Toán tử Monge-Ampère phức
Hàm nửa liên tục trên trong không gian metric (Ω, d) được định nghĩa là hàm u : Ω → R ∪ {−∞} sao cho tập hợp {z ∈ Ω : u(z) < r} là một tập mở với mọi giá trị r ∈ R.
Một hàm u được gọi là nửa liên tục dưới nếu −u là nửa liên tục trên.
Hàm u được gọi là nửa liên tục tại điểm z₀ ∈ Ω nếu và chỉ nếu lim sup khi z tiến gần đến z₀ của u(z) bằng u(z₀), tức là lim sup z→z₀ u(z) = u(z₀) Công thức lim sup được định nghĩa là inf ε>0{sup{u(z) : z ∈ Ω, d(z, z₀) < ε}} Điều này có nghĩa là với mọi α lớn hơn u(z₀), tồn tại một ε lớn hơn 0 sao cho u(z) nhỏ hơn α khi khoảng cách d(z, z₀) nhỏ hơn ε.
Một hàm thực được coi là liên tục khi nó đồng thời là nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên Định nghĩa hàm điều hòa dưới: Giả sử Ω là tập mở trong C, hàm u : X → [−∞,+∞) được gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình, tức là với mọi ω ∈ Ω, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r ≤ δ, có u(ω) ≤ 1.
Chú ý rằng với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất −∞ trên Ω được xem là hàm điều hòa dưới trên Ω Ký hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên
Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω, thì log|f| là hàm điều hòa dưới trên Ω Hàm u : Ω → [−∞,+∞) được gọi là đa điều hòa dưới nếu nó nửa liên tục trên và không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω.
Ω nếu với mọi a ∈ Ω và b ∈ C n , hàm λ 7→ u(a+λb) là điều hòa dưới hoặc bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a+ λb ∈ Ω}.
Ký hiệu PSH(Ω) đại diện cho lớp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trong Ω, trong khi PSH_(Ω) là tập hợp các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω Tập E ⊂ C^n được gọi là tập đa cực nếu với mỗi điểm a ∈ E, tồn tại một lân cận V của a và một hàm u ∈ PSH(V) sao cho E ∩ V nằm trong tập hợp {z ∈ V : u(z) = −∞} Nếu u ∈ C^2(Ω), thì toán tử
∂z j ∂z¯ k dV, ở đây dV = 2 i n dz 1 ∧ d¯z 1 ∧ dz 2 ∧ d¯z 2 ∧ ∧ dz n ∧ d¯z n là độ đo thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampère phức.
Tiếp theo, chúng ta nhắc lại nguyên lý so sánh đối với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trong các tập giải tích trong C n
Cho u ∈ PSH(V) là hàm bị chặn địa phương, đa điều hòa dưới trên tập giải tích V với dimV = k Ta định nghĩa toán tử Monge-Ampère của hàm u trên phần chính quy V r của V bằng công thức dd c u m := dd c u(dd c u) m−1, với mọi 16 m ≤ k Độ đo (dd c u) được xác định trên V.
Nguyên lý so sánh do Bedford chứng minh vào những năm 80 của thế kỷ trước cho các hàm đa điều hòa u và v bị chặn trên tập hợp V Định lý 1.1.7 chỉ ra rằng với mọi tập con Borel E của V, điều kiện lim z→∂V được áp dụng.
Trong lĩnh vực luận văn, ký hiệu chuẩn trong C^n được biểu thị là |z| Một tập hợp không rỗng U được gọi là lồi nếu với hai điểm z1 và z2, mọi giá trị 0 ≤ λ ≤ 1 đều thỏa mãn λz1 + (1−λ)z2 ∈ U Tương tự, một tập hợp không rỗng U được gọi là lồi logarith nếu với hai điểm z1 và z2 thuộc U, mọi 0 ≤ λ ≤ 1 đều thỏa mãn λ.log(|z1|) + (1−λ)log(|z2|) ∈ U Đối với miền U ⊂ C^n và điểm z ∈ U, hàm khoảng cách d_U(z) được định nghĩa là khoảng cách từ điểm z đến biên ∂U Cuối cùng, miền U được xem là một miền giả lồi nếu hàm khoảng cách d_U(z) là hàm đa điều hòa dưới.
Ω được gọi là giả lồi mạnh nếu
(2) Tồn tại một tập con mở U trong C n chứa ∂Ω và tồn tại một hàm λ : U →R 1 khả vi lớp C 2 có các tính chất:
(ii) λ là một hàm đa điều hòa dưới chặt, tức là ta có
∂z i ∂z¯ j (z)à i ௠j ≥ L(z|à|) 2 ,với mọi à ∈ C n và z ∈ U, sao cho L(z) > 0.
Phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic
Định nghĩa 1.2.1: Cho X là một đa tạp phức compact hữu hạn chiều và ω là một dạng Kahler nhẵn trên X Hàm ϕ trên X được gọi là ω-đa điều hòa dưới (ω-psh) nếu nó là hàm khả tích, nửa liên tục dưới và thỏa mãn điều kiện ω + dd^c ϕ > 0.
Năm 1982, theo Bedford và Taylor [3] 00đã chứng minh được một số tính chất sau của hàm ω- đa điều hòa dưới
Cho X là một đa tạp phức compact hữu hạn chiều và ω là một dạng Kahler nhẵn trên X Nếu ϕ là một hàm bị chặn trên X, thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon (ω + dd c ϕ) n BT trên X Đặc biệt, nếu ϕ j là dãy các hàm ω-đa điều hòa dưới địa phương, nhẵn trên X và hội tụ giảm về hàm ϕ, thì dãy các độ đo nhẵn (ω + dd c ϕ j ) n hội tụ yếu tới độ đo Radon (ω + dd c ϕ) n BT.
Theo định nghĩa 1.2.3, cho X là một đa tạp phức compact hữu hạn chiều, ω là một dạng Kahler nhẵn trên X, và ϕ là một hàm bị chặn, v là một dạng thể tích nhẵn trên X Nếu dãy độ đo (ω + dd^c ϕ^j)^n hội tụ (địa phương) đến e^ϕ v, thì ta có đẳng thức sau đây.
(ω +dd c ϕ) n BT = e ϕ v, (DM A)ω,v theo nghĩa đa thế vị Phương trình (DM A) ω,v được gọi là phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic trên đa tạp Kahler compact X hữu hạn chiều.
Nghiên cứu của Bedford và Taylor chỉ ra rằng nếu ϕ là hàm bị chặn, thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon dương (ω+dd c ϕ) n BT với các tính chất nhất định Cụ thể, nếu dãy hàm nhẵn ϕ j hội tụ giảm đến hàm ϕ, thì dãy độ đo nhẵn (ω + dd c ϕ j ) n sẽ hội tụ yếu đến độ đo (ω + dd c ϕ) n BT Hơn nữa, nếu dãy độ đo (ω +dd c ϕ j ) n hội tụ địa phương đến e ϕ v, thì chúng ta có thể nói rằng đẳng thức này được thiết lập.
(ω +dd c ϕ) n BT = e ε v,xảy ra theo nghĩa đa thế vị.
Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (dd c ϕ) n = v
Mục đích của phần này là khám phá mối quan hệ giữa lý thuyết đa thế vị của toán tử Monge-Ampère phức, như được trình bày bởi Bedford-Taylor vào năm [3].
1982 và khái niệm nghiệm nhớt đối với phương trình Monge-Ampère thực lần đầu tiên được định nghĩa bởi P.L Lions năm 1990.
Cho M = M (n) là một đa tạp (liên thông) phức n chiều và v là một độ đo nửa xác định dương Ký hiệu B là hình cầu đơn vị của D n hoặc ảnh của
B biểu diễn dưới một hệ trục tọa độ trong M. Định nghĩa 1.3.1 Hàm nửa liên tục trên ϕ : M → R ∪ {−∞} được gọi là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère
(dd c ϕ) n = v, (DM A) v nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
Với mọi điểm x₀ thuộc tập M và mọi hàm q khả vi thuộc lớp C² xác định trong lân cận của x₀, nếu hàm ϕ−q đạt giá trị cực đại địa phương tại x₀, thì điều này dẫn đến một số kết quả quan trọng trong phân tích hàm số.
(dd c q) n x 0 ≥ v x 0 Khi đó, ta nói rằng hàm ϕ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân
(dd c ϕ) n ≥v theo nghĩa nghiệm nhớt trên M.
Nhận xét 1.3.2 Nếu v ≥ v 0 thì (dd c ϕ) n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt thì suy ra (dd c ϕ) n ≥ v 0 Đặc biệt, điều này cũng đúng nếu v 0 = 0.
Mặt khác, lớp các nghiệm dưới là ổn định với việc lấy qua supremum Cụ thể, chúng ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.3.3 Nếu các hàm ϕ 1 , ϕ 2 là các nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức
(dd c ϕ) n = v (1.2) thì sup(ϕ1, ϕ2) cũng là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (1.2).
Chứng minh Từ (2) của Định nghĩa (1.3.1) và Nhận xét (1.3.2) suy ra trự tiếp kết quả của mệnh đề.
Kết quả sau đây về tính chéo hóa của một ma trận Hermit.
Mệnh đề 1.3.4 [Bổ đề 1.4, [7]] Cho Q là một ma trận Hermit sao cho mọi ma trân Hermit nửa xác định dương H ta có det (Q+H) ≥ 0 Khi đó,
Q là một ma trận nửa xác định dương.
Tiếp theo, nếu hàm ϕ thỏa mãn(dd c ϕ) n > 0theo nghĩa nghiệm nhớt nếu và chỉ nếu ϕ là hàm đa điều hòa dưới.
Mệnh đề 1.3.5 Nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (dd c ϕ) n = 0 là các hàm đa điều hòa dưới trên M.
Để chứng minh tính chất địa phương của Mệnh đề 1.3.5 mà không mất tính tổng quát, ta giả sử M = B và cho ϕ là một nghiệm dưới của phương trình (dd c ϕ) n = 0 Chọn x0 ∈ B với ϕ(x0) 6= −∞ và q ∈ C 2 (B) sao cho ϕ − q đạt giá trị cực đại địa phương tại x0 Khi đó, ma trận Q = dd c q tại x0 thỏa mãn điều kiện det(Q) ≥ 0 Với mọi ma trận Hermite nửa xác định dương H, ta có det(Q + H) ≥ 0 Đặt qH := q + H(x − x0), suy ra hàm ϕ − qH cũng đạt giá trị cực đại địa phương tại điểm x0.
Theo Mệnh đề 1.3.4, ta có ma trận Hermite Q = dd c q x 0 nửa xác định dương Từ đó suy ra, với mọi ma trận Hermite xác định dương h i ¯ j , ta có
Hàm ϕ là một nghiệm dưới nhớt của phương trình Laplace, được xác định bởi điều kiện ∆ H q(x 0 ) := h i ¯ j ∂ ∂ 2 q zi ∂ ¯ zj (x 0 ) ≥ 0 Trong hệ tọa độ phức thích hợp, toán tử vi phân với hệ số không đổi tương ứng với các toán tử Laplace Theo Mệnh đề 3.2.10 trong Hormander [10], điều này áp dụng cho các hàm ϕ.
∆ H − điều hòa, do đó hàm ϕ nằm trong lớp các hàm L 1 loc (B) và thỏa mãn
Hàm ϕ có giá trị không âm theo nghĩa phân bố, và giả sử (w i) là một véc tơ bất kỳ trong C n Khi xem xét một ma trận Hermite xác định dương (h ij) bị suy biến thành ma trận (w i w −j) có hạng 1, ta có thể áp dụng tính liên tục của hàm ϕ để nhận được w i w −j ∂ 2 ϕ.
∂ z i ∂z¯ j ≥ 0,theo nghĩa phân bố Do đó, ta có ϕ là đa điều hòa dưới.
Ngược lại, giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới Cố định x 0 ∈ B, q ∈
C 2 (B)) sao cho ϕ−q đạt cực đại địa phương tại điểm x 0 Khi đó, với mỗi hình cầu đủ nhỏ B 0 ⊂B có tâm tại điểm x0 ta có ϕ(x 0 )−q(x 0 ) ≥ 1
(ϕ−q)dV, vì vậy ta có
Cho bán kính củaB 0 tiến tới 0, suy ra vìq là hàm thuộc lớpC 2 nên∆q x 0 ≥ 0.
Sử dụng phép thay đổi tuyến tính trong hệ tọa độ phức, ta có thể suy ra rằng ∆ H q(x 0 ) ≥ 0 đối với mọi ma trận Hermite xác định dương Do đó, dd c q x 0 ≥ 0 và (dd c ϕ) n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt.
Nếu ϕ là một hàm đa điều hòa dưới và bị chặn địa phương, thì đo Monge - Ampère (dd c ϕ) n BT được định nghĩa là giới hạn duy nhất của dãy các độ đo nhẵn (dd c ϕ j ) n, trong đó ϕj là dãy các hàm đa điều hòa dưới nhẵn hội tụ giảm đến hàm ϕ Kết quả này làm rõ mối liên hệ cơ bản giữa khái niệm đa thế vị và khái niệm nghiệm nhớt của nó.
Mệnh đề 1.3.6 Cho ϕ là hàm nửa liên tục trên bị chặn địa phương trên
Hàm ϕ thỏa mãn điều kiện nghiệm nhớt (dd c ϕ) n ≥ v nếu và chỉ nếu nó là đa điều hòa dưới và độ đo Monge-Ampère của nó thỏa mãn (dd c ϕ) n BT ≥ v theo nghĩa đa thế vị.
Trước khi tiến hành chứng minh, chúng ta cần nhớ lại kết quả cổ điển về nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức cho các hàm đa điều hòa dưới bị chặn.
Bổ đề 1.3.7 Cho u, w ∈ P SH ∩L ∞ (B) Khi đó, ta có nếu u ≥ w trong lân cận của ∂B và (dd c u) n BT ≤ (dd c w) n BT thì u ≥ w trên B.
Giả sử ϕ ∈ P SH ∩ L ∞ (B) và thỏa mãn điều kiện (dd c ϕ) n BT ≥ v Xét hàm q là một hàm khả vi lớp C 2, trong đó ϕ−q đạt cực đại địa phương tại điểm x0 với ϕ(x0) = q(x0) Do ϕ thỏa mãn (dd c ϕ) n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt, theo Mệnh đề 1.3.4, ta có (dd c q) n x0 ≥ 0 và dd c q x0 ≥ 0 Tuy nhiên, nếu (dd c q) n x0 < v x0, ta định nghĩa q ε := q + εk x − x0 k^2.
Chọn ε > 0 đủ nhỏ, ta có bất đẳng thức sau: 0< (dd c q x ε 0 ) n < vx 0 Vìv hàm liên tục nên ta có thể chọn một hình cầu nhỏ B 0 chứa x0 bán kính r > 0 sao cho q¯ ε := q ε −εr 2
Trong lân cận của ∂B 0, ta có bất đẳng thức 2 ≥ ϕ và (dd c q¯ ε) n BT ≤ (dd c ϕ) n BT Áp dụng Nguyên lý so sánh, chúng ta suy ra rằng q¯ ε ≥ ϕ trên B 0 Tuy nhiên, bất đẳng thức này không đúng tại điểm x 0, dẫn đến (dd c q) n x 0 ≥ v x 0 và ϕ nghiệm dưới nhớt.
Ngược lại, nếu ϕ là nghiệm dưới nhớt, ta cố định x0 ∈ B với ϕ(x0) không bằng -∞ và q ∈ C² sao cho hàm ϕ−q đạt cực đại địa phương tại x0 Khi đó, ma trận Hermit Q:= dd c qx 0 sẽ thỏa mãn điều kiện det(Q) ≥ vx 0 Tiếp theo, áp dụng bổ để dưới đây của B, Gaveau đã xem xét phương trình Monge-Ampère phức như một phương trình Bellmann.
Bổ đề 1.3.8 cho biết rằng với ma trận Hermit xác định không âm Q cấp n×n, ta có thể xác định rằng det(Q) 1/n = inf tr(HQ) với H thuộc H n +, và det(H) = n − n H n + đại diện cho tập hợp các ma trận Hermite xác định dương cấp n×n Khi áp dụng Mệnh đề 1.3.8 cho các ma trận xác định dương (h i ¯ j), ta có det(h) = n − n.
Trong bài viết này, chúng ta khảo sát hàm ϕ là nghiệm dưới nhớt của phương trình tuyến tính ∆ H ϕ ≥ v 1/n, trong đó v 1/n được giả định là hàm khả vi lớp C α với α > 0 Bằng cách chọn một hàm khả vi lớp C 2 làm nghiệm của phương trình ∆ H ϕ = v 1/n gần điểm x 0, ta nhận được hàm u = ϕ−f thỏa mãn ∆ H u ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt Áp dụng Mệnh đề 3.2.10 từ tài liệu tham khảo, ta kết luận rằng hàm u là hàm ∆ H - đa điều hòa dưới, từ đó suy ra ∆ H ϕ ≥ v 1/n theo nghĩa độ đo Radon dương.
Sử dụng tích chập chính quy hóa của hàm ϕ, đặt ϕ ε = ϕ∗ρ ε thì dễ thấy
∆ H ϕ ε ≥(v 1/n ) n Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 1.3.8 suy ra
Ta có dãy hàm ϕ˜k := ϕ 1/k là một dãy giảm các hàm nhẵn hội tụ đến hàm ϕ Vì tính liên tục của (dd c ϕ) n BT nên suy ra (dd c ϕ) n BT ≥ v.
Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp khi v > 0 và v là các hàm liên tục Holder Trong trường hợp v > 0 liên tục, quan sát thấy hàm v = sup{w | w ∈ C ∞ , v ≥ w > 0}.
Ta có, vì mọi nghiệm dưới của phương trình (dd c ϕ) n = v đều là nghiệm dưới của phương trình (dd c ϕ) n = w nên v ≥w Do đó, suy ra
Trong trường hợp tổng quát, chúng ta thấy hàm ψε(z) = ϕ(z) +εkzk 2 thỏa mãn (dd c ψε) n ≥ v+ε n λ theo nghĩa nghiệm nhớt với λ là dạng thế tích Euclid Do đó, ta có
Vậy (dd c ϕ) n BT ≥ v Vậy Mệnh đề 1.3.6 được chứng minh.
Giả sử ϕ là hàm bị chặn, mối liên hệ giữa nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức và nghiệm dưới đa thế vị được thể hiện qua Định lý 1.3.9 Cụ thể, nếu v = (dd c ρ) n BT cho một hàm đa điều hòa dưới ρ bị chặn và ϕ là hàm liên tục sao cho ϕ không đồng nhất với −∞ trên mọi thành phần liên thông, thì các phát biểu sau đây là tương đương: i) Hàm ϕ thỏa mãn điều kiện (dd c ϕ) n ≥v theo nghĩa nghiệm nhớt; ii) Hàm ϕ là hàm điều hòa dưới và với mọi c > 0, ta có.
Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (dd c ϕ) n = e εϕ v
Cho M = M (n) là một đa tạp phức n-chiều liên thông và v là một độ đo nửa xác định dương Định nghĩa nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức suy biến được đưa ra như sau: với ε > 0 là một số thực dương, một hàm nửa liên tục trên ϕ được coi là nghiệm dưới nhớt của phương trình này.
Nếu hàm ϕ không đồng nhất bằng −∞ và tại mọi điểm x 0 ∈ M, với mọi hàm q ∈ C 2 (M) trong lân cận của x 0, khi q − ϕ đạt giá trị cực đại địa phương tại x 0 và ϕ(x 0) = q(x 0), thì có thể viết công thức (dd c ϕ) n = e εϕ v.
Bổ đề 1.4.2 khẳng định rằng nếu u là một hàm điều hòa bị chặn trong miền Ω ⊂ C n và v = f β n là một dạng thể tích liên tục với hàm trù mật f ≥ 0 liên tục, thì hàm ϕ sẽ thỏa mãn một điều kiện nhất định.
(dd c ϕ) n BT ≥ e ϕ f β n , theo nghĩa đa thế vị trong miền Ω Khi đó, ta có với δ > 0 đủ nhỏ, hàm chính quy hóa ϕ δ := ϕ ? χ δ thỏa mãn
(dd c ϕδ) n BT ≥e ϕ δ fδβn, với f δ (x) := inf{|f(y)|;|y −x| ≤ δ, trong miền Ω δ
Mệnh đề 1.4.3 chỉ ra rằng, với hàm nửa liên tục ϕ : M → R bị chặn, ta có điều kiện (dd c ϕ) n ≥ e εϕ v theo nghĩa nghiệm nhớt nếu và chỉ nếu ϕ là đa điều hòa dưới Đồng thời, điều kiện (dd c ϕ) n ≥ e εϕ v cũng được thỏa mãn theo nghĩa đa thế vị.
Để chứng minh Mệnh đề 1.4.3, trước hết, cần xác định rằng nếu ϕ là một hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện e εϕ v, thì kết quả có thể được chứng minh ngay bằng Mệnh đề 1.3.6 Tuy nhiên, trường hợp hàm ϕ không liên tục sẽ làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn.
Thật vậy, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng ε = 1 và
M = Ω là miền trong C n, và giả sử hàm ϕ là một nghiệm dưới nhớt Theo Mệnh đề 1.1.3, ϕ được xác định là một hàm đa điều hòa dưới Đặt v := f βn, trong đó f > 0 là hàm trù mật liên tục có dạng thể tích Euclid.
C n Chúng ta có thể xấp xỉ hàm ϕ bởi hàm: ϕ δ (x) := sup y ϕ(y)− 1
, x ∈ Ω δ , với δ > 0 đủ nhỏ và trong đó
Ω δ := {x ∈ Ω; dist(x, ∂Ω) > Aδ} và A > 0 là một hằng số đủ lớn sao cho A 2 > 2osc Ω ϕ.
Các hàm bán lồi ϕ δ hội tụ giảm đến hàm ϕ khi δ tiến gần đến 0 Hơn nữa, các hàm ϕ δ cũng thỏa mãn bất đẳng thức trong nghĩa nghiệm nhớt trên miền Ω δ.
(dd c ϕ δ ) n ≥ e ϕ δ fδβn, fδ(x) = inf {f(y)/|y −x| ≤ Aδ}, nên theo Mệnh đề 1.1.3, ta có hàm ϕ δ cũng là một hàm đa điều hòa dưới.
Vì ϕ δ là liên tục nên áp dụng Mệnh đề 1.3.6 suy ra
Trong ngữ cảnh đa thế vị, ta có bất đẳng thức (dd c ϕ δ ) n ≥ e ϕ δ fδβn ≥ e ϕ fδβn Điều này được chứng minh dựa trên tính liên tục của toán tử Monge-Ampère phức dọc theo các dãy giảm các hàm đa điều hòa bị chặn Hơn nữa, do f δ hội tụ tăng đến hàm f, ta có thể khẳng định rằng (dd c ϕ) n ≥ e ϕ theo nghĩa đa thế vị.
Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp khác hơn Đặt ϕ là một hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn bất đẳng thức
(dd c ) n ≥e ϕ v, (1.4) theo nghĩa đa thế vị trên Ω Chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm ϕ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân (1.7) trên theo nghĩa nghiệm nhớt trên Ω.
Nếu ϕ là hàm liên tục, chúng ta có thể áp dụng Mệnh đề 1.3.6 để có kết quả ngay lập tức Tuy nhiên, chúng ta sẽ xem xét trường hợp ϕ không nhất thiết phải liên tục Gọi f là hàm xấp xỉ chính quy hóa bởi tích chập ϕδ := ϕ ? χδ trên miền Ωδ Theo Bổ đề 1.4.2, chúng ta có thể suy ra các bất đẳng thức theo điểm trong miền Ωδ.
Cho x 0 ∈ Ω, q là một dạng toàn phương đa thức sao cho ϕ(x 0 ) = q(x 0 ) và ϕ ≤ q trong một lân cận của điểm (x 0 ), gọi là hình cầu 2B, trong đó
B := B(x 0 , r) b Ω Vì ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên miền Ω nên theo Mệnh đề 1.3.6 hàm ϕ thỏa mãn (dd c ϕ) n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt trên
Theo Bổ đề 1.3.4, ta suy ra rằng dd c q(x₀) ≥ 0 Bằng cách thay thế hàm q bằng hàm q(x) + ε|x−x₀|² và chọn r > 0 đủ nhỏ, chúng ta có thể giả định rằng q là một hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu 2B Tiếp theo, nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh điều này.
(dd c q(x 0 )) n ≥e ϕ(x 0 ) f(x 0 )β n Thật vậy, với mỗi ε > 0 và đặt q ε (x) := q(x) + 2ε(|x−x0| 2 −r 2 ) +εr 2 Quan sát rằng vì ϕ ≤q trên hình cầu 2B, ta có
Khi δ tiến gần đến 0, hàm ϕ δ (x 0 )−q(x 0 ) sẽ đạt giá trị 0, cho thấy rằng với giá trị δ nhỏ, hàm ϕδ(x)−q ε (x) có giá trị cực đại trên hình cầu đóng B¯ tại các điểm bên trong xδ ∈ B Giá trị cực đại này thỏa mãn bất đẳng thức limδ→0max.
(ϕ δ −q ε ) = lim δ→0(ϕ δ (x δ )−q ε (x δ )) ≥ εr 2 (1.6) Tiếp theo, ta chứng minh rằng x δ →x 0 Thật vậy, ta có ϕ δ (x δ )−q ε (x δ ) = ϕ δ (x δ )−q(x δ )−2ε(|x δ −x 0 | 2 −r 2 )−εr 2
Nếu x₀ là điểm giới hạn của dãy (xδ) trong B̅, thì hàm maxB̅(ϕδ − qε) hội tụ đến hàm −2ε|x₀₀ − x₀|² + εr² Theo bất đẳng thức (1.9), giới hạn này lớn hơn hoặc bằng εr² Do đó, ta có −2ε|x₀₀ − x₀|² ≥ 0, dẫn đến x₀₀ = x₀ Điều này chứng minh được kết luận cần thiết.
Từ các tính chất trên, chúng ta có thể kết luận rằng dd c ϕ δ (x δ ) ≤dd c q ε (x δ ), do đó theo bất đẳng thức (1.8) với δ >0 đủ nhỏ ta có
Vì ϕ δ −q ε = (ϕ δ −q) + (q −q ε ) theo Bổ đề Dini ta có lim sup δ→0 maxB ¯
Do đó lim δ→0 (ϕ δ (x δ )−q ε (x δ )) ≥lim δ→0 min
Vì dãy {q ε } hội tụ trong C 2 - chuẩn đến hàm q nên suy ra
Bằng cách lập luận tương tự, khi ε → 0 suy ra bất đẳng thức như đã yêu cầu
(dd c q(x 0 )) n ≥e ϕ(x 0 ) f(x 0 )β n , vì q(x0) =ϕ(x0) Vậy Mệnh đề 1.4.3 hoàn toàn được chứng minh.
Nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của các phương trình
trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic
Cho X là một đa tạp phức liên thông n-chiều với ω là (1,1)-dạng vi phân thực đóng và v là một dạng thể tích không âm Với ε ∈ R + và ϕ là hàm ω-đa diều hòa xác định trên các tập con compact của X, chúng ta xem xét phương trình Monge - Ampère phức.
(DM A ε v ) (w +dd c ϕ) n = e εϕ v. Định nghĩa 1.5.1 Phương trình (DM A ε v ) được gọi làphương trình Monge
- Ampère phức suy biến kiểu elliptic
Trong luận văn, phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v ) được viết lại dưới dạng:
Tiếp theo, cho x ∈ X Nếu κ ∈ ∧ 1,1 TxX là một (1,1) - dạng vi phân trên
X định nghĩa κ + bằng κ n nếu κ ≥ 0 và 0 trong trường hợp còn lại Để nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình (DM A ε v ), chúng ta thực hiện biến đổi nhỏ của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic Cụ thể, chúng ta sẽ tập trung vào nghiên cứu phương trình này.
Ký hiệu P SH(X, w) là tập hợp tất cả các hàm w-đa điều hòa dưới trên
X (sau đây gọi tắt là w -đa điều hòa dưới) Khi đó, tồn tại các hàm nửa liên tục trên khả tích ϕ : X →R∪ {−∞} sao cho dd c ϕ ≥ −w, theo nghĩa dòng.
Cho ε > 0 và v > 0 Năm 1992, khi nghiên cứu về nghiệm nhớt của các phương trình đạo hàm riêng cấp 2, M Crandall, H Ishii và P.L Lions trong
[5] đã chứng minh được kết quả sau đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v ) +
Bổ đề 1.5.2 [5] Cho Ω ⊂ là một tập con mở và z : Ω →C n là một hệ tọa độ chỉnh hình Gọi h là một thế vị địa phương nhẵn của w xác định trên Ω.
Khi đó, phương trình DM A ε v được rút gọn trong tọa độ chỉnh hình thành phương trình vô hướng
(DM A ε v\z ) e εu W −det(uz z ¯) = 0, trong đó u = (ϕ+ h) | Ω ◦z −1 , z∗v = e εh| Ω ◦z −1 W dλ và λ là độ đo Lebesgue trên z(Ω).
Mặt khác, phương trình (DM A ε v ) + được rút gọn thành phương trình vô hướng
Theo Bổ đề 1.5.2 trong tài liệu [5], nghiệm dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic được định nghĩa Cụ thể, Định nghĩa 1.5.3 nêu rõ rằng ϕ (2) x là khai triển Taylor bậc hai tại điểm x ∈ X của một hàm giá trị thực ϕ khả vi lớp C 2.
Một nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v )+ là hàm nửa liên tục ϕ : X → R∪ {−∞}, với điều kiện ϕ không đồng nhất với −∞ Nếu x0 ∈ X và q ∈ C2 được xác định trong lân cận của x0, với ϕ(x0) = q(x0) và ϕ−q đạt cực đại địa phương tại x0, thì F+(qx(2)0) ≤ 0.
Trong định nghĩa trước, khi ε = 0 và v = 0, khái niệm nghiệm dưới không xác định vì mọi hàm nửa liên tục đều là nghiệm dưới nhớt của phương trình (dd c ϕ) n + = 0 Do đó, trong luận văn này, chỉ xét trường hợp v > 0 Tiếp theo, chúng ta có định nghĩa về nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v): Định nghĩa 1.5.4 Cho ϕ (2) x là khai triển Taylor bậc hai tại điểm x ∈ X của một hàm giá trị thực ϕ khả vi lớp C 2.
Một nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v) là hàm nửa liên tục trên ϕ: X → R∪ {−∞}, với điều kiện ϕ 6≡ −∞ và thỏa mãn các tính chất nhất định Cụ thể, nếu x0 ∈ X và q ∈ C2 được xác định trong lân cận của x0 sao cho ϕδ(x0) = q(x0) và ϕ−q đạt cực đại địa phương tại x0, thì F(qx(2)0) ≤ 0 Để so sánh các nghiệm dưới của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) và (DM A ε v)+, chúng ta có kết quả quan trọng: Mệnh đề 1.5.5 [6, Bổ đề 2.5] cho biết mọi nghiệm dưới ϕ của phương trình Monge.
- Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v )đều là nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v ) + , nó là các hàm w-đa điều hòa dưới.
Một hàm nửa liên tục trên, bị chặn địa phương, là w-đa điều hòa dưới và thỏa mãn điều kiện (w + dd c ϕ) n BT ≥ e εϕ v nếu và chỉ nếu nó là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v).
Nếu v > 0 thi các nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v ) + là các nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v ).
Chứng minh rằng chọn một thế vị địa phương ρ sao cho dd c ρ = w và đặt ϕ 0 = ϕ+ρ, v 0 = e ερ v, dẫn đến các khẳng định trong mệnh đề là hệ quả trực tiếp từ các định nghĩa và định lý liên quan Định nghĩa 1.5.6 mô tả nghiệm trên của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) là một hàm liên tục ϕ: X → R ∪ {+∞} với ϕ 6≡ +∞, thỏa mãn điều kiện nếu x 0 ∈ X và q ∈ C 2 là hàm định nghĩa trong lân cận của x 0, thì F + (qx (2) 0 ) ≥ 0 khi ϕ(x 0 ) = q(x 0) và ϕ−q có cực tiểu địa phương tại x 0 Định nghĩa 1.5.7 xác định một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) nếu nó vừa là nghiệm trên vừa là nghiệm dưới.
Một nghiệm đa thế vị của phương trình (DM A ε v ) là một hàm nửa liên tục trên ϕ∈ L ∞ ∩ P SH(X, ω) sao cho
Theo định nghĩa 1.5.7, các nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đều liên tục Nghiệm trên và nghiệm dưới cổ điển của phương trình (DM A ε v) tương ứng với các nghiệm nhớt trên và nghiệm nhớt dưới khả vi lớp C².
Nguyên lý so sánh địa phương đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) được định nghĩa khi các điều kiện sau được thỏa mãn: Ω ⊂ X là tập con mở với Ω¯ là song chỉnh hình với một miền giả lồi mạnh, nhẵn và bị chặn trong C n Nghiệm u (hoặc u) là nghiệm dưới (hoặc trên) bị chặn của phương trình (DM A ε v) trong Ω, với điều kiện lim sup z→∂Ω.
Nguyên lý so sánh toàn cục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) được định nghĩa khi X là không gian compact và thỏa mãn các điều kiện nhất định Cụ thể, nếu u là nghiệm dưới bị chặn và u là nghiệm trên bị chặn của phương trình (DM A ε v) trong X, thì ta có mối quan hệ u ≤ u.
Nguyên lý so sánh (toàn cục) đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) + tương tự như trong Định nghĩa 1.5.9 Do phương trình (DM A ε v) + có vô số nghiệm dưới, nguyên lý so sánh cho phép suy ra nguyên lý tương tự đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) Tuy nhiên, vì mọi hàm nửa liên tục đều là nghiệm dưới, nguyên lý so sánh địa phương không áp dụng cho các phương trình (DM A ε v) + Định nghĩa 1.5.11 nêu rõ rằng một hàm thực u định nghĩa trong tập mở Ω ⊂ C n là khả vi hai tại điểm z 0 ∈ Ω hầu khắp nơi nếu và chỉ nếu với mọi điểm z 0 ∈ Ω bên ngoài một tập Borel có độ đo Lebesgue bằng 0.
Ω, tồn tại một dạng toàn phương Q z 0 u trên R 2n mà có dạng cực song tuyến đối xứng, ký hiệu là D 2 u(z0), thỏa mãn với mọi ξ ∈ R 2n với |ξ| 0 và v > 0.
Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử ε = 1 Gọi u là một nghiệm dưới bị chặn và u là một nghiệm trên bị chặn của phương trình Monge
Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) được nghiên cứu trong một tập mở Ω, có tính chất giả lồi mạnh, trơn và bị chặn, với điều kiện u ≤ u trên biên ∂Ω Để đơn giản hóa, ta thay thế u, u bằng u−δ và u+δ, cho phép giả định rằng u ≤ u trong một lân cận nhỏ của biên ∂Ω.
Trong chứng minh của Mệnh đề 1.4.3, chúng ta áp dụng các tích chập cận trên và dưới của hàm u Do các hàm u và u bị chặn và chỉ khác nhau bởi một hằng số nhỏ, nên với α > 0 đủ nhỏ và x ∈ Ωα, ta có thể giả định rằng u α (x) := sup y∈Ω u(y)− 1.
Do đó, với α > 0 đủ nhỏ, ta có u α (x) ≤ u α (x) trong lân cận của biên
Ω α Đặt M α := sup Ω α[u α −u α ] Suy ra lim inf α→0 + M α ≥sup
Bằng chứng minh phản chứng, giả sử rằng sup Ω [uưu] > 0 khi đó, với α > 0 đủ nhỏ, cận trên đúng M α là dương và do đó nó đạt được tại một điểm x α ∈ Ω α
Phương pháp của Preron về tính liên tục nghiệm nhớt dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29
của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu el- liptic
Bài viết này trình bày việc kết hợp phương pháp nghiệm nhớt với các kỹ thuật lý thuyết đa thế vị nhằm tìm nghiệm cho phương trình Monge-Ampère phức suy biến Phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các vấn đề phức tạp mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học.
Phương trình Monge-Ampère phức suy biến được nghiên cứu qua việc áp dụng nguyên lý so sánh toàn cục của nghiệm nhớt và các kỹ thuật đa thế vị của Kolodziej Bằng cách sử dụng cách xây dựng cận trên đúng của các nghiệm dưới nhớt và nghiệm theo nghĩa đa thế vị, chúng ta có thể tiếp cận việc tìm nghiệm cho phương trình này một cách độc lập, thay thế cho phương pháp giải của S.T Yau về giả thuyết Calabi liên quan đến tính liên tục của nghiệm nhớt.
Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A v ) sau đây
Trong trường hợp ε = 1, khi áp dụng nguyên lý so sánh nhớt toàn cục cho phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A 1 v), chúng ta chứng minh tính liên tục của nghiệm nhớt (hoặc nghiệm thế vị) của phương trình này bằng phương pháp Perron Định lý 2.1.1 (Phương pháp của Perron) chỉ ra rằng nếu phương trình (DM A 1 v) có một nghiệm dưới bị chặn u và một nghiệm nhớt trên bị chặn u, thì hàm ϕ = sup w | u ≤ w ≤ u, với w là nghiệm nhớt của (DM A 1 v), là nghiệm nhớt duy nhất của phương trình Monge - Ampère phức (DM A 1 v) Đặc biệt, hàm ϕ là một hàm w-đa điều hòa dưới, liên tục, và cũng là một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A 1 v) theo nghĩa đa thế vị.
Theo [5, Bổ đề 4.2], cận trên ϕ của các nghiệm nhớt của phương trình (DM A 1 v) cũng là nghiệm dưới nhớt của (DM A 1 v) vì ϕ là hàm nửa liên tục dưới Do đó, hàm ϕ được xác định là nghiệm dưới nhớt của phương trình (DM A 1 v) +.
Ký hiệu ϕ ∗ đại diện cho bao của các hàm nửa liên tục dưới ϕ Chúng ta sẽ chứng minh rằng ϕ ∗ là một nghiệm nhớt trên phương trình (DM A 1 v ) bằng phương pháp phản chứng Giả sử ngược lại, ϕ ∗ không phải là nghiệm nhớt trên phương trình (DM A 1 v ) Chọn x 0 ∈ X và hàm khả vi lớp C 2 sao cho ϕ ∗ −q đạt giá cực tiểu địa phương bằng 0 tại x 0 và F + (qx (2)) < 0.
Chúng ta có thể xây dựng một nghiệm nhớt dưới \( U \) sao cho \( U(x_1) > \phi(x_1) \) với \( x_1 \in X \) Sự mâu thuẫn này dẫn đến việc hàm \( \phi^* \) là một nghiệm nhớt trên và theo nguyên lý so sánh nhớt, ta có \( \phi^* \geq \phi \) Vì \( \phi = \phi^* \geq \phi^* \) nên \( \phi = \phi^* = \phi^* \) là một nghiệm nhớt liên tục Điều này chứng minh được yêu cầu của bài toán.
Xây dựng nghiệm dưới nhớt U được thực hiện bằng cách đặt (z1, , zn) là một hệ tọa độ với tâm tại x0, được xác định bởi một đồng phôi địa phương trên hình cầu đơn vị phức Giả sử v > 0 trên hình cầu phức này, với các tham số γ, δ, r > 0 đủ nhỏ, ta có qγ,δ = q + δ - γkzk^2, thỏa mãn điều kiện F + (qγ,δ(2)) < 0 khi kz(x)k ≤ r.
Chọn δ = (γr 2 )/8, r > 0 đủ nhỏ Vì ϕ ∗ (x) −q(x) ≥ 0 với kz(x)k ≤ r nên ta có ϕ(x) ≥ ϕ ∗ (x) > qγδ(x) nếu r/2 ≤ kz(x)k ≤ r Khi đó, ta định nghĩa hàm U xác định bởi:
Hàm U(x) được định nghĩa là U(x) = max(ϕ(x), q δ,γ (x)) khi kz(x)k ≤ r, và U(x) = ϕ(x) trong các trường hợp còn lại Điều này dẫn đến việc hàm U là một nghiệm dưới nhớt của phương trình (DM A 1 v) + và cũng là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A 1 v) với giả định rằng v > 0 trên phần liên quan của X Nếu chọn một dãy (x n) hội tụ đến x 0 sao cho ϕ(x n) → ϕ ∗ (x 0), thì ta có q γ,δ(x n) → ϕ ∗ (x 0) + δ.
Vì vậy, với n 0 ta có U(x n ) =q γ,δ (x n ) > ϕ(x n ).
Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm ϕ là một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A 1 v ) theo nghĩa đa thế vị, dựa trên các lập luận đã được trình bày trước đó trong lý thuyết đa thế vị.
Theo Mệnh đề 1.4.3, vì ϕ là một nghiệm nhớt, ta có (ω + dd c ϕ) n BT ≥ e εϕ v Bằng phương pháp phản chứng, chọn B ⊂ một hình cầu sao cho (ωdd c ϕ n BT 6= e εϕ v) Nghiệm của bài toán Dirichlet là một hàm đa điều hòa liên tục ψ trên B, với điều kiện (ω + dd c ψ) n BT 6= e εψ v và ψ khác ϕ trên B.
Theo nguyên lý so sánh của Bedford Taylor, ta suy ra rằng ψ ≥ ϕ, dẫn đến việc hàm ϕ là nghiệm dưới nhớt Với t > 0 đủ nhỏ, ta có ϕ 0 = max(ϕ, ψ−t), tạo ra một nghiệm dưới nhớt khác với ϕ 0 > f trên một tập con mở Điều này mâu thuẫn với định nghĩa bao của hàm ϕ, do đó, Định lý 2.1.1 được chứng minh.
Trong trường hợp ε = 0, khi (ω + dd c ϕ) n = v trên đa tạp Kähler compact, các nghiệm dưới và nghiệm trên của phương trình không tồn tại, do đó không thể áp dụng phương pháp chứng minh của Perron để xây dựng tính liên tục của nghiệm phương trình Monge - Ampère phức Định lý 2.1.3 chỉ ra rằng, cho X là một đa tạp phức compact thuộc lớp Fujiki, và v là một độ xác suất nửa xác định dương với Lp-trù mật (với p > 1), cùng với ω ≥ 0 là một (1,1)-dạng thực, nhẵn và nửa xác định dương.
X ω n = 1 Khi đó, hàm ω- đa điều hòa dưới duy nhất bị chặn địa phương trên X được chuẩn hóa bởi R
X ϕ = 0 sao cho độ đo Monge - Ampère của nó thỏa mãn phương trình (ω +dd c ϕ) n BT = v là một hàm liên tục.
Sự tổn tại nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp Kahler compact 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo
phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp Kahler compact
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá tính liên tục của nghiệm nhớt dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic trên các đa tạp Kahler compact.
Giả sử X là một đa tạp Kahler compact và v là một dạng thể tích nửa xác định dương, liên tục Cổ định β là một dạng Kahler trên X Chúng ta xem xét điều kiện (∗) trên X để phân tích các đặc tính hình học và cấu trúc của đa tạp này.
Trong [4] và [6] đã chứng minh được khi X là một đa tạp Kahler compact, ω là một(1,1)-dạng nửa xác định dương với R
Khi X ω n > 0, cặp (X, ω) thỏa mãn điều kiện (∗), cho phép áp dụng nguyên lý toàn cục để xây dựng nghiệm dưới nhớt cho phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic Theo Định lý 2.1.1, chúng ta có thể chứng minh tính liên tục của nghiệm một cách trực tiếp mà không cần dựa vào các kết quả trong định lý Aubin-Yau về tính liên tục Định lý 2.2.1 khẳng định rằng nếu X là một đa tạp Kahler compact và ω là một (1,1)- dạng nửa xác định dương, thì các điều kiện này sẽ được thỏa mãn.
Nếu X ω n > 0 và v là một độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục trên X, thì điều kiện (∗) sẽ được thỏa mãn Trong trường hợp này, tồn tại một hàm ω-đa điều hòa duy nhất dưới ϕ, là nghiệm nhớt (tương đương nghiệm đa thế vị) của phương trình Monge - Ampère phức suy biến.
Nếu ω là dạng Kahler trên X, thì điều kiện (∗) được thỏa mãn, và nếu v là một đo dương, theo [6, Mệnh đề 4.3], ta có thể suy ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A 1 v).
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ xây dựng nghiệm nhớt cho phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A 1 v) bằng phương pháp xấp xỉ Đầu tiên, chúng tôi giả sử v là một độ đo dương trên không gian X, trong khi lớp {ω} là nửa xác định dương và thỏa mãn điều kiện R.
0 < ε ≤1, tồn tại duy nhất hàm ω +εβ - đa điều hòa dưới uε thỏa mãn
Vì dãy (u ε ) là dãy compact tương đối theo L 1 (X) nên sup X u ε là bị chặn khi ε &0 + Mặt khác, ta có e sup X u ε ≥
Xωn do đó sup Xuε bị chặn dưới Đặt wε := uε − sup Xuε Vì wε là một dãy hàm compact tương đối của các hàm (ω + β)-đa điều hòa dưới, nên tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi 0 < ε ≤ 1, ta có R.
X w ω dv ≥ −C theo [9] Từ tính lõm logarithm suy ra log
Do đó, dãy hàm sup X u ε là bị chặn.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng dãy (uε) giảm khi ε hội tụ giảm đến
0 + Thật vậy, giả sử 0 < ε 0 ≤ε và cố định δ > 0 Khi đó, các hàm uε 0 , uε là đa điều hòa dưới Theo nguyên lý so sánh ta có
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức (ω+εβ +dd c uε 0 ) n ≥ (ω +ε 0 β +dd c uε 0 ) n ≥e δ (ω +εβ +dd c uε) n trên tập hợp (u ε 0 ) ≥ u ε + δ có độ đo Lebesgue bằng 0 Với δ > 0 là tùy ý, ta suy ra rằng uε 0 ≤ uε Đặt u = lim ε→0 uε là giới hạn giảm của các hàm uε, thì u được xác định là một hàm ω-đa điều hòa dưới Theo các kết quả trong tài liệu [6, Mệnh đề 1.2, Định lý 2.1 và Mệnh đề 3.1], ta có thể kết luận rằng u là bị chặn và là nghiệm (đa thế vị) của phương trình Monge-Ampère phức.
Điều kiện (∗) được thỏa mãn, dẫn đến hàm u là liên tục và là một nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampère phức, cụ thể là (ω + dd^c u)ⁿ = e^u v, theo Hệ quả 3.2.
Ta còn phải chỉ ra tính xác định dương của v Vì {ω} là nửa xác định dương và thỏa mãn R
X ω n > 0 và v là độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục nên phương trình Monge-Ampère phức có thể giải được
(ω +dd c ϕε) n = e ϕ ε [v +εβ n ], trong đó ϕε là các hàm ω - đa điều hòa dưới, liên tục và 0< ε ≤1 Vì e sup X ϕ ε ≥
1 +R X β n nên ta có sup X ϕε bị chặn dưới.
Từ tính chất lõm logarit, M ε := sup X ϕ ε bị chặn trên Đặt ψ ε := ϕ ε − M ε, ta có (ψ ε) là một dãy compact tương đối các hàm ω - đa điều hòa dưới Do đó, tồn tại hằng số C > 0 sao cho R.
Do đó, dãy (M ε ) là bị chặn đều.
Cuối cùng, ta chứng minh rằng dãy (ϕ ε ) là compact tương đối trong
L 1 (X) Thật vậy, theo [6, Mệnh đề 2.6 và Mệnh đề 3.1] suy ra hàm ϕ ε bị chặn đều khi ε hội tụ giảm xuống tới 0.
Từ [6, Bổ đề 2.3] cùng với tính bị chặn đều của dãy (ϕ ε ) suy ra với bất kỳ 0< δ