Khảo sát quấ trình lan truyền xung trong sợi quang khi tính đến hấp thụ phi tuyến và khuếch đại

Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là khảo sát sự tương tác giữa xung laser và môi trường sợi quang Nghiên cứu này sẽ xem xét ảnh hưởng của tán sắc bậc ba, hấp thụ phi tuyến và khuếch đại liên tục đối với quá trình lan truyền soliton quang học.

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm tài liệu có liên quan đến tán sắc bậc cáo, hấp thụ phi tuyến và quá trình lan truyền xung ngắn cơ ps

- Ảnh của tán sắc bậc ba, hấp thụ phi tuyến và khuếch đại liên tục lên quá trình lan truyền soliton quang học.

Phương pháp nghiên cứu đề tài

Dựa trên cách tiếp cận cổ điển để giải quyết bài toán tương tác giữa trường với vật chất

Sử dụng phương pháp nhiễu loại và phương pháp số để giải phương trình NLS.

LAN TRUYỀN XUNG LASER TRONG SỢI QUANG

Phương trình mô tả quá trình lan truyền xung laser trong sợi quang

Sự lan truyền sóng ánh sáng nói riêng và sóng điện từ nói chung trong môi trường được mô tả bằng hệ phương trình Maxwell [1,2]

 ( , ) r t và j r t ( , ) lần lượt là mật độ điện tích và mật độ dòng điện;

Véc tơ cường độ điện trường E(r,t), véc tơ cảm ứng điện D(r,t), véc tơ cường độ từ trường H(r,t) và véc tơ cảm ứng từ B(r,t) là những thành phần quan trọng trong lý thuyết điện từ Trong khi đó, sợi quang là một môi trường điện môi không có điện tích tự do, do đó trong hệ phương trình (1.1.1), mật độ điện tích ρ(r,t) và mật độ dòng điện j(r,t) gần như bằng 0.

Khi ánh sáng di chuyển qua một môi trường, sự tương tác giữa ánh sáng và môi trường sẽ tạo ra vectơ phân cực, ký hiệu là P(r, t) Mối quan hệ giữa các đại lượng điện trường E(r, t), độ dịch chuyển điện D(r, t) và vectơ phân cực P(r, t) được thể hiện qua các công thức liên quan.

Hoàn toàn tương tự, mối liên hệ của véc tơ cường độ từ trường và véc tơ cảm ứng từ là:

Trong đó các hằng số 0, 0 lần lượt là độ điện thẩm và từ thẩm đối với chân không

Khi sử dụng các nguồn sáng mạnh như laser, cường độ của các vectơ trường có thể so sánh với trường nội nguyên tử, dẫn đến hiện tượng phân cực phi tuyến P(r) Do đó, phần cực của môi trường có thể được biểu diễn một cách chính xác hơn.

Trong hệ phương trình (1.1.1), thành phần thứ nhất ở vế phải là vectơ phân cực tuyến tính, trong khi thành phần thứ hai là vectơ phân cực phi tuyến Mối liên hệ giữa hai thành phần phân cực này luôn thỏa mãn điều kiện P r t l   ,  P r t nl   , , và qua một số biến đổi, chúng ta có thể rút ra các kết quả quan trọng.

Trong (1.1.4) c là vận tốc ánh sáng trong chân không Mặt khác theo giải tích vectơ chúng ta luôn có:

Vì vậy kết hợp với (1.1.4) ta thu được:

Phương trình (1.1.6) là phương trình sóng phi tuyến tổng quát, nó biểu diễn sự lan truyền của sóng điện từ trong môi trường vật chất

Như đã nói ở trên, thành phần phi tuyến rất nhỏ so với thành phần tuyến tính nên ở đây ta sử dụng phép gần đúng là P r t nl   ,  0 E r t ( , ) vì vậy,

 E r t   ,  0 (1.1.7) Thay biểu thức trên vào (1.1.6) chúng ta thu được phương trình

Phương trình sóng phi tuyến (1.1.8) là dạng tổng quát mô tả quá trình lan truyền trong môi trường sợi quang

1.1.2 Phương trình mô tả quá trình lan truyền xung laser trong sợi quang

Khi nghiên cứu sự lan truyền của xung laser có độ rộng thời gian ngắn khoảng pico giây trong sợi quang, phân cực phi tuyến P  NL được coi là một yếu tố nhiễu loạn nhỏ so với phân cực tuyến tính P  L.

Trong trường laser, phổ xung thường được giả định gần như là đơn sắc, với phổ tập trung tại tần số  0 Độ rộng phổ của xung được ký hiệu là  , và luôn thỏa mãn điều kiện   /  0  1 Áp dụng gần đúng đường bao biến đổi chậm, véc tơ cường độ điện trường của xung có thể được diễn tả bằng một công thức cụ thể.

Vecto đơn vị theo hướng phân cực được ký hiệu là x ˆ, trong khi E(r, t) đại diện cho thành phần biến thiên chậm so với chu kỳ quang học Dựa vào đó, thành phần phân cực P  L và P  NL có thể được diễn đạt lại một cách cụ thể.

 (1.1.11) Đối với xung cỡ ps thì thành phần phi tuyến được viết lại:

Sử dụng các biểu thức trên và phương trình (1.1.8), đồng thời thực hiện các biến đổi như trong [1,3] chúng ta thu được phương trình

Gọi  là hệ số đặc trưng cho hiệu ứng phi tuyến bậc ba thì :

  được gọi là hệ số chiết suất phi tuyến Do đó phương trình

Phương trình (1.1.15) viết lại dưới dạng không có thứ nguyên là:

Phương trình sóng (1.1.16) mô tả quá trình lan truyền xung laser với độ rộng cỡ ps, được gọi là phương trình Schrodinger phi tuyến (NLS) Trong các thiết lập này, sự hấp thụ được bỏ qua, và hệ số β2 có thể là dương hoặc âm tùy thuộc vào bước sóng λ Đối với tán sắc dị thường (λ > λD), hệ số β2 là âm, cho phép sợi quang hỗ trợ lan truyền soliton quang học.

Phương pháp số để giải phương trình lan truyền

Phương trình Schrodinger phi tuyến là một phương trình đạo hàm riêng hai biến với các số hạng phi tuyến, do đó việc tìm nghiệm bằng phương pháp giải tích là không khả thi, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt Vì vậy, phương pháp số được coi là cách tiếp cận tổng quát nhất để nghiên cứu quá trình lan truyền.

Phương trình lan truyền xung (1.1.15) được viết dưới dạng sau:

Trong phương trình, L là toán tử tuyến tính chỉ phụ thuộc vào thời gian τ, không phụ thuộc vào biến ξ hoặc U(ξ, τ) Toán tử này bao gồm các đạo hàm bậc cao theo thời gian, dẫn đến hiện tượng GDV và tán sắc bậc cao.

N là toán tử phi tuyến nó phụ thuộc vào hàm bào U     , Đây là nguyên nhân gây ra các hiện tượng phi tuyến tự biến điệu pha

Phương trình (1.2.1) có thể viết dưới dạng:

Thực hiện tích phân phương trình trong khỏa lan truyền đủ nhỏ , chúng ta có

Do toán từ L độc lập với biến  nên ta có

Sử dụng công thức Baker – Campbell – Hausdorff [1,2]

Trong đó X, Y là các toán tử, còn ký hiệu [ ] là giao hoán tử Vì vậy khi   đủ nhỏ thì ta có thể viết:

   (1.2.6) Kết hợp các biểu thức trên chúng ta thu được:

Khi bước không gian Δξ rất nhỏ, các lũy thừa bậc cao có thể bị bỏ qua so với bậc nhất Hơn nữa, các toán tử A và B giao hoán với nhau, tức là [A, B] gần bằng 0, trong khi các toán tử liên quan đến lũy thừa và NQ thường không giao hoán.

Từ biểu thức(1.2.8) ta có gần đúng:

Như vậy sự lan truyển theo các bước không gian được xác định theo biểu thức:

Thực hiện một số biến đổi, chúng ta thu được biểu thức mô tả thuật toán split – step bậc hai để giải số phương trình NLS:

Biểu thức (1.2.11) giúp ta xác định giá trị gần đúng của hàm bao tại vị trí

   khi đã biết hàm bao tại vị trí .

Ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm và phi tuyến Kerr

1.3.1 Ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm Để nghiên cứu ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm lên xung laser lan truyền trong sợi quang, trước hết bỏ qua số hạng phi tuyến trong phương trình (1.1.15), ta thu được

Phương trình trên viết trong hệ toa độ mới gắn với đỉnh xung thông qua phép đặt biến số z '  z T ;   t  1 z có dạng

Chuyển phương trình trên sang miền tần số, chúng ta thu được nghiệm

A (1.32) Để thu được nghiệm biểu dienx sự phụ thuộc vào thời gian và không gian chúng ta biến đổi ngược phương trình (1.3.2):

Từ biểu thức (1.3.3) chúng ta thấy rằng:

Hiệu ứng GVD (Group Velocity Dispersion) ảnh hưởng đến pha của xung laser khi nó di chuyển qua sợi quang Mặc dù pha của xung có thể thay đổi trong quá trình lan truyền, nhưng điều này không làm thay đổi phổ của xung, vì chúng ta luôn duy trì được tính chất phổ ổn định.

A Để làm rõ các nhận xét trên ta xét trường hợp xung Gauss:

Độ rộng xung T₀ được xác định tại giá trị mà cường độ xung đạt 1/e của cường độ đỉnh Khi xung đầu vào có dạng (1.3.4), nghiệm mô tả xung tại bất kỳ vị trí nào sẽ được tính toán dựa trên công thức này.

Xung Gauss trong sợi quang sẽ bị ảnh hưởng bởi tán sắc vận tốc nhóm, dẫn đến việc đỉnh xung giảm theo quy luật nhất định Điều này cũng gây ra sự gia tăng độ rộng xung theo khoảng cách truyền dẫn.

Sự thay đổi pha và tần sô của xung lan truyền có dạng:

Từ các biểu thức (1.3.7) và (1.3.8), chúng ta nhận thấy rằng trong quá trình truyền, pha của xung biến đổi theo thời gian Tần số của xung sẽ thay đổi một cách tuyến tính và phụ thuộc vào dấu của biến số liên quan.

Hình 1.1: Lan truyền của xung Gauss trong sợi quang dưới ảnh hưởng của tán sắc

Hình 1.1 minh họa sự thay đổi của xung Gauss trong sợi quang, khi xem xét hiện tượng tán sắc vận tốc Hiện tượng này làm cho cường độ đỉnh của xung giảm dần theo quãng đường truyền, trong khi vị trí đỉnh xung vẫn không thay đổi (hình 1a) Đồng thời, độ rộng của xung cũng tăng theo quãng đường lan truyền (hình 1b).

1.3.2 Ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm và phi tuyến Kerr

Số hạng phi tuyến Kerr trong phương trình NLS dẫn đến hiện tượng tự biến điệu pha (SPM), liên quan đến sự thay đổi về thời gian và tần số của xung mà không ảnh hưởng đến cường độ xung Để làm rõ tác động của SPM lên xung laser trong sợi quang, chúng ta giả định hiệu ứng tán sắc là không đáng kể so với bước sóng trung tâm của xung vào Khi đó, trong phương trình (1.1.15), chúng ta đặt β2 = 0 và thực hiện các biến đổi cần thiết để thu được phương trình cho hàm bao biến thiên chậm.

Phương trình trên có nghiệm là:

A   (1.3.10) Ở đây, A(0,t) là hàm bao biến thiên chậm tại điểm vào sợi quang, còn sự biến đổi pha của xung laser được xác định bởi biểu thức

Các biểu thức trên chỉ ra rằng pha của xung sẽ thay đổi khi xung di chuyển trong sợi quang, trong khi độ rộng và hình dạng của xung vẫn giữ nguyên Tuy nhiên, sự thay đổi này không đồng nhất cho mọi xung, vì pha của xung phụ thuộc vào cường độ theo thời gian, dẫn đến sự dịch chuyển tần số tức thời.

Khi tính đến hệ số phi tuyến Kerr, quá trình xung lan truyền trong sợi quang tạo ra các thành phần tần số mới liên tục Hiệu ứng tự biến điệu pha không chỉ tạo ra những thành phần tần số này mà còn dẫn đến sự mở rộng phổ của xung laser.

Giải số phương trình (1.3.9) với xung đầu vào có dạng Gauss, chúng ta thu được các kết quả như trên trên các hình 1.2

Hình 1.2 minh họa sự dịch tần số (T) của xung Gauss khi truyền qua sợi quang, chịu ảnh hưởng của hiện tượng tự biến điệu pha Độ dịch tần số này được thể hiện như một hàm của thời gian và không gian, cho thấy sự biến đổi rõ rệt trong quá trình truyền dẫn.

 âm ở phía cạnh trước của xung (dịch chuyển về phía sóng đỏ) và trở nên dương về phía cạnh sau (dịch về phía sóng xanh)

Trong chương này, chúng tôi trình bày phương trình tổng quát mô tả quá trình lan truyền xung laser trong sợi quang Bài viết cũng phân tích tác động của hiện tượng tán sắc và phi tuyến Kerr đối với xung lan truyền trong sợi quang.

KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN XUNG TRONG SỢI

Soliton quang học

2.2.1 Điều kiện cần bằng giữa hiệu ứng tán sắc và tự biến điệu pha

Khi xung laser lan truyền trong môi trường sợi quang, hình dạng và phổ của xung sẽ thay đổi liên tục do các thành phần tần số khác nhau lan truyền với vận tốc nhóm khác nhau Đối với xung có cường độ lớn, môi trường trở thành phi tuyến và hiện tượng tự biến điệu pha do phi tuyến Kerr gây ra trở nên quan trọng, làm thay đổi pha và phổ của xung Trong môi trường tán sắc dị thường, độ rộng xung sẽ mở rộng và cường độ đỉnh sẽ giảm dần Tuy nhiên, ảnh hưởng của hiện tượng tự biến điệu pha sẽ làm nén xung, ngược lại với sự mở rộng xung của tán sắc vận tốc nhóm Khi quãng đường đặc trưng của hai hiện tượng này bằng nhau và xung vào có dạng Sech, hình dạng và phổ của xung sẽ không thay đổi trong quá trình lan truyền, tương tự như trong môi trường không phi tuyến và không tán sắc Hiện tượng này xảy ra khi hiệu ứng tự biến điệu pha và tán sắc vận tốc nhóm triệt tiêu lẫn nhau, dẫn đến sự hình thành các sóng ổn định gọi là sóng cô đơn (solitary), trong đó soliton quang học là một dạng đặc biệt.

2.1.2 Soliton cơ bản và các soliton bậc cao

Hệ số N trong phương trình NLS quyết định bậc của soliton và liên quan đến công suất của đỉnh xung vào sợi quang Đối với môi trường tán sắc dị thường, phương trình NLS có thể được viết lại để phản ánh các đặc điểm này.

Phương trình (2.1.1) là một phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, có thể được giải bằng phương pháp giải tích trong một số trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như phương pháp tán xạ ngược Nó chứa các lớp nghiệm soliton cho cả môi trường GVD thường và môi trường dị thường Tuy nhiên, các lớp nghiệm soliton sáng trong quang học chỉ được phát hiện trong môi trường tán sắc dị thường.

Xét trường hợp xung vào có dạng

Hệ số N thể hiện biên độ của xung, và bằng phương pháp tán xạ ngược, chúng ta có thể xác định biểu thức giải tích cho các lớp nghiệm của soliton bậc nhất và bậc hai.

Lớp nghiệm Soliton quang bậc nhất:

U    e    (2.1.3) Lớp nghiệm Soliton quang bậc hai:

Từ các biểu thức (2.1.3) và (2.1.4) biểu diễn các lớp nghiệm soliton quang bậc nhất và bậc hai chúng ta rút ra được một số kết luận:

 Soliton quang bậc nhất có hàm bao và phổ không thay đổi trong suốt quá trình lan truyền

Soliton quang bậc hai có sự thay đổi theo hàm, nhưng sự thay đổi này diễn ra một cách tuần hoàn Đồng thời, sự thay đổi này cũng gây ra sự biến đổi tuần hoàn trong phổ xung.

 Chu ky biến thiên tuần hoàn của biên độ là z 0 2

 LD , nghĩa là là tuần hoàn theo chu kỳ

 khi tính theo biến chuẩn hoá 

Hình 2.1 Sự lan truyền trong sợi quang của soliton bậc nhất trên hai chu kỳ

Áp dụng phương pháp số đã nêu trong chương 1, chúng ta tiến hành giải trực tiếp phương trình (2.1.1), và các kết quả thu được được thể hiện qua hình 2.1 a và 2.1 b.

Kết quả nghiên cứu cho thấy soliton bậc nhất có hàm bao và phổ luôn giữ nguyên khi di chuyển trong môi trường sợi quang tán sắc dị thường Đây là một trường hợp đặc biệt, nơi có sự cân bằng hoàn hảo giữa hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng biến điệu pha.

Hình 2.2 Sự lan truyền trong sợi quang của soliton quang học bậc hai trên hai chu kỳ

Hình 2.2 a và 2.2 b minh họa sự lan truyền của soliton bậc hai (N = 2) trong khoảng cách bằng hai chu kỳ, cho thấy hình dạng xung của soliton quang học bậc 2 thay đổi theo chu kỳ bằng /2 Trong quá trình lan truyền, cường độ xung liên tục biến đổi và đạt giá trị cực đại gấp bốn lần cường độ đầu vào tại một nửa chu kỳ.

Sự biến thiên tuần hoàn theo chu kỳ bằng /2 là đặc điểm chung của mọi soliton bậc cao, như minh họa trong hình 2.3 với quá trình lan truyền của soliton bậc 4 Mặc dù cường độ và phổ xung của soliton bậc cao có sự thay đổi phức tạp, nhưng chúng luôn tuân theo chu kỳ /2 Sau mỗi chu kỳ, xung sẽ trở lại hình dạng ban đầu giống như xung đầu vào.

Hình 2.3 Sự lan truyền trong sợi quang của soliton quang học bậc bốn trên một chu kỳ

2.1.3 Ảnh hưởng của hấp thụ lên soliton quang học

Trong các tính toán trước đây, chúng ta đã bỏ qua sự hấp thụ của môi trường, một yếu tố quan trọng không thể xem nhẹ khi nghiên cứu sự lan truyền của xung laser trong môi trường.

Trong chương 1, chúng ta đã chỉ ra rằng hiện tượng tự biến điệu pha phụ thuộc vào cường độ xung Soliton quang học hình thành từ sự cân bằng giữa tính phi tuyến của sợi và tán sắc sợi trong quá trình lan truyền Tuy nhiên, sự có mặt của hấp thụ sẽ gây ra suy giảm năng lượng của soliton, dẫn đến giảm ảnh hưởng của phi tuyến và làm mất cân bằng giữa hai hiệu ứng, từ đó gây ra sự giãn nở của soliton Để xác định ảnh hưởng của hấp thụ, chúng ta chỉ cần thêm một hệ số mô tả sự suy giảm năng lượng vào phương trình (1.1.15), từ đó thu được phương trình mới.

Để giải số phương trình, chúng ta cần chuyển đổi nó về dạng không thứ nguyên bằng cách sử dụng phép đặt biến số mới, như đã trình bày trong chương 1.

  (2.1.6) Trong phương trình (2.1.6),  là hệ số hấp chuẩn hóa,

Hệ số này phản ánh sự mất mát trên một chiều dài tương ứng với quãng đường đặc trưng của hiện tượng tán sắc Khi xem xét Γ, số hạng cuối cùng có thể được coi là một nhiễu loạn nhỏ, do đó phương trình (2.1.7) sẽ có nghiệm ở dạng nhất định.

Từ biểu thức nghiệm (2.1.8) chúng ta có thể xác định được độ rộng soliton phụ thộc vào quãng được lan truyền theo biểu thức hàm mũ

Biểu thức (2.1.9) mô tả sự thay đổi của độ rộng xung theo quãng đường lan truyền, chỉ áp dụng khi hệ số suy hao rất nhỏ, coi như một nhiễu loạn nhỏ.

Hình 2.4 minh họa sự thay đổi của độ rộng xung soliton trong sợi quang có suy hao, liên quan đến soliton cơ bản Để phân tích ảnh hưởng của hấp thụ khi hệ số hấp thụ  không được coi là nhiễu loạn, chúng tôi đã tiến hành giải số phương trình (2.1.6) Kết quả của nghiên cứu được trình bày trong hình 2.4.

 Đường màu đỏ là kết quả giải tích xác định theo (2.1.9) với hệ số hấp thụ

 Đường màu xanh là kết quả mô phỏng số ứng với hệ số hấp thụ  = 00.1 và hệ số N =1, nghĩa là tương ứng với soliton bậc nhất;

 Đường màu đen tương ứng với trường hợp sự mở rộng xung do hiện tượng tán sắc gây nên

Khảo sát quá trình lan truyền xung trong sợi quang khi tính đến hấp thụ

2.2.1 Phương trình lan truyền khi tính đến hấp thụ phi tuyến

Trong hệ thống thông tin quang soliton, hiện tượng hấp thụ và tán sắc có thể phá vỡ sự ổn định của tín hiệu Mặc dù trong nhiều nghiên cứu, hấp thụ của sợi quang thường được coi là tuyến tính, nhưng khi sử dụng các loại sợi quang mới như sợi quang pha tạp bán dẫn và sợi quang chì-silic, thì yếu tố hấp thụ phi tuyến trở nên không thể xem nhẹ.

Lan truyền xung trong môi trường có hấp thụ phi tuyến và tán sắc bậc ba được mô tả bởi phương trình Schrödinger phi tuyến suy rộng Bằng cách bổ sung các hệ số hấp thụ phi tuyến và tán sắc bậc ba vào phương trình (1.1.15), chúng ta có thể thu được những kết quả quan trọng về hành vi của xung trong môi trường này.

Hệ số hấp thụ tuyến tính và phi tuyến được ký hiệu lần lượt là  0 và  2 Phương trình này tương tự như phương trình trong tài liệu [5], nhưng có sự khác biệt do ảnh hưởng của tán sắc bậc ba được đưa vào thông qua số hạng thứ ba ở vế phải Chúng ta có thể chuẩn hóa phương trình (2.1.10).

   , (2.1.11) ở đây u, T, Z là các biến chuẩn hoá được xác định theo biêu thức

Chiều dài tán sắc (L D) và độ rộng xung (T 0) được đề cập trong công thức (2.1.13) Trong nghiên cứu này, xung được giả định lan truyền trong miền tán sắc dị thường (β 2