Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là khảo sát sự tương tác giữa trường laser và sợi quang, đồng thời phân tích ảnh hưởng của tác sắc bậc cao và phi tuyến Kerr đối với quá trình phân tách soliton.
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm tài liệu có liên quan đến sợi quang và hiện tượng tán sắc, phi tuyến kerr, đọc nghiên cứu những tài liệu đó
Nghiên cứu này tập trung vào ảnh hưởng của tán sắc bậc cao và phi tuyến Kerr đối với sự lan truyền xung trong sợi quang phi tuyến Kết quả cho thấy những yếu tố này có tác động đáng kể đến quá trình phân tách soliton khi chúng di chuyển trong sợi quang, mở ra hướng nghiên cứu mới cho việc tối ưu hóa hiệu suất truyền dẫn trong các hệ thống quang học.
Phương pháp nghiên cứu đề tài
Dựa trên cách tiếp cận cố điển đề giải quyết bài toán tương tác giữa trường với vật chất
PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN XUNG TRONG SỢI QUANG ĐƠN MỐT 1.1 Hệ phương trình Maxwell
Điều kiện đơn mốt
Sợi quang có khả năng hỗ trợ một số mốt lan truyền hữu hạn, với sự phân bố không gian 𝐸⃗ (𝑟 , 𝜔) là nghiệm của phương trình sóng (1.1.17) và đáp ứng các điều kiện biên phù hợp Nhờ vào tính đối xứng trụ của sợi, phương trình (1.1.17) có thể được viết lại trong hệ tọa độ trụ ρ, φ, và z.
𝜕𝑧 2 + 𝑛 2 𝑘 𝑜 𝐸⃗ ̃ = 0 (1.2.1) trong đó k0 = ω / c = 2π / λ và 𝐸⃗ ̃ là biến đổi Fourier của điện trường 𝐸⃗ , tức là,
Thường thì chọn 𝐸̃ 𝑧 và 𝐻̃ 𝑧 là các thành phần độc lập và biểu diễn 𝐸̃ 𝜌 , 𝐸̃ ∅, 𝐻̃ 𝜌 ,và
H̃ ∅ theo Ẽ z và H̃ z đều thỏa mãn phương trình (1.2.1) Phương trình sóng cho Ẽ z có thể được giải quyết dễ dàng bằng phương pháp tách biến, dẫn đến nghiệm tổng quát.
𝐸̃ 𝑧 (𝑟, 𝜔) = 𝐴(𝜔)𝐹(𝜌) exp(𝑖𝑚∅) exp(𝑖𝛽𝑧) (1.2.3) trong đó A chỉ phụ thuộc vào tần số, β là hằng số lan truyền, m là một số nguyên, và F (ρ) là nghiệm của
𝜌 2 ) 𝐹 = 0 (1.2.4) Phương trình (1.2.4) là phương trình vi phân nổi tiếng của các hàm Bessel Nghiệm tổng quát của nó bên trong lõi có thể được viết như sau:
𝐹(𝜌) = 𝐶 1 𝐽 𝑚 (𝑝𝜌) + 𝐶 2 𝑁 𝑚 (𝑝𝜌) (1.2.5) trong đó 𝐽 𝑚 (𝑥) là hàm Bessel.𝑁 𝑚 (𝑥) là hàm Neumann, và p được định nghĩa là p = (𝑛 1 2 𝑘 0 − 𝛽 2 ) 1/2 Các hằng số C1 và C2 được xác định bằng cách sử dụng điều kiện biên
Khi Nm (pρ) có điểm dị thường ở ρ = 0, C2 = 0 cho một nghiệm có ý nghĩa vật lí Hằng số C1 có thể được hấp thụ trong A xuất hiện trong phương trình (1.2.3) Vì vậy,
Sử dụng các hàm đa biệt chúng ta viết phương trình trị riêng trực tiếp [1]:
𝑎𝑛 1 𝑝 2 𝑞 2 ) (1.2.8) Trong đó một “dấu phẩy” biểu hiện phép lấy vi phân đối với sự lập luận trên và chúng ta sử dụng mối liên hệ quan trọng sau p 2 + q 2 = (𝑛 1 2 − 𝑛 𝑐 2 )𝑘 0 2 (1.2.9) Phương trình riêng (1.2.8) nói chung có một số nghiệm cho β ứng với mỗi giá trị số nguyên của m Thường thì biểu diễn các nghiệm này bằng βmn, trong đó cả m và n đều lấy các giá trị số nguyên Mỗi giá trị riêng βmn tương ứng với một mốt cụ thể được hỗ trợ bởi các sợi Sự phân bố trường modal tương ứng thu được từ phương trình (1.2.3)
Số mốt được xác định bởi một sợi riêng biệt tại bước sóng cụ thể, phụ thuộc vào các tham số thiết kế như bán kính lõi và sự khác biệt về chỉ số võ lõi từ n1 đến nc Tần số cắt của mỗi mốt là một tham số quan trọng, được xác định khi q=0 Giá trị của p tại q=0 cho phép xác định tần số cắt từ phương trình (1.2.9), và tần số này được sử dụng để định nghĩa một tần số chuẩn hóa V thông qua mối quan hệ đã nêu.
𝑉 = 𝑝 𝑐 𝑎 = 𝑘 0 𝑎(𝑛 1 2 − 𝑛 𝑐 2 ) 1 2 ; (1.2.10) Trong đó pc thu được từ phương trình (1.2.9) bằng cách cho q=0
Sợi đơn mốt chỉ hỗ trợ mốt H E11, hay còn gọi là mốt cơ bản, trong khi các mốt khác vượt quá giới hạn khi V < Vc, với Vc là nghiệm nhỏ nhất của J0(Vc)= 0, xấp xỉ 2.405 Giá trị thực của V là một tham số thiết kế quan trọng, vì tổn thất vi mô thường tăng lên khi tỷ lệ V / Vc giảm Do đó, sợi được thiết kế để V gần với Vc Bước sóng giới hạn λc cho các sợi đơn mốt được tính bằng k0 = 2π / λc và V = 2.405 trong phương trình (1.2.10).
Phân bố trường 𝐸⃗ (𝑟 , 𝑡) tương ứng với mốt H E11 có ba thành phần khác không: Eρ, Eφ, và Ez, hoặc trong tọa độ Cartesian: Ex, Ey và Ez Trong số này,
Ex hoặc Ey chiếm ưu thế trong việc phân cực tuyến tính của sợi mốt cơ bản, tùy thuộc vào hướng chiếm ưu thế của chúng Khi ánh sáng tới được phân cực dọc theo trục chính (trục x), trường điện cho chế độ sợi cơ bản HE11 sẽ được xác định tương ứng.
𝐸⃗ ̃(𝑟 , 𝜔) = 𝑥̂{𝐴(𝜔)𝐹(𝜔)exp [𝑖𝛽(𝜔)𝑧]} (1.2.11) trong đó A (ω) là một hằng số đã chuẩn hóa Sự phân bố ngang trong lõi được tìm thấy là
F (x, y) = J0 (pρ), ρ ≤ a, (1.2.12) trong đó ρ = (x 2 + y 2 ) 1/2 là khoảng cách xuyen tâm Bên ngoài sợi lõi, trường phân rã theo cấp số nhân như [1]
Hằng số truyền β (ω) trong phương trình F (x, y) = (a / ρ) 1/2 J0 (p a) exp [-q (ρ - a)], ρ ≥ a, được xác định bằng cách giải phương trình trị riêng (1.2.8) Sự phụ thuộc tần số của β không chỉ liên quan đến n1 và nc mà còn phụ thuộc vào tần số của p Để tính giá trị β (ω), thường cần sử dụng nghiệm số cho phương trình (1.2.8), mặc dù có thể có các biểu thức gần đúng trong một số trường hợp cụ thể Chỉ số mốt hiệu dụng được liên kết với β thông qua công thức neff = β/k0.
Khi áp dụng phương pháp phân bố F(x, y) từ các phương trình (1.2.12) và (1.2.13), thực tế cho thấy quá trình này rất phức tạp Thông thường, một mô hình cơ bản được sử dụng là phân bố Gaussian.
F (x, y) ≈ exp [- (x² + y²) / w²], với tham số độ rộng w được xác định qua đường cong phù hợp Hình 2.1 minh họa sự phụ thuộc của w/a vào tham số sợi quang V, được định nghĩa bởi phương trình (1.2.10) Sự so sánh giữa phân bố trường thực tế và phân bố Gaussian thích hợp cũng được trình bày cho giá trị V = 2.4 Phép tính gần đúng giá trị w đạt độ chính xác 1% trong khoảng 1,2 < V < 2,4 được cho bởi công thức w/a ≈ 0.65 + 1.619V^(-3/2) + 2.879V^(-6).
Phương trình lan truyền xung trong sợi quang đơn mốt
Nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang học chủ yếu tập trung vào việc sử dụng xung ngắn với độ rộng từ 10 ns đến 10 fs Khi các xung quang học di chuyển trong sợi, hiệu ứng tán sắc và phi tuyến đều tác động đến hình dạng và phổ của chúng Sử dụng các phương trình (1.1.8) và (1.1.17), có thể mô tả các hiệu ứng này một cách chính xác.
𝜕𝑡 2 (1.3.1) trong đó các phần tuyến tính và phi tuyến của sự phân cực gây ra có liên quan đến điện trường 𝐸⃗ (𝑟 , 𝑡) qua phương trình (1.1.9) và (1.1.10), tương ứng
Trong gần đúng hàm bao biến đổi chậm, điện trường của xung được viết dưới dạng:
Công thức 2𝑥 ̂ [𝐸(𝑟 , 𝑡)𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝜔 0 𝑡) + 𝑐 𝑐 ] (1.3.2) thể hiện rằng 𝑥̂ là vecto phân cực đơn vị và 𝐸(𝑟 , 𝑡) là hàm thay đổi chậm theo thời gian Bên cạnh đó, các thành phần phân cực 𝑃⃗ 𝐿 và 𝑃⃗ 𝑁𝐿 cũng có thể được diễn đạt theo một cách tương tự.
2𝑥̂[𝑃 𝑁𝐿 (𝑟,⃗⃗ 𝑡) exp(−𝑖𝜔 0 𝑡) + 𝑐 𝑐 ], (1.3.4) Điều kiện kết hợp pha nhìn chung không đáng kể trong các sợi quang học Do đó 𝑃⃗ 𝑁𝐿 (𝑟 , 𝑡) được cho bởi
𝑃⃗ 𝑁𝐿 (𝑟 , 𝑡) ≈ 𝜖 0 𝜖 𝑁𝐿 𝐸(𝑟 , 𝑡) (1.3.5) trong đó sự đóng góp phi tuyến tính vào hằng số điện môi được định nghĩa là
Để xây dựng phương trình sóng cho biên độ thay đổi chậm 𝐸(𝑟 , 𝑡), việc làm việc trong miền Fourier sẽ mang lại sự thuận tiện Trong một phương pháp xấp xỉ, 𝜖 𝑁𝐿 được coi là hằng số khi thực hiện đạo hàm của phương trình truyền Biến đổi Fourier 𝐸̃(𝑟 , 𝜔 − 𝜔 0 ) được định nghĩa để hỗ trợ trong quá trình này.
Và nó phải thỏa mãn phương trình Helmholtz
Hằng số điện môi 𝜖(𝜔) có thể được sử dụng để xác định chiết suất n và hệ số hấp thụ α, tương tự như phương trình (1.1.14) Tuy nhiên, cả hai giá trị này đều phụ thuộc vào cường độ của 𝜖 𝑁𝐿 Cụ thể, chiết suất được điều chỉnh thành ñ = n + n̅ 2 |𝐸| 2, trong khi hệ số hấp thụ được điều chỉnh thành ∝̃=∝ +𝛼 2 |𝐸| 2 Trong việc đo chiết suất n̅ 2 và hệ số hấp thụ hai photon α 2, các giá trị này sẽ được xác định rõ ràng hơn.
Vì α 2 tương đối nhỏ đối với sợi silic, nên thường bị bỏ qua
Phương trình (1.3.10) có thể được giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp tách các biến Nếu chúng ta giả sử một nghiệm có dạng
𝐸̃(𝑟 , 𝜔 − 𝜔 0 ) = 𝐹(𝑥, 𝑦)𝐴̃(𝑧, 𝜔 − 𝜔 0 ) exp(𝑖𝛽 0 𝑧) ; (2.3.12) trong đó 𝐴̃(𝑧, 𝜔) là hàm số biến đổi chậm của z và β0 là số sóng được xác định sau, phương trình (2.3.10) dẫn đến hai phương trình sau đây cho F (x, y) và𝐴̃(𝑧, 𝜔)
𝜕𝑧 + (𝛽̃ 2 − 𝛽 0 2 )𝐴̃ = 0 (1.3.14) Hằng số điện môi 𝜖(𝜔) trong phương trình (1.3.15) có thể được xấp xỉ bằng
Trong đó ∆𝑛 là một sự nhiễu loạn nhỏ xác định bởi
Đối với một sợi đơn mốt, hàm F(x, y) thể hiện phân bố của chế độ sợi cơ bản HE11, được mô tả bởi các phương trình (1.2.12) và (1.2.13) hoặc qua phép xấp xỉ Gaussian (1.2.14) Trong lý thuyết nhiễu loạn bậc nhất, sự thay đổi ∆𝑛 không ảnh hưởng đến phân bố của F(x, y) Tuy nhiên, trị riêng 𝛽̃ lại trở thành yếu tố quan trọng.
∬ |𝐹(𝑥, 𝑦)| −∞ ∞ 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 (1.3.18) Dạng của β(ω) hiếm khi được biết đến như một hàm số chính xác, nó thường được khai tiển thành một chuỗi Taylor xung quanh tần số sóng mang ω0
6(𝜔 − 𝜔 0 ) 3 +……, (1.3.19) trong đó 𝛽 0 ≡ 𝛽(𝜔 0 ) và các tham số khác được định nghĩa là
(𝑚 = 1,2, … … ) (1.3.20) Việc mở rộng tương tự nên được thực hiện cho ∆𝛽(𝜔) , tức là
Các giá trị bậc ba và bậc cao hơn trong phép khai triển (1.3.21) có thể được bỏ qua nếu bề rộng phổ của xung đáp ứng điều kiện ∆𝜔 ≪ 𝜔 0 Sau khi thực hiện các phép rút gọn, chúng ta thu được phương trình kết quả cho A(z, t).
2𝐴 = 𝑖𝛾(𝜔 0 )|𝐴| 2 𝐴 (1.3.22) Trong đó tham số phi tuyến 𝛾 được định nghĩa là
𝜖 0 𝑛𝑐, (1.3.23) Với diện tích mốt hiệu dụng của sợi được định nghĩa là
Giá trị số của tham số phi tuyến γ phụ thuộc vào cách phân bố F(x,y) của mốt cơ bản Rõ ràng, 𝐴 𝑒𝑓𝑓 chịu ảnh hưởng bởi các thông số của sợi như bán kính lõi và sự khác biệt chiết suất lõi Nếu F(x, y) được xấp xỉ bằng một hàm Gaussian, thì
𝐴 𝑒𝑓𝑓 = 𝜋𝑤 2 Thông thường, 𝐴 𝑒𝑓𝑓 có thể thay đổi trong phạm vi từ 1-100μm 2 , tùy thuộc vào dạng sợi
Phương trình (2.3.22) mô tả sự truyền lan của xung quang học trong các sợi đơn mốt, liên quan đến phương trình Schrodinger phi tuyến tính (NLS) và có thể được rút gọn dưới những điều kiện nhất định Nó bao gồm các hiệu ứng tổn thất của sợi thông qua hệ số α, sự tán sắc qua β1 và β2, cùng với các sợi phi tuyến tính thông qua hệ số γ.
Mặc dù phương trình (1.3.24) đã thành công trong việc giải thích nhiều hiệu ứng phi tuyến, nó có thể cần điều chỉnh tùy theo điều kiện xung vào Đặc biệt, phương trình này được sửa đổi cho các xung quang cực ngắn với độ rộng gần 1 ps.
Số hạng cuối trong phương trình tỷ lệ thuận với TR, xuất phát từ phản ứng Raman, dẫn đến sự thay đổi tần số TR liên quan đến độ dốc của phổ khuếch đại Raman trong khu vực gần tần số sóng mang ω0.
Phương pháp tách bước Fourier
Phương trình NLS (1.3.25) là một phương trình vi phân từng phần phi tuyến tính, đòi hỏi cần có phương pháp số để nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang học Nhiều phương pháp số đã được phát triển cho mục đích này, chủ yếu được chia thành hai loại: phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp giả lặp Một trong những phương pháp phổ biến để giải quyết vấn đề truyền xung trong môi trường tán sắc phi tuyến là phương pháp bước tách Fourier Để áp dụng phương pháp tách bước Fourier, ta cần viết phương trình (1.3.25) dưới dạng chính thức.
Trong phương trình 𝜕𝑧 = (𝐷̂ + 𝑁̂)𝐴, 𝐷̂ đại diện cho một toán tử vi phân gây ra tán sắc và mất mát trong môi trường tuyến tính, trong khi 𝑁̂ là toán tử phi tuyến điều khiển hiệu ứng của sợi phi tuyến Các toán tử này đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các hiện tượng vật lý trong hệ thống.
Sự tán sắc và phi tuyến tính ảnh hưởng đến sự truyền ánh sáng dọc theo sợi quang Phương pháp Fourier phân chia bước cung cấp một giải pháp xấp xỉ bằng cách giả định rằng các hiệu ứng tán sắc và phi tuyến có thể hoạt động độc lập trong khoảng cách ngắn Cụ thể, quá trình truyền từ z đến z+h diễn ra qua hai bước: bước đầu tiên với 𝐷̂ = 0 trong phương trình (1.4.1) và bước thứ hai với thành phần tán sắc hoạt động độc lập, trong đó 𝑁̂ = 0.
Phương trình (1.4.4) cho thấy rằng toán tử hàm số mũ exp(ℎ𝐷̂) có thể được ước lượng trong miền Fourier thông qua phương trình (1.4.5), trong đó FT biểu thị phép biến đổi Fourier Toán tử 𝐷̂(−𝑖𝜔) được xác định bằng cách thay thế toán tử ∂/∂ T bằng -iω, với ω là tần số trong miền Fourier Việc đánh giá phương trình (1.4.5) trở nên đơn giản vì 𝐷̂(𝑖𝜔) chỉ là một số trong không gian Fourier Sử dụng thuật toán FFT giúp việc tính toán phương trình này nhanh chóng, và do đó, phương pháp phân tách Fourier có thể nhanh hơn tới hai bậc so với hầu hết các phương pháp sai phân hữu hạn Để đánh giá độ chính xác của phương pháp này, chúng tôi lưu ý rằng một nghiệm chính xác của phương trình (1.4.1) đã được đưa ra.
Công thức \( A(z + h, T) = \exp[h(\hat{D} + \hat{N})] A(z, T) \) được thiết lập với giả thiết rằng \( \hat{N} \) độc lập với \( z \) Công thức này nhấn mạnh việc áp dụng công thức Baker-Hausdorff cho hai toán tử không giao hoán \( \hat{a} \) và \( \hat{b} \), thể hiện rằng \( \exp(\hat{a}) \exp(\hat{b}) = \exp(\hat{a} + \hat{b} + 1) \).
12[𝑎̂ − 𝑏̂, [𝑎,̂ 𝑏̂]] + ⋯ ) (1.4.7) trong đó [𝑎,̂ 𝑏̂] = 𝑎̂𝑏̂ −𝑏̂𝑎̂ với 𝑎̂ = ℎ𝐷̂ và 𝑏̂ = ℎ𝑁̂, điều kiện sai số chiếm ưu thế được tìm thấy là kết quả từ phép hoán tử 1
Phương pháp phân tách Fourier đạt độ chính xác bậc hai trong kích thước bước h Để cải thiện độ chính xác của phương pháp này, có thể áp dụng một quy trình khác để truyền xung quang trên đoạn từ z đến z + h Trong quy trình này, phương trình (1.4.4) sẽ được thay thế bằng một phương trình mới.
Tích phân trong số mũ ở giữa là cần thiết để xem xét sự phụ thuộc của toán tử phi tuyến 𝑁̂ vào biến z Khi kích thước bước h đủ nhỏ, nó có thể được xấp xỉ bằng 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑁̂), tương tự như trong phương trình (1.4.4) Một lợi thế quan trọng của việc sử dụng dạng đối xứng của phương trình (1.4.8) là kết quả sai số đầu tiên, phát sinh từ bộ đôi hoán tử trong phương trình (1.4.7), có bậc thứ ba liên quan đến kích thước bước h Điều này có thể được xác minh thông qua việc áp dụng phương trình.
Độ chính xác của phương pháp phân tách Fourier có thể được cải thiện bằng cách đánh giá tích phân trong phương trình (1.4.8) một cách chính xác hơn thông qua xấp xỉ ℎ𝑁̂(𝑧) Một cách tiếp cận đơn giản để đạt được điều này là sử dụng quy tắc hình thang để gần đúng tích phân.
2[𝑁̂(𝑧) + 𝑁̂(𝑧 + ℎ)] (1.4.9) Tuy nhiên, việc thực hiện phương trình (1.4.9) không đơn giản vì
N̂(𝑧 + ℎ) là một ẩn số không xác định tại điểm giữa z + h / 2, và để xác định nó, cần thực hiện một quy trình lặp lại bắt đầu bằng việc thay thế 𝑁̂(𝑧 + ℎ) bằng 𝑁̂(𝑧) Phương trình (1.4.8) sẽ được sử dụng để ước tính 𝐴(𝑧 + ℎ, 𝑇), từ đó tính giá trị mới cho 𝑁̂(𝑧 + ℎ) Mặc dù quy trình lặp lại có thể tốn thời gian, nhưng việc tăng kích thước bước h có thể giảm thời gian tính toán tổng thể nhờ vào độ chính xác cải thiện của thuật toán Thực tế cho thấy, chỉ cần hai lần lặp là đủ để đạt được kết quả mong muốn.
Phương pháp Fourier cho phép phân tách bước một cách đơn giản bằng cách chia sợi thành nhiều phân đoạn không cần dãn cách đều Xung quang học được truyền giữa các phân đoạn thông qua phương trình (1.4.8) Trường quang học A(z, T) di chuyển lần đầu với khoảng cách h/2, sử dụng thuật toán FFT và phương trình (1.4.5) để tính độ tán sắc Tại điểm z + h/2, trường này được nhân với điều kiện phi tuyến để mô phỏng hiệu ứng phi tuyến trên toàn bộ chiều dài đoạn h Cuối cùng, trường được truyền thêm khoảng cách h/2 để thu được A(z + h, T), với việc áp dụng phương trình (1.4.8) trong M bước tiếp theo dẫn đến biểu thức cuối cùng.
Trong phương trình (1.4.10), tổng chiều dài sợi được biểu diễn bởi L = Mh, và tích phân trong phương trình (1.4.9) được ước tính bằng ℎ𝑁̂ Điều này cho phép thực hiện tất cả các bước trung gian trên toàn bộ chiều dài đoạn h, ngoại trừ các bước tán sắc đầu tiên và cuối cùng Tính năng này giúp giảm số lượng yêu cầu của FFT gần bằng một hệ số 2 và tăng tốc độ mã số tương ứng Ngoài ra, nếu sử dụng phương trình (2.4.7) với 𝑎̂ = ℎ𝑁̂ và 𝑏̂ = ℎ𝐷̂, thì phương trình (1.4.10) sẽ được thay thế bằng một điều kiện khác.
Cả hai điều kiện này cung cấp cùng độ chính xác như nhau và dễ thực hiện trong thực tế
Trong chương 1, chúng tôi đã bắt đầu từ hệ phương trình Maxwell để dẫn ra phương trình Helmholtz Đối với sợi quang hình trụ, chúng tôi đã xác định các điều kiện cần thiết cho việc lan truyền đơn mốt, cũng như các biểu thức cho tần số chuẩn hóa và diện tích mốt hiệu dụng Bên cạnh đó, chúng tôi cũng thiết lập phương trình lan truyền xung trong sợi quang đơn mốt, tính đến tán sắc bậc cao và tính chất phi tuyến của sợi.