Kiến thức chuẩn bị
Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm và kết quả liên quan đến không gian mêtric, không gian b-mêtric, không gian kiểu b-mêtric, cũng như các khái niệm giới hạn trên và giới hạn dưới Những kết quả này sẽ được áp dụng trong luận văn của chúng tôi Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét định nghĩa sau.
1.1.1 Định nghĩa ([1]) ChoX là một tập hợp khác rỗng, ánh xạd : X ×X −→ R. Hàm d được gọi là một mêtric trên X nếu với bất kỳ x, y, z ∈ X các điều kiện sau được thỏa mãn
3) d(x, z) ≤d(x, y) +d(y, z) ( Bất đẳng thức tam giác).
Tập X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và kí hiệu là (X, d) hoặc là X.
1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho {b n } là dãy số thực bị chặn, khi đó tồn tại infn sup{b n+k : k = 0,1,2,3 .} ∈ R và sup n inf{b n+k : k = 0,1,2,3 .} ∈ R.
Giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy {b_n} khi n tiến tới vô cùng được định nghĩa lần lượt là sup_{n+k} và inf_{n+k}, với k = 0, 1, 2, 3, Chúng được ký hiệu là lim sup_{n→∞} b_n và lim inf_{n→∞} b_n Nếu dãy {b_n} không bị chặn trên, thì lim sup_{n→∞} b_n sẽ bằng +∞; ngược lại, nếu không bị chặn dưới, thì lim inf_{n→∞} b_n sẽ bằng -∞.
Chú ý Trong luận văn này dùng kí hiệu ∞ thay cho +∞.
1.1.3 Bổ đề ([1]) Với mọi dãy số thực {b n }, ta có:
2) Tồn tại lim n→∞b n = b ∈ R khi và chỉ khi tồn tạilim inf n→∞ b n = b và lim sup n→∞ b n b.
1.1.4 Bổ đề ([1]) Cho {a n },{b n } là các dãy số bị chặn Khi đó, ta có:
2) lim inf n→∞ (a n +b n ) ≥ lim inf n→∞ a n + lim inf n→∞ b n
1.1.5 Bổ đề Giả sử f : R −→ R là hàm đơn điệu tăng và liên tục, {b n } là dãy bị chặn trong R, khi đó:
Để chứng minh, ta đặt \( u_n = \sup\{b_{n+k} : k = 0, 1, 2, 3, \ldots\} \) Khi đó, ta có \( \limsup_{n \to \infty} b_n = \inf_n u_n = \lim_{n \to \infty} u_n := \alpha \) và \( b_n \leq u_n \) với mọi \( n = 1, 2, 3, \ldots \) Vì hàm \( f \) là đơn điệu tăng, nên \( f(b_n) \leq f(u_n) \) với mọi \( n = 1, 2, 3, \ldots \) Từ đó, ta suy ra rằng \( \limsup_{n \to \infty} f(b_n) \leq \limsup_{n \to \infty} f(u_n) \).
Mặt khác, vì f liên tục và lim n→∞u n = α nên f lim sup n→∞ b n
Kết hợp với (1.1), suy ra lim sup n→∞ f(b n ) ≤ f lim sup n→∞ b n
.Khẳng định 2) được chứng minh tương tự.
Không gian kiểu b -mêtric
Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian b-mêtric và kiểu b-mêtric.
1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho X là một tập hợp khác rỗng và số thực s ≥ 1. Hàm d: X × X −→ R được gọi là b-mêtric trên X nếu với bất kỳ x, y, z ∈ X các điều kiện sau được thỏa mãn
3) d(x, z) ≤s[d(x, y) +d(y, z)] ( Bất đẳng thức tam giác).
Tập X cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric với tham số s, nói gọn là không gian b-mêtric và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc X.
Chú ý Qua định nghĩa không gian mêtric và không gian b-mêtric ta nhận thấy rằng, không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric khi lấy s = 1.
Lớp các không gian b-mêtric thực sự rộng hơn lớp các không gian mêtric Ví dụ sau đây chứng minh điều đó.
1.2.2 Ví dụ ([6]) 1) Giả sử (X, ρ) là không gian mêtric Ta xác định hàm d : X ×X −→[0,∞) bởi d(x, y) = (ρ(x, y)) 2 , ∀x, y ∈ X.
Khi đó, d là b-mêtric với s = 2.
2) Giả sử X = R và trên R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm d : R×R −→ [0, ∞) bởi d(x, y) =|x−y| 2 , ∀x, y ∈ R. Khi đó, d là b-mêtric với s= 2 (theo 1) nhưng d không là mêtric trên R vì d(3,−7) = 100 > 68 = 4 + 64 = d(3,1) +d(1,−7).
3) Cho X = {0,1,2} và hàm d : X ×X −→ [0,∞) được xác định như sau: d(2,2) = d(1,1) = d(0,0) = 0; d(1,2) = d(2,1) = d(0,1) = d(1,0) = 1; d(0,2) = d(2,0) = m ≥ 2.
2 [d(x, y) +d(y, z)] với mọi x, y, z ∈ X Do đó,(X, d) là không gian b-mêtric với tham số s = m
2 ≥1. Tuy nhiên, khi m >2 thì bất đẳng thức tam giác thông thường không còn đúng nên (X, d) không phải là không gian mêtric.
Hàm d : X × X −→ R được gọi là kiểu b-mêtric trên tập X khác rỗng nếu tồn tại tham số s ≥ 1, sao cho với mọi x, y, z thuộc X, các điều kiện nhất định phải được thỏa mãn.
(iii) d(x, z) ≤s.[d(x, y) +d(y, z)] (Bất đẳng thức tam giác).
Khi đó, cặp (X, d) được gọi là không gian kiểu b-mêtric với tham số s Nếu (X, d) là không gian kiểu b-mêtric với s = 1 thì nó được gọi là không gian kiểu mêtric.
1.2.4 Ví dụ ([3]) 1) Giả sử X = [0,∞) Hàm d : X 2 −→ [0,∞) xác định bởi d(x, y) = (x+y) 2 ∀x, y ∈ X.
Khi đó (X, d) là một không gian kiểu b-mêtric với tham số s = 2 Mặt khác (X, d) không phải là không gian b-mêtric hay kiểu mêtric Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có d(x, y) = (x+y) 2 ≤(x+z +z +y) 2
Bởi vậy, iii) đúng và rõ ràng i) và ii) đúng Do đó (X, d) là không gian kiểu b-mêtric với s = 2.
Từ d(1,1) = 4 suy ra (X, d) không là không gian b-mêtric.
Từ d(1,2) = 9≥ 5 = d(1,0) +d(0,2) suy ra (X, d) không là không gian kiểu mêtric.
2) Giả sử X = [0,∞), q > 1 là một hằng số Hàm d : X 2 −→ [0,∞) xác định bởi d(x, y) = (x+y) q ∀x, y ∈ X.
Khi đó (X, d) là một không gian kiểu b-mêtric với tham số s = 2 q−1
1.2.5 Định nghĩa ([3]) Giả sử {y n }là một dãy trong không gian kiểu b-mêtric (X, d) Điểm y ∈ X được gọi là giới hạn của dãy {y n } nếu n→∞lim d(y, y n ) = d(y, y).
Khi đó, ta nói rằng {y n } hội tụ về y và kí hiệu là y n → y khi n → ∞ hoặc n→∞lim y n = y.
1.2.6 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X, d) là một không gian kiểu b-mêtric
1) Dãy {b n } được gọi là dãy Cauchy nếu lim m,n→∞d(b n , b m ) tồn tại và hữu hạn.
2) Không gian kiểu b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {b n } trong X đều hội tụ về b thuộc X sao cho m,n→∞lim d(b n , b m ) =d(b, b) = lim n→∞d(b n , b).
1.2.7 Bổ đề ([3]) Giả sử (X, d) là một không gian kiểu b-mêtric với tham số s ≥ 1 và {a n } là một dãy trong X sao cho lim n→∞d(a n , a) = 0 Khi đó
Bổ đề 1.2.8 khẳng định rằng trong không gian kiểu b-mêtric (X, d) với tham số s ≥ 1, nếu {y n} là một dãy Cauchy thỏa mãn lim m,n→∞d(y n , y m ) = 0, và tồn tại dãy con {y n k} của {y n} sao cho n klim→∞d(y n k , y) = d(y, y), thì dãy {y n} hội tụ về y.
Chứng minh Vì {y n } là dãy Cauchy trong X sao cho lim m,n→∞d(y n , y m ) = 0 nên với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho với mọi n và m ≥n 0 ta có d(y n , y m ) < ε
Từ lim n k →∞d(y n k , y) = d(y, y) suy ra tồn tại n k 0 ≥n 0 sao cho d(y n k
Từ (1.2) và (1.3) suy ra mọi n≥ n 0 ta có d(y n , y) ≤ s(d(y n , y n k
1.2.9 Định nghĩa Tập con Y của không gian kiểu b-mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu {y n } là dãy Cauchy trong Y thì {y n } hội tụ tới điểm y ∈ Y.
1.2.10 Bổ đề ([3])Giả sử (X, d) là một không gian kiểu b-mêtric và {a n } n i=0 ⊂
1.2.11 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian kiểu b-mêtric với tham số s ≥ 1 và T :X −→X.
1) Ánh xạ T được gọi là liên tục nếu với mọi dãy {b n } ⊂ X mà b n → b thì n→∞lim d(T b n , T b) =d(T b, T b).
2) Ánh xạ T được gọi là hội tụ dãy con nếu {b n } là dãy trong X sao cho, {T b n } là dãy hội tụ thì tồn tại dãy con {b n i } của {b n } và b ∈ X thỏa mãn b n i →b và d(T b, T b) = 0.
3) Ánh xạT được gọi làhội tụ dãy nếu {b n }là dãy trong X sao cho dãy {T b n } hội tụ thì tồn tại b ∈ X sao cho b n → b và d(T b, T b) = 0.
4) Nếu T b = b thì b được gọi là điểm bất động của T trong X. Ở đây và sau này ta viết T b thay cho T(b).
Một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian kiểu b-mêtric
Trong chương này, chúng tôi thiết lập và chứng minh các định lý về sự tồn tại điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích yếu và ánh xạ (ψ-ϕ)-co trong không gian kiểu b-mêtric Chúng tôi luôn giả thiết rằng (X, d) là không gian kiểu b-mêtric với tham số s ≥ 1.
Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu
thích yếu trong không gian kiểu b-mêtric
Trong phần này, chúng tôi sẽ thiết lập và chứng minh định lý về sự tồn tại của điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian kiểu b-mêtric Định nghĩa được đưa ra cho hai ánh xạ f và g từ không gian X đến chính nó, cùng với một phần tử a thuộc không gian X.
1) Điểm a được gọi là điểm trùng nhau của f và g nếu f a = ga.
2) Điểm a được gọi là điểm bất động chung của f và g nếu a = f a = ga.
3) Hai ánh xạ f và g được gọi là tương thích yếu nếu a là điểm trùng nhau của f và g thì f ga= gf a.
2.1.2 Định lí Giả sử A, B, S, T : X −→ X là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau i) A(X) ⊂T(X), B(X) ⊂ S(X). ii) Một trong các tập A(X), B(X), S(X), T(X) là đầy đủ trong X. iii) Tồn tại hằng số α ∈
1 2s 2 , 1 s(s+ 1) sao cho d(Ax, By) ≤ α.max{d(Sx, T y), sd(Ax, Sx), d(Sx, By), d(T y, Ax), sd(T y, By)} (2.1) với mọi x, y ∈ X. iv) (A, S) và (B, T) là cặp tương thích yếu.
Khi đó A, B, S, T có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh rằng tồn tại các dãy {x_n} và {y_n} trong không gian X sao cho y_{2n} = A x_{2n} = T x_{2n+1} và y_{2n+1} = B x_{2n+1} = S x_{2n+2} Bắt đầu với x_0 ∈ X và áp dụng tính chất A(X) ⊂ T(X) để tìm x_1 ∈ X sao cho T x_1 = A x_0 := y_0 Tiếp theo, từ B(X) ⊂ S(X), ta xác định x_2 ∈ X sao cho S x_2 = B x_1 := y_1 Qua đó, tiếp tục phát triển lý luận để xây dựng các dãy mong muốn.
Ta đặt t n = d(y n , y n+1 ) với mọi n = 0,1,2, Khi đó, t 2n = d(y 2n , y 2n+1 ).
Sử dụng (2.1), với mọi n ≥1 ta có t 2n = d(Ax 2n , Bx 2n+1 ) ≤α.max{d(Sx 2n , T x 2n+1 ), s.d(Ax 2n , Sx 2n ), d(Sx 2n , Bx 2n+1 ), d(T x 2n+1 , Ax 2n ), s.d(T x 2n+1 , Bx 2n+1 )}
Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có d(y 2n , y 2n ) ≤ 2sd(y 2n−1 , y 2n ), d(y 2n , y 2n ) ≤ 2sd(y 2n+1 , y 2n ) nên d(y 2n , y 2n ) ≤ sd(y 2n−1 , y 2n ) +sd(y 2n+1 , y 2n ).
1−α.s.t 2n−1 ∀n = 1,2, (2.2) Bằng cách chứng minh tương tự ta có: t 2n+1 =d(y 2n+1 , y 2n+2 ) = d(Bx 2n+1 , Ax 2n+2 ) =d(Ax 2n+2 , Bx 2n+1 )
Do đó từ (2.2), (2.3) suy ra t n ≤ λ.t n−1 ≤ λ 2 t n−2 ≤ λ n t 0 ∀n = 1,2, , (2.4) trong đó λ = α.s
Để chứng minh rằng {y_n} là dãy Cauchy, ta xem xét mỗi n ∈ N* và p ∈ N Sử dụng bất đẳng thức tam giác nhiều lần cùng với bất đẳng thức (2.4), ta nhận thấy rằng λ.s thuộc khoảng [0; 1) Từ đó, ta có thể viết: d(y_n, y_{n+p}) ≤ s.d(y_n, y_{n+1}) + s^2.d(y_{n+1}, y_{n+2}) +
1−sλt 0 →0 khi n→ ∞ Kết hợp với (2.5) suy ra n→∞lim (y n , y n+p ) = 0 ∀p = 1,2, Điều này chứng tỏ {y n } là dãy Cauchy trong (X, d) Do đó {y 2n } và {y 2n+1 } là hai dãy Cauchy trong (X, d).
Bây giờ ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: A(X) hoặc T(X) đầy đủ trong X Khi đó {y 2n } hội tụ trong A(X) hoặc T(X) tương ứng Vì A(X) ⊂ T(X) nên tồn tại x và y ∈ X sao cho y 2n → T x := y và n→∞lim d(y 2n , y) =d(y, y) = lim n,m→∞d(y 2n , y 2m ) = 0.
Do {y n } là dãy Cauchy và lim n,m→∞d(y n , y m ) = 0 nên theo Bổ đề 1.2.8 ta có n→∞lim d(y n , y) =d(y, y) = 0.
Từ điều kiện (2.1) và các bất đẳng thức sd(y 2n , y 2n−1 ) ≤ s 2 d(y 2n , y) +s 2 d(y, y 2n−1 ),d(y 2n , Bx) ≤ sd(y 2n , y) +sd(y, Bx) ta có d(y, Bx) ≤s.d(y, Ax 2n ) +sd(Ax 2n , Bx)
≤s.d(y, y 2n ) +α.s.max{d(Sx 2n , T x), sd(Ax 2n , Sx 2n ), d(Sx 2n , Bx), d(T x, Ax 2n ), s.d(T x, Bx)}
Do đó, với mọi n≥ 1 ta có
→0 khi n → ∞, Kết hợp với (2.6) ta có
Vì s 2 α < 1 nên từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra d(y, Bx) = 0, tức Bx = y.
Do Bx ∈ S(X) nên tồn tại v ∈ X sao cho Bx = Sv Sử dụng điều kiện (2.1) ta có d(y, Av) =d(Bx, Av) =d(Av, Bx)
≤ α.max{d(Sv, T x), s.d(Av, Sv), d(Sv, Bx), d(T x, Av), s.d(T x, Bx)}
= α.max{d(y, y), sd(y, Av), d(y, y), d(y, Av), sd(y, y)}
Vì 0 ≤ α.s < 1 nên d(y, Av) = 0, tức là Av = y = Sv Vì A và S là cặp tương thích yếu nên
Vì Bx = T x = y và cặp (B, T) là cặp tương thích yếu nên ta có
Tiếp theo, ta chứng minh y là điểm bất động chung của A, B, T, S Vì s.d(By, By) ≤ s 2 d(By, y) + s 2 d(y, By) = 2s 2 d(y, By) nên d(y, By) =d(Av, By)
≤ α.max{d(Sv, T y), s.d(Sv, Av), d(Sv, By), d(T y, Av), s.d(T y, By)}
= α.max{d(y, By), s.d(y, y), d(y, By), d(By, y), s.d(By, By)}
Từ đó suy ra (1−2α.s 2 ).d(y, By) ≤ 0 Vì 1−2α.s 2 > 0 nên d(y, By) = 0, tức là y = By.
Tiếp tục sử dụng (2.1) và chứng minh tương tự, ta có d(Ay, y) = d(Ay, By)
≤ α.max{d(Sy, T y), sd(Sy, Ay), d(Sy, By), d(T y, Ay), sd(T y, By)}
= α.max{d(Ay, y), sd(Ay, Ay), d(y, Ay), d(y, Ay), d(y, Ay), sd(y, y)}
Do đó (1−2α.s 2 ).d(y, Ay) ≤0 Vì 1−2α.s 2 > 0 nên d(y, Ay) = 0 Như vậy y = Ay = By = Sy = T y, tức là y là điểm bất động chung của A, B, S, T.
Trường hợp 2: Giả sử B(X) hoặc S(X) đầy đủ trong X Khi đó {y 2n+1 } là dãy Cauchy trong B(X) hoặc S(X) tương ứng Do B(X) ⊂ S(X) nên tồn tại x và y ∈ X sao cho y 2n+1 →y = Sx và n→∞lim d(y 2n+1 , y) = d(y, y) = lim m,n→∞d(y 2n+1 , y 2m+1 ) = 0.
Do {y n } là dãy Cauchy và lim m,n→∞d(y n , y m ) = 0 nên theo Bổ đề 1.2.8 ta có n→∞lim d(y n , y) =d(y, y) = 0.
Sử dụng điều kiện (2.1) và các bất đẳng thức sd(y 2n , y 2n+1 ) ≤ s 2 d(y 2n , y) +s 2 d(y, y 2n+1 ) d(y 2n , Ax) ≤ sd(y 2n , y) +sd(y, Ax) ta có d(Ax, y) ≤s.d(Ax, Bx 2n+1 ) +sd(Bx 2n+1 , y)
≤s.d(y, y 2n+1 ) +α.s.max{d(Sx, T x 2n+1 ), sd(Sx, Ax), d(Sx, Bx 2n+1 ), d(T x 2n+1 , Ax), s.d(T x 2n+1 , Bx 2n+1 )}
Do đó, với mọi n≥ 1 ta có
→ 0 khi n → ∞, kết hợp với (2.7) ta có
Vì s 2 α < 1 nên từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra d(y, Ax) = 0, tức Ax= y.
Do Ax ∈ T(X) nên tồn tại v ∈ X sao cho Ax = T v Sử dụng điều kiện (2.1) ta có d(y, Bv) = d(Ax, Bv)
≤ α.max{d(Sx, T v), s.d(Ax, Sx), d(Sx, Bv), d(T v, Ax), s.d(T v, Bv)}
≤ α.s.d(y, Bv) ta suy ra (1 − α.s)d(y, Bv) ≤ 0 Vì 0 < α.s < 1 nên d(y, Bv) = 0, tức là
Bv = y = Sx = Ax= T v Vì A và S là cặp tương thích yếu nên
Vì Bv = T v = y và cặp (B, T) là cặp tương thích yếu nên ta có
Tiếp theo, ta chứng minh y là điểm bất động chung của A, B, T, S Vì s.d(Ay, Ay) ≤s 2 d(Ay, y) +s 2 d(y, Ay) = 2s 2 d(Ay, y) nên d(Ay, y) = d(Ay, Bv)
≤ α.max{d(Sy, T v), s.d(Sy, Ay), d(Sy, Bv), d(T v, Ay), s.d(T v, Bv)}
= α.max{d(Ay, y), s.d(Ay, Ay), d(Ay, y), d(y, Ay), s.d(y, y)}
Do đó (1 − 2α.s 2 ).d(y, Ay) ≤ 0 Vì 1 − 2α.s 2 > 0 nên d(y, Ay) = 0, tức là y = Ay = Sy.
Tiếp tục sử dụng (2.1) và bất đẳng thức s.d(By, By) ≤ s 2 d(By, y) + s 2 d(y, By) = 2s 2 d(y, By) ta có d(y, By) = d(Ay, By)
≤ α.max{d(Sy, T y), sd(Ay, Sy), d(Sy, By), d(T y, Ay), sd(T y, By)}
= α.max{d(y, By), sd(y, y), d(y, By), d(By, y), sd(By, By)}
Từ đó suy ra (1−2α.s 2 ).d(y, By) ≤ 0 Vì 1−2α.s 2 > 0 nên d(y, By) = 0 Như vậy y = By = T y và y = Ay = By = Sy = T y tức là y là điểm bất động chung của A, B, S, T.
Cuối cùng, ta chứng minh điểm bất động chung của A, B, S, T là duy nhất. Giả sử u cũng là một điểm bất động chung của A, B, S, T trong X Khi đó u = Au = Bu = Su = T u.
≤ α.max{d(Su, T u), sd(Au, Su), d(Su, Bu), d(T u, Au), sd(T u, Bu)}
Từ α.s 0) Do đó β ≤ 2α 3 s.β suy ra β = 0.
Nếu α 3 6= 0 thì tương tự ta cũng chứng minh được β = 0.
Để chứng minh {b n} là dãy Cauchy, ta cần chứng minh lim m,n→∞ d(b 2n, b 2m) = 0, dựa vào việc lim n→∞ d(b n, b n+1) = 0 Giả sử khẳng định này không đúng, sẽ tồn tại ε > 0 và hai dãy con {b 2n k} và {b 2m k} của {b 2n} sao cho n k là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn n k > m k > k và d(b 2m k, b 2n k) ≥ ε.
Sử dụng bất đẳng thức tam giác và (2.15) ta có d(b 2n k −2 , b 2m k −1 ) ≤ sd(b 2n k −2 , b 2m k ) +sd(b 2m k , b 2m k −1 )
Cho k → ∞ ta được k→∞lim supd(b 2n k −2 , b 2m k −1 ) ≤ sε (2.16) Tương tự ta có d(b 2n k −1 , b 2m k −1 ) ≤ sd(b 2n k −1 , b 2n k −2 ) +sd(b 2n k −2 , b 2m k −1 ).
Cho k → ∞ và từ (2.16) ta được k→∞lim supd(b 2n k −1 , b 2m k −1 ) ≤ s 2 ε (2.17)
Sử dụng (2.14) và bất đẳng thức tam giác ta có ε≤ d(b 2m k , b 2n k ) ≤sd(b 2m k , b 2m k −1 ) +s 2 d(b 2m k −1 , b 2n k −1 ) +s 2 d(b 2n k −1 , b 2n k ).
Cho k → ∞ ta được ε s 2 ≤ lim k→∞infd(b 2m k −1, b 2n k −1) (2.18) Tiếp tục sử dụng (2.14) và bất đẳng thức tam giác ta có ε ≤ d(b 2m k , b 2n k ) ≤ sd(b 2n k , b 2n k −1 ) +sd(b 2n k −1 , b 2m k ).
Do ψ là hàm tăng nên từ bất đẳng thức này ta suy ra ψ(ε s −d(b 2n k , b 2n k −1)) ≤ ψ(d(T f a 2n k −2, T ga 2m k −1))
Cho k → ∞ và sử dụng các tính chất của các hàm ψ, ϕ cùng các bất đẳng thức (2.15),(2.16),(2.17) ta có ψ(ε s) ≤ ψ(max{α 1 s 2 ε, α 2 ε+α 3 s 2 ε})
−ϕ(α 1 lim k→∞inf d(b 2n k −2 , b 2m k −1 ), α 2 lim k→∞inf d(b 2n k −2 , b 2m k ), α 3 lim k→∞infd(b 2m k −1 , b 2n k −1 ),0,0) (2.19)
Vì max{α 1 s 2 ε, α 2 ε+α 3 s 2 ε} ≤ ε s nên từ (2.19) và tính chất của hàm ϕ suy ra α 1 lim k→∞infd(b 2n k −2, b 2m k −1) =α 2 lim k→∞infd(b 2n k −2, b 2m k )
Nếu α 1 = α 2 = α 3 = 0 thì từ (2.19) ta suy ra ψ(ε s) ≤ ψ(0).
Vậy ta thấy bất đẳng thức này mâu thuẩn với ε > 0.
Giả sử α 3 6= 0 Khi đó, từ đẳng thức (2.20) suy ra lim k→∞infd(b 2m k −1 , b 2n k −1 ) = 0 đẳng thức này mâu thuẩn với bất đẳng thức (2.18).
Giả sử α 2 6= 0 Khi đó, từ bất đẳng thức (2.14) và bất đẳng thức tam giác ta có ε ≤ d(b 2n k , b 2m k ) ≤ sd(b 2n k , b 2n k −2 ) +sd(b 2n k −2 , b 2m k ) s 2 d(b 2n k , b 2n k −1 ) +s 2 d(b 2n k −1 , b 2n k −2 ) + sd(b 2n k −2 , b 2m k ).
Cho k → ∞ ta được ε s ≤ lim k→∞infd(b 2n k −2 , b 2m k ) (2.21)
Vì α 2 6= 0 nên từ (2.20) suy ra lim k→∞infd(b 2n k −2 , b 2m k ) = 0 Điều này mâu thuẩn với (2.21).
Giả sử α 1 6= 0 Khi đó, từ (2.20) suy ra lim k→∞infd(b 2n k −2 , b 2m k −1 ) = 0 Mặt khác, ta có d(b 2n k −2 , b 2m k ) ≤sd(b 2n k −2 , b 2m k −1 ) +sd(b 2m k −1 , b 2m k ).
Cho k → ∞ và cùng (2.21)ta được ε s 2 ≤ lim k→∞infd(b 2n k −2 , b 2m k −1 ).
Ta gặp một mâu thuẫn khi suy ra lim m,n→∞d(b 2n , b 2m ) = 0, cho thấy dãy {b 2n } là dãy Cauchy Điều này dẫn đến lim m,n→∞d(b n , b m ) = 0, tức là {b n } cũng là dãy Cauchy Trong không gian (X, d) kiểu b-metric đầy đủ, tồn tại một điểm b ∈ X sao cho d(b, b) = lim n→∞d(b n , b) = lim n,m→∞d(b n , b m ) = 0, từ đó suy ra d(b, b) = lim n→∞d(T a n , b) = lim n,m→∞d(T a n , T a m ) = 0.
Giả sử T là ánh xạ liên tục và hội tụ dãy con, ta có dãy {a_n} hội tụ về b khi n tiến tới vô cùng Theo định nghĩa, tồn tại dãy con {a_{n_i}} sao cho a_{n_i} hội tụ về a ∈ X khi n_i tiến tới vô cùng và d(Ta, Ta) = 0 Nhờ tính liên tục của T, ta suy ra d(Ta_{n_i}, Ta) tiến tới 0 khi n_i tiến tới vô cùng, hay d(b_{n_i}, Ta) cũng tiến tới 0 Đồng thời, từ d(b_n, b) tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng, ta có d(b_{n_i}, b) cũng tiến tới 0 khi n_i tiến tới vô cùng.
Sử dụng Bổ đề 1.2.7 1), suy ra b = T a.
2) Giả sử T toàn ánh, khi đó từ b ∈ X nên tồn tại a ∈ X sao cho b = T a.
Ta chứng minh a là điểm bất động chung của f và g tức là a = f a = ga Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có d(b, T ga) ≤ sd(b, b 2n+1 ) +sd(b 2n+1 , T ga)
Do đó ψ(1 sd(b, T ga)−d(b, b 2n+1 )) ≤ ψ(d(T f a 2n , T ga))
Cho n → ∞, sử dụng tính chất của các hàm ψ, ϕ và (2.22) ta có ψ(1 sd(b, T ga)) ≤ ψ(max{α 2 s, α 4 s}d(b, T ga))
Vì max{α 2 s, α 4 s} ≤ 1 s nên chứng tỏ ϕ(0, α 2 lim n→∞inf d(b 2n , T ga),0,0, α 4 d(b, T ga)) = 0.
Do đó α 2 lim n→∞infd(b 2n , T ga) =α 4 d(b, T ga)) = 0.
Nếu α 4 = 0, α 2 6= 0 thì lim n→∞infd(b 2n , T ga) = 0 Khi đó lim n→∞d(b 2n , b) = 0 nên theo Bổ đề 1.2.7 2) ta có
1 sd(b, T ga) ≤ lim n→∞infd(b 2n , T ga) = 0.
Nếu α 2 = α 4 = 0 thì (2.23) trở thành 1 sd(b, T ga) ≤ ψ(0) Do đó d(b, T ga) = 0. Như vậy ta luôn có d(b, T ga) = 0, tức là b = T ga hay T a = T ga Vì T đơn ánh nên a = ga.
Chứng minh tương tự ta có a = f a Vậy a là điểm bất chung của f và g.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng điểm bất động chung của hai hàm f và g là duy nhất Giả sử u ∈ X là một điểm bất động chung của f và g, tức là u = f(u) = g(u) Từ đó, ta có ψ(d(T u, T u)) = ψ(d(T f u, T g u)).
(2.24) Kết hợp với max{α 1 s, α 2 +α 3 ,2α 4 s} ≤ 1 suy ra ϕ(α 1 d(T u, T u), α 2 d(T u, T u), α 3 d(T u, T u), α 4 d(T u, T u), α 4 d(T u, T u)) = 0.
Nếu tồn tại α j 6= 0 với j = 1,2,3,4 thì d(T u, T u) = 0.
Nếu α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = 0 thì từ (2.24) suy ra ψ(d(T u, T u)) ≤ψ(0) kết hợp với tính không giảm của ψ suy ra d(T u, T u) = 0.
−ϕ(α 1 d(T a, T u), α 2 d(T a, T u), α 3 d(T a, T u),0,0) (2.25) Kết hợp với max{α 1 s, α 2 +α 3 } ≤ 1 ta suy ra ϕ(α 1 d(T a, T u), α 2 d(T a, T u), α 3 d(T a, T u),0,0) = 0.
Nếu tồn tại α j 6= 0 với j = 1,2,3,4 thì d(T a, T u) = 0.
Giả sử α 1 = α 2 = α 3 = 0 Khi đó, từ (2.25) suy ra ψ(d(T a, T u)) ≤ ψ(0) kết hợp với tính không giảm của ψ suy ra d(T a, T u) = 0.
Như vậy ta luôn có d(T a, T u) = 0 tức là T a = T u Vì T đơn ánh nên u = a Vậy điểm bất động chung của f và g là duy nhất.
Như vậy T a là điểm bất động chung của f và g Vì điểm bất động chung của f và g là duy nhất nên
Vậy a là điểm bất động chung duy nhất của T, f, g.
Sau đây là một số hệ quả của Định lý 2.2.1.
2.2.2 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, T và f : X −→ X là hai ánh xạ thỏa mãn: i) Tồn tại ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ và các hằng số không âm α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ∈
−ϕ(α 1 d(T a, T b), α 2 d(T a, T f b), α 3 d(T b, T f a), α 4 d(T a, T f a), α 4 d(T b, T f b)) (2.26) với mọi a, b ∈ X. ii) T đơn ánh và liên tục.
1) Với mọi a 0 ∈ X, dãy {T f n a 0 } hội tụ.
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có điểm bất động duy nhất trong X.
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi a 0 ∈ X, dãy {f n a 0 } hội tụ tới điểm bất động của f.
Trong Định lý 2.2.1, nếu thay g bằng f, điều kiện (i) của Định lý 2.2.1 và điều kiện (i) của Hệ quả 2.2.2 trở nên trùng nhau Điều này dẫn đến các kết luận 1) và 2) của Hệ quả 2.2.2 Nếu giả thiết T là ánh xạ hội tụ của dãy, khi đó trong chứng minh Định lý 2.2.1, thay dãy {a n k} hội tụ tới a bởi {a n} hội tụ tới a, ta có f n a 0 → a, từ đó khẳng định 3) của Hệ quả 2.2.2 được xác lập.
Ta kí hiệu Φ 1 ϕ : [0,∞) 2 −→ [0,∞)|ϕ(a, b) = 0 ⇔a = b = 0 và ϕ lim inf n→∞ a n ,lim inf n→∞ b n
Giả sử (X, d) là không gian b-metric đầy đủ với hệ số s ≥ 1, và T cùng f : X −→ X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện: T là ánh xạ đơn ánh và liên tục, đồng thời tồn tại ψ ∈ Ψ, ϕ 1 ∈ Φ 1 sao cho với mọi a, b ∈ X, có công thức ψ(d(T f a, T f b)) ≤ ψ d(T a, T f a) + d(T b, T f b) s + 1.
Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng:
1) Với mỗi a 0 ∈ X, dãy {T f n a 0 } hội tụ.
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có duy nhất điểm bất động trong X.
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy với mỗi a 0 ∈ X, dãy {f n a 0 } hội tụ tới điểm bất động của f.
Chứng minh Đặt α 1 = α 2 = α 3 = 0, α 4 = 1 s(s+ 1) Khi đó, α 4 ≤ 1
Ta xác định ánh xạ ϕ : [0,+∞) 5 → [0,+∞) bởi công thức ϕ(r, t, u, x, y) =ϕ 1 (max{r, t, u, 1 α 4 x}, 1 α 4 y) với mọi (r, t, u, x, y) ∈ [0,+∞) 5 Khi đó, từ tính chất của ϕ 1 suy ra ϕ(r, t, u, x, y) = 0 ⇔r = t = u = x = y = 0 và lim inf n→∞ ϕ(r n , t n , u n , x n , y n ) = lim inf n→∞ ϕ 1 (max{r n , t n , u n , 1 α 4 x n }, 1 α 4 y n )
≥ ϕ 1 (lim inf n→∞ max{r n , t n , u n , 1 α 4 x n },lim inf n→∞
= ϕ 1 (max{lim inf n→∞ r n ,lim inf n→∞ t n ,lim inf n→∞ u n , 1 α 4 lim inf n→∞ x n }, 1 α 4 lim inf n→∞ y n )
= ϕ(lim inf n→∞ r n ,lim inf n→∞ t n ,lim inf n→∞ u n ,lim inf n→∞ x n ,lim inf n→∞ y n )
Do đó ϕ ∈ Φ Từ (2.27) và (2.28) ta có ψ(d(T f a, T f b)) ≤ ψ(max{α 1 sd(T a, T b), α 2 d(T a, T f b)
Từ đó suy ra điều kiện i) của Hệ quả 2.2.2 được thỏa mãn Do đó các khẳng định cần chứng minh được suy ra từ Hệ quả 2.2.2.
Trong Định lý 2.2.1 nếu ta lấy (X, d) là không gian mêtric, tức là s = 1 thì ta nhận được hệ quả sau.
Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, với ba ánh xạ T, f, g : X −→ X thỏa mãn các điều kiện nhất định Cụ thể, tồn tại ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ và các hằng số không âm α 1, α 2, α 3, α 4 sao cho tổng tối đa của α 1, α 2 và α 3, α 4 không vượt quá 1.
2 và ψ(d(T f a, T gb)) ≤ ψ(max{α 1 sd(T a, T b), α 2 d(T a, T gb)
−ϕ(α 1 d(T a, T b), α 2 d(T a, T gb), α 3 d(T b, T f a), α 4 d(T a, T f a), α 4 d(T b, T gb)) với mọi a, b ∈ X. ii) T đơn ánh và có một trong các tính chất:
1) T liên tục và hội tụ dãy con.
Khi đó, f và g có duy nhất một điểm bất động chung trong X Hơn nữa, nếu thêm giả thiết
T f a = f T a, T ga= gT a với a là điểm bất động chung của f và g thì T, f, g có một điểm bất động chung duy nhất trong X.
Trong không gian mêtric (X,d), ánh xạ f :X −→ X được gọi là co yếu kiểu Kannan, hay K-co yếu, nếu tồn tại một hàm ϕ ∈ Φ 1 sao cho với mọi x, y ∈ X, ta có d(f(x), f(y)) ≤ 1.
. ii) Ánh xạ f : X −→ X được gọi là T-co yếu suy rộng kiểu Kannan nếu tồn tại ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có ψ(d(T f x, T f y)) ≤ψ d(T x, T f x) +d(T y, T f y)
Ta thấy rằng, ánh xạ co yếu kiểu Kannan là trường hợp đặc biệt của ánh xạ
T-co yếu suy rộng kiểu Kannan khi ψ và T là các ánh xạ đồng nhất.
2.2.6 Hệ quả ([10]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, T và f :
X −→ X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau: i) f là ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu Kannan. ii) T đơn ánh và liên tục.
Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng:
1) Với mỗi a 0 ∈ X, dãy {T f n a 0 } hội tụ.
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có duy nhất điểm bất động trong X.
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy với mỗi a 0 ∈ X, dãy {f n a 0 } hội tụ tới điểm bất động của f.
Chứng minh Vì f là ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu Kannan nên tồn tại ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có ψ(d(T f x, T f y)) ≤ ψ d(T x, T f x) +d(T y, T f y)
Do đó, từ Hệ quả 2.2.3 nếu ta lấy s = 1 thì ta suy ra được điều cần chứng minh.
Luận văn đã đạt được các kết quả chính sau đây:
- Trình bày lại định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian kiểu b-mêtric đã có trong các tài liệu tham khảo.
Bài viết này trình bày việc thiết lập và chứng minh một số kết quả mới liên quan đến sự tồn tại và duy nhất điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian kiểu b-mêtric Cụ thể, chúng tôi đã đưa ra Định lý 2.1.2 cùng với các Hệ quả 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6 và 2.1.7, góp phần làm rõ hơn các tính chất của ánh xạ trong b-mêtric.
Bài viết thiết lập và chứng minh các kết quả mới về sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động chung cho cặp ánh xạ (ϕ-ψ)-co trong không gian kiểu b-mêtric đầy đủ Các kết quả này được thể hiện qua Định lý 2.2.1 cùng với các Hệ quả 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4 và 2.2.6, trong đó Hệ quả 2.2.3 tương ứng với Định lý 5 trong tài liệu [9].
[1] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất bản Đại học sư phạm.
[2] A.Aghajani, M.Abbas, J.R.Roshan (2014), "Common fixed point of gen- eralized weak contractive mapping in partially ordered b-metric spaces", Math Slovaca 64(2014), No 4, 941-960.
[3] M.A.Alghamdi, N.Hussain and P.Salimi (2013), “Fixed point and coupled fixed point theorems on b-metric-like spaces”, J Inequalities Appl, 2013, 2013.402.
[4] H.Aydi, A.Felhi, S.Sahmim (2017), “Common fixed points via implicit con- tractions on b-metric-like spaces” J Nonlinear Sci Appl, 10(2017), 1524-1537.
[5] M.Cvetkovic, E.Karapinar and V.Rakocevic (2015), “Some fixed point re- sults on quasi-b-metric-like spaces”, J Inequalities Appl, 2015:374.
[6] S.Czerwik (1993), “Contraction mappings in b-metric spaces”, Acta Math. Inform Univ Ostrav 1, 5-11.
[7] A.A.Harandi (2012), “Metric-like spaces, partial metric spaces and fixed point”, Fixed Point Theory Appl, 2012, Article ID 204 (2012).
[8] N.Hussain, J.R.Roshan, V.Parvaneh and Z.Kadelburg (2014), “Fixed Point of Contractive Mappings in b-metric-Like Spaces”, Sci World J, Volume