoắn Tương tự, xét x ∈ M/N, ta có x = m + N với m ∈ M Đối với n ∈ N, ta có I n (m + N) = 0, do đó M/N cũng là môđun I−xoắn.
Mệnh đề 1.3.12 ([2]) Cho I là một iđêan của vành Noether R, i ∈N và
M là R−môđun Khi đó, môđun đối đồng điều H I i (M ) là môđun I −xoắn.Chứng minh Theo định nghĩa về môđun đối đồng điều địa phương:
H I i (M ) =Ker(Γ I (d i ))/Im(Γ I (d i−1 )). Theo định nghĩa: Γ I (d i ) : Γ I (M i ) −→ Γ I (M i+1 ) m 7−→ d i (m)
Khi đó, dễ thấy Ker(Γ I (d i )) là môđun con của môđun I−xoắn Γ I (M i ) và Im(Γ I (d i−1 )) là môđun con của môđun I −xoắn Γ I (M i ).
Do Im(Γ I (d i−1 )) ⊆Ker(Γ I (d i )) nên ta suy ra môđun thương:
H I i (M ) =Ker(Γ I (d i ))/Im(Γ I (d i−1 )) là môđun I−xoắn.
Chú ý 1.3.13 ([2]) Cho M là một R−môđunI−xoắn Khi đó tồn tại một phép giải phải nội xạ của M mà mỗi phần tử là một R−môđun I−xoắn.
Mệnh đề 1.3.14 ([2]) Cho M, N là các R−môđun, trong đóM làI−xoắn. Khi đó,
(iii) Đồng cấu π : N → N/Γ I (N ) cảm sinh đẳng cấu
(i) M là R−môđun I−xoắn nên theo Chú ý 1.3.13 thì M có một giải thức nội xạ thu gọn
− → P i+1 → với tất cả các môđun P i là R−môđun I−xoắn Do đó Γ I (P i ) = P i với mọi i > 0.
−−−→ Γ I (P i+1 ) → cũng khớp tạiΓ I (P i )với mọii > 0 Khi đó, với mọii > 0ta cóIm(Γ I (d i−1 )) = Ker Γ I (d i ) Suy ra H I i (M ) = Ker Γ I (d i )/ Im(Γ I (d i−1 )) = 0.
(ii) Vì Γ I (N ) là R−môđun I−xoắn nên từ (i) ta có
H I i (Γ I (N )) = 0, với mọi i > 0. (iii) Ta có dãy khớp ngắn:
0 → Γ I (N ) → N − → π N/Γ I (N ) → 0 Tác động môđun đối đồng điều vào ta được dãy khớp dài:
Từ (ii), ta có H I i (Γ I (N )) = 0, với mọi i > 0 nên ta có các dãy khớp
Do đó H I i (π) : H I i (N ) − → ∼ = H I i (N/Γ I (N )), với mọi i > 0. Định lý 1.3.15 ([2], Mệnh đề 6.2.7) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của vành R Khi đó depth(I, M ) = inf{i | H I i (M) 6= 0}.
Chương 2 k−DÃY CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG
Trong chương này, chúng tôi luôn xét(R,m)là vành Noether địa phương,
I là một iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh với dim M = d Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm và tính chất về k−dãy chính quy và k−độ sâu cho mỗi số nguyên k ≥ 0, dựa trên tài liệu [6] Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày ứng dụng của k−dãy chính quy và k−độ sâu trong việc nghiên cứu tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương.
k− dãy chính quy và kết quả hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết
tập iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 2.1.1 ([6]) Cho k ≥ 0là một số nguyên, một dãy x 1 , , x n ∈
Một k-dãy chính quy của M trong I được định nghĩa là một chuỗi x_i mà với mọi p thuộc Ass(M/(x_1, , x_{i-1})M), điều kiện dim R/p ≥ k được thỏa mãn cho mọi i từ 1 đến n Khi đó, k-dãy chính quy của M trong m được gọi là k-dãy chính quy của M Ngoài ra, một phần tử x thuộc m được coi là một k-phần tử chính quy của M nếu x không thuộc p với mọi p trong Ass(M) thỏa mãn điều kiện dim R/p ≥ k.
0−dãy chính quy là khái niệm dãy chính quy đã biết, trong khi 1−dãy chính quy là khái niệm dãy lọc chính quy được giới thiệu bởi N T Cường, P Schenzel và N V Trung Cuối cùng, 2−dãy chính quy là dãy chính quy suy rộng được giới thiệu bởi L.
Bổ đề 2.1.2 ([6]) Cho k ≥ 0 là một số nguyên và x 1 , , x n ∈m Khi đó ta có
(i) x 1 , , x n là một k−dãy chính quy của M nếu và chỉ nếu x 1 1 , , x 1 n là một dãy chính quy của M p với mọi p∈ Supp(M) chứa x 1 , , x n thỏa mãn dim R/p≥ k, trong đó x 1 i là ảnh của x i trong R p
(ii) Nếu x 1 , , x n là một k−dãy chính quy của M thì x t 1 1 , , x t n n cũng là một k−dãy chính quy với mọi số nguyên dương t 1 , , t n
(iii) Phần tử x ∈m là một k−phần tử chính quy của M nếu và chỉ nếu dim(0 : M x) < k.
Bằng quy nạp, chúng ta chỉ cần chứng minh trường hợp n = 1 Giả sử x₁ là k-dãy chính quy của M và p ∈ Supp R(M) với dim R/p ≥ k và x₁ ∈ p Nếu x₁₁ không phải là dãy chính quy của Mₚ, thì tồn tại qRₚ ∈ Ass Rₚ(Mₚ) sao cho x₁₁ ∈ qRₚ Điều này dẫn đến x₁ ∈ q và q ∈ Ass R(M), với dim R/q ≥ k, gây mâu thuẫn với giả thiết x₁ là k-dãy chính quy.
Ngược lại, x₁ là dãy chính quy của Mₚ, với mọi p thuộc tập hỗ trợ của M Giả sử x₁ không phải là k-dãy chính quy của M, thì tồn tại p thuộc Ass M, với dim R/p ≥ k sao cho x₁ thuộc p Điều này dẫn đến việc x₁₁ thuộc pRₚ, và p thuộc Ass Mₚ, gây mâu thuẫn với giả thiết rằng x₁₁ là phần tử chính quy của Mₚ.
(ii) x 1 , , x n là k−dãy chính quy của M Suy ra x 1 1 , , x 1 n là M p dãy chính quy, ∀p∈ Supp M, dim R/p≥ k Theo Định lý 1.2.8, x t 1 1
Dãy chính quy x₁, , xₙ của M dẫn đến k−dãy chính quy của M Nếu x là một k−dãy chính quy của M và dim(0 : M x) ≥ k, thì có thể chọn p thuộc Ass R (0 : M x) với dim R/p ≥ k Điều này cho thấy p cũng thuộc Ass R (M) và x nằm trong p, tạo ra mâu thuẫn với giả thiết x là k−dãy chính quy của M Do đó, ta kết luận rằng dim(0 : M x) < k.
Nếu x không phải là k−phần tử chính quy, thì tồn tại p∈ Ass M sao cho dim R/p≥ k và x ∈ p Để chứng minh dim(0 : M x) ≥ k, ta nhận thấy rằng p∈ Ass M có nghĩa là p= Ann R (m) với m ∈ M, do đó x ∈ Ann R (m).
Từ đây ta cóxm = 0 suy ra m ∈ (0 : M x) Khi đóp∈ Ass(0 : M x) Mặt khác, dim(0 : M x) = max{dim R/q|q∈ Ass(0 : M x)} ≥ dim R/p≥ k Điều này mâu thuẫn với giả thiết dim(0 : M x) < k.
Cho một dãy x = (x 1 , , x n ) các phần tử trong m, ta đặt
Chú ý rằng tập T (x, M) không phải là một tập hữu hạn Katzman đã đưa ra ví dụ về vành Noether địa phương (R,m) với hai phần tử x, y ∈ m, trong đó Ass(H (x,y)R 2 (R)) là một tập vô hạn Do đó, tập ∪ n∈ N Ass(R/(x n , y n )R) cũng là một tập vô hạn.
Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra một số trường hợp trong đó T (x, M) là một tập hữu hạn.
Mệnh đề 2.1.3 ([6]) Cho x = (x 1 , , x n ) là một k−dãy chính quy của
M Khi đó chúng ta có
{p∈ T (x, M ) : dim R/p≥ k} = {p∈ Ass(M/(x 1 , , x n )M ) : dim R/p≥ k}. Đặc biệt, tập {p∈ T (x, M) : dim R/p≥ k} là hữu hạn.
Chứng minh rằng nếu p ∈ T(x, M) và dim R/p ≥ k, thì tồn tại các số nguyên dương t₁, , tₙ sao cho p ∈ Ass(M/(x₁^t₁, , xₙ^tₙ)M) Điều này dẫn đến pRₚ ∈ Ass Rₚ(Mₚ/(x₁^t₁, , xₙ^tₙ)Mₚ) và do đó depth Rₚ(Mₚ/(x₁^t₁, , xₙ^tₙ)Mₚ) = 0 Đối với mỗi a ∈ R, ký hiệu a₁ là ảnh của a trong Rₚ, và cần lưu ý rằng x₁^t₁, , xₙ^tₙ tạo thành một dãy k-dãy chính quy của M theo Bổ đề 2.1.2(ii).
Bổ đề 2.1.2(i) chúng ta có x t 1 1
1 , , x 1 tn n là một dãy chính quy trong M p , và vì thế nó là dãy chính quy cực đại bởi vì depth R p (M p /(x t 1 1 , , x t n n )M p ) = 0.
Do đó x 1 1 , , x 1 n là một dãy chính quy cực đại trong M p Vì thế, pR p ∈ Ass(M p /(x 1 , , x n )M p ) Do đó, p∈ Ass(M/(x 1 , , x n )M ) Suy ra
Chiều ngược lại là hiển nhiên. Đặc biệt, vì Ass(M/(x 1 , , x n )M ) là tập hữu hạn nên {p ∈ T (x, M ) : dim R/p≥ k} là tập hữu hạn.
(i) Nếu x = (x 1 , , x n ) là một dãy chính quy của M, thì
T (x, M) = Ass(M/(x 1 , , x n )M ). (ii) Nếu x = (x 1 , , x n ) là một dãy chính quy lọc của M, thì
T (x, M )\{m} = Ass(M/(x 1 , , x n )M )\{m}. Trong trường hợp này, T (x, M ) là tập hữu hạn.
Chứng minh Với k = 0 và k = 1 trong Mệnh đề 2.1.3, chúng ta có điều phải chứng minh.
Lý thuyết biểu diễn thứ cấp, được Macdonald giới thiệu vào năm 1973, đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ.
Một R−môđun S được xem là thứ cấp nếu S khác không và với mọi r thuộc R, phép nhân bởi r trên S là toàn cấu hoặc lũy linh Nếu S là thứ cấp, thì pAnn R (S) = p là một iđêan nguyên tố, do đó S được gọi là môđun p−thứ cấp.
Một biểu diễn thứ cấp của R−môđun M là phân tích M thành tổng hữu hạn các môđun con thứ cấp Cụ thể, M có thể được viết dưới dạng M = M1 + + Mr, trong đó các môđun con Mi là các thành phần thứ cấp Môđun M được coi là biểu diễn được nếu nó bằng 0 hoặc có một biểu diễn thứ cấp.
Biểu diễn thứ cấp M = M1 + M2 + + Mr được xem là tối thiểu khi không có môđun nào thừa và các p i khác nhau với mọi i khác j Do tổng của hai môđun con p-thứ cấp cũng là môđun con p-thứ cấp, nên mọi biểu diễn thứ cấp của M có thể được chuyển đổi về dạng tối thiểu.
Iđêan nguyên tố p được gọi là nguyên tố gắn kết của R−môđun M nếu
M có môđun thương là p−thứ cấp Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của
M được ký hiệu là Att R (M) Định lý 2.1.5 chỉ ra rằng nếu M là môđun biểu diễn được, thì Att R (M) sẽ là tập hữu hạn Giả sử M = M1 + + Mr là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M, trong đó Mi là p_i-thứ cấp.
Kết quả của Macdonald cho thấy rằng các môđun biểu diễn bao gồm các môđun Artin Theo Định lý 2.1.6, mọi R−môđun Artin đều có khả năng biểu diễn.
Giả sử M là một R−môđun Artin không thể biểu diễn, ta xem xét tập hợp các môđun con không rỗng và không thể biểu diễn của M Tập hợp này không rỗng vì bao gồm chính M.
k− độ sâu
Cho M là một R−môđun hữu hạn sinh với dim M = d và I là một iđêan của R Cận trên đúng của các k−dãy chính quy của M trong I được gọi là k−độ sâu của M trong I, ký hiệu là k-depth(I; M).
Bổ đề 2.2.2 ([6], 3.2) Giả sử dim M/IM = d − r Khi đó chúng ta có (i) k-depth(I; M) ≤ r với mọi k = 0, 1, , d − r.
Khi cho k ≤ d − r, mỗi k−dãy chính quy của M trong I trở thành một phần của hệ tham số của M Cần lưu ý rằng mỗi phần của hệ tham số này trong I có độ dài tối đa r, dẫn đến kết luận rằng k-depth(I; M) ≤ r.
Giả sử k-depth(I; M) = n < ∞ và cho x1, , xn là một k-dãy chính quy của M trong I Nếu I ⊆ p với mỗi p ∈ Ass(M/(x1, , xn)M) thỏa mãn dim(R/p) ≥ k, thì d - r = dim M/IM ≥ dim M/pM = dim R/p ≥ k > d - r, điều này dẫn đến mâu thuẫn Do đó, I * p với mỗi p ∈ Ass(M/(x1, , xn)M) phải thỏa mãn dim(R/p) ≥ k Như vậy, tồn tại một phần tử xn+1 ∈ I sao cho x1, , xn+1 là một k-dãy chính quy trong M, từ đó suy ra k-depth(I; M) ≥ n + 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
Bổ đề 2.2.3 Cho r là một số nguyên dương Giả sử dim M/IM ≥ k Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(ii) I chứa một k−dãy chính quy của M có độ dài r.
Vì dim Ext 0 R (R/I ; M) < k, nên với mọi p ∈ Ass M, dim R/p ≥ k, ta có I * p Do đó, tồn tại phần tử x 1 ∈ I sao cho x 1 ∈ / p, với mọi p ∈ Ass M, dim R/p ≥ k, hay x 1 là k−dãy chính quy của M Theo Bổ đề 2.1.2 (i), dim(0 : M x 1 ) < k Chúng ta sẽ chứng minh kết quả bằng quy nạp theo r, và trong trường hợp r = 1, từ chứng minh trên, ta suy ra kết quả đúng.
Giả sử r > 1 Vì dim(0 : M x 1 ) < k nên dim Ext i R (R/I; 0 : M x 1 ) < k với mọi i. Xét dãy khớp
Ext i R (R/I ; M ) → Ext i R (R/I ; x 1 M ) → Ext i+1 R (R/I; 0 : M x 1 ) với mọi i.
Ext i R (R/I; M ) → Ext i R (R/I; M/x 1 M ) → Ext i+1 R (R/I ; x 1 M ) với mọi i.
Từ đây dim Ext i R (R/I ; M/x 1 M ) < k, ∀i < r − 1 Theo giả thiết quy nạp, tồn tại x 2 , , x r là k−dãy chính quy của M/x 1 M trong I Do đó, x 1 , , x r là k−dãy chính quy của M trong I.
Giả sử x₁, , xᵣ là một k-dãy chính quy của M trong I Cho p ∈ Supp M/IM với dim R/p ≥ k, theo Bổ đề 2.1.2(i), x₁₁, , x₁ᵣ là Mₚ-dãy chính quy trong IRₚ Do đó, Extⁱᴿ(R/I; M)ₚ = 0 với mọi i < r, dẫn đến p ∉ Supp Extⁱᴿ(R/I; M) Kết quả là dim Extⁱᴿ(R/I; M) < k với mọi i < r Định nghĩa 2.2.4 nêu rõ một k-dãy chính quy x₁, , xₙ của M trong.
I được gọi là cực đại nếu không tồn tại phần tử y ∈ I sao cho x 1 , , x n , y là một k−dãy chính quy của M trong I.
Từ Bổ đề 2.2.2(i) và Bổ đề 2.2.3 chúng ta có kết quả sau.
Mệnh đề 2.2.5 ([6], 3.4) Giả sử dim M/IM ≥ k Khi đó, mỗi k−dãy chính quy cực đại của M trong I đều có độ dài hữu hạn và có cùng độ dài là k-depth(I; M ).
Nếu \( x_1 \in I \) là một k-phần tử chính quy của \( M \), thì công thức \( k-depth(I; M) = k-depth(I; M/x_1 M) + 1 \) cho thấy mối liên hệ giữa độ sâu k và các phần tử chính quy Kết quả này cũng chỉ ra một số đặc trưng quan trọng của k-depth.
Mệnh đề 2.2.6 ([6], 3.5) Cho k ≥ 0 là một số nguyên và I là một iđêan của R Giả sử dim M/IM ≥ k Khi đó chúng ta có k-depth(I; M ) = min{depth(IR p ; M p ) :p∈ Supp(I/IM ), dim R/p≥ k}
Chứng minh rằng đặtr = k-depth(I; M) Xét x1, , xr là một k-dãy chính quy cực đại của M trong I Với mỗi i < r, ta có dim(Ext i R (R/I; M)) < k và dim(Ext r R (R/I; M)) ≥ k theo Bổ đề 2.2.3 Do đó, ta có r = min{i : dim(Ext i R (R/I; M)) ≥ k}.
Hơn thế nữa, nếu i < r thì Ext i R (R p /IR p ; M p ) = 0 với mỗi p ∈ Supp M/IM với dim R/p≥ k và Ext r R (R p /IR p ; M p ) 6= 0 Do đó r = min{depth(IR p ; M p ) :p∈ Supp M/IM, dim R/p≥ k}.
Mệnh đề chứng minh xong.
Cho I là một iđêan của R với dim M/IM = d − r Theo Bổ đề 2.2.2, 0-depth(I; M ) ≤ 1-depth(I; M ) ≤ ≤ (d − r)−depth(I; M ) ≤ r, và k-depth(I; M ) = ∞ với k > d − r.
Kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương
liên kết của môđun đối đồng điều địa phương
Tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương Ass R H I i (M) không hữu hạn trong trường hợp tổng quát Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả hữu hạn của tập Ass R H I i (M) với giả sử dim M/IM = s Đối với mỗi k = 0, 1, , s, chúng ta định nghĩa n k = k-depth(I; M), lưu ý rằng k-depth(I; M) = ∞ với k > s Chúng tôi sẽ giới thiệu một số kết quả liên quan đến sự hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương H I n k (M) và mô tả cụ thể tập hữu hạn Ass(H I n 2 (M)).
Cho dim M/IM = s Đặt H k = {p ∈ Ass(H I n k (M )) : dim R/p ≥ k} với mọi k = 0, 1, , s Khi đó
∅ 6= H k = {p∈ Ass(Ext n R k (R/I; M )) : dim R/p≥ k}.Trong trường hợp này, H k là một tập hữu hạn với mọi k = 0, 1, , s.
Chứng minh Cho k ∈ {0, 1, , s} Chú ý rằng n k < ∞ theo Bổ đề 2.2.2(i). Theo Mệnh đề 2.2.6 chúng ta có n k = min{depth(IR p ; M p ) :p∈ Supp(M/IM), dim R/p≥ k}
Tồn tại một iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M/IM) với dim R/p ≥ k và depth(IR p ; M p ) = n k, dẫn đến (H I n k (M p )) p = H IR n k p (M p ) 6= 0, từ đó suy ra p ∈ Supp(H I n k (M )) Gọi p 0 là iđêan nguyên tố nhỏ nhất trong Supp(H I n k (M )) sao cho p 0 ⊆ p Khi đó, p 0 ∈ Ass H I n k (M) và dim R/p 0 ≥ dim R/p ≥ k, do đó p 0 ∈ H k và H k 6= ∅.
Giả sử p∈ Ass(H I n k (M )) sao cho dim R/p≥ k Khi đó pR p ∈ Ass(H I n k (M )) p = Ass(H IR n k p (M p )).
Chúng ta chứng minh rằng độ sâu của IR p và M p là n k, với điều kiện H IR n k p (M p ) khác không Cụ thể, cho x 1 , , x n k là một k−dãy chính quy của M trong I, ta có x 1 1 , , x nk 1 là một dãy chính quy của M p trong IR p theo Bổ đề 2.1.2(i) Từ đó, ta suy ra rằng depth(IR p ; M p ) ≥ n k Đồng thời, vì H IR n k p (M p ) khác không, ta cũng có depth(IR p ; M p ) ≤ n k Kết luận, ta có depth(IR p , M p ) = n k.
Ass(H IR n k p (M p )) = Ass(Ext n R k p (R p /IR p ; M p )).
Do đó, p∈ Ass(H I n k (M ))khi và chỉ khi pR p ∈ Ass(H IR n k p (M p )), khi và chỉ khi pR p ∈ Ass(Ext n R k p (R p /IR p ; M p )) Từ đó suy ra p ∈ Ass(H I n k (M )) khi và chỉ khi p∈ Ass(Ext n R k (R/I; M )).
Vì Ass(Ext n R k (R/I; M )) là tập hữu hạn nên H k cũng là tập hữu hạn.
Với mỗi số nguyên i ≥ 0, chúng ta không thể biết liệu rằng giá của
H I i (M) là một tập con đóng của phổ R, và Supp(H I i (M)) sẽ là đóng trong Spec R nếu và chỉ nếu H I i (M) chỉ có hữu hạn số nguyên tố liên kết tối tiểu Do đó, chúng ta cần xem xét liệu tập hợp tất cả số nguyên tố liên kết tối thiểu của H I i (M) có phải là hữu hạn hay không Định lý 2.3.1 cung cấp một số chỉ số i, cho thấy rằng tập hợp tất cả các số nguyên tố liên kết có chiều cao nhất của H I i (M) là hữu hạn.
Kết quả sau đây, một hệ quả của Định lý 2.3.1, chứng minh tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.
Hệ quả 2.3.2 cho thấy rằng với một iđêan I của R và dim M/IM = s, ta có k-depth(I; M) được ký hiệu là n_k với k = 0, 1, , s, dẫn đến H I n_k (M) khác 0 cho mọi k Hơn nữa, Ass(H I n 0 (M)) tương đương với Ass(Ext n R 0 (R/I; M)), cho thấy Ass(H I n 0 (M)) là tập hữu hạn Kết quả này cũng là một hệ quả từ Định lý 2.3.1, mô tả tập iđêan nguyên tố liên kết của H I n 1 (M).
Hệ quả 2.3.3 ([6], 4.3) Cho I là một iđêan của R với dim M/IM > 0. Đặt n 1 = 1-depth(I ; M ) Khi đó chúng ta có
Ass(H I n 1 (M )) ∪ {m} = Ass(Ext n R 1 (R/I; M )) ∪ {m}. Đặc biệt Ass(H I n 1 (M )) là tập hữu hạn.
Tiếp theo chúng ta mô tả tập Ass(H I n 2 (M )) Trước hết, chúng ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.4 ([6], 4.4) Cho K là một R−môđun và T là một môđun con của K Khi đó
Ass K ∪ Supp T = Ass(K/T ) ∪ Supp(T ). Hơn nữa, nếu Supp T là tập hữu hạn thì Ass(K/T ) ⊆ Ass K ∪ {m}.
Chứng minh Hiển nhiên có Ass K ⊆ Ass(K/T ) ∪ Supp(T ).
Cho p ∈ Ass(K/T )\ Supp T Khi đó p = (T : R m) với m là phần tử thuộc
Trong quá trình phân tích, ta thấy rằng pm ⊆ T và do p không thuộc Supp T, dẫn đến T p = 0 và (pm) p = 0 Với pm được sinh bởi một tập hữu hạn các phần tử, ta có thể biểu diễn pm dưới dạng (m 1 , , m t )R, trong đó mỗi m i thuộc K Ký hiệu m 1 i là ảnh của m i trong (pm) p Vì m 1 i = 0, tồn tại các phần tử r i không thuộc p sao cho r i m i = 0 Đặt r = r 1 r t, ta có r không thuộc p và r(pm) = 0, từ đó suy ra p ⊆ Ann(rm) Nếu a thuộc Ann(rm), thì arm = 0 và ar thuộc Ann(m), dẫn đến ar thuộc (T : r m) = p Vì r không thuộc p, suy ra a thuộc p, do đó p = Ann(rm) và kết luận rằng p thuộc Ass K.
Bây giờ giả sử Supp T là tập hữu hạn Lấy p6= m sao cho p ∈ Supp T Khi đó p là phần tử nhỏ nhất của Supp T Do đó, p∈ Ass T Từ đây p∈ Ass K.
Vì vậy Supp T ⊆ Ass K ∪ {m} Suy ra
Bổ đề được chứng minh xong.
Bổ đề 2.3.5 cho biết rằng tập H I i (M) là hữu hạn với mọi i < 2-depth(I; M), và đặc biệt, Ass H I i (M) cũng là một tập hữu hạn với mọi i < 2-depth(I; M) Định lý 2.3.6 đưa ra một kết quả hữu hạn cho tập Ass(H I n 2 (M)) Cụ thể, với I là một ideal của R và dim M/IM > 1, đặt n 2 = 2-depth(I; M) và giả sử n 2 ≥ 1, nếu x 1, , x n 2 −1 là 2−dãy chính quy của M trong I, thì khi đặt M = M/(x 1, , x n 2 −1)M và P = ∪ n i=1 2 −1 Supp(H I i (M)), ta có những kết quả quan trọng tiếp theo.
Ass(H I n 2 (M )) ∪ P = Ass(Ext 1 R (R/I; M /H I 0 (M ))) ∪ P (2.1) Đặc biệt, Ass(H I n 2 (M )) là một tập hữu hạn.
Chứng minh Trường hợp n 2 = 1 Chúng ta có
Ass(H I 1 (M )) = Ass(H I 1 (M/H I 0 (M ))) = Ass(Ext 1 R (R/I ; M/H I 0 (M))), và (2.1) đúng trong trường hợp này.
Trường hợp n 2 > 1 Đặt M 1 = M/x 1 M Vì x 1 là một 2−phần tử chính quy của M nên theo Bổ đề 2.1.2(iii) ta có dim(M : R x 1 ) ≤ 1 Do đó H I j (M) ∼ =
H I j (M/(0 : M x 1 )) với mọi j ≥ 2 Từ dãy khớp
0 → M/(0 : M x 1 ) − x − → 1 M → M 1 → 0, chúng ta có dãy khớp sau
H I j−1 (M ) → H I j−1 (M 1 ) → H I j (M ) − x − → 1 H I j (M ) (2.2) với mọi j ≥ 2 Kí hiệu T là ảnh của ánh xạ H I n 2 −1 (M) → H I n 2 −1 (M 1 ) trong dãy khớp (2.2) Vì n 2 ≥ 2, chúng ta có (0 : H n 2
I (M ) x 1 ) ∼ = H I n 2 −1 (M 1 )/T Vì T là một thương của H I n 2 −1 (M ), chúng ta có Supp T ⊆ Supp(H I n 2 −1 (M )) ⊆ P.
Từ Bổ đề 2.3.4 chúng ta có
Chú ý rằng 2-depth(I ; M 1 ) = n 2 − 1 ĐặtP 1 = ∪ n i=1 2 −2 Supp(H I i (M 1 )) Từ (2.2) kéo theo
Supp(H I i−1 (M 1 )) ⊆ Supp(H I i−1 (M )) ∪ Supp(H I i (M )) với mọi i ≥ 2 Do đó, P 1 ⊆ P Bằng giả thiết quy nạp,
= Ass(Ext 1 R (R/I; M /H I 0 (M ))) ∪ P, và (2.1) được chứng minh VìP là tập hữu hạn (Bổ đề 2.3.5) nênAss(H I n 2 (M)) là tập hữu hạn.
Luận văn đạt được những kết quả sau:
1 Trình bày những kiến thức cơ bản về tập iđêan nguyên tố liên kết, dãy chính quy, độ sâu và môđun đối đồng điều địa phương.
2 Trình bày chứng minh chi tiết một số tính chất về k−dãy chính quy, k−độ sâu.
3 Trình bày chứng minh chi tiết kết quả hữu hạn của tập nguyên tố liên kết [ t 1 , ,t n ∈ N
Ass M/(x t 1 1 , , x t n n )M trong đó x 1 , , x n là một k−dãy chính quy của M.
4 Trình bày chứng minh chi tiết kết quả hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương {p ∈ Ass H I n k (M ) :dim R/p≥ k} trong đó n k = k-depth(I; M).
[1] M Brodmann, Asymptotic stability of Ass R (M/I n M ), Proc Amer. Math Soc., (1) 74 (1979), 16-18
[2] M Brodman and R Y Sharp " Local cohomology: an algebraic in- troduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998.
[3] M Brodmann and L T Nhan,A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm Algebra, (4) 36 (2008), 1527-1536.
[4] W Bruns and H.J Herzog, Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Uni- versity Press (1993).
[5] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung, Verallgemeinerte Cohen- Macaulay Mod- uln, Math Nachr., 85 (1978), 57-73.
[6] N Q Chinh and L T Nhan,On the associated primes and the support of local cohomology modules, Algebra Colloq 15(2008), no 4, 599-608.
[7] C Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commu- tative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math., 2 (1992), 93-108.
[8] C Huneke and R Y Sharp,Bass numbers of local cohomology modules,Trans Amer Math Soc., 339 (1993), 765-779.