Sự phân tích nguyên sơ
Trong toàn bộ mục này, R được định nghĩa là một vành giao hoán có đơn vị, theo các tài liệu [6] và [7] Định nghĩa 1.1.1 nêu rõ rằng M là một R-môđun, và p là một iđêan nguyên tố trong R.
R được gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử khác không x ∈ M sao cho Ann(x) =p.
Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M, ký hiệu Ass R M hayAss(M).
Mệnh đề 1.1.2 Cho M là một R-môđun Các khẳng định sau là đúng. (i) p ∈ Ass(M) nếu và chỉ nếu tồn tại một môđun con N của M sao cho R/p ∼= N.
(ii) Cho R là vành Noether và M là R-môđun khác không Khi đó, nếu p là một phần tử cực đại của {Ann(x) | x ∈ M và x 6= 0} thìp ∈ Ass(M).
Trong một vành Noether R, nếu M là một R-môđun khác không, thì tập hợp các phần tử ẩn Ass(M) sẽ rỗng khi và chỉ khi M bằng không Định lý cho thấy rằng với một R-môđun M, Ass(M) luôn là tập con của Supp(M), và mọi phần tử cực tiểu trong Supp(M) đều thuộc về Ass(M).
Mệnh đề 1.1.5 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, Ass(M) là một tập hữu hạn.
Cho R-môđun M và a ∈ R, ánh xạ λ a : M → M được định nghĩa bởi λ a (x) = ax với mọi x ∈ M là một tự đồng cấu của M, gọi là đồng cấu nhân bởi phần tử a cho M Môđun con N của môđun M được xem là một môđun con nguyên sơ của R-môđun M nếu N khác M và với mọi a ∈ R, tự đồng cấu λ a : M/N → M/N là đơn cấu hoặc lũy linh.
Mệnh đề 1.1.7 Cho M là một R-môđun Môđun con thực sự N của
M được gọi là nguyên sơ nếu và chỉ nếu với mọi a ∈ R, x ∈ M sao cho ax ∈ N thì x ∈ N hoặc tồn tại số nguyên dương k ∈ N sao cho a k M ⊂N.
Bổ đề 1.1.8 (i) Cho N là một R-môđun con của M Khi đó,
Rad M (N) ={α ∈ R | tồn tại k ∈ N sao cho α k M ⊂ N} là một iđêan của vành R Đặc biệt, nếu I là một iđêan của vành R thì Rad R (I) =√
(ii) Cho N và P là hai R-môđun con của M Khi đó, nếu N ⊂ P thì
(iii) Cho N và P là hai R-môđun con của M Khi đó,
Mệnh đề 1.1.9 Các khẳng định sau đây là đúng.
Cho N là một môđun con nguyên sơ của M, khi đó RadM(N) = p là iđêan nguyên tố của R, và N được gọi là môđun con p-nguyên sơ Giao hữu hạn các môđun con p-nguyên sơ cũng là môđun con p-nguyên sơ Định nghĩa 1.1.10 nêu rõ rằng, cho M là một R-môđun và N là một môđun con của M, một phân tích nguyên sơ của N là biểu diễn N dưới dạng giao hữu hạn các môđun con nguyên sơ của M, tức là N = N1 ∩ N2 ∩ ∩ Nr, trong đó Ni là môđun con p i-nguyên sơ của M với mọi i = 1, , r.
Sự phân tích nguyên sơ (*) được gọi là phân tích nguyên sơ rút gọn nếu
Trong lý thuyết môđun, không thể loại bỏ bất kỳ môđun con nguyên sơ nào trong biểu diễn, và Rad M (N i ) khác Rad M (N j ) với mọi i khác j Định lý 1.1.11 khẳng định rằng mọi môđun con thực sự của một môđun Noether đều có một phân tích nguyên sơ rút gọn.
Mệnh đề 1.1.12 Cho R là một vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh Giả sử môđun (0) có sự phân tích nguyên sơ rút gọn nghĩa là
Ni, trong đó Ni là các môđun conp i -nguyên sơ với mọii = 1, , r. Khi đó, Ass(M) = {p 1 , ,p r }.
Hệ quả 1.1.13 Cho R là một vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Giả sử môđun con N của M có sự phân tích nguyên sơ rút gọn, tức là N r
N i Đặt q i = Rad M (N i ) với mọi i = 1, , r Khi đó,
Đầy đủ hóa
Nội dung trong phần này được trình bày theo [2], [6], [7], [9].
Không gian tôpô được định nghĩa là một cặp (X, T), trong đó X là một tập hợp và T là một họ các tập con của X, đáp ứng những điều kiện nhất định.
(iii) Nếu U t ∈ T, với mọi t∈ T thì S t∈T
Mỗi phần tử của T được gọi là một tập mở của X Họ T được gọi là một tôpô trên X.
Ghi chú 1.2.2 Cho không gian tôpô (X,T) Khi đó,
(i) Tập mở U chứa x ∈ X được gọi là một lân cận của điểm x.
Tập B(⊂ T) được xem là một cơ sở của không gian tôpô (X,T) khi mọi tập mở trong X có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của một số tập thuộc B Hơn nữa, họ B(x) các lân cận của điểm x được coi là một cơ sở của không gian tôpô (X,T) tại x nếu với mỗi lân cận V của x, luôn tồn tại một tập U ∈ B(x) sao cho U hoàn toàn nằm trong V.
Mệnh đề 1.2.3 Mỗi cơ sở B của không gian tôpô (X,T ) có các tính chất sau:
(i) Với mọi U1, U2 ∈ B, với mọi x ∈ U1 ∩ U2, tồn tại u ∈ B sao cho x ∈ U ⊂U 1 ∩U 2
Với mọi x thuộc X, luôn tồn tại một phần tử u trong B sao cho x thuộc U Định lý 1.2.4 chỉ ra rằng nếu B là một họ các tập con của X thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) trong Mệnh đề 1.2.3, thì sẽ tồn tại một tôpô T trên tập X.
V s , trong đó {V s } s∈S là một họ nào đó của B} sao cho B là một cơ sở của không gian tôpô (X,T).
Kí hiệu R đại diện cho một vành giao hoán có đơn vị Định nghĩa 1.2.5 mô tả vành lọc R là một vành R kết hợp với một họ {R_n} (n≥0) của các nhóm con thuộc nhóm (R,+), trong đó điều kiện đầu tiên là R_0 = R.
(ii) Rn+1 ⊂Rn với mọi n≥ 0,
Họ {R n } n≥0 được gọi là một lọc của vành R.
Nhận xét rằng, với mỗi n ≥0, R n là một iđêan của vành R. Định nghĩa 1.2.6 Cho R là một vành lọc với lọc{R n } n≥0 Một R-môđun
M lọc là một R-môđun M cùng với một họ {M n } n≥0 các môđun con của
M thỏa mãn các điều kiện sau
Tiếp theo, chúng tôi trình bày cơ sở lân cận điểm 0 của một R-môđun lọc.
Cho M là một R-môđun lọc với một lọc {M n } n≥0 Ký hiệu
Ta có thể kiểm tra các họ B(0), B(x) thỏa mãn điều kiện (i), (ii) trong Mệnh đề 1.2.3 Theo Định lý 1.2.4, ta nhận được hai tôpô trên M:
Trong không gian tôpô (M,T), B(0) là một cơ sở lân cận của điểm 0, trong khi B(x) là một cơ sở lân cận của điểm x trong không gian tôpô (M,T 0) Đặc biệt, với mỗi a ∈ M, ánh xạ được xác định bởi
Phép đồng phôi T a : (M,T) −→ (M,T 0 ) được định nghĩa bởi T a (u) = a + u và có tính chất T −1 a = T −a Nếu U là một lân cận của điểm 0, thì T a (U) = a + U cũng là một lân cận của điểm a Do đó, tôpô của M được xác định duy nhất bởi các lân cận {M n} n≥0 của điểm 0 trong (M,+) Tiếp theo, chúng ta có thể kiểm tra các phép toán f : M × M −→ M.
(x, y) 7−→ f(x, y) = x+y và g :R×M −→M(r, m) 7−→g(r, m) = rm là các ánh xạ liên tục.
Tôpô T trên M được gọi là tôpô cảm sinh bởi lọc {M n } n≥0 và nó còn được gọi là tôpô tuyến tính trên M Khi M = R, tôpô tuyến tính trên R sinh bởi lọc {R n } n≥0
Cho I là một iđêan của vành R và đặt R n = I n với n ≥ 0, thì {I n } n≥0 tạo thành một lọc I-adic của vành R Đối với một R-môđun M, lọc I-adic được định nghĩa là Mn = I n M với mọi n ≥ 0, do đó M trở thành một R-môđun lọc.
Cho M là một R-môđun lọc với lọc {M n} n≥0, xác định một tôpô trên M tương thích với cấu trúc nhóm con abel của M, gọi là tôpô cảm sinh Một dãy (x n) trong M là dãy Cauchy nếu với mỗi k ∈ N, tồn tại n 0 sao cho x m − x n ∈ M k với mọi m, n ≥ n 0 Với tôpô được định nghĩa bởi lọc, M có bao đầy đủ Mc, là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy trong môđun M Quan hệ tương đương được định nghĩa là (x n) ∼ (y n) nếu với mỗi m tồn tại n 0 sao cho x n − y n ∈ M m với mọi n ≥ n 0 Tôpô được định nghĩa trên M bởi lọc I-adic được gọi là tôpô I-adic và bao đầy đủ Mˆ là bao đầy đủ I-adic.
Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của R Mˆ và Rˆ là các đầy đủ I-adic tương ứng của M và R Phép nhân vô hướng của Rˆ lên Mˆ được định nghĩa bởi (a n )(x n ) = (a n x n ), trong đó (a n ) và (x n ) là các dãy Cauchy trong R và M Với phép toán cộng và phép nhân vô hướng, Mˆ trở thành một Rˆ-môđun Khi M là R, ta có vành Rˆ.
Vành phân bậc và môđun phân bậc
Một R-đại số là một vành A đồng thời là một R-môđun, thỏa mãn điều kiện a(xy) = (ax)y = x(ay) cho mọi a thuộc R và mọi x, y thuộc A.
Ví dụ 1.3.2 (i) Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Khi đó, vành
A = R[X 1 , , X n ] là một R-đại số với n ≥1.
Cho (S,+,ã) là một vành giao hoán có đơn vị và R là một vành con Trong trường hợp này, S được xem như một R-đại số, với phép nhân vô hướng được định nghĩa sao cho rx ∈ S với mọi r ∈ R và mọi x ∈ S.
(iii) Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Khi đó, vành A = R[[X]] là một R-đại số. Định nghĩa 1.3.3 Cho A, B là hai R-đại số Một đồng cấu của những
R-đại số f: A → B là một đồng cấu của các R-môđun với các điều kiện f(1) = 1 và f(xy) = f(x)f(y) cho mọi x, y ∈ A Một R-đại số A được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một tập hữu hạn {a1, , an} trong A sao cho ánh xạ Φ: R[X1, , Xn] → A được xác định bởi f(X1, , Xn) ↦ f(a1, , an) là toàn ánh Một vành R được gọi là vành phân bậc nếu nó có thể được biểu diễn như một tổng trực tiếp của các nhóm con {Rn} của R, tức là R = ⊕ n≥0 Rn, thỏa mãn RmRn ⊂ Rm+n với mọi m, n ≥ 0.
Ví dụ 1.3.6 (i)Với bất kỳ vành R, đặt R 0 = Rvà R n = 0với mọin ≥ 1.
Dễ thấy R = ⊕ n≥0 R n là một vành phân bậc.
(ii) Cho R = k[X 1 , , X n ] với k là một trường Ta ký hiệu
R d = {0}∪{f ∈ R|f là đa thức thuần nhất bậcdtrênk theoX 1 , , X n }.
Khi đó, R = ⊕ d≥0 R d và R d R d 0 ⊂ R d+d 0 với mọi d, d 0 ≥ 0, chứng tỏ rằng R = k[X 1 , , X n ] là một vành phân bậc Định nghĩa 1.3.7 nêu rõ rằng, cho R = ⊕ n≥0 R n là một vành phân bậc, một R-môđun M được gọi là phân bậc nếu môđun M có thể biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp các nhóm con {M n} của nó.
Ví dụ 1.3.8 Cho R = k[X 1 , , X n ] là một vành phân bậc Khi đó, R được xem như một R-môđun phân bậc.
Trong vành phân bậc hoặc môđun phân bậc R (hoặc M), mỗi phần tử R n (hoặc M n) được gọi là phần tử thuần nhất bậc n Đối với hai môđun phân bậc M và N trên vành phân bậc R, ánh xạ f: M → N được xác định là một đồng cấu của những môđun phân bậc nếu nó thỏa mãn các điều kiện cụ thể liên quan đến cấu trúc của các môđun này.
(i) f là một đồng cấu của những R-môđun,
Định nghĩa 1.3.11: Cho R là một vành lọc với lọc {R n} n≥0, ta định nghĩa gr n (R) = R n /R n+1 và gr(R) = ⊕ n≥0 gr n (R) Như vậy, gr(R) có phép nhân được suy từ phép toán nhân trên R.
(a+R n+1 )(b+R m+1 ) = ab+R n+m+1 trong đó a ∈ Rn, b ∈ Rm Khi đó, gr(R) là một vành phân bậc Vành này được gọi là vành phân bậc liên kết của vành R.
Cho R là vành lọc với lọc I-adic {I n } n≥0 và I là một iđêan của R Khi đó, vành gr(R) được xác định là tổng trực tiếp của các vành phân bậc gr n (R) = I n /I n+1 Trong trường hợp này, vành phân bậc liên kết của R được ký hiệu là gr I (R).
Nhận xét 1.3.13 (i) Cho I là một iđêan của R và xét vành phân bậc gr I (R) =R/I ⊕I/I 2 ⊕ .⊕I n /I n+1 ⊕ .
Giả sử a = a 1 a n với a 1 ; .;a n ∈ I, a+ I n+1 = a 1 a n +I n+1 (a 1 +I 2 ) .(a n +I 2 ) Suy ra mỗi phần tử của I n /I n+1 là một tổ hợp tuyến tính của những tích n phần tử của I/I 2
Giả sử I = Ra 1 + + Ra r Khi đó, gr I (R) = (R/I)[¯a 1 , ,a¯ r ] là R/I-đại số hữu hạn sinh bởi các phần tử ¯a1, ,¯ar ∈ I/I 2
Với các giả thiết đã nêu, ta có toàn cấu phân bậc Φ: R/I[X1, , Xn] → gr I(R) xác định bởi Φ(f(X1, , Xn)) = f(¯a1, , ¯ar) Đối với 1 ≤ i ≤ r, ta có Φ(Xi) = ¯ai = ai + I2 Định nghĩa 1.3.14 cho biết rằng M là R-môđun lọc trên vành lọc R với các lọc {Mn}n≥0 và {Rn}n≥0 tương ứng Ta định nghĩa grn(M) = Mn/Mn+1 và gr(M) = ⊕n≥0 grn(M) Khi đó, gr(M) trở thành một gr(R)-môđun với phép nhân vô hướng được xác định bởi (a + Rn+1)(x + Mm+1) = ax + Mn+m+1, với a ∈ Rn và x ∈ Mm Môđun này được gọi là môđun phân bậc liên kết với môđun M.
Ví dụ 1.3.15 Cho vành lọc R với lọc I-adic {I n } n≥0 Với n ≥ 0, đặt
M n = I n M/I n+1 M Do đó, {M n } n≥0 là một lọc của M Khi đó,gr I (M) ⊕ n≥0 I n M/I n+1 M là môđun phân bậc trên vành phân bậc gr I (R).
Mệnh đề 1.3.16 Cho R = ⊕ n≥0 R n là một vành phân bậc Khi đó, các mệnh đề sau đây là tương đương.
(ii) R 0 là một vành Noether và R là một R 0 -đại số hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.3.17 Cho R là một vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R Xét lọc I-adic trên M và R Khi đó, (i) gr I (R) = ⊕ n≥0 I n /I n+1 là Noether.
(iii) gr I (M) là gr I (R)-môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.3.18 Cho R là một vành Noether, I là iđêan chứa trong cănJacobson của vành R Nếu gr I (R) là một miền nguyên thì R là một miền nguyên.
Đa thức Hilbert Samuel và chiều Krull
Một hàm đa thức f được định nghĩa là một ánh xạ f : N → Q, trong đó tồn tại một đa thức g(X) ∈ Q[X] sao cho f(n) = g(n) khi n đủ lớn Đa thức g(X) là duy nhất, và bậc cũng như hệ tử cao nhất của nó được gọi là bậc và hệ tử cao nhất của hàm đa thức f.
Mệnh đề 1.4.2 Cho f : N → Q là một ánh xạ Khi đó, f là một hàm đa thức bậc r khi và chỉ khi ∆f : N → Q được định nghĩa bởi
∆f(n) =f(n+ 1)−f(n) là một hàm đa thức bậc r −1.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày về hàm đa thức.
Mệnh đề 1.4.3 Cho R = ⊕ n≥0 Rn là một vành phân bậc trong đó R0 là vành Artin và R là R 0 -đại số hữu hạn sinh bởi r phần tử a 1 , , a r trong
R 1 và M = ⊕ n≥0 M n là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó, mỗi
M n là một R 0 -môđun hữu hạn sinh.
Hệ quả 1.4.4 cho thấy rằng với mỗi n ≥ 0, độ dài của R 0 -môđun M n là hữu hạn, tức là lR 0 (Mn) < ∞ Định lý 1.4.5 khẳng định rằng nếu R = ⊕ n≥0 R n là một vành phân bậc với R 0 là vành Artin, và R là một R 0 -đại số hữu hạn sinh, được sinh bởi r phần tử trong R 1, thì ánh xạ χ(M,) : N → Z được xác định bởi χ(M, n) = l R 0 (M n) là một hàm đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng r − 1 Định nghĩa 1.4.6 chỉ ra rằng đa thức được tạo ra từ hàm đa thức χ(M, n) được gọi là đa thức Hilbert của môđun M.
Hệ quả 1.4.7 Cho R là một vành Noether địa phương với iđean cực đại m sinh bởi r phần tử và k = R/m Khi đó, χ(gr m (R), n) = l k (m n /m n+1 ) là một hàm đa thức bậc r −1.
Chú ý 1.4.8 (i) Cho M là một R-môđun Khi đó, l R (M) < ∞ khi và chỉ khi M là R-môđun Noether và Artin.
(ii) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, nếu R là một vành Noether (tương ứng, Artin) thì M là một R-môđun Noether (tương ứng, Artin).
(iii) Cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m và M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, l R (M) < ∞ khi và chỉ khi tồn tại s ≥1 sao cho m s M = 0.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ xem xét một trường hợp đặc biệt của đa thức Hilbert Định nghĩa 1.4.9 nêu rõ rằng, với R là một vành Noether địa phương có iđean cực đại m, một iđêan I của R được gọi là iđêan định nghĩa nếu tồn tại một số nguyên dương s ≥ 1 sao cho m^s nằm trong I và I nằm trong m.
Nhận xét 1.4.10 Iđêan I là một iđêan định nghĩa khi và chỉ khi R/I là một vành Artin Thật vậy,
Giả sử I là iđêan định nghĩa, ta có m n (R/I) = 0 với một n ≥ 1 và R/I là R-môđun hữu hạn sinh nên l R (R/I) < ∞ Do đó, R/I là vành Artin.
Giả sửR/I là vành Artin Khi đó,R/I làR-môđun Noether và Artin. Suy ra l R (R/I) < ∞ Do đó, tồn tại n≥ 1 sao cho m n R/I = 0 Suy ra m n ⊂ I.
Cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, I là iđêan định nghĩa của R và M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, M/IM trở thành R/I-môđun hữu hạn sinh Hơn nữa, vì R/I là vành Artin, nên l R/I (M/IM) < ∞.
Xét lọc I-adic trên R và M tương ứng Ký hiệu vành phân bậc liên kết với vành R và môđun phân bậc liên kết với M bởi gr I (R) =⊕ n≥0 I n /I n+1 , gr I (M) =⊕ n≥0 I n M/I n+1 M.
Khi đó, gr I (M) là một gr I (R)-môđun hữu hạn sinh Hơn nữa, nếu
Cho I sinh bởi a1, , ar trên R, ảnh của chúng ¯a1, , ¯ar trong I/I2 sinh ra gr I (R) trên R/I Hàm đa thức χ(gr I (M), n) được xác định với χ(gr I (M), n) = lR/I (I n M/I n+1 M) Do m ns (M/I n M) = 0, nên lR (M/I n M) < ∞ Hơn nữa, lR (I n M/I n+1 M) = lR/I (I n M/I n+1 M) Ký hiệu PI(M, n) = lR(M/I n M) từ dãy khớp ngắn.
Trong lý thuyết vành, cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M là một R-môđun hữu hạn sinh, và I là một iđêan định nghĩa của R sinh bởi r phần tử, ta có PI(M, n) = lR(M/I n M) là một hàm đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng r Đa thức được xác định từ hàm đa thức PI(M, n) này được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của môđun M.
Mệnh đề 1.4.13 Bậc của đa thức Hilbert-Samuel PI(M, n) của môđun
M không phụ thuộc vào định nghĩa của iđêan I và được ký hiệu là d(M) degP I (M, n) Định lý 1.4.14 chỉ ra rằng, cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m được sinh bởi a1, , ar và k = R/m, thì k-đồng cấu đại số phân bậc Φ : k[X1, , Xr] → gr m (R) xác định bởi Φ(Xi) = ¯ai = ai + m^2 với 1 ≤ i ≤ r là một đẳng cấu khi và chỉ khi deg(χ(gr m (R)), n) = r - 1.
Hệ quả 1.4.15 Với các giả thiết như trong Định lý 1.4.14 Khi đó, Φ là một đẳng cấu khi và chỉ khi deg(P m (R, n)) = r.
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1 6= 0 Một dãy hữu hạn gồm n+ 1 iđêan nguyên tố p 0 ⊃ p 1 ⊃ ⊃ p n được gọi là dây chuyền nguyên tố độ dài n Nếu p ∈ Spec(R), độ cao của p, ký hiệu là ht(p), là chặn trên nhỏ nhất của tất cả độ dài dây chuyền nguyên tố với p = p 0, và khi ht(p) = 0, p là iđêan nguyên tố tối thiểu của R Đối với một iđêan thực sự I của R, độ cao của I được định nghĩa là chặn dưới lớn nhất của các độ cao của các iđêan nguyên tố chứa I, tức là ht(I) = inf{ht(p) | p ⊇ I} Chiều của R, ký hiệu là dimR, được định nghĩa là chặn trên nhỏ nhất của tất cả độ cao của các iđêan nguyên tố trong R, được tính bằng sup{ht(p) | p ∈ Spec(R)}.
Nó còn được gọi là chiều Krull của vành R và được ký hiệu dimR.
Ví dụ 1.4.17 (i) Nếu k là một trường thì dimk = 0.
(ii) Nếu R là một vành Artin thì dimR = 0.
(iii) Chiều Krull của vành các số nguyên là 1, dimZ = 1.
Nhận xét 1.4.18 Với mỗi p ∈ Spec(R),ht(p) = dim(R p ). Định nghĩa 1.4.19 Cho M 6= 0 là một R-môđun Khi đó, chiều Krull của môđun M được định nghĩa là dimM = dim(R/Ann(M)).
Trong một vành Noether giao hoán địa phương R với iđêan cực đại m và môđun hữu hạn sinh M (M ≠ 0), chiều Chevalley của môđun M, ký hiệu δ(M), được định nghĩa là số tự nhiên r nhỏ nhất sao cho tồn tại các phần tử x1, , xr thuộc m, thỏa mãn điều kiện lR(M/(x1, , xr)M) < ∞.
Trong Định nghĩa 1.4.20, nếu M là môđun không, thì δ(M) được quy ước là -1 Theo Định lý 1.4.21, với R là một vành giao hoán Noether địa phương có iđêan cực đại m và M là một R-môđun hữu hạn sinh khác không, ta có dimM = d(M) = δ(M).
Chú ý rằng, nếu d = dimM và hệ phần tử x1, , xd ∈ m sao cho
`(M/(x1, , xd)M) < ∞ được gọi là một hệ tham số của M.
Hệ quả 1.4.22 chỉ ra rằng nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương R, thì kích thước chiều dimM là hữu hạn Đặc biệt, kích thước chiều dimR cũng hữu hạn và tương đương với số lượng phần tử sinh tối thiểu của một iđêan định nghĩa trong vành R.
Hệ quả 1.4.23 Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m và k = R/m Khi đó, dimR ≤dim k (m/m 2 ).
Hệ quả 1.4.24 Nếu R = k[[X 1 , , X n ]] là một vành các chuỗi lũy thừa trong X 1 , , X n , k là trường thì dimR = n.
Mệnh đề 1.4.25 Cho R là một vành Noether Khi đó, dimR[X] = 1 + dimR.
Hệ quả 1.4.26 Nếu k là một trường thì dimk[X 1 , , X n ] = n.
Mệnh đề 1.4.27 ChoRlà vành Noether Khi đó,dimR = sup m∈max(R) dimR m
Hàm tử xoắn và chiều xạ ảnh
R-môđun X được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu f: X → B và mọi toàn cấu g: A → B của các R-môđun, luôn tồn tại một đồng cấu h: X → A sao cho g◦h = f Điều này có nghĩa là biểu đồ liên quan đến các đồng cấu này giao hoán với nhau.
A −−−−→ g B Mệnh đề 1.5.2 Mọi R-môđun tự do đều là xạ ảnh. Định nghĩa 1.5.3 Cho M là một R-môđun Một phép giải xạ ảnh của
M là một dãy khớp của các R-môđun
X : ã ã ã → X n − d → n X n−1 → ã ã ã → X 1 − d → 1 X 0 −→ ε M → 0, trong đó X i là các R-môđun xạ ảnh với mọi i ≥ 0, ký hiệu X −→ ε M →0.
Mệnh đề 1.5.4 khẳng định rằng với một R-môđun M, luôn tồn tại một phép giải xạ ảnh của M Định lý 1.5.5 tiếp tục chỉ ra rằng nếu f: M → M' là một đồng cấu giữa các R-môđun, và X → ε M cùng với X' → ε' M' là các phép giải xạ ảnh tương ứng, thì sẽ có một đồng cấu F = {F_n} từ phức X vào phức X' sao cho f ε = ε' F_0 Đặc biệt, đồng cấu F này là duy nhất ngoại trừ một đồng luân.
Hệ quả 1.5.6 Nếu X và Y là hai phép giải xạ ảnh của M thì X và Y là hai tương đương đồng luân.
Cho N là một R-môđun cố định Xét phép gán
T = ã ⊗ R N là một hàm tử cộng tính hiệp biến xác định với mỗi R-môđun M, trong đó T(M) = M ⊗ R N Đối với một đồng cấu f: M −→ M 0, ta có T(f) = f ⊗ 1 N Khi đó, T thể hiện tính chất của một phép giải xạ ảnh của R-môđun M.
X :ã ã ã −→ X n+1 −−→ d n+1 X n − d → n X n−1 −→ ã ã ã −→ X 0 −→ ε M −→ 0. Xét phép giải xạ ảnh thu gọn của R-môđun M
Khi đó, ta có phức
X⊗N : ã ã ã −−−−−→ d n+1 ⊗1 N X n ⊗N −→ ã ã ã −→ X 1 ⊗N −−−→ d 1 ⊗1 N X 0 ⊗N −−−→ d 0 ⊗1 N 0. Khi đó, với mọi n≥ 0, ta có
Hơn nữa, nếu f : M → M 0 là một R-đồng cấu và X, X 0 là hai phép giải xạ ảnh của M và M 0 ; thì theo Định lý 1.5.5, tồn tại một đồng cấu
F = {F n } n≥0 : X →X 0 sao cho f ε= ε 0 F 0 Từ đồng cấu F dẫn đến đồng cấu
Ký hiệu, F = F ⊗1 N = {F n ⊗1 N } n≥0 Ta có các đồng cấu cảm sinh từ F
(F) ∗ n : Tor R n (M, N) −→ Tor R n (M 0 , N), ký hiệu, Tor R n (f, N) = (F) ∗ n
Với mỗi số nguyên n ≥0, xét phép gán
Tor R n (ã, N) : Mod R Mod R được xác định bởi mỗi môđun M Tor R n (M, N) là một R-môđun, và nếu f : M −→ M 0 là một đồng cấu các R-môđun, thì Tor R n (f, N) là một hàm tử cộng tính hiệp biến, còn được gọi là hàm tử xoắn.
Nhận xét 1.5.7 Cho M, N là các R-môđun.
(i) Nếu M là xạ ảnh thì Torn(M, N) = 0 với mọi n ≥ 1, với mọi N. Ngoài ra, Tor R 0 (M, N) ' M ⊗N với mọi M, N.
(ii) Hàm tử xoắn không phụ thuộc vào phép giải xạ ảnh của M.
Mệnh đề 1.5.8 Cho 0 −→ A −→ f B −→ g C −→ 0 là một dãy khớp ngắn bất kỳ các R-môđun và N là một R-môđun bất kỳ Khi đó, ta có các dãy khớp ã ã ã −→ ∂ Tor R n (A, N) f
−→Torn(C, N) −→ ∂ Tor n−1 (A, N) −→ ã ã ã ã ã ã −→ Tor R 1 (C, N) −→ ∂ A⊗N −−−→ f ⊗1 N B⊗N −−−→ g⊗1 N C ⊗N −→0, trong đó f ∗ = Tor R n (f, N), g ∗ = Tor R n (g, N) và ∂ là đồng cấu nối.
Cho M là một R-môđun, chiều xạ ảnh của M trên vành R, ký hiệu là pd R M, được định nghĩa là n Cụ thể, pd R M = n nếu M có một phép giải xạ ảnh với độ dài n.
X : ã ã ã −→ X n+1 −→ X n −→ ã ã ã −→ X 0 −→ ε M −→ 0 thỏa mãn Xi = 0 với mọi i > n, Xn 6= 0 và n là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này Ngược lại, chiều xạ ảnh của M là ∞.
Ví dụ 1.5.10 (i) Giả sử M là một R-môđun xạ ảnh, dãy 0 −→ X 0 −→ ε
M −→ 0 với X 0 = M là một phép giải xạ ảnh độ dài 0 của M Vậy pd R M = 0.
Ngược lại cũng đúng, tức là nếu 0 −→ X0
→ M −→ 0 là một phép giải xạ ảnh độ dài 0 thì M ' X 0 là môđun xạ ảnh.
Cho R = Z, vì R là vành chính nên mọi môđun con của một môđun tự do đều là tự do M là nhóm abel có một phần tử xoắn khác không Xét dãy 0 → X₁ → X₀ → εM → 0, trong đó X₀ và X₁ là hai Z-môđun tự do.
Chiều đồng điều của vành R, ký hiệu gl.dimR, được định nghĩa trong bối cảnh vành giao hoán có đơn vị Cụ thể, chiều đồng điều của vành R được xác định bởi công thức gl.dimR = sup.
M pd R M với cận trên nhỏ nhất lấy trên tất cả R-môđun M.
Ví dụ 1.5.12 (i) Nếu R là một trường thì pd R M = 0 vì mọi R-môđun
M là tự do Suy ra gl.dimR = 0.
(ii) Cho k là một trường Khi đó, gl.dimk[X] = 0.
Trong một vành Noether địa phương R với iđêan cực đại m, nếu k = R/m và M là một R-môđun hữu hạn sinh, thì độ phân giải dự đoán pd R M ≤ n xảy ra khi và chỉ khi Tor R n+1 (M, N) = 0 với mọi R-môđun N.
Hệ quả 1.5.14 chỉ ra rằng pd R M ≤n khi và chỉ khi Tor R n+1 (M, k) = 0 Định lý 1.5.15 khẳng định rằng với R là vành Noether địa phương có iđêan cực đại m và k = R/m, các điều kiện sau đây là tương đương.
Hệ quả 1.5.16 Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m và k = R/m Khi đó, gl.dimR = pd R k.
Độ sâu và môđun Cohen-Macaulay
Nội dung của mục này được trình bày theo [1], [4], [6], [7].
Cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M là một
R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d.
Theo Định lý chiều, tồn tại các phần tử x₁, , x_d thuộc lý thuyết lý thuyết địa phương R với lý thuyết cực đại m, sao cho chiều của môđun M chia cho lý thuyết sinh bởi các phần tử này là hữu hạn Định nghĩa 1.6.1 nêu rõ rằng, với môđun M hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương R, một hệ các phần tử x₁, , x_d thuộc m được gọi là một hệ tham số của M nếu chiều của môđun M/(x₁, , x_d)M là hữu hạn.
Trong một vành Noether địa phương R với iđêan cực đại m và dimR = d, nếu x1, , xd là một hệ sinh của một iđêan định nghĩa, thì x1, , xd được coi là một hệ tham số của R.
Cho R = k[[X₁, , Xd]] với k là một trường và dimR = d, m = (X₁, , Xd) là iđêan cực đại của R, thì X₁, , Xd là một hệ tham số của R Định lý 1.6.3 chỉ ra rằng nếu M là R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d trên vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m, thì khi x₁, , xt ∈ m, ta có dim(M/(x₁, , xt)M) ≥ d−t, và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x₁, , xt là một phần của hệ tham số của M Định nghĩa 1.6.4 nêu rõ rằng một dãy x₁, , xn các phần tử của R được gọi là một M-dãy chính quy (M-dãy) nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(ii) x i không là ước của không của môđun M/(x 1 , , x i−1 )M trong đó
Trong Định nghĩa 1.6.4, nếu M = R thì một M-dãy được gọi là một
R-dãy Trong (ii), nếu i = 1 thì x 1 không là ước của không của M.
Ví dụ 1.6.5 Cho R = k[X 1 , , X n ] là một vành đa thức, k là một trường Khi đó, X 1 , , X n là một R-dãy.
Mệnh đề 1.6.6 Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m, M là một R-môđun hữu hạn sinh và x1, , xt là một
Trong lý thuyết vành, cho R là một vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R với điều kiện IM khác M, thì bất kỳ hai M-dãy cực đại nào trong I đều có cùng độ dài Độ sâu của môđun M trong I, ký hiệu là depth I M, được xác định là số lượng phần tử của một M-dãy cực đại trong I.
Nếu R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, thì depth m M được gọi là độ sâu của M và ký hiệu là depthM.
Trong một vành Noether R với iđêan cực đại m và M là một R-môđun, ta có depthM = 0 nếu và chỉ nếu m thuộc Ass(M) Hơn nữa, nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether giao hoán địa phương, thì depthM không vượt quá dimM.
Mệnh đề 1.6.10 Cho I là một iđêan của một vành Noether R Khi đó, nếu I được sinh bởi R-dãy x 1 , , x n với n= 1,2, thì pd R (R/I) =n.
Môđun Cohen-Macaulay là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết môđun Định nghĩa cho biết rằng, với R là một vành Noether giao hoán địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh, môđun M được coi là Cohen-Macaulay nếu độ sâu của M bằng với chiều của M hoặc M bằng 0 Hơn nữa, vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu R là một R-môđun Cohen-Macaulay.
Ví dụ 1.6.12 (i) Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương và
M là một R-môđun hữu hạn sinh với dimM = 0, dẫn đến depthM = 0, cho thấy M là môđun Cohen-Macaulay Thêm vào đó, nếu R là một vành Artin địa phương, thì R cũng là vành Cohen-Macaulay.
R = k[X] với k là một trường, được xác định là một vành Cohen-Macaulay Định lý 1.6.13 chỉ ra rằng nếu R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m và M là một R-môđun hữu hạn sinh, thì hai mệnh đề liên quan đến cấu trúc của R và M là tương đương.
(i) M là một môđun Cohen-Macaulay.
(ii) Mọi hệ tham số của M đều là một M-dãy.
Vành chính quy địa phương
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm về vành chính quy địa phương cùng với các vấn đề liên quan Chúng tôi cũng sẽ phân tích đặc trưng của vành chính quy địa phương thông qua chiều đồng điều và một số kết quả liên quan đến đồng điều Nội dung chương được trình bày theo tài liệu [6].
Vành chính quy địa phương
Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m và dimR = d, thì tập sinh bất kỳ của m có ít nhất d phần tử theo Định lý chiều Vành R được gọi là vành chính quy địa phương nếu m có một tập sinh d phần tử Nếu R là một vành chính quy địa phương chiều d với m là một iđêan cực đại, thì một tập sinh a1, , ad của m được gọi là một hệ tham số chính quy của R.
R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m và dimR = 0 R là một vành địa phương chính quy nếu và chỉ nếu R là một trường.
(ii) Cho R = k[[X 1 , , X d ]],k là một trường, là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m = (X1, , Xd) và dimR = d Khi đó, R là một vành chính quy địa phương.
Cho R là một địa phương hóa của vành k[X, Y]/(X³ − Y²) tại iđêan cực đại m = ( ¯X, Y¯), trong đó k là một trường R không phải là vành chính quy địa phương, vì dimR = ht( ¯m) = 1, trong khi ht(X, Y) = 2.
Đối với vành Noether địa phương R với iđêan cực đại m và dimR = d, ta có rằng X³ - Y² là một ước khác không trong k[X, Y] Hệ sinh tối tiểu của m là {X, ¯Y¯} Các khẳng định liên quan đến k = R/m là tương đương với nhau.
(i) R là một vành chính quy địa phương.
(ii) gr m (R) đẳng cấu với k[X1, , Xd], xét như những k-đại số phân bậc.(iii) dimR = dim k (m/m 2 ) = d.
Giả sử m = (a1, , ad) = Ra1 + + Rad Ánh xạ Φ : k[X1, , Xd] → gr m (R) được xác định bởi Φ(Xi) = ai + m² với 1 ≤ i ≤ d là một k-đồng cấu đại số phân bậc Do deg(Pm(R, n)) dimR = d, theo Hệ quả 1.4.15, Φ là một đẳng cấu.
(ii) ⇒ (iii) Ta có Φ : k[X 1 , , X d ]−→ gr m (R) là một đẳng cấu phân bậc của những k-đại số Gọi
Trong bài viết này, chúng ta xem xét không gian vectơ k-không gian A 1 và đẳng cấu Φ| A 1 : A 1 → m/m 2 Với X 1, , X d là cơ sở của A 1, ta có dimA 1 = d, dẫn đến dimR = dim k (m/m 2) Giả sử dimR = dimk(m/m 2) = d và tồn tại các phần tử a1, , ad ∈ m sao cho ¯ a1, , a¯d là cơ sở của không gian vectơ m/m 2 trên trường k Điều này cho thấy tập {a 1, , a d} là hệ sinh của m, khẳng định R là vành chính quy địa phương.
Hệ quả 2.1.5 Mỗi vành Noether chính quy địa phương là một miền nguyên.
Chứng minh Giả sử R là một vành Noether chính quy địa phương với iđêan cực đại m và dimR = d Theo Định lý 2.1.4, ta có gr m (R) 'k[X1, , Xd].
Hơn nữa, vì k[X 1 , , X d ] là một miền nguyên Theo Mệnh đề 1.3.18 ta có R là một miền nguyên.
Hệ quả 2.1.6 cho biết rằng, với R là một vành Noether địa phương và m là iđêan cực đại, Rˆ là đầy đủ m-adic của R R sẽ là vành chính quy địa phương nếu và chỉ nếu Rˆ cũng là vành chính quy địa phương.
Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.17, gr m (R) ' gr m ˆ ( ˆR) xem như những vành phân bậc Kết quả được suy ra từ điều kiện (ii) của Định lý 2.1.4.
Nếu (R,m) là một vành Noether chính quy địa phương với iđêan cực đại m và P là một iđêan nguyên tố của vành R, thì trong trường hợp tổng quát, vành thương R/P không phải là một vành chính quy địa phương.
Mệnh đề dưới đây chỉ ra những điều kiện để vành R/P như trong nhận xét trên là vành chính quy địa phương.
Mệnh đề 2.1.7 Cho R là một vành Noether chính quy địa phương với iđêan cực đại m, dimR = d và a 1 , , a t ∈ m trong đó 1 ≤t ≤ d Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương.
(i) a 1 , , a t là một phần của một hệ tham số chính quy của R.
(ii) Các ảnh ¯a1, ,¯at của a1, , at trong m/m 2 là độc lập tuyến tính trên k.
(iii) R/(a 1 , , a t ) là vành chính quy địa phương, và dimR/(a 1 , , a t ) = d−t.
Chứng minh rằng những phần tử a1, , at là một phần của hệ tham số chính quy a1, , ad của R nếu và chỉ nếu ā1, , āt là một phần của cơ sở ā1, , ād của không gian vectơ m/m2 trên trường k Điều này tương đương với việc ā1, , āt là độc lập tuyến tính trên k.
(i) ⇒ (iii) Đặt R¯ = R/(a 1 , , a t ) và m¯ = m/(a 1 , , a t ) Xét hệ tham số chính quy a 1 , , a t , a t+1 , , a d của R Theo Định lý 1.6.3, dim ¯R d−t Vì m¯ sinh bởi d−t phần tử, do đó R¯ là vành chính quy địa phương có chiều d−t.
Chọn các phần tử a t+1, , a d thuộc m sao cho ảnh của chúng trong m¯ m/(a 1, , a t) tạo thành một hệ tham số chính quy của vành R/(a 1, , a t) Hơn nữa, với m = (a 1, , a t, a t+1, , a d), ta có thể khẳng định rằng R là vành chính quy và a 1, , a t là một phần của hệ tham số chính quy của R.
Hệ quả 2.1.8 chỉ ra rằng, trong một vành Noether địa phương R với iđêan cực đại m, R sẽ là một vành chính quy địa phương nếu và chỉ nếu m được sinh bởi một R-dãy.
Giả sử R là một vành chính quy địa phương và a₁, , a_d là một hệ tham số chính quy của vành R Đối với mỗi t từ 0 đến d, R¯ = R/(a₁, , a_t) là vành chính quy có chiều d - t, và ¯a_{t+1}, , a¯_d là một hệ sinh của iđêan cực đại m¯ = m/(a₁, , a_t) Vì R¯ là một miền nguyên, nên ¯a_{t+1} khác 0 và không là ước của không của R¯, tức là a_{t+1} không là ước của không của R/(a₁, , a_t) với 0 ≤ t ≤ d Do đó, a₁, , a_d là một R-dãy.
Vì vậy, m sinh bởi một R-dãy. Đảo lại, giả sử m được sinh bởi một R-dãy a1, , ad Khi đó, d ≤depthR ≤ dimR ≤ d.
Suy ra dimR = d Vậy R là một vành chính quy.
Hệ quả 2.1.9 Mọi vành Noether chính quy địa phương đều là vành Cohen- Macaulay.
Chứng minh Giả sử R là một vành Noether chính quy địa phương với iđêan cực đại m và dimR = d Theo Hệ quả 2.1.8, m được sinh bởi một
R-dãya 1 , , a d , suy ra depthR = dimR = d.Vậy R là một vành Cohen-Macaulay.
Hệ quả 2.1.10 trình bày rằng, cho R là một vành Noether chính quy địa phương với iđêan cực đại m và dimR = d, thì P là một iđêan nguyên tố của R Các điều kiện liên quan đến P và R sẽ là tương đương với nhau.
(i) R/P là một vành chính quy địa phương.
(ii) P sinh bởi một phần của một hệ tham số chính quy.
Chứng minh rằng (ii) dẫn đến (i) bằng cách giả sử P = (a1, , at) = Ra1 + + Rat, trong đó a1, , at là một phần của hệ tham số chính quy a1, , at, at+1, , ad của R Theo Mệnh đề 2.1.7, vành thương R/I là vành chính quy địa phương với dim R/P = d - t.
(i) ⇒ (ii)Giả sửR/P là một vành chính quy địa phương vớidimR/P d−t Nếu m¯ = m/P thì dimk( ¯m/m¯ 2 ) = d−t Hơn nữa, vì ¯ m/m¯ 2 'm/(m 2 +P) nên từ dãy khớp các k-không gian vectơ với k = R/m
0 −→ (m 2 +P)/m 2 −→ m/m 2 −→ m/(m 2 + P) −→ 0, ta suy ra dim k [(m 2 +P)/m 2 ] = dim k (m/m 2 )−dim k [m/(m 2 +P)] = d−(d−t) =t. Chọn a 1 , , a t ∈ P sao cho ¯ a 1 , ,a¯ t ∈ (m 2 +P)/m và k(¯a 1 , ,a¯ t ) = (m 2 + P)/m 2
Khi a1, , ad là một hệ tham số chính quy của R, theo Hệ quả 2.1.8, chúng tạo thành một R-dãy Do đó, P0 = (a1, , at) là một iđêan nguyên tố với chiều cao và P0 thuộc P Vì P0 thuộc P và dim R/P = d - t, nên ta có P0 = P.
Đặc trưng qua chiều đồng điều
Vành R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m Đặc trưng của vành R chính quy địa phương được nhận diện qua chiều đồng điều Theo Định lý 2.2.1, nếu R là một vành Noether chính quy địa phương với dimR = d, thì có những đặc điểm quan trọng liên quan đến cấu trúc của nó.
(i) gl.dimR 0 Khi đó, tồn tại một phần tử a ∈ m không là ước của không đối với M Đặt M 1 = M/aM và xét dãy khớp
0 −→M − λ → a M −→ M 1 −→ 0, trong đó λa : M −→ M xác định bởi λa(m) = am với mọi m ∈ M.
Vì depthM 1 = t−1 nên theo giả thiết quy nạp ta có pd R M 1 + depthM 1 = d.
−→ Tor R i−1 (M, k), trong đó λ ∗ a là phép nhân bởi a Vì phần tử a triệt tiêu k nên ta có dãy khớp
0−→ Tor R i (M, k) −→ Tor R i (M 1 , k) −→ Tor R i−1 (M, k) −→ 0. Áp dụng Mệnh đề 1.5.13, ta có pd R M1 = 1−pd R M Ta suy ra pd R M + depthM = d. hay pd R M + depthM = dimR với mọi R-môđun M hữu hạn sinh.
Cho R là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương với iđêan cực đại m, và M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, chiều phân bố pd R M bằng dimR khi và chỉ khi m thuộc Ass(M).
Chứng minh Theo Định lý 2.2.1, ta có pd R M + depthM = dimR Hơn nữa, depthM = 0 khi và chỉ khi m ∈ Ass(M) Vậy pd R M = dimR khi và chỉ khi m ∈ Ass(M).
Hệ quả 2.2.3 cho biết rằng, nếu ChoR là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh với dimR = dimM = d, thì M sẽ là một môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M là một R-môđun tự do.
Chứng minh M là R-môđun tự do khi và chỉ khi pd R M = 0 khi và chỉ khi depthM = dimR = dimM Điều này tương đương với M là một môđun Cohen-Macaulay.
Hệ quả 2.2.4 chỉ ra rằng cho R là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương với iđêan cực đại m và dimR = d, thì S là một vành Noether địa phương có chiều d, đồng thời S là một R-đại số kiểu hữu hạn, tức là S là một R-môđun hữu hạn sinh Điều này có nghĩa là S sẽ là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu S là R-môđun tự do.
S là một môđun Cohen-Macaulay trên S nếu và chỉ nếu S là R-môđun Cohen-Macaulay Theo Hệ quả 2.2.3, điều này tương đương với việc S là R-môđun tự do.
Hệ quả 2.2.5 cho biết rằng ChoR là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương với iđêan cực đại m, có dimR = d Đồng thời, S cũng là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương với chiều d và là một R-đại số kiểu hữu hạn.
Chứng minh VìS là vành chính quy địa phương nênS làS-môđun Cohen- Macaulay Do đó S là R-môđun Cohen-Macaulay Theo Hệ quả 2.2.4, S là
Ghi chú 2.2.6 Cho dãy khớp 0−→ M 0 −→ M −→M 00 −→ 0 trong đó
M là xạ ảnh và M 00 không là xạ ảnh Khi đó, pd R M 00 = 1 + pd R M 0
Mệnh đề 2.2.7 Cho M là một R-môđun, a ∈ R là một ước khác không của R cũng như M Khi đó, nếu pd R M < ∞ thì pd R/(a) (M/aM) < ∞.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n= pd R M.
Nếu n = 0 và M là R-môđun xạ ảnh Khi đó, M/aM ' M ⊗ R R/(a) là R/(a)-xạ ảnh Do đó pd R/(a) (M/aM) < ∞.
Giả sử n > 0 và xét dãy khớp
0−→ R − λ → a R −→ R/(a) −→0 trong đó λ a : R −→R xác định bởi λ a (x) =ax với mọi x ∈ R.
Từ dãy khớp này dẫn đến dãy khớp
Vì a không là ước của không đối với M nên Tor R 1 (M, R/(a)) = 0 Xét dãy khớp
0 −→K −→F −→ M −→ 0 trong đó F là R-môđun tự do Khi đó, dãy
Chuỗi đồng cấu 0 −→ Tor R 1 (M, R/(a)) −→ K/aK −→ F/aF −→ M/aM −→ 0 cho thấy rằng nó là khớp Theo Ghi chú 2.2.6, ta có pd R K = pd R M−1 Áp dụng quy nạp cho K, vì K không phải là ước của không trên K ⊂ F Do pd R M < ∞ nên pd R K < ∞ Kết quả là pd R/(a) (K/aK) < ∞, từ đó suy ra pd R/(a) (M/aM) < ∞.
Mệnh đề 2.2.8 Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng.
(i) Với mọi a ∈ m\m 2 , dãy khớp các R/(a)-môđun sau đây là chẻ ra
(ii) Nếu m 6= m 2 và mọi a ∈ m \m 2 là một ước của không thì bất kỳ
R-môđun hữu hạn sinh M với pd R M < ∞ là R-môđun tự do.
Đặt \( d = \dim k m/m^2 \), ta có \( a \notin m^2 \) tồn tại \( a_1, \ldots, a_{d-1} \in m \) sao cho \( (a, a_1, \ldots, a_{d-1}) \) là tập sinh tối thiểu của \( m \) Nếu \( I = (a_1, \ldots, a_{d-1}) \), thì \( I \cap R = I \cap m \) Nếu \( b = ca \in I \) với \( c \in R \) không khả nghịch, do \( a, a_1, \ldots, a_{d-1} \) là tập sinh tối thiểu, suy ra \( b \in I \cap m \).
Tiếp theo, ta có m/Ra= (I +Ra)/Ra ' I/(I ∩Ra) =I/(I ∩ma) ' (I +ma)/a.
Do đó, ánh xạ tự nhiên m/ma −→ ϕ m/Ra có ánh xạ T : m/a −→ m/Ra sao cho ϕT = 1 m /Ra.
(ii) Giả sử rằng với mỗi a ∈ m\m 2 là một ước của không Khi đó, m\m 2 ⊂ [
Do đó m = P Điều này dẫn đến, tồn tại một đơn cấu từ k = R/m vào R. Nếu M là một R-môđun hữu hạn sinh với pd R M = n thì từ dãy khớp
Vì Tor R n (M, k) khác không, nên Tor R n (M, R) cũng khác không, điều này chỉ xảy ra khi n bằng 0 Do đó, M là môđun xạ ảnh và do đó là môđun tự do Phép chứng minh đã hoàn tất.
Hệ quả 2.2.9 Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m, gl.dimR < ∞ và a ∈ m\m 2 là một ước khác không đối với
Chứng minh Xét dãy khớp các R/(a)-môđun
Vì gl.dimR/(a) = pd R/(a) R/m nên ta chỉ cần chứng minh pd R/(a) m/Ra < ∞.
Vì gl.dimR 0, nếu mọi a ∈ m\m² là một ước của không thì gl.dimR pd R k < ∞, dẫn đến k là R-môđun tự do, tức là m = 0, điều này mâu thuẫn Do đó, tồn tại một a ∈ m\m² không là ước của không Theo Hệ quả 2.2.9, ta có gl.dimR/(a) < ∞ Nếu m¯ = m/Ra và m¯/m¯² là một k-không gian vectơ chiều t−1, thì theo quy nạp, R/(a) là chính quy, nghĩa là m¯ được sinh bởi R/(a)-dãy a¯₁, , a¯ₜ₋₁ Khi đó, a, a₁, , aₜ là một R-dãy sinh ra m và R là vành chính quy địa phương.
Nếu R là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương và P là một iđêan nguyên tố của R, thì R/P sẽ là một vành Noether chính quy địa phương.
Chứng minh Giả sử gl.dimR = n Khi đó,pd R R/P ≤n Vì vậy, tồn tại một phép giải tự do chiều t ≤n,
Vì R P là R-phẳng nên dãy
0−→ R P ⊗ R F t −→ R P ⊗ R F t−1 −→ ã ã ã −→ R P ⊗ R F 0 −→R P ⊗ R R/P −→ 0 là khớp và mỗi R P ⊗ R F i với ) ≤ i ≤ t là R P -tự do Vì vậy, pd R P (R P ⊗ R R/P) ≤ n, nghĩa là pd R (R P /P R P ) ≤ n Do đó, gl.dimR P ≤ n.
Vành R được gọi là vành chính quy địa phương nếu vành R P là vành Noether chính quy địa phương với mọi iđêan nguyên tố P của R Định lý cho biết rằng nếu R là một vành chính quy, thì vành đa thức R[X₁, , Xn] cũng sẽ là vành chính quy.
Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh kết quả đúng với n = 1.
Gọi Q là iđêan nguyên tố của vành R[X] = S, và xét iđêan nguyên tố P = R ∩ Q Do S Q là địa phương hóa của R P [X] và R P là vành chính quy địa phương, nên ta có thể giả sử R là vành chính quy địa phương với iđêan cực đại m Trong trường hợp này, S/mS tương đương với R[X]⊗ R k và k = R/m Bởi vì mS ⊂ Q, ta có thể kết luận rằng Q = mS hoặc Q = mS + (f) với f(X) ∈ S[X là đa thức đơn khởi Cuối cùng, vì R là vành chính quy địa phương được sinh bởi d = dimR phần tử a 1 , , a d, nên Q được sinh trên S bởi d hoặc d + 1 phần tử tương ứng với Q = mS.
Q = mS + (f) Hơn nữa, ht(Q) ≥ d, ta có ht(Q) = d nếu Q = mS hoặc ht(Q) = d+ 1nếu Q= mS+ (f) Do đó S Q là vành chính quy địa phương. Phép chứng minh được kết thúc.
Hệ quả 2.2.14 Cho k là một trường Khi đó, vành đa thức k[X 1 , , X n ] là vành chính quy.
Chứng minh Vì k là một vành chính quy địa phương nên k là vành chính quy Theo Định lý 2.2.13, vành đa thức k[X 1 , , X n ] là vành chính quy.
Chú ý 2.2.15 (i) Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether R Khi đó, pd R M = sup
P ∈Spec R pd R P (M P ) = sup m∈max R pd Rm (M m ).
Hơn nữa, ta có gl.dimR = sup
P ∈Spec R gl.dimR P = sup m∈max R gl.dimR m