Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K Một chuẩn trên X là một hàm x 7→ kxk từ X vào R thỏa mãn các điều kiện sau: với mọix, y ∈X, mọi α∈K
(i) kxk>0;kxk= 0 nếu và chỉ nếu x= 0.
(iii) kx+yk6kxk+kyk.
Một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường Klà không gian tuyến tính có chuẩn Không gian Banach được định nghĩa là không gian định chuẩn đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn Dãy {x_n} trong không gian định chuẩn E được coi là hội tụ đến x_0 ∈ E nếu lim n→∞ kx_n − x_0 k = 0, ký hiệu là x_n → x_0 hoặc lim n→∞ x_n = x_0 Đối với hai không gian tuyến tính E và F bất kỳ, một ánh xạ
A:E →F được gọi là một toán tử tuyến tính hay ánh xạ tuyến tính nếu
(ii) A(αx) =αAx với mọi x∈E và mọi α∈K.
5 Định lý 1.1.5 ([3]) Cho A là toán tử tuyến tính khi đó các mệnh đề sau là tương đương
Toán tử tuyến tính A: E → F được gọi là bị chặn nếu tồn tại M > 0 sao cho kAxk ≤ Mkxk, với mọi x ∈ E Chuẩn của toán tử A được định nghĩa là kAk = inf{M : kAxk ≤ Mkxk} Đối với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục A: E → F, ta có kAk = sup{x ≠ 0} kAxk/kxk = sup{kxk ≤ 1} kAxk Nếu E là không gian tuyến tính định chuẩn, M là không gian con tuyến tính dày đặc trong E, và F là không gian Banach, thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục.
A˜:E →F sao cho Ax˜ =Ax với mọi x∈M và
Chứng minh VìM trù mật trong E nên với mọix∈E tồn tại dãy{x n } n ⊂M hội tụ đến x Ta có kAx n −Ax m k=kA(x n −x m )k6kAk.kx n −x m k.
Suy ra{Ax n } n là dãy Cauchy trongF VìF là không gian Banach nên tồn tại lim n→∞Ax n
Ax˜ = lim n→∞Ax n là định nghĩa phụ thuộc vào các dãy hội tụ đến x, từ đó xác định ánh xạ A˜:E → F Tính duy nhất của A˜l là hiển nhiên, và chúng ta sẽ chứng minh rằng A˜l là một toán tử tuyến tính.
Từ định nghĩa hàm A˜ta có A˜ tuyến tính và
6kAk.kx n k nên cho n→ ∞ ta được
Không gian định chuẩn X trên trường số K được liên kết với không gian L(X,K), bao gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X Không gian này được gọi là không gian liên hợp hay đối ngẫu của X, thường được ký hiệu là X ∗.
Không gian liên hợp X ∗ được xác định là một không gian Banach Định nghĩa 1.1.11 nêu rõ rằng, cho A:X →Y là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y, thì toán tử liên hợp A ∗ : Y ∗ →X ∗ sẽ được xác lập.
A được xác định bởi đẳng thức
Trong không gian Hilbert, ta có định nghĩa rằng (A ∗ y ∗ ) = y ∗ (Ax) với mọi x ∈ X và y ∗ ∈ Y ∗ Đối với hai không gian Hilbert X và Y, ta có mối quan hệ hx, A ∗ yi = hAx, yi với mọi x ∈ X và y ∈ Y Định lý 1.1.12 nêu rằng, nếu X < Y < Z là ba không gian định chuẩn và A, B ∈ L(X, Y) cùng với C ∈ L(Y, Z), thì có những kết quả quan trọng liên quan đến các không gian này.
Lý thuyết độ đo
Định nghĩa 1.2.1 ([1]) Một họ A các tập con của X được gọi là một đại số các tập con của X nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn
(iii) A, B ∈ A ⇒A∪B ∈ A. Định nghĩa 1.2.2 ([1]) Cho (X,A, à)là một khụng gian độ đo Khi đú
(i) A là mộtσ-đại số trên X, tức làA là một họ các tập con của X sao cho
(ii) àlà một độ đo, nếu hàm tập hợp (gọi tắt là hàm tập) à:A →[0,∞] thỏa món
(b) à làσ-cộng tớnh, tức là với mọi họ đếm được cỏc phần tử đụi một rời nhau (A n )n≥1 ⊂ A, à(
Các phần tử của A được gọi là các tập đo được. Định nghĩa 1.2.3 ([1]) Cho X 6= ∅ và a ∈ X Khi đó hàm tập hợp δa : P(X)→ R được xác định bởi δ a
Nếu a không thuộc tập A, thì đây là một độ đo trên σ-đại số P(X), được gọi là độ đo Dirac tại a Định nghĩa 1.2.4 nêu rõ rằng, với X là một tập không rỗng và C là một tập con của P(X), hàm số γ từ C đến [0,∞] là một hàm không âm và có tính chất suy rộng.
(i) Hàm γ là đơn điệu nếu vớiA, B ∈C, A⊂B thì γ(A)≤γ(B).
(ii) Hàmγ là cộng tính nếu với A, B ∈C, A∩B =∅, AtB ∈C, thì γ(AtB) = γ(A) +γ(B).
(iii) Hàm γ là cộng tính hữu hạn nếu với A 1 , A 2 , , A n ∈ C, A i ∩ A j = ∅, i 6 j, n
(iv) Hàm γ là σ-cộng tính nếu với(A n )n≥1 ⊂C, A i ∩A j =∅, i6=j,
(v) Hàm γ là dưới cộng tính nếu với A, B ∈C, A∪B ∈C, thì γ(A∪B)≤γ(A) +γ(B).
(vi) Hàm γ là dưới cộng tính hữu hạn nếu với A 1 , A 2 , , A n ∈C, n
(vii) Hàm γ là dưới σ-cộng tính nếu với(A n )n≥1 ⊂C,
Định nghĩa 1.2.5: Cho X là một tập không rỗng và C là một tập con của P(X), một họ các tập con của X được gọi là σ-đại số sinh bởi C, ký hiệu là σ(C), nếu nó là σ-đại số nhỏ nhất chứa C Định nghĩa 1.2.6: Trong không gian tôpô (X, τ), σ-đại số sinh bởi τ, ký hiệu σ(τ), được gọi là σ-đại số Borel và được ký hiệu là B(X) hoặc B X.
Chú ý 1.2.7 Một tập X cùng với một họ τ các tập con của X, ký hiệu(X, τ), được gọi là một không gian tôpô nếu nó thỏa mãn
Trong không gian tôpô (X, τ), nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ X (với x ≠ y) tồn tại các tập mở U, V ∈ τ sao cho x ∈ U, y ∈ V và U ∩ V = ∅, thì (X, τ) được gọi là không gian tôpô Hausdorff Nếu (X, τ) là một không gian tôpô Hausdorff và μ là một độ đo trên σ-đại số Borel B_X, thì μ được gọi là độ đo Borel trên X Ngoài ra, (X, A, μ) được định nghĩa là một không gian độ đo.
(i) Một tập A ⊂ X được gọi là tập không hay tập có độ đo 0 nếu A đo được và à(A) = 0.
(ii) TậpD∈ A được gọi là cú độ đo hữu hạn nếu à(D)0 Chọn N =N(ε)sao cho kf n −f m k∞< ε khi m, n>N Vì
|f(x)−f n (x)|= lim m→∞|f m (x)−f(x)|6ε h.k.n x∈X nên kfn−fmk∞6ε với mọin >N Suy ra kfn−fmk∞→0, khi n→ ∞. Định nghĩa 1.3.6 ([6]) Cho 16p6∞và toán tử T xác định trên L p (R n ) Khi đó
(i) T là loại mạnh (p, p) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi f ∈ L p (R n ) ta đều có kT fkp6CkT fkp.
T là loại yếu (p, p) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi λ > 0 và mọi f ∈ Lp(Rn), ta có à({x ∈ Rn : Tf(x) > λ}) ≤ Cλp ||f||p Định lý 1.3.7, bất đẳng thức Minkowski, khẳng định rằng nếu 1 ≤ p ≤ ∞ và f, g ∈ Lp thì ||f + g||p ≤ ||f||p + ||g||p Định lý 1.3.8, bất đẳng thức Hăolder, áp dụng cho không gian đo (E, A, à), cho biết nếu f, g là các hàm đo được trên E và p, q là hai số thực với 1 ≤ p ≤ ∞ và 1/p + 1/q = 1 thì có thể áp dụng các điều kiện liên quan đến tích phân của chúng.
. Định lý 1.3.9 ([8]) Cho p > 1và q = p−1 p Với mỗi q∈L q (X), đặt Fg :L p (X)→R n bởi
Khi đó F g là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L p (X) với kF −gk=kgk. Định lý 1.3.10 (F Riesz) ([8]) Giả sử 16p 0 Ta chọn r đủ lớn sao cho I2 < ε/2 Khi đó vớir đã chọn, chọn |h| đủ nhỏ sao cho I1 6ε/2 Do đó Ff là liên tục đều.
Chỳ ý 2.1.7 Với à là độ đo Borel trờn khụng gian R n , khi đú Ff được định nghĩa bởi
R n e −2πixξ dà(x). Định lý 2.1.8 (Bổ đề Riemann-Lebesgue) ([7]) Cho f ∈L 1 (R n ) Khi đó lim
Chứng minh Với n =1, xét hàmf(x) =χ (a,b) (x) Ta có, fb(ξ) Z b a e −2πixξ dx= e −2πiaξ −e −2πibξ
Kết quả cũng áp dụng cho hàm đặc trưng của hình chữ nhật n chiều I = {x ∈ R n : a 1 ≤ x 1 ≤ b 1, , a n ≤ x n ≤ b n} Đối với mỗi ε > 0, có thể chọn hàm g là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng sao cho ||f - g||₁ ≤ ε.
2.Vì bg(ξ)→0 khi |ξ| → ∞ nên tồn tại M > 0 sao cho |bg(ξ)| < ε
2 với mọi |ξ|> M Khi đó, với mọi
|bg(ξ)|6|f(ξ)b −bg(ξ)|+|bg(ξ)|6kf −gk 1 +|bg(ξ)|< ε.
Theo định lý 2.1.8, điều kiện cần để một hàm số có biến đổi Fourier là khi giới hạn fb(ξ) khi ξ tiến tới vô cực bằng 0 Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, điều này có thể được minh chứng qua ví dụ sau.
Ví dụ 2.1.9 Với n = 1, xét hàm g(ξ)
Khi đó g(ξ) là liên tục đều trên R và g(ξ) → 0 khi |ξ| → ∞ Giả sử rằng tồn tại f ∈L 1 (R) sao cho f(ξ) =b g(ξ), g(ξ) Z ∞
Vì g(ξ) là hàm lẻ nên ta có g(ξ) Z ∞
−∞ sin(2πxξ)f(x)dxZ ∞ 0 sin(2πxξ)F(x)dx, với F(x) =i[f(x)−f(−x)]∈L 1 (R).Khi đó
Do đó tích phân ở vế phải của phương trình trên là hội tụ Tuy nhiên
Vậy không tồn tại f ∈L 1 (R) sao cho f(ξ) =b g(ξ). Định lý 2.1.10 ([7]) Với mọi a >0, ta có
Chứng minh Đặt η=γσ 2 , khi đó
2 4η dη. Định lý 2.1.12 ([7]) Với mọi a >0, ta có
Theo Bổ đề 2.1.11 ta có
Chứng minh Áp dụng Định lý Fubini, ta được
(a 2 +|ξ| 2 ) n+1 2 Định lý 2.1.14 ([7]) Nếu f,Φ∈L 1 (R n ), ϕ =Φb và ϕ ε (x) = ε −n ϕ( x ε ), thì
R n ϕ ε (y−x, ε)f(y)dy với mọi ε >0 Hơn nữa,
Chứng minh Từ (iii) và (iv) của Mệnh đề 2.1.3 ta có
Hơn nữa, theo Định lý 2.1.13 ta có
Bằng cách đổi biến ta suy ra
(ii) Bằng cách đổi biến, ta có
Do đó, ta chỉ cần chứng minh với trường hợp ε= 1.
(1 +r 2 ) n+1 2 dr. Đặt r= tanθ, khi đó ta có ωn−1
R n ϕ(x)dx = 1 và f ∈ L p (R n ),1 6 p < ∞ hoặc f ∈C 0 (R n )⊂L ∞ (R n ) Với mọi ε >0, ta ký hiệu ϕ ε (x) = ε −n ϕ( x ε ) Khi đó kf ∗ϕ ε −fk p →0, khi ε→0.
Hơn nữa, tích phân Poisson của f là u(x, ε) Z
P(x−y, ε)f(y)dy và tích phân Gauss-Weierstrass của f là s(x, ε) Z
W(x−y, ε)f(y)dy lần lượt hội tụ đến f khi ε→0.
Theo bất đẳng thức Minkowski’s ta có, kf ∗ϕ ε −fk p 6
Với f ∈ L p (R n ),1 6 p < ∞, đặt ∆ f (t) = kf(x−t)−f(x)k p Ta sẽ chứng minh
Với f 1 ∈ C 0 ∞ (R n), f 1 là hàm liên tục đều, do đó f 1 (x−t) sẽ tiến tới f 1 (x) khi t tiến tới 0 Hơn nữa, vì C 0 ∞ (R n) trù mật trong L p (R n), nên với mọi σ > 0, ta có thể phân tích f thành f = f 1 + f 2 với ||f 2|| ≤ σ Khi đó, ∆f(t) ≤ ∆f 1(t) + ∆f 2(t), trong đó ∆f 1(t) sẽ tiến tới 0 khi t tiến tới 0 và ∆f 2(t) ≤ 2σ.
Với p=∞ vàf ∈C0(R n ), lập luận tương tự ta có limε→0kf∗ϕ ε −fk p 6lim ε→0
R n ϕ(x)dx = 0 và f ∈ L p (R n ),1 6 p < ∞ hoặc f ∈C 0 (R n )⊂L ∞ (R n ), khi đó kf ∗ϕ ε k p →0 khi ε→0.
Lập luận tương tự như chứng minh Định lý 2.1.16 ta có điều phải chứng minh.
R n ϕ(x)dx = 1, với mọi ε > 0 ta ký hiệu ϕ ε (x) =ε −n ϕ( x ε ) Cho f(x)∈L ∞ (R n ) liên tục tại {0}, khi đó limε→0
(f(x)−f(0)ϕ ε (x))dx, nên không mất tính tổng quát, giả sửf(0) = 0 Vìf liên tục tại{0}nên với mọiη >0, tồn tạiδ >0 sao cho
R n f(x)ϕ ε (x)dx=f(0). Định lý 2.1.19 ([7]) Cho f ∈L 1 (R n ) và fb>0 Nếu f liên tục tại 0 thì f(0) Z
Chứng minh Theo Định lý 2.1.14, ta có
Hơn nữa theo Bổ đề 2.1.15, với mọi δ >0 ta có
Vì f liên tục tại 0 nên với mọi σ >0, ta chọn δ đủ nhỏ sao cho
Do đó, theo Bổ đề 2.1.15, suy raI1 6σ.
Khi đó,I 2 →0 khiε →0 Suy ra
Hệ quả 2.1.21 Cho α 1 và α 2 là các số thực, khi đó
Chứng minh (i)Từ Hệ quả 2.1.20, ta có
(ii) Lập luận tương tự ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 2.1.22 ([2]) Cho f ∈ L 1 (R n ) Ta định nghĩa biến đổi Fourier ngược
R n e 2πixξ f(x)dx, ξ ∈R n Định lý 2.1.23 ([2]) Cho f ∈L 1 (R n ) sao cho fb∈L 1 (R n ) Khi đó,
Chứng minh Lấyϕ(x) =e −π|x| 2 , x∈R n Khi đó, áp dụng Định lý 2.1.10 vớia = 1
Bởi Định lý 2.1.13 ta có
(2.1) trong L 1 (R n ) khiε →0 Vì fb∈L 1 (R n )nên với mọi ξ∈R n , ta có
R n e 2πihx,ξi ϕ(0)f(x)dxb =F(F − 1(f))(ξ) (2.2) khi ε→0, bởi Định lý hội tụ bị chặn.
Từ (2.1), (2.2) và Định lý Riesz, với hầu khắp ξ∈R n , ta có
Tức là,F −1 ◦ F =I Bằng việc chú ý rằngF −1 =D −1 ◦ F =F ◦D −1 , ta có
Hệ quả 2.1.24 Nếu f, g ∈ L 1 (R n ) thỏa mãn fb= bg h.k.n trên R n , thì f = g h.k.n.trên R n
Biến đổi Fourier trên không gian L 2 ( R n )
Biến đổi Fourier trên lớp Schwartz S ( R n )
Định nghĩa 2.2.1 ([7]) Hàm số thưc f ∈ C ∞ (R n ) được gọi là thuộc lớp Schwartz S(R n ) nếu sup x∈ R n
1 + fb 2, với f 1 = f χ{|f|>λ} ∈ L 1 (R n ) và f 2 = f χ{|f|≤λ} ∈ L 2 (R n ) Định nghĩa này không phụ thuộc vào cách biểu diễn của hàm f, vì nếu f = f 1 + f 2 = g 1 + g 2 với f 1, g 1 ∈ L 1 (R n ) và f 2, g 2 ∈ L 2 (R 2 ), thì f 1 − g 1 = g 2 − f 2 cũng thuộc một không gian thích hợp.
L 1 (R n )∩ L 2 (R n ).Suy ra fb 1 −gb 1 =gb 2 −fb 2 , hayfb 1 +fb 2 =gb 1 +gb 2 Vì vậy ta có thể chọn f 1 =f χ{|f|>λ} ∈L 1 (R n ) và f 2 =f χ{|f|≤λ} ∈L 2 (R n ) thỏa f =f 1 +f 2 Định lý 2.2.15 ([6]) Cho f ∈L 2 (R n ) Khi đó, hầu khắp x∈R n ,
Chứng minh Định lý được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 2.2.13.
Ứng dụng của biến đổi Fourier trong giải phương trình vi phân
Xét phương trình vi phân cấp n không thuần nhất với hệ số hằng
L:=a n D n +an−1D n−1 +ã ã ã+a 1 D+a 0 , với a n an−1,ã ã ã , a 1 , a 0 là hằng số,D:= d dx. Lấy biến đổi Fourier hai vế của Phương trình (2.5) ta được a n (2πik) n +a n−1 (2πik) n−1 +ã ã ã+a 1 (2πik) +a 0 y(k) =b f(k).b Hay
R f(ξ)q(x−ξ)dξ, (2.7) với q(x) = F −1 {q(k)}.b Để đưa ra biểu diễn vật lý của nghiệm (2.7), chúng ta xét phương trình vi phân với ứng dụng hàm xungf(x) =δ(x) trong công thức
Nghiệm của phương trình trên có thể được suy ra từ Phương trình (2.6) theo công thức
Do đó, nghiệm (2.7) có thể được viết lại y(x) Z
Ví dụ 2.3.1 ([5]) Tìm nghiệm của phương trình vi phân
−d 2 u dx 2 +a 2 u=f(x) (2.9) bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier.
Lấy biến đổi Fourier hai vế của Phương trình (2.9) ta được, bu(k) = fb(k)
Ví dụ 2.3.2 ([5]) Tìm nghiệm của phương trình vi phân
2u 00 (t) +tu 0 (t) +u(t) = 0 (2.11) Lấy biến đổi Fourier hai vế của Phương trình (2.11) ta được,
2F(u 00 (t)) +F(tu 0 (t)) +u(t) = 0.b Áp dụng (v) của Mệnh đề (2.1.3) và Định lý (2.1.5) ta suy ra,
Suy ra dub dω =−8(π) 2 ωub vì vậy u(ω) =b Ce −4π 2 ω 2 với C là một hằng số Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta tìm được u(t) = De (− t
4 ), với D là một hằng số.
Trong ví dụ 2.3.3 về phương trình dầm Bernoulli-Euler, chúng ta nghiên cứu độ lệch đứng u(x) của một dầm vô hạn trên nền đàn hồi dưới tác động của lực W(x) Độ lệch này tuân theo một phương trình vi phân thường.
EI d 4 dx 4 +Ku=W(x),−∞< x 0 Khi đó, ta phân hoạch f =f 1 +f 2 , trong đó f1(x) =f χ{x∈ R n :|f(x)| 6λ}(x)
Ta chứng minh f 1 ∈L q và f 2 ∈L 1 Thật vậy, vì |f 1 |6λ và |f 1 |6|f|, nên
Tương tự, vì |f 2 |> λhoặc f 2 = 0 và |f 2 |6|f|, nên
Bổ đề 3.1.2 Cho E là một tập đo được Khi đó, với mỗi p∈(0,∞),
Chứng minh Bởi định lý Fubini,
Z ∞ 0 λ p−1 m({x∈E :|f(x)|> λ})dλ. Định lý 3.1.3 (Định lý nội suy Marcinkiewicz) Cho q∈(1,∞] Giả sử
Khi đó, với mọi 1< p < q, tồn tại hằng số C sao cho kT fk p 6Ckfk p , với mọi f ∈L p
Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh cho trường hợp q ∈ (1,∞) Với f ∈ L p , ta phân hoạch f =f 1 +f 2 ,
37 trong đó f 1 =f χ{|f| 6λ}, f 2 =f χ{|f |>λ} Khi đó, theo Bổ đề 3.1.1, f 1 ∈L q và f 2 ∈L 1
Bởi Bổ đề 3.1.2 và định lý Fubini,
Hơn nữa, bởi định lý Fubini,
Suy ra kT fk p 6Ckfk p , trong đó C p
. Trường hợp q =∞ Giả sử kT gk∞6Cqkgk∞, với mọig ∈L ∞ Với mọi f ∈L p , ta phân hoạch f =f 1 +f 2 trong đóf 1 =f χ {|f| 6 λ
2C 2 } Khi đó, theo Bổ đề 3.1.1,f 1 ∈L ∞ , f 2 ∈L 1
Do đó, bởi giả thiết (ii), m({x∈R n :|T f(x)|> λ})6m({x∈R n :|T f 2 (x)|> λ
Theo Bổ đề 3.1.2 và định lý Fubini,
Do đó kT fk p 6Ckfk p , trong đó C = 2 p C q p−1 C 1 p p−1.
Hàm cực đại Hardy-Littlewood
Định nghĩa 3.2.1 Cho f ∈ L 1 loc (R n ) Khi đó, hàm cực đại Hardy-Littlewood M f :
Nhận xét 3.2.2 Ta có thể định nghĩa hàm cực đại một cách tổng quát hơn bởi
|f(y)|dy, trong đó B là hình cầu bất kỳ trong R n
Thay thế hình cầu B(x, r) trong Định nghĩa 3.2.1 bởi khối lập phương Q(x, r) : [x i −r, x i +r] n Khi đó, hàm cực đại được định nghĩa bởi
Khi n = 1, M trùng với M 0 Nếu n > 1 thì tồn tại hai hằng số c n , C n (chỉ phụ thuộc vàon) sao cho với mọi x∈R n , c n M 0 f(x)6M f(x)6C n M 0 f(x) (3.1) Tổng quát hơn, với Q là khối lập phương bất kỳ trong R n ,
Ví dụ 3.2.3 Cho f: R→R xác định bởi f(x) =χ(0,1)(x) Khi đó
Thật vậy, với mọi x >1, ta có
Nhận xét 3.2.4 Nếu M f(x) xác định tại mọi x ∈ R n và nếu f = g h.k.n trên R n thì M f(x) = M g(x)tại mọi x∈R n
Bổ đề 3.2.5 Cho f, g ∈L 1 loc (R n ) Khi đó
Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 3.2.1. Định lý 3.2.6 Cho f ∈C(R n ) Khi đó
Chứng minh Lấyf ∈C(R n ) Khi đó với mọi ε >0, tồn tại δ >0 sao cho |x−y| < δ dẫn đến |f(x)−f(y)|< ε Từ điều này và bất đẳng thức tam giác, ta suy ra
|f(y)|dy=M f(x). Định lý 3.2.7 Cho f ∈L ∞ (R n ) Khi đó, M f ∈L ∞ (R n ) và kM fk∞6kfk∞.
Chứng minh Ta có sup r>0
B(x,r) dy =kfk∞. Định lý 3.2.8 (Định lý hàm cực đại) Cho f là một hàm xác định trên R n (i) Nếu f ∈L p (R n ), p∈[1,∞], thì hàm M f là hữu hạn h.k.n trên R n
(ii) Nếu f ∈L 1 (R n ), thì với mọi α >0, M thuộc loại yếu (1,1), tức là, m({x∈R n :M f(x)> α})6 3 n αkfk 1 (iii) Nếu f ∈L p (R n ), p∈(1,∞], thì M f ∈L p (R n ) và kM fk p 6A p kfk p , trong đó Ap = 3 n p p−1 + 1 với p∈(1,∞) và A∞= 1.
Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh (ii) Đặt
Với mỗi x∈E α và 0< ε < M f(x)−α, tồn tại r > 0sao cho
Ký hiệu B x :=B(x, r) Khi đó, với mỗi B x , ta có
Cố định tập compactK ⊂E α Vì K được phủ bởi S x∈E α
B x nên theo định lý Heine- Borel, tồn tại N ∈Nhữu hạn sao cho
B ` Theo Bổ đề phủ Vitali, tồn tại một tập rời rạc các hình cầuB j 1 , B j 2 , , B j k thỏa mãn m
Vì dãy các hình cầuB j 1 , B j 2 , , B j k là rời rạc và thỏa mãn (3.2), (3.3), nên ta có m(K)6m
|f(y)|dy, Điều này dẫn đến, với mọi tập compact K ⊂E α , ta có m(K)6 3 n α
Do đó m(E α )6 3 n αkfk 1 Chứng minh trên cũng là chứng minh của (i) trong trường hợp p= 1 Trong trường hợp p=∞, bởi Định lý 3.2.7, (i) và (ii) là đúng với A∞= 1.
Tiếp theo, áp dụng định lý nội suy Marcinkiewicz giữa L 1,∞ → L 1 và L ∞ → L ∞ , ta chứng minh được (i) và (ii) trong trường hợp p∈(1,∞). Định lý 3.2.9 Cho f ∈L 1 (R n ) và f khác hàm không Khi đó, M f /∈L 1 (R n ).
Chứng minh ChọnN ∈N đủ lớn sao cho
> 1 2V n (4|x|) n kfk 1 , trong đó V n là thể tích của hình cầu đơn vị trongR n Do đó, với |x| đủ lớn,
M f(x)>c|x| −n , c= (2V n 4 n ) −1 kfk 1 Vậy M f /∈L 1 (R n ). Định lý 3.2.10 Cho E là một tập con bị chặn của R n Nếu flog + |f| ∈ L 1 (R n ) và suppf ⊂E, thì
|f(x)|log + |f(x)|dx, trong đó log + t= max{0,logt}.
Phân hoạch f =f 1 +f 2 , trong đóf 1 =f χ{x∈ R n :|f(x)|>α} và f 2 =f−f 1 Khi đó, bởi Định lý 3.2.7, ta có
M f 2 (x)6kM f 2 k∞6kf 2 k∞6α. Điều này dẫn đến
Do đó, bởi Định lý 3.2.8, ta có
|f(x)|log + |f(x)|dx. Định lý 3.2.11 (Định lý vi phân Lebesgue) Cho f ∈ L p (R n ), p ∈ [1,∞], tổng quát hơn, nếu f khả tích địa phương, tức là f ∈L 1 loc (R n ) Khi đó, r→0lim
B(x,r) f(y)dy=f(x) h.k x∈R n (3.4) Chứng minh Trước tiên, ta xét trường hợpp= 1 Với mỗi α >0, đặt
Cố định ε > 0 bé tùy ý Bởi tính trù mật của hàm liên tục có giá compact trong
L 1 (R n ), tồn tại hàm g thỏa mãn kf −gk 1 Z
Mặt khác, bởi bất đẳng thức Tchebychev, m(G α )6 1 αkf−gk 1 , và theo Định lý 3.2.8(ii), ta có m(F α )6 3 n αkf−gk 1 Hơn nữa, vìkf −gk 1 < ε nên m(E α )6 3 n αε+ 1 αε = 3 n + 1 α ε.
Vỡ ε >0bất kỳ nờn cho ε→0, ta đượcà(E α ) = 0 Điều này chứng tỏ, vớip= 1 r→0lim
Trường hợp p∈(1,∞] Bởi bất đẳng thức H¨older, với mọi hình cầu B,
Do đó, f ∈L 1 loc (R n ) và kết luận là đúng cho p∈(1,∞]. Định lý 3.2.12 Cho f ∈L 1 loc (R n ) Khi đó
Định lý 3.2.13, hay còn gọi là Bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg-Sobolev, khẳng định rằng với mọi hàm số f thuộc không gian C c ∞ (R n) và p nằm trong khoảng (1, n), ta có bất đẳng thức kfkp ∗ ≤Ck∇fkp, trong đó C chỉ phụ thuộc vào n và p Đây là một hệ quả trực tiếp từ Định lý 3.2.11.
∂rf(x+rz)dr, trong đóz ∈S n−1 Lấy tích phân hai vế của đẳng thức trên trên toàn bộ mặt cầu đơn vị S n−1 , ta được ωn−1f(x) Z
∇f(x+rz)ãzdσ(z)dr. Đổi biến, đặty =x+rz Khi đó,dσ(z) =r −(n−1) dσ(y), z= (y−x)/|y−x|, r =|y−x|, ω n−1 f(x) =−
|y−x| n dy. Điều này dẫn đến
Bởi bất đẳng thức H¨older với 1< p < n, ta có
(n−p) p−1 Bởi (iii) trong Định lý 3.2.8, với 1< p < n, ta được kfk p ∗ ≤Ck∇fk p/n p kM(∇f)k 1−p/n p ∗ (1−p/n)
Phân hoạch Calderón-Zygmund
Một trong những hệ quả quan trọng của tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy-Littlewood là phân hoạch Calderón-Zygmund của R^n Theo Định lý 3.3.1, nếu f thuộc L^1(R^n) và α > 0, thì tồn tại một phân hoạch của R^n thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(iii) Ω hợp bởi các khối lập phương Q k , tức là Ω = S k
Q k , mà các điểm trong của chúng rời nhau và có biên song song với các trục tọa độ, và sao cho với mỗi Qk α < 1
|f(x)|dx 62 n α (3.5) trong đó |Q k | là thể tích của khối lập phương Q k
Chứng minh rằng nếu f ∈ L1, thì không gian Rn có thể được phân rã thành một lưới các khối lập phương bằng nhau Q(0)k, với k = 1, 2, , m Các khối lập phương này có các điểm bên trong rời nhau, biên song song với các trục tọa độ, và đường kính đủ lớn để đảm bảo mỗi khối lập phương trong lưới này đều thỏa mãn điều kiện cần thiết.
Chia mỗi Q (0) k thành2 n khối lập phương có cùng kích thước, ký hiệu bởi Q (1) k , k1,2, Khi đó hoặc 1
Trong trường hợp thứ nhất, ta lại chia mỗi Q (1) k thành 2 n khối lập phương có cùng kích thước, ký hiệuQ (2) k , k = 1,2, Trong trường hợp thứ hai, ta có α < 1
Lập luận tương tự, ta chứng minh được nếu x /∈ Ω : ∞
Theo Định lý 3.3.1, với các ký hiệu f, α, F, Ω và Q k, tồn tại hai hằng số A và B phụ thuộc vào số chiều n, đảm bảo rằng các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn.
Chứng minh Đây là một hệ quả trực tiếp của Định lý 3.3.1 Thật vậy, bởi (3.5) trong Định lý 3.3.1 với B = 2 n ,
|f(x)|dx6 1 αkfk 1 Điều này chứng tỏA= 1 và B = 2 n
Phân hoạch Calderón-Zygmund trên R^n là một công cụ quan trọng trong Giải tích điều hòa, cho phép suy ra phân hoạch tương tự cho các hàm trên R^n Định lý 3.3.3 chỉ ra rằng với f ∈ L^1(R^n) và α > 0, tồn tại các hàm g và h trên R^n sao cho f có thể được biểu diễn dưới dạng f = g + h.
(ii) h=P j h j , trong đó mỗi h j ∈Q j thỏa mãn
Chứng minh Áp dụng Hệ quả 3.3.2 với A= 1 và B = 2 n , ta có
|f(x)|dx62 n+1 α|Q j |. Điều này chứng tỏ kh j k 1 62 n+1 α|Q j |.
Biểu diễn R n = S jQj ∪F, bởi Hệ quả 3.3.2, F là một tập đóng Vì h|F= 0 và f−h j = 1
Hơn nữa, vì|f(x)|6α h.k.x∈F nên kgk∞62 n α.
Từ (3.7), ta suy ra kgk16kfk1.
Dựa vào phân hoạch Calderón-Zygmund và định lý nội suy Marcinkiewicz, chúng tôi đã chứng minh bất đẳng thức có trọng của hàm cực đại Hardy-Littlewood, được gọi là bất đẳng thức có trọng Định lý 3.3.4 khẳng định rằng, với p ∈ (1,∞), tồn tại một hằng số nhất định.
C =Cn,p sao cho với bất kỳ hàm đo được không âm ϕ trên R n , ta có bất đẳng thức
Chứng minh Nếu M ϕ(x) = ∞ h.k.n thì (3.8) là tầm thường Giả sử M ϕ(x) < ∞ h.k.x∈R n và M ϕ(x)>0 Ký hiệu dà(x) = M ϕ(x)dx và dν(x) =ϕ(x)dx.
Khi đó, bởi định lý nội suy Marcinkiewicz, để có được (3.8), ta cần chứng minh rằng
Trước tiờn, ta chứng minh M ∈(L ∞ (à), L ∞ (ν)) Thật vậy, nếu kfk L ∞ (à) 6α thỡ
Vỡ M ϕ(x) > 0 với mọi x ∈ R n nờn à({x ∈ R n : |f(x)| > α}), tương đương với
|f(x)|6α h.k x∈R n Vì vậy, M f(x)6α h.k.x∈R n và điều này dẫn đến, kM fk L ∞ (ν) 6α.
Do đó kM fk L ∞ (ν) 6kfk L ∞ (à) Để chứng minh M ∈(L 1 (à), L 1 (ν)), ta sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 3.3.5 Cho f ∈ L 1 (R n ) và α > 0 Nếu dãy các khối lập phương {Q k } k được chọn từ phân hoạch Calderón-Zygmund của R n với f và α >0, thì
Q ∗ k , trong đó Q ∗ k = 2Qk Khi đó,
Q ∗ k Khi đó, với bất kỳ khối lập phương Q tâm x, xảy ra hai trường hợp:
Q ∗ k , và điều này dẫn đến m({x∈R n :M 0 f(x)>7 n α})6
Bõy giờ, ta trở lại chứng minh M ∈ (L 1 (à), L 1 (ν)) Ta cần chứng minh rằng tồn tại một hằng số C sao cho với bất kỳ α >0 và f ∈L 1 (à),
Ta có thể giả sử f ∈L 1 (R n ) Thật vậy, nếu lấy f ` =|f|χ B(0,`) thì f ` ∈L 1 (R n ), 06f ` (x)6f `+1 (x) với x∈R n và ` = 1,2, Hơn nữa, lim
Bởi Nhận xét 3.2.2, tồn tại C n > 0 sao cho M f(x) 6 C n M 0 f(x) với mọi x ∈ R n Áp dụng Định lý 3.3.3 cho hàm f và α 0 = α
(c n 7 n ), ta được một dãy{Q k } k các khối lập phương thỏa mãn α 0 < 1
Bởi Bổ đề 3.3.5 và Nhận xét 3.2.2, ta có
Do đú, M ∈(L 1 (à), L 1 (ν)), và bất đẳng thức (3.8) thu được bởi ỏp dụng định lý nội suy Marcinkiewicz.
Trong luận văn này, chúng tôi đã thực hiện được các công việc sau đây:
Trình bày định nghĩa biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược trên không gian
L 1 Từ đó chứng minh được các tính chất của biến đổi Fourier như tính tuyến tính, tuần hoàn, liên tục
Mở rộng định nghĩa biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược trên không gian Schwartz và một số tính chất như biến đổi Fourier của đạo hàm
Mở rộng định nghĩa biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược trên không gian
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày về không gian L2 và chứng minh một số định lý quan trọng như Định lý Plancherel Bên cạnh đó, chúng tôi sẽ áp dụng biến đổi Fourier để giải quyết một số phương trình vi phân Đặc biệt, chúng tôi sẽ định nghĩa hàm cực đại Hardy-Littlewood cùng với một số định nghĩa tương đương, và sử dụng định lý nội suy Marcinkiewicz cũng như một số bổ đề khác để chứng minh những tính chất quan trọng của hàm cực đại này.
Phân hoạch Calderón-Zygmund là một trong những hệ quả quan trọng của tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy-Littlewood Kết quả này đóng vai trò nền tảng trong các lĩnh vực như Giải tích Fourier, Giải tích điều hòa và tích phân kỳ dị.
Trong luận văn này, tôi nỗ lực đưa ra những ý tưởng mới, nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức, tôi chưa thể khai thác hết các khía cạnh của vấn đề Sẽ có những sai sót không thể tránh khỏi, vì vậy tôi rất trân trọng những góp ý từ quý Thầy, Cô và các bạn để hoàn thiện khóa luận.