Vành và môđun phân bậc
1.1.1 Định nghĩa Vành R được gọi là Z − phân bậc nếu như R = L i∈ Z
R i xét như nhóm cộng và RiRj ⊆ Ri+j, với mọi i, j ∈ Z Hơn nữa, nếu Ri = 0 với mọi i 0 Đa thức này cũng được gọi là đa thức Hilbert - Samuel Ta có degP q,M (n) = dim M = d.
Trong đúe 0 (q, M), e 1 (q, M),ã ã ã , e d (q, M)là những số nguyờn vàe 0 (q, M) >
0 Gọi a 0 là hệ số cao nhất của đa thức P q,M (n) thì e 0 (q, M) = a o d!.
Số tự nhiên e0(q, M) trong khai triển Pq,M(n) được xác định là số bội của M đối với lý thuyết iđêan tham số q Đặc biệt, khi q = m, ký hiệu số bội trở thành e(q, M) = e0(q, M) = e(M), được gọi là số bội của môđun M.
(ii) e i (q, M), i = 0,1,ã ã ã , d được gọi là cỏc hệ số Hilbert của M đối với q.
Môđun đối đồng điều địa phương
Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck Giả sửR là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là R-môđun.
O : M I ⊆ O : M I 2 ⊆ ã ã ã ⊆O : M I n ⊆ ã ã ã là dãy các môđun con bằng nhau nên S n∈ Z
(O : M I n ) cũng là môđun con của
1.5.1 Định nghĩa Môđun Γ I (M) xác định như trên được gọi là môđun con
Xét đồng cấu R-môđun f : M 7→ N Khi đó f(Γ I (M)) ⊆ Γ I (N) Kí hiệu Γ I (f) hay f ∗ là ánh xạ hạn chế của f lên Γ I (M) Γ I (M) −−→ Γ I (f ) Γ I (N) Γ I (•) : (M −−−−→ f N) −→ Γ I (M) −−→ Γ I (f ) Γ I (N) Γ I (•) là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái.
1.5.2 Định nghĩa Hàm tử Γ I (•) xác định ở trên được gọi là hàm tử Γ-xoắn
1.5.3 Định nghĩa Xét giải nội xạ của môđun M
−→E i+1 → ã ã ã Khi đó ta có dãy phức Γ I (E • ) : 0→ Γ I (M) → Γ I (E 0 ) Γ I (d
−−−→ Γ I (E i+1 ) → ã ã ã Đặt H i (Γ I (E • )) = Ker Γ I (d i ).Im Γ I (d i−1 ) và gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá là iđêan I.
Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn Γ I (•) được định nghĩa là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá là I, và được ký hiệu là.
1.5.5 Định lý (Định lý triệt tiêu của Grothendieck) Cho I là iđêan của vành giao hoán Noether R và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Khi đó
1.5.6 Định lý Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
Khi đó ta có dãy khớp dài
−→H I 2 (L) → ã ã ã trong đú ∂ 0 , ∂ 1 ,ã ã ã là cỏc đồng cấu nối.
Khái niệm chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford
Cho R = K[X 1 ,ã ã ã , X n ] là vành đa thức n biến trờn trường K Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d Ta kí hiệu m = R + = L i>0
R i là iđêan thuần nhất cực đại của R, và H m i (M) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá trị m H m i (M) cũng được xem là môđun phân bậc trên R Định lý triệt tiêu của Grothendieck khẳng định điều này.
Hơn thế nữa H m i (M) là một môđun Artin, nên các thành phần phân bậc
Hàm H m i (M) đạt giá trị 0 khi t đủ lớn Đối với mỗi môđun phân bậc N, ta định nghĩa a(N) = sup{t ∈ Z | [N] t 6= 0} (với a(0) = −∞) Các số a i (M) := a(H m i (M)) có thể là hữu hạn hoặc −∞ Theo Định lý không triệt tiêu của Grothendieck, điều này được khẳng định.
H m d (M) 6= 0 Vì vậy ad(M) là một số nguyên.
Ta có định nghĩa sau đây
1.6.1 Định nghĩa (xem [1], Định lý 1.2.1) Chỉ số chính quy Castelnuovo
- Mumford của M là số reg(M) = max{i+ a i (M) | 0 ≤i ≤d} với t ∈ Z, môđun dịch chuyển M(t) chính là môđun M nhưng các thành phần phân bậc được định nghĩa lại như sau:
Khi đó M có một dãy tự do phân bậc tối tiểu
R(−a 0i ) −→ ϕ 0 M → 0. trong đó a ki , k = 1, , q,1 ≤i ≤ p k là những số nguyên.
Số β i được gọi là số Betti thứ i của M, trong đó số β 0 đại diện cho số phần tử sinh tối thiểu của M Các số a 01, , a 0β 0 thể hiện các bậc của các phần tử trong một hệ sinh thuần nhất tối thiểu của M.
Một cách tổng quát a i1 , , a iβ i là các bậc sinh của một hệ sinh thuần nhất tối tiểu của môđun xoắn thứ i của M (tức Ker(ϕ i−1 )).
Số gen(M) = max{a 01 ,ã ã ã , a0β 0 } được gọi là bậc sinh cực đại của M.
Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford có thể định nghĩa thông qua các bậc dịch chuyển a ij nêu trên.
Định lý 1.2.2 chỉ ra rằng đối với môđun phân bậc hữu hạn sinh trên R, giá trị reg(M) được xác định bằng công thức reg(M) = max{a_ij - i | i = 0, , q và j = 1, , β_i}, trong đó a_ij là các số trong dãy tự do tối tiểu đã nêu.
Nói riêng reg(M) ≥ max{a 0j | j = 1, , β 0 } = gen(M).
Như vậy, reg(M) cho chúng ta một chặn trên cho bậc sinh cực đại của M.
Bậc số học
Khái niệm bậc số học được đưa ra bởi Bayer và Mumford Ta có định nghĩa về bậc số học của R-môđun M sau
1.7.1 Định nghĩa (xem [1], Định lý 2.2.1) Bậc số học của M là số adeg(M) = X
P ∈AssM mult M (P)e(R.P), trong đó mult M (P) = l(H m 0 P (M P )) là độ dài bội của P đối với M.
Lưu ý rằng l(H m 0 P (MP)) < ∞ và tập Ass(M) là hữu hạn, do đó tổng trên cũng sẽ hữu hạn Trong định nghĩa này, P được xem xét trên tất cả các lý thuyết nguyên tố liên kết, trong khi bậc thông thường deg(M) được tính theo công thức tương tự, nhưng chỉ áp dụng cho các lý thuyết nguyên tố có chiều cao lớn nhất.
1.7.2 Mệnh đề (Xem [1], Mục 2.2) Cho M là R-môđun Khi đó deg(M) = X
Vì vậy, deg(M) ≤ adeg(M) và dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M có độ cao như nhau.
Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford và bậc số học của iđêan đơn thức 16
Mối quan hệ giữa reg(I ) và adeg(I )
Trong phần này sẽ chứng minh Định lý 2.1.1 và đặc trưng lớp iđêan đơn thức không trộn lẫn với reg(R
I) = adeg(I)−1. 2.1.1 Định lý Giả sử I là iđêan đơn thức của R Khi đó: reg(I) ≤adeg(I). Trước hết ta có một số bổ đề sau.
2.1.2 Bổ đề Giả sử I là một iđêan thuần nhất tùy ý và x là một dạng tuyến tính của R Khi đó reg(R
Chứng minh Từ dãy khớp
Vì vậy, với i ≥ 0 ta có dãy khớp môđun đối đồng điều địa phương:
Từ định nghĩa chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford ta suy ra điều cần chứng minh.
2.1.3 Bổ đề Giả sử I là một iđêan thuần nhất tùy ý và x là một phần tử thuần nhất tùy ý của R Khi đó i) adeg(I : x) ≤ adeg(I) ii) adeg(I : x) ≤ adeg(I)−1 nếu x thuộc một iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của I.
Chứng minh Cho iđêan nguyên tố thuần nhất P tùy ý trongR, phép nhân với x cảm sinh một đơn ánh R P (I: x)R P −→ R P I P
Vì vậy theo định nghĩa về mult I (P) ta có mult I : x (P) ≤ mult I (P)
Từ đó ta suy ra i).
Nếuxthuộc một iđêan nguyên tố liên kết tối tiểuP củaI, khi đóR P IR P có độ dài hữu hạn và (I, x)RP
IRP là một iđêan thực sự Vì vậy multI : x(P) = l
Do đó ta suy ra ii).
Kết quả sau đây được suy ra từ [[7], Bổ đề 3.3 và Bổ đề 3.4].
2.1.4 Bổ đề Cho I là một iđêan đơn thức và m là một đơn thức của R. Khi đó: adeg(I, m) ≤ adeg(I)deg(m)
Chứng minh Định lý 2.1.1 cho thấy rằng nếu I là một iđêan đơn thức của R với adeg(I) = 1, thì I là một iđêan nguyên tố Trong trường hợp này, reg(I) adeg(I) = 1 Hơn nữa, nếu n = 1, I sẽ trở thành một iđêan chính, với reg(I) eg(I) = t.
Vì vậy ta có thể giả thiết rằng adeg(I) > 1 và n > 1.
Chọn một biến X thuộc iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của I Theo Bổ đề
Chú ý rằng I: X cũng là một iđêan đơn thức.
Quy nạp theo giá trị của bậc số học ta có thể giả thiết rằng reg(I: X) ≤ adeg(I: X) Sử dụng Bổ đề 2.1.3 ii) ta có
Đặt S = R.(X) và J = (I, X).(X), với S là một vành đa thức trên k có n−1 biến và J là iđêan đơn thức của S Theo quy nạp theo n, ta giả thiết rằng reg(J) ≤ adeg(J), từ đó dẫn đến mối quan hệ reg(I: X) + 1 ≤ adeg(I: X) + 1 ≤ adeg(I).
Ta có reg(I, X) = reg(J) và adeg(I, X) = adeg(J) Vì vậy
(3) reg(I, X) ≤adeg(I, X) ≤ adeg(I), trong đó bất đẳng thức cuối cùng được suy ra từ Bổ đề 2.1.4 Kết hợp (1),
Ví dụ sau đây ([9, ví dụ 2] và [10, ví dụ 4.2 (b)]) chứng minh rằng Định lý 2.1.1 không đúng đối với iđêan I thuần nhất tùy ý mà không sinh bởi các đơn thức.
Khi đó I là một iđêan nguyên sơ với adeg(I) = 2 và reg(I) = t+ 1 Vì vậy adeg(I) có thể nhỏ hơn reg(I).
Tiếp theo ta sẽ tìm điều kiện để cho các bất đẳng thức của Bổ đề 2.1.3 ii) và
Bổ đề 2.1.4 trở thành đẳng thức.
2.1.5 Bổ đề Giả sử I là một iđêan đơn thức không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng Giả sử X là một biến của R mà thuộc một iđêan nguyên tố liên kết P của I Khi đó adeg(I: X) = adeg(I)−1 nếu và chỉ nếu thành phầnP−nguyên sơ củaI có dạng X i 1 , , X i r , X t , t ≥
1, và P là iđêan nguyên tố liên kết duy nhất của I chứa X.
Theo giả thiết rằng mỗi iđêan nguyên tố liên kết của I là tối tiểu trên I, từ chứng minh của Bổ đề 2.1.3 (ii) có thể suy ra rằng adeg(I : X) = adegI − 1 nếu và chỉ nếu các điều kiện nhất định được thỏa mãn.
Điều kiện đầu tiên trong bài viết chỉ ra rằng (I, X)R P = P R P hoặc tương đương là (Q, X) P, với Q là thành phần P-nguyên sơ của I Nếu Q có dạng (X i 1 , , X i r , X t ) với t ≥ 1, thì (Q, X) = P Điều kiện thứ hai xác định rằng (I, X)R P 0 = R P 0, tương đương với việc X không thuộc P 0, với P 0 là một iđêan nguyên tố liên kết tùy ý khác với P của I.
2.1.6 Bổ đề Giả sử I là iđêan đơn thức và X là một biến tùy ý của R Giả sử I = ∩Q i là một phân tích nguyên sơ tối tiểu của I Khi đó
Phân tích nguyên sơ tối tiểu của (I, X) được biểu diễn bởi (I, X) = ∩(Q i , X) nếu adeg(I, X) khác với eg(I) Để chứng minh điều này, trước tiên ta thấy rằng (I, X) là tập con của ∩(Q i , X) Ngược lại, nếu m là một iđêan đơn thức trong ∩(Q i , X) mà không chia hết cho x, thì m thuộc Q i cho mọi i, từ đó suy ra m thuộc I Do đó, ta có (I, X) = ∩(Q i , X).
Giả sử P i là iđêan nguyên tố liên kết của Q i, thì (P i , X) cũng là một iđêan nguyên tố và (Q i, X) là iđêan (P i, X) - nguyên sơ Do đó, tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của (I, X) được chứa trong tập các iđêan nguyên tố (P i , X) Đặt S = R.
S như là một đại số con của R và J như là một phép co (contraction) của
I Vì vậy, có một đơn cấu từ S.J đến R.J mà ảnh của P i là P i Từ đó, ta có: mult (I,X ) (P i , X) =mult J (P i ) ≤mult I (P i )
Vì vậy, mult(I, X)(P_i, X) = mult_I(P_i) với mọi i và tất cả các iđêan nguyên tố (P_i, X) khác nhau Điều này dẫn đến kết luận rằng (P_i, X) phải là một iđêan nguyên tố liên kết của (I, X) với điều kiện mult(I, X)(P_i, X) = mult_I(P_i) > 0 Do đó, ta có thể khẳng định rằng (I, X) = ∩(Q_i, X) là sự phân tích nguyên tố tối tiểu của (I, X).
Bây giờ, ta chứng minh kết quả sau
2.1.7 Định lý Giả sử I là một iđêan đơn thức của R mà không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng Khi đó reg(I) eg(I) nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố liên kết P của I, ta có một liên kết X sao cho thành phần P- nguyờn tố của I cú dạng (X i 1 ,ã ã ã , X i r , X t ), t ≥ 1 à
P là iđêan nguyên tố liên kết duy nhất của I mà chứa biến X Trong trường hợp này, (I) là bậc sinh cực đại của I.
Điều kiện reg(I) = adeg(I) không đảm bảo rằng I không chứa thành phần nguyên sơ nhúng Một ví dụ sẽ được trình bày sau khi chứng minh Định lý 2.1.7.
Giả sử reg(I) = adeg(I) và P là một iđêan nguyên tố liên kết của I Nếu X là một biến thuộc P, theo Định lý 2.1.1, ta có đẳng thức reg(I) = max{reg(I : X) + 1, reg(I, X)}.
Nếu reg(I) = reg(I :X) + 1, Áp dụng Định lý 2.1.1 và Bổ đề 2.1.3(ii) ta có reg(I :X) ≤adeg(I : X) ≤ adeg(I)−1 = reg(I)−1 = reg(I : X)
Vì vậy adeg(I :X) eg(I)−1 Theo Bổ đề 2.1.6, thành phần P - nguyên sơ của I phải cú dạng (X i 1 ,ã ã ã , X i r , X t ), t ≥ 1, và P là iđờan liờn kết duy nhất của I mà chứa X.
Nếu reg(I) =reg(I, X), áp dụng Định lý 2.1.1 và Bổ đề 2.1.4, ta có reg(I, X) ≤ adeg(I, X) ≤adeg(I)−1 = reg(I) = reg(I, X)
Vì vậy, adeg(I, X) = adeg(I) và reg(I, X) = eg(I, X) Giả sử Q là thành phần P-nguyên sơ của I Theo Bổ đề 2.1.6, (P, X) là một iđêan nguyên tố liên kết của (I, X) và (Q, X) là thành phần (P, X)-nguyên sơ của (I, X) Quy nạp theo giả thiết rằng (Q, X) có dạng (X i 1, , X i r, Y t), với t ≥ 0.
Iđêan nguyên tố liên kết duy nhất P của (I, X) chứa Y, dẫn đến Q có dạng (X i 1 ,ã ã ã , X i r , Y t ) Theo Bổ đề 2.1.6, P là iđêan nguyên tố liên kết duy nhất của I chứa Y, đây là điều kiện cần cho Định lý 2.1.7 Ngược lại, giả thiết rằng mỗi iđêan nguyên tố liên kết P của I có biến X, với thành phần P-nguyên sơ của I có dạng (X i 1 ,ã ã ã , X i r , X t ), với t ≥ 1.
P là iđêan nguyên tố liên kết duy nhất của I mà chứa biến X.
Khi đó mult I (P) = t Giả sử kí hiệu m là tích tất cả các X t Rõ ràng m là một phần tử sinh tối tiểu của I có bậc cực đại.
Ta biết rằng deg(m) ≤ reg(I) Mặt khác, theo Định lý 2.1.1, ta có reg(I) ≤ adeg(I) (m) Vì vậy reg(I) eg(I) = deg(m)
Ta có reg(I) eg(I) = 3 Iđêan I thỏa mãn tất cả các điều kiện của Định lý 2.1.7
2) I = (X 1 , X 2 )∩ (X 3 , X 4 )∩ (X 2 , X 3 ) = (X 1 X 3 , X 2 X 3 , X 2 X 4 ) không thoả mãn tất cả các điều kiện của Định lý 2,1,7 Chẳng hạn P = (X2, X3) có
= Q 1 ∩Q 2 trong đó Q 1 là (X 1 ) - nguyên sơ
Vì vậy I có thành phần nguyên sơ tối tiểu là Q 1 và thành phần nguyên sơ nhúng là Q 2
Chặn trên cho reg(R
Kết quả này dựa trên nghiên cứu gần đây của Bruns và Herzog, cụ thể là Định lý 3.1(a), cho thấy rằng các phần tử đơn thức của ma trận trong giải tự do tối thiểu của iđêan đơn thức đều chia hết cho bội chung nhỏ nhất của hệ sinh đơn thức.
2.2.1 Định lý Giả sử I là một iđêan đơn thức của R với hệ sinh đơn thức tối tiểu {m 1 ,ã ã ã , m s } Giả sử F là bội chung nhỏ nhất của m 1 ,ã ã ã , m s Khi đó reg(R
Giả sử mỗi biến X i xuất hiện trong ít nhất một đơn thức mj, chúng ta có thể chứng minh mà không làm mất tính tổng quát Điều này cho phép chúng ta chuyển đổi về các đơn thức không chứa bình phương.
Với j = 1,ã ã ã , s nếu m j = QX i a ij , a ij > 0, ta thay thế m j bởi đơn thức m j = QX i Y i 1 ã ã ãY i(a ij −1) , trong đú Y i 1 ,ã ã ã , Y i(a ij −1) là cỏc biến mới Đặt a i = max{deg X i (m j );j −1,ã ã ã , s} Đặt
S = k[X 1 , Y 12 ,ã ã ã , Y 1(a 1 −1) ,ã ã ã , X n , Y n1 ,ã ã ã , Y n(a n −1) ] và J = (m 0 1 ,ã ã ã , m 0 s ) Khi đú J là một iđờan đơn thức khụng chứa bỡnh phương trong S Ta có
R.I ∼= S.(J, X 1 −Y 11 ,ã ã ã , X 1 −Y 1(a 1 −1) ,ã ã ã , X n −Y n1 ,ã ã ã , X n −Y n(a n −1) ) và X1−Y11,ã ã ã , X1−Y 1(a 1 −1) ,ã ã ã , Xn−Yn1,ã ã ã , Xn−Y n(a n −1) là một dóy chính quy trong S.J Vì vậy dim S.J = a 1 +ã ã ã+a n −n+ dim R.I = degF −ht(I) reg(S
Mặc khác, ta có reg(S/J) ≤ dim (S/J) theo [ 8, Chương 2, Bổ đề 2.5 i).]
Từ đó, ta có reg(R/J) ≤ deg(F)−ht(I).
Sau đây là hệ quả của Định lý 2.2.1
2.2.2 Hệ quả Giả sử I là một iđêan đơn thức của R với các đơn thức sinh tối tiểu {m 1 , , ms} Giả sử F là bội chung nhỏ nhất của m1, , ms Giả sử J là một iđêan sinh bởi tích nhiều nhất q đơn thức từ m 1 , , m s sao cho ht(I) = ht(J), q > 0 Khi đó reg(R/J) ≤ qdeg(F)−ht(I).
Bây giờ từ Định lý 2.2.1 ta sẽ suy ra Định lý 2.2.4 Sau đây ta cần ước lượng cho chiều của vành thương trên iđêan đơn thức.
2.2.3 Bổ đề Giả sử I là một iđêan đơn thức của R với hệ sinh đơn thức tối tiểu {m 1 , , m s } Giả thiết rằng mỗi biến X i xuất hiện trong ít nhất một đơn thức m j Khi đó dimR/I ≤ deg(m 1 ) + + deg(m s )−s.
Chứng minh Nếu n = 1, ta có I = (m 1 ) và R là vành đa thức 1 biến
I = 0 ≤ deg(m1) −1 Nếu n > 1, không mất tính tổng quát giả sử rằng X n được chứa trong iđêan nguyên tố liên kết có chiều cao nhất của I Khi đó dimR.I = dimR.(I, X n )
Ta có thể giả thiết m 1 , , m s , t < s là các đơn thức không chia hết cho
X n Vậy các biến xuất hiện trong đơn thức đó là X 1 , , X p , p < n Giả sử
S = k[X 1 , , X p ] và J là iđêan sinh bởi các đơn thức {m 1 , , m p } Khi đó dimR
Quy nạp theo n ta có dimS.J ≤ deg(m 1 ) + + deg(m t )−t
Do tất cả các đơn thức m t+1 , , m s đều chia hết cho X n và mỗi biến
X p+1 , , X n−1 sẽ xuất hiện trong ít nhất một đơn thức m j , j > t, ta có: deg(mt+1) + + deg(ms) ≥ (s−t) + (n−p−1)
2.2.4 Định lý Giả sử I là một iđêan đơn thức của R với hệ sinh đơn thức tối tiểu {m 1 , , m s } Giả thiết rằng deg(m n ) ≥ ≥ deg(m s ) Đặt u = min{s, n} Khi đó reg(R.I) ≤ deg(m s ) + + deg(m u )−u
Chứng minh Chúng ta cần điều chỉnh bất đẳng thức trên như sau:
Yêu cầu: Giả sử F là bội chung nhỏ nhất của {m 1 , , m s }.
Giả sử g1, , gt là các đơn thức trong lý thuyết lý thuyết I, với F là ước của G, trong đó G là bội chung nhỏ nhất của g1, , gt Khi đó, ta có bất đẳng thức reg(R.I) ≤ deg(g1) + + deg(gt) - t Để chứng minh điều này, ta đặt I0 = (g1, , gt) Như đã trình bày trong chứng minh của Định lý 2.2.1, có thể liên kết I0 với một lý thuyết đơn thức không chứa bình phương J0 = (g10, , gt0) trong một vành đa thức mới S sao cho dim.
= deg(G)−ht(I) và deg(g i 0 ) = deg(g i ), i = 1, , t Vì vậy, sử dụng Định lý 2.2.1 và Bổ đề 2.2.3 ta có reg(R
Ta luôn có thể chọn g 1 , , g t ∈ {m 1 , , m s } sao cho t = u Từ deg(g i ) ≤ deg(m i ), i = 1, , u, ta có reg(R.I) ≤ deg(m 1 ) + + deg(m u )−u
Ví dụ: Giả sử t≥ 2 và 1 ≤c < n Cho
Ta có thể chứng minh theo quy nạp theo c rằng max
Rõ ràng số đơn thức trong hệ sinh đơn thức tối tiểu của I là s > n Và ta có u = min{s, n} = n. deg(m 1 ) + + deg(m n ) = deg(m 1 ) + + deg(m n )−n
Do c < n nên n(t−2) +c < n(t−1) hay reg(R.I) < deg(m 1 ) + + deg(mu)−u.
2.2.5 Hệ quả Giả sử I là iđờan thuần nhất tựy ý của R Gọi {g 1 ,ã ã ã , g s } là một cơ sở Grobner¨ của I đối với một thứ tự từ tùy ý Giả thiết rằng: deg(g 1 ) ≥ ã ã ã ≥ deg(g s ) Đặt u = min{s, n} Khi đú reg(R/I) ≤ deg(g 1 ) + ã ã ã+deg(g u )−u.
Bài viết đã phân tích các vấn đề liên quan đến chặn trên của reg(I) theo adeg(I) và chặn trên cho reg(R.I) dựa trên bậc sinh tối thiểu của I, trong đó R là vành đa thức trên trường K và I là iđêan đơn thức.
Kết quả chính về chặn trên của reg(I) theo adeg(I), và về mối quan hệ giữareg(I)vàadeg(I)(Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.7), chặn trên choreg(R
I) theo bậc sinh tối tiểu của I (Định lý 2.2.4, Hệ quả 2.2.5)
[1] Đào Thị Thanh Hà (2010), Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford của một số lớp môđun, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh.
[2] Lê Tuấn Hoa(2003), Đại số máy tính - Cơ sở Grobner¨ , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Huỳnh Ngọc Tú (2014),Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh.
[4] Brun W Herzog, J (1995): On multigraded resonlutions Math Proc. Camb Phil Soc 118, 245 - 257
[5] Eisenbud D Goto S (1984): Linear free resolutions and minimal multi- plicities J Algebra 88, 89 - 133
[6] Le Tuan Hoa, Ngo Viet Trung (1998), On the Castelnuovo-Mumford reg- ularity and the arithmetic degree of monomial ideals Math Z 229, 519 - 537.
[7] Sturmfels, B., Trung, N V., Vogel, W (1995): Bounds on degrees of pro- jective schemes Math Ann 302, 417 - 432
[8] Stuckrad, J., Vogel, W (1986): Buchsbaum rings and applications, Bertin Springer.
[9] Stuckrad, J., Vogel, W (1988): Castelnuovo bounds for locally Cohen -Macaulay schemes Math Nochr 136, 307-320