Môđun con nhỏ, môđun hổng và căn của môđun
Một môđun con A của môđun M được xem là nhỏ trong M nếu với bất kỳ môđun con B nào khác M, tổng A + B không bao giờ bằng M Điều này có thể hiểu là nếu A + B = M thì B phải bằng M.
Mệnh đề 1.1.2 ([21]; 19.3) Cho K, L và M là những R-môđun, khi đó
(1) Nếu K ⊂ L ⊆ M thì L M nếu và chỉ nếu K M và L/K M/K.
Nếu K là tập con của L và L là một hạng tử trực tiếp của M, thì K là hạng tử của M nếu và chỉ nếu K là hạng tử của L Định nghĩa môđun hổng: Một R-môđun khác không M được gọi là môđun hổng nếu mọi môđun con thực sự của M đều nhỏ hơn M.
(2) R-môđun khác không M được gọi là môđun địa phương nếu M có môđun con thực sự lớn nhất K (khi đó K là môđun con cực đại duy nhất của M).
Mệnh đề sau đây sẽ trình bày một số tính chất của môđun hổng và mối liên hệ giữa môđun hổng với môđun địa phương.
(1) Nếu M là môđun hổng thì mọi môđun thương của nó đều hổng.
(2) Nếu K M và M/K là hổng thì M là hổng.
(3) Các phát biểu sau là tương đương:
(ii) M là môđun hổng và xiclic.
M là một R-môđun có môđun hổng và Rad(M) khác với M Căn của M, ký hiệu là Rad(M), được định nghĩa là giao của tất cả các môđun con cực đại của M.
Nếu môđun M không có môđun con cực đại nào, thì Rad(M) được quy ước là M và M được gọi là môđun căn Đối với một vành R, xét các R-môđun chính quy R R và R R, ta có Rad(RR) = Rad(RR) Thông thường, ký hiệu Rad(RR) được sử dụng để chỉ Rad(R).
Jac(R) hoặc J(R) và gọi là Căn Jacobson của vành R.
Bài viết này sẽ trình bày một số định nghĩa và kết quả liên quan đến mô-đun phụ, mô-đun con phần phụ, mô-đun phụ yếu và phần phụ yếu, những khái niệm có mối liên hệ chặt chẽ với luận văn này.
Môđun phụ và môđun phụ yếu, phần phụ yếu
Môđun con K của R-môđun M được gọi là phần phụ của môđun con N nếu K là phần tử cực tiểu trong tập hợp các môđun L thuộc M, thỏa mãn điều kiện N + L = M.
K là phần phụ của một môđun con nào đó của M.
Bổ đề sau đây cung cấp cho chúng ta một tiêu chuẩn để kiểm tra khi nào một môđun con là phần phụ.
Bổ đề 1.2.2 ([15]; Bổ đề 4.5 ) Cho N là một môđun con của M. Môđun con K của M là một phần phụ của N trong M nếu và chỉ nếu
Chứng minh Nếu K là phần phụ của N và X 6 K thỏa mãn N ∩K +
Do đó X = K theo tính cực tiểu của K Do đó N ∩ K K.
Mặt khác cho M = N + K và N ∩ K K với X 6 K thỏa mãn
X + N = M, ta có K = K ∩ N + X cho nên X = K Do đó K là cực tiểu trong những môđun con K 0 của M thỏa mãn N +K 0 = M.
Mệnh đề 1.2.3 ([21]; 41.1 ) Cho N, K là hai môđun con của môđun
M, trong đó, K là một phần phụ của N trong M Khi đó
(1) Nếu L+ K = M với một môđun con L của N thì K là một phần phụ của L.
(2) Nếu M là hữu hạn sinh thì K cũng hữu hạn sinh.
(3) Nếu N là một môđun con cực đại của M thì K là xiclic và N∩K Rad(K) là môđun con cực đại duy nhất của K.
(4) Nếu L M thì K là một phần phụ của N +L.
(5) Với L M ta có K ∩L K và do đó Rad(K) =K ∩Rad(M).
(6) Với L ⊂ N, (K +L)/L là phần phụ của N/L trong M/L. Định nghĩa 1.2.4 R-môđunM được gọi là môđun phụ nếu mỗi môđun con của M đều có một phần phụ trong M.
Bổ đề 1.2.5 ([16]; Định lý 3.2.10) Giả sử N và L là môđun con của
M sao cho N + L có một phần phụ là H trong M và N ∩ (H + L) có phần phụ là G trong N Khi đó H +G là một phần phụ của L trong M.
Chứng minh Cho H là một phần phụ của N +L trong M và G là một phần phụ của N ∩(H +L) trong N Khi đó
Môđun con N của M được xem là có phần phụ đủ trong M nếu với mỗi môđun L thuộc M, thỏa mãn N + L = M, thì tồn tại một phần phụ L₀ của N sao cho L₀ thuộc L Môđun M được định nghĩa là môđun phụ đủ nếu mọi môđun con của M đều có một phần phụ đủ trong M.
Môđun phụ đủ được định nghĩa là môđun con K của M, trong đó K là phần phụ yếu của N nếu và chỉ nếu tổng N + K bằng M và giao của N với K là môđun con của M Môđun M được xem là môđun phụ yếu khi mọi môđun con N của nó đều có phần phụ yếu trong M.
Một vài lớp môđun
Môđun M được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f: M → B và mỗi toàn cấu g: A → B, tồn tại một đồng cấu h: M → A sao cho g ◦ h = f, tức là biểu đồ giao hoán.
(1) Toàn cấu β: L −→ M được gọi là nhỏ nếu ker(β) là môđun con nhỏ trong L.
(2) Toàn cấu β : P −→M gọi là phủ xạ ảnh của M nếu P là môđun xạ ảnh và β là toàn cấu nhỏ.
Khi đó, ta cũng gọi P là phủ xạ ảnh của M và viết P = P(M).
Phủ xạ ảnh của một môđun nếu tồn tại thì xác định duy nhất sai khác nhau đẳng cấu.
Cho M là một R-môđun bất kì, xét hai điều kiện sau đây:
(D1) Với mỗi môđun con A của M, M có sự phân tích M = M 1 ⊕M 2 sao cho M 1 6A và A∩M 2 M.
Nếu M1 và M2 là hai hạng tử trực tiếp của môđun M thỏa mãn M1 + M2 = M, thì giao của M1 và M2, tức M1 ∩ M2, cũng là một hạng tử trực tiếp của M Môđun M được gọi là môđun nâng nếu mọi môđun con N của M đều chứa một hạng tử trực tiếp X của M, sao cho tỷ lệ N/X tương đương với M/X.
Tiếp theo sẽ là bổ đề nói lên mối liên hệ giữa điều kiện (D 1 ) với khái niệm môđun nâng và môđun phụ.
Bổ đề 1.3.4 ([8]; 22.3) Với M là một R-môđun bất kì, các phát biểu sau là tương đương:
(3) Mỗi môđun con N của M có sự phân tích N = N 1 ⊕ N 2 trong đó
N 1 là một hạng tử trực tiếp của M và N 2 M.
(4) M là môđun phụ đủ và mọi môđun con phần phụ trong M là hạng tử trực tiếp của M.
Nhận xét Mỗi môđun hổng là một môđun nâng vì với N 6 M thì
M = 0⊕M,06 N và N ∩M = N M. Định nghĩa 1.3.5 (1) R-môđunP được gọi làM-xạ ảnh nếu với mỗi biểu đồ các R-môđun có dòng là khớp sau đây
M g // N // 0 tồn tại đồng cấu h : P → M sao cho f = g ◦h.
(2) Môđun M được gọi là tự xạ ảnh (hay tựa xạ ảnh) nếu M là M-xạ ảnh.
(3) R-môđun M được gọi là π-xạ ảnh nếu với hai môđun U, V 6 M sao cho U +V = M, các điều kiện tương đương sau đây thỏa mãn:
(a) Tồn tại f ∈ End(M) sao cho Imf ⊂U và Im(1−f) ⊂V.
(b) Toàn cấu chính tắc g : U ⊕V −→M cho bởi g(u, v) =u+v là chẻ ra.
(c) End(M) =Hom(M, U) + Hom(M, V). Định nghĩa 1.3.6 Môđun M vừa là môđun π-xạ ảnh vừa là môđun phụ được gọi là môđun tựa rời rạc.
Rõ ràng môđun hổng là môđun tựa rời rạc.
Mệnh đề 1.3.7 ([8]; 26.7) Với một môđun M bất kì các phát biểu sau là tương đương:
(2) M là môđun nâng và π-xạ ảnh.
M là môđun nâng, với hai hạng tử trực tiếp U và V thỏa mãn U + V = M, thì U ∩ V cũng là một hạng tử trực tiếp của M, cho thấy M thỏa mãn (D 1) và (D 3) Vành R được gọi là hoàn chỉnh trái (hoặc nửa hoàn chỉnh) nếu mọi R-môđun trái, hoặc mọi R-môđun trái hữu hạn sinh, đều có phủ xạ ảnh Một môđun P được xem là nửa hoàn chỉnh nếu P là xạ ảnh và mọi ảnh đồng cấu của P đều có phủ xạ ảnh.
Phần cuối của chương này trình bày một số kết quả quan trọng về vành hoàn chỉnh trái (nửa hoàn chỉnh), môđun tựa rời rạc và môđun phụ Định lý 1.3.9 khẳng định rằng các phát biểu sau đây là tương đương đối với một vành R bất kỳ.
(1) R là vành hoàn chỉnh trái (nửa hoàn chỉnh).
(2) Mọi R-môđun tựa xạ ảnh (hữu hạn sinh) là rời rạc.
(3) Mỗi R-môđun (hữu hạn sinh) là môđun phụ đủ.
(4) Mỗi R-môđun tự do (xiclic) là môđun phụ.
MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN
Môđun phụ đối hữu hạn
Môđun M được gọi là môđun phụ khi mọi môđun con N của nó đều có phần phụ trong M Nếu mọi môđun con N của M đều có phần phụ đủ trong M, thì M được gọi là môđun phụ đủ Điều này có nghĩa là, với mỗi môđun con L của M, khi M = N + L, thì L sẽ chứa một phần phụ của N.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày kết quả về một dạng tổng quát của môđun phụ, tập trung vào điều kiện tồn tại phần phụ của các môđun con, với môđun thương tương ứng là hữu hạn sinh Định nghĩa 2.1.1 cho biết một môđun con N của môđun M được gọi là đối hữu hạn nếu môđun thương M/N là hữu hạn sinh.
Bổ đề 2.1.2 khẳng định rằng nếu f : M −→ N là một toàn cấu môđun, với X là môđun con đối hữu hạn của M và Y là môđun con đối hữu hạn của N, thì tồn tại mối liên hệ đặc biệt giữa các môđun này.
(a) f(X) là môđun con đối hữu hạn của N;
(b) f −1 (Y) là môđun con đối hữu hạn của M.
Chứng minh (a): Giả sử X là một môđun con đối hữu hạn của M, khi đó
∼= M/f −1 (f(X)) = M/(X +Kerf) nhưng X +Kerf là đối hữu hạn trong M bao hàm môđun con đối hữu hạn X, vì vậy f(X) là môđun con đối hữu hạn của N.
(b): Giả sử Y là một môđun con đối hữu hạn của N, khi đó
M/f −1 (Y) ∼= (M/Kerf)/(f −1 (Y)/Kerf) ∼= N/f(f −1 ) = N/Y đẳng thức cố định vì f là một toàn cấu Vì Y là đối hữu hạn trong N nên f −1 (Y) là một môđun con đối hữu hạn trong M. Định nghĩa 2.1.3 ([1])
(1) Môđun M được gọi là phụ đối hữu hạn nếu mọi môđun con đối hữu hạn của M có phần phụ trong M.
(2) Môđun M được gọi là phụ đối hữu hạn đủ nếu mọi môđun con đối hữu hạn của M có phần phụ đủ trong M.
Nếu môđun con N của môđun M là đối hữu hạn, thì mọi môđun con L của M thỏa mãn N ⊆ L cũng đều là đối hữu hạn Điều này được chứng minh bởi việc M/N là hữu hạn sinh và M/L ∼= (M/N)/(L/N), từ đó suy ra M/L cũng hữu hạn sinh Nếu M là hữu hạn sinh, thì rõ ràng mọi môđun con cũng sẽ thỏa mãn điều này.
Môđun M là đối hữu hạn, và mọi môđun phụ đều là phụ đối hữu hạn Nếu môđun hữu hạn sinh M là phụ đối hữu hạn, thì M cũng là môđun phụ Mọi môđun phụ đối hữu hạn đủ đều là phụ đối hữu hạn Môđun phụ đối hữu hạn là một dạng tổng quát hóa thực sự của môđun phụ Ví dụ, giả sử R là một miền giao hoán không phải trường với trường các thương Q, và I là một tập chỉ số không rỗng, thì R-môđun Q(I) không có môđun con cực đại nào, nên là môđun con đối hữu hạn duy nhất của M Nếu R là miền Dedekind và I là tập vô hạn, thì M không phải là môđun phụ và không phải là phụ đủ theo H Zoschinger.
Mệnh đề 2.1.4 ([1]; Bổ đề 2.1) Giả sử M là một môđun phụ đối hữu hạn (phụ đối hữu hạn đủ) Thế thì môđun thương M
N là môđun phụ đối hữu hạn (tương ứng, phụ đối hữu hạn đủ) với mọi môđun con N của M.
Giả sử M là môđun phụ đối hữu hạn và N là một môđun con của M Khi đó, mọi môđun con đối hữu hạn của môđun thương M đều được chứng minh.
N trong đó L là môđun con đối hữu hạn của
M và N 6L Vì M là môđun phụ đối hữu hạn nên L có một phần phụ
K trong M Theo Bổ đề 1.2.2 ta có M = L+K và L∩K K với một vài môđun con K của M Do đó M
N , theo [1; Bổ đề 1.1.1] Theo Bổ đề 1.2.2 , chương 1, (K +N)
N là một phần phụ của L
N là phụ đối hữu hạn Chứng minh tương tự trong trường hợp M là môđun phụ đối hữu hạn đủ ta cũng được kết quả M
N là phụ đối hữu hạn đủ.
Bổ đề 2.1.5 ([16]; Bổ đề 4.1.8) Ảnh đồng cấu của một môđun phụ đối hữu hạn là phụ đối hữu hạn
Chứng minh Giả sử f : M −→ N là một đồng cấu với M là phụ đối hữu hạn Và Y là một môđun con đối hữu hạn của f(M), khi đó
M/f −1 (Y) tương đương với (M/Kerf)/(f −1 (Y)/Kerf) và f(M)/Y, vì f −1 (Y) là môđun con hữu hạn của M chứa Kerf Do M là phụ đối hữu hạn, f −1 (Y) có phần phụ trong M Theo Bổ đề 3.2.4, ta có f(f −1 (Y)) = Y có phần phụ trong f(M).
Bổ đề 2.1.6 ([16]; Bổ đề 4.1.9) Giả sử f : M −→ N là một toàn cấu nhỏ và N là một môđun phụ đối hữu hạn Thế thì M cũng là một môđun phụ đối hữu hạn.
Chứng minh Giả sử f : M −→ N là một toàn cấu nhỏ với N là một môđun phụ đối hữu hạn Giả sử K là một môđun con đối hữu hạn của
M Thế thì theo Bổ đề 2.1.2, f(K) là một môđun con đối hữu hạn của
N và bởi ([16]; Bổ đề 3.2.6), K có một phần phụ trong M Vậy M là phụ đối hữu hạn.
Bổ đề 2.1.7 ([1]; Bổ đề 2.2) Giả sử N và L là những môđun con của
M, trong đó N là đối hữu hạn, L là phụ đối hữu hạn và N +L có phần phụ trong M Thế thì N có một phần phụ trong M.
Chứng minh Cho K là một phần phụ của N +L trong M Để ý rằng,
∼= M/N (N +K)/N là hữu hạn sinh Do đó L∩(N +K) là môđun con đối hữu hạn của L.
Vì L là phụ đối hữu hạn nên tồn tại phần phụ H của L∩(N+K) trong L.
H +K bởi Mệnh đề 1.1.2 Theo Bổ đề 1.2.2, chương 1, H+K là một phần phụ của N trong M.
Bổ đề 2.1.8 ([1]; Bổ đề 2.3) Giả sử (N i ) i∈I là một họ tùy ý những môđun con của M, trong đó N i là phụ đối hữu hạn với mọi i ∈ I Thế thì P i∈I
N i là một môđun phụ đối hữu hạn.
N i và giả sử L là một môđun con đối hữu hạn của N Vì N
L là hữu hạn sinh nên tồn tại môđun con hữu hạn sinh H củaN sao cho N = H+L Tồn tại một tập con hữu hạn I 0 của I sao cho
N i Sử dụng Bổ đề 2.1.7 chúng ta suy ra
L có một phần phụ trong N Do đó N là môđun phụ đối hữu hạn.
Hệ quả 2.1.9 ([1]; Hệ quả 2.4) Tổng trực tiếp của một họ tùy ý những môđun phụ đối hữu hạn là môđun phụ đối hữu hạn.
Hệ quả 2.1.10 ([1]; Hệ quả 2.5) Giả sử M là một môđun phụ đối hữu hạn Thế thì mọi môđun M-sinh là phụ đối hữu hạn.
Chứng minh rằng cho môđun M-sinh bất kỳ X, tồn tại tập chỉ số I và toàn cấu ψ :M (I) → X, theo Mệnh đề 2.1.4 và Hệ quả 2.1.9, X là phụ đối hữu hạn Đối với môđun M, ký hiệu căn của M là Rad(M) và đế của M là Soc(M) Rad(M) được định nghĩa là giao của tất cả các môđun con cực đại của M; nếu M không có môđun con cực đại nào, thì Rad(M) = M Soc(M) là tổng của các môđun con đơn và giao của các môđun con lớn của M.
M là một môđun phụ thì môđun thương M/Rad(M) là nửa đơn, tức là Soc(M/Rad(M)) = M/Rad(M) (xem [16], 41.2) Bây giờ ta sẽ xem xét các kết quả tương tự.
Bổ đề 2.1.11 ([1]; Bổ đề 2.6) Giả sử M là một môđun phụ đối hữu hạn Thế thì mỗi môđun con đối hữu hạn của môđun M
Rad(M) là một hạng tử trực tiếp.
Chứng minh Một môđun con đối hữu hạn bất kì của M
Rad(N), trong đó N là một môđun con đối hữu hạn của M Theo Bổ đề 1.2.2 tồn tại môđun con K của M sao cho M = N +K và N ∩K K.
Ta có N ∩K M bởi Mệnh đề 1.1.2, do đó N ∩K 6Rad(M), cho nên
Chúng ta sẽ xem xét các tính chất đặc trưng của môđun phụ đối hữu hạn Giả sử M là một môđun, với Loc(M) là tổng tất cả các môđun con địa phương của M và Cof(M) là tổng của các môđun con phụ đối hữu hạn của M, tức là môđun con phụ đối hữu hạn lớn nhất của M Lưu ý rằng mỗi môđun địa phương đều là môđun phụ hữu hạn sinh, và theo [16; 41.6], mỗi môđun phụ hữu hạn sinh là tổng của các môđun con địa phương Do đó, Loc(M) là tổng của các môđun con phụ hữu hạn sinh và cũng là tổng của các môđun phụ đối hữu hạn hữu hạn sinh, dẫn đến Loc(M) ≤ Cof(M) Kết quả này cung cấp các đặc trưng quan trọng của môđun phụ đối hữu hạn Định lý 2.1.12 chứng minh rằng các phát biểu liên quan đến một R-môđun M là tương đương.
(1) M là phụ đối hữu hạn.
(2) Mọi môđun con cực đại của M có phần phụ trong M
Loc(M) không chứa môđun con cực đại nào.
Cof(M) không chứa môđun con cực đại nào.
Chứng minh rằng (1) dẫn đến (2) là rõ ràng, vì mỗi môđun con cực đại đều là đối hữu hạn sinh Tiếp theo, từ (2) đến (3), giả sử K là một môđun con cực đại của M, thì tồn tại môđun con L của M sao cho M = K + L và K ∩ L theo [1; Bổ đề 1.2] Chú ý rằng L cũng đóng vai trò quan trọng trong mối quan hệ này.
K, do đó K ∩L là một môđun con cực đại của L Cho nên L là môđun con địa phương của
M Từ đây suy ra Loc(M) không là môđun con của K Vì vậy M
Loc(M) không chứa môđun con cực đại nào.
(3) ⇒ (4): Rõ ràng vì Loc(M) 6Cof(M) nên ta có
∼= M/Loc(M) Cof(M)/Loc(M) Theo giả thiếtM/Loc(M)không có môđun con cực đại, kéo theoM/Cof(M) không có môđun cực đại.
(4 )⇒ (1): Cho N là một môđun con đối hữu hạn của M Giả sử
Khi N + Cof(M) khác M, ta có M/(N + Cof(M)) là môđun hữu hạn sinh khác không, dẫn đến sự tồn tại của K/(N + Cof(M)), một môđun con cực đại của M/(N + Cof(M)), với K khác M và N + Cof(M) thuộc K Điều này chỉ ra rằng K là môđun con cực đại của M, từ đó suy ra M/Cof(M) cũng có môđun con cực đại K/Cof(M), gây mâu thuẫn với (4) Vì vậy, kết luận rằng M phải bằng N + Cof(M).
Vì M/N là hữu hạn sinh nên M = N +K 1 + .+K n với một số nguyên dương n và các môđun con phụ đối hữu hạn K i (1 ≤ i ≤ n) Sử dụng
Bổ đề 2.1.7, ta được N có một phần phụ trong M cho nên M là môđun phụ đối hữu hạn.
Tương tự như Định lý 2.1.12, ta có định lý về môđun phụ đối hữu hạn đủ Trước hết là một Bổ đề tương tự như Bổ đề 2.1.7.
Bổ đề 2.1.13 ([1]; Bổ đề 2.9) Giả sử Li(1 ≤ i ≤ n) là một họ những môđun con địa phương của một môđun M và N là một môđun con của
M sao cho N+L 1 +L n có phần phụ K trong M Thế thì tồn tại một tập con I (có thể rỗng) của {1, , n} sao cho K + P i∈I
Li là phần phụ của N trong M.
Để chứng minh, giả sử n = 1 và xét môđun con H = (N + K)∩L1 của L1 Nếu H = L1, thì 0 là phần phụ của H trong L1 Từ chứng minh của Bổ đề 2.1.7, ta nhận thấy rằng K = K + 0 là một phần phụ của H.
Nếu H khác L1, thì L1 là một phần phụ của H trong L1, và do đó K + L1 cũng là một phần phụ của N trong M, theo chứng minh của Bổ đề 2.1.7 Điều này xác nhận Bổ đề đúng khi n = 1 Giả sử n > 1, bằng phương pháp chứng minh quy nạp theo n, tồn tại một tập con I0 của {2, , n} sao cho K + P i∈I0.
Li là phần phụ của N+L 1 trong M Từ trường hợp n= 1 ta suy ra K+ P i∈I 0
L là một phần phụ của N trong M Đối với môđun con N của môđun M, ký hiệu γM(N) hoặc γ(N) biểu thị tập hợp tất cả các môđun con cực đại K của M mà N là tập con của K Định lý 2.1.14 khẳng định các đặc trưng của môđun phụ đối hữu hạn đủ và các phát biểu tương đương cho một R-môđun M.
(1) M là phụ đối hữu hạn đủ.
(2) Mọi môđun con cực đại của M có phần phụ đủ trong M.
Đối với mọi môđun con hữu hạn N và môđun con L của M, nếu M có thể phân tách thành N và L, thì tồn tại một số nguyên dương n cùng với các môđun con địa phương Li (1 ≤ i ≤ n) của L sao cho M có thể biểu diễn dưới dạng tổng N và các môđun con địa phương này.
(4) γ(N) = γ(Loc(N)) với mọi môđun con N của M;
(5) γ(Rm) =γ(Loc(Rm)) với mọi phần tử m của M −Rad(M).
(2) ⇒ (3): Giả sử rằng (2) thỏa mãn và tồn tại một môđun con đối hữu hạn N của M sao cho M = N +L với một môđun con L của M nhưng
M 6= N +K với mọi môđun con K của L, trong đó K là một tổng hữu hạn của các môđun con địa phương Cho Ω là một họ những môđun con
Môđun phụ yếu đối hữu hạn
Môđun M và N là môđun con của M, trong đó môđun con L của M được coi là phần phụ của N trong M nếu N + L = M và N ∩ L = L Môđun con K của M là phần phụ yếu của N trong M nếu và chỉ nếu N + K = M và N ∩ K = K Môđun M được gọi là môđun phụ yếu khi mọi môđun con N của M đều có phần phụ yếu trong M Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một số kết quả về môđun phụ yếu đối hữu hạn, một dạng tổng quát hóa của môđun phụ yếu, được viết tắt là cws-môđun Định nghĩa 2.2.1 nêu rõ rằng môđun M được gọi là môđun phụ yếu đối hữu hạn nếu mọi môđun con đối hữu hạn của M đều có phần phụ yếu trong M.
Rõ ràng, mọi môđun phụ đối hữu hạn đều là môđun phụ yếu đối hữu hạn, và mọi môđun phụ yếu cũng thuộc loại môđun phụ yếu đối hữu hạn Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng trong nhiều trường hợp Cuối phần này, chúng tôi sẽ cung cấp ví dụ về một môđun phụ yếu đối hữu hạn không phải là môđun phụ đối hữu hạn, cùng với một môđun phụ yếu đối hữu hạn không phải là môđun phụ yếu.
Bổ đề 2.2.2 khẳng định rằng, với M là một môđun và U là một môđun con đối hữu hạn của M, nếu V là một phần phụ yếu của U trong M, thì U sẽ có một phần phụ yếu hữu hạn sinh tương ứng được chứa trong V.
Chứng minh Nếu U là đối hữu hạn thì V /(V ∩ U) là hữu hạn sinh vì
V /(V ∩U) ∼= M/U Giả sử V /(V ∩U) được sinh bởi các phần tử x1 +V ∩U, x2 +V ∩ U, , xn +V ∩U.
Thế thì đối với môđun con hữu hạn sinh W = Rx 1 + Rx 2 + + Rx n của V, ta có
W + U = W +V ∩U + U = V +U = M và (W ∩U) 6 (V ∩U) M Do đó W là phần phụ yếu hữu hạn sinh của U chứa trong V.
Nếu U là cực đại thì V /V ∩ U là một môđun xiclic sinh bởi phần tử x+ (V ∩U) và W = Rx là một phần phụ yếu của U.
Giả sử f: M −→ N là một đồng cấu môđun và L là một môđun con của M chứa Kerf Nếu L là phần phụ yếu trong M, thì hình ảnh f(L) sẽ có phần phụ yếu trong f(M).
Nếu L là một phần phụ yếu của K trong M, thì có thể chứng minh rằng f(M) = f(L + K) = f(L) + f(K) Từ L ∩ K trong M, ta suy ra rằng f(L ∩ K) ≤ f(M) theo các tài liệu [21; 19.3] và [1; Bổ đề 1.1] Hơn nữa, với Kerf ⊆ L, ta có f(L) ∩ f(K) ≤ f(L ∩ K) Do đó, f(L) được xác định là một phần phụ yếu của f(K) trong f(M).
Mệnh đề 2.2.4 ([2]; Mệnh đề 2.5) Ảnh đồng cấu của một môđun phụ yếu đối hữu hạn là một môđun phụ yếu đối hữu hạn.
Chứng minh Cho f : M −→ N là một đồng cấu và M là môđun phụ yếu đối hữu hạn Giả sử rằng X là môđun con đối hữu hạn của f(M) thế thì
Do đó M/f −1 (X) là hữu hạn sinh Từ M là một môđun phụ yếu đối hữu hạn, f −1 (X) là một phần phụ yếu trong M và theo Bổ đề 2.2.3 thì
X = f(f −1 (X)) là một phần phụ yếu trong f(M).
Chúng ta sẽ xem xét ảnh ngược của một môđun phụ yếu trong trường hợp hữu hạn bởi một toàn cấu nhỏ Cụ thể, toàn cấu f : M −→ N với Kerf M được định nghĩa là một toàn cấu nhỏ, và do đó, M được xem là phủ nhỏ của N.
Bổ đề 2.2.5 ([2]; Mệnh đề 2.7) Nếu K là một phần phụ yếu của N trong môđun M và T M thì K cũng là một phần phụ yếu của N +T trong M.
Chứng minh Lấy f : M −→ (M/N) ⊕ (M/K) được định nghĩa bởi f(m) = (m+ N, m+K) và g : (M/N)⊕(M/K) −→ (M/((N +T))⊕ (M/K) được định nghĩa bởi g(m+N, m 0 +K) = (m+N +T, m 0 +K). Thế thì f là toàn cấu vì M = N + K và Kerf = N ∩ K M vì
K là phần phụ yếu của N trong M, dẫn đến việc f là một toàn cấu nhỏ Kerg được xác định là (N+T)/N ⊕0 và (N+T)/N = σ(T) M/N, trong đó σ : M → M/N là toàn cấu chính tắc, cho thấy g cũng là một toàn cấu nhỏ Theo Wisbauer (1991), g ◦f là một toàn cấu nhỏ, và (N + T)∩ K = Ker(g ◦f) M Do đó, (N + T) + K = M, khẳng định K là phần phụ yếu của N + T trong M.
Bổ đề 2.2.6 cho biết rằng nếu f: M −→ N là một toàn cấu nhỏ, thì một môđun con L của M được coi là phần phụ yếu trong M nếu và chỉ nếu ảnh f(L) cũng là phần phụ yếu trong N.
Chứng minh Nếu L là một phần phụ yếu của K trong M theo Bổ đề
2.2.5, L + Kerf cũng là một phần phụ yếu của K và bởi Bổ đề 2.2.3, f(L) = f(L +Kerf) là một phần phụ yếu trong N.
Giả sử f(L) là một phần phụ yếu của một môđun con T của N hay
N = f(L) + T và f(L) ∩ T N, do đó M = L + f^{-1}(T) Theo Hệ quả 9.1.5 trong Kasch (1982), nghịch ảnh của một môđun con nhỏ của N là nhỏ trong M Điều này dẫn đến L ∩ f^{-1}(T) ≤ f^{-1}(f(L) ∩ T) N, cho thấy rằng f^{-1}(T) là một phần phụ yếu của L.
Nhắc lại, một môđun N được gọi là phủ nhỏ của một môđun M nếu tồn tại một toàn cấu nhỏ f : N −→ M hay Kerf N.
Mệnh đề 2.2.7 ([2]; Mệnh đề 2.9) Phủ nhỏ của một môđun phụ yếu đối hữu hạn là một môđun phụ yếu đối hữu hạn.
Lấy N là một môđun phụ yếu đối hữu hạn, và f : M → N là một toàn cấu nhỏ, nếu L là một môđun con đối hữu hạn của M, thì N/f(L) là ảnh toàn cấu của M/L dưới toàn cấu f : M/L −→ N/f(L) được định nghĩa bởi f(m+K) = f(m) + f(L) Điều này cho thấy f(L) là một môđun con đối hữu hạn của N Vì N là một môđun phụ yếu đối hữu hạn, nên f(L) cũng là một phần phụ yếu Theo bổ đề 2.2.6, L cũng là một phần phụ yếu trong M.
Căn Rad(M) của R-môđun M là tổng của tất cả các môđun con nhỏ trong M, nhưng thường không phải là nhỏ trong M Đối với vành R, lớp các R-môđun M có Rad(M) M thường có những tính chất đặc biệt và được nghiên cứu kỹ lưỡng, chẳng hạn như lớp các môđun hữu hạn sinh, bao gồm cả các môđun địa phương Từ mệnh đề 2.2.7, ta có hệ quả rằng nếu Rad(M) M và môđun thương M/Rad(M) là phụ yếu đối hữu hạn thì M cũng là phụ yếu đối hữu hạn.
Bổ đề 2.2.8 nêu rõ rằng nếu N và U là các môđun con của môđun M, trong đó N là môđun phụ yếu đối hữu hạn và U là đối hữu hạn, thì khi N + U có một phần phụ yếu trong M, điều này dẫn đến việc U cũng phải có một phần phụ yếu trong M.
Chứng minh Giả sử X là một phần phụ yếu của N+U trong M Ta có
Môđun cuối là một môđun hữu hạn sinh, do đó N ∩ (X + U) có một phần phụ yếu Y trong N, nói cách khác Y + [N ∩ (X + U)] = N,
Do đó X +Y là một phần phụ yếu của U trong M.
Mệnh đề 2.2.9 ([2]; Mệnh đề 2.12) Nếu môđun M là tổng của họ những môđun (con) phụ yếu đối hữu hạn thì M cũng là phụ yếu đối hữu hạn.
Mỗi môđun con M_i là phụ yếu đối hữu hạn, trong khi N là môđun con đối hữu hạn của M M/N được sinh bởi tập hợp {x_1 + N, x_2 + N, , x_k + N}, dẫn đến M = R x_1 + R x_2 + + R x_k + N Mỗi x_i đều nằm trong tổng P_{j∈F_i}.
M j với mỗi tập con hữu hạn F i của I,
Mj,j thuộc tập con hữu hạnF = {i 1 , i2, , ir} của I Và M = N + r
Mi t ) có một phần phụ yếu tầm thường là 0 và M i r là một môđun phụ yếu đối hữu hạn nên
M i t có một phần phụ yếu trong M, theo Bổ đề 2.2.8 Tương tự
M i t có một phần phụ yếu trong M và tiếp tục quá trình trên, sau khi thực hiện r lần đến cuối cùng thì N có một phần phụ yếu trong
Ví dụ 2.2.10 ([2]; Ví dụ 2.14) Chop là một số nguyên tố XétZ- môđun
M = L∞ i=1(a i ) là tổng trực tiếp của các nhóm xiclic (a i ) cấp p i Mỗi (a i ) là Z-môđun địa phương và do đó là phụ yếu đối hữu hạn, dẫn đến việc M là môđun phụ yếu đối hữu hạn theo Mệnh đề 2.2.9 Tuy nhiên, M không phải là môđun phụ yếu Giả sử T = pM và cho rằng T có một phần phụ yếu.
Theo công thức M = T + L và N = T ∩ L M, ta có N thuộc E(M), với E(M) là bao nội xạ của M Do E(N) là một hạng tử trực tiếp của E(M), nên N cũng thuộc E(N) Dựa vào Định lý 4 trong Leonard (1996) trong bài viết "Small modules, Pro Amer Math Soc 17(1), 527-531", ta kết luận rằng N là bị chặn, tức là p^n N = 0 với n là một số nguyên dương Hơn nữa, vì pL ≤ L ∩ pM = L ∩ T = N, ta có p^(n+1) M = p^(n+1) T + p^n(pL) ≤ 6p^(n+1) T + p^n N = p^(n+1) T.
Do đó p n+1 a n+2 = p n+1 b với b ∈ T = pM Vì b = pc với một c (m i a i ) ∞ i=1 ∈ M, ta có
06= p n+1 an+2 = p n+1 (pmn+2an+2) = mn+2p n+2 an+2 = 0
Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng M không là môđun phụ yếu.
Môđun H- phụ
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan đến môđun H-phụ, một tổng quát hóa của môđun nâng được đề xuất bởi S H Mohamed và B.J Muller vào năm 1990 Chúng tôi khảo sát lớp môđun H-phụ trong mối quan hệ với các môđun quan trọng khác như môđun ⊕-phụ, môđun phụ đủ và môđun phụ Nghiên cứu về môđun H-phụ vẫn tiếp tục diễn ra cho đến nay với nhiều chủ đề đa dạng Theo định nghĩa, R-môđun M được gọi là H-phụ nếu với mọi môđun con A của M, tồn tại một hạng tử trực tiếp D của M.
M sao cho A+X = M nếu và chỉ nếu D+X = M với mọi môđun con
M được gọi là ⊕- phụ nếu mỗi môđun con của M có một phần phụ là hạng tử trực tiếp của M.
Mệnh đề 3.1.2 ([15; Mệnh đề A.2]) Cho R- môđun M Các khẳng định sau là đúng:
(1) Nếu M là nâng thì M là H- phụ.
(2) Nếu M là H- phụ thì mỗi môđun con của M có một phần phụ là hạng tử trực tiếp của M (nói cách khác, M là ⊕- phụ).
(3) Nếu M là ⊕- phụ thì M là phụ.
Chứng minh (1) ⇒ (2): Giả sửM là một môđun nâng Theo Bổ đề 1.3.4, chương 1, M có sự phân tích M = M 1 ⊕M 2 , M 1 6 A và M 2 ∩A M. Thế thì A = M 1 ⊕(M 2 ∩ A) Khi đó, với môđun con X của M, rõ ràng
(2) ⇒(3): Giả sử M là H- phụ và A 6M Thế thì có hạng tử trực tiếp
M = A + X nếu và chỉ nếu M = A 0 + X với X không thuộc M Giả sử M = A 0 ⊕ B và B không thuộc M, ta có M = A + B vì M = A 0 + B Gọi B 0 không thuộc B sao cho M = A + B 0, từ đó suy ra M = A 0 + B 0 = A 0 ⊕ B, dẫn đến B 0 = B Như vậy, B là một phần phụ của A và B là một hạng tử trực tiếp.
(3) ⇒(1): Điều này là hiển nhiên.
Trong nghiên cứu về môđun H- phụ, một câu hỏi quan trọng được đặt ra là liệu môđun H- phụ có phải là môđun phụ đủ hay không Năm 2010, G F Birkenmeier và các cộng sự đã định nghĩa môđun G ∗ - nâng (Goldie* - lifting module) và chứng minh rằng tính chất G ∗ - nâng và H- phụ là tương đương Từ đó, họ đã đưa ra các điều kiện cần thiết để xác định một môđun H- phụ có phải là môđun phụ đủ hay không D Keskin cũng đã đưa ra đặc trưng môđun H- phụ dựa trên tính chất G ∗ - nâng trong nghiên cứu của mình.
Kết quả tiếp theo là những đặc trưng của môđun H- phụ. Định lý 3.1.4 ([11; định lý 2.1]) Cho M là một môđun Các điều kiện sau tương đương:
(2) Đối với mỗi Y ≤ M, tồn tại hạng tử trực tiếp D của M sao cho (Y +D)/D M/D và (Y +D)/Y M/Y;
(3) Đối với mỗi Y ≤ M, tồn tại X ≤ M và một hạng tử trực tiếp D của
M với Y ⊆ X và D ⊆ X sao cho X/Y M/Y và X/D M/D;
(4) Đối với mỗi Y ≤ M, tồn tại một phần phụ L của Y và một phần phụ K của L sao cho (Y + K)/Y M/Y; (Y + K)/K M/K và mọi đồng cấu f : M −→ M/(K ∩L) có thể nâng lên một đồng cấu f :M −→ M.
Giả sử M là một H-phụ và Y là một môđun con của M Có tồn tại hạng tử trực tiếp D của M sao cho M = Y + X nếu và chỉ nếu M = D + X với X không thuộc M Nếu M/D là một môđun và L là một môđun con của M với D thuộc L, thì M/D = L/D + (Y + D)/D.
Bởi vậy với mỗi x ∈ M, tồn tại u ∈ L sao cho x − u ∈ D, hay là M/D = L/D Điều này có nghĩa là (Y + D)/Y M/Y.
(2) ⇒ (3) Giả sử Y ≤ M Bởi giả thiết tồn tại một hạng tử trực tiếp D của M sao cho (Y + D)/D M/D và (Y +D)/Y M/Y Bây giờ đặt X = Y + D ta có điều phải chứng minh.
Lấy Y là một môđun con của M, tồn tại một môđun con X của M và một hạng tử trực tiếp D của M sao cho cả Y và D đều là môđun con của X trong M Giả sử A 6 M với M = A+D, ta có M = A+X và M/Y = X/Y + (A+Y)/Y Do X/Y thuộc M/Y, nên M/Y = (A+Y)/Y, dẫn đến M = A+Y Tương tự, nếu M = A+Y thì M = A+D, từ đó kết luận rằng M là H-phụ.
Giả sử Y ≤ M, thì tồn tại D và D 0 với D 0 ≤ M sao cho M = D ⊕ D 0 Từ đó, ta có (Y + D)/Y M/Y và (Y + D)/D M/D Dễ dàng nhận thấy D 0 là một phần phụ của Y và D là một phần phụ của D 0 Khi đặt D = K và D 0 = L, ta có kết quả (4).
(4) ⇒ (2) Đặt S = L∩K Thế thì S K vì K là phần phụ của L Giả sử L = S + L 0 với L 0 6 L Khi đó M = Y +L = Y + L 0 +S, kéo theo
M = Y + L 0 vì S M, và L là phần phụ của Y nên L 0 = L, dẫn đến S L Kí hiệu g : M −→ M/L và f : M −→ M/S là những phép chiếu chính tắc Theo Định lý đẳng cấu môđun, có đẳng cấu t : M/L −→ K/S Xét đồng cấu t ◦ g : M −→ M/S, với giả thiết tồn tại đồng cấu h : M −→ M sao cho f ◦ h = t ◦ g, ta có K/S = f(K) và K/S = (t◦g)(M) = (f ◦ h)(M) Từ đó, suy ra h(M) ⊂ K ⊂ h(K) + S ⊂ K + S = K, dẫn đến K + S = h(K) + S hay K = h(K) + S, từ đó suy ra h(K) = K vì S K Cuối cùng, ta có h(M) = h(K) = K, do đó M = K + Ker(h).
Trong bài viết này, chúng ta chứng minh rằng Ker(h) ⊂ L và do L là phần phụ của K, suy ra Ker(h) = L Đối với x ∈ M, ta có x = x0 + x00 với x0 ∈ K và x00 ∈ L, dẫn đến (t◦ g)(x) = (f◦h)(x), từ đó x0 + S = h(x0) + S Điều này cho thấy x0 − h(x0) ∈ S = K ∩ L Vì h(x0) ∈ K, ta có h(x0 − h(x0)) = 0, tức là h(x0) = h2(x0), suy ra h(x) = h2(x) Nếu x ∈ K ∩ L = h(M) ∩ L, viết x = h(y) với y ∈ M, ta có 0 = h(x) = h2(y) = h(y, kéo theo x = 0 Do đó, K ∩ L = 0, hoàn tất chứng minh.
Hạng tử trực tiếp của một môđun nâng (môđun phụ) cũng là môđun nâng, nhưng chúng ta chưa rõ điều này có đúng với môđun H- phụ hay không Do đó, môđun thương của một môđun H- phụ không nhất thiết phải là H- phụ Bài viết này trình bày một kết quả từ tài liệu [11], đưa ra điều kiện đủ để môđun thương và hạng tử trực tiếp của một môđun H- phụ cũng là H- phụ.
Mệnh đề 3.1.5 ([11]; Mệnh đề 2.11) Cho M là một môđun và N ≤M là một môđun con sao cho đối với mỗi sự phân tích M = M 1 ⊕M 2 của
M, ta có N = (N ∩M 1 )⊕(N ∩M 2 ) Nếu M là H- phụ thì M/N là H- phụ Thêm nữa, nếu N là một hạng tử trực tiếp của M thì N cũng là
Chứng minh Lấy L/N ≤ M/N VìM là H- phụ nên tồn tại một hạng tử trực tiếp D của M và một môđun con X của M sao cho X/L M/L và X/D M/D Giả sử M = D ⊕ D 0 với D 0 6 M Theo giả thiết,
N = (D ∩ N) ⊕ (D 0 ∩ N) = (D + N) ∩ (D 0 + N) Vì vậy M/N (D + N)/N ⊕(D 0 + N)/N Bây giờ ta có X/N
L/N thêm nữa, từ X/D M/D suy ra X
M/N được xác định là H-phụ, trong đó N là một hạng tử trực tiếp của M và Y ≤ N Điều này dẫn đến sự tồn tại của một hạng tử trực tiếp D của M sao cho D + A = M nếu và chỉ nếu Y + A = M với mọi A ≤ M Khi lấy M = D ⊕ D0 = N ⊕ N0 với N0 và D0 là các môđun con của M, ta có thể thấy rằng N = (D ∩ N) ⊕ (D0 ∩ N).
M = D⊕D 0 = Y +D 0 = N+D 0 = (D∩N)⊕(D 0 ∩N)+D 0 = (D∩N)⊕D 0 kéo theo D ⊆ N Do đó, D là một hạng tử trực tiếp của N Dễ dàng thấy rằng N = D +K khi và chỉ khi N = Y +K với mọi K ⊆ N Vậy
Theo Bổ đề A.4, tổng trực tiếp của hai môđun H-phụ không nhất thiết phải là H-phụ Dưới đây là một số kết quả liên quan đến tổng trực tiếp của các môđun H-phụ.
Trước hết là một vài khái niệm và kết quả chuẩn bị sau đây. Định nghĩa 3.1.6 [11, Định nghĩa 3.1] Cho M và N là những môđun.
N được gọi là M-xạ ảnh căn khi với mọi môđun con K ≤ M và đồng cấu f: N −→ M/K, tồn tại một đồng cấu h: N −→ M sao cho hình ảnh của (f − πh) nằm trong M/K, với π: M −→ M/K là toàn cấu chính tắc.
Nhắc lại, N được gọi là M- xạ ảnh nếu với mọi môđun L, toàn cấu g :M −→ Lvà đồng cấuf :N −→ L, tồn tại một đồng cấu h :N −→M sao cho f = gh.
Từ các định nghĩa trên ta thấy ngay nếu N là M- xạ ảnh thì N là
Mệnh đề 3.1.7 khẳng định rằng, với hai môđun M và N, N được coi là M-xạ ảnh căn nếu và chỉ nếu tồn tại môđun X sao cho N là M/X-xạ ảnh căn Hơn nữa, đối với mọi đồng cấu h từ N đến M/X, cần có một đồng cấu h từ N đến M sao cho ảnh của h sau khi qua π1 là một phần của M/X, với π1 là toàn cấu chính tắc từ M đến M/X.
Chứng minh (⇒): Lấy X = 0 ta có điều phải chứng minh.
Giả sử B là một môđun con của M và f là một đồng cấu từ N đến M/B Định nghĩa π là toàn cấu chính tắc từ M đến M/B, với π(x) = x + B Đặt B1 = B + X và xem xét các đồng cấu π_B và π_X Do N là M/X-xạ ảnh căn, tồn tại đồng cấu f1 từ N đến M/X và môđun con B2 của M sao cho B1 ⊆ B2 Theo giả thiết, cũng tồn tại đồng cấu f2 từ N đến M và môđun con A của M với X ⊆ A Chúng ta chứng minh rằng ảnh của f − π ◦ f2 thuộc (B2 + A)/B Với x ∈ N, giả sử f(x) = m1 + B, f2(x) = m2 và f1(x) = m + X Từ đó, ta có m2 − m ∈ B2 và m − m2 ∈ A, dẫn đến f(x) − π(f2(x)) ∈ (B2 + A)/B.
Mặt khác ta có (B2 + A)/B M/B Vậy Im(f −π ◦f2) M/B. Điều này cho ta N là M- xạ ảnh căn. Định lý 3.1.8 ([11, Định lý 3.5]) Giả sử M = M 1 ⊕M 2 Xét các điều kiện sau:
(2) Với mọi K ≤ M sao cho K + M 2 = M, tồn tại M 3 ≤ M sao cho
Thế thì (1)⇒ (2); và nếu M là phụ đủ thì (2) ⇒(1).
Chứng minh (1) ⇒ (2) Lấy K ≤ M và M = K + M 2 Xét toàn cấu π :
M 2 được ánh xạ sang M/K thông qua đồng cấu m 2 7→m 2 +K, và một đồng cấu h từ M 1 sang M/K được cho bởi m 1 7→ m 1 +K Vì M 1 là ảnh căn của M 2, tồn tại một đồng cấu h: M 1 → M 2 và một môđun con X của M với K ⊆ X, sao cho Im(h − π ◦ h) = X/K Đặt M 3 = {a − h(a) | a ∈ M 1}, rõ ràng M = M 2 ⊕ M 3 Vì K + M 3 ⊆ X nên (K + M 3)/K ⊆ X/K, do đó, (K + M 3)/K là M/K.
(2) ⇒ (1) giả sử rằng M là phụ đủ Xét g : M 1 −→ M 2 /L là đồng cấu và π : M 2 −→ M 2 /L là toàn cấu chính tắc Đặt
Thế thìL ⊆H và M = H+M 2 Tồn tại một môđun con H ⊆ H sao cho
M = H+M 2 và H∩M 2 H Bởi giả thiết, tồn tại một môđunH 0 củaM sao cho M = H 0 ⊕M2 và (H 0 +H)/H M/H Xét α : H 0 ⊕M2 −→M2 là phép chiếu có nghĩa là, α(x+ y) = y, ∀x ∈ H 0 ,∀y ∈ M 2 Xét α | M 1 :
M 1 −→ M 2 Dễ dàng nhìn thấy Im(g−π◦α | M 1 ) ⊆ ((H 0 +H)∩M 2 )/L và ((H 0 + H)∩M2)/L M2/L. Định lý dưới đây xét các điều kiện để tổng trực tiếp của hai môđun
H- phụ là H- phụ, đồng thời xét hạng tử trực tiếp của một môđun H- phụ. Định lý 3.1.9 ([11, Định lý 4.2]) Giả sử M = M 1 ⊕M 2
(1) Nếu M 1 là M 2 - xạ ảnh căn ( hoặc M 2 là M 1 - xạ ảnh căn) và M 1 , M 2 là H- phụ thì M là H- phụ.
(2) Nếu M 2 là M 1 - xạ ảnh và M là H- phụ thì M 1 là H- phụ.
Môđun H- phụ đối hữu hạn và ứng dụng
Trong chương 2, chúng tôi đã giới thiệu môđun phụ đối hữu hạn như một dạng tổng quát hóa của môđun phụ với điều kiện hạn chế trên các môđun con đối hữu hạn Tương tự, chúng tôi định nghĩa tính chất H- phụ đối hữu hạn như một tổng quát hóa của tính chất H- phụ Theo Định nghĩa 3.2.1 (xem [12]), môđun M được xem là H- phụ đối hữu hạn nếu với bất kỳ môđun con đối hữu hạn A của M, tồn tại hạng tử trực tiếp D của M sao cho M = A + X nếu và chỉ nếu M = D + X với mọi môđun con X ≤ M.
Rõ ràng mọi môđun H- phụ là H- phụ đối hữu hạn Điều ngược lại nói chung không đúng và ở phần sau, chúng ta sẽ có ví dụ minh chứng.
Mặt khác, với môđun hữu hạn sinh M, nếu M là H- phụ đối hữu hạn thì M là H- phụ.
Nếu M là môđun H-phụ đối hữu hạn, thì mọi môđun con đối hữu hạn A của M đều có một phần phụ là hạng tử trực tiếp của M Điều này có thể được chứng minh từ định nghĩa của môđun H-phụ đối hữu hạn.
A là môđun con đối hữu hạn của M Khi đó, tồn tại hạng tử trực tiếp
Đối với mọi môđun con X ≤ M, điều kiện M = A + X tương đương với M = D + X Giả sử M có dạng D ⊕ D₀, trong đó D₀ là một môđun con và là hạng tử trực tiếp của M Khi đó, ta có M = A + D₀ Nếu D₀₀ ≤ D₀ thì
Môđun M được định nghĩa là ⊕-phụ đối hữu hạn nếu mọi môđun con đối hữu hạn A của M có một phần phụ là hạng tử trực tiếp của M Theo đó, nếu M = A + D 00 thì M = D ⊕ D 0, từ đó suy ra D 00 = D 0, cho thấy D 0 là phần phụ của A trong M, điều này cần được chứng minh.
Theo định nghĩa, mọi môđun ⊕-phụ đối hữu hạn đều là phụ đối hữu hạn Do đó, có mối quan hệ rõ ràng giữa các lớp môđun được thảo luận trong luận văn này.
H- phụ ⇒ ⊕- phụ ⇒ phụ ⇒ phụ đối hữu hạn.
H- phụ ⇒ H- phụ đối hữu hạn ⇒ ⊕- phụ đối hữu hạn ⇒ phụ đối hữu hạn.
Tính chất H-phụ đối hữu hạn có thể không di truyền cho hạng tử trực tiếp Ngoài ra, có những ví dụ cho thấy tổng trực tiếp của hai môđun H-phụ đối hữu hạn không nhất thiết phải là H-phụ đối hữu hạn.
Trong mục này của Luận văn chúng tôi trình bày một số kết quả tổng hợp từ hai tài liệu [12](2007) và [17] (2013) theo các chủ đề sau:
1 Các đặc trưng và tính chất quan trọng của môđun H- phụ đối hữu hạn.
2 Quan hệ giữa lớp môđunH- phụ đối hữu hạn và một vài lớp môđun khác.
3 Hạng tử trực tiếp và môđun thương của môđunH-phụ đối hữu hạn.
4 Tổng trực tiếp của các môđun H- phụ đối hữu hạn.
5 Vành R có mọi R- môđun là H- phụ đối hữu hạn.
Kết quả đầu tiên liên quan đến một số đặc trưng của môđun H- phụ đối hữu hạn Định lý dưới đây không chỉ tương tự mà còn tổng quát hóa Định lý 3.1.4 về môđun.
H- phụ trình bày trong mục 3.1. Định lý 3.2.3 ([17; Định lý 2.10]) Các điều kiện sau là tương đương đối với môđun M:
(1) M là H- phụ đối hữu hạn;
(2) Với mỗi môđun con đối hữu hạn Y của M, tồn tại một hạng tử trực tiếp D của M sao cho (Y +D)/D M/D và (Y +D)/Y M/Y;
(3) Với mỗi môđun con đối hữu hạn Y của M, tồn tại một môđun X của M và một hạng tử trực tiếp D của M với Y +D ⊆X sao choX/Y M/Y và X/D M/D;
Với mỗi phần phụ hữu hạn Y của M, có một phần phụ L của Y và một môđun con K của L, sao cho (Y + K)/Y tương đương với M/Y và (Y + K)/K tương đương với M/K Mọi đồng cấu f: M → M/(K ∩ L) đều có thể nâng lên thành một đồng cấu f: M → M, tức là tồn tại một đồng cấu f: M → M thỏa mãn f = pf, với p: M → M/(K ∩ L) là phép chiếu chính tắc.
Phép chứng minh trong bài viết này tương tự như phép chứng minh của Định lý 3.1.4 đã được trình bày chi tiết trước đó Dưới đây là tóm tắt các lập luận chính.
(1) ⇒(2): Hoàn toàn tương tự phép chứng minh (1) ⇒(2) của Định lý 3.1.4.
(2) ⇒ (3) Lấy Y là một môđun con đối hữu hạn của M Thế thì tồn tại một hạng tử trực tiếp D của M sao cho (Y + D)/Y M/Y và (Y +D)/D M/D Bây giờ ta đặt X = Y +D.
Lấy Y là một môđun con đối hữu hạn của M, ta có thể tìm thấy một môđun con X của M và một hạng tử trực tiếp D của M sao cho Y + D ⊆ X Hơn nữa, ta có các quan hệ X/Y và M/Y, cũng như X/D và M/D Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các môđun con và hạng tử trong cấu trúc của M.
M = A+D nếu và chỉ nếu M = A+Y với mỗi A ≤ M Do đó, M là
Lấy Y là một môđun con đối hữu hạn của M, tồn tại các hạng tử trực tiếp D và D0 của M sao cho M = D ⊕ D0 Từ đó, ta có (Y + D)/Y ≅ M/Y và (Y + D)/D ≅ M/D Dễ dàng nhận thấy rằng D0 là một phần phụ của Y, trong khi D là một phần phụ của D0 Đặt L = D0 và K = D, ta có điều cần chứng minh.
Đặt S = K∩L, ta có S K và S L Lấy g : M −→ M/L và f : M −→ M/S là toàn cấu Tồn tại một đẳng cấu t: M/L −→ K/S, với giả thiết h : M −→ M sao cho h = tg Từ đó, K/S = f(K) = tg(K) = f h(K), suy ra K + Kerf = h(K) + Kerf, hay K + S = h(K) + S Do đó, K = h(K) vì S K và h(K) = h(M), dẫn đến K + Kerh = M Vì Kerh chứa trong L và L là phần phụ của K nên Kerh = L Cuối cùng, L = Ker(tg) = Ker(f h) dẫn đến Kerf = 0, tức là S = 0, và do đó M = K ⊕ L Định lý đã được chứng minh.
Môđun con N của môđun M được gọi là chặn trên một hạng tử trực tiếp nếu N chứa một hạng tử trực tiếp X của M với điều kiện N/X M/X Môđun M được xem là nâng khi mọi môđun con của nó đều chặn trên một hạng tử trực tiếp Theo Mệnh đề 3.1.2, mọi môđun nâng đều là H-phụ, và có một kết quả tương tự cho môđun H-phụ đối hữu hạn.
Mệnh đề 3.2.4 ([17]; Mệnh đề 2.2) Cho M là một môđun Nếu mọi môđun con đối hữu hạn của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp thì
M là H- phụ đối hữu hạn.Nói cách khác, mọi môđun nâng đối hữu hạn đều là H- phụ đối hữu hạn.
Chứng minh Lấy N là một môđun con đối hữu hạn của M Theo giả thiết, thì tồn tại một hạng tử trực tiếp K của M sao cho N chặn trên
K Dễ dàng kiểm tra được rằng M = N+X nếu và chỉ nếuM = K+X với mọi X ≤ M. Điều ngược lại của Mệnh đề 3.2.4 nói chung không đúng và [17; Ví dụ 2.3] chứng minh điều đó.
Dưới đây là ví dụ về một môđun H- phụ đối hữu hạn không là H- phụ.
Ví dụ 3.2.5 ([17], Ví dụ 2.3; Ví dụ 2.4) Giả sử R là một vành địa phương giao hoán với ideal cực đại ( duy nhất) K và I, J là hai ideal của
Xét R với điều kiện I ⊂ J ⊆ K và KJ * I, ta có R-môđun M = R/Y × R/J Theo Mệnh đề 2.1, M là H-phụ nhưng không phải là môđun nâng Mặc dù M là hữu hạn sinh, không phải mọi môđun con đối hữu hạn của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp, do đó M không phải là nâng đối hữu hạn.
Giả sử R không phải là vành hoàn chỉnh, có nghĩa là tồn tại R-môđun không có phủ xạ ảnh Đặt M = R R(N) Khi đó, Rad(M) không phải là môđun con nhỏ trong M, dẫn đến việc M không phải là môđun phụ Kết quả này kéo theo rằng mọi môđun con đối hữu hạn của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp.
Do đó, M là H- phụ đối hữu hạn theo Mệnh đề 3.2.4.