Phần mở đầu
Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán hình học không gian, đặc biệt là liên quan đến hình tứ diện, thường xuất hiện trong các đề thi HSG tỉnh và đề thi THPT Quốc gia bộ môn Toán Những bài toán này không chỉ kiểm tra khả năng tư duy logic mà còn giúp học sinh nắm vững kiến thức hình học không gian.
1.4 Giới hạn, phạm vi nghiên cứu Đề tài đề này tôi chỉ đề cập đến các dạng toán nâng cao liên quan đến hình tứ diện Ngoài phần mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, đề tài gồm 5 mục chính, ở mỗi mục tác giả trình bày các bài toán theo bố cục như nêu đề bài, phân tích tìm mối liên hệ giữa bài toán cần giải với bài toán khác để tìm lời giải, các lời giải được trình bày theo hướng suy luận tự nhiên nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh không áp đặt máy móc, mục cuối là các bài tập luyện tập nhằm giúp học sinh cũng cố phát triển năng lực tự học
1.5 Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau: Phương pháp quan sát; phương pháp tổng kết kinh nghiệm; phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết.
Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục tiêu và nhiệm vụ của đề tài, tôi đã áp dụng các phương pháp nghiên cứu bao gồm quan sát, tổng kết kinh nghiệm và phân tích tổng hợp lý thuyết.
Phần nội dung
Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Học sinh hay gặp khó khăn và ngại khó khi học toán hình học không gian
Học sinh hiện nay thường chỉ tiếp thu kiến thức từ sách giáo khoa mà chưa áp dụng vào thực tiễn, dẫn đến việc chưa khai thác sâu sắc nội dung học tập Họ thường giải bài tập theo hình thức trắc nghiệm đơn giản mà không thực sự hiểu bản chất vấn đề.
Nội dung và hình thức của giải pháp
2.3.1 Các khái niêm liên quan đến hình tứ diện
Trong phần này, tôi sẽ tóm tắt các khái niệm liên quan đến hình tứ diện và các yếu tố cơ bản của nó, tạo nền tảng cho việc trình bày lời giải ở các phần tiếp theo Hình tứ diện là một loại đa diện có bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác.
+Hình chóp có đáy là một tam giác gọi là hình tứ diện , hình tứ diện cùng với miền trong của nó gọi là khối tứ diện
Hình tứ diện là một khối đa diện có bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác Trong hình tứ diện, có bốn đỉnh và sáu cạnh, trong đó hai cặp cạnh được gọi là đối diện khi chúng không chia sẻ điểm chung.
+ Hình tứ diện có các cạnh bằng nhau gọi là tứ diện đều
Hình tứ diện OABC, với các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau, được gọi là tứ diện vuông đỉnh O Trong khi đó, tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc, được xác định là tứ diện trực tâm.
+ Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau gọi là tứ diện gần đều b) Trọng tâm tứ diện
+Điểm G gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD nếu GA GB GC GD 0
+Trọng tứ diện, các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối đồng quy tại trung điểm mỗi cạnh và là trọng tâm của tứ diện
Trong tứ diện, các đường thẳng nối từ đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện đồng quy tại trọng tâm tứ diện và chia đoạn đó theo tỉ số 1
3 (GA=3GG’, A là đỉnh và G’ là trọng tâm tam giác đáy của tứ diện) c) Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tứ diện
+ Mặt cầu gọi là ngoại tiếp tứ diện nếu nó đi qua các đỉnh của tứ diện
+ Mặt cầu gọi là nội tiếp tứ diện nếu nó tiếp xúc tất cả các mặt của tứ diện và tâm của mặt cầu nằm trong hình tứ diện
+ Mặt cầu gọi là bàng tiếp tứ diện nếu nó tiếp xúc tất cả các mặt của tứ diện và tâm của nó nằm ngoài hình tứ diện
+ Mặt cầu gọi là nội tiếp khung của tứ diện nếu nó tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện
Mặt cầu được gọi là bàng tiếp khung của tứ diện khi nó tiếp xúc với 6 đường thẳng chứa 6 cạnh của tứ diện, đồng thời có ít nhất một điểm tiếp xúc không nằm trên các cạnh của tứ diện.
Trong tứ diện, trục d của đường tròn đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đáy Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện được xác định là giao điểm của hai trục tùy ý hoặc giao điểm giữa một trục và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên Nếu cạnh bên OA và trục d đồng phẳng, ta có thể dựng đường trung trực của cạnh bên OA trong mặt phẳng (d, OA).
Tứ diện đều, có tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp và giao điểm các đường cao là trọng tâm của tứ diện d) Tứ diện nội tiếp hình hộp
Khi chọn 4 đỉnh trong 8 đỉnh của hình hộp, nếu đảm bảo rằng không có hai đỉnh nào cùng thuộc một cạnh, thì 4 đỉnh này sẽ tạo thành một tứ diện, được gọi là tứ diện nội tiếp hình hộp Ví dụ, tứ diện BDA C là một tứ diện nội tiếp của hình hộp ABCD A B C D .
+Mỗi một tứ diện tùy ý luôn có duy nhất một hình hộp ngoại tiếp tứ diện
+ Hình hộp ngoại tiếp hình tứ diện gần đều là hình hộp chữ nhật
+Thể tích khối hộp gấp 3 lần thể tích tứ diện nội tiếp nó
2.3.2 Bài toán liên quan đến hình tứ diện vuông
Phần này tập trung vào các bài toán định lượng liên quan đến định lý Pythagore, bất đẳng thức hình học về cạnh và góc giữa cạnh bên và mặt đáy, cũng như diện tích các mặt của hình tứ diện Nội dung bài viết bao gồm những vấn đề thường gặp trong kỳ thi HSG tỉnh lớp 12, với phần lớn lời giải được trình bày theo hướng phát triển từ đề bài.
Bài tập 2.1 Cho tứ diện vuông O.ABC đỉnh O, có OA a OB b OC , , c đường cao OH, Gọi S S ABC ,S 1 S OAB ,S 2 S OBC ,S 3 S OCA Chứng minh: a) 1 2 1 2 1 2 1 2
Phân tích và lời giải a) Chứng minh 1 2 1 2 1 2 1 2
Đẳng thức OH = OA + OB + OC là một công thức quen thuộc trong SGK lớp 11, có vai trò quan trọng trong việc phân tích các yếu tố định lượng của tứ diện vuông Việc chứng minh đẳng thức này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức mà còn phát triển tư duy logic khi giải quyết bài toán Hình chiếu H được đưa ra trong bài toán càng làm nổi bật tính chất của các đoạn thẳng trong không gian.
Khi nghiên cứu mặt phẳng (ABC), yếu tố vị trí của điểm H thường bị ẩn đi, gây khó khăn cho học sinh trong việc giải quyết bài toán Do đó, việc xác định vị trí hình chiếu H là rất quan trọng, giúp học sinh dễ dàng định vị H thông qua mặt phẳng (OAH) vuông góc với BC Từ đó, có thể suy ra H là trực tâm của tam giác ABC Gọi K là chân đường cao từ A của tam giác ABC, khi đó OK sẽ là chân đường cao của tam giác OBC từ O Bằng cách áp dụng hệ quả của định lý Pythagore, ta có thể tìm ra các mối quan hệ cần thiết trong bài toán.
OK OB OC , tiếp tục áp dụng hệ thức trên cho tam giác vuông AOK ta được
Chứng minh rằng diện tích S của tam giác ABC bằng tổng diện tích của ba tam giác OAB, OBC và OCA, tức là S^2 = S1^2 + S2^2 + S3^2 Đẳng thức này, mặc dù gợi ý cho học sinh về việc áp dụng định lý Pythagore, có thể khiến các em cảm thấy lúng túng khi lần đầu tiếp cận.
Có nhiều hướng chứng minh (2.1.2) nhưng ở đây tôi trình bày theo hướng thác triển của của bài toán (2.1.1) một cách tự nhiên
S OBC OA OB do đó, quy đồng vế phải của
OA OB OB OC OA OC
OH vấn đề còn lại của bài toán chính là chứng minh
Rất dễ nhận thấy rằng
OA OB OC AH AK OK BC AK OK BC AK HK AK BC
OH HA HK HK HK
Từ đó ta có điều cần chứng minh:
Nhận xét: Một hướng khác để giải bài toán là áp dụng công thức hình chiếu cos ,(2.2).
Tam giác ΔHBC là hình chiếu vuông góc của tam giác ΔOBC lên mặt phẳng (ABC), do đó diện tích S ΔOBC bằng S ΔOHC nhân với cos OKH Qua các phép biến đổi đơn giản, học sinh có thể chứng minh điều này Bên cạnh đó, học sinh cũng có thể khai thác thêm nhiều khía cạnh khác liên quan đến vấn đề này.
2 ABC ABC ( HBC HBA HCA )
S S S S S cũng được kết quả tương tự
Bài tập 2.2 Cho tứ diện vuông O.ABC đỉnh O, có OA a OB b OC , , c Gọi
S S S S S S S S và r là bán kính đường tròn nội tiếp của hình tứ diện Chứng minh rằng S 1 S 2 S 3 S r a b c
Trong tứ diện vuông, luôn có mặt cầu nội tiếp, và bài viết này sẽ không chứng minh sự tồn tại của mặt cầu ngoại tiếp mà sẽ tập trung vào việc khai thác đẳng thức (2.1.2) thông qua bán kính của mặt cầu Nếu gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện, học sinh sẽ nhận ra rằng bán kính r chính là chiều cao của khối chóp I.ABC, từ đó chúng ta có được đẳng thức quan trọng.
OABC IABC IOBC IOAB IOAC
Có nhiều cách để khai thác vấn đề này, một trong số đó là áp dụng công thức thể tích của tứ diện vuông.
Vậy ta có được điều cần chứng minh S 1 S 2 S 3 S. r a b c
Bài tập 2.3 Cho tứ diện vuông O.ABC đỉnh O, có OA a OB b OC , , c đường cao OH, Gọi S S ABC ,S 1 S OAB ,S 2 S OBC ,S 3 S OCA Chứng minh: a) 1 , (2.1.4)
Chỉ cần một sự thay đổi nhỏ trong diện mạo có thể tăng cường sự tự tin và gây ấn tượng với người khác Việc thay đổi hình thức có thể dẫn đến những thay đổi lớn trong cách tiếp cận và giải quyết vấn đề Do đó, khi đối diện với một vấn đề, việc xem xét những yếu tố hình thức là rất quan trọng để tìm ra hướng giải quyết hiệu quả.
Để giải quyết bài toán, điều quan trọng đầu tiên là giữ bình tĩnh và phân tích đề bài một cách kỹ lưỡng Bài toán này thực chất là sự kết hợp giữa đẳng thức (2.1.2) và bất đẳng thức AM-GM Nếu không nhận ra được điều này, học sinh dễ dàng bị lạc lối trong việc thiết lập diện tích.
S theo công thức Hê-rông và bài toán sẽ mất kiểm soát Thật vậy:
Khai thác từ đẳng thức (2.1.2), ta có: 1 2 2 2 2 2 2
S 2 a b c b a c , từ đó dễ dàng nhận thấy
S 2 abc a b c ,đẳng thức xảy ra khi a b c
Phần kết luận
Kết luận
Trong bài viết này tôi đã trình bày những vấn đề sau:
Khai thác các yếu tố hình học đặc trưng của hình tứ diện đặc biệt như tứ diện trực tâm, tứ diện gần đều, tứ diện vuông
Việc áp dụng tính chất của hình hộp ngoại tiếp tứ diện là một kỹ thuật hữu ích giúp học sinh giải quyết các bài toán trắc nghiệm trong kỳ thi THPT Quốc gia.
Thác triển xây dựng các bài toán từ bài toán gốc, giúp học sinh làm quen với tư duy giải toán hình học Tác giả phân tích kỹ lưỡng các yêu cầu của từng bài toán, từ đó tạo ra sự hiểu biết sâu sắc hơn cho người học.
Kiến nghị
Để đảm bảo các sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng hiệu quả, tôi đề xuất sở giáo dục tổ chức hội thảo nhằm báo cáo và thảo luận về các đề tài Đồng thời, cần phổ biến các đề tài này trên các website của ngành để học sinh và giáo viên dễ dàng tham khảo và trao đổi.