Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần
Trong chương này, tác giả sẽ giới thiệu các khái niệm liên quan đến hàm số, bao gồm hàm số liên tục tuyệt đối, hàm số L-Lipchitz và một số bất đẳng thức cần thiết để chứng minh bất đẳng thức Simpson sẽ được trình bày trong chương tiếp theo Định nghĩa 1.1 nêu rõ rằng hàm số f : [a, b]→R được gọi là liên tục tuyệt đối trên [a, b] nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số dương δ thỏa mãn điều kiện cụ thể.
|f(x i )−f(y i )|< ε, với mọi họ hữu hạn các khoảng rời nhau {[x i , y i ] : i= 1,2, , n} của [a, b] với n
(b) Hàm số f : [a, b]→R được gọi là L-Lipschitz trên [a, b] nếu tồn tạiL>1 thỏa mãn
(c) Hàm số f : [a, b]→ R được gọi là có biến phân bị chặn trên [a, b] khi và chỉ khi tồn tại hằng số M >0 thỏa mãn n
|f(x i )−f(xi−1)|6M, với mọi phõn hoạch P={x 0 , x 1 ,ã ã ã , x n } của [a, b].
(d) Nếu hàm số f : [a, b]→ R có biến phân bị chặn trên [a, b], thì biến phân toàn phần của f trên [a, b] được xác định như sau b
Nhận xét 1.1 Một hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b] thì liên tục đều và có biến phân bị chặn trên [a, b].
Ví dụ 1.1 Nếu f : [a, b] → R là hàm đơn điệu tăng thì với mọi phân hoạch P {x0, x1,ã ã ã , xn} của [a, b] ta cú n
Vì vậy, hàm f có biến phân bị chặn và b
Ví dụ 1.2 Nếu hàmf : [a, b]→Rliên tục trên[a, b]và khả vi trên(a, b)với sup a0 Nếu đặt u=x a , v =y b , p= (a+b)/avà q= (a+b)/b, rõ ràng p > 1và ta có bất đẳng thức sau
Bất đẳng thức Young và bất đẳng thức Hölder là hai kết quả quan trọng trong toán học Định lý 1.2, hay còn gọi là bất đẳng thức Hölder, khẳng định rằng với hai tập hợp số thực dương a₁, a₂, , aₙ và b₁, b₂, , bₙ, cùng với điều kiện p > 1 và 1/p + 1/q = 1, ta có thể thiết lập một bất đẳng thức liên quan đến chúng.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a p i =kb q i với mọi i∈ {1,2, , , n}.
Bất đẳng thức H¨older dạng giải tích được trình bày như sau: Giả sử p, q > 1 và thỏa mãn 1/p + 1/q = 1, với f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn [a, b].
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời bằng không sao cho
Bất đẳng thức Gr¨ uss
Giả sửf, g và plà các hàm khả tích trên [a, b] Ta có các ký hiệu sau:
A(f;p)A(g;p), R(f, g) = R(f, g; 1), Giả sử f vàg là hai hàm số xác định và khả tích trên [a, b], thỏa mãn điều kiện: ϕ6f(x)6φ, γ 6g(x)6Γ (1.5) với mỗi x∈[a, b], trong đó ϕ, φ, γ,Γ là các số thực cho trước.
Năm 1935 G Gr¨uss đã đưa ra khẳng định sau:
Bài báo năm 1935 của Grüss đã chứng minh bất đẳng thức 4(φ−ϕ)(Γ−γ) và chỉ ra rằng 1/4 là xấp xỉ tốt nhất Hàm T(f, g) được gọi là hàm Cebyšev Định lý 1.4 khẳng định rằng, với các hàm khả tích f, g : [a, b]→R thỏa mãn điều kiện φ ≤ f(x) ≤ Φ và γ ≤ g(x) ≤ Γ cho mọi x ∈ [a, b], ta có thể áp dụng bất đẳng thức tương ứng.
4 là xấp xỉ tốt nhất.
Chứng minh Từ đẳng thức
(f(x)−f(y))(g(x)−g(y))dxdy (1.9) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz, ta có:
Từ đẳng thức (1.9) ta có:
, (1.11) ta cũng có đẳng thức tương tự đối với hàm g Từ đó ta có:
(f(x)−φ)(Φ−f(x))dx (1.12) và tương tự ta có đẳng thức (1.12) đối với hàm g.
Theo giả thiết (1.7) ta có (f(x)−φ)(Φ−f(x))>0 với mọix∈[a, b], vì vậy
(f(x)−φ)(Φ−f(x))dx>0 từ đẳng thức (1.12) suy ra
4(Φ−φ) 2 Trong đánh giá trên, ta đã sử dụng bất đẳng thức quen thuộc
Sử dụng bất đẳng thức (1.10) kết hợp với bất đẳng thức (1.11) và các đánh giá trong (1.13) và (1.14), ta thu được
4(Φ−φ)(Γ−γ)(b−a) 2 và từ (1.9), ta suy ra (1.8). Để chứng minh hằng số 1
4 là xấp xỉ tốt nhất, ta chọn hàm f, g : [a, b] → R, xác định như sau f(x) = sgn x− a+b 2
Z b a f(x)dxZ b a g(x)dx= 0 và Φ−φ = Γ−γ = 2 ta nhận được dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.8).
Nhận xét 1 (a) Điều kiện (1.7) có thể làm giảm với điều kiện yếu hơn như sau:
(b) Nếu ta xét hàm f(x) = (x−a) p , p > 0, thì ta thu được bất đẳng thức moment đối với hàm g:
4(b−a) p+1 (M −m), trong đó giả sử m6g(x)6M với x∈[a, b].
Bất đẳng thức (1.8) có thể được cải thiện với các ước lượng chính xác hơn bằng cách áp dụng điều kiện hạn chế cho các hàm f và g Cụ thể, khi xem xét sai phân thứ n của hàm f, ký hiệu là ∆ n h f(x), chúng ta có thể đạt được kết quả tốt hơn trong việc phân tích và so sánh các hàm này.
Hàm f xác định trên khoảng (a, b) được gọi là đơn điệu bậc p nếu đạo hàm bậc n của f(x) luôn dương hoặc không âm cho mọi n = 1, 2, , p và mọi x thuộc (a, b) với h > 0 và x + nh < b Nếu f đơn điệu bậc p cho mọi p = 1, 2, , thì f được xem là đơn điệu tuyệt đối trên (a, b) Theo Định lý 1.5 (Grüss, 1935), nếu các hàm f và g đều đơn điệu tuyệt đối trên khoảng (0, 1), thì chúng thỏa mãn một số bất đẳng thức nhất định.
Hằng số 4/45 trong các bất đẳng thức (1.16) và (1.20) là ước lượng tốt nhất, ví dụ với hàm f(x) = x², ta có dấu đẳng thức trong (1.16) Năm 1935, Grüss đã chứng minh hai bất đẳng thức này bằng đa thức Bernstein, nhưng cùng năm, E Landau đã đưa ra phương pháp chứng minh đơn giản hơn Đến năm 1936, E Landau đã xác nhận rằng hai bất đẳng thức (1.16) và (1.20) đúng với các hàm f, g đơn điệu cấp 4, và ông cũng đã chứng minh thành công cho các hàm đơn điệu cấp k = 1, 2, 3.
100(Φ−φ)(Γ−γ) với k = 3 (1.20) Năm 1936, G H Hardy đã đưa ra khẳng định sau: Định lý 1.6 (Hardy, 1936) Nếu hàm số f : R + → R thỏa mãn f(x) > 0, f 0 (x) 6
0, f”(x)>0, f 000 (x)60, với mọi x∈R + và φ 6f(x)6Φ, γ 6g(x)6Γ với mọi x∈[0, a].
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
Bất đẳng thức Gr¨uss chỉ ra cận trên và cận dưới cho sai phânD(f, g) Một ước lượng tương tự cũng đã được J Karamata chứng minh đối với
Kết quả này được gọi là bất đẳng thức Karamata.
Bất đẳng thức Simpson và một số ứng dụng 12
Bất đẳng thức Simpson đối với các ánh xạ có biến phân bị chặn
phân bị chặn Định lý 2.1 Xét hàm số f : [a, b]→R có biến phân bị chặn trên khoảng [a, b] Khi đó ta có bất đẳng thức
(f), (2.16) với Wb a(f) là biến phân toàn phần của hàm f trên khoảng [a, b] Hằng số 1
3 là ước lượng tốt nhất.
Chứng minh Sử dụng công thức tích phân Riemann-Stieltjes ta có:
Z b a f(x)dx, vậy đẳng thức (2.17) được chứng minh.
Tiếp theo ta xét phân hoạch ∆ n : a = x (n) 0 < x (n) 1 < < x (n) n−1 < x (n) n = b với ν(∆ n )→0khi n → ∞, trong đó ν(∆ n ) := max i∈{0, ,n−1} x (n) i+1 −x (n) i và ξ i (n) ∈h x (n) i , x (n) i+1 i
Nếu p : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và v : [a, b] →R có biến phân bị chặn trên [a, b] thì ta có
(v) (2.18) Áp dụng bất đẳng thức (2.18) cho p(x) = s(x)và v(x) = f(x) ta thu được:
Mặt khác, hàm số s đơn điệu không giảm trên các khoảng a,a+b 2 và a+b
Từ đó, bằng cách sử dụng bất đẳng thức (2.19) và đẳng thức (2.17) ta thu được bất đẳng thức (2.16).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh hằng số 1/3là đánh giá tốt nhất Thật vậy, giả sử có bất đẳng thức sau đây:
(f) với hằng số C > 0nào đó Ta chọn một ánh xạ f : [a, b]→Rxác định bởi: f(x)
−1 nếu x= a+b 2 Khi đó, ta có:
Từ đó ta suy ra 4C(b−a) ≥ 4
3 và như vậy hằng số 1
3 là xấp xỉ tốt nhất của bất đẳng thức (2.16).
Từ đẳng thức (2.17) của định lý trên ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 2.1 Giả sử f : [a, b]→R là hàm số khả vi, có đạo hàm liên tục trên khoảng(a;b) và thỏa mãn: kf 0 k 1 :Z b a
Khi đó ta có bất đẳng thức
Hệ quả sau đây cho công thức tổng hợp của Simpson là:
Giả sử f: [a, b] → R là một ánh xạ có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b], và I h là một phân hoạch của đoạn này Khi đó, công thức cầu phương của Simpson (2.2) cùng với phần dư sẽ được áp dụng để tính toán.
R S (f, I h ) thỏa mãn đánh giá sau:
Hệ quả 2.3 trình bày rằng với phân hoạch đều I n của đoạn [a, b] và ánh xạ f theo Định lý 2.1, ta có công thức (2.6) cùng với phần dư thỏa mãn bất đẳng thức đã nêu.
Nhận xét 2.1 Nếu ta muốn tính gần đúng tích phân Rb a f(x)dx bởi công thức Simpson
A S,n (f) với độ chính xác không vượt quá ε > 0, ta cần ít nhất n ε ∈ N điểm chia trong phân hoạch I n của khoảng, với n ε :"
# + 1 và [r] ký hiệu phần nguyên r∈R.
Nếu hàm ánh xạ f: [a, b]→R không có đạo hàm cấp 4 hoặc đạo hàm cấp 4 không bị chặn trên (a; b), thì không thể áp dụng ước tính trong công thức của Simpson Tuy nhiên, nếu hàm có biến phân bị chặn, ta có thể sử dụng ước lượng (2.21) theo Hệ quả 2.2.
Chúng ta đang xem xét một lớp ánh xạ có biến phân bị chặn nhưng đạo hàm cấp 4 không bị chặn trên khoảng [a, b] Cụ thể, ánh xạ f p : [a, b] → R được định nghĩa bởi f p (x) := (x−a) p với p thuộc khoảng (3, 4) Đạo hàm bậc nhất của f p là f p 0 (x) := p(x−a) p−1 cho x thuộc (a, b), trong khi đạo hàm bậc 4 của f p là f p (4) (x) = p(p−1)(p−2)(p−3).
Rõ ràng là fp có biến phân bị chặn và b
Chúng tôi sẽ giới thiệu một số ví dụ áp dụng bất đẳng thức Simpson, từ đó chỉ ra các bất đẳng thức mới dựa trên các giá trị trung bình (2.9)-(2.14) và bất đẳng thức (2.15).
H 6G6L6I 6A. Áp dụng Định lý 2.1, ta có một số bất đẳng thức liên quan tới các đại lượng trung bình trên.
Bài toán 2.1 Xét hàm số f : [a, b] →R với (0 < a < b), f(x) = x p , p∈ R\{−1,0} Khi đó ta có
=A p (a, b) và kf 0 k 1 =|p|(b−a)L p−1 p−1 , p∈R\{−1,0,1}. Áp dụng bất đẳng thức (2.20) ta thu được bất đẳng thức sau:
Bài toán 2.2 Xét hàm f : [a, b]→R(0< a < b), f(x) = 1 x Khi đó ta có 1 b−a
G 2 (a, b). Áp dụng bất đẳng thức (2.20) ta thu được bất đẳng thức sau:
Bài toán 2.3 Xét hàm f : [a, b]→R(0< a < b), f(x) = lnx Khi đó ta có:
L(a, b). Áp dụng bất đẳng thức (2.20) ta thu được bất đẳng thức sau: ln
Bất đẳng thức Simpson đối với ánh xạ Lipschitz
Định lý 2.2 Giả sử f : [a, b]→R là hàm L-Lipschitzian trên khoảng [a, b] Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
36L(b−a) 2 (2.23) Chứng minh Sử dụng quy tắc tính tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes ta có:
6 , x∈ a+b 2 , b Tiếp theo, ta xét tích phân của [a, b] với các điểm chia ∆ n : a =x (n) 0 < x (n) 1 < < x (n) n−1 < x (n) n =b thỏa mãn ν(∆ n )→0khi n → ∞trong đó ν(∆ n ) := max i∈{0, ,n−1} x (n) i+1 −x (n) i và ξ i (n) ∈ h x (n) i , x (n) i+1 i
Nếu p : [a, b] → R là hàm khả tích Riemann trên khoảng [a, b] và v : [a, b]→R là ánh xạ L-Lipschitz trên khoảng [a, b], khi đó ta có:
|p(x)|dx (2.25) Áp dụng bất đẳng thức (2.25) cho hàm p(x) = s(x) và v(x) = f(x) ta có được bất đẳng thức.
36(b−a) 2 Tiếp theo, áp dụng bất đẳng thức (2.26) và đẳng thức (2.24) suy ra (2.23).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số hệ quả được suy ra từ Định lý 2.2.
Hệ quả 2.4 Giả sử rằng f : [a, b]→R là ánh xạ khả vi, có đạo hàm liên tục trên khoảng (a, b) Khi đó, ta có bất đẳng thức sau:
36kf 0 k ∞ (b−a) 2 (2.27) Tiếp theo là hệ quả đối với công thức biểu diễn Simpson:
Hệ quả 2.5 trình bày rằng nếu f: [a, b] → R là một ánh xạ L-Lipschitzian trên đoạn [a, b] và I h là một phân hoạch của đoạn này, thì công thức cầu phương của Simpson có thể áp dụng Đồng thời, phần dư R S (f, I h) sẽ thỏa mãn một bất đẳng thức nhất định, đảm bảo tính chính xác của công thức trong việc ước lượng giá trị tích phân.
Trường hợp phân hoạch đều ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 2.6 trình bày rằng với I n là một phân hoạch đều của khoảng [a, b] và hàm được xác định theo Định lý 2.2, ta có thể áp dụng công thức (2.6) Đồng thời, phần dư của công thức này cũng sẽ thỏa mãn một bất đẳng thức nhất định.
Để xấp xỉ tích phân Rb af(x) bằng công thức Simpson A S,n (f) với độ chính xác không vượt quá ε > 0, cần ít nhất n ε ∈ N điểm chia trong phân hoạch I n, với n ε ≥ 5.
+ 1 và [r] là phần nguyên của r∈R.
Nếu hàm f : [a, b] → R không có đạo hàm cấp 4 hoặc đạo hàm cấp 4 không bị chặn trên (a;b), công thức Simpson không thể được áp dụng để ước lượng sai số Tuy nhiên, nếu f là hàm Lipschitz, thì có thể áp dụng bất đẳng thức tương ứng để thay thế cho công thức trước đó.
Ta đưa ra lớp hàm có tính Lipschitz nhưng đạo hàm cấp 4 không bị chặn Xét hàm f p : [a, b]→R, f p (x) := (x−a) p trong đó p∈(3,4) Rõ ràng ta có: f p 0 (x) :=p(x−a) p−1 , x∈(a, b) và f p (4) (x) = p(p−1)(p−2)(p−3)
Rõ ràng là fp hàm Lipschitz với hằng số
Chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ áp dụng bất đẳng thức Simpson, từ đó chỉ ra các bất đẳng thức mới được hình thành dựa trên các giá trị trung bình (2.9)-(2.14) và bất đẳng thức (2.15).
Vận dụng Định lý 2.2, ta chỉ ra một số bất đẳng thức đối với các đại lượng trung bình đặc biệt.
Bài toán 2.4 Xét hàm số f : [a, b]→R(0< a < b), f(x) =x p , p∈R\{−1,0} Khi đó ta có kf 0 k ∞ =δ p (a, b) :
Sử dụng bất đẳng thức (2.27) ta thu được:
Bài toán 2.5 Xét hàm số f : [a, b]→R(0< a < b), f(x) = 1 x Khi đó ta thu được: kfk∞= 1 a 2
Sử dụng bất đẳng thức (2.27) ta thu được:
Bài toán 2.6 Xét hàm só f : [a, b]→R(0< a < b), f(x) = lnx Khi đó ta có kf 0 k ∞ = 1 a.
Sử dụng bất đẳng thức (2.27) ta thu được bất đẳng thức: ln
Bất đẳng thức Simpson với các số hạng khả tích cấp p
cấp p Định lý 2.3 Giả sử f : [a, b]→R là hàm số liên tục tuyệt đối trên [a, b] có f 0 ∈Lp[a, b]. Khi đó, ta có bất đẳng thức
Chứng minh Áp dụng công thức tính tích phân từng phần, ta có
Z b a f(x)dx, ta có đẳng thức (2.3). Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có được:
3(q+ 1)6 q Tiếp theo, áp dụng bất đẳng thức (2.31) và đẳng thức (2.30) ta thu được bất đẳng thức (2.3)
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số kết quả đối với công thức biểu diễn Simpson:
Hệ quả 2.7 Cho f và I h xác định như trên Khi đó, ta có quy tắc Simpson (2.2) và phần dư R S (f, I h ) thỏa mãn bất đẳng thức:
Chứng minh Áp dụng Định lý 2.3 trên khoảng [x i , x i+1 ] (i= 0, , n−1) thu lại được
Bằng cách lấy tổng hai vế của bất đẳng thức với i chạy từ 0 đến n−1, và áp dụng bất đẳng thức tam giác cùng với bất đẳng thức H¨older trong trường hợp rời rạc, chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng.
! 1 q , ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo, đối với trường hợp phân hoạch đều ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.8 Xét hàm số f xác định như trên và I n là một phân hoạch đều của [a;b], khi đó ta có bất đẳng thức:
Để xấp xỉ tích phân Rb af(x) bằng công thức Simpson A S,n (f) với độ chính xác không vượt quá ε > 0, chúng ta cần ít nhất n ε ∈ N điểm chia trong phân hoạch I n, với n ε được xác định cụ thể.
# + 1 với [r] là phần nguyên của r∈R.
Nếu hàm f : [a, b] → R không có đạo hàm cấp 4 hoặc đạo hàm cấp 4 không bị chặn trên (a;b), thì bất đẳng thức Simpson không thể được áp dụng Tuy nhiên, nếu f 0 ∈ Lp(a, b), thì có thể áp dụng bất đẳng thức dạng tương ứng (2.32).
Chúng tôi giới thiệu một lớp hàm có đạo hàm thuộc Lp(a, b), nhưng đạo hàm cấp 4 không bị chặn trong khoảng này Đặt hàm số f s : [a, b]→R với f s (x) := (x−a) s, trong đó s thuộc (3,4) Rõ ràng, đạo hàm bậc nhất của f s là f s 0 (x) := s(x−a) s−1 cho x thuộc (a, b), và đạo hàm bậc 4 của f s là f s (4) (x) = s(s−1)(s−2)(s−3).
Ta có lim x→a+fs (4) (x) = +∞, nhưng kf s 0 k p =sã (b−a) s−1+ p 1
Chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ ứng dụng của bất đẳng thức Simpson, từ đó chỉ ra các bất đẳng thức mới phát sinh từ các giá trị trung bình (2.9)-(2.14) và bất đẳng thức (2.15).
Bài toán 2.7 Xét hàm số f : [a, b]→R(0< a < b), f(x) =x s , s∈R\{−1,0} Khi đó ta có
Sử dụng bất đẳng thức (2.3) ta có bất đẳng thức:
Bài toán 2.8 Xét hàm số f : [a, b]→R(0< a < b), f(x) = 1 x Khi đó
Sử dụng bất đẳng thức (2.3) ta có bất đẳng thức:
Bài toán 2.9 Xét hàm số f : [a, b]→R(0< a < b), f(x) = lnx Khi đó ta có:
Sử dụng bất đẳng thức (2.3) ta có bất đẳng thức: ln
Bất đẳng thức Gr¨ uss, Ostrowski đối với công thức Simpson
2.4.1 Bất đẳng thức Gr¨ uss
Bài viết này trình bày về bất đẳng thức Grüss, một kết quả quan trọng trong lý thuyết bất đẳng thức tích phân Bất đẳng thức này liên hệ giữa tích phân của tích hai hàm và tích của hai tích phân, như được nêu trong Định lý 1.4 ở chương 1 Cụ thể, Định lý 2.4 chỉ ra rằng nếu f, g : [a, b]→R là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] và thỏa mãn điều kiện φ ≤ f(x) ≤ Φ, γ ≤ g(x) ≤ Γ với mọi x ∈ [a, b], thì có những kết quả nhất định liên quan đến tích phân của chúng.
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
4 là xấp xỉ tốt nhất.
Năm 1938, Ostrowski (xem ví dụ [1, p 468]) đã chứng minh bất đẳng thức chỉ ra xấp xỉ của tích phân 1 b−a
Định lý 2.5 khẳng định rằng nếu hàm số f : [a, b]→R là khả vi trên khoảng (a, b) và đạo hàm f' : (a, b)→R bị chặn, tức là |f'(t)| có giới hạn trên (a, b), thì tồn tại bất đẳng thức f(x) − 1/(b−a).
Trong bài báo năm 1997, S S Dragomir và S Wang đã chứng minh một phiên bản bất đẳng thức của Ostrowski bằng cách sử dụng bất đẳng thức Grüss Định lý 2.6 nêu rằng, với hàm số f : I ⊆ R → R khả vi trên int(I) và hai điểm a, b ∈ int(I) với a < b, nếu f' ∈ L^1[a, b] và γ ≤ f'(x) ≤ Γ cho mọi x ∈ [a, b], thì ta có bất đẳng thức f(x) - 1/(b-a).
Tiếp theo, ta trình bày về bất đẳng thức tích phân kiểu Gr¨uss Với các số thực A, B, ta xét hàm số sau: p(t)≡p x (t)
Hàm số px có các tính chất sau: a) p x có bước nhảy
[p] x = (B−A)−(b−a) tại điểm t=x và dp x (t) dt = 1 + [p] x δ(t−x). b) Đặt M x := sup t∈(a,b) p x (t)vàm x := inf t∈(a,b) p x (t) Khi đó sai phânM x −m x có thể được đánh giá như sau:
(2) VớiB −A >0, ta có ba trường hợp cụ thể như sau:
(iii) Nếu B−A > b−a, thì ta có:
Bất đẳng thức kiểu Ostrowski được công bố bởi Dragomir và cộng sự vào năm 1999, được thể hiện qua Định lý 2.7 Theo đó, cho hàm f : [a, b]→R khả vi trên (a, b) với đạo hàm thỏa mãn bất đẳng thức γ ≤ f'(t) ≤ Γ cho mọi t ∈ (a, b), trong đó γ và Γ là các số thực đã cho Từ đó, ta có thể suy ra một bất đẳng thức quan trọng.
2(b−a)[(x−a)(x−a+ 2A)−(x−b)(x−b+ 2B)], và A, B, M x và m x xác định như trên, x∈[a, b].
Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Gr¨uss (2.33), ta có:
Sử dụng quy tắc tích phân từng phần ta có:
2[(x−a)(x−a+ 2A)−(x−b)(x−b+ 2B)], nên từ bất đẳng thức (2.38) ta thu được:
Nhận xét 2.4 Trong bất đẳng thức (2.37), chọn A =B = 0 và theo tính chất (b), mà
Mx−mx =b−a, ta thu được bất đẳng thức (2.35) của Định lý 2.6 của Dragomir và Wang.Theo trên, ta thu được kết quả thú vị sau:
Hệ quả 2.9 Cho A, B là các số thực sao cho 0 6 B−A 6 (b−a)
2 Nếu f là hàm xác định như trên, thì ta có bất đẳng thức:
Chứng minh Xét x= (a+b)/2 Khi đó, từ (2.37) ta có: x−a= b−a
Theo tính chất (b) của hàm px ta có: Mx−mx = (b−a)−(B−A). Áp dụng Định lý 2.7 vớix= a+b
2 , ta thu được bất đẳng thức (2.40).
Nhận xét 2.5 Nếu trong hệ quả trên ta chọn B−A= b−a
Nhận xét 2.6 Nếu trong bất đẳng thức (2.40) ta chọn B =A, chúng ta nhận được bất đẳng thức.
4(Γ−γ)(b−a) 2 (2.42) kết quả này được S.S Dragomir và S Wang công bố trên bài báo [12].
Nhận xét 2.7 Nếu trong bất đẳng thức (2.40) ta chọn B−A= (b−a)/3thì ta thu được công thức của Simpson. b−a
Ta có thể thu được các số hạng của đạo hàm cấp một, khác với phương pháp cổ điển chỉ sử dụng số hạng ứng với đạo hàm cấp bốn, như sau: b−a.
2880 (b−a) 5 (2.44)Phương pháp đánh giá sai số của quy tắc Simpson được xét ở trên có thể được áp dụng cho bất kỳ công thức bậc hai của kiểu Newton-Cotes.
Chẳng hạn như, để có được đánh giá sai số đối với quy tắc Newton-Cotes bậc 3 cần thay thế hàm p x (t) trong (2.18) bằng hàm p x (t) :
2 nếu a+h < t6b−h; t−b−B nếu b−h < t6b; trong đó B−A= (b−a)/4 và h= (b−a)/3.
Chúng tôi sẽ giới thiệu một số ví dụ áp dụng bất đẳng thức Simpson, qua đó chỉ ra các bất đẳng thức mới phát sinh từ các giá trị trung bình (2.9)-(2.14) và bất đẳng thức (2.15).
Bài toán 2.10 Xét ánh xạ f(x) = x p (p >1), x >0 Khi đó Γ−γ = (a−b)(p−1)L p−2 p−2 với a, b∈R thoả mãn 0< a < b Do đó, ta có bất đẳng thức:
Bài toán 2.11 Xét ánh xạ f(x) = 1 x, x > 0 Khi đó: Γ−γ = b 2 −a 2 a 2 b 2 = 2ã (b−a)A(a, b)
G 4 (a, b) với 0< a < b Do đó, ta có bất đẳng thức:
G 4 (a, b) bất đẳng thức này tương đương với
G 4 Bài toán 2.12 Xét ánh xạ f(x) = lnx, x > 0 Khi đó Γ−γ = b−a
G 2 Đối với a, b∈R with 0< a < b Do đó, ta có bất đẳng thức:
G 2 , bất đẳng thức này tương đương với ln A 2 3 G 1 3
Chúng tôi trình bày kết quả đánh giá sai số của quy tắc xấp xỉ Simpson đối với hàm số khả vi có đạo hàm bị chặn Định lý 2.8 chỉ ra rằng nếu hàm số f: [a, b] → R khả vi trên (a, b) và đạo hàm của nó thỏa mãn điều kiện γ ≤ f'(t) ≤ Γ với mọi t ∈ (a, b), trong đó γ và Γ là các giá trị thực cho trước, thì có những kết luận quan trọng về sai số của quy tắc xấp xỉ này.
I h là một phân hoạch với các điểm chia
In:a=x0 < x1 < < xn−1 < xn=b h i := (x i+1 −x i )/2, i= 0, , n−1 và phần dư R n (I n , f) thỏa mãn bất đẳng thức:
Chứng minh Từ bất đẳng thức (2.43) ta chọn các điểm chia a=x i , b=x i+1 ,2h i =x i+1 −x i và x i +h i = 1
2(x i +x i+1 ) trong đó i= 0, , n−1 Ta thu được bất đẳng thức h i
3(Γ−γ)h 2 i , với mọi i = 0, , n−1 Lấy tổng 2 về của bất đẳng thức này với i = 0, , n−1 và sử dụng bất đẳng thức trong tam giác, ta thu được n−1
X i=0 h 2 i , ta thu được bất đẳng thức (2.47).
Hệ quả 2.10 Với giả thiết như trên và nếu hàm f có đạo hàm bị chặn, tức là kf 0 k ∞ := sup t∈(a,b)
|f 0 (t)|