Không gian mêtric riêng
Mục này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric riêng.
1.1.1 Định nghĩa ([11]) Cho X là tập khác rỗng, ánh xạ p : X ×X → R + được gọi là một mêtric riêng (partial metric) trên X nếu với bất kỳ x, y, z ∈ X các điều kiện sau được thỏa mãn
Tập X cùng với mêtric riêng p trên nó được gọi là không gian mêtric riêng(partial metric space) và được ký hiệu là (X, p).
Xét không gian X = R + và ánh xạ p : X × X → R + được định nghĩa bởi p(x, y) = max{x, y} cho mọi x, y thuộc X Trong trường hợp này, (X, p) là một không gian mêtric riêng Tuy nhiên, (X, p) không phải là không gian mêtric vì p(x, x) = x > 0 với mọi x > 0.
2) Cho X = {[a, b] : a, b ∈ R, a ≤ b} và ánh xạ p : X ×X → R + được xác định bởi p([a, b],[c, d]) = max{b, d} −min{a, c}, với mọi [a, b],[c, d] ∈ X Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng.
3) Cho X = [0,1]∪[2,3] và ánh xạ p : X ×X → R + được xác định bởi p(x, y) |x−y| nếu {x, y} ⊂ [0,1] max{x, y} nếu {x, y} ∩[2,3] 6= ∅, với mọi x, y ∈ X Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng.
1.1.3 Mệnh đề ([11]) Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng Khi đó, các ánh xạ p s , p m : X ×X → R + cho bởi p s (x, y) = 2p(x, y)−p(x, x)−p(y, y) và p m (x, y) = max{p(x, y)−p(x, x), p(x, y)−p(y, y)} xác định các mêtric tương đương trên X.
1.1.4 Định nghĩa ([11]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng, > 0 và x ∈ X Khi đó, tập
B p (x, ) := {y ∈ X : p(x, y) < p(x, x) + } được gọi là hình cầu mở tâm x bán kính
1.1.5 Định lí ([11]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng Khi đó, tập các hình cầu mở trong X là cơ sở tôpô τ p trên X Hơn nữa, không gian (X, τ p ) là
1.1.6 Định nghĩa ([11]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng.
1) Dãy {x n } trong X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu và chỉ nếu p(x, x) n→∞lim p(x n , x).
2) Dãy {x n } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu n,m→∞lim p(x n , x m ) tồn tại hữu hạn.
3) Không gian (X, p) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {x n } trong X hội tụ tới x ∈ X theo tôpô τ p
4) Hàm f : X → X được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f(B(x0, δ)) ⊂ B(f(x0), ε).
1.1.7 Định nghĩa ([11]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng.
1) Dãy {x n } trong X được gọi là 0-Cauchy nếu lim n,m→∞p(x n , x m ) = 0.
2) Không gian (X, p) được gọi là 0-đầy đủ nếu mọi dãy 0-Cauchy trong X hội tụ theo tôpô τp tới x ∈ X sao cho p(x, x) = 0.
Trong không gian mêtric, mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy và có giới hạn duy nhất Tuy nhiên, trong không gian mêtric riêng (X, p), dãy hội tụ {x_n} có thể không phải là dãy Cauchy, và giới hạn của nó có thể không duy nhất Ví dụ, với X = R+ và p(x, y) = max{x, y}, dãy {x_n} được xác định bởi x_n = 0 nếu n = 2k.
Rõ ràng, {x n } là dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng (X, p) và với mọi x ≥1 ta có lim n→∞p(xn, x) = p(x, x) Đặt
Khi đó L(x n ) = [1,∞) Hơn nữa lim n,m→∞p(x n , x m ) không tồn tại.
Nếu (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ, thì nó cũng là không gian mêtric riêng 0-đầy đủ Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng; ví dụ, không gian mêtric riêng (Q + , p) với mêtric p(x, y) = max{x, y} là 0-đầy đủ nhưng không phải là đầy đủ.
1.1.9 Mệnh đề ([11]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng Khi đó, ta có các khẳng định sau
(1) Nếu {x n } là dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng (X, p s ) thì nó là dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng (X, p).
(2) Dãy {x n } là dãy Cauchy trong (X, p) nếu và chỉ nếu {x n } là dãy Cauchy trong (X, p s ).
(3) Không gian (X, p) đầy đủ nếu và chỉ nếu không gian(X, p s ) đầy đủ Hơn nữa, n→∞lim p s (x n , x) = 0 ⇔ lim n→∞p(x, x) = lim n→∞p(x n , x) = lim n,m→∞p(x m , x n ).
1.1.10 Bổ đề ([11]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng và dãy {x n } ⊂ X.
(1) Nếu x n →z khi n → ∞ thì lim n→∞p(x n , y) ≤ p(z, y) với mọi y ∈ X.
(2) Nếu x n → z khi n → ∞ sao cho p(z, z) = 0 thì lim n→∞p(x n , y) = p(z, y) với mọi y ∈ X.
1.1.11 Bổ đề ([11]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng Khi đó, ta có
1.1.12 Bổ đề ([11]) Cho {x n } là dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng (X, p) sao cho x n → x và x n →y khi n → ∞ Nếu n→∞lim p(xn, xn) = p(x, x) = p(y, y) thì x = y.
1.1.13 Bổ đề ([11]) Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng Khi đó, p là hàm liên tục theo nghĩa sau: Nếu x n → x và y n → y khi n → ∞ với mọi x n , y n , x, y ∈ X thì p(x n , y n ) → p(x, y) khi n → ∞.
Nguyên lý biến phân Ekeland trên không gian mêtric riêng và ứng dụng
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric riêng và ứng dụng của nó để chứng minh sự tồn tại của điểm bất động cho các ánh xạ Caristi và Clarke.
1.2.1 Định nghĩa ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric riêng và hàm φ :
X →R + Khi đó, hàm φ được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu n→∞lim p(x n , x) =p(x, x) ⇒ φ(x) ≤ lim n→∞infφ(x n ), với mọi x ∈ X.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian mêtric riêng.
1.2.2 Định lí ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric riêng đầy đủ và φ : X →
R + là hàm nửa liên tục dưới Giả sử ε > 0 và x ∈ X thỏa mãn φ(x) ≤ inf t∈Xφ(t) + ε và inf t∈Xp(x, t) < 1 Khi đó, tồn tại y ∈ X sao cho φ(y) ≤ φ(x) và p(x, y) ≤ 1 Đối với mọi x ∈ X thỏa mãn z ≠ y, có φ(z) > φ(y) - εp(y, z) Để chứng minh điều này, ta chọn x 0 ∈ X sao cho (1.1) thỏa mãn và xây dựng dãy {x n } với n = 1, lấy x 1 = x sao cho φ(x 1 ) ≤ φ(x) và p(x, x 1 ) = p(x, x) ≤ 1.
Với n ≥ 2 ta giả sử xn ∈ X thỏa mãn φ(xn) ≤ φ(x) và p(x, xn) ≤ 1 Khi đó, xảy ra một trong hai trường hợp sau:
Tồn tại một điểm z khác x n sao cho εp(x n , z) ≤ φ(x n )−φ(z) Nếu chọn y = x n, thì các điều kiện (1.2), (1.3), (1.4) được thỏa mãn vì φ(y) = φ(x n ) ≤ φ(x) Gọi S n là tập hợp các điểm z trong X mà trường hợp (b) thỏa mãn Khi đó, ta có thể chọn x n+1 từ S n sao cho φ(x n+1 )− inf t∈S n φ(t) ≤ 1.
2[φ(x n )− inf t∈S n φ(t)] (1.5) Điều này kéo theo εp(x n , x n+1 ) ≤ φ(x n )−φ(x n+1 ) (1.6) với mọi n ∈ N Từ tiên đề (P4) trong Định nghĩa 1.1.1 ta có εp(x n , x m ) ≤ε[p(x n , x n+1 ) +p(x n+1 , x n+2 )−p(x n+1 , x n+1 )]
Dãy {φ(x n )} là dãy không tăng trong R + và bị chặn dưới bởi 0, nên nó hội tụ Điều này dẫn đến lim n,m→∞ p(x n , x m ) = 0, chứng tỏ dãy {x n } là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ (X, p) Theo Mệnh đề 1.1.9, dãy {x n } cũng là dãy Cauchy trong không gian mêtric (X, p s ) Do đó, tồn tại y ∈ X sao cho dãy {x n } hội tụ về y trong (X, p s ) Theo Mệnh đề 1.1.9, ta có n,m→∞lim p(x n , x m ) = lim n→∞p(x n , y) = p(y, y).
Vì limn,m→∞p(xn, xm) = 0 nên từ (1.8) ta có p(y, y) = 0 Bây giờ, ta chứng minh y thỏa mãn (1.2), (1.3) và (1.4) Từ (1.6) ta thấy vì dãy {φ(x n )} là dãy không tăng trong R + , tức là
Cho n= 1 trong (1.7) và sử dụng (1.1) ta nhận được (1.3) Thật vậy, ta có εp(x, x m ) =εp(x 1 , x m )
Do đó, cho m →+∞ ta có p(x, y) ≤1.
Giả sử (1.4) không thỏa mãn, khi đó tồn tại z ∈ X với z 6= y sao cho φ(z) ≤φ(y)−εp(z, y) (1.9)
Từ (1.7) với mọi n ≤ m ta có φ(xm) ≤ φ(xn)−εp(xn, xm).
Cho m → +∞ trong bất đẳng thức trên ta thu được φ(y) ≤ lim m→+∞infφ(x m ) ≤ φ(x n )−εp(x n , y) (1.11)
Từ tiên đề (P4) trong Định nghĩa 1.1.1 ta có p(x n , z) ≤p(x n , y) +p(y, z)−p(y, y) = p(x n , y) +p(y, z).
Tiếp tục, từ (1.9) và (1.11) ta có φ(z) ≤φ(y)−εp(y, z) ≤ φ(x n )−εp(x n , z), kéo theo z ∈ Sn với mọi n∈ N Bây giờ, (1.5) có thể viết dưới dạng
Do đó, cùng với dãy {φ(x n )} là dãy không tăng trong R + nên tồn tại L ≥ 0 sao cho n→+∞lim φ(x n ) = L.
Cho n →+∞ trong bất đẳng thức trên ta suy ra L ≤ φ(z) Mặt khác, vì φ là nửa liên tục dưới nên ta có φ(y) ≤ lim n→+∞infφ(x n ) =L.
Vì vậy, có sự mâu thuẫn khi φ(y) < φ(z) với điều kiện (1.10), dẫn đến việc y thỏa mãn điều kiện (1.4) Cần lưu ý rằng trong Định lý 1.2.2, nếu không giả định inf t∈X p(x, t) < 1, thì chỉ có thể chứng minh rằng (1.2) và (1.4) đều thỏa mãn.
1.2.3 Định lí ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric riêng đầy đủ và φ : X →
R + là hàm nửa liên tục dưới Giả sử ε > 0, khi đó tồn tại y ∈ X thỏa mãn φ(y) ≤ inf t∈Xφ(t) +ε
Chứng minh: Vì φ là nửa liên tục dưới nên luôn tồn tại x ∈ X sao cho φ(x) ≤ inf t∈Xφ(t) + ε.
Do đó, từ (1.2) và (1.4) ta suy ra (1.12) và (1.13). Áp dụng Định lý 1.2.3 ta sẽ chứng tỏ ánh xạ Caristi có điểm bất động trong lớp không gian mêtric riêng.
1.2.4 Định lí ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric riêng đầy đủ và φ : X →
R + là hàm nửa liên tục dưới Khi đó, với mỗi x ∈ X ánh xạ T : X → X thỏa mãn p(x, T x) ≤ φ(x)−φ(T x), (1.14) có điểm bất động trong X.
Chứng minh: Chúng ta áp dụng Định lý 1.2.3 với ε = 1
2cho hàmφ thỏa mãn điều kiện (1.14) Khi đó, tồn tại y ∈ X sao cho φ(t) ≥ φ(y)− 1
2p(y, t) với mọi t Bất đẳng thức này cũng đúng với t= T y, do đó φ(y)−φ(T y) ≤ 1
Thay thế x = y trong (1.14) ta nhận được p(y, T y) ≤ φ(y)−φ(T y).
Khi p(y, T y) = 0, điều này dẫn đến T y = y, nghĩa là T có điểm bất động y ∈ X Theo Định lý 1.2.3, chúng ta có thể chứng minh rằng ánh xạ Clarke trên tập con lồi đóng của không gian Banach tồn tại điểm bất động trong lớp không gian mêtric riêng.
1.2.5 Định lí ([3]) Cho X là tập con lồi đóng của không gian Banach và
T : X →X là ánh xạ liên tục trên X thỏa mãn điều kiện:
(C) Tồn tại k ∈ (0,1) sao cho với mỗi u∈ X tồn tại t ∈ (0,1] để kT(u t )−T(u)k ≤ kku t −uk, trong đó u t = tT(u) + (1−t)u là đoạn thẳng nối u và T(u) với t ∈ [0,1] Khi đó, T có điểm bất động trên X.
Áp dụng Định lý 1.2.3 cho hàm φ: X → R+ với φ(w) = kw−T(w)k + b, trong đó b > 0 và 0 < ε < 1 − k, ta xác định mêtric riêng p: X × X → R+ bằng công thức p(w, z) = kw − zk + b.
Rõ ràng, p không phải là mêtric vì p(x, x) = b > 0 Hơn nữa, p s (w, z) = 2kw−zk và (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ Do T : (X,k.k) → (X,k.k) liên tục, nếu w n → w trong (X, k.k) thì T(w n) → T(w) trong (X, k.k) Chú ý rằng φ(w) = p(w, T(w)) Giả sử w n → w trong (X, p), khi đó, lim n→+∞ p(w n, w) = p(w, w).
Theo định nghĩa mêtric riêng ta có n→+∞lim kw n −wk = 0.
Khi n tiến đến vô cùng, ta có lim n→+∞kT(w n )−T(w)k = 0, dẫn đến n→+∞lim kw n −T(w n )k= kw −T(w)k Điều này chứng tỏ rằng lim n→+∞φ(wn) = φ(w), từ đó cho thấy φ là hàm liên tục và nửa liên tục dưới trên không gian X Theo Định lý 1.2.3, tồn tại y ∈ X sao cho φ(w) ≥ φ(y) − εp(w, y) với mọi w ∈ X, tức là kw−T(w)k ≥ ky −T(y)k − ε(kw−yk+b).
Theo điều kiện (D), tồn tại k ∈ (0,1) và t∈ (0,1] sao cho kT(y t )−T(y)k ≤ kky t −yk ≤ ktky −T(y)k.
Thay w = y t trong (1.15) ta nhận được ky −T(y)k ≤ ky t −T(y t )k+ε(ky t −yk+b)
≤ ky t −T(y)k+ktky −T(y)k+ε(tky−T(y)k+b). Bây giờ, vì yt thuộc đoạn thẳng [y, T(y)] nên ta có ky −T(y)k = ky −y t k+ky t −T(y)k
= tky−T(y)k+ky t −T(y)k. Điều này kéo theo với mỗi b > 0 ta có tky −T(y)k ≤ (k+ε)tky−T(y)k+εb.
Cho b →0 ta nhận được tky −T(y)k ≤ (k+ ε)tky −T(y)k.
Vì t > 0 nên chia hai vế cho t ta suy ra ky −T(y)k ≤ (k+ ε)ky −T(y)k.
Vì k +ε < 1 nên y = T(y) Vậy y là điểm bất động của T.
Nguyên lý biến phân Ekeland trên không gian b-mêtric
Chương này giới thiệu các khái niệm và tính chất của không gian b-mêtric, đồng thời trình bày nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian b-mêtric Bên cạnh đó, nó cũng nêu rõ ứng dụng của nguyên lý này trong việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ Caristi.
Không gian b-mêtric
Mục này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của không gian b-mêtric.
B-mêtric là một ánh xạ d: X×X → [0,+∞) được định nghĩa cho tập X khác rỗng, thỏa mãn rằng với mọi x, y, z ∈ X, tồn tại một hằng số s ≥ 1 sao cho các điều kiện nhất định được đáp ứng.
Khi đó, (X, d) được gọi là không gian b-mêtric hay bM S không gian với hệ số s.
2.1.2 Ví dụ ([5]) 1) Cho tập hợp X thỏa mãn |X| ≥ 3 Giả sử X = X 1 ∪X 2 sao cho |X 1 | ≥ 2 và số thực tùy ý s > 1 Khi đó, hàm d : X ×X → R + được xác định bởi d(x, y)
1 các trường hợp còn lại, là một b-mêtric trên X với hệ số s > 1.
2) Cho l p (R) = {{x n } ⊂ R : P ∞ n=1 |x n | p < ∞} với 0 < p < 1 Khi đó, với x = {x n }, y = {y n } ∈ l p (R) hàm d :l p (R)×l p (R) →R được xác định bởi d(x, y) = (
|x n −y n | p ) 1 p , là một b-mêtric với hệ số s = 2 1 p > 1.
3) Cho L p [0,1] = {x : [0,1] →R :R 0 1 |x(t)| p dt < ∞} với 0 < p < 1 Khi đó, với x, y ∈ L p [0,1] hàm d : L p [0,1]×L p [0,1] → R được xác định bởi d(x, y) = (
|x(t)−y(t)| p )dt) 1 p , là một b-mêtric với hệ số s = 2 1 p > 1.
2.1.3 Định nghĩa ([5]) Cho (X, d) là không gian b-mêtric, {x n } là dãy các điểm của X và x ∈ X.
1 Dãy {x n } được gọi là hội tụ trong (X, d) về x ∈ X nếu với mọi ε > 0 tồn tại n 0 ∈ N sao cho d(x n , x) < ε với mọi n > n 0 và ta ký hiệu x n → x khi n → ∞.
2 Dãy {x n } được gọi là dãy Cauchy trong (X, d) nếu với mọi ε > 0 tồn tại n 0 ∈ N sao cho d(x n , x n+p ) < ε với mọi n > n 0 và p ∈ N hay n→∞limd(x n , x m ) = 0 với mọi p ∈ N.
3 (X, d) được gọi là không gian b-mêtric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong
X đều hội tụ về một điểm thuộc X.
4 Tập con Y ⊂X được gọi là đóng nếu mọi dãy {x n } trong Y mà xn → x thì x ∈ Y.
5 Tập con Y ⊂ X được gọi là compact nếu mọi dãy {x n } trong Y tồn tại dãy con {x n k } sao cho xn k → x ∈ Y.
2.1.4 Nhận xét 1 Mọi dãy hội tụ trong không gian b-mêtric đều có giới hạn duy nhất.
2 Mọi dãy hội tụ trong không gian b-mêtric đều là dãy Cauchy.
Nguyên lý biến phân Ekeland trên không gian b-mêtric và ứng dụng
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian b-metric và ứng dụng của nó để chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Caristi.
Bổ đề 2.2.1 khẳng định rằng trong không gian b-metric đầy đủ (X, d), nếu {F n } là một dãy các tập con đóng không rỗng của X với điều kiện F 1 ⊃ F 2 ⊃ ⊃ F n ⊃ và độ dài lớn nhất của các tập này, diam(F n ), tiến tới 0 khi n tiến đến vô cùng, thì tập hợp T∞ n=1F n sẽ chứa một điểm duy nhất.
Để chứng minh rằng tập hợp \( T = \bigcap_{n=1}^{\infty} F_n \) chứa một điểm duy nhất, ta xét dãy \( x_n \in F_n \) với mỗi số tự nhiên \( n \) Theo giả thiết, dãy \( x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots \) đều thuộc \( F_n \) Chọn \( \varepsilon > 0 \), tồn tại \( n_0 \in \mathbb{N} \) sao cho \( \text{diam}(F_{n_0}) < \varepsilon \) Do đó, với mọi \( m, n > n_0 \), ta có \( d(x_m, x_n) \leq \text{diam}(F_{n_0}) < \varepsilon \), chứng tỏ rằng dãy \( \{x_n\} \) là dãy Cauchy trong không gian b-metric đầy đủ \( X \) và do đó hội tụ đến một điểm \( x \in X \) sao cho \( \lim_{n \to \infty} x_n = x \) Vì mỗi \( x_n \) thuộc \( F_n \) và \( F_n \) là tập đóng, nên \( x \in T \) Nếu tồn tại \( y \in T \) với \( y \neq x \), thì khoảng cách \( d(x, y) = \alpha > 0 \) Tồn tại \( n \) đủ lớn sao cho \( \text{diam}(F_n) < \varepsilon = d(x, y) \), từ đó suy ra \( y \notin F_n \), dẫn đến mâu thuẫn Vậy, \( T \) chứa một điểm duy nhất.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian b-mêtric.
Trong không gian b-mêtric đầy đủ (X, d) với hệ số s > 1, nếu d là hàm liên tục và f: X → [−∞,+∞] là hàm bị chặn dưới và nửa liên tục dưới, thì với mỗi điểm x₀ ∈ X và ε > 0 sao cho f(x₀) ≤ inf x∈X f(x) + ε, tồn tại một dãy {xₙ} ⊂ X và một điểm xε ∈ X thỏa mãn điều kiện trên.
1 s n d(xn, xε) với mỗi x 6= xε (2.4) Chứng minh: Với mỗi x 0 ∈ X ta xét tập
Vì f là hàm nửa liên tục dưới và x0 ∈ T(x0) nên suy raT(x0) là tập đóng khác rỗng trong không gian (X, d) và với mỗi y ∈ T(x0) ta có d(y, x 0 ) ≤f(x 0 )−f(y) ≤ f(x 0 )−inf x∈X f(x) ≤ ε (2.6)
Ta chọn x 1 ∈ T(x 0 ) sao cho f(x 1 ) +d(x 1 , x 0 ) ≤ inf x∈T (x 0 ) {f(x) +d(x, x 0 )}+ ε
Tương tự, bằng phép quy nạp, giả sử đã chọn được x n−1 ∈ T(x n−2 ) sao cho ta có
1 s i d(x n−1 , x i ) (2.7) Bây giờ, ta chọn x n ∈ T(x n−1 ) sao cho f(x n ) + n−1
Vì T(xn) là tập đóng khác rỗng nên với mỗi y ∈ T(xn) từ (2.8) và (2.9) ta có
Do đó, với mọi y ∈ T(x n ) ta có d(y, x n ) ≤ ε
Khi n tiến tới vô cùng, ta có d(y, xn) → 0, dẫn đến diamT(xn) → 0 Trong không gian b-metric đầy đủ (X, d), theo Bổ đề 2.2.1, ta có T∞ n=0T(xn) = {x ε} Từ các phương trình (2.6) và (2.10), suy ra rằng x ε ∈ X thỏa mãn điều kiện (2.2) Do đó, x n tiến tới x ε khi n tiến tới vô cùng.
Hơn nữa, với mọi x 6= x ε ta có x /∈ T ∞ n=0 T(x n ), do đó tồn tại m ∈ N sao cho f(x) + m
Từ (2.5),(2.7) và (2.8) với mỗi q ≥ m ta có f(x 0 ) ≥ f(x m ) + m−1
1 s i d(xε, xi). Điều này chứng tỏ (2.3) và (2.4) thỏa mãn.
Từ Định lý 2.2.2 ta suy ra hệ quả sau:
Trong không gian b-metric đầy đủ (X, d) với hệ số s > 1, giả sử d là hàm liên tục và f: X → [−∞,+∞] là hàm bị chặn dưới và nửa liên tục dưới Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại một dãy {x_n} thuộc X và một điểm x* trong X sao cho các điều kiện nhất định được thỏa mãn.
Trong không gian b-metric đầy đủ (X, d) với hệ số s > 1 và hàm d liên tục, định lý 2.2.4 khẳng định rằng nếu tồn tại một hàm T: X → X và một hàm nửa liên tục dưới f: X → [−∞,+∞] thỏa mãn điều kiện d(u, v) + sd(u, T(u)) ≥ d(T(u), v) và s² s⁻¹ d(u, T(u)) ≤ f(u) − f(T(u)) cho mọi u, v ∈ X, thì T sẽ có điểm bất động.
Chứng minh: Giả sử với mọi x ∈ X ta có T(x) 6= x Từ Hệ quả 2.2.3 ta suy ra vói mỗi ε > 0 tồn tại dãy {x n } ⊂ X sao cho x n → x ε ∈ X khi n → ∞ và với mỗi x ∈ X ta có f(x) +
Trong bất đẳng thức trên, nếu ta cho x = T(x ε ) thì từ T(x ε ) 6= x ε ta có f(x ε )−f(T(x ε )) φ(y) − εd(y, w), chứng tỏ các điều kiện (i)-(iii) được thỏa mãn Cụ thể, điều kiện (i) suy ra từ (j) Nếu y 6= x, ta có σ(x, y) = d(x, y) ≤ 1, do đó điều kiện (ii) cũng được thỏa mãn Cuối cùng, vì w 6= y nên σ(w, y) = d(w, y), điều này chứng tỏ điều kiện (iii) cũng được thỏa mãn.
3.2.2 Định nghĩa ([9]) Cho(X, σ) là không gian kiểu mêtric và hàmφ : X →
[0,+∞) là 0 σ -nửa liên tục dưới Với mỗi x ∈ X, ánh xạ f thỏa mãn điều kiện σ(x, f x) ≤ φ(x)−φ(f x) (3.5) được gọi là ánh xạ Caristi trong (X, σ).
3.2.3 Định lí ([9]) Cho (X, σ) là không gian 0σ-kiểu mêtric đầy đủ Khi đó, ánh xạ Caristi trong không gian (X, σ) có điểm bất động.
Chứng minh: Áp dụng Định lý 3.2.1 với ε = 1 2 ta suy ra tồn tại y ∈ X sao cho với mỗi t ∈ X và hàm φ thỏa mãn (3.5) ta có φ(t) ≥ φ(y)− 1
Bất đẳng thức (3.6) cũng đúng với t= f y, tức là φ(y)−φ(f y) ≤ 1
Cho x = y trong (3.5) ta nhận được σ(y, f y) ≤ φ(y)−φ(f y) (3.8) Kết hợp (3.6), (3.7) và (3.8) ta thu được σ(y, f y) ≤ 1
2σ(y, f y) (3.9) Điều này xảy ra khi σ(y, f y) = 0 tức y = f y Vậy y là điểm bất động của f.
Luận văn đã đạt được các kết quả sau đây:
Bài viết trình bày hệ thống các khái niệm, tính chất và ví dụ về không gian mêtric riêng, đồng thời cung cấp các phép chứng minh chi tiết về nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian mêtric riêng Ngoài ra, bài viết còn nêu rõ ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland trong việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động của một số ánh xạ co, như đã được đề cập trong tài liệu [3].
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và tính chất của không gian b-metric, kèm theo các ví dụ minh họa Chúng tôi cũng sẽ đi sâu vào các phép chứng minh chi tiết về nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian b-metric Cuối cùng, bài viết sẽ khám phá ứng dụng của nguyên lý này trong việc chứng minh sự tồn tại của điểm bất động cho một số ánh xạ co, như đã được đề cập trong tài liệu [5].
Bài viết trình bày hệ thống các khái niệm và tính chất của không gian kiểu mêtric, kèm theo ví dụ minh họa và các phép chứng minh chi tiết về nguyên lý biến phân Ekeland Ngoài ra, tác giả cũng đề cập đến ứng dụng của nguyên lý này trong việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động của một số ánh xạ co, được nêu rõ trong tài liệu [9].
[1] M Abbas and G Jungck (2008), Common fixed point results for noncom- muting mappings without continuity on cone metric spaces, J Math Anal. Appl., 341, 416-420.
[2] M A Alghamdi, N Hussain and P Salim (2013), Fixed point and coupled fixed point theorems on b-metric-like spaces, Journal of Inequalities and Applications, 25 pages.
[3] H Aydi, E Karapinar and C Vetro (2015), On Ekeland’s variational prin- ciple in partial metric spaces, Appl Math Inf Sci., 09, 257-262.
[4] H Bakhtin (1989), The contractions mapping principle in almost metric spaces, Fuct Anal., 30, 26-35.
[5] M Bota, A Molnar and C Varga (2011), On Ekeland’s variational principle in b-metric spaces, Fixed Point Theory, 12, 21-28.
[6] C Chen, H Xue and C Zhu (2017) , Common fixed point theorems con- cerning F-contraction in b-metric-like spaces,Journal of Nonlinear Science and Applications, 10, 3075-3086.
[7] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math. Inform Univ Ostrav., 1, 5-11.
[8] A Harandi (2012), Metric-like spaces, partial metric spaces and fixed point,Fixed point theory and Applications, Article ID 204.