a thực ối xựng cỹc trà v sỡ ỗ Newton
a thùc èi xùng
Cho n ∈ N*, ta định nghĩa một quan hệ thứ tự trên N^n như sau: với hai phần tử tuỳ ý của N^n là (a1, , an) và (b1, , bn), ta nói rằng (a1, , an) ≤ (b1, , bn) khi có thể xảy ra hai trường hợp: (a1, , an) = (b1, , bn) hoặc tồn tại i ∈ {1, , n} sao cho a1 = b1, , ai−1 = bi−1 và ai < bi Quan hệ thứ tự này là quan hệ thứ tự toàn phần Ta quy ước viết (a1, , an) < (b1, , bn) có nghĩa là (a1, , an) ≤ (b1, , bn) và (a1, , an) ≠ (b1, , bn) Định nghĩa 1.1.1: Cho A là một không gian giao hoán có sẵn và v là thực f(x1, , xn) ∈ A[x1, , xn], thì f(x1, , xn) m
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một đa thức f(x1, , xn) thuộc A[x1, , xn], với các hệ số ci ∈ A và ci ≠ 0 cho i = 1, , m Các chỉ số (ai1, , ain) thuộc Nn và khi i khác j, ta có (ai1, , ain) khác (aj1, , ajn) Chúng ta sắp xếp các bộ số mụ {(ai1, , ain) | i = 1, , m} theo thứ tự từ điển Dựa trên thứ tự này, ta xác định giá trị thực f, trong đó giá trị thực f được sắp xếp theo lối từ điển, với bộ số mụ lớn nhất được gọi là hàng tử cao nhất của f Nếu A là một vành giao hoán và f(x1, , xn) thuộc A[x1, , xn], ta có thể xác định một giá trị thực thông qua phép hoán vị ν ∈ Sn, trong đó f(xν(1), , xν(n)) được tạo ra bằng cách thay thế x1 bằng xν(1), , và xn bằng xν(n).
Trong vành A[x₁, , xₙ], các phần tử của A là những số thực Nếu f(x₁, , xₙ) không thuộc A, thì f(x₁, , xₙ) phải chứa một số nguyên và cũng phải thuộc về một số thực nào đó Trong vành A[x₁, , xₙ], các số thực được định nghĩa bởi các số thực ở bên cạnh n số x₁, , xₙ.
Các đa thức đại số đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết biểu diễn các đa thức đại số Giả sử g(x₁, , xₙ) là một đa thức thuộc A[x₁, , xₙ], khi đó đa thức này được xác định thông qua việc thay thế x₁ bằng σ₁, x₂ bằng σ₂, , xₙ bằng σₙ, và kết quả là g(σ₁, , σₙ) sẽ là giá trị của đa thức tại các biến tương ứng Nếu f(x₁, , xₙ) ∈ A[x₁, , xₙ] là một đa thức khác không bằng 0, thì tồn tại duy nhất một đa thức h(x₁, , xₙ) ∈ A[x₁, , xₙ] sao cho f(x₁, , xₙ) = h(σ₁, , σₙ).
a thực ối xựng cỹc trà hai bián
Cho số thực ối xựng cỡ bên bên nhĐtnbián Khi n = 2, hàm s(x, y) = x + y; khi n = 3, hàm s(x, y, z) = x + y + z Đối với một số nguyên khổng lồ, ta có thể hiểu V là không gian vector của các số thực thuần nhất k, n biến với hàm số phức và số thực 0 Cần một số khái niệm Định nghĩa 1.2.1: Một số thực thuần nhất q ∈ Vk được gọi là yếu từ nào đó nếu tồn tại trong q với hàm số khác 0.
Ch¯ng hÔn, vợi n= 2 thẳ q 1 (x, y) = x 3 −x 2 y+xy 2 −y 3 l a thực bêc
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá hàm số lôgic q2(x, y) = x³ + y³ và các khái niệm liên quan Đầu tiên, chúng ta định nghĩa hàm số thực của biến p, ký hiệu là R(p), là tập hợp các giá trị thực có thể xuất hiện trong p với số lượng khác nhau Đối với trường hợp hai biến thực, chúng ta sẽ xem xét hai cấu trúc câu hỏi 1 và câu hỏi 2 để rút ra kết luận rõ ràng.
Mằnh ã 1.2.3 Cho m ≥ 1, khi õ ta cõ p(x, y) = x m + (−1) m−1 y m , l mởt a thực sharp hai bián Hỡn nỳa, náu m l´ thẳ p l a thực ối xựng cüc trà.
Chứng minh rằng ta có thể sử dụng hai biến để biểu diễn một hàm số thực Cụ thể, nếu có hàm số \( q(x, y) \) thỏa mãn \( x + y = q(x, y) \), thì khi đặt \( x a y b = (x+y)q(x, y) \), chúng ta có thể xác định mối quan hệ giữa các biến này trong không gian thực.
Thay y = 0 v o ¯ng thực trản, ta suy ra 0 =xq(x,0) Do õ q(x,0) = 0. iãu n y la vổ lỵ vẳ q(x, y) l a thực Ưy ừ nản nõ chựa ỡn thực dÔng x r , v khi õ hiºn nhiºn q(x,0) = cx r 6= 0 (vợi c n o õ).
Ta x²t a thực hai hÔng tỷ p(x, y) = x m + (−1) m−1 y m Ta cõ phƠn tẵch p(x, y) = (x+y)(x m−1 −x m−2 y+ ã ã ã+ (−1) m−1 y m−1 )
Ta °t q(x, y) = x m−1 −x m−2 y +ã ã ã+ (−1) m−1 y m−1 , khi õ, ró r ng q l a thực thữỡng Ưy ừ cừa p(x, y) Nhữ vêy p(x, y) l a thực cõ hÔng b² nhĐt thọa mÂn p = sq vợi q l Ưy ừ Vêy p l mởt a thực sharp hai bián.
Khi m l´ ta câ p(x, y) = x m + y m l a thực ối xựng nản p l a thực ối xựng cỹc trà hai bián.
Chú ỵ 1.2.4 Khi m = 2r l mởt số chđn ta cõ
Đối với hàm bậc hai hai biến p(x, y) = x^m + (-1)^(m-1)y^m, ta có thể chứng minh rằng nó không có nghiệm thực đối xứng Cụ thể, nếu a và b là các số thực, thì p(x, y) có thể viết dưới dạng p(x, y) = cx^a y^b + cx^b y^a, với a + b là số chẵn Điều này cho thấy p(x, y) có thể được phân tích thành (x+y)q(x, y), trong đó q(x, y) là một hàm thực Khi đặt y = -x, ta nhận được p(x, -x) = 0, dẫn đến q(x, -x) = 0 Ngoài ra, nếu a + b là số chẵn, thì a và b cũng phải là số chẵn, do đó (-1)^a = (-1)^b.
0 =p(x,−x) = cx a (−x) b +cx b (−x) a = 2(−1) a cx a+b Ơy l mởt iãu vổ lỵ.
(ii) a thùc p(x, y) =x 2r + 2(−1) r−1 x r y r +y 2r l a thực ối xựng bêc m = 2r cõ hÔng bơng ba thọa mÂn p(x, y) = (x+y)(x r + (−1) r−1 y r )( r−1
(−1) j x r−1−j y j ), l Ưy ừ nản p l a thực ối xựng cỹc trà hai bián bêc chđn v cõ hÔng bơng ba.
a thực ối xựng cỹc trà ba bián
ã t i °t ra mửc ẵch tẳm hiºu cƠu trÊ lới cho cĂc cƠu họi 1, cƠu họi 2 trong trữớng hủp a thực thuƯn nhĐt ba bián:
Câu hỏi 3: Trong các thực phẩm hàng ngày, có bao nhiêu loại thực phẩm chứa vitamin B2? Các loại thực phẩm nào là nguồn cung cấp vitamin B2 phong phú nhất?
Câu hỏi 4: Trong số các thực phẩm biến đổi gen, có bao nhiêu thực phẩm được phép lưu hành trên thị trường? Các thực phẩm nào là những thực phẩm biến đổi gen? Để trả lời câu hỏi này, cần tập trung vào việc tìm hiểu một hồ sơ cụ thể về các thực phẩm biến đổi gen và hồ sơ các thực phẩm liên quan đến sức khỏe và môi trường.
2, chúng ta s³ tẳm hiºu kÿ cổng thực tờng quĂt cừa S m Mởt số a thực bêc l´ Ưu tiản cừa hồ {S m } l
−91x 3 y 3 z 3 (x 2 y 2 + x 2 z 2 + y 2 z 2 ), v mởt số a thực bêc chđn Ưu tiản l
Sỡ ỗ Newton biºu diạn a thực ba bián
Ta có thể biểu diễn các hàm thực ba biến mởt cách trực quan bằng sơ đồ Newton Sơ đồ Newton cho hàm thực thuần nhất ba biến g(x, y, z) là một đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa các điểm tương ứng với một giá trị cụ thể trong g Một công thức nối giữa hai điểm tương ứng với hai hàm thực m1 và m2 nếu có hai hàm thực khác nhau λ1 và λ2 cũng có thể được viết sao cho λ1m1 = λ2m2 Ta minh họa sơ đồ Newton cho hàm thực thuần nhất bằng ba g(x, y, z) = x^3 + 3x^2y - 2x^2z + xyz - z^3.
Sỡ ỗ Newton cừa g(x) l ỗ thà gỗm nôm ¿nh ựng vợi nôm hÔng tỷ khĂc khổng thº hiằn nhữ trong hẳnh 1.1.
Hẳnh 1.2: Sỡ ỗ Newton rút gồn cừa g(x, y, z)
Cách mở rộng lưới cho số liệu Newton giúp chúng ta gần mối liên hệ giữa các điểm cửa thống kê và số liệu thực nghiệm Việc xây dựng lưới này cho phép chúng ta xác định các hướng phản ánh và các độ cao tương ứng, từ đó tạo ra một mô hình thể hiện rõ ràng mối quan hệ giữa các biến Hình 1.2 minh họa lưới Newton khi kết hợp các quy tắc này.
Số ỗ Newton là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các hàm thực và sự phân tích các hàm này theo nhiều biến Các số ỗ Newton thể hiện mối quan hệ giữa các hàm thực và có thể được chia thành các phần cho x, y, và z Hình 1.3, 1.4 và 1.5 minh họa số ỗ Newton cho các không gian S3, S5 và S7.
Mởt lợp a thực ối xựng cỹc trà v a thực sharp °c biằt
Hồ a thực {F m } v cĂc tẵnh chĐt
Câu hỏi 1 và Câu hỏi 2 đề cập đến những khía cạnh quan trọng trong lý thuyết hàm thực Đặc biệt, J D'Angelo được công nhận là người phát hiện ra các hàm thực và tính chất của chúng Trong phần này, chúng ta sẽ phân tích mối quan hệ giữa các hàm thực và tính chất của chúng Một ánh xạ liên tục f: X → Y giữa các không gian tôpô được gọi là riêng rẽ nếu mỗi tập compact trong Y là một tập compact trong X; cụ thể, với mọi tập compact K trong Y, ta có f^(-1)(K) là tập compact trong X.
Mở đầu bài viết, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm liên quan đến không gian Euclid phức và các hình cầu trong không gian này Chúng ta sẽ tập trung vào việc xác định các ảnh số thực trong không gian Euclid phức n chiều Để hiểu rõ hơn về không gian Euclid phức n chiều, chúng ta sẽ xem xét các điểm z = (z₁, z₂, , zₙ) thuộc Cⁿ và cách tính chuẩn của chúng thông qua công thức ||z||² = z₁² + z₂² + + zₙ².
(l chuân Euclid cừa z) Kỵ hiằu Bn l hẳnh cƯu ỡn và mð trong C n , õ l têp hủp tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ z ∈ C n cõ kzk < 1.
Chop là một phép biến đổi trong không gian C n, chuyển đổi các hàm số thành các hàm số khác trong không gian C N Khi áp dụng phép biến đổi B n, các hàm số sẽ được chuyển đổi thành các hàm số trong không gian B N, tạo ra sự khác biệt trong cách thức biểu diễn và biến đổi Điều này cho phép chúng ta nghiên cứu sâu hơn về các cấu trúc hàm số trong C n và C N, đặc biệt là khi xem xét các yếu tố như tính liên tục và sự biến đổi của hàm số trong các không gian này.
Vẵ dử 2.1.2 X²t Ănh xÔ tứ C 2 v o C 3 ữủc cho bði
= |z| 2 +|w| 2 3 = 1, Ơy l Ănh xÔ a thực riảng tứ B2 v o B3.
Trong nghiên cứu về không gian Hilbert, ta xem xét trường hợp n = 2 và các hàm số liên quan đến ánh xạ Theo D'Angelo, có một điều kiện cần thiết cho ánh xạ này là phải thỏa mãn m ≤ 2N − 3 Năm 2003, các tác giả D'Angelo, Kos và Riehl đã chứng minh một kết quả quan trọng trong trường hợp này, liên quan đến các thành phần của phép chiếu Họ cũng đưa ra một ví dụ về ánh xạ thỏa mãn điều kiện m = 2N − 3 Đối với mỗi m, chuẩn bậc của ánh xạ này được xác định bởi công thức kp(z, w)k² = |z|²m + |w|²m.
K m,k |z| 2 m−2k |w| 2 k , (2.3) trong õ cĂc hằ số K m,k ữủc xĂc ành bði K m,0 = 1 v
Thay |z| 2 ,|w| 2 bơng (x, y) ta ữủc mởt a thực hai bián thỹc vợi cĂc hằ số khổng Ơm nhên giĂ trà 1 trản ữớng th¯ng x + y = 1 v cõ hÔng
Để phân tích mối quan hệ giữa các biến trong bài toán, ta cần xem xét sự tương tác giữa các biến x và y, nơi mà tổng của chúng luôn bằng 1 (x + y = 1) Điều này cho thấy rằng khi một biến tăng, biến còn lại sẽ giảm tương ứng, tạo ra một mối quan hệ tỷ lệ nghịch Việc hiểu rõ điều này sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến hai biến một cách hiệu quả hơn.
Hài kát quÊ sau  ữủc cĂc tĂc giÊ chựng minh chi tiát trong [5] cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa biến toán và a thực với biến toán cỹc trà trong hàm biến phức GiÊ sỷ p l mởt a thực hai biến thỹc x, y thỏa mãn.
(2) Mội hằ số cừa p(x, y) ãu khổng Ơm.
Gồi N l số ỡn thực phƠn biằt trong p v d l bêc cừa p Khi õ d ≤ 2N −3 V kát quÊ Ôt ữủc cỹc trà, tực l vợi mội N ≥ 2, luổn tỗn tÔi a thực thọa mÂn (1) v (2) cõ bêc l 2N −3.
Tứ ành lỵ trản, cĂc tĂc giÊ cụng thu ữủc hằ quÊ sau:
Hàm số f là một ánh xạ từ tập hợp thực chính hằng định đến tập hợp C, và trong không gian C2, hàm số này được định nghĩa trong không gian C^N Khi biến số f vượt quá 2N - 3, kết quả cụ thể sẽ được thể hiện rõ ràng.
Thay ời cổng thực (2.3) mởt chút ta ành nghắa ữủc mởt hồ {f m } nhỳng a thực gỗm cÊ bêc chđn v bêc l´, m°c dũ ch¿ cõ nhỳng a thực bêc l´ mợi thuởc lợp P: fm(x, y) =x m −(−y) m + b m 2 c
Lữu ỵ rơng mội fm l bĐt bián qua Ănh xÔ (x, y) 7→ (ηx, η 2 y) trong õ η l mởt côn nguyản thừy bêc m cừa 1 Mửc ẵch cừa ta l sỷ dửng hồ {f m } º xĂc ành hồ {F m } nhỳng a thực sharp.
Lebl v Peters trong bài báo đã mở ra một số kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu các hình thức thực hiện giữa các hình cựu Họ chỉ ra rằng khi n = 2, có thể tồn tại các điều kiện cho một lớp các hàm thực chứa lớp P Đối với mỗi hàm thực p ∈ P, họ thu được một hàm thực thuần nhất P(x, y, z) thỏa mãn P(x, y, z) = q(x, y, z)(x + y + z) với hàm thực thuần nhất q có bậc m - 1 Điều này cho thấy rằng các điều kiện p có thể dẫn đến những kết quả quan trọng liên quan đến các đa thức cựu.
P Lebl v Peters ch¿ ra rơng ữợc lữủng hÔng R(P) ≥ m+ 5
Có hai phương pháp chứng minh về giả thuyết yếu hơn, trong đó P sinh ra từ một phần tỷ của P Giả thuyết ưu tiên l P khổng có nhân tỷ chung là lớn thực bền vững Giả thuyết thứ hai là sở hữu Newton của q Hồ chứng minh được ảnh hưởng sau Ảnh hưởng 2.1.5 (Lebl và Peter) cho rằng P(x, y, z) là một đa thức thực thuần nhất bậc m sao cho P(x, y, z) = q(x, y, z)(x+y+z) với q là một đa thức thực thuần nhất bậc m - 1 Giả sử các hạng tử của P không có nhân tỷ chung là lớn thực bền vững và sở hữu Newton của q là ổn định tổng quát.
2 Hằ quÊ 2.1.6 Náu P(x, y, z) l a thực thuƯn nhĐt bêc m cõ thữỡng Ưy ừ thẳ R(P) ≥ m+ 5
2 Chựng minh X²t a thực thuƯn nhĐt P(x, y, z) bêc m bĐt ký sao cho
P(x, y, z) = (x + y + z)q(x, y, z) là một hàm có các hằng tỷ lệ chung với các biến x, y, z Khi xem xét các hằng tỷ lệ của P, chúng ta nhận thấy rằng chúng có chung hằng tỷ lệ thực bậc dữ dội x, y, z Từ đó, ta suy ra rằng P chia hết cho x, y, z Đặc biệt, nếu a ≥ 1, thì P cũng chia hết cho x.
Ta suy ra q(0, y, z) = 0 Những iãu n y l vổ lỵ vẳ q l Ưy ừ nản q chựa hÔng tỷ dÔng cy r z s v do vêy q(0, y, z) = cy r z s 6= 0.
M°t khĂc vẳ q l Ưy ừ nản sỡ ỗ Newton cừaq l liản thổng p dửng ành lþ 2.1, ta suy ra R(P) ≥ m + 5
2 Bơng cĂch thuƯn nhĐt hõa a thực f m (x, y) −1 bði bián z v sau õ thayz bơng −z, ta nhên ữủc hồ a thực {F m }m ối vợi chúng bĐt ¯ng thực trản Ôt dĐu 00 = 00 :
Vợi mội giĂ trà m nguyản dữỡng ta cõ f m l a thực duy nhĐt thọa mÂn bốn iãu kiằn trong Mằnh ã 2.1.7 ữủc tham khÊo trong [3] Ta gồi η l mởt côn nguyản thừy bêc m cừa 1, °t f m,2 (x, y) = 1− m−1.
Mằnh ã 2.1.7 Vợi m cho trữợc, f = f m,2 l a thực duy nhĐt thọa mÂn bốn iãu kiằn:
(4) f ηx, η 2 y = f(x, y) vợi η l mởt côn nguyản thừy bêc m cừa ỡn và (f thọa mÂn tẵnh chĐt n y ta gồi f l Γ(m,2) - bĐt bián).
Chứng minh rằng ta có thể kiểm tra trực tiếp các tính chất trơn Hiện tại, ta giả sử hàm thực \( f(x, y) \) thỏa mãn các tính chất (1)-(4) Ta viết \( f(x, y) = P_{c_{rs}} x^r y^s \) với \( c_{rs} \) khác không Khi thay \( x \) và \( y \) bằng \( \eta x \) và \( \eta^2 y \), theo tính chất (4), ta có \( f(x, y) = f(\eta x, \eta^2 y) \) So sánh với số hai hàm thực \( n_y \), ta suy ra \( c_{rs} = c_{rs} \eta^{r+2s} \) Do đó, \( \eta^{r+2s} = 1 \) và \( r+2s \) chia hết cho \( m \).
Theo tẵnh chĐt (1), f khổng cõ hÔng tỷ hơng Theo tẵnh chĐt (3), ta ch¿ cƯn x²t r+ 2s = km vợi r+s ≤ m Nhữ vêy ta suy ra cĂc ỡn thực xuĐt hiằn trong f l x km−2s y s vợi 1≤ k ≤2 v m(k−1)
2 BĐt ¯ng thực trản cho ta kh¯ng ành: náu 0 ≤ s ≤ m v s l số mụ cừa y trong cĂc ỡn thực bĐt bián thẳ nõ xuĐt hiằn nhiãu nhĐt mởt lƯn.
Ta cõ thº viát f(x, y) =Xc rs x r y s trong õ r+ 2s = km vợi số nguyản k thọa mÂn 1≤ k ≤ 2 v r+s ≤ m.
Ta thuần nhất hóa một thực f bằng cách thay thế mọi ẩn thức bằng crsx r y s (x+y) m−r−s Khi đó, ta sẽ nhận được a thực thỏa mãn (1), (2) và (3), và g cũng là thực thuần nhất bậc m Tính chất thuần nhất và tính chất (2) suy ra g(x, y) = (x+y) m Thật vậy, nếu x+y = λ, với λ là một số phức khác 0, thì x λ + y λ = 1 và ta có g(x, y) = λ m g(x λ, y λ) (và g thuần nhất).
= λ m (vẳ g thọa mÂn tẵnh chĐt (2))
Do õ g(x+y) = (x+ y) m nhữ l a thực Nhữ vêy, ta cõ
Ta có a thực x r y s (x + y) m−r−s cõ bêc theo biến x luôn khác nhau và mọi số xuất hiện một lần và vậy các a thực n y l ởc lệch tuyến tính Do vậy, từ cổng thực (2.8) ta suy ra các hằng số c rs được xác định duy nhất Và vậy f xác định duy nhất bởi bốn tính chất tràn.
Các kết quả tiệm cận theo số dư dương cho ta thấy rằng, hai xác định bội cổng thực (2.7) trũng vợi a thực f bội cổng thực (2.5) Ngoài ra, nó còn có một số biểu diễn vỗ cũng bắt ngớ một cách nhẵn mịn, bên ngoài chúng rất ấn tượng và liên quan.
Khi õ ta chựng minh bơng quy nÔp theo n ≥ 1 ữủc rơng degA n = n ỗng thới vợi mồi λ thuởc C ta cõ
A m (λx, λ 2 y) = λ m A m (x, y) (2.11) cụng bơng quy nÔp theo m Thêt vêy ta cõ
= λ m+2 A m+2 (x, y). °c biằt khi λ l côn nguyản thừy bêc m cừa ỡn và tứ cổng thực (2.11) ta câ
Ta °t hm = Am+ (−1) m+1 y m Khi â ta câ hm = fm,2.
Mằnh ã 2.1.8 Vợi mồi m ≥1 ta cõ f m,2 = A m + (−1) m+1 y m := h m
Chựng minh Ta chựng minh mằnh ã bơng cĂch chựng minh h m thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt (1) án (4) trong Mằnh ã 2.1.7
Ta dạ d ng kiºm tra h m thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt (1) v (3) Tẵnh chĐt
(4) ữủc suy ra tứ cổng thực (2.12) Ta chựng minh hm thọa mÂn tẵnh chĐt (2) bơng quy nÔp theo m:
(+) Vợi m = 2 ta cõ h2 = A2 −y 2 = x 2 + 2y−y 2 = 1 khi x+y = 1. (+) Vợi m ≥ 2 ta cõ h m+1 (x+y) = A m+1 (x, y) + (−1) m+2 y m+1
Trản ữớng th¯ng x + y = 1 ta cõ h m = h m−1 = 1 (theo giÊ thiát quy nÔp) nản hm+1(x+y) = x+ y+ 0 = 1.
Vêy hm thọa mÂn tẵnh chĐt (2) p dửng Mằnh ã 2.1.7 ta suy ra f m,2 = A m + (−1) m+1 y m
Tiáp theo, bơng cĂch sỷ dửng Am, ta s³ chựng minh rơngfm(x, y) trũng vợi f m,2 Do õ ta s³ cõ kát luên f m l a thực duy nhĐt thọa mÂn bốn tẵnh chĐt trong Mằnh ã 2.1.7 Ta °t:
Mằnh ã 2.1.9 Vợi kẵ hiằu trản, Bm thọa mÂn cĂc cổng thực (2.9) v (2.10) Do vêy B m = A m v ta cõ f m (x, y) = f m,2 (x, y).
Chựng minh Ta cõ B 1 = x = A 1 v B 2 = x 2 + 2y = A 2 M°t khĂc, vợi m ≥ 1, ta câ xB m+1 +yB m = x(x m+1 + b m+1 2 c X k=1
M°t khĂc, ta lƯn lữủt tẵnh cĂc hằ tỷ cừa a thực trản
Tứ õ ta cõ: xB m+1 +yB m b m+2 2 c X k=1
Tực l B m+2 = xB m+1 +yB m hay B m = A m vợi mồi m p dửng Mằnh ã 2.1.8 ta suy ra f m (x, y) =x m −(−y) m + b m 2c X k=1
Nhữ trản ta  ã cêp, a thực F m cõ ữủc bơng cĂch thuƯn nhĐt hõa a thực f m (x, y)−1 rỗi thay z bði −z.
Ta cõ kát quÊ sau Ơy vã F m
Mằnh ã 2.1.10 Ta cõ cĂc kh¯ng ành sau Ơy:
(i) F m (x, y, z) chia hát cho x+ y+ z v thữỡng l mởt a thực Ưy ừ.
2 Vẳ vêy Fm l a thực sharp.
Chựng minh (i) Ta chựng minh F m = Q m (x+y +z) vợi
Thêt vêy, ta °t Q m = Pγ(a, b, c)x a y b z c khi õ a+b+c = m−1 v γ(a, b, c) = (−1) max{b,c} a+ min{b, c} min{b, c}
! º chựng minh F m = Q m (x+ y+ z) ta s³ kiºm tra cĂc hằ số cừa hai a thực, ta chựng minh chúng bơng nhau.
(+) Dạ kiºm tra cho nhỳng hằ số cừa x m , y m , z m Gồi α(A, B, C) l hằ số x A y B z C trong Q m (x+y +z) Khi â suy ra α(A, B, C) =γ(A−1, B, C) +γ(A, B −1, C) +γ(A, B, C −1).
Trữớng hủp B < C, chựng minh tữỡng tỹ ta cõ α(A, B, C) = 0.
Trữớng hủp B = C, ta cõ α(A, B, C) l hằ số cừa x m−2B y B z B trong a thực Q m (x+y +z) Vợi lữu ỵ A+ 2B = m v A+B = m−B ta cõ α(A, B, C) =γ(A−1, B, B) +γ(A, B −1, B) + γ(A, B, B−1)
(ii) Ró r ng khi m l´, thẳ a thực f m (x, y) =x m +y m + b m 2 c
2 a thựcF m (x, y, z)nhên ữủc bơng cĂch thuƯn nhĐt hõa a thựcf m (x, y)−
Hồ a thực ối xựng cỹc trà {S m }
Trữợc hát, ta xĂc ành S m trong trữớng hủp tờng quĂt °t r = b m 2 c v
K m,k ữủc xĂc ành nhữ trong cổng thực (2.4), tực l K m,0 = 1 v
DÔng cừa S m phử thuởc v o lợp ỗng dữ modulo 6 cừa bêc m.
Trong bài toán đồng dư, chúng ta có hai trường hợp: khi \( m \equiv 1 \mod 6 \) và \( m \equiv 5 \mod 6 \) Ở trường hợp đầu tiên, ta có thể biểu diễn \( m \) dưới dạng \( m = 6L + 1 \) với \( L \) là một số nguyên dương Ở trường hợp thứ hai, \( m \) có thể được viết là \( m = 6L - 1 \) với \( L \) là một số nguyên dương Cả hai trường hợp này cho thấy mối liên hệ giữa các giá trị của \( m \) trong các phương trình đồng dư khác nhau.
Khim ≡4 mod 6, ta viát m = 6L−2v m ≡2 mod 6, ta viát m = 6L−4. Trong cÊ 2 trữớng hủp, ta °t
Cuối cũng, khi m ≡ 0 mod 6, ta viát m = 6L v °t
S m được xác định qua công thức (2.18) và (2.19), cho thấy các điều kiện cần thiết để thỏa mãn Trong hình 2.2.1, S m được xác định trong các cổng thực tứ, phản ánh mối quan hệ giữa các yếu tố trong hệ thống Nếu m ≡ 1 mod 6, điều này sẽ tạo ra những tác động nhất định trong quá trình phân tích.
3 mod 6 thẳ S m cụng l a thực sharp.
Chựng minh Tứ cĂc cổng thực (2.16) v (2.17) ta cõ náu m ≡ 1,3 mod 6 thẳR(S m ) = m+ 5
2 Do vêy náu ta cõ thº ch¿ ra rơngS m = sq m vợi thữỡng Ưy ừ q m thẳ Ăp dửng Hằ quÊ 2.1.6 ta suy ra khi m ≡ 1,3 mod 6 thẳ S m l a thùc sharp.
Ta s³ chựng minh ành lỵ bơng cĂch ch¿ ró thữỡng q m v chựng minh
Trữợc hát ta x²t trữớng hủp m l´, ta giÊ sỷ m = 2r + 1, °t q 2r+1 (x, y, z) =Xγ(a, b, c)x a y b z c (2.20) trong â γ(2r −j, k, j −k) = (−1) j j k
(2.21) vợi 2r−j ≥ k ≥ j −k ≥ 0 Ta cõ γ(σ(2r −j, k, j −k)) cõ giĂ trà khổng ời vợi bĐt ký hoĂn vàσ cừa (2r−j, k, j−k) Cụng giống nhữ vợi a thực
S m , cĐu trúc cừa a thực thữỡng q m ữủc thĐy ró hỡn bơng cĂch nhẳn v o sỡ ỗ Newton Hẳnh 2.1 l sỡ ỗ Newton cừa q7.
Chúng ta sẽ chứng minh các hàm số của tác giả S 2r+1 thông qua hàm số α(A, B, C) là hàm số của x A y B z C trong a thực q 2r+1 (x, y, z)s(x, y, z) Khi A + B + C = 2r + 1, có thể biểu diễn α(A, B, C) bằng công thức γ(A−1, B, C) + γ(A, B −1, C) + γ(A, B, C −1) Lưu ý rằng γ(a, b, c) = 0 nếu một trong các số a, b, c là âm Chúng ta cần xác định rõ các hàm số α(A, B, C) liên quan đến các hàm số thực.
S 2r+1 Ta s³ x²t lƯn lữủt tứng trữớng hủp, tuy nhiản ta lữu ỵ rơng q 2r+1 v sq 2r+1 l ối xựng Vẳ vêy ta ch¿ cƯn x²t cĂc hằ số α(A, B, C) trong cĂc trữớng hủp A≥ B ≥ C.
Trữớng hủp 1 Náu B = C = 0 thẳ α(2r + 1,0,0) = γ(2r,0,0) = 1, chẵnh l hằ số cừa x 2r+1 trong S 2r+1
Trữớng hủp 2 GiÊ sỷ A ≥ B > C = 0 Khi õ A + B = 2r + 1, thỹc tá ta phÊi cõ A > B Do õ ta cõ α(A, B,0) = γ(A−1, B,0) +γ(A, B −1,0) = (−1) B + (−1) B−1 = 0.
Ta vứa x²t xong cĂc trữớng hủp cõ ẵt nhĐt mởt trong số A, B ho°c C bơng khổng.
Trữớng hủp 3.Tiáp theo ta x²t A > B ≥ C > 0 Ta viát (A, B, C) (2r+ 1−j, k, j −k) vợi cĂc số tỹ nhiản j v k thọa mÂn j > k Ta cõ α(2r+1−j, k, j −k)
Trữớng hủp 4 Ta x²t trữớng hủp tiáp theo l A = B > C > 0 Ta viát (A, B, C) = (2r+ 1−j,2r+ 1−j,2j−2r−1) vợi mởt số j Khi õ ta cõ α(2r+1−j,2r + 1−j,2j−2r −1)
Trữớng hủp 5 Trữớng hủp cuối cũng, A = B = C = 2r+ 1
3 thẳ ta cõ 2r + 1 = 6L+ 3 v khi õ A = B = C = 2L + 1 Trong trữớng hủp n y ta câ α(2L+ 1,2L+ 1,2L+ 1)
=(−1) 4L+1 K 6L+3,2L+1 Vẳ vêy náu r ≡ 0,2 mod 3 thẳ ta cõ s.q 2r+1 =x 2r+1 +y 2r+1 + z 2r+1 + b 4r+1 3 c X j=r+1
Để giải phương trình Vẳ 2r + 1 = 6L + 3, ta cần phân tích các biểu thức liên quan đến số cừa hông tỷ ựng Cuối cùng, ta có thể biểu diễn thông qua các biến x, y, z và các tham số L, r Trong đó, m được xác định là 2r, và q 2r (x, y, z) có thể được viết dưới dạng Xγ(a, b, c)x^a y^b z^c Đặc biệt, γ(2r − 1 − j, k, j − k) = (−1)^(j−1) j k cũng là một phần quan trọng trong quá trình tính toán này.
! , vợi 2r −1− j ≥ k ≥ j −k ≥ 0 Ta cõ γ(σ(2r −1−j, k, j −k)) cõ giĂ trà khổng ời vợi bĐt ký hoĂn và σ cừa (2r−1−j, k, j −k) Chựng minh tữỡng tỹ trản ta cụng cõ s.q 2r = S 2r
Tứ chựng minh ành lỵ 2.2.1 ta thĐy khi m ≡ 1,3 mod 6, thẳ R(S m ) m+ 5
2 Do õ, theo Mằnh ã 2.1.10 cÊ Fm v Sm ãu l cĂc a thực sharp cõ bêc m Tực l sỹ tỗn tÔi cừa a thực sharp khổng phÊi l duy nhĐt vợi méi m l´.
D'Angelo v Lebl đã giới thiệu một phương pháp để xây dựng các véc tơ dữ liệu thực từ không gian nhiều chiều thông qua việc thay thế các biểu thức trong không gian nhiều chiều theo modulo (x+y−1) Phương pháp này sử dụng kỹ thuật tư tưởng để tạo ra các giải pháp cho các bài toán Một khía cạnh quan trọng là chúng ta có thể sử dụng lặp lại để tạo ra các véc tơ F(x, y, z) ≡ 0 mod(x + y + z).
Mằnh ã 2.2.3 sau Ơy mổ tÊ tứng trữớng hủp º cõ thº thu ữủc S m tứ
Fm Trữợc hát ta minh hồa quĂ trẳnh trản bơng mởt vẵ dử.
Vẵ dử 2.2.2 Vợi m = 13, ta cõ
156x 7 y 3 z 3 = 65x 7 y 3 z 3 + 91x 7 y 3 z 3 Thay v o v sưp xáp lÔi, ta ữủc
Ta °t −x 5 + 5x 3 yz−5xy 2 z 2 = −G5 v x 2 −2yz = G2 Kát hủp vợi 2.24 ta câ
=S 13 Mằnh ã 2.2.3 Cho Gm = Fm+ (−y) m + (−z) m vợi m ≥1 v r jm 2 k. Khi â ta câ
Fm = Vá phÊi cừa (2.25)+ (−1) r−L K m,r−L (xyz) 2L+1 (2.26)
Ta nhên ữủc S m bơng cĂch thay (−1) r−3j−1 G r−3j−1 bði biºu thực y r−3j−1 +z r−3j−1 , chúng ỗng dữ vợi nhau theo modulo (x+y +z).
Ta nhên ữủc −S m bơng cĂch thay (−1) r−3j G r−3j bơng y r−3j +z r−3j , chúng ỗng dữ vợi nhau theo modulo x+y +z.
Ta s³ sỷ dửng cĂc tẵnh chĐt cừa f m ữủc ữa ra trong Mằnh ã 2.1.7 º chựng minh mằnh ã n y.
Chứng minh rằng ta có thể xác định được trường hợp hợp lệ cho các biểu thức trong (2.25) hoặc (2.26) Khi thay thế (-1)^(r-3j-1) vào biểu thức G_(r-3j-1), ta nhận được cổng thực S_m Nhờ vào sự tồn tại của dữ liệu thực trong (2.24), ta có thể suy ra kết quả mong muốn.
M°t kh¡c S m = (x + y + z).q m cho thấy P m nhên giĂ trà 0 khi x + y + z = 0 Nếu thay z bằng -1 và cởng thảm hơng số 1, ta nhận được một a thực hai bián p m(x, y) thỏa mãn các điều kiện (1) và (4) trong Mằnh ã 2.1.7 Do đó, p m(x, y) nhên giĂ trà 1 trên mặt phẳng x + y = 1; p m(0,0) = 0; p m(ηx, η^2y) = p m(x, y) với η là một hằng số dương Theo Mằnh ã 2.1.7 và 2.1.9, ta có m(x, y) ≡ f m(x, y) Khi đó, ta thay z bằng -z, từ đó suy ra P m = F m và cần chứng minh điều này.
Mằnh ã 2.2.4 S m (x, y, z) = x m +y m +z m trong Z m [x, y, z] náu v ch¿ náu m l số nguyản tố.
Chứng minh rằng theo chứng minh Mằnh ã 2.2.3, ta có các hàm số của S m l tiếp con của các hàm số của Fm Dựa vào Hằng quÊ 2.1.12, ta suy ra điều phải chứng minh.
Kát luên cừa luên vôn
Luân phiên tranh biện và nghiêm cứu là cách hiệu quả để nâng cao hiểu biết và kỹ năng trong các lĩnh vực cụ thể Việc thực hiện hai câu hỏi tường thuật trong những trường hợp đặc biệt giúp tạo ra những kết quả chính xác và sâu sắc hơn Luân phiên thu thập các kết quả chính là yếu tố quan trọng trong quá trình này.
1 Vợi mội m ≥ 1, tỗn tÔi duy nhĐt mởt a thực hai bián f = fm(x, y) bêc m sao cho f(0,0) = 0, f(x, y) = 1 khi x+y = 1 v f l Γ(m,2)- bĐt bián a thực n y cõ nhỳng dÔng biºu diạn khĂc nhau rĐt thú và (thº hiằn trong cĂc Mằnh ã 2.1.7, Mằnh ã 2.1.8 v Mằnh ã 2.1.9).
2 XƠy dỹng cổng thực cừa hồ F m (m ≥ 1) nhỳng a thực thuƯn nhĐt ba bián chia hát cho x+y+z vợi thữỡng l mởt a thực Ưy ừ °c biằt khi m l´ F m l sharp (Mằnh ã 2.1.10).
3 XƠy dỹng cổng thực cừa hồ S m (m ≥ 1) nhỳng a thực ối xựng cỹc trà ba bián, °c biằt khi m l số tỹ nhiản chia cho 6 dữ 1 ho°c 3 thẳ
S m công l a thùc sharp (ành lþ 2.2.1).
4 Mối liản hằ giỳa Sm v Fm ữủc xƠy dỹng thổng qua tẵnh chĐt °c biằt cừa a thực f m trong phƯn (1.) (Mằnh ã 2.2.3).