BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN VĂN QUYẾT MỘT SỐ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP KHÔNG ÂM KHÔNG CĨ KỲ VỌNG HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN VĂN QUYẾT MỘT SỐ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP KHƠNG ÂM KHƠNG CĨ KỲ VỌNG HỮU HẠN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 8460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học GS.TS Nguyễn Văn Quảng Nghệ An - 2019 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ đo biến ngẫu nhiên 1.2 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên 1.3 Các biến ngẫu nhiên độc lập 1.4 Luật yếu số lớn Chương Một số luật yếu số lớn biến ngẫu nhiên độc lập khơng âm khơng có kỳ vọng hữu hạn 10 2.1 Các hàm biến đổi chậm 12 2.2 Các kết 16 2.3 Ứng dụng 29 Lời nói đầu Luật số lớn ba viên ngọc quý lý thuyết xác suất Luật số lớn Bernoulli phát vào năm 1713 viện sĩ Kolmogorov phát triển, hoàn thiện vào năm 30 kỷ XX Ngày luật số lớn vấn đề có tính thời sự, nhiều nhà khoa học quan tâm có ảnh hưởng to lớn đến phát triển lý thuyết xác suất, thống kê toán học ứng dụng chúng Các định lý giới hạn lý thuyết xác suất thường quan tâm đến biến ngẫu nhiên độc lập Luật yếu số lớn biến ngẫu nhiên độc lập khơng âm khơng có kỳ vọng hữu hạn nhiều tác giả quan tâm, có Pingyan Chen Soo Hak Sung Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu tham khảo, chủ yếu báo "Chen, P., Sung, S.H.(2018).Weak laws of large numbers for nonnegative independent random variables without finite means, Comm Statist Theory Methods, doi.org/10.1080/03610926.2018.1513145", nghiên cứu đề tài: "Một số luật yếu số lớn biến ngẫu nhiên độc lập khơng âm khơng có kỳ vọng hữu hạn" Cụ thể, giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập không âm, {ln (x), n ≥ 1} dãy hàm biến đổi chậm, nghiên cứu điều kiện đặt lên dãy {ln (x), n ≥ 1} để n Xi i=1 {bn }n≥1 → theo xác suất, bn dãy số dương chọn cách thích hợp, bn → ∞ Qua nghiên cứu báo Chen, P., Sung, S.H.(2018), nhận thấy rằng, kết báo đúng, thay kiện "độc lập" điều kiện yếu hơn: "độc lập đôi một" Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn giảng viên, GS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Viện sư phạm tự nhiên phòng sau đại học trường Đại học Vinh giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi thời gian học tập thực luận văn Tác giả cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học K25 - Lý thuyết xác suất thống kê toán học cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số kiến thức làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn 1.1 Ánh xạ đo biến ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa Giả sử (Ω1 , F1 ) (Ω2 , F2 ) hai không gian đo Ánh xạ X : Ω1 → Ω2 gọi ánh xạ F1 /F2 đo với B ∈ F2 X −1 (B) ∈ F1 1.1.2 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất , G σ - đại số σ - đại số F Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G -đo ánh xạ G/B (R) đo (tức với B ∈ B(R) X −1 (B) ∈ G ) Biến ngẫu nhiên F -đo gọi cách đơn giản biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên nhận hữu hạn giá trị gọi biến ngẫu nhiên đơn giản 1.1.3 Ví dụ Giả sử A ∈ F Đặt  1 IA (ω) =  ω ∈ A; ω ∈ / A Khi IA biến ngẫu nhiên đơn giản Ánh xạ IA xác định gọi hàm tiêu A 1.1.4 Định lí Ánh xạ X : Ω → R biến ngẫu nhiên điều kiện sau thỏa mãn (i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với a ∈ R, (ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với a ∈ R, (iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với a ∈ R, (iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với a ∈ R 1.1.5 Định lí Giả sử X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), f : Rn → R hàm đo (tức f ánh xạ B(Rn )/B(R) đo được) Khi Y = f (X1 , , Xn ) :Ω → R ω → f (X1 (ω), , , Xn (ω)) biến ngẫu nhiên 1.1.6 Hệ Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), f : R → R hàm liên tục, a ∈ R Khi aX, X ± Y, XY, |X| , f (X), X + = max {X; 0} , X − = max {−X; 0} , X/Y (Y = 0) biến ngẫu nhiên 1.1.7 Định lí Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P) Khi đó, inf Xn sup Xn hữu hạn n n inf Xn , sup Xn , lim Xn , lim Xn , lim Xn (nếu tồn tại) n n→∞ n biến ngẫu nhiên 1.1.8 Định lí Nếu X biến ngẫu nhiên khơng âm tồn dãy biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm {Xn , n ≥ 1} cho Xn ↑ X n → ∞ 1.2 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, X : Ω → R biến ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Vậy EX = XdP Ω 1.2.2 Tính chất Nếu X ≥ EX ≥ Nếu X = C EX = C Nếu tồn EX với C ∈ R, ta có E(CX) = C EX Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY Nếu X ≥ EX = X = h.c.c (Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y với n ≥ EY > −∞ E lim Xn ≤ lim EXn Nếu Xn ≤ Y với n ≥ EY < ∞ E lim Xn ≤ lim EXn Nếu |Xn | ≤ Y với n ≥ EY < ∞ E lim Xn ≤ lim EXn ≤ lim EXn ≤ E lim Xn Giả sử X biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, với p > ta có ∞ EX p = p xp−1 P(X > x)dx 1.2.3 Định nghĩa Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi đó, giá trị độ lệch bình phương trung bình Var(X) := E (X − EX)2 (nếu tồn tại) gọi phương sai X Phương sai biến ngẫu nhiên X ký hiệu DX 1.2.4 Tính chất Phương sai có tính chất sau đây: Var(X) = EX − (EX)2 Var(X) ≥ Var(CX) = C Var(X) 1.3 Các biến ngẫu nhiên độc lập 1.3.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất Họ lớp biến cố (Ci )i∈I (Ci ⊂ F ) gọi độc lập (độc lập đôi một) với Ai ∈ Ci , họ biến cố (Ai )i∈I độc lập (độc lập đôi một) Họ biến ngẫu nhiên (Xi )i∈I gọi độc lập(độc lập đôi một) họ σ -đại số (σ(Xi ))i∈I độc lập (độc lập đôi một) (σ(Xi ) = {Xi−1 (B), B ∈ B (R)}) 1.3.2 Ví dụ Giả sử A, B ∈ F Khi IA , IB độc lập A, B độc lập 1.3.3 Tính chất Các biến ngẫu nhiên độc lập độc lập đơi có tính chất sau đây: Nếu họ biến ngẫu nhiên độc lập họ biến ngẫu nhiên họ độc lập đôi Giả sử (Xi )i∈I họ biến ngẫu nhiên độc lập, fi : R → R(i ∈ I) hàm đo Khi họ fi (Xi ) i∈I độc lập Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập khi, với n ≥ 1, σ(Xk , ≤ k ≤ n) σ(Xk , k ≥ n + 1) độc lập Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập E(XY ) = EXY Tổng quát Nếu X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập E(X1 X2 Xn ) = EX1 EX2 EXn Nếu X Y biến ngẫu nhiên độc lập Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ) Tổng quát: Nếu X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập đôi Var(X1 + · · · + Xn ) = Var(X1 ) + · · · + Var(Xn ) 1.4 Luật yếu số lớn 1.4.1 Mệnh đề Giả sử X biến ngẫu nhiên khơng âm Khi với ε > ta có EX ε 1.4.2 Mệnh đề Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi tồn Var(X) P (X ≥ ε) ≤ với ε > 0, ta có P(|X − EX| ≥ ε) ≤ Var(X) ε2 2.3 Ứng dụng Trong phần nhận số luật yếu số lớn cho biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, không âm với kỳ vọng vô hạn cách sử dụng Định lý 2.2.1 − 2.2.3 Trước phát biểu định lý nêu số bổ đề cần thiết sử dụng mục 2.3.1 Bổ đề Giả sử X biến ngẫu nhiên không âm với kỳ vọng vô hạn P(X > x) ∼ f (x) x f (t) dt < ∞ với m > x > m f (x) hàm số dương Nếu m bất kỳ, x x P(X > t) dt ∼ m x → ∞ f (t) dt m Chứng minh Ta có x  P(X > t)dt lim x→∞ m  P(X > t)dt  = lim x x x→∞ f (t)dt m  x  m  P(X > x) =1 x→∞ f (x) = lim f (t)dt m P(X > x) = 1) x→∞ f (x) (vì theo giả thiết P(X > x) ∼ f (x) nên lim Vậy x x P(X > t) dt ∼ m f (t) dt m 29 2.3.2 Bổ đề Giả sử X biến ngẫu nhiên không âm với lnα (x) P(X > x) ∼ , α ≥ −1 Khi EX I(X ≤ x) ∼ ln(ln x) x (ln x)α+1 α = −1 EX I(X ≤ x) ∼ α > −1 α+1 Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.3.1 ta có x x P(X > t)dt ∼ lnα (t) dt t với α ≥ −1 Do đó, cần chứng minh x EX I(X ≤ x) ∼ P(X > t)dt Thật vậy, ta có x E(X I(X ≤ x)) = P(X > t)dt − xP(X > x) Do P(X > t)dt − xP(X > x) E(X I(X ≤ x)) x =1+ x P(X > t)dt P(X > t)dt 1 Suy P(X > t)dt − xP(X > x) lim x→∞ E(X I(X ≤ x)) x P(X > t)dt = + lim x→∞ x P(X > t)dt 30 = + lim −xP(X > x) x→∞ x ( ≤ P(X > t)dt P(X > t)dt ≤ 1) lnα (x) = − lim x α = với α ≥ −1 x→∞ ln (t) dt t 2.3.3 Bổ đề (Stoltz-Cesaro theorem) Giả sử {an , n ≥ 1} {bn , n ≥ 1} hai ∞ dãy số dương Nếu an ∼ bn n an = ∞ n=1 n ∼ i=1 bi i=1 2.3.4 Bổ đề Giả sử {cn , n ≥ 1} dãy số dương cho < cn → ∞ ln n → ∞ Khi phát biểu sau ln(cn ) (i) Nếu α > −1 n i=1 1 (ln(icn ))α ∼ (ln n)α+1 i α+1 (ii) Nếu α > 0, s > 0, m > n i=1 {(ln(i(cn + s)))α − (ln(im))α } ∼ (ln n)α ln(cn ) i Chứng minh (i) Với n, định nghĩa K = K(n) = inf{k : ckn ≥ n} Khi K ∼ Theo Bổ đề 2.3.3, ta có n i=1 (ln(icn ))α ∼ i K ckn −1 (ln(icn ))α i k−1 k=1 i=cn ckn −1 K ∼ (ln(cn ))α kα k=1 31 i k−1 i=cn ln n ln(cn ) K kα α+1 ∼ (ln(cn )) k=1 ∼ (ln(cn ))α+1 α+1 ∼ (ln n)α+1 α+1 ln ln(cn ) α+1 (ii) Chứng minh (ii) tương tự chứng minh (i) n i=1 {(ln(i(cn + s)))α − (ln(im))α } i K ckn −1 {(ln(i(cn + s)))α − (ln(im))α } i k−1 ∼ (ln n)α ln(cn ) k=1 i=cn ckn −1 K ∼ α(ln(cn ))α i k−1 k α−1 k=1 i=cn K α+1 k α−1 ∼ α(ln(cn )) k=1 α+1 ∼ (ln(cn )) ln ln(cn ) α ∼ (ln n)α ln(cn ) 2.3.5 Định lí Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, {an , n ≥ 1} dãy số không âm với P(Xn > x) = x + an ∞ dương thỏa mãn = ∞ Giả sử {dn , n ≥ 1} dãy số dương a n n=1 cho < lim inf dn ≤ lim sup dn < ∞ n→∞ n→∞ 32 Khi n i=1 −1 a−1 i di Xi n → theo xác suất n −1 a−1 i di ln −1 a−1 i di i=1 i=1 −1 Chứng minh Giả sử: Yn = a−1 n dn Xn với n ≥ Từ lim inf dn > 0, suy ra, tồn C > cho dn > C với n đủ lớn Do n→∞ −1 Xn a−1 n dn P(Yn > x) = P > x = P (Xn > xan dn ) = = an dn xan dn + an x(1 + d−1 n ) −1 −1 −1 a−1 n dn −1 −1 an dn ≥ = [(1 + C ) ] x(1 + C −1 ) x Vậy −1 −1 −1 a−1 n dn −1 −1 an dn ≥ = P(Yn > x) ≥ [(1 + C ) ] x xan dn + an x Suy P(Yn > x) ≈ −1 a−1 n dn x Chúng ta áp dụng Định lý 2.2.3 cho dãy biến ngẫu nhiên {Yn } n n −1 a−1 i di ln Giả sử cn = i=1 −1 a−1 i di i=1 Ta có n cn bn = P (Yi > x) dx i=1 n cn = Xi > x dx d i P i=1 n cn = P (Xi > xai di ) dx i=1 33 cn n = i=1 n dx xai di + −1 a−1 i di (ln(ai di cn + ) − ln(ai )) = i=1 n −1 a−1 i di (ln(ai (di cn ) + 1) − ln(ai )) = i=1 n −1 a−1 i di (ln(ai ) + ln(di cn + 1) − ln(ai ) = i=1 n −1 a−1 i di ln(di cn + 1) = i=1 n −1 a−1 i di ln(di cn ) ∼ i=1 n n −1 a−1 i di ln(di ) = −1 a−1 i di ln(cn ) + i=1 n i=1 −1 a−1 i di ln(cn )( < lim inf dn ≤ lim sup dn < ∞) ∼ n→∞ i=1 n n −1 a−1 i di ln ∼ n→∞ −1 a−1 i di i=1 i=1 n Thật vậy, cách đặt i=1 −1 a−1 i di = xn , ta có n −1 a−1 i di ln(cn ) lim n→∞ i=1 n n −1 a−1 i di ln i=1 xn ln(cn ) ln(cn ) = lim n→∞ xn ln(xn ) n→∞ ln(xn ) = lim −1 a−1 i di i=1 ln(xn ln(xn )) ln(xn ) + ln(ln(xn )) ln(ln xn ) = lim = + lim n→∞ n→∞ n→∞ ln xn ln(xn ) ln(xn ) ln t = + lim = + lim t = + = t→∞ t t→∞ = lim Do kết suy từ Định lý 2.2.3 34 2.3.6 Nhận xét Nakata [8] chứng minh Định lý 2.3.5 dn = với n ≥ Adler [2] chứng minh Định lý 2.3.5 an = n dn = với n ≥ 1 tức là, P(Xn > x) = x+n n i−1 Xi i=1 ln n ln(ln n) → theo xác suất 2.3.7 Định lí Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, không âm cho     x P(Xn > x) =    x+n Khi n i−1 Xi i=1 → (ln n)2 ≤ x < n; x ≥ n theo xác suất Chứng minh Giả sử Yn = n−1 Xn với n ≥ Khi Xn n−1 P(Yn > x) = P( > x) = P(Xn > nx) = = n nx + n x + n Giả sử cn = n i i=1 −1 i−1 Khi cn ∼ ln n ln(ln n) ln i=1 Thật vậy, ta có n 1 1 dx ≥ + + + + x n + ln n = + n+1 dx = ln(n + 1) > ln n x ≥ Suy n i + ln n i=1 ≥ > ln n ln n 35 với x ≥ Mặt khác + ln n →1 ln n n → ∞ n Do i=1 i ∼ ln n Suy ra, cn ∼ ln n ln(ln n) Lại có, n cn bn = P(Yi > x) dx i=1 n =  i−1 P(Xi > ix) dx +   i=1 n = i−1 i=1 n = i=1 n ∼ i=1 1 dx + ix dx +   P(Xi > ix) dx + i−1  i−1  cn  P(Xi > ix) dx cn   dx ix + i 1 1 + ln i + ln(1 + cn ) − ln i i i i 1 i ln ∼ (ln n)2 i 2 Do kết suy từ Định lý 2.2.3 2.3.8 Định lí Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, không âm, phân phối thỏa mãn (ln x)α P(X1 > x) ∼ , x α ≥ −1 Khi n Xi i=1 bn → theo xác suất , n(ln n)α+1 bn = n ln(ln n) α = −1 bn = α > −1 α+1 36 Chứng minh Chúng ta chứng minh cách sử dụng Định lý 2.2.2 Ta thấy cn n m cn n (ln x)α dx = n x cn dx = n (ln(ln cn ) − ln(ln m)) α = −1 x ln x m (ln x)α dx = n (ln(cn ))α+1 − (ln m)α+1 α > −1 x α+1 m Giả sử cn = n ln(ln n) α = −1 cn = Khi cn cn ∼ n n(ln n)α+1 α > −1 α+1 (ln x)α dx x m Theo Định lý 2.2.1 Bổ đề 2.3.2 ta có cn n P (Xi > x) dx ∼ nEX1 I(X1 ≤ cn ) ∼ n ln(ln cn ) ∼ n ln(ln n) bn = i=1 α = −1 n cn P (Xi > x) dx ∼ nEX1 I(X1 ≤ cn ) ∼ bn = i=1 n n (ln(cn ))α+1 ∼ (ln(n))α+1 α+1 α+1 α > −1 Do kết suy từ Định lý 2.2.2 2.3.9 Định lí Giả sử α > −1 giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu n−1 (ln(nx))α nhiên độc lập đôi một, không âm thỏa mãn P(Xn > x) ≈ tức x tồn số dương C1 ,C2 m > cho n−1 (ln(nx))α n−1 (ln(nx))α ≤ P(Xn > x) ≤ C2 với x ≥ m C1 x x n ≥ 37 Khi n Xi i=1 → theo xác suất , bn cn n n EXi I(Xi ≤ cn ) cn = (ln n)α+1 ln(ln n) P(Xi > x) dx ∼ bn = i=1 i=1 với n đủ lớn Chứng minh Chúng ta chứng minh cách sử dụng Định lý 2.2.1 Giả sử ln (x) = n−1 (ln(nx))α Đầu tiên tìm dãy khơng âm, không bị chặn cn cho cn n i=1 m li (x) dx ∼ cn x Theo Bổ đề 2.3.4, có n cn i=1 m n li (x) dx = x α+1 ∼ i=1 (ln(icn ))α+1 − (ln(im))α+1 i (ln n)α+1 ln(cn ) α+1 Do đó, ta lấy cn = (ln n)α+1 ln(ln n) với n đủ lớn Theo Bổ đề 2.3.4 ta có n n li (cn ) = i=1 i=1 ∼ Tiếp theo, (ln(icn ))α i (ln n)α+1 α+1 n li (cn ) i → cn 38 Hơn theo Bổ đề 2.3.4, cn n cn n li (x) dx = i=1 m i=1 m n = i=1 n ≤ i=1 icn i2 i2 (ln x)α dx im icn ∼ cn i=1 n li (cn ) ∼ Bên cạnh đó, với i=1 n (ln(icn ))α i cn (ln n)α+1 α+1 (ln n)α+1 , suy α+1 cn c−1 n (ln x)α dx m n ∼ (ln(ix))α dx i n li (x) dx = O i=1 m li (cn ) i=1 Do kết suy từ Định lý 2.2.1 2.3.10 Hệ Giả sử α > −1 giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến (ln(x + n))α ngẫu nhiên độc lập đôi một, không âm thỏa mãn P(Xn > x) = x+n Khi n i−1 Xi i=1 → theo xác suất (ln n)α+1 ln(ln n) Chứng minh Giả sử Yn = n−1 Xn với n ≥ Khi n−1 (ln(nx + n))α n−1 (ln(nx))α ≈ x+1 x Bây áp dụng Định lý 2.3.9 cho dãy biến ngẫu nhiên {Yn } Vì P(Xn > x) = cn = (ln n)α+1 ln(ln n) với n đủ lớn, áp dụng Bổ đề 2.3.4 ta có, với n 39 đủ lớn n cn bn = P(Yi > x) dx i=1 n cn = i=1 (ln(ix + i))α dx ix + i n 1 (ln(i(cn + 1)))α+1 − (ln )α+1 = α + i=1 i ∼ (ln n)α+1 ln(cn ) α+1 ∼ (ln n)α+1 ln(ln n) Do kết suy từ Định lý 2.3.9 40 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau đây: - Trình bày số kiến thức xác suất - Nêu định nghĩa, ví dụ hàm biến đổi chậm, số định lý bổ đề liên quan - Trình bày số luật yếu số lớn biến ngẫu nhiên độc lập khơng âm khơng có kỳ vọng hữu hạn số ứng dụng 41 42 Tài liệu tham khảo [1] Adler, A (2012) An exact weak law of large numbers Bull Inst Math Acad Sin (New Series) 7:417-422 [2] Adler, A (2017) Exact weak laws and one sided strong laws Bull Inst Math Acad Sin (New Series) 12:103-124 [3] Bingham, N H., Goldie, C.M., Teugels, J.L (1989) Regular Variation Cambridge University, Press, Cambridge [4] Chen, P., Sung, S.H (2018) Weak laws of large numbers for nonnegative independent random variables without finite means, Comm Statist Theory Methods, doi.org/10.1080/03610926.2018.1513145 [5] Feller, W (1968) An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol.I.Wiley, New York [6] Feller, W (1971) An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol.II.Wiley, New York [7] Gut, A (2004) An extension of the Kolmogorov – Feller weak law of large numbers with an applications to the St Petersburg game J Theoret Probab 17:769-779 [8] Nakata, T (2016) Weak laws of large numbers for weighted independent random variables with infinite mean Stat Probab Lett 109:124-129 [9] Nguyễn Văn Quảng, Nguyễn Văn Huấn, (2014), Cơ sở xác suất đại, NXB Đại học Vinh 43 ... , n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn 10 Chương Một số luật yếu số lớn biến ngẫu nhiên độc lập khơng âm khơng có kỳ vọng hữu hạn Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập không thiết phân phối... đề tài: "Một số luật yếu số lớn biến ngẫu nhiên độc lập không âm khơng có kỳ vọng hữu hạn" Cụ thể, giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập không âm, {ln (x), n ≥ 1} dãy hàm biến đổi chậm,... VINH PHAN VĂN QUYẾT MỘT SỐ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP KHÔNG ÂM KHÔNG CÓ KỲ VỌNG HỮU HẠN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 8460106 LUẬN VĂN