Tập iđêan nguyên tố liên kết
Định nghĩa 1.1.1 Cho M là một R-môđun Một iđêan nguyên tố p của
R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M, x 6= 0 sao cho Ann R (x) =p.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M, ký hiệu là Ass R (M) hoặc Ass(M) Như vậy
Giá của môđun M ký hiệu là Supp(M) = p ∈ Spec(R) | M p 6= 0 Đặt V(I) = p ∈ Spec(R) | I ⊂ p Khi đó,
Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp(M) =V(Ann(M)).
Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R, thì tập hợp các điểm hỗ trợ của R/I được xác định bởi V(I) Theo định nghĩa, một phần tử a trong vành R được xem là một ước của không của R-môđun M nếu tồn tại một phần tử x thuộc M, với x khác không, sao cho tích ax bằng 0.
Tập các ước của không của M được ký hiệu là ZD R (M). Định lý 1.1.3 ([15], Định lý 6.1) Cho R là vành Noether và M là R- môđun khác không Khi đó
(i) Phần tử cực đại trong họ các iđêan F = Ann R (x) | 06= x ∈ M là iđêan nguyên tố liên kết của M Đặc biệt, Ass R (M) 6= ∅ khi và chỉ khi M 6= 0.
(i) Giả sử p = Ann R (x) ∈ F, p là phần tử cực đại của F Ta cần chứng minh p nguyên tố.
Với mọi a, b ∈ R mà ab ∈ p và b /∈ p, ta có abx = 0 và bx ≠ 0 Vì 0 ≠ bx ∈ M nên Ann R (bx) ∈ F Do Ann R (x) ∈ Ann R (bx) và Ann R (x) là phần tử cực đại, nên Ann R (bx) = Ann R (x) Từ abx = 0 suy ra a ∈ Ann R (bx), dẫn đến a ∈ Ann R (x) Do đó, p là iđêan nguyên tố và là iđêan nguyên tố liên kết của M.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh Ass R (M) 6= ∅ khi và chỉ khi M 6= 0 Giả sử
Khi M khác không (M 6= 0), tồn tại một phần tử không bằng 0 trong M, do đó F không rỗng (F 6= ∅) Vì R là vành Noether, nên có một phần tử cực đại p thuộc F Theo chứng minh, p thuộc Ass R (M), dẫn đến Ass R (M) không rỗng (Ass R (M) 6= ∅) Ngược lại, nếu Ass R (M) không rỗng, sẽ có một phần tử không bằng 0 trong M sao cho Ass R (x) = p, với p là phần tử nguyên tố, từ đó suy ra M cũng khác không (M 6= 0).
(ii) Giả sử α ∈ [ p∈Ass R (M ) p, khi đó tồn tại p ∈ Ass R (M) sao cho α ∈ p, tức là tồn tại x 6= 0, x ∈ M để αx = 0 Suy ra α ∈ ZD R (M) Do đó
Giả sử α ∈ ZD R (M) Khi đó tồn tại x 6= 0 sao cho αx = 0 Suy ra α ∈ Ann R (x) Do đó tồn tại p ∈ Ass R (M) để Ann R (x) ⊆ p Suy ra α ∈ [ p∈Ass R (M ) p Do đó,
Bổ đề 1.1.4 Cho R là vành và M, N là các R-môđun Khi đó
(ii) Cho p là iđêan nguyên tố của vành R Khi đó p ∈ Ass R (M) khi và chỉ khi tồn tại một R-môđun con N của M sao cho N ∼= R/p.
Giả sử p thuộc Ass R (N), thì tồn tại một x khác 0 trong N sao cho p = Ann R (x) Vì x thuộc N và N là tập con của M, nên x cũng thuộc M, dẫn đến p thuộc Ass R (M) Do đó, ta có Ass R (N) nằm trong Ass R (M) Ngược lại, nếu p thuộc Ass R (M), thì tồn tại một x khác 0 trong M sao cho p = Ann R (x) Đặt N = Rx là một môđun con của M.
Ta xét ánh xạ f như sau f : R −→ Rx a 7−→ ax
Rõ ràng f là R-toàn cấu Áp dụng định lý đẳng cấu môđun ta có N ∼ R/Kerf = R/Ann(x) =R/p.
Ngược lại, do Ass R (R/p) = {p} = Ass R (N), tồn tại phần tử x khác 0, x thuộc N và N là tập con của M, sao cho p = Ann R (x) Do đó, p thuộc Ass R (M) Định lý 1.1.5 ([20], Trang 182) khẳng định rằng nếu M là một R-môđun trên vành giao hoán Noether và S là tập con nhân đóng của R, thì
Chứng minh Vì R là vành giao hoán Noether nênS −1 R cũng là một vành giao hoán Noether Do đó, tập Ass S −1 R (S −1 M) là xác định.
Lấy p ∈ Ass R (M) sao cho p ∩S = ∅ Khi đó tồn tại m 6= 0, m ∈ M sao cho p = (0 : R m) Ta có pS −1 R = (0 : S −1 R m/1) ∈ Spec(S −1 R) Do đó, pS −1 R ∈ Ass S −1 R (S −1 M) Suy ra n pS −1 R | p ∈ Ass R (M),p∩S = ∅o ⊆ Ass S −1 R (S −1 M).
Giả sử q thuộc Ass S −1 R (S −1 M), ta có q thuộc Spec(S −1 R) với một p duy nhất trong Spec(R) sao cho p ∩ S = ∅ và q = pS −1 R Đồng thời, tồn tại m thuộc M và s thuộc S sao cho q = (0 : S −1 R m/s) Do s/1 là phần tử khả nghịch của S −1 R, nên q = (0 : S −1 R m/1) Vì R là vành Noether, p là một iđêan hữu hạn sinh được sinh bởi các phần tử p1, p2, , pn.
Khi đó, p i m/1 = 0 S −1 M với mọi i = 1,2, , n Đối với mỗi i, tồn tại một s i ∈ S sao cho s i p i m = 0 Đặt t := s1ã ã ãsn ∈ S, khi đó tpim = 0 cho mọi i Do đó, p ⊆ (0 : R tm) Ngược lại, nếu lấy r ∈ (0 : R tm), thì rt m = 0, dẫn đến (rt/1)(m/1) = 0 S −1 R Kết quả là rt/1 ∈ (0 : S −1 R m/1) = pS −1 R.
Vì p là iđêan nguyên tố nên rt∈ p Hơn nữa, t∈ S ⊆R\p nên r ∈ p suy ra p ⊇ (0 :R tm) Do đó p = (0 :R tm), suy ra p ∈ Ass R (M).
Hệ quả 1.1.6 ChoM là mộtR-môđun hữu hạn sinh và p là iđêan nguyên tố của R Khi đó
Ass R p (M p ) = qR p | q ∈ Ass R (M),q ⊆ p Định lý 1.1.7 ([15], Định lý 6.3) Cho vành R và
0 →M 0 −→ f M −→ g M 00 →0 là dãy khớp các R-môđun Khi đó Ass R (M) ⊂ Ass R (M 0 )∪Ass R (M 00 ).
Chứng minh rằng với mọi p ∈ Ass R (M), theo Bổ đề 1.1.4, môđun M chứa một môđun con N ∼= R/p, trong đó ta có thể coi N = R/p Đối với mọi x ∈ N và x 6= 0, ta có x = a + p với a /∈ p, dẫn đến Ann R (x) = p Nếu N ∩ M 0 6= {0}, tồn tại x ∈ N ∩ M 0 với x 6= 0, do đó Ann R (x) = p và p ∈ Ass R (M 0) Ngược lại, nếu N ∩ M 0 = {0}, ta xét ánh xạ g| N : N −→ M 0.
Vì dãy là khớp và Kerg| N = Kerg ∩ N nên Kerg| N = M 0 ∩ N = {0}. Suy ra g| N đơn cấu, do đó N ⊆ M 00 Áp dụng Bổ đề 1.1.4 thì Ass R (N) ⊆ Ass R (M 00 ) Hơn nữa, vì Ass R (N) =p nên p ∈ Ass R (M 00 ).
Từ các trường hợp trên ta suy ra p ∈ Ass R (M 0 )∪ Ass R (M 00 ).
Vậy Ass R (M) ⊆ Ass R (M 0 )∪Ass R (M 00 ). Định lý 1.1.8 ([15], Định lý 6.4) Cho R là vành Noether và M 6= 0 là
R-môđun hữu hạn sinh Khi đó tồn tại chuỗi dây chuyền
0 = M 0 ⊂M 1 ⊂ ã ã ã ⊂M n = M trong đó các M i , với i = 1, n, là R-môđun con của M sao cho với mỗi i ta có M i /M i−1 ∼= R/p i , với p i ∈ Spec(R).
Chứng minh Vì M 6= 0 nên Ass R (M) 6= ∅ Chọn p 1 ∈ Ass R (M) bất kỳ. Theo Bổ đề 1.1.4 tồn tại M 1 là môđun con của M để M 1 ∼= R/p 1 hay
Nếu M 1 6= M, thì tập hợp Ass R (M/M 1 ) không rỗng Chúng ta chọn phần tử p 2 thuộc Ass R (M/M 1 ), dẫn đến việc tồn tại môđun con M2/M1 của M/M1 sao cho M2/M1 đồng isomorphism với R/p 2 Tiếp tục quá trình này, chúng ta sẽ thu được một dãy các R-môđun con của M.
Vì M là môđun Noether, nên dãy trên là dừng, tức là tồn tại một số n∈ N sao cho M = Mn, từ đó định lý được chứng minh Định lý 1.1.9 khẳng định rằng nếu R là một vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh, thì tập Ass R (M) là hữu hạn.
Chứng minh Trường hợp M = 0 thì Ass R (M) = ∅ do đó Ass R (M) là tập hữu hạn.
Trường hợp M 6= 0, theo Định lý 1.1.8 thì sẽ tồn tại một chuỗi dây chuyền các môđun con của M như sau
Vì dãy trên là dãy khớp nên áp dụng Định lý 1.1.7 ta được
Ass R (M) ⊂Ass R (M n−1 )∪ Ass R (M/M n−1 ) trong đó Ass R (M/M n−1 ) =Ass R (R/p n ) = {p n }.
Ta xét dãy thứ hai
Tương tự như trên ta có
Ass R (M n−1 ) ⊂ Ass R (M n−2 )∪Ass R (M n−1 /M n−2 ) và Ass R (M n−1 /M n−2 ) = Ass R (R/p n−1 ) ={p n−1 }.
Thực hiện tiếp tục như trên ta nhận được dãy khớp
Do Ass R (M 2 /M 1 ) = Ass R (R/p 2 ) = {p 2 } và Ass R (M 1 ) = Ass R (R/p 1 ) {p 1 } nên
Vậy Ass R (M) là tập hữu hạn.
Tập iđêan nguyên tố gắn kết
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày kiến thức cơ bản về môđun thứ cấp, bao gồm biểu diễn thứ cấp của môđun và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Định nghĩa 1.2.1 nêu rõ rằng một R-môđun M được coi là thứ cấp nếu M khác không và với mọi x thuộc R, tự đồng cấu ϕx,M : M −→ M được xác định bởi phép nhân của x trên M là toàn cấu hoặc lũy linh.
Chú ý 1.2.2 Nếu M là một R-môđun thứ cấp thì p = pAnn R (M) là một iđêan nguyên tố của M. Định nghĩa 1.2.3 Một R-môđun M là thứ cấp và p = pAnn R (M) thì
M được gọi là p-thứ cấp.
Mệnh đề 1.2.4 ([13], Trang 26) Một môđun thương khác không của môđun p-thứ cấp là môđun p-thứ cấp.
Giả sử M là R-môđun p-thứ cấp và N là môđun con thực sự của M, thì M/N sẽ trở thành môđun thương khác không của M Đối với mọi x ∈ R, sẽ xảy ra hai trường hợp.
+) Trường hợp x ∈ p thì ϕ x,M : M −→ M là lũy linh Do đó tồn tại n∈ N sao cho x n M = 0 Suy ra x n (M/N) = (x n M +N)/N = 0, do đó ϕ x,M/N :M/N −→ M/N là lũy linh.
+) Trường hợp x /∈ p thì ϕ x,M : M −→ M là toàn cấu, do đó xM = M.Suy ra x(M/N) = (xM +N)/N = (M +N)/N = M/N, do đó ϕ x,M/N :
Ann R (M/N) = p Thật vậy, lấy một giá trị x ∈ pAnn R (M/N) bất kỳ, khi đó tồn tại n ∈ N sao cho x n (M/N) = 0. Suy ra (x n M + N)/N = 0 Do đó x n M + N = N Do x n M = 0 nên x ∈ pAnn R (M) = p Suy ra p
Ngược lại, lấy một giá trị x bất kỳ sao cho x ∈ p Ann R (M) =p Khi đó tồn tạik > 0 để x k M = 0 suy ra x k (M/N) = 0 Do đó x k ∈ Ann R (M/N) hay x ∈ pAnn R (M/N) Suy ra p
Ann R (M/N) = p Vậy M/N là một p-thứ cấp.
Bổ đề 1.2.5 ([13], Trang 27) Linh hóa tử của một môđun p-thứ cấp là một iđêan p-nguyên sơ.
Chứng minh rằng nếu M là R-môđun p-thứ cấp, ab ∈ Ann R (M) và b n ∈/ Ann R (M) với mọi n, thì bM = M Do đó, tồn tại số tự nhiên n sao cho b n ∈ Ann R (M), nhưng vì giả thiết b n ∈/ Ann R (M), nên bM = M Từ ab ∈ Ann R (M), suy ra abM = 0, dẫn đến aM = 0, và do đó a ∈ pAnn R (M) Kết luận, Ann R (M) là nguyên sơ và p = pAnn R (M), nên Ann R (M) là p-thứ cấp.
Bổ đề đã được chứng minh.
Ví dụ 1.2.6 Nếu R là vành địa phương với p là iđêan nguyên tố cực đại và mọi phần tử trong p đều là lũy linh thì R chính là R-môđun p-thứ cấp.
Bổ đề 1.2.7 Cho M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên tố của
R, M 1 , M 2 , , M r là các môđun con p-thứ cấp của M Khi đó, P M 1 +M 2 +ã ã ã+M r cũng là p-thứ cấp của M.
Chứng minh Với mọi x ∈ R xảy ra hai trường hợp sau
+) Trường hợp x∈ p thì với mọi i ta có ϕx,M i :Mi −→Mi là lũy linh, do đó tồn tại n i sao cho x n i M i = 0.
Với n = M ax{n 1 , n 2 , , n r }, thì x n M i = 0 với mọi i, do đó x n P = 0. Suy ra ϕ x,P : P −→ P là lũy linh.
+) Trường hợp x /∈ p thì với mọi i ta có ϕ x,M i : M i −→ M i là toàn cấu. Khi đóxM i = M i với mọi i Do đó xP = P suy ra ϕ x,P :P −→ P là toàn cấu.
Vậy P = M 1 +M 2 +ã ã ã+M r là R-mụđun p-thứ cấp. Định nghĩa 1.2.8.
(i) Một biểu diễn thứ cấp của M là một phõn tớch M = M 1 +M 2 +ã ã ã+
M r thành tổng hữu hạn các môđun con p i -thứ cấp M i Nếu M = 0 hoặc M có biểu diễn thứ cấp thì ta nói M biểu diễn được.
(ii) Một biểu diễn thứ cấp của M được gọi là tối tiểu nếu các môđun con thứ cấp M 1 , M 2 ,ã ã ã , M r thỏa món cỏc điều kiện
(2) Không có Mi nào nằm trong tổng các môđun con còn lại.
Tất cả các biểu diễn thứ cấp của môđun M đều có thể được chuyển về dạng tối thiểu Tập hợp {p1, p2, , pn} được gọi là tập iđêan nguyên tố gắn kết của M, ký hiệu là Att R M Một R-môđun M được coi là bất khả tổng nếu M khác không và tổng của hai môđun con thực sự của M luôn là một môđun con thực sự của M.
Bổ đề 1.2.10 ([13], Trang 35) Nếu M là R-môđun Artin khác không và bất khả tổng thì M là môđun thứ cấp.
Giả sử M không phải là môđun thứ cấp, tồn tại phần tử x ∈ R sao cho M khác xM và x^n M khác 0 với mọi n > 0 Do M là R-môđun Artin, dãy các môđun con {x^n M} (n≥0) là dãy dừng, dẫn đến tồn tại số tự nhiên k sao cho x^k M = x^(k+1) M = = x^(2k) M = Đặt M1 = Ker(ϕ x^k, M) và M2 = x^k M, ta có M1 và M2 là hai môđun con của M Với x^k M1 = 0 và x^k M khác 0, suy ra M1 khác M và do M không bằng xM, ta có những kết luận quan trọng về cấu trúc của M.
M 2 6= M Do đó M 1 , M 2 là hai môđun con thực sự của M.
Giả sử u ∈ M bất kỳ, vì x k u ∈ x k M = x 2k M nên tồn tại v ∈ M sao cho x k u = x 2k v, suy ra x k (u−x k v) = 0 Do đó u−x k v ∈ M1.
Ta có u = x k v + (u−x k v) ∈ M 2 + M 1, từ đó suy ra M = M 1 + M 2 Điều này mâu thuẫn với giả thiết M là bất khả tổng, do đó M là môđun thứ cấp Theo định lý 1.2.11, mọi R-môđun Artin khác không đều đều có một biểu diễn thứ cấp.
Chứng minh Giả sử M là R-môđun Artin không biểu diễn được Xét tập các môđun con khác không không biểu diễn được của M Tập này khác rỗng vì chứa M.
Vì M là R-môđun Artin, nên phần tử cực tiểu N không phải là môđun thứ cấp, do N là môđun con không biểu diễn được Theo Bổ đề 1.2.10, N có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai môđun con thực sự N1 và N2 Tính chất cực tiểu của N trong tập cho thấy N1 và N2 là các môđun biểu diễn được Tuy nhiên, vì N là tổng của hai môđun con biểu diễn được, nên N cũng phải là một môđun biểu diễn được, điều này mâu thuẫn với giả thuyết ban đầu về N.
Vậy M là môđun biểu diễn được. Định nghĩa 1.2.12 Cho (R,m) là vành Noether địa phương, M là một
R-môđun Đối ngẫu Matlis của M là môđun
D(M) =Hom R (M,E(R/m)) trong đó E(R/m) là bao nội xạ của R/m.
Chú ý 1.2.13 Cho M, N là các R-môđun Giả sử rằng M là một R- môđun hữu hạn sinh Khi đó, ta có đẳng cấu
Bổ đề 1.2.14 Cho M là R-môđun Khi đó
Mệnh đề 1.2.15 Giả sử (R,m) là vành giao hoán địa phương, Noether, đầy đủ Khi đó,
(i) Nếu N là R-môđun hữu hạn sinh thì D(N) là R-môđun Artin. (ii) Nếu N là R-môđun Artin thì D(N) là R-môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.2.16 Cho R là vành địa phương, đầy đủ, M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin Khi đó,
Dãy chính quy và dãy lọc chính quy
Trong bài viết này, chúng ta sẽ nhắc lại định nghĩa về dãy chính quy và dãy lọc chính quy, cùng với một số tính chất liên quan Định nghĩa 1.3.1 nêu rõ rằng, cho M là R-môđun hữu hạn sinh, một phần tử a khác không của R được gọi là phần tử chính quy của M hay M-chính quy nếu tích ax khác không với mọi x thuộc M và x khác không.
Một dãy các phần tử x1, x2, , xr của R được gọi là một dãy chính quy của M hay M-dãy chính quy nếu thỏa mãn hai điều kiện sau
(ii) xi là phần tử chính quy của M/(x1, x2, , xi−1)M, với mọi i = 1, r.
Nếu dãy x 1 , x 2 , , x r chỉ thỏa mãn điều kiện (ii) thì ta nói x 1 , x 2 , , x r là một M-dãy chính quy yếu.
Một phần tử a ∈ R được gọi là phần tử chính quy của M nếu và chỉ nếu a không thuộc mọi p trong tập hợp Ass R (M) Nếu (R,m) là vành địa phương và x1, x2, , xr thuộc m, đồng thời M là R-môđun hữu hạn sinh khác không, thì điều kiện này luôn được thỏa mãn nhờ vào Bổ đề Nakayama Theo Định lý 1.3.3, nếu a1, a2, , an là một M-dãy chính quy, thì a δ1 1 , a δ2 2 , , a δn n cũng sẽ là một M-dãy chính quy với mọi số nguyên dương δ1, δ2, , δn.
Để chứng minh định lý, ta cần chứng minh rằng nếu a1, , an là M-chính quy, thì aδ1, a2, , an cũng là M-dãy chính quy Giả sử aδ1, a2, , an là M-dãy chính quy, với M1 = M/aδ11M, thì a2, , an sẽ là M1-dãy chính quy Tiếp tục quá trình này, ta có aδn là M/(aδ11, aδ22, , aδn-1n-1) M-dãy chính quy, với M khác (aδ11, aδ22, , aδn-1n-1)M Do đó, nếu a1, , an là M-chính quy, thì aδ1, a2, , an cũng sẽ là M-dãy chính quy.
M-dãy chính quy bằng quy nạp.
Với δ > 1, giả sử dãy trên đúng với δ −1 Ta chứng minh dãy trên đúng với δ.
Do a δ 1 là một phần tử chính quy của M, nên a δ 1 cũng là một phần tử chính quy của M Đối với i > 1, ta chứng minh rằng a δ 1, a 2, , a i tạo thành một M-dãy chính quy Giả sử ω thuộc M và ai(ω + (a δ 1, , a i−1)M) = 0, điều này dẫn đến aiω thuộc (a δ 1, , a i−1)M Theo giả thiết quy nạp, (a δ 1, , a i−1, a i) cũng là một M-dãy chính quy, từ đó suy ra ω thuộc (a δ 1, , a i−1)M Kết quả là ω có thể biểu diễn dưới dạng (a δ 1η 1 + + a i−1η i−1) với η j thuộc M, từ đó ta có a iω = a 1a δ 1η 1 + + a i a i−1η i−1.
Vì a δ−1 1 , , a i−1 là M-dãy chính quy nên ta suy ra được a 1 ξ 1 −a i η 1 ∈ a δ−1 1 M + a 2 M + ã ã ã + a i−1 M Suy ra a i η 1 ∈ a 1 M + ã ã ã + a i−1 M Vỡ a 1 , , a i−1 , a i là M-dóy chớnh quy nờn η 1 ∈ a 1 M + ã ã ã + a i−1 M hay η 1 = a 1 η 1 0 + ã ã ã+a i−1 η i−1 0 Do đú ω = a δ 1 η 1 0 +a δ−1 1 a2η 2 0 +ã ã ã+a δ−1 i−1 a i−1 η 0 i−1 +a2η2 +ã ã ã+a i−1 η i−1
Suy ra a i là phần tử chính quy của M/(a δ 1 , a 2 , , a i−1 )M, điều này cho thấy nếu a 1 , , a n là M-dãy chính quy, thì a δ 1 1 , a 2 , , a n cũng sẽ là M-dãy chính quy Do đó, a 2 , , a n trở thành M/a δ 1 1 M-dãy chính quy, và từ đó suy ra a δ 2 2 , , a n là M/a δ 1 1 M-dãy chính quy.
Tiếp tục quá trình trên ta có a δ n n là M/(a δ 1 1 , , a δn−1 n−1 )M-dãy chính quy.
Vỡ (a δ 1 1 M+ã ã ã+a δ n n M) thuộc a 1 M+ã ã ã+a n M và M/(a 1 M+ã ã ã+a n M) khác 0, đồng thời nờn M/(a δ 1 1 +ã ã ã+a δ n n M) cũng khác 0 Định nghĩa 1.3.4: Cho R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh khác 0 Nếu I là iđêan của R với M khác IM và a 1, , a n là M-dãy chính quy trong I, thì a 1, , a n được gọi là M-dãy chính quy tối đại trong I nếu không tồn tại phần tử a n+1 ∈ I sao cho a 1, , a n, a n+1 là M-dãy chính quy có độ dài n+1 Định nghĩa 1.3.5: Với M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM khác M, mọi dãy chính quy cực đại của M trong I đều có cùng độ dài, gọi là độ sâu của M trong I, ký hiệu là depth(I, M) Nếu IM = M, ta quy ước depth(I, M) = +∞ Độ sâu của M trong I được xác định bởi công thức depth(I, M) = inf n i | Ext i R (R/I, M) khác 0.
Trong trường hợp(R,m)là vành giao hoán Noether địa phương thì depth(m, M) được gọi là độ sâu của M và ký hiệu bởi depth(M).
Mệnh đề sau đây giúp chúng ta có một công thức quy nạp về tính độ sâu.
Mệnh đề 1.3.6 ([4], Mệnh đề 1.2.10) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh.
Khi đó nếu x 1 , x 2 , , x r là một dãy chính quy của M trong I thì depth(I, M/(x 1 , x 2 , , x r )M) = depth(I, M)−r.
Tiếp theo chúng ta nhắc lại khái niệm dãy lọc chính quy, nó là một trong những khái niệm mở rộng của dãy chính quy được N T Cường, N.
V Trung và P Chenzel giới thiệu vào năm 1978. Định nghĩa 1.3.7.
(i) Một phần tử x ∈ m được gọi là phần tử lọc chính quy đối với M nếu x /∈ p với mọi p ∈ Ass R (M)\ {m}.
Một dãy các phần tử \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) của R được gọi là dãy lọc chính quy của M, hay M-dãy lọc chính quy, nếu mỗi phần tử \( x_i \) là phần tử lọc chính quy của \( M/(x_1, x_2, \ldots, x_{i-1})M \) với mọi \( i = 1, \ldots, n \).
(i) x ∈ mlà M-phần tử lọc chính quy nếu và chỉ nếu x /∈ [ p∈ Ass R (M )\{m} p.
(ii) Nếux 1 , x 2 , , x n ∈ m là M-dãy chính quy thì nó cũng là M-dãy lọc chính quy.
(iii) Một dãy các phần tử x 1 , x 2 , , x n ∈ m là M-dãy lọc chính quy nếu và chỉ nếu x1 là M-phần tử lọc chính quy và x2, , xn là M/x1M- dãy lọc chính quy.
Mệnh đề 1.3.9 Cho dãy các phần tử x 1 , x 2 , , x n ∈ m Khi đó
(i) x 1 , x 2 , , x n làM-dãy lọc chính quy nếu và chỉ nếux 1 /1,x 2 /1, ,x n /1 là M p -dãy chính quy với mọi p ∈ Supp(M)\ {m} chứa x 1 , x 2 , , x n
(ii) Nếu x 1 , x 2 , , x n là M-dãy lọc chính quy thì x α 1 1 , x α 2 2 , , x α n n cũng là M-dãy lọc chính quy với mọi α1, α2, , αn ∈ N.
(i) Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh với trường hợp n= 1 Cho x 1 là
M-dãy lọc chính quy và p ∈ Supp(M) \ {m} với x1 ∈ p Giả sử x1/1 không phải là dãy chính quy của M p, thì tồn tại qR p ∈ Ass R p (M p) sao cho x1/1 ∈ qR p Điều này dẫn đến x1 ∈ q và q ∈ Ass R (M), với dimR/q ≥ 1 Sự mâu thuẫn này chỉ ra rằng giả thiết x1 là dãy lọc chính quy của M là không đúng.
Giả sử x1/1 là dãy chính quy của M p, với mọi p ∈ Supp(M) \ {m} chứa x1 Nếu x1 không phải là phần tử lọc chính quy của M, thì tồn tại p ∈ Ass R (M) sao cho x1 ∈ p và dimR/p ≥ 1 Khi đó, x1/1 ∈ pR p ∈ AssM p, điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết rằng x1/1 là phần tử chính quy của M p.
Theo định nghĩa, nếu x₁/1, x₂/1, , xₙ/1 là Mₚ-dãy chính quy với mọi p ∈ T, thì suy ra rằng x₁^α₁/1, x₂^α₂/2, , xₙ^αₙ/n cũng là Mₚ-dãy chính quy với mọi p ∈ T Do đó, x₁^α₁, x₂^α₂, , xₙ^αₙ là M-dãy lọc chính quy Định nghĩa 1.3.10 nêu rõ rằng I là một lý thuyết thực sự của R.
(i) Một M-dãy lọc chính quy x 1 , x 2 , , x n trong I gọi là tối đại nếu x 1 , x 2 , , x n , x n+1 không là M-dãy lọc chính quy với bất kỳ x n+1 ∈
(ii) Độ sâu lọc của M trong I là độ dài của M-dãy lọc chính quy tối đại bất kỳ trong I, kí hiệu là fdepth(I, M).
Nếu trong I không tồn tại M-dãy lọc chính quy tối đại nào cả thì ta quy ước fdepth(I, M) =∞.
Môđun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.4.1 Cho vành R, I ⊆ R là một iđêan, M là R-môđun. Đặt
(0 : M I) := m ∈ M | mI = 0 Khi đó môđun con I-xoắn của môđun M được kí hiệu ΓI(M) = [ n∈ Z
Ví dụ 1.4.2 Vành R là R-môđun 0R-xoắn. Định nghĩa 1.4.3 Cho dãy các đồng cấu R-môđun
−→M i+1 → ã ã ã sao cho Ker(d i ) ⊇ Im(d i−1 ), với mọi i ∈ Z được gọi là đối phức của các
Kí hiệu (M • , d • ) và (N • , e • ) đại diện cho hai đối phức của R-môđun Đồng cấu đối phức giữa các R-môđun f • : (M • , d • ) → (N • , e • ) được định nghĩa bởi một họ các đồng cấu R-môđun f i : M i → N i, với điều kiện rằng cho mọi i ∈ Z, ta có f i+1 ◦ d i = e i ◦ f i Điều này tạo nên một sơ đồ giao hoán giữa các thành phần của hai đối phức, đảm bảo tính nhất quán trong cấu trúc của chúng.
= nh : (M, d) →(N, e) là đồng cấu đối phức của R-môđun o
Họ đồng cấu đồng nhất (id M i) với i ∈ Z của các R-môđun xác định một đồng cấu đối phức của các R-môđun id (M • , d • ) Định nghĩa đối đồng điều thứ n của đối phức (M • , d • ) của R-môđun được thực hiện khi cố định n ∈ Z.
H n (M • , d • ) =H n (M • ) := Ker(d n )/Im(d n−1 ). Định nghĩa 1.4.7 Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử hiệp biến F kí hiệu là R i F được xác định như sau
(i) Với mọi môđun M và một giải thức nội xạ thu gọn của M
−→ ã ã ã Tác động F vào P M , ta được đối phức
−−→ ã ã ã Khi đó R i F(M) = H i (F PM) = Ker(F d i )/Im(F d i−1 ).
(ii) Với f : M → N và một giải thức nội xạ thu gọn của môđun N
(Q N ) : 0→ Q 0 −→ ã ã ã → e 0 Q i e −→ ã ã ã i tồn tại một phép biến đổi đối phức f : P M →Q N
Tác động F vào f ta được phép biến đổi đối phức
Hàm tử dẫn xuất thứ i của hàm tử Γ I (•), với I ⊆ R là một iđêan, được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I và được ký hiệu là H I i (•).
Cho M là R-môđun Khi đó luôn tồn tại một phép giải phải nội xạ ((P • , d • );a) của M sao cho ta có dãy sau khớp
−→2 P 3 → ã ã ã với mỗi R-môđun P i là môđun nội xạ, với mọi i ∈ Z Khi đó, ta có giải thức nội xạ thu gọn
−→P 3 → ã ã ã Tác động hàm tử I-xoắn Γ I (•), ta được đối phức mới ((Γ I (P • ),Γ I (d • ))
−−−→ Γ I (P 3 ) → ã ã ã Khi đó, môđun đối đồng điều thứ i của đối phức này là
. Định nghĩa 1.4.9 H I i (M) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của R-môđun M đối với iđêan I.
Cho f : M →N là đồng cấu R-môđun Đồng cấu cảm sinh bởi f trong đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I được định nghĩa như đồng cấu R-môđun
H I i (f) : H I i (M) →H I i (N). Đồng cấu này thu được bởi sự lựa chọn phép giải phải nội xạ Nghĩa là
Trong đó ((M • , d • ), a),((N • , e • ), b) là phép giải phải nội xạ tương ứng của
Vì ΓI(•) là hàm tử hiệp biến và tuyến tính, nên hàm tử đối đồng điều địa phương H I i (•) cũng có tính chất hiệp biến và tuyến tính Cụ thể, giả sử f :M → N và g : N → P là các đồng cấu R-môđun.
I (M ). Suy ra H I i (•) là hiệp biến.
Cho h : M → N là đồng cấu R-môđun và λ ∈ R.
Suy ra H I i (•) là R-tuyến tính.
Dãy khớp ngắn các R-môđun (A): 0→ L −→ f M −→ g N →0 cho phép tác động môđun đối đồng điều vào Với mọi i ∈ N, việc sử dụng đồng cấu kết nối H I i (N) → H I i−1 (L) giúp liên kết dãy khớp ngắn thành dãy dài vô hạn đối đồng điều.
Mệnh đề 1.4.11 Nếu M là R-môđun I-xoắn và N ⊆ M là môđun con của M Khi đó, M và M/N là môđun I-xoắn.
Chứng minh Vì M là R-môđun I-xoắn nên M = Γ I (M) hay với mọi m ∈ M, tồn tại n ∈ N sao cho I n m = 0 Vì N ⊆ M nên với x ∈ N, ta có x ∈ M Khi đó với mọi x ∈ N, tồn tại n ∈ N sao cho I n x = 0.
Tương tự, lấy x ∈ M/N, khi đó x = m + N, m ∈ M Với n ∈ N, ta có
Mệnh đề 1.4.12 ChoI là một iđêan của vành Noether R,M làR-môđun và i ∈ N Khi đó, môđun đối đồng điều H I i (M) là môđun I-xoắn.
Khi đó, dễ thấy Ker Γ I (d i ) là môđun con của môđun I-xoắn Γ I (M i ) và Im ΓI(d i−1 ) là môđun con của môđun I-xoắn ΓI(M i ) Do
⊆ Ker Γ I (d i ) nên theo Mệnh đề 1.4.11 ta suy ra môđun thương
Im Γ I (d i−1 là môđun I-xoắn. Định lý 1.4.13 Nếu F là hàm tử khớp trái thì ta có thể đồng nhất hàm tử F với hàm tử R 0 (F) Nghĩa là R 0 (F) =F.
Mệnh đề 1.4.14 Cho I là một iđêan của vành Noether R Khi đó ta có Γ I (•) = H I 0 (•)
Chứng minh Do Γ I là khớp trái nên theo Định lý 1.4.13 ta có R 0 Γ I (•) Γ I (•) Theo định nghĩa hàm tử đối đồng điều thứi, ta cóR 0 Γ I (•) = H I 0 (•). Vậy Γ I (•) = H I 0 (•).
Chú ý 1.4.15 Cho M là một R-môđun I-xoắn Khi đó tồn tại một phép giải phải nội xạ của M mà mỗi phần tử là một R-môđun I-xoắn.
Mệnh đề 1.4.16 Cho M, N là các R-môđun, trong đó M là I-xoắn Khi đó
= 0 với mọi i >0. (iii) Đồng cấu π : N → N/ΓI(N) cảm sinh đẳng cấu
(i) Vì M là R-môđun I-xoắn nên tồn tại một giải thức nội xạ thu gọn
−→P i+1 → ã ã ã với tất cả các môđun P i là các R-môđun I-xoắn Do đó Γ I (P i ) = P i với mọi i >0.
−−−→ Γ I (P 1 ) → ã ã ã → Γ I (P i ) → ã ã ã cũng khớp tại Γ I (P i ) với mọi i > 0 Khi đó, với mọi i > 0 ta có
Im(Γ I (d i−1 )) = Ker(Γ I (d i )) Suy raH I i (M) = Ker(Γ I (d i ))/Im(Γ I (d i−1 )) 0.
(ii) Vì Γ I (N) là R-môđun I-xoắn nên từ (i) ta có
(iii) Ta có dãy khớp ngắn
0 →Γ I (N) → N −→ π N/Γ I (N) → 0 Tác động môđun đối đồng điều vào ta được dãy khớp dài đối đồng điều
= 0, với mọi i >0 nên ta có các dãy khớp
Định lý 1.4.17 cho phép chúng ta tính độ sâu của môđun thông qua đối đồng điều địa phương Cụ thể, cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của vành R, ta có công thức depth(I, M) = inf {n | Hi^I(M) ≠ 0}.
Chương 2 ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT
SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ
LIÊN KẾT VÀ TẬP IĐÊAN
Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét (R,m) như một vành giao hoán, Noether, địa phương, với I, J là hai iđêan của R và M là một R-môđun hữu hạn sinh Nội dung chính sẽ trình bày sự ổn định của các tập iđêan nguyên tố liên kết và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương, bao gồm Ass R (H I 1 (N n )), Ass R (H I d−1 (N n )), Att R (H m i (M/(x n 1 , , x n r )M)) và Att R (H m i (Nn)).
Tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương
Dãy I-lọc chính quy là một khái niệm mở rộng từ dãy lọc chính quy Cụ thể, một dãy x₁, , xᵣ thuộc I được xem là dãy I-lọc chính quy của M nếu với mọi phần tử p thuộc tập hợp Ass R (M/(x₁, , xᵢ₋₁)M)\V(I), thì xᵢ không thuộc p đối với mọi i từ 1 đến r.
Bổ đề 2.1.2 ([7], Bổ đề 3.1) Nếu x 1 , , x r ∈ I là một dãy I-lọc chính quy của M thì ta có
Bổ đề 2.1.3 ([6], Bổ đề 3.1) Giả sử r = depth(I,M) với 1 ≤ r < ∞ và x 1 , , x r là dãy chính quy của M trong I Khi đó ta có
Giả sử R = L n≥0 Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh của vành địa phương R 0 = R, và M = L n≥0 M n là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Để đơn giản hóa, chúng ta ký hiệu R-môđun M n bằng N n.
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại kết quả ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết được chứng minh bởi Brodmann [8].
Bổ đề 2.1.4 ([9], Bổ đề 2.2) Tập Ass R (Nn) là ổn định với n đủ lớn.
Theo Bổ đề 2.1.4, giá trị ổn định của dimN n được xác định khi n đủ lớn Định lý 2.1.5 khẳng định rằng R = L n≥0 R n là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh của R 0, với R 0 = R và M = L n≥0 M n.
R-môđun phân bậc hữu hạn sinh có tính ổn định về độ sâu khi n đủ lớn, với giả sử I ⊆ R là một iđêan Định lý 2.1.6 chứng minh rằng nếu R = L n≥0 R n là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh và M = L n≥0 Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, thì giá trị ổn định của depth(I, M n ) là r Kết quả này khẳng định tính ổn định của tập nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương.
Ass R H I r (Mn) ổn định khi n đủ lớn.
Chứng minh rằng nếu r = ∞ thì Ass R (H I r (M n )) = ∅ khi n đủ lớn Ngược lại, nếu r = 0, theo Bổ đề 2.1.4, ta có Ass R (H I 0 (M n )) = Ass R (M n ) ∩ V(I) ổn định khi n đủ lớn Đối với trường hợp 0 < r < ∞, theo Định lý 2.1.5 và Bổ đề 2.1.4, tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho với mọi n ≥ n0, ta có: (i) r = depth(I, M n ); (ii) tồn tại dãy x1, , xr ∈ I là dãy chính quy của M n; và (iii) Ass R (M n /(x1, , xr)M n ) không phụ thuộc vào n Do đó, theo Bổ đề 2.1.3, ta có kết quả mong muốn.
Ass R (H I r (M n )) = Ass R (M n /(x 1 , , x r )M n )∩V(I) với mọi n≥ n 0 Vì vậy, Ass R (H I r (M n )) ổn định khi n đủ lớn.
Giả sử r là giá trị ổn định của depth(I, M n ) Theo Định lý 1.4.16, H I i (M n ) = 0 với mọi i < r khi n đủ lớn Theo Định lý 2.1.6, Ass R (H I r (Mn)) cũng ổn định khi n đủ lớn Do đó, Ass R (H I i (Mn)) sẽ ổn định với mọi i ≤ r khi n đủ lớn.
Mệnh đề 2.1.8 nêu rằng, với R = L n≥0 R n là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh và M = L n≥0 Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, nếu I ⊆ R là một iđêan, thì Ass R (H I 1 (M n )) sẽ ổn định khi n đủ lớn.
Chúng ta biết rằng L n ≥ 0 Mn/ΓI(Mn) là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh và H I i (M n /Γ I (M n )) ∼= H I i (M n) với mọi i > 0 và mọi n Như vậy, ta có thể thay thế M n bằng M n /Γ I (M n ) Do đó, ta có thể giả định rằng depth(I, M n) > 0.
0với mọi n Giả sửr là một giá trị ổn định của depth(I, Mn) Khi đór ≥ 1.
Vì Ass R (H I i (M n )) là ổn định khinđủ lớn với mọii ≤ r nên Ass R (H I 1 (M n )) ổn định khi n đủ lớn.
Tiếp theo ta sẽ nhắc lại một phản ví dụ của M Katzman Nó đóng vai trò quan trọng trong chương này.
Bổ đề 2.1.9 ([11], Hệ quả 1.3) Giả sử S = k[x, y, z, t, u, v] là vành đa thức sáu biến trên trường k và f = sx 2 v 2 −(s+ t)xyuv +ty 2 u 2 Kí hiệu
T là địa phương hóa của S/f S tại iđêan cực đại m = (x, y, s, t, u, v) Khi đó tập Ass T (H (u,v)T 2 (T)) là vô hạn.
Mệnh đề 2.1.10 ([7], Mệnh đề 3.3) Các phát biểu sau là đúng
(i) Nếu M là một R-môđun hữu hạn sinh và I, J là iđêan của R thì tập
Ass R (H I 1 (J n M/J n+1 M)) là ổn định với n đủ lớn.
(ii) Tồn tại một R-môđun hữu hạn sinh M và hai iđêan I, J của R sao cho Ass R (H I 1 (M/J n M)) là không ổn định với n lớn.
(i) Xét trường hợp M n = J n M/J n+1 M Áp dụng Mệnh đề 2.1.8 ta suy ra được mệnh đề (i).
Xét vành địa phương T cùng với các phần tử u và v theo Bổ đề 2.1.9, ta nhận thấy rằng Ass T (H (u,v) 2 (T)) là vô hạn Giả sử a và b là một (u, v)T-dãy lọc chính quy của T, từ đó ta chứng minh rằng tập Ass R (H I 1 (M/J n M)) không ổn định, với M = T, I = (b), và J = (a) Để thực hiện điều này, ta chỉ cần chỉ ra.
Ass T (H (b) 1 (T /a n T)) là tập vô hạn Từ Bổ đề 2.1.2, ta có
Do đó Ass T (H (u,v) 2 (T)) ⊆ Ass T (H (a,b) 1 (H (a) 1 (T))) Theo Bổ đề 2.1.9
Ass T (H (u,v) 2 (T)) là tập vô hạn Do đó,
Ass T (H (a,b) 1 (H (a) 1 (T))) là tập vô hạn Mặt khác, vì
Ass T (H (b) 1 (T /a n T)) là một tập vô hạn.
Nhận xét 2.1.11 Chúng ta biết rằng nhiều tính chất đúng cho môđun
Môđun M/J n M và M/J n+1 M đều có tính chất tương tự, nhưng về tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết, Mệnh đề 2.1.10 cho thấy rằng tập Ass R (H I 1 (J n M/J n+1 M)) ổn định khi đủ lớn, trong khi tập Ass R (H I 1 (M/J n M)) thường không ổn định.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày kết quả chính thứ hai của mục này.
Mệnh đề 2.1.12 ([9], Mệnh đề 2.3) Giả sử N n được định nghĩa như trên.
Với mỗi số nguyên không âm l, tập S j≥l Supp R (H I j (N n )) sẽ ổn định khi n đủ lớn Đặc biệt, tập Ass R (H I d−1 (N n )) ∪ {m} cũng ổn định với n đủ lớn, trong đó d là giá trị ổn định của dimN n Để chứng minh Mệnh đề 2.1.12, cần thiết phải có các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.13 ([9], Bổ đề 2.4)Giả sử M, N là các môđun hữu hạn sinh và
I là một iđêan của R Nếu Supp R (M) ⊆Supp R (N) thì với mọi số nguyên không âm l ta có
Chúng ta sẽ chứng minh bổ đề bằng phương pháp quy nạp lùi theo l Dựa vào Định lý triệt tiêu của Grothendieck, ta có thể khẳng định bổ đề đúng với mọi l lớn hơn dimM Giả sử l nhỏ hơn hoặc bằng dimM và bổ đề đã đúng với l + 1 Do Supp R (M) nằm trong Supp R (N), theo Định lý Gruson [22, Mệnh đề 4.1], sẽ tồn tại một dãy.
0 = L 0 ⊆ L 1 ⊆ ã ã ã ⊆L t = M (2.1) các môđun con của M, trong đó mỗi L i /L i−1 là một ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp hữu hạn lần môđun N Với mỗi i = 1, , t, từ dãy khớp
Supp R (H I l (Li)) ⊆ Supp R (H I l (L i−1 )) ∪Supp R (H I l (Li/L i−1 )).
Từ đó ta suy ra
Supp R (H I l (M)) ⊆Supp R (H I l (Lt−1))∪Supp R (H I l (Lt/Lt−1))
Bởi tính chất của dãy (2.1), với mỗi i ∈ {1, , t}, ta có dãy khớp ngắn
N → L i /L i−1 →0 trong đó K i là các R-môđun hữu hạn sinh Từ đó ta có dãy khớp
Supp R (H I l (Li/L i−1 )) ⊆ Supp R (H l+1 (Ki))∪ Supp R (H I l ( s i
Vì vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
Bổ đề 2.1.14 ([9], Bổ đề 2.5) Giả sử dimM = d Khi đó
Chứng minh Dễ thấy rằng
Theo [5, Bổ đề 2.6], tập Supp R (H I d−1 (M)) là hữu hạn Do đó, theo [15, Định lý 31.2], dim(R/p) ≤ 1 với mọi p ∈ Supp R (H I d−1 (M)) Điều này cho thấy rằng với mọi p ∈ Supp R (H I d−1 (M)), p là một phần tử cực tiểu của Supp R (H I d−1 (M)) hoặc p = m.
Bây giờ ta chứng minh Mệnh đề 2.1.12.
Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.4, tồn tại một số nguyên n0 sao cho
Supp R (N n ) =Supp R (N n 0 ) với mọi n≥ n 0 Vì thế theo Bổ đề 2.1.13 ta có
Supp R (H I j (N n 0 )) với mọi n≥ n 0 Do đó điều kiện thứ nhất của mệnh đề thỏa mãn. Đối với điều kiện thứ hai, theo Bổ đề 2.1.14 ta có
Supp R (H I j (N n ))) là ổn định với n lớn nên
{m} ∪Ass R (H I d−1 (N n )) là ổn định với n lớn.
Tiếp theo chúng tôi nhắc lại khái niệm chiều đối đồng điều như sau. Định nghĩa 2.1.15 Chiều đối đồng điều của môđun M đối với iđêan I là cd(I, M) = sup n i ∈ Z | H I i (M) 6= 0o.
Dễ dàng nhận thấy rằng cd(I, M) không vượt quá dimM Trong tài liệu [8, Mệnh đề 1.4], T Dibaei và S Yassemi đã chứng minh rằng nếu M và N là R-môđun hữu hạn sinh với Supp R (M) nằm trong Supp R (N), thì cd(I, M) nhỏ hơn hoặc bằng cd(I, N) Dựa trên kết quả này và theo Bổ đề 2.1.4, chúng ta có thể đưa ra một bổ đề quan trọng.
Bổ đề 2.1.16 ([9], Bổ đề 2.6) cd(I, M n ) là một hằng số với n lớn.
Giả sửdlà giá trị ổn định của dimM n Ta dễ dàng thấy rằng Ass R (H I i (M n )) là ổn định với n lớn, với i = 0 hoặc i > d Theo Mệnh đề 2.1.10,
Tập Ass R (H I 1 (M n )) ổn định khi n lớn, với H I d (M n ) là Artin Kết hợp với Bổ đề 2.1.16, tập Ass R (H I d (M n)) cũng ổn định khi n lớn Hơn nữa, tập Ass R (H I d−1 (M n ))∪ {m} ổn định theo Mệnh đề 2.1.12 Đặc biệt, khi R là một vành có số chiều thấp, chúng ta có được kết quả quan trọng.
Hệ quả 2.1.17 Nếu dimR ≤ 2 thì tập Ass R (H I i (M n )) là ổn định khi n lớn và với mọi i.
Hệ quả 2.1.18 Nếu dimR ≤ 3 thì tập Ass R (H I i (Mn)) ∪ {m} là ổn định khi n lớn và với mọi i.
Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương
Ta sử dụng N n để ký hiệu một trong ba R-môđun I n M, I n M/I n+1 M và M/I n M Dễ dàng thấy rằng H m i (Nn) là một R-môđun Artin với mọi i.
Tập Att R (H m i (N n )) là hữu hạn và ổn định với n lớn khi i = 0 hoặc i = d, trong đó d = dim(N n ) Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, tính chất này không còn đúng với i là một số nguyên tùy ý.
Mệnh đề 2.2.1 ([7], Mệnh đề 3.5) Các phát biểu sau là đúng.
(i) Giả sử (T,m) là vành địa phương như trong Bổ đề 2.1.9 và I (u, v)T Khi đó tập Att T (H m 3 (T /I n )) và Att T (H m 4 (I n )) là không ổn định khi n đủ lớn.
Tồn tại một môđun hữu hạn sinh M trên vành địa phương (R,m) cùng với một iđêan J của R, sao cho Att R (H m i (J n M/J n+1 M)) không ổn định với một số i nhất định Để chứng minh mệnh đề này, cần thiết phải sử dụng bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.2 ([17], Mệnh đề 4.1) Giả sử f : R → R 0 là một đồng cấu vành và A là một R 0 -môđun Artin Khi đó ta có
Bây giờ ta chứng minh Mệnh đề 2.2.1.
(i) Ta xét vành địa phương (T,m) và I = (u, v)T như trong Bổ đề 2.1.9.
Vì (T,m) là một vành địa phương Gorenstein có số chiều là 5, nên theo Định lý đối ngẫu địa phương, ta có
Theo Bổ đề 2.1.9, vì Ass T (H I 2 (T)) là một tập vô hạn nên
Att T (H m 3 (T /I n )) là tập vô hạn Do đó, tập Att(H m 3 (T /I n )) không ổn định khi n đủ lớn.
Ta có dãy khớp ngắn
Từ đó suy ra Ext 1 T (I n , T) ∼= Ext 2 T (T /I n , T) Do đó,
Ass T (Ext 2 T (T /I n , T)) là tập vô hạn Vậy tập Att T (H m 4 (I n )) là không ổn định với n đủ lớn. (ii) Với (T,m) và I = (u, v)T như trong chứng minh (i), ta xét vành Rees
Giả sử R = L n≥0 I n và R + = L n>0 I n, với M là iđêan cực đại thuần nhất của R, ta xét vành địa phương R = R M và J = (R + )R Để đơn giản, ký hiệu M là iđêan cực đại và R + là iđêan (R + )R của R Chúng ta chứng minh rằng tập Att R (H M 4 (J n M/J n+1 M)) không ổn định Do R n + /R n+1 + là linh tử hóa bởi R +, theo Định lý độc lập của đối đồng điều địa phương, ta có đẳng cấu tự nhiên.
Theo Bổ đề 2.2.2 ta có
Theo chứng minh (i), ta có S n≥0Att T (H m 4 (I n )) là một tập vô hạn, do đó [ n≥0
Att R (H M 4 (R n + /R n+1 + )) là tập vô hạn Suy ra Att R (H m 4 (R n + /R n+1 + ))không ổn định khinđủ lớn.
Giả sử (T,m) là một vành địa phương theo Bổ đề 2.1.9 và I = (u, v)T, thì tập Ass T (Ext 2 T (T /I n , T)) sẽ không ổn định khi n lớn.
(ii) Tồn tại i ∈ {1,2,3} để tập Att T (H m i (T /(u n , v n )T)) không ổn định với n lớn.
Theo Bổ đề 2.1.9, Ass T (H I 2 (T)) là tập vô hạn, do đó
Ass T (Ext 2 T (T /I n , T)) là tập vô hạn Suy ra tập Ass T (Ext 2 T (T /I n , T)) là không ổn định.
(ii) Theo [3, Mệnh đề 5.2.9] ta có đẳng cấu
Dễ thấy rằng dim(T /(u n , v n )T) = 3 Khi đó theo Brodmann and Sharp
Theo Bổ đề 2.1.9 tập Ass T (H I 2 (T)) là vô hạn, do đó tập
Att T (H m i (T /(u n , v n )T)) là một tập vô hạn Từ đó tồn tại i ∈ {1,2,3} sao cho tập
Att T (H m i (T /(u n , v n )T)) là vô hạn Khi đó Att T (H m i (T /(u n , v n )T)) không ổn định khi nđủ lớn.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi phân tích kết quả ổn định của các tập iđêan nguyên tố liên kết và tập iđêan nguyên tố gắn kết Luận văn đã đạt được một số kết quả quan trọng liên quan đến các khía cạnh này.
Chương 1 cung cấp kiến thức cơ bản về tập iđêan nguyên tố liên kết và tập iđêan nguyên tố gắn kết, cùng với các khái niệm về dãy chính quy, dãy lọc chính quy và môđun đối đồng điều địa phương Những nội dung này là nền tảng quan trọng trong việc hiểu sâu hơn về lý thuyết đại số và ứng dụng của nó trong các lĩnh vực liên quan.
Chương 2 trình bày kết quả về tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết trong môđun đối đồng điều địa phương H I 1 (N n ) và H I d−1 (N n ) Đồng thời, cũng phân tích tính ổn định của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương H m i (M/(x n 1 , , x n r )M) và H m i (N n ).
[1] M Brodmann (1979), Asymptotic stability of Ass R (M/I n M), Proc. Amer Math Soc., 16-18.
[2] M Brodmann (1979), The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Camb Phil Soc., 35-39.
[3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), “Local cohomology: an alge- braic introduction with geometric applications", Cambridge University Press.
[4] W Bruns and H J Herzog (1993), Cohen-Macaulay Ring, Cambridge University Press.
[5] N T Cuong and N.V Hoang (2008), On the vanishing and the finite- ness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., 59-72.
[6] N T Cuong, N.V Hoang and P H Khanh (2010),Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm Algebra, 4416-4429.
[7] N T Cuong and P H Khanh (2011), Some asymptotic properties of graded module, Acta Math Vietnamica, 183-192.
[8] M T Dibaei and S Yassemi (2004), Cohomological Dimension of Com- plexes, Comm Algebra, 4375-4386.
[9] N V Hoang and P H Khanh (2012), On the asymptotic stability of certain sets of prime ideals, East-West J of Mathematics, 20-27.
[10] C Huneke (1992), Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res Notes Math., 93-108.
[11] M Katzman (2002),An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra, 161-166.
[12] R Lu and Z Tang (2001), The f-depth of an ideal on a module, Proc. Amer Math Soc., 1905 - 1912.
[13] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commu-tative ring, Symp Math., 23-43.
[14] T Marley (2001), The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscripta Math 519-525
[15] H Matsumura (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univ. Press, Cambridge.
[16] L Melkersson (1990), On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Camb Phil Soc., 267-271.
[17] L Melkersson and P Schenzel (1993), Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc Amer Math Soc., 935-938.
[18] L J Ratliff (1976), On prime divisors of I n , n large, Michigan Math. J., 337-352.
[19] R Y Sharp (1986), Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J London Math Soc., 212-218.
[20] R Y Sharp (2001), Steps in Commutative Algebra by Rodney, Cam- bridge University Press.
[21] A Singh (2000), p-torsion elements in local cohomology modules, Math Res Lett., 165-176.
[22] W V Vasconcelos (1974), Divisor theory in module categories, in:North-Holland Mathematics Studies, Vol 14.