BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HOÀNG MINH SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI LỚP VÀNH CO-HARADA VÀ PSEUDO-FROBENIUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HOÀNG MINH SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI LỚP VÀNH CO-HARADA VÀ PSEUDO-FROBENIUS Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số 46 01 04 : Người hướng dẫn : TS Lê Đức Thoang Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Bình Định, ngày 23 tháng 06 năm 2020 Tác giả Nguyễn Hoàng Minh Lời cảm ơn Lời xin gởi đến TS Lê Đức Thoang lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt khóa học, đặc biệt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến tất thầy khoa Tốn Thống kê trường Đại Học Quy Nhơn nhiệt tình giảng dạy chúng tơi suốt khóa học Xin cảm ơn vị lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Quy Nhơn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học Tơi xin cảm ơn gia đình tơi, giảng viên trường Đại học Phú Yên, bạn học viên Cao học khóa 21 hỗ trợ, động viên tơi suốt thời gian học Cuối cùng, kiến thức hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Bình Định, ngày 23 tháng 06 năm 2020 Tác giả Nguyễn Hoàng Minh Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Vành QF số đặc trưng 1.3 Một số kết liên quan 11 Một số đặc trưng vành co-H vành PF 16 2.1 Vành PF số đặc trưng 16 2.2 Vành co-H số đặc trưng 22 Sự tương giao hai lớp vành co-H vành PF 30 3.1 Một số ví dụ lớp vành co-H vành PF 30 3.2 Sự tương giao hai lớp vành co-H vành PF 33 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 45 Một số kí hiệu viết tắt N, Z, Q, R, C Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực, số phức (tương ứng) A ⊆ B(A ⊂ B) A môđun (con thực sự) B A A môđun cốt yếu, đối cốt yếu B B, A B A∼ =B Môđun A đẳng cấu với môđun B A Môđun A đẳng câu với môđun B B A⊕B Tổng trực tiếp hai môđun A B E(M ) Bao nội xạ môđun M Zr , Zl Z(RR ), Z(R R) Rad(M ), J(M ) Căn môđun M vành R (tương ứng) Soc(M ) Đế môđun M Sr , Sl Soc(RR ), Soc(R R) Im(f ) Ảnh đồng cấu f Ker(f ) Hạt nhân đồng cấu f End(M ) Vành tự đồng cấu môđun M Mod−R (R−Mod) Phạm trù R−môđun phải (trái) Vành QF Vành quasi-Frobenius (vành tựa Frobenuis) Vành PF Vành pseudo-Frobenius (vành giả Frobenius Vành H Vành Harada Vành co-H Vành co-Harada (vành đối Harada) Mở đầu Hơn kỷ trôi qua kể từ nghiên cứu lý thuyết vành khơng giao hốn bắt đầu với cơng trình tiên phong người trước Wedderburn, Frobenius, Noether, Artin, von Neumann nhiều người khác Kể từ đời, lý thuyết phát triển mở rộng, chiều rộng lẫn chiều sâu Một khảo sát lịch sử cho thấy chủ đề sau đây: biểu diễn nhóm hữu hạn, đại số Frobenius, vành quasi-Frobenius, vành quy von Neumann, đại số đồng điều, lý thuyết phạm trù, tương đương Morita tính đối ngẫu, Định lý Krull-Remak-Schmidt-Azumaya, vành thương cổ điển, vành thương tối đại, lý thuyết xoắn, biển diễn quivers, v.v Mặc dù phạm vi rộng nó, lý thuyết vành chia thành bốn nhánh; cụ thể vành Nơte, vành Artin, vành quy von Neumann lý thuyết môđun với định lý cấu trúc Wedderburn-Artin vành nửa đơn nằm phần giao bốn nhánh Một nội dung trọng tâm lý thuyết vành Artin báo lịch sử (11) Frobenius năm 1903 Trong báo này, Frobenius nghiên cứu đại số hữu hạn chiều trường có biểu diễn quy trái phải tương đương Vào cuối thập niên 1930 đầu thập niên 1940, “đại số Frobenius” xem lại nghiên cứu Brauer-Nesbitt (3), Nesbitt (21), Nakayama-Nesbitt (16) Nakayama (17), (18) Đặc biệt, Nakayama phát triển đại số cách đưa đặc trưng lý thuyết vành giới thiệu vành Frobenius vành quasi-Frobenius (vành QF) qua dạng lược bỏ phụ thuộc vào phép tốn trường Sau đó, vành QF liên tục nghiên cứu trở thành đối tượng trung tâm nghiên cứu lý thuyết vành Nghiên cứu Nakayama vào thập niên 1940 tính đối ngẫu iđêan phải trái phát số lớp vành đặc biệt Năm 1939, Nakayama giới thiệu vành quasi-Frobenius (vành QF) từ loại bỏ phụ thuộc lý thuyết biểu diễn vào đại số hữu hạn chiều Các vành đặc trưng tính chất iđêan phía iđêan linh hóa tử hữu hạn sinh Một vành R gọi quasi-Frobenius (vành QF) R Artin phải trái tự nội xạ phải trái hay nói cách khác R thỏa mãn điều kiện tương đương sau: (1) R Artin phải trái {e1 , e2 , , en } tập sở lũy đẳng nguyên thủy R, tồn phép (Nakayama) σ {1, 2, · · · , n} cho Soc(Rek ) ∼ = Reσk /Jσk ; (2) R vành hoàn chỉnh phải trái tự nội xạ phải trái ; (3) Mọi R−môđun phải trái nhúng vào môđun tự do; (4) R Noether phải trái iđêan phía R linh hóa tử Các vành có tính đối ngẫu tự nhiên iđêan phải trái có lẽ chúng lớp vành khơng nửa đơn thú vị Năm 1967, xác định mối liên hệ môđun nội xạ môđun xạ ảnh, Faith Walker đưa đặc trưng vành QF: Một vành vành QF mội môđun phải nội xạ xạ ảnh, môđun phải xạ ảnh nội xạ Từ kết này, nhiều tác giả mô tả đặc trưng lớp vành tổng quát vành QF thông qua môđun chẳng hạn như: vành pseudo-Frobenius, vành Harada, vành co-Harada, Trên vành QF mơđun trung thành vật sinh môđun trung thành phạm trù Mod−R (R−Mod) tạo lớp vành tổng quát vành QF Năm 1966, (23) Osofsky chứng minh tồn vành mà môđun trung thành vật sinh không vành QF Đồng thời, Osfosky định nghĩa lớp vành pseudo-Frobenius (vành PF) phải trái, vành mà R−mơđun trung thành phải trái vật sinh Lớp vành xây dựng Azamaya (1966) tổng quát hóa vành QF Hơn nữa, cấu trúc nội vành PF phải mơ tả, vành nửa hoàn chỉnh, tự nội xạ phải có đế phải cốt yếu Các lớp vành PF phải vành PF trái không trùng nhau, điều cỏc tỏc gi Dischinger v Mă uller khng nh (5) Những năm 1980, Harada phát hai lớp vành Artin lớp vành tổng quát hóa vành QF Các vành khái niệm đối ngẫu Oshiro (22) nghiên cứu lớp vành này, đặt tên chúng vành Harada (vành H) vành co-Harada (vành co-H) đưa kết bất ngờ vành H trái vành co-H phải trùng Năm 1978, (12), Harada đưa nghiên cứu điều kiện: (∗): Mỗi môđun không bé chứa môđun nội xạ (∗)∗ : Mỗi môđun không đối bé chứa hạng tử trực tiếp xạ ảnh Năm 1989, (22) tác giả Oshiro định nghĩa “một vành R vành co-H phải R thỏa mãn điều kiện (∗)∗ đạt ACC iđêan linh hóa tử phải, vành R vành H phải R thỏa mãn điều kiện (∗) R vành Artin phải” Mặc dù lớp vành PF vành co-H lớp vành mở rộng vành QF theo hai hướng khác nhau, chúng có số điểm tương đồng Nội dung luận văn bao gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số đặc trưng vành co-Harada vành Pseudo Frobenius Chương 3: Sự tương giao hai lớp vành Pseudo Frobenius co-Harada Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm Chương trình bày định nghĩa số kết để sử dụng chương sau Các nội dung kiến thức có liên quan khơng trình bày luận văn tìm thấy tài liệu (1), (2), (19), (20) Trong luận văn này, không nói thêm, vành R cho ln giả thiết vành kết hợp, có đơn vị = R−môđun xét môđun unita phải trái Cho trước vành R, ký hiệu MR (R M ) R−môđun phải (tương ứng trái) Trong trường hợp cụ thể, khơng có nhầm lẫn phía mơđun, ta viết mơđun M thay cho MR Trước tiên, giới thiệu khái niệm điều kiện dây chuyền tăng, dây chuyền giảm môđun Cho R−môđun M L lớp mơđun M Khi L thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) (tương ứng dây chuyền giảm (DCC)) dãy tăng A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ An ⊆ · · · môđun thuộc L dừng (mọi dãy giảm A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ An ⊇ · · · môđun thuộc L dừng), tức tồn n ∈ N cho An = An+1 với i ∈ N 34 Bổ đề 3.1 (2, Bổ đề 3.2.1) Cho M R−môđun phải N môđun M Khi (1) Nếu N mơđun khơng đối bé, M môđun không đối bé (2) Nếu M/N môđun khơng đối bé, M mơđun khơng đối bé Bổ đề 3.2 Cho M R−môđun phải Khi M mơđun khơng đối bé M = Z(M ) Chứng minh Điều suy từ thật môđun M môđun suy biến tồn toàn cấu ϕ : L → M cho Ker ϕ L Bổ đề 3.3 Nếu R thỏa mãn (∗)∗ , R−mơđun phải xạ ảnh khơng phân tích mơđun Chứng minh Gọi P R−môđun phải xạ ảnh không phân tích giả sử tồn mơđun N P với N P Khi P/N mơđun khơng đối bé ta có phân tích trực tiếp P/N = X ⊕ Y với X môđun xạ ảnh khác không (∗)∗ Đặt ϕ : P → P/N tốn cấu tắc đặt ψ : P/N = X ⊕ Y → X phép chiếu Khi ψϕ chẻ ta có phân tích trực tiếp P = Ker(ψϕ) ⊕ P , với P = Do N ⊆ Ker(ψϕ) = P khơng phân tích Bổ đề 3.4 Giả sử R thỏa mãn (∗)∗ Gọi P R−môđun phải xạ ảnh N môđun P Khi N mơđun xạ ảnh N ⊆ Z(P ) Chứng minh (⇒) rõ ràng (⇐) Giả sử N ⊆ Z(P ) Khi N mơđun không đối bé theo Bổ đề 3.2 Hơn N mơđun khơng phân tích N mơđun mơđun P Vì N mơđun xạ ảnh R thỏa mãn (∗)∗ Bây ta đặc trưng điều kiện (∗)∗ 35 Định lý 3.5 Cho R vành với tập đầy đủ lũy đẳng nguyên thủy trực giao Khi phát biểu sau tương đương: (1) R thỏa mãn (∗)∗ ; (2) Với f ∈ Pi (R), tồn e ∈ Pi (R) với eRR nội xạ j0 ∈ N0 với fR ∼ = eJ j Hơn nếu điều kiện tương đương đúng, R vành nửa hồn chỉnh và, với e ∈ Pi (R) với eRR nội xạ, ta có n(e) ∈ N0 cho i) eJ i−1 môđun xạ ảnh đầy đủ khơng thể phân tích với ≤ i ≤ n(e), ii) eJ n(e) suy biến Chứng minh (1) ⇒ (2) Gọi e ∈ Pi (R) với eRR nội xạ Khi eRR đầy đủ khơng thể phân tích theo Harada (13, Mệnh đề 5.4.9) Nếu eJ khơng suy biến, khí eJ môđun xạ ảnh theo Bổ đề 3.4 Hơn eJ đầy đủ khơng thể phân tích theo (13, Mệnh đề 5.4.9) eJ mơđun tự nội xạ Do eJ mơđun tối đại eJ Nếu eJ không suy biến, eJ mơđun xạ ảnh đầy đủ khơng thể phân tích ta khẳng định tồn n(e) ∈ N cho eJ i−1 môđun xạ ảnh đầy đủ phân tích với ≤ i ≤ n(e) eJ n(e) suy biến Giả sử eJ s mơđun xạ ảnh đầy đủ khơng thể phân tích với s ∈ N0 Khi tồn đẳng cấu η : eJ s → eJ t với s, t ∈ N0 phân biệt tồn tập đầy đủ lũy đẳng nguyên thủy trực giao R Hơn nữa, η hay η −1 mở rộng đến đơn cấu eR → eR Đây đồng cấu eR nội xạ Do s = t, mâu thuẫn Do (2) Cho f ∈ pi (R) với f RR khơng nội xạ Khi f R môđun theo Bổ đề 3.3 E(f RR ) khơng phân tích Hơn Z(E(f RR )) = E(f RR ) f R khơng suy biến Do E(f RR ) xạ ảnh khơng thể phân tích theo Bổ đề 3.2 R thỏa mãn (∗)∗ Ta nói E(f RR ) ∼ = eRR , với e ∈ Pi (R) Hơn tồn j ∈ {1, , n(e)} với f R ∼ = eJ j−1 f R khơng suy biến ta có (2) Vì f R 36 đầy đủ khơng thể phân tích Do R vành nửa hoàn chỉnh theo (1, Định lý 27.6) (2) ⇒ (1) Mọi mơđun xạ ảnh khơng phân tích mơđun tự nội xạ theo (2) Vì R vành nửa hoàn chỉnh theo (13, Mệnh đề 5.4.9) Khẳng định Nếu eJ s xạ ảnh với e ∈ Pi (R) với eRR nội xạ s ∈ N, eJ i xạ ảnh với ≤ i ≤ s Một cách hệ ta có dây chuyền giảm mơđun eR eJ ··· eJ s eR Chứng minh Khẳng định Cho eJ s mô tả Lấy x ∈ eJ s−1 − eJ s với xR vành địa phương cho π : gR → xR phủ xạ ảnh, với g ∈ pi (R) Khi eJ s R−mơđun phải địa phương eJ s xạ ảnh khơng thể phân tích R vành nửa hồn chỉnh Vì π(gJ) = eJ s gR đối địa phương theo (ii), π đẳng cấu Do xR xạ ảnh tồn đẳng cấu η : xR → eJ j với j ∈ N0 theo (ii) Khi η hay η −1 mở rộng đến toàn cấu eR đẳng cấu Do xR = eJ s−1 x ∈ eJ s−1 − eJ s Do eJ s−1 xạ ảnh Bây Khẳng định chứng minh quy nạp Đặt M R−mơđun phải khơng đối bé Khi tồn m ∈ M g ∈ Pi (R) cho mgRR không đối bé theo Bổ đề 3.2 Xét tồn cấu (m)L : gR → mgR Khi Ker(m)L ⊆e gR Vì gR theo (2), suy (m)L đẳng cấu, tức là, mgR ∼ = gR Hơn nữa, tồn đẳng cấu ϕ : gR → J t với e ∈ Pi (R) với eRR nội xạ t ∈ N0 theo (ii) Khi Im ψ = eJ t với t ≤ t Im ψ ⊇ eJ t eR ⊇ eJ ⊇ · · · ⊇ eJ t theo Khẳng định Do Im ψ xạ ảnh, theo Khẳng định, ψ chẻ Do M chứa hạng tử trực tiếp xạ ảnh Định lý 3.6 Cho R vành Khi Khi phát biểu sau tương đương: (1) R vành co-H phải; (2) R vành hoàn chỉnh phải trái, thỏa mãn ACC linh hóa tử phải, đồng thời thỏa mãn điều kiện tương đương sau đây: 37 (a) R thỏa mãn điều kiện (∗)∗ ; (b) RR ⊕ RR môđun CS; (c) Mọi R−môđun phải 2−sinh tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun suy biến; k môđun CS với (d) RR (e) Mọi R−môđun phải hữu hán inh tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun suy biến; (f) R vành CS R−môđun phải 2−sinh xạ ảnh suy biến Chứng minh Áp dụng Định lý 1.37 (6, Định lý 4) ta có điều kiện (2) tương đương Giả sử R vành co-H phải, theo Định lý 1.36 ta có R vành nửa ngun sơ, R vành hồn chỉnh phải trái Áp dụng Định lý 2.13 ta có (1) ⇒ (2) Từ định nghĩa vành co-H phải ta có (2) ⇒ (1) Áp dụng vào vành QF ta thu đặc trưng sau đây: Định lý 3.7 Các điều kiện sau tương đương với vành R cho trước: (1) R vành co-H (phải trái); (2) R vành H (phải trái); (3) R vành Artin phải trái thỏa mãn (R ⊕ R)R R (R ⊕ R) môđun CS Chứng minh (1) ⇔ (2) ⇒ (3) Rõ ràng (3) ⇒ (1) Giả sử R vành Artin phải thỏa mãn điều kiện (3), ta có R vành hồn chỉnh (phải trái) thỏa mãn ACC iđêan linh hóa tử phải Theo Định lý 3.6 ta có R vành co-H phải Ngoài ra, R thỏa mãn DCC iđêan linh hóa tử phải nên R thỏa mãn ACC iđêan linh hóa tử trái Áp dụng Định lý 3.6 lần ta có R vành co-H trái Vậy R vành co-H Trường hợp R vành Artin trái chứng minh tương tự 38 Định lý 3.8 Nếu R vành Artin chuỗi tổng quát, R vành H vành co-H Chứng minh Theo Định lý 2.15 Sau số đặc trưng vành PF qua vành tự nội xạ Định lý 3.9 Các phát biểu sau tương đương với vành R (1) R vành nửa hoàn chỉnh, tự nội xạ phải thỏa mãn Sr RR ; (2) vành tự nội xạ phải, có đế phải hữu hạn sinh cốt yếu RR ; (3) R = ⊕ni=1 ei R e2i = ei ∈ R nội xạ, khơng phân tích có đế đơn (i = 1, , n); (4) RR vật đối sinh nội xạ Mod−R; (5) R vành tự nội xạ phải, Kasch phải; (6) Mọi vật đối sinh Mod−R vật sinh (của Mod−R); (7) RR vật đối sinh R vành Kasch trái; (8) RR vật đối sinh R có hữu hạn lớp môđun phải đơn không đẳng cấu với nhau; (9) R vành PF phải Chứng minh Suy từ Mệnh đề 1.16 Định lý 2.3 Định lý 3.10 Cho R vành Các điều kiện sau tương đương: (1) R vành PF; (2) R vành phải hữu hạn chiều, E(RR ) xạ ảnh Sr chứa R−môđun phải đơn; (3) R vành phải hữu hạn chiều, E(RR ) xạ ảnh R vành Kasch phải; (4) R có số hữu hạn lớp R−môđun phải đơn bao nội xạ R−môđun phải đơn xạ ảnh 39 Chứng minh Từ (1, Định lý 24.32), (1) ⇒ (2) ⇒ (3) rõ ràng (3) ⇒ (4) Đặt u · dim(RR ) = n Giả sử {Si } (i = 1, , n + 1) cặp R−mơđun phải đơn khơng đẳng cấu với Vì R vành Kasch phải, tồn đồng cấu ι : ⊕n+1 i=1 Si → RR Do u · dim(RR ) ≥ n + 1, điều mâu thuẫn với thật u · dim(RR ) = n Vì R có số hữu hạn lớp R−môđun phải đơn đẳng cấu (nhỏ n) Cho S R−mơđun phải đơn Vì R vành Kasch phải, tồn đồng cấu ι : S → RR Từ suy E(S) ∼ = E(ι(S)) E(RR ) Vì bao nội xạ R−môđun phải đơn xạ ảnh (4) ⇒ (1) Giả sử ta có (4) Theo (1, Định lý 24.32) rõ ràng cần chứng minh R vành nửa hồn chỉnh R có đế cốt yếu hữu hạn sinh Gọi {S1 , S2 , , Sn } tập không rút gọn biểu diễn R−môđun phải Gọi i ∈ {1, 2, , m} tập số Ta chứng minh Si có phủ xạ ảnh Từ (4), E(Si ) xạ ảnh Từ (1, Định lý 24.32) suy tồn lũy đẳng nguyên thủy ei R cho E(Si ) ∼ = ei R, E(Si ) môđun xạ ảnh, nội xạ phân tích Xét tập {e1 R, e2 R, em R} Rõ ràng ei R ∼ = ej R với i = j Do đó, ei R/ej J ∼ = ej R/ei J(J = J(R)) với i = j , theo (1, Mệnh đề 17.18) Vì ei R nội xạ khơng thể phân tích, End(ei R) vành địa phương theo (1, Bổ đề 25.4) Từ J(ei R) = ei J R−mơđun đơn Từ suy tập hợp {e1 R/e1 J, e2 R/e2 J, , em R/em J} tập hợp không rút gọn biểu diễn R−môđun phải đơn Suy tồn số t ∈ {1, 2, , m} đẳng cấu ϕ : Si → et R/et J Đặt p : et R → /et J phép chiếu tắc Khi f = ϕp phủ xạ ảnh Si Vì R−mơđun có phủ xạ ảnh, R rõ ràng vành nửa hoàn chỉnh, theo (1, Định lý 27.6) Như chứng minh trên, R vành nửa hoàn chỉnh {e1 R/e1 J, e2 R/e2 J, , em R/em J} tập hợp rút gọn biểu diễn R−môđun phải đơn, từ (1, Định lý 27.10) {e1 R, e2 R, , em R} tập hợp rút gọn biểu diễn R−môđun xạ ảnh phân tích Từ suy R có đế cốt yếu hữu hạn sinh 40 Định lý 3.11 Cho R vành Các điều kiện sau tương đương: (1) R vành QF; (2) R vành co-H phải với Sr ⊆ Sl ; (3) R vành co-H phải với Sl ⊆ Sr ; (4) R vành co-H phải, Kasch phải; (5) R vành co-H phải, Kasch trái Chứng minh (1) ⇒ (2), (3) rõ ràng (2) ⇒ (5) Từ (2), R vành hoàn chỉnh trái, R vành nửa hồn chỉnh với Sr RR Kéo theo Sr ⊆ RR Áp dụng (19, Bổ đề 1.48), Suy R vành Kasch trái (3) ⇒ (4) Từ (3), R vành hồn chỉnh phải, R vành nửa hoàn chỉnh với Sl R R Sử dụng lập luận chứng minh (2) ⇒ (5), suy R vành Kasch phải (4) ⇒ (1) Vì R vành co-H phải, R vành Artin R vành hồn chỉnh trái Vì R có số hữu hạn lớp R−môđun phải đơn đẳng cấu Gọi S R−môđun phải đơn ι : S → RR đơn cấu Từ suy E(S) ∼ = E(ι(S)) E(RR ) Hơn nữa, E(RR ) xạ ảnh, nên E(S) xạ ảnh Áp dụng Định lý 3.10, R vành PF phải R vành nội xạ Vì R vành QF (5) ⇒ (1) Vì R vành co-H phải, R vành Artin R vành hồn chỉnh phải Vì R có số hữu hạn lớp R−mơđun trái đơn đẳng cấu Sử dụng lập luận (4) ⇒ (1), R vành QF Đối chiếu với vành QF Định lý 3.12 Các điều kiện sau tương đương với vành QF R: (1) R vành QF; (2) R vành Artin phải trái, R vành tự nội xạ phải trái; 41 (3) R vành Nơte, R vành tự nội xạ phải trái; (4) R thỏa mãn ACC linh hóa tử trái phải, R vành tự nội xạ trái phải; (5) R vành Nơte phải trái, rl(T ) = T với iđêan phải T , lr(L) = L với iđêan trái L Chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) rõ ràng (5) suy từ điều kiện linh hóa tử (5) (4) ⇒ (5) Ta giả sử R vành tự nội xạ phải • Trường hợp 1: R thỏa mãn ACC linh hóa tử trái Khi R thỏa mãn ACC iđêan linh hóa tử trái hữu hạn sinh L (theo (19, Hệ 1.38)), R vành Nơte trái Do L = lr(L) với iđêan trái, theo (19, Hệ 1.38) Hơn nữa, r(J) ⊆ r(J ) ⊆ · · · dừng, tức r(J n ) = r(J n+1 ) = · · · Do J n = lr(J n+1 ) = j n+1 = JJ n , J n = theo Bổ đề Nakayama (19, Bổ đề 1.47) Vì R vành tự nội xạ phải, R vành nửa quy theo Định lý 1.17 vành nửa hồn chỉnh (trở thành vành Nơte trái), R vành nửa nguyên sơ Nhưng đó, theo Định lý Hopkins-Levitzki, R vành Artin trái Phần lại yêu cầu chứng minh rl(T ) = T với iđêan phải T R [khi R vành Nơte phải T1 ⊆ T2 ⊆ · · · iđêan phải l(T1 ) ⊇ l(T2 ) ⊇ · · · dừng] Theo (19, Hệ 1.45), đủ để chứng minh R vành Kasch phải, điều suy từ (19, Bổ đề 1.49) Sr RR (R vành nửa nguyên sơ) • Trường hợp 2: R thỏa mãn ACC iđêan linh hóa tử phải Giả sử L1 ⊇ L2 ⊇ · · · iđêan trái hữu hạn sinh R Khi r(L1 ) ⊆ r(L2 ) ⊆ · · · , r(Lm ) = r(Lm+1 ) = · · · với m theo giả thiết Do Lm = Lm+1 = · · · theo (19, Hệ 1.38) Đặc biệt, R thỏa mãn DCC iđêan trái R vành hồn chỉnh phải (theo (19, Định lý B.39)) 42 Hơn nữa, J lũy linh Thật vây, r(J) ⊆ r(J ) ⊆ · · · kéo theo r(J n ) = r(J n+1 = · · · với n theo giả thiết, ta khẳng định J n = Nếu khơng r(J n ) = R, (khi R vành hồn chỉnh phải) R/r(J n ) chứa môđun trái tối tiểu X/r(J n ) Nhưng JX ⊆ r(J n ), X ⊆ r(J n+1 ) = r(J n ), mâu thuẫn Vì J n = Do Sr RR , R vành Kasch phải theo (19, Bổ đề 1.49) Từ suy rl(T ) = T với iđêan T theo (19, Hệ 1.45) Đặc biệt iđêan T linh hóa tử phải, R vành Nơte phải theo giả thiết; R vành Artin phải theo Định lý Hopkins-Levitzki Điều lại cho thấy R vành Nơte trái [Nếu L1 ⊆ L2 ⊆ · · · iđêan trái hữu hạn sinh r(L1 ) ⊇ r(L2 ) ⊇ · · · , r(Lk ) = r(Lk+1 ) = · · · với k R vành Artin phải, từ Lm = Lm+1 = · · · theo (19, Hệ 1.38) Cuối cùng, iđêan trái L hữu hán inh (R vành Nơte trái), lr(L) = L theo (19, Hệ 1.38) (5) ⇒ (1) Nếu T1 ⊇ T2 ⊇ · · · iđêan phải, dây chuyền l(T ) ⊆ l(T2 ) ⊆ · · · dừng R vành Nơte trái, T1 ⊇ T2 ⊇ · · · dừng rl(Ti ) = Ti với i Vì thê R vành Artin phải Bây giờ, ý điều kiện (5) cho thấy f g lát cắt nghịch đảo không đẳng cấu Cụ thể, l(T ∩ T ) = l(T ) + l(T ) với iđêan phải T T Do R vành F −nội xạ phải theo (19, Bổ đề 1.37) (5), R vành tự nội xạ (trở thành vành Nơte phải) Một chứng minh tương tự cho thấy R vành Artin trái tự nội xạ trái Như đề cập chương chương 2, lớp vành co-H lớp vành PF mở rộng thực lớp vành QF Vậy Nếu cho trước vành R vành QF, R vừa vành co-H vừa vành PF Mặt khác, theo Định lý 2.6 đặc trưng vành PF ta thu kết sau: Với vành R vành co-H phải thỏa mãn Z(RR ) = J(R) R vành PF Ngược lại Với R vành PF, ta có J(R) = Z(RR ), từ suy R vành co-H 43 phải Ngoài ra, lớp vành nửa hoàn chỉnh QF-3 mở rộng thực hai lớp vành co-H vành PF Như vây, vành R co-H R vành nửa hoàn chỉnh QF-3; ngược lại, R vành PF R vành nửa hồn chỉnh QF-3 Tổng kết lại đưa số nét tương giao hai lớp vành co-H PF qua kết sau đây: Mệnh đề 3.13 Cho R vành PF phải Khi đó: (1) R vành Kasch phải trái (2) J(R) = Z(RR ) = Z(R R) (3) Sr = Sl , Sr RR , Sl R R (4) Soc(eR) đơn cốt yếu eR, Soc(Re) đơn cốt yếu Re với lũy đẳng địa phương e ∈ R Chứng minh Suy từ (22, Định lý 5.31) Mệnh đề 3.14 Cho R vành co-H phải Khi đó: (1) R vành Artin phải; (2) Sr RR , Sl R R (3) Soc(eR) đơn cốt yếu eR, với lũy đẳng địa phương e ∈ R Chứng minh Vì R vành co-H phải nên R vành Artin phải, R vành hoàn chỉnh phải trái, suy Sr RR Sl R R Hơn nữa, RR mơđun CS nên suy Soc(eR) đơn cốt yếu eR Từ kết trên, so sánh hai lớp vành co-H vành PF qua bảng sau đây: 44 Vành co-H phải Vành PF phải Artin phải trái X (nửa hoàn chỉnh) Sr RR , Sl RR X R R, Sr = Sl Kasch phải Kasch trái Soc(eR) đơn, Soc(eR) Soc(eR) R R , Sl Sr eR, Re Soc(eR) đơn, Soc(eR) eR, Soc(Re) đơn, Soc(Re) Re X J(R) = Zl Trong đó, dấu X thể tính chất khơng trường hợp tổng qt, nhiên lại thỏa mãn vành ta xét vành QF Như giao hai lớp vành co-H vành PF lớp vành QF Biểu đồ sau mô tả tương giao hai lớp vành co-H PF Các lớp vành co-H QF PF 45 Kết luận Trong luận văn trình bày cách có hệ thống số đặc trưng lớp vành QF lớp vành mở rộng nó, tập trung vào lớp vành co-H vành PF Chúng đạt nội dung sau: 1) Trong Chương chúng tơi trình bày số đặc trưng hai lớp vành co-H (thông qua vành Artin) vành PF (thông qua vành tự nội xạ) 2) Trong chương 3, tương giao hai lớp vành co-H vành PF, vành co-H vành Artin, vành vành PF vành tự nội xạ Cả hai tính chất Artin tự nội xạ xuất định nghĩa lớp vành QF Trong khuôn khổ luận văn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cịn nhiều hạn chế, thân tơi tiếp tục tìm hiểu thời gian tới 46 Tài liệu tham khảo [1] Frank W Anderson, Kent R Fuller, (1992), Rings and Categories of Modules, Second Edition, Graduate Text in Math., Vol 13, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York [2] Yoshitomo Baba, Kiyoichi Oshiro, (2009), Classical Artinian Rings and Related Topics, World Scientific Publishing Co Pte Ltd (ISBN)9814287245 (hbk.), (ISBN)9789814287241 (hbk.), (OCoLC)427613038, © [3] R Brauer and C Nesbitt, (1937), On regular representations of algebras, Proc Nat Acad Sci 23 , 236–240 [4] H Q Dinh, D V Huynh, (2003), Some results on self-injective rings and −CS rings, Comm Algebra 31, 6063-6077 [5] F Dischinger, W Mă uller, (1986), Left PF is not right PF, Comm Algebra 14, 1223-1227 [6] Phan Dan, (1989), Right perfect rings and the extending property on finitely generated modules, Osaka J Math 26, 265 - 273 [7] T F Facotini, (1987), Semiperfect FPF rings and applications, J Algebra 107, 297-315 [8] C Faith, D V Huynh, (2002), When seft-injective rings are QF: A report on problem, J Algebra and Its Appl 1, 75-105 47 [9] C Faith, (1976), Algebra II: Ring Theory, Grunld Math Wiss 191, Springer - Verlag [10] C Faith, S Page, (1984), FPF Rings Theory, Faithful modules and generators of mod−R, London Mathematical Society Lecture [11] W Von Frobenius, (1903), Theori der hyperkomplexen Groβben, Sitzung der phys.-math K1, 504-538, 634-645 [12] M Harada, (1978), Non-small and non-cosmall modules, Proc of the 1978 Antw Conf., Marcel - Dekker, 669-689 [13] M Harada, (1983), Factor Categories with Applications to Direct Decomposition Lect Notes Pure Appl Math 88, Dekker, New York [14] D V Huynh, Phan Dan, (1992), Some characterizations of co-H rings, Math J Okayama Univ 34, 165 - 174 [15] T Y Lam, (1999), Lectures on Modules and Rings, ©Springer - Verlag New York, Inc [16] T Nakayama and C Nesbitt, (1938), Note on symmetric algebras, Ann Math 39, 659-668 [17] T Nakayama, (1939), On Frobenius algebras I, Ann Math 40, 611-633 [18] T Nakayama, (1941), On Frobenius algebras II, Ann Math 42, 1-21 [19] W K Nicholson, M F Yousif, (1995), Quasi-Frobenius rings, Cambridge University Press [20] W K Nicholson, M F Yousif, (1997), Mininjective rings, J Algebra 187, 548-578 48 [21] C J Nesbitt, (1938), On the regular representations of algebras, Ann Math 39, 634-658 [22] K Oshiro, (1984), Lifting modules, extending modules and their applications to QF rings, Hokkaido Math J., Vol 13, 310-338 [23] B L Osofsky, (1966), A generalization of quasi-Frobenius rings, J Algebra 4, 373-387 [24] L Đ Thoang, L V Thuyết, (2006), On generalizations of injectivity, Acta Math Univ Comenianae, Vol LXXV, pp 199-208 [25] L Đ Thoang, B Đ Dũng, N V Sanh, (2008), When is a semiperfect ring right PF?, Asian-European Journal of Mathematics Vol 1, No 3, 353-358, ©World Scientific Publishing Company [26] L Đ Thoang, (2016), A note on generalizations of quasi-Frobenius rings, Asian-European Journal of Mathematics Vol 9, No 1650067., ©World Scientific Publishing Company [27] L Đ Thoang, L V Thuyết, (2006), On generalizations of injectivity, Acta Math Univ Comenianae, Vol LXXV, pp 199-208 [28] L V Thuyet, (1991), On continuous rings with chain conditions, (Vietnam) J Math 19 (1), 49-59 [29] L V Thuyet, (1993), On rings whose finitely generated cofaithful modules are generators, (Algebra-Berichte, Mă unchen, No 74, 12 pages) [30] Robert Wisbauer, (1991), Foundations of Module and Ring Theory: A Handbook for Study and Research, Gordon and Breach Scien Publishers ... R−môđun phải (trái) Vành QF Vành quasi -Frobenius (vành tựa Frobenuis) Vành PF Vành pseudo- Frobenius (vành giả Frobenius Vành H Vành Harada Vành co- H Vành co- Harada (vành đối Harada) 1 Mở đầu Hơn... 2.2 Vành co- H số đặc trưng 22 Sự tương giao hai lớp vành co- H vành PF 30 3.1 Một số ví dụ lớp vành co- H vành PF 30 3.2 Sự tương giao hai lớp vành co- H vành PF... hợp tổng qt, nhiên lại thỏa mãn vành ta xét vành QF Như giao hai lớp vành co- H vành PF lớp vành QF Biểu đồ sau mô tả tương giao hai lớp vành co- H PF Các lớp vành co- H QF PF 45 Kết luận Trong luận