BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HOA CHIỀU XẠ ẢNH GORENSTEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HOA CHIỀU XẠ ẢNH GORENSTEIN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 84 60 104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS ĐÀO THỊ THANH HÀ Nghệ An - 2018 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù hàm tử 1.2 Môđun nội xạ 10 1.3 Môđun xạ ảnh 11 1.4 Hàm tử Tor hàm tử Ext 12 1.5 Chiều xạ ảnh 15 CHIỀU XẠ ẢNH GORENSTEIN 2.1 Lớp giải 17 17 2.2 Chiều xạ ảnh Gorenstein 21 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Trong đại số đồng điều, chiều xạ ảnh, chiều nội xạ, chiều phẳng mơđun đóng vai trị quan trọng Chiều xạ ảnh Gorenstein nghiên cứu L W Christensen, Enochs, H Holm, Jenda, A Frankild, D White Đã có lớp kết đẹp chiều xạ ảnh Gorenstein vành giao hoán Noether Trên vành tổng quát R, Enochs Jenda định nghĩa [7] chiều đồng điều có tên gọi chiều xạ ảnh Gorenstein, GpdR (−) môđun tùy ý (không hữu hạn sinh) Nó định nghĩa thơng qua giải môđun xạ ảnh Gorenstein Avramov, Buchweitz, Martsinkovsky Reiten chứng minh môđun hữu hạn sinh vành Noether xạ ảnh Gorenstein G − dimR M = (xem [6, Định lý 4.2.6]) Luận văn nghiên cứu trình bày lại cách chi tiết chiều xạ ảnh Gorenstein báo [9] Henrik Holm Trong suốt luận văn, R kí hiệu vành giao hốn có đơn vị Trước hết, chúng tơi trình bày kết sau Định lý Lớp tất môđun xạ ảnh Gorenstein giải được, theo nghĩa → M → M → M → dãy khớp ngắn R−mơđun, M mơđun xạ ảnh Gorenstein, M mơđun xạ ảnh Gorenstein M môđun xạ ảnh Gorenstein Kết sử dụng cho định lý sau Định lý Giả sử M R−mơđun có chiều xạ ảnh Gorenstein hữa hạn, với số nguyên n ≥ Khi điều kiện sau tương đương (i) GpdR (M ) ≤ n; (ii) ExtiR (M, L) = với i > n, với R−môđun L có chiều xạ ảnh pdR L hữu hạn; (iii) ExtiR (M, Q) = với i > n, với R−môđun xạ ảnh Q; (iv) Với dãy khớp → Kn → Gn−1 → · · · → G0 → M → 0, G0 , , Gn−1 mơđun xạ ảnh Gorenstein, Kn xạ ảnh Gorenstein Chú ý định lý tổng quát hóa [6, Định lý 4.4.12], chứng minh cho vành Cohen-Macaulay địa phương Tiếp theo tổng quát hóa [11, Định lý 5.5.6](trong vành giả thiết địa phương, Noether Cohen-Macaulay) Định lý Giả sử → M → M → M → dãy khớp ngắn R−môđun Nếu hai môđun tùy ý môđun M , M M có chiều xạ ảnh Gorenstein hữu hạn mơđun cịn lại Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương I Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm phạm trù, hàm tử, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, hàm tử Tor, hàm tử Ext, chiều xạ ảnh Chương II Chiều xạ ảnh Gorenstein Chương đề cập tới khái niệm lớp giải được, lớp trực giao, môđun xạ ảnh Gorenstein, chiều xạ ảnh Gorenstein Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn TS Đào Thị Thanh Hà Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới cô, thời gian qua tận tình hướng dẫn, dạy dỗ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả việc học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo môn Đại số Lý thuyết số, thầy cô giáo Viện Sư phạm Tự nhiên Trường Đại học Vinh trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 24 chuyên nghành Đại số Lý thuyết số Trường Đại học Vinh Tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường Tác giả xin chân thành cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm động viên tác giả thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Trân trọng! Nghệ An, tháng 06 năm 2018 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại khái niệm phạm trù, hàm tử, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, hàm tử Tor, hàm tử Ext, chiều xạ ảnh Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Phạm trù hàm tử 1.1.1 Phạm trù C Phạm trù C gồm lớp vật, kí hiệu Obj(C ) tập cấu xạ HomC (A, B) với A, B ∈ Obj(C ) phép hợp thành HomC (A, B) × HomC (B, C) → HomC (A, C) (f, g) → gf, thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với A ∈ Obj(C ) tồn cấu xạ đồng nhất, kí hiệu 1A cho f 1A = f, với f ∈ HomC (A, B) 1A g = g, với g ∈ HomC (C, A) (ii) Hợp thành cấu xạ có tính chất kết hợp 1.1.2 Ví dụ (a) Phạm trù tập hợp, kí hiệu Set bao gồm vật tập hợp cấu xạ ánh xạ hai tập hợp (b) Phạm trù mơđun R, kí hiệu MR bao gồm vật R−môđun cấu xạ R−đồng cấu 1.1.3 Định nghĩa Cho C , D phạm trù Hàm tử hiệp biến F : C → D ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau (i) Nếu A ∈ C F A ∈ D (ii) Nếu f : A → B cấu xạ C tồn cấu xạ tương ứng D F f : F A → F B (iii) Nếu f : A → B g : B → C cấu xạ C F (gf ) = F (g)F (f ) (iv) F1A = 1F A , với A ∈ Obj(C ) 1.1.4 Định nghĩa Cho C , D phạm trù Hàm tử phản biến F : C → D ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau (i) Nếu A ∈ C F A ∈ D (ii) Nếu f : A → B cấu xạ C tồn cấu xạ tương ứng D F f : F B → F A (iii) Nếu f : A → B g : B → C cấu xạ C F (gf ) = F (f )F (g) (iv) F1A = 1F A , với A ∈ Obj(C ) 1.1.5 Ví dụ (a) Hàm tử Hom(A, •) : Cho phạm trù C cố định A ∈ Obj(C ) Ánh xạ F : C →Set xác định B → Hom(A, B), với cấu xạ ϕ : B → C F ϕ : Hom(A, B) → Hom(A, C) f → ϕf Khi Hom(A, •) hàm tử hiệp biến (b) Hàm tử Hom(•, B) : Cho phạm trù C cố định B ∈ Obj(C ) Ánh xạ F : C → Set xác định A → Hom(A, B), với cấu xạ ϕ : A → A F ϕ : Hom(A , B) → Hom(A, B) f → fϕ Khi Hom(•, B) hàm tử phản biến (c) Hàm tử tenxơ A ⊗R • Cố định A ∈ MR Hàm tử F : MR → MR xác định B → A ⊗R B F f = 1A ⊗R f Khi A ⊗R • hàm tử hiệp biến (d) Hàm tử tenxơ • ⊗R B Cố định B ∈ MR Hàm tử F : MR → MR xác định A → A ⊗R B F f = f ⊗R 1A Khi đó, hàm tử • ⊗R B hàm tử hiệp biến 1.1.6 Định nghĩa (i) Hàm tử hiệp biến F gọi khớp trái từ dãy khớp 0→ − M→ − N→ − K ta dãy khớp 0→ − FM → − FN → − F K (ii) Hàm tử hiệp biến F gọi khớp phải từ dãy khớp M→ − N→ − K→ − ta dãy khớp FM → − FN → − FK → − (iii) Hàm phản biến F khớp trái từ dãy khớp M→ − N→ − K→ − ta dãy khớp 0→ − FK → − FN → − F M 10 (iv) Hàm tử phản biến F gọi khớp phải từ dãy khớp 0→ − M→ − N→ − K ta dãy khớp FK → − FN → − FM → − (v) Một hàm tử gọi khớp vừa khớp trái vừa khớp phải 1.1.7 Định lý Một hàm tử khớp biến dãy khớp tùy ý thành dãy khớp 1.1.8 Mệnh đề (i) Hàm tử Hom(A, •) hàm tử hiệp biến, khớp trái hàm tử Hom(•, B) hàm tử phản biến, khớp trái (ii) Hàm tử tenxơ hàm tử hiệp biến, khớp phải 1.2 Môđun nội xạ 1.2.1 Định nghĩa Một môđun E gọi nội xạ với đơn cấu α đồng cấu O → − A→ − B với đồng cấu f : A → − E mở rộng thành đồng cấu g : B → − E cho biểu đồ sau giao hoán O A f α B g E Tức f = g.α 1.2.2 Định nghĩa Cho M R−môđun Một dãy khớp 0→ − M→ − E0 → − E1 → − ··· → − En → − ··· gọi giải nội xạ M môđun E i môđun nội xạ với i 1.2.3 Định lý Mọi môđun M có giải nội xạ 18 2.1.2 Định nghĩa Với X lớp tùy ý R−môđun Ta gọi (i) Lớp trực giao trái liên kết ⊥ X = M ∈ M(R)|ExtiR (M, X) = 0, ∀X ∈ X , ∀i > (ii) Lớp trực giao phải liên kết X ⊥ = N ∈ M(R)|ExtiR (X, N ) = 0, ∀X ∈ X , ∀i > 2.1.3 Ví dụ (a) P(R) = ⊥ M(R), T (R) = M(R)⊥ (b) P(R) lớp giải xạ ảnh T (R) lớp giải nội xạ Chứng minh (a) Từ Định lý 1.4.7 (ii) Định nghĩa 2.1.2 (i) ta có P(R) = ⊥ M(R) Từ Định lý 1.4.7 (i) Định nghĩa 2.1.2 (ii) ta có T (R) = M(R)⊥ (b) Để chứng minh P(R ) lớp giải xạ ảnh ta cần chứng minh với dãy khớp ngắn 0→X →X→X →0 mà X ∈ P(R) điều kiện X ∈ P(R) X ∈ P(R) tương đương Có nghĩa chứng minh mơđun X xạ ảnh X mơđun xạ ảnh X môđun xạ ảnh Từ dãy khớp ngắn 0→X →X→X →0 theo Mệnh đề 1.4.6 (ii) ta có dãy khớp dài → Hom(X , M ) → Hom(X, M ) → Hom(X , M ) → → Ext1 (X , M ) → Ext1 (X, M ) → Ext1 (X , M ) → Ext2 (X , M ) → · · · Vì X mơđun xạ ảnh nên theo Định lý 1.4.7(ii) ta có Ext1 (X , M ) = 0, Ext2 (X , M ) = 0, 19 hay ta có dãy khớp → Ext1 (X, M ) → Ext1 (X , M ) → Nếu X môđun xạ ảnh ⇒ Ext1 (X, M ) = 0, ∀M ⇒ Ext1 (X , M ), ∀M Theo Mệnh đề 1.4.8 suy X môđun xạ ảnh Ngược lại, X môđun xạ ảnh suy X môđun xạ ảnh Chứng minh T (R) lớp giải nội xạ hoàn toàn tương tự Tổng quát, lớp ⊥ X lớp giải xạ ảnh khép kín tổng trực tiếp tùy ý 2.1.4 Mệnh đề Giả sử X lớp giải xạ ảnh R−môđun Nếu X khép kín tổng trực tiếp đếm X khép kín hạng tử trực tiếp Chứng minh Giả sử Y hạng tử trực tiếp X ∈ X Ta chứng minh Y ∈ X Viết X = Y ⊕ Z với mơđun Z Nếu X khép kín tổng trực tiếp đếm được, ta đặt W = Y ⊕ Z ⊕ Y ⊕ Z ⊕ (tổng trực tiếp), ý W ∼ = X ⊕ X ⊕ ∈ X Ta có W ∼ = Y ⊕ W (vì Y hạng tử trực tiếp W ) Nếu X lớp giải xạ ảnh, ta xét dãy khớp chẻ 0→Y →Y ⊕W →W →0 Ta có W ∈ X mà W ∼ = Y ⊕ W⇒ Y ⊕ W ∈ X Theo Định nghĩa 2.1.1 ta có Y ∈ X 2.1.5 Định nghĩa Với R−môđun M tùy ý Ta gọi (a) Một X −giải trái M dãy khớp X = · · · → X1 → X0 → M → với Xn ∈ X , ∀n ≥ (b) Một X −giải phải M dãy khớp X = → M → X → X → 20 với X n ∈ X , ∀n ≥ Bây giả sử X X −giải (trái phải) tùy ý M Ta nói X thực (tương ứng, đối thực sự) dãy HomR (Y, X) (tương ứng, HomR (X, Y )) khớp với Y ∈ X Trong phần xem xét X −giải trái thực sự, X −giải phải đối thực (và không X −giải phải thực hay X −giải trái đối thực sự) Ta có kết sau 2.1.6 Mệnh đề Giả sử X lớp R−môđun, {Mi }i∈I họ R−mơđun Khi phát biểu sau (i) Nếu X khép kín tích trực tiếp tùy ý, môđun Mi X −giải trái(thực sự), tích Mi (ii) Nếu X khép kín tổng trực tiếp tùy ý, môđun Mi X −giải phải (đối thực sự), tổng Mi 2.1.7 Bổ đề Horseshoe Giả sử X lớp R−môđun Giả thiết X khép kín tổng trực tiếp hữu hạn, xét dãy khớp 0→M →M →M →0 R−môđun, cho → HomR (M , Y ) → HomR (M, Y ) → HomR (M , Y ) → khớp với Y ∈ X Nếu M M có X −giải phải đối thực M ∼ 2.1.8 Mệnh đề (Xem [8, Mệnh đề 8.1.3]) Giả sử f : M → M đồng cấu R−môđun xét sơ đồ M X0 X1 X2 ··· f ∼ M ∼ ∼ ∼ X0 X1 X2 ··· 21 hàng X −giải phải đối thực M hàng ∼ ∼ X −giải phải M Khi f : M → M cảm sinh ánh xạ chuỗi phức X0 X1 f0 X2 f1 ∼ (1) f2 ∼ X ··· ∼ X X ··· với tính chất hình vng sau M X0 f0 f ∼ M ∼0 X giao hoán Hơn nữa, ánh xạ chuỗi (1) xác định sai khác đồng luân 2.2 Chiều xạ ảnh Gorenstein Trong mục này, chúng tơi trình bày chi tiết mơđun xạ ảnh Gorenstein Mục đích để mô tả hàm tử chiều xạ ảnh Gorenstein 2.2.1 Định nghĩa Một giải xạ ảnh đầy đủ dãy khớp mơđun xạ ảnh P• : · · · → P1 → P0 → P → P → · · · cho HomR (P• , Q) khớp với R−môđun xạ ảnh Q Một R−môđun M gọi xạ ảnh Gorenstein (hay ngắn gọn G−xạ ảnh), tồn giải xạ ảnh đầy đủ P mà M ∼ = Im(P0 → P ) Lớp tất R−môđun xạ ảnh Gorenstein kí hiệu G P(R ) 2.2.2 Chú ý Nếu P giải xạ ảnh đầy đủ tính đối xứng ta có ảnh, hạt nhân, đối hạt nhân P môđun xạ ảnh Gorenstein Hơn nữa, môđun xạ ảnh xạ ảnh Gorenstein 22 Từ Định nghĩa 2.2.1 ta có đặc trưng sau mơđun xạ ảnh Gorenstein 2.2.3 Mệnh đề Một R−môđun M xạ ảnh Gorenstein M thuộc lớp trực giao trái ⊥ P(R) có P(R)−giải phải đối thực Hơn nữa, P giải xạ ảnh đầy đủ, HomR (P, L) khớp với tất R−mơđun L có chiều xạ ảnh hữu hạn Hệ là, M mơđun xạ ảnh Gorenstein, ExtiR (M, L) = 0, với i > R−mơđun L có chiều xạ ảnh hữu hạn Trong mệnh đề sau đây, ta giả thiết môđun giải xạ ảnh đầy đủ tự 2.2.4 Mệnh đề Nếu M môđun xạ ảnh Gorenstein, có giải xạ ảnh đầy đủ, F• : · · · → F1 → F0 → F → F → · · · bao gồm môđun tự Fn F n cho M ∼ = Im(F0 → F ) Chứng minh Ta xây dựng “nửa phải” → M → F0 → F1 → ··· F Theo Mệnh đề 2.2.3, M có P(R)−giải phải đối thực → M → Q0 → Q1 → · · · (2) Ta chọn môđun xạ ảnh P , P , P , cho tất môđun F = Q0 ⊕ P F n = Qn ⊕ P n−1 ⊕ P n với n > 0, tự Thêm dãy khớp ∼ = 0→ − Pi − → Pi → − vào P(R)−giải phải đối thực với bậc i i + 1, ta có dãy 23 khớp sau: ∼ = → P0 − →P → ∼ = → P1 − → P1 → ∼ = →P − → P2 → ··· (2) suy ra, dãy khớp → M → Q0 ⊕ P → Q0 ⊕ P ⊕ P → Q1 ⊕ P ⊕ P → · · · F0 F1 F2 Vậy ta có điều phải chứng minh Tiếp đến ta kiểm tra xem môđun xạ ảnh Gorenstein dãy khớp ngắn Định lý sau Foxby Martsinkovsky Ta xem thêm [8, Định lý 10.2.8 11.5.66] 2.2.5 Định lý Lớp G P(R) tất R−môđun xạ ảnh Gorenstein giải xạ ảnh Hơn nữa, G P(R) khép kín tổng trực tiếp hạng tử trực tiếp tùy ý Chứng minh Xem [9, Định lý 2.5] 2.2.6 Mệnh đề Giả sử M R−môđun tùy ý, xét hai dãy khớp → Kn → Gn−1 → · · · → G0 → M → 0, ∼ ∼ ∼ → Kn → Gn−1 → · · · → G0 → M → 0, ∼ ∼ G0 , , Gn−1 G0 , , Gn−1 môđun xạ ảnh Gorenstein Khi ∼ Kn mơđun xạ ảnh Gorenstein Kn môđun xạ ảnh Gorenstein Chứng minh Từ lớp môđun xạ ảnh Gorenstein giải xạ ảnh khép kín tổng trực tiếp hạng tử trực tiếp, theo Định lý 2.2.5, kết hệ trực tiếp [4, Bổ đề 3.12] Sau nghiên cứu chiều xạ ảnh Gorenstein 24 2.2.7 Định nghĩa Chiều xạ ảnh Gorenstein môđun M , kí hiệu GpdR M , xác định GpdR M ≤ n (n ∈ N0 ) M có giải xạ ảnh Gorenstein độ dài n Ta kí hiệu G P(R) lớp tất R−môđun với chiều xạ ảnh Gorenstein hữu hạn Bây ta chứng minh chiều xạ ảnh Gorenstein xác định theo giải đo hàm tử Ext, theo cách tương tự dùng hàm tử để đo chiều xạ ảnh thông thường 2.2.8 Mệnh đề Giả thiết R vành Noether, M R−môđun hữu hạn sinh với chiều xạ ảnh Gorenstein m (có thể m = ∞) Khi M có giải xạ ảnh Gorenstein độ dài m bao gồm môđun xạ ảnh Gorenstein hữu hạn sinh Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.2.6 cho giải M môđun xạ ảnh hữu hạn sinh Sử dụng Mệnh đề 2.2.3 Mệnh đề 2.2.6 ta hai kết sau 2.2.9 Bổ đề Xét dãy khớp → Kn → Gn−1 → · · · → G0 → M → G0 , , Gn−1 mơđun xạ ảnh Gorenstein Khi ExtiR (Kn , L) ∼ = Exti+n R (K, L) với R−môđun L có chiều xạ ảnh hữu hạn, với số nguyên i > 2.2.10 Mệnh đề Giả sử 0→K→G→M →0 dãy khớp R−mơđun G môđun xạ ảnh Gorenstein Nếu M môđun xạ ảnh Gorenstein K Mặt khác ta có GpdR K = GpdR M − ≥ 25 2.2.11 Mệnh đề Nếu (Mλ )λ∈Λ họ tùy ý R−mơđun Khi ta có GpdR ( Chứng minh Mλ ) = sup{GpdR Mλ |λ ∈ Λ} ≤ rõ ràng G P(R) khép kín đối Bất đẳng thức với tổng trực Định lý 2.2.5 Đối với bất đẳng thức ngược lại ≥ ta chứng minh M hạng tử trực tiếp R−môđun M , GpdR M ≤ GpdR M Ta giả sử GpdR M = n hữu hạn sau ta chứng minh quy nạp theo n Nếu n = 0, có nghĩa GpdR M = 0, M mơđun xạ ảnh Gorenstein Theo Định lý 2.2.5, M môđun xạ ảnh Gorenstein Nếu n > Do M hạng tử trực tiếp M nên M = M ⊕ M với môđun M Chọn dãy khớp 0→K →G →M →0 0→K →G →M →0 G G xạ ảnh Ta có biểu đồ giao hốn sau với hàng dãy khớp chẻ 0 0 M M M 0 G G ⊕G G 0 K K ⊕K K 0 0 Áp dụng Mệnh đề 2.2.10 cho cột biểu đồ, ta có GpdR (K ⊕ K ) = GpdR M − = n − 26 Theo giả thiết quy nạp ta có GpdR K ≤ n − Áp dụng Mệnh đề 2.2.10 lần vào dãy khớp ngắn 0→K →G →M →0 ta GpdR K = GpdR M − Do GpdR M ≤ n 2.2.12 Định lý Giả sử M R−môđun với chiều xạ ảnh Gorenstein hữu hạn, giả sử n số nguyên Khi điều kiện sau tương đương (i) GpdR (M ) ≤ n (ii) ExtiR (M, L) = với i > n, với R−môđun L có pdR L hữu hạn (iii) ExtiR (M, Q) = với i > n, với R−môđun xạ ảnh Q (iv) Với dãy khớp → Kn → Gn−1 → · · · → G0 → M → 0, G0 , , Gn−1 mơđun xạ ảnh Gorenstein, Kn mơđun xạ ảnh Gorenstein Do đó, chiều xạ ảnh Gorenstein M xác định công thức: GpdR (M ) = sup{i ∈ N0 |∃L ∈ P(R) : ExtiR (M, L) = 0} = sup{i ∈ N0 |∃Q ∈ P(R) : ExtiR (M, Q) = 0} Chứng minh Ta có: (ii) ⇒ (iii) hiển nhiên Q mơđun xạ ảnh, chiều xạ ảnh Q hay chiều xạ ảnh Q hữu hạn (iv) ⇒ (i) hiển nhiên theo định nghĩa chiều xạ ảnh Gorenstein Ta phải chứng (i) ⇒ (ii) (iii) ⇒ (iv) Để chứng minh (i) ⇒ (ii), ta giả thiết GpdR M ≤ n Theo định nghĩa ta có dãy khớp → Gn → · · · → G0 → M → G0 , , Gn môđun xạ ảnh Gorenstein 27 Theo Bổ đề 2.2.9 ta có ExtiR (Gn , L) ∼ = Exti+n R (M, L) Theo Mệnh đề 2.2.3 ta có ExtiR (Gn , L) = 0, ∀i > 0, ∀L có chiều xạ ảnh hữu hạn (Vì Gn mơđun xạ ảnh Gorenstein) i+n Vì ExtR (M, L) = 0, ∀i > ∀ L có chiều xạ ảnh hữu hạn hay ExtiR (M, L) = 0, ∀i > n L có chiều xạ ảnh hữu hạn Vậy ta có ExtiR (M, L) ∼ = Exti−n R (Gn , L) = với i > n, L có chiều xạ ảnh hữu hạn Chứng minh (iii) ⇒ (iv) Xét dãy khớp → Kn → Gn−1 → · · · → G0 → M → G0 , , Gn−1 môđun xạ ảnh Gorenstein Áp dụng Bổ đề 2.2.9 cho dãy khớp này, sử dụng giả thiết ta có i+n (M, Q) với số nguyên i > 0, môđun xạ ExtiR (Kn , Q) ∼ = ExtR ảnh Q Phân tích dãy khớp → Kn → Gn−1 → · · · → G0 → M → thành dãy khớp ngắn áp dụng Mệnh đề 2.2.10 n lần, ta có GpdR Kn < ∞, từ GpdR M < ∞ Từ ta có dãy khớp → G m → · · · → G → Kn → G , , G m mơđun xạ ảnh Gorenstein Phân tích dãy khớp thành dãy khớp ngắn → C j → G j−1 → C j−1 → 0, với j = 1, , m C = G m C = Kn Áp dụng khác Bổ đề 2.2.9 ta có j Ext1R (C j−1 , Q) ∼ = ExtR (Kn , Q) = với j = 1, , m, với môđun m xạ ảnh Q Từ ta có mơđun theo thứ tự C m , , C xạ ảnh Gorenstein (xem [9, Hệ 2.11]) Đặc biệt Kn = C xạ ảnh Gorenstein 28 Công thức cuối định lý để xác định GpdR M hệ trực tiếp mệnh đề tương đương (i), (ii), (iii) 2.2.13 Hệ Nếu R vành Noerther, M R−mơđun hữu hạn sinh có chiều xạ ảnh Gorenstein hữu hạn GpdR (M ) = sup{i ∈ N0 |ExtiR (M, R) = 0} Chứng minh Theo Định lý 2.2.12 ta thấy ExtiR (M, Q) = với Q môđun xạ ảnh ExtiR (M, R) = Ta chọn môđun P khác, Q ⊕ P ∼ = RΛ với tập số Λ đó, ý Extn (M, R)Λ ∼ = Extn (M, Q) ⊕ Extn (M, P ) = R R R 2.2.14 Định lý Giả sử → M → M → M → dãy khớp ngắn R−môđun Nếu hai môđun tùy ý mơđun M , M M có chiều xạ ảnh Gorenstein hữu hạn mơđun cịn lại Chứng minh Xem [5, Mệnh đề 3.4] Chứng minh định lý hệ Mệnh đề 2.2.6 Một câu hỏi tự nhiên đặt có chiều xạ ảnh thông thường khác với chiều xạ ảnh Gorenstein Câu trả lời dễ dàng suy từ Định lý 2.2.12 2.2.15 Mệnh đề Nếu M R−mơđun có chiều xạ ảnh hữu hạn GpdR M = pdR M Đặc biệt ta có đẳng thức lớp sau G P(R) ∩ P(R) = P(R) Chứng minh Giả thiết n = pdR M hữu hạn Theo định nghĩa, ta ln có GpdR M ≤ pdR M, ta có GpdR M ≤ n < ∞ Để chứng minh GpdR M = n ta sử dụng Định lý 2.2.12 để chứng minh tồn môđun xạ ảnh P cho ExtnR (M, P ) = Từ pdR M = n, có mơđun N cho ExtnR (M, N ) = Giả sử P môđun 29 xạ ảnh tùy ý với tồn ánh lên mơđun N Từ dãy khớp dài đồng điều ta suy ExtnR (M, P ) = Vậy ta có điều phải chứng minh 30 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề [9] lớp giải xạ ảnh, lớp giải nội xạ, lớp trực giao (trái, phải), môđun xạ ảnh Gorenstein, chiều xạ ảnh Gorenstein Kết mơđun xạ ảnh Gorenstein (Mệnh đề 2.2.3 Định lý 2.2.5, Mệnh đề 2.2.6), Chiều xạ ảnh Gorenstein (Mệnh đề 2.2.11 Định lý 2.2.12, Hệ 2.2.13, Định lý 2.2.14, Mệnh đề 2.2.15) 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Đình Hà (2012), Chiều đồng điều Gorenstein, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [2] Sze-Tsen Hu (1973), Nhập môn Đại Số Đồng Điều, Bản dịch tiếng Việt [3] Nguyễn Thị Bình Minh (2012), Về chiều đồng điều, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh: [4] M Auslander, M Bridger (1969), Stable Module theory, American Mathematical Society, Providence, RI, Memoirs of the American Mathematical Society, No 94 [5] L L Avramov, A Martsinkovsky (2002), Absolute, relative, and Tate cohomology of modules of finite Gorenstein dimension, Proc London Math Soc., (3) 85(2), 393-440 [6] L W Christensen (2000), Gorenstein Dimensions, in: Lecture Notes in Mathmatics, 1747, Springer, Berlin [7] E E Enochs, O M G Jenda (1995), Gorenstein injective and projective modules, Math Z., 220 (4) 611-633 [8] E E Enochs, O M G Jenda (2000), Relative Homological Algebra, in: de Gruyter Expositions in Mathematics, 30, Walter de Gruyter & Co., Berlin 32 [9] Henrik Holm (2004), Gorenstein homological dimensions, Journal of Pure and Applied Algebra 189,167-193 [10] Joseph J Rotman (1979), An introduction to homological algebra, Academic press, New York, San Francisco, London [11] Jinzhong Xu (1996), Flat Cover of Modules, in: Lecture Note in Mathematics, 1634, Springer, Berlin ... nội xạ, môđun xạ ảnh, hàm tử Tor, hàm tử Ext, chiều xạ ảnh Chương II Chiều xạ ảnh Gorenstein Chương đề cập tới khái niệm lớp giải được, lớp trực giao, môđun xạ ảnh Gorenstein, chiều xạ ảnh Gorenstein. .. giải xạ ảnh, lớp giải nội xạ, lớp trực giao (trái, phải), môđun xạ ảnh Gorenstein, chiều xạ ảnh Gorenstein Kết mơđun xạ ảnh Gorenstein (Mệnh đề 2.2.3 Định lý 2.2.5, Mệnh đề 2.2.6), Chiều xạ ảnh Gorenstein. .. khớp với Pi mơđun xạ ảnh, Kn môđun xạ ảnh 17 CHƯƠNG CHIỀU XẠ ẢNH GORENSTEIN Chương đề cập tới khái niệm lớp giải được, lớp trực giao, môđun xạ ảnh Gorenstein, chiều xạ ảnh Gorenstein Nội dung