Ứng dụng thực tế của hàm số
Để giải quyết các bài toán hình học, chúng ta có thể biểu diễn các đại lượng dưới dạng hàm số Đầu tiên, với một hình chữ nhật có chu vi 20m, diện tích có thể được biểu diễn là S = f(x) = x(10 - x) m², trong đó x là độ dài một cạnh Thứ hai, đối với hình chữ nhật có diện tích 16 m², chu vi được biểu diễn là C = f(x) = 2(x + 16/x) m Cuối cùng, với hình hộp chữ nhật có thể tích 2 m³ và đáy là hình vuông, diện tích bề mặt toàn phần được tính là S = f(x) = 2x² + 8x m², với x là độ dài cạnh đáy.
Người ta tạo ra một chiếc hộp không nắp từ một miếng bìa cứng hình chữ nhật có kích thước 12×20 cm bằng cách cắt các hình vuông cạnh x ở mỗi góc Sau khi cắt, các cạnh của bìa sẽ được gập lại để tạo thành hộp Thể tích V của chiếc hộp có thể được biểu diễn dưới dạng hàm số của x.
Hình 1.1: Ghép hộp từ bìa chữ nhật. ĐS:V =f(x) =x(20−2x)(12−2x) cm 3
Khi một hòn đá rơi xuống hồ nước, nó tạo ra gợn sóng hình tròn với bán kính r lan ra với vận tốc 60 cm/s Bán kính r là một hàm số theo thời gian, và diện tích của vòng tròn A cũng là một hàm số theo bán kính r Hàm hợp A◦r được xác định là f(t) = A◦r(t) = 0,36πt² m²/s, cho thấy sự thay đổi diện tích vòng tròn theo thời gian.
Một quần thể vi khuẩn ban đầu có 100 con sẽ tăng gấp đôi sau mỗi ba giờ Hàm số mô phỏng số lượng vi khuẩn theo thời gian được viết là N = f(t) = 100 * 2^(t/3) Quần thể vi khuẩn sẽ đạt 3.200 con sau 15 giờ Hàm ngược của hàm số trên được xác định là t = f^(-1)(N) = 3 * log2(N), cho thấy mối quan hệ giữa thời gian và số lượng vi khuẩn.
100 giờ Ý nghĩa: tìm thời gian sinh sôi của quần thể tương ứng với kích thước của nó.
1.1 Ứng dụng thực tế của hàm số
Số lượng vi khuẩn gây bệnh trong bệnh nhân A được mô tả bằng hàm số f(t) = 11t - t² với 0 ≤ t ≤ 8, trong đó t là thời gian tính theo ngày và f là số lượng vi khuẩn tính theo 1000 con Đồ thị của hàm số cho thấy lượng vi khuẩn ít nhất là f(0) = 0 vào ngày đầu tiên và nhiều nhất là f(5,5) = 30 250 con vào khoảng giữa thời gian Khi số lượng vi khuẩn đạt 24 000 con, bệnh nhân sẽ phát sốt, điều này xảy ra sau 3 ngày và bệnh nhân sẽ khỏi sau 8 ngày Tại thời điểm t = 4, khi bệnh nhân uống thuốc đặc trị, số lượng vi khuẩn giảm một nửa và tiếp tục giảm 3 500 con mỗi ngày Hàm số g(t) mô tả số lượng vi khuẩn trong trường hợp này là g(t) = 11t - t², với t ≤ 4.
1.6 Lúc 7 giờ sáng, Xe I xuất phát từ thành phố A di chuyển đến thành phố B với vận tốc
25 km/h Cùng lúc đó xe II xuất phát từ thành phố B di chuyển đến thành phố A với vận tốc
Hai xe di chuyển trên quãng đường AB dài 100 km với tốc độ 35 km/h Để xác định phương trình chuyển động của hai xe trong hệ tọa độ Ox với gốc O là trung tâm thành phố A, ta cần tính toán thời gian và quãng đường mà mỗi xe di chuyển Hai xe sẽ gặp nhau vào lúc 8 giờ 40 phút Nếu xe II xuất phát lúc 8 giờ, phương trình chuyển động của cả hai xe sẽ thay đổi, và chúng sẽ gặp nhau vào lúc 9 giờ 15 phút.
1.7 Một trường mẫu giáo có chi phí được liệt kê như sau
(i) Cứ10 trẻ nhỏ cần1 người quản lý với thù lao là200ngàn đồngmỗi ngày.
(ii) Thực phẩm dành cho các trẻ nhỏ trong ngày là 30ngàn đồngmỗi em.
(iii) Các chi phí khác như điện, nước, bảo vệ là300ngàn đồngmỗi ngày.
Hao mòn vật chất (bàn ghế, đồ chơi) là 1 triệu đồng mỗi tháng a) Chi phí hao mòn có thể được biểu diễn dưới dạng hàm theo số lượng trẻ nhỏ trong trường: f(x) = 6000x, trong đó x là số trẻ nhỏ b) Nếu trường có 150 trẻ nhỏ, học phí nên thu mỗi em một tháng là 600.000 đồng.
10 >+900ãx+ 10 000ngàn đồng với < r > là số nguyên làm tròn lên củar b) 1,57 triệu đồng.
Một công ty mới đây đã ra mắt sản phẩm mới và tiến hành quảng cáo trên truyền hình hàng ngày Theo một nghiên cứu thị trường, tỷ lệ người xem quyết định mua sản phẩm sau khi xem quảng cáo là rất cao.
1 + 49e −0,05x Hãy tính số quảng cáo được phát tối thiểu để số người mua sản phẩm đạt hơn50%. ĐS:78 lần.
1.9 Một lon nước đang có nhiệt độ 35 o C được đưa vào ngăn lạnh ở 10 o C Nhiệt độ của lon nước ở phút thứ tđược tính theo định luật Newton bởi công thức
T(t) = 10 + 25ã0,9 t a) Sau 5phút, lon nước được làm lạnh đến nhiệt độ bao nhiêu? b) Hỏi sau bao lâu lon nước sẽ có nhiệt độ20 o C. ĐS: a) 24,7 o C b) Sau 8,7 phút.
Bài toán khảo sát sự tồn tại giới hạn
CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN và LIÊN TỤC
2.1 Bài toán khảo sát sự tồn tại giới hạn
Theo Định lý 2.2, hàm số f có giới hạn tại điểm c nếu giới hạn bên trái và bên phải tại c bằng nhau, tức là lim x→c − f(x) = lim x→c + f(x) Do đó, để khảo sát giới hạn của hàm số, cần tính toán các giới hạn một phía Một số lưu ý quan trọng khi thực hiện việc tính giới hạn một phía là cần chú ý đến sự khác biệt trong hành vi của hàm số ở hai phía của điểm c.
• Ta có lim x→c − f(x) =f(c) nếu f có cùng công thức biểu diễn trên (c−, c].
Ta có lim x→c + f(x) =f(c) nếu f có cùng công thức biểu diễn trên [c, c+).
• Nếu kết quả của phép tính giới hạn là∞ ta nói rằng hàm số không có giới hạn.
Dạng toán 2.1 Khảo sát sự tồn tại giới hạn
Bước 1: Tính giới hạn một phía
Bước 2: So sánh và kết luận
Nếu lim x→c + f(x) = lim x→c − f(x) =L thìf(x) có giới hạn tạic và lim x→cf(x) =L.
Nếu lim x→c + f(x)6= lim x→c − f(x)thì f(x) không có giới hạn tại c.
Ví dụ 2.1 Tính giới hạn củaf(x) = 1 x−3 tạix= 3.
Bước 1: Tìm giới hạn một phía Khi x < 3 thì x − 3 âm.
Do đó không tồn tại giới hạn của f tạix= 3 Bước 2: So sánh và kết luận.
Ví dụ 2.2 Tính giới hạn củaf(x) = 2
Bước 1: Tìm giới hạn một phía Khi x < 1 thì x − 1 âm Khi x > 1 thì x − 1 dương
Do đó không tồn tại giới hạn của f tạix= 1 Bước 2: So sánh và kết luận.
Ví dụ 2.3 Tính giới hạn củaf(x) = |x| x tạix= 0.
Bước 1: Tìm giới hạn một phía
Bước 2: So sánh và kết luận Do lim x→0 − f(x) 6= lim x→0 + f(x) nên không tồn tại giới hạn của f(x) tại 0
Ví dụ 2.4 Tính giới hạn của f(x) = x 2 −2x x 2 −4 tại x= 2.
Bước 1: Tìm giới hạn một phía
Do x → 2 − hay x → 2 + thì biểu thức của f(x) là như nhau nên ta có thể rút gon bài toán thành x→2 lim f(x) = lim x→2 x(x − 2) (x − 2)(x + 2)
Ta có lim x→2 − f(x) = lim x→2 − x(x−2) (x−2)(x+ 2) = lim x→2 − x x+ 2 = 1
Bước 2: So sánh và kết luận Do lim x→2 − f(x) = lim x→2 + f(x) nên lim x→2f(x) = 1
Ví dụ 2.5 Tính giới hạn tạix= 2 của f(x) ( 2|x| −1 x≥2,
Bước 1: Tìm giới hạn một phía
Bước 2: So sánh và kết luận Do lim x→2 − f(x) = lim x→2 + f(x) nên lim x→2f(x) = 3
Ví dụ 2.6 Tính giới hạn tạix=−2 của f(x) ( x 2 −2 x >−2, 2x+ 3 x≤ −2.
Bước 1: Tìm giới hạn một phía
Ta có x→−2lim − f(x) = lim x→−2 − 2x+ 3 = 2(−2) + 3 =−1. lim x→−2 + f(x) = lim x→−2 + x 2 −2 = (−2) 2 −2 = 2.
Bước 2: So sánh và kết luận Do lim x→−2 − f(x)6= lim x→−2 + f(x) nên f không có giới hạn tại−2.
2.1 Bài toán khảo sát sự tồn tại giới hạn v Bài tập tự giải
2.1 Tính giới hạn sau: x→−2lim x+ 2 ĐS: 0.
2.2 Tính giới hạn sau: x→1lim
2.3 Tính giới hạn sau: x→1lime x x−1 ĐS: không tồn tại.
2.4 Tính giới hạn sau: x→0lim
2.5 Tính giới hạn sau: x→−1lim x+ 1
2.6 Tính giới hạn sau: x→1lim x−1 x 2 −1 ĐS: 1
2. 2.7 Tính giới hạn sau: x→0lim
6. 2.8 Tính giới hạn tạix=−1của hàm số f(x) x+ 2 x6=−1,
2.9 Tính giới hạn tạix= 1 của hàm số f(x)
2.10 Tính giới hạn tạix= 0 vàx=π của hàm số f(x)
1 + sinx x≤0, cosx 0≤x≤π, sinx x > π. ĐS: lim x→0= 1, lim x→π không tồn tại.
2.11 Tính giới hạn sau: x→0lim
2.12 Tính giới hạn sau: x→0lim e x
2.13 Tính giới hạn sau: x→0lim
√1 + cosx sinx ĐS: không tồn tại.
Bài toán khảo sát sự liên tục của hàm từng khúc
Các hàm số sơ cấp được chứng minh là liên tục trên tập xác định của chúng Do đó, việc khảo sát tính liên tục của các hàm từng khúc chỉ cần được thực hiện tại các điểm nối của chúng.
Dạng toán 2.2 Khảo sát sự liên tục của hàm từng khúc
Bước 1: Xác định miền liên tục trên các tập xác định của hàm con.
Hàm số liên tục trên miền trong các tập xác định con.
Bước 2: Khảo sát sự liên tục tại các điểm nối
Tính giới hạn của hàm số tại điểm nối qua giới hạn bên trái và bên phải.
So sánh giới hạn với giá trị hàm số tại điểm nối để đưa ra kết luận về sự liên tục của hàm số.
Ví dụ 2.7 Khảo sát sự liên tục của hàm số f(x) 3x−x 2 x≥3, x 2 −7 x 2 thì f(x) = ax − 3 Khi x = 2 thì f(x) = x 2 +4x−7
Khi x < 0 thì f (x) = b(x−3)−1Khi x > 0 thì f(x) = x 2 +4x−7Khi x = 0 thì f (x) = b(x−3)−1
CƯỜNG v Bài tập tự giải
2.14 Khảo sát sự liên tục của hàm số f(x) ( x 2 −2x+ 1 x6= 1,
2.15 Khảo sát sự liên tục của hàm số f(x) ( √ x 2 −2x+ 1 x6= 2, e 0 x= 2. ĐS: liên tục trên R. 2.16 Khảo sát sự liên tục của hàm số f(x)
2.17 Khảo sát sự liên tục của hàm số f(x) ( x 2 −2x+ 1 x 0 ĐS: dy dx(x= 0, y= 1
3.7 Tính đạo hàm của hàm ẩny=f(x) thỏa
√x+y+ 2√ x−y= 3 tại x= 1, y = 0 ĐS: dy dx(x= 1, y= 0) = 3. 3.8 Tìm đạo hàm của phương trình tham số a)x=√ t 2 + 1,y=e −2t ĐS: dy dx(t) =−2
Để tính đạo hàm của phương trình tham số \( x = 1 t + 1, y = t t + 1 \) tại \( t = 0 \), ta có kết quả \( \frac{dy}{dx}(t=0) = 1 \) Tiếp theo, với phương trình tham số \( x = te^t, y = (t + 1) \ln t \) tại \( t = 1 \), kết quả đạo hàm là \( \frac{dy}{dx}(t=1) = \frac{1}{e} \) Cuối cùng, giả sử \( f^{-1} \) là hàm ngược của hàm số \( f \).
3.12 Tìm đạo hàm cấp hai của hàm ẩny =f(x) thỏay 2 =xy+ 2 ĐS: d 2 y dx 2 (x, y) = 2y 2
(2y−x) 2 3.13 Chứng minh rằng phương trình tham số x=e t sint, y=e t cost thỏa mãn biểu thức d 2 y dx 2 (x+y) 2 = 2(xdy dx −y).
Bài toán tìm cực trị của hàm số
Bài toán tìm cực trị địa phương, cực trị toàn cục của hàm số là bài toán được ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực.
Dạng toán 3.2 Tìm cực trị địa phương của hàm số
Bước 1: Tìm điểm cực trịx0 của hàm số.
Tìm đạo hàm f 0 của hàm số.
Giải phương trình f 0 (x) = 0 để tìm điểm cực trịx0 của hàm số.
Bước 2: Khảo sát cực trị địa phương
Nếuf 00 (x0)0thì x 0 là điểm cực tiểu.
Bước 3: Khảo sát trên biên đóng (không trùng với điểm cực trị)
Cho alà biên trái và blà biên phải, khi đó:
Nếuf 0 (a)>0thì alà điểm cực tiểu, ngược lại thìalà điểm cực đại.
Nếuf 0 (b)>0 thìb là điểm cực đại, ngược lại thìb là điểm cực tiểu.
Tập xác định R nên không có biên.
Ví dụ 3.9 Tìm cực trị củaf(x) =x 3 −3
Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số Ta cóf 0 (x) = 3x 2 −3x−6; f 0 (x) = 0⇔3(x+ 1)(x−2) = 0⇔ x=−1, x= 2.
Bước 2: Tìm cực trị hàm số Ta cóf 00 (x) = 6x−3.
Tại x=−1:f 00 (−1) =−90 nên x= 2 là điểm cực tiểu.
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x= 2với f(2) =−10 và đạt cực đại tại x=−1với f(−1) = 7
Tập xác định [3,7) chứa biên trái Ví dụ 3.10 Tìm cực trị củaf(x) =x 3 −9x 2 + 24x−2trên tập xác định là[3,7).
Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số Ta cóf 0 (x) = 3x 2 −18x+ 24; f 0 (x) = 0⇔3(x−2)(x−4) = 0⇔ x= 2 (loại) x= 4 (nhận)
Bước 2: Tìm cực trị hàm số Ta cóf 00 (x) = 6x−18.
Tại x= 4:f 00 (4) = 6>0 nên x= 4 là điểm cực tiểu.
Bước 3: Tìm cực trị trên biên
Biên phải 7 không thuộc tập xác định nên không được khảo sát.
Thực tế thì giá trị của f tại các điểm lân cận 7 rất lớn (gần 68).
Tại điểm biờn trỏix= 3ta cúf 0 (3) = 3ã3 2 −18ã3 + 24 =−3