Binoid
Binoid và đồng cấu binoid
Binoid là một khái niệm quan trọng trong toán học, được định nghĩa trong bối cảnh của một nửa nhóm (M,∗), trong đó M là một tập hợp và ∗ là phép toán kết hợp Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm rõ các tính chất của binoid, đồng thời quy ước rằng R là vành giao hoán có đơn vị.
∗: M ×M → M (a, b) 7→ a∗b Một vị nhóm (M,∗, e) là một nửa nhóm tồn tại phần tử e thỏa mãn a∗e =e∗a= a với mọi a∈M.
Một phần tử như vậy được gọi là phần tử đơn vị của M và phần tử đơn vị luôn là duy nhất.
Một vị nhóm con của vị nhóm M là tập hợp các phần tử mà bao gồm phần tử đơn vị của M Trong phép toán cộng, phần tử đơn vị được ký hiệu là 0, trong khi trong phép toán nhân, nó được ký hiệu là 1.
(3) Một phần tử a ∈ M trong nửa nhóm là phần tử hút (absorbing) nếu a∗x=x∗a= a với mọi x∈M Một phần tử hút luôn là duy nhất nếu tồn tại.
Một binoid (M,∗, e, a) hoặc nửa binoid (M,∗, a) là một vị nhóm hoặc nửa nhóm có phần tử hút a Binoid con (hay nửa binoid con) của M là một vị nhóm con hoặc nửa nhóm con chứa phần tử hút của M Trong phép toán cộng, phần tử hút được ký hiệu là ∞, trong khi trong phép toán nhân, nó được ký hiệu là 0 Theo định nghĩa, nửa binoid và vị nhóm luôn là tập không rỗng, và các binoid cũng tương tự.
Ta ký hiệu tập các binoid là B và tập các binoid giao hoán là comB.
Trong luận văn này, mọi binoid sẽ được trang bị phép toán cộng, bao gồm cả binoid không giao hoán Chúng ta sử dụng ký hiệu ngắn gọn: na = a + + a và nA = {a1 + + an | ai ∈ A}, với n ∈ N, a ∈ M, A ⊆ M, 0a = 0 và 0A = ∅.
(1) Binoid {∞}, tức là 0 =∞ được gọi là binoid không và binoid {0,∞} được gọi là binoid tầm thường
(2) Thêm phần tử hút ∞ vào vị nhóm giao hoán (N n ,+,(0, ,0)), n ≥ 1, bằng cách xác định k+∞ =∞ tạo ra một binoid, ký hiệu là (N n ) ∞
(3) Cho (R,+,ã) là một vành Khi đú (R,ã) là một binoid.
Ví dụ 1.1.3 Cho V là tập tùy ý Tập lũy thừa P(V) là tập các tập con của V. Khi đó ta có hai binoid sau:
P(∅) không tạo ra binoid, trong khi P({1}) là binoid tầm thường Đối với V hữu hạn, chúng ta ký hiệu P({1, , n}) là P n với n ≥ 1, và định nghĩa P n,∩ và P n,∪ cho các binoid tương ứng Các binoid con của P(V) ∩ và P(V) ∪ được xác định bởi các tập hợp con M ⊆ P(V), mà chúng phải đóng đối với phép toán ∪ và ∩, đồng thời chứa ∅ và V Nếu M là một binoid con của P(V) ∪ (hoặc P(V) ∩), thì
M c ={U c | U ∈M}, trong đó U c = V \U là phần bù của U, là một binoid con của P (V) ∩ (tương ứng P (V) ∪ ) vì U c ∪W c = (U ∩W) c (tương ứng U c ∩W c = (U ∪W) c ) với mọi
U, W ⊆ P(V) Đặc biệt, mọi topo T U | U ⊆ V mở trên tập khác rỗng V xác định các binoid giao hoán liên quan đến phép hợp và phép giao, cụ thể là (T,∩, V,∅) = T ∩ và (T,∪,∅, V) = T ∪ , cũng như tập hợp tất cả các tập đóng
Tập hợp T c được định nghĩa là {U c | U ∈ T} Các binoid P (V) ∪ và P (V) ∩ được sinh ra từ tôpô rời rạc trên V, trong khi binoid do tôpô tầm thường trên V chính là binoid tầm thường {V,∅} Định nghĩa 1.1.4 giới thiệu về nửa binoid và vị nhóm, trong đó nửa nhóm M được mở rộng bằng cách thêm một phần tử hút và một phần tử đơn vị, ký hiệu là M ∞ và M 0 Nếu M chứa phần tử hút, ta ký hiệu M • = M \ {∞} Định nghĩa 1.1.5 mô tả một tập định điểm (pointed set) (S, p) là tập S có phần tử đặc biệt p∈S, và ánh xạ (S, p) → (T, q) với p7→ q được gọi là ánh xạ định điểm (pointed map) Tập hợp tất cả các ánh xạ định điểm là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết tập hợp.
Trong toán học, ánh xạ từ tập S đến tập T được ký hiệu là map p7→q (S, T) Khi T và S là giống nhau và p = q, chúng ta chỉ cần viết map p S Tập map p S tạo thành một binoid với phép hợp thành ánh xạ từ S đến S Phần tử đơn vị trong binoid này được xác định bởi id S, trong khi phần tử hút được xác định bởi ánh xạ không đổi c p : s 7→ p, với s thuộc S.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mọi binoid có thể nhúng vào một binoid gồm các ánh xạ map p S,◦,id S , c p
Một tập hợp M được gọi là một vị nhóm nếu nó là một nửa nhóm định điểm (M,0) với phần tử đơn vị 0 Tương tự, nửa binoid M là một nửa nhóm định điểm (M,∞) với tính chất xác định của ∞ Do đó, một binoid M có thể được xem như một tập hợp định điểm (M, p) theo hai cách: với p= 0 hoặc với p= ∞.
Tích và tổng trực tiếp của một họ (S_i, p_i) với i∈I của các tập định điểm cũng tạo thành một tập định điểm, và chúng trùng nhau chỉ khi I hữu hạn Trong trường hợp này, ký hiệu L_i∈I S_i được sử dụng thay cho Q_i∈I S_i Tương tự như các cấu trúc khác, chúng ta có các khái niệm về tổng và tích trong binoid Định nghĩa 1.1.6 nêu rõ rằng, cho M và N là binoids (hoặc nửa binoid), một ánh xạ ϕ : M → N được gọi là đồng cấu binoid nếu nó là đồng cấu (nửa nhóm) và ϕ(∞_M) = ∞_N Ngoài ra, ϕ được gọi là đơn cấu nếu là đơn ánh, toàn cấu nếu là toàn ánh, và đẳng cấu nếu là song ánh, ký hiệu M ∼= N Tập imϕ = ϕ(M) là ảnh của ϕ, trong khi tập ker(ϕ) = {a ∈ M | ϕ(a) = ∞_N} là hạt nhân của ϕ Tập hợp tất cả các đồng cấu binoid từ M đến N được ký hiệu là hom(M, N).
Một đồng cấu binoid với ker = {∞} không nhất thiết phải là đơn ánh Ví dụ, đồng cấu binoid ϕ: N ∞ → {0,∞} định nghĩa bởi x 7→0 nếu x ≠ ∞ và ∞ 7→ ∞ có ker(ϕ) = {∞}, nhưng không phải là một ánh xạ đơn ánh.
Ví dụ 1.1.8 Cho M là một binoid Khi đó:
(1) Có đồng cấu binoid chính tắc {0,∞} →M → {∞}.
(2) Nếu M là giao hoán, ánh xạ M → M với a7→ ka là đồng cấu binoid với mọi k ∈N.
Mỗi phần tử a ∈ M xác định một đồng cấu binoid ϕa : N ∞ → M với 1 được ánh xạ tới a Ngược lại, mọi đồng cấu binoid từ N ∞ tới M đều được xác định bởi ảnh của 1, dẫn đến hom (N ∞ , M) ∼= M Ảnh imϕ a được xác định bởi binoid con {∞, na| n ∈N}, và điều kiện kerϕ a khác rỗng chỉ khi a là lũy linh.
(1) Các song ánh chính tắc P n,∩ → {0,∞} n , A 7→ (δ i (A)) i∈I và
0, nếu i /∈A với i ∈I là các đẳng cấu binoid.
(2) Cho(M i ) i∈I là một họ binoid và k ∈I Khi đó, phép chiếu trên thành phần thứ k
M i → M k, (a i) i∈I 7→ a k là toàn cấu binoid, trong đó M k → Q i∈IM i được xác định bởi a 7→ (∞, ,∞, a,∞, ,∞) là một đồng cấu nửa binoid Đồng thời, a 7→ (0, ,0, a,0, ,0) cũng chỉ là một đồng cấu vị nhóm, với a là thành phần thứ k trong cả hai trường hợp.
Bổ đề 1.1.10 Cho M là một binoid Khi đó, tồn tại một phép nhúng binoid
M →map ∞ M, a 7→ (t x : y 7→ x+y). Chứng minh Ánh xạ này là một đồng cấu binoid vì
(t x ◦t x 0 ) (y) =x+x 0 +y =t x+x 0 (y), với mọi x, y ∈ M, 0 7→ t 0 = id M và ∞ 7→ (t ∞ : y 7→ ∞) Ánh xạ là đơn cấu vì từ t x = t x 0 tương đương với x+y = x 0 +y với mọi y ∈ M, kéo theo x = x 0 với y = 0.
Tập sinh binoid
Trong lý thuyết binoid, cho M là một binoid và A là một tập con của M Giao của một họ các binoid con của M cũng là binoid con của M, do đó, tồn tại một binoid con nhỏ nhất của M chứa A, được gọi là binoid sinh bởi A, ký hiệu là hAi.
Nếu M = hAi, thì M được sinh bởi A, và A được gọi là hệ sinh, với các phần tử của A là các phần tử sinh của M A là hệ sinh tối tiểu của M nếu không có tập con thực sự nào của A có thể sinh ra M Một binoid được coi là hữu hạn sinh nếu nó được sinh bởi một tập hữu hạn Binoid hữu hạn sinh có hệ sinh tối tiểu với n phần tử, và mọi hệ sinh khác của nó đều có ít nhất n phần tử.
M là một n-phần tử sinh nếu nó có nhiều hơn hoặc bằng n phần tử Một binoid hữu hạn chỉ chứa một số lượng phần tử hữu hạn Định nghĩa này cũng áp dụng cho nửa binoid S và tập con A ⊂ S, miễn là các điều kiện tương tự được thỏa mãn với binoid S 0 và A.
Một hệ sinh A của M tạo thành một vị nhóm nếu và chỉ nếu tồn tại các phần tử a, b ∈ M sao cho a + b = ∞, được gọi là tính chất không tách rời Đồng thời, A ∪ {∞} cũng sinh ra M như một vị nhóm Đặc biệt, một binoid được coi là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu nó là một vị nhóm hữu hạn sinh.
Ví dụ 1.2.2 Từ định nghĩa ta có một số ví dụ đơn giản sau
Binoid không ∞ là một binoid hữu hạn được sinh ra từ ∅, đồng thời cũng là một vị nhóm Binoid tầm thường {0,∞} tương tự như binoid sinh bởi ∅, trong khi {∞} là vị nhóm sinh của nó.
N ∞ là một binoid sinh bởi hai phần tử 1 và ∞ Tổng quát, (N n ) ∞ với n ≥ 1 là một binoid hữu hạn sinh với hệ sinh gồm các phần tử e i := (0, , 0, 1, 0, , 0), trong đó 1 nằm ở vị trí i Ngoài ra, (N n ) ∞ còn được xác định bởi vị nhóm (∞, , ∞) và các phần tử e i, i ∈ {1, , n}.
Bổ đề 1.2.3 Một binoid giao hoán M là hữu hạn nếu và chỉ nếu M hữu hạn sinh và mọi binoid con 1-phần tử sinh của M là hữu hạn.
Chứng minh Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M = hx 1 , , x r i, r ∈ N đều xác định một toàn cấu chính tắc r
Tích trên là hữu hạn vì các thành phần của nó là hữu hạn theo giả thiết Vì ánh xạ là toàn cấu nên M hữu hạn.
Nếu M là một binoid sinh bởi A (không nhất thiết hữu hạn), thì mọi phần tử f ∈ M có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn các phần tử của M Đối với trường hợp M giao hoán, ta có thể viết f = Σ a∈A n_a a, trong đó n_a ∈ N và n_a = 0 với hầu hết a ∈ A.
Biểu diễn này không phải là duy nhất Định nghĩa 1.2.4: Cho V là một tập hợp các phần tử bất kỳ, kí hiệu M(V) là một nhóm tự do bao gồm tất cả các tổng hữu hạn của các phần tử trong V, với phép toán cộng được xác định.
(x 1 + .+x n ) + (y 1 + .+y m ) := x 1 + x n +y 1 + .+y m , trong đó xi, yj ∈ V, i ∈ {1, , n}, j ∈ {1, , m} và tổng trên tập rỗng (:= 0) là phần tử trung lập Binoid M(V) ∞ =: F(V) được gọi là binoid tự do trên V.
Bổ đề 1.2.5 Mọi phần tử khác ∞ của F(V) đều có thể được viết duy nhất dưới dạng một tổng các phần tử của V.
Chứng minh Điều này là hiển nhiên vì x 1 + .+x n = (x 1 ) + .+ (x n ).
F(V) là giao hoán khi và chỉ khi V = {x} là một đơn thức Trong một binoid giao hoán với nhiều hơn một phần tử sinh, biểu diễn trên không không phải là duy nhất Kết quả này dễ dàng được kiểm tra.
Bổ đề 1.2.6 Cho M là một binoid Mọi tập con A ={a i | i ∈I} ⊆M đều cảm sinh duy nhất một đồng cấu binoid ε: F(I) −→M, i 7−→ a i , i∈ I là toàn cấu khi và chỉ khi A sinh ra M.
Chứng minh Chứng minh này là dễ dàng.
Bổ đề cho biết rằng, với mọi tập sinh A = {a i | i ∈ I} của binoid M, tồn tại một cấu trúc binoid chính tắc ε: F(I) −→ M, i7−→ a i, với i thuộc I Định nghĩa 1.2.7 nêu rõ rằng, nếu M là một binoid giao hoán, thì M được gọi là binoid giao hoán tự do nếu tồn tại đồng cấu ε: N(I) ∞.
→ M với mọi tập I (I có thể vô hạn).
Họ các phần tử (ε(e i )) i∈I của M gọi là cơ sở của M Binoid giao hoán tự do với cơ sở V được ký hiệu là F C(V) hoặc là F C n nếu V ={1, , n}.
Bổ đề 1.2.8 khẳng định rằng, trong một binoid giao hoán tự do hữu hạn sinh với cơ sở (x_i)_{i∈I}, mọi phần tử f khác vô cùng (f ≠ ∞) sẽ xác định một cách duy nhất biểu thức f = ∑_{i∈I} n_i x_i, trong đó n_i = 0 đối với hầu hết các i thuộc I.
Binoid giao hoán Z ∞ không giao hoán tự do do sự tồn tại của các phần tử nghịch đảo không tầm thường, dẫn đến việc 0 ∈ Z ∞ tạo ra các biểu thức không duy nhất Cấu trúc binoid chính tắc được biểu diễn qua ϕ : N 2 ∞.
→ Z ∞ ; (1,0) 7→ 1; (0,1) 7→ −1 không là nội xạ vì chẳng hạn như ϕ −1 (0) ={(m, n)| n ∈Z}.
Bổ đề 1.2.10 khẳng định rằng, cho một họ các phần tử giao hoán (a_i) với i thuộc I trong binoid M, tồn tại duy nhất một đồng cấu binoid ε: F C(I)→ M, với ε(i) = a_i cho mọi i ∈ I, là toàn ánh nếu và chỉ nếu tập hợp {a_i | i ∈ I} là hệ sinh của M Định nghĩa 1.2.11 nêu rõ rằng, cho một tập V tùy ý, các binoid cảm sinh từ F(V) và F C(V) được thiết lập bằng cách áp dụng phép toán cộng R_i giữa các phần tử của V.
Trong bài viết này, chúng ta thảo luận về các tính chất của một vị nhóm được xác định bởi các phần tử sinh theo định nghĩa đã nêu Định nghĩa 1.2.12 chỉ ra rằng, với một binoid giao hoán M, M được gọi là một binoid nửa tự do với nửa cơ sở (a_i) khi M được sinh bởi {a_i | i ∈ I}, và mỗi phần tử f ∈ M có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng f = Σ(n_i a_i), trong đó n_i = 0 đối với hầu hết các i ∈ I Tập {a_i | n_i ≠ 0} được gọi là tập hỗ trợ của f Hơn nữa, một binoid giao hoán S được coi là nửa tự do nếu binoid S₀ cũng là nửa tự do.
Tất cả các binoid giao hoán hữu hạn sinh tự do đều là nửa tự do, và nửa cơ sở của chúng luôn là hệ sinh tối tiểu Binoid nửa tự do đóng vai trò quan trọng trong lớp các binoid giao hoán.
(i) Binoid N (I) ∞ là nửa tự do với nửa cơ sở e i , i∈ I.
Một số lớp binoid đặc biệt
Định nghĩa 1.3.1 ChoM là một binoid (hoặc nửa binoid) Một phần tử a∈M được gọi là lũy linh nếu tồn tại n≥ 1 sao cho na =a+ a=∞.
Tập hợp các phần tử lũy linh ký hiệu là nil(M).
Ta nói M làrút gọn nếunil(M) ={∞}và M làrút gọn mạnhnếua+a+b=∞ kéo theo a+b=∞, với a, b∈M.
Bổ đề 1.3.2 (1) Một binoid rút gọn mạnh là một binoid rút gọn.
(2) Một binoid giao hoán là rút gọn mạnh nếu và chỉ nếu nó là rút gọn.
Chứng minh (1) Nếu tồn tại a và n ≥ 2 sao cho na = ∞ trong một binoid rút gọn mạnh thì bằng cách áp dụng nhiều lần
∞= na= a+a+ (n−2)a=a+ (n−2)a = (n−1)a, ta thu được ∞ = 2a =a+a+ 0 Do đó ta có ∞ =a+ 0 = a.
Bằng cách cộng b vào hai vế của phương trình a+a+b =∞ trong binoid giao hoán, ta có thể suy ra rằng 2(a+b) =∞, dẫn đến a+b =∞ nếu binoid đó là binoid rút gọn Định nghĩa 1.3.3 xác định rằng cho M 6={∞} là một binoid (hoặc nửa binoid), một phần tử a∈ M • được gọi là nguyên nếu a+b =∞ hoặc b+a =∞ kéo theo b =∞ Tập hợp các phần tử nguyên của M được ký hiệu là int(M), trong khi phần bù của M được ký hiệu là int c (M) M được coi là nguyên nếu M • là một vị nhóm con (hoặc nửa nhóm con) của M, tức là M • chỉ chứa các phần tử nguyên.
Ví dụ 1.3.4 (1) Theo định nghĩa (N n ) ∞ là một binoid nguyên và (Z n ) ∞ là một nhóm binoid Mặt khác, binoid (N ∞ ) n , n≥ 2 hiển nhiên là không nguyên.
(2) Khỏi niệm về tớnh chất nguyờn của vành R và binoid (R,ã,1,0) là trựng nhau, nghĩa là các phần tử không nguyên chính là các ước của không trong R.
Do đó int c (R) ={0} nếu và chỉ nếu R là miền nguyên.
Bổ đề 1.3.5 Phần tử lũy linh là không nguyên, nghĩa là nil(M) ⊆ int c (M) đối với mỗi binoid Đặc biệt, mỗi binoid nguyên là một binoid rút gọn.
Chứng minh Điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Bổ đề 1.3.6 xác định rằng tập con M int := int(M)∪ {∞} là một binoid con nguyên của mọi binoid M khác không Định nghĩa 1.3.7 nêu rõ rằng trong một vị nhóm M, phần tử u ∈ M được coi là phần tử đơn vị nếu tồn tại phần tử a ∈ M sao cho a+u = u+a = 0, với phần tử a được xác định duy nhất và gọi là phần tử đối của u, ký hiệu là −u Tập hợp các phần tử đơn vị M × tạo thành một binoid con của M, và là nhóm con đơn vị nếu M là nhóm Các phần tử không đơn vị được ký hiệu là M + Một binoid M được gọi là dương nếu nó có một nhóm đơn vị tầm thường, tức là M \ {0} = M + Cuối cùng, một nhóm binoid G là một binoid mà G • = G ×, trong đó G • là một nhóm.
Trong phần này, chúng ta quy ước rằng nếu R là một vành, thì R ∞ được ký hiệu là nhóm binoid (giao hoán) được xây dựng từ các phần tử hút liền kề của RF theo cấu trúc cộng.
(Z n ) ∞ = (Z n ∪ {∞},+,(0, ,0),∞) và (Z/mZ) ∞ = (Z/mZ∪ {∞},+,[0],∞), trong đó n ≥ 1và m≥ 2.
Ví dụ 1.3.8 Nếu (M i ) i∈I là một họ các binoid khác không thì
Bổ đề 1.3.9 khẳng định rằng mọi phần tử đơn vị của binoid khác không M đều là nguyên, tức là M × ⊆ int(M) Định nghĩa 1.3.10 chỉ ra rằng trong một nửa nhóm M, phần tử f ∈ M được gọi là lũy đẳng nếu thỏa mãn điều kiện f + f = f Một nửa nhóm được xem là boolean khi tất cả các phần tử của nó đều là lũy đẳng, và tập hợp các phần tử lũy đẳng được ký hiệu là bool(M) Ngoài ra, một nửa nhóm nếu vừa giao hoán vừa boolean thì được gọi là nửa lưới.
Trong một binoid giao hoán M, phần tử đồng nhất và phần tử hút luôn là phần tử lũy đẳng Đặc biệt, tập hợp các phần tử lũy đẳng của M tạo thành một binoid con, vì với các phần tử lũy đẳng a và b thuộc M, ta có 2(a+b) = 2a + 2b = a + b Hơn nữa, bool(M) chính là binoid con boolean lớn nhất của binoid giao hoán M.
Bổ đề 1.3.12 Mọi binoid boolean đều dương và rút gọn.
Để chứng minh tính dương của binoid boolean, ta giả sử a + b = 0 với a và b là hai phần tử lũy đẳng Bằng cách cộng a vào vế trái và b vào vế phải, ta có a = a + b = b Từ đó, suy ra a = b = 0.
Tính xoắn trong một binoid (hoặc nửa binoid) được định nghĩa như sau: một phần tử a thuộc M được coi là phần tử xoắn nếu a bằng vô cực (∞) hoặc tồn tại một phần tử b trong M, với b khác a, sao cho số lần lặp lại của a và b là bằng nhau (na = nb) với n lớn hơn hoặc bằng 2.
M được gọi là không xoắn nếu không có phần tử xoắn nào khác ngoài ∞, tức là na = nb dẫn đến a = b với mọi a, b ∈ M và n ≥ 1 Nếu na = nb khác ∞ dẫn đến a = n với mọi a, b ∈ M và n ≥ 1, thì M được xem là không xoắn đến bậc lũy linh.
Theo định nghĩa, một binoid được coi là không xoắn khi nó rút gọn và không xoắn đến bậc lũy linh Một vị nhóm không có phần tử hút sẽ không xoắn nếu M ∞ là một binoid không xoắn Đồng thời, một nhóm G được xem là nhóm xoắn khi mọi phần tử của G ∞ đều là phần tử xoắn Đặc biệt, nhóm đơn vị cũng thuộc vào khái niệm này.
Một ví dụ quan trọng về binoid không xoắn đến bậc lũy linh là nil(M), tập hợp tất cả các phần tử xoắn trong binoid này không thể rút gọn theo Hệ quả 1.8.10 Điều này cho thấy rằng tập hợp các phần tử xoắn của M không có cấu trúc rõ ràng, như sẽ được minh họa trong ví dụ sau.
Ví dụ 1.3.14 Xét binoid M = FC(x, y)/(10x+ 2y =∞) Phần tử x và y không phải phần tử xoắn nhưng mọi phần tử nx+my với n, m≥ 1 là phần tử xoắn.
Bổ đề 1.3.15 (1) Mọi phần tử lũy linh đều là phần tử xoắn.
(2) Binoid boolean là không xoắn.
Chứng minh Suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Mệnh đề 1.3.16 Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M là dương và có luật giản ước đều nhận duy nhất một hệ sinh tối tiểu xác định bởi M + \2M +
Chứng minh Do M là binoid dương nên mọi hệ sinh của M đều được chứa trong
M + = M \ {0} Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng M + \2M + chứa bất kỳ hệ sinh tối tiểu nào của M, từ đó suy ra rằng nó cũng là một hệ sinh của M Cụ thể, giả sử {x 1, , x r} là hệ sinh tối tiểu của M và x 1 ∉ M + \2M + Khi đó, tồn tại y, z ∈ M + sao cho x 1 = y + z Điều này dẫn đến việc x 1 có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong hệ sinh, với ít nhất hai hệ số n i ≥ 1 hoặc một hệ số n i ≥ 2, i ∈ I Nếu n 1 ≠ 0, thì theo tính chất có luật giản ước
M ta có một đẳng thức không tầm thường
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hệ sinh {x₁, , xᵣ} với điều kiện 0 = (n₁ - 1)x₁ + n₂x₂ + + nᵣxᵣ, dẫn đến mâu thuẫn với M × = {0} Kết quả là n₁ = 0, cho phép loại bỏ x₁ khỏi hệ sinh, điều này mâu thuẫn với tính tối tiểu của {x₁, , xᵣ} Do đó, ta có {x₁, , xᵣ} ⊆ M⁺ \ 2M⁺ Tính tối tiểu của M⁺ \ 2M⁺ được chứng minh vì nếu x ∈ M⁺ \ 2M⁺ có thể được loại bỏ, thì sẽ tồn tại biểu thức x = n₁y₁ + + nₛyₛ với yᵢ ∈ M⁺ \ 2M⁺ và ít nhất một nᵢ ≠ 0 Điều này chỉ ra rằng tồn tại i sao cho x = yᵢ, mâu thuẫn với x ∉ 2M⁺ Do đó, x không thể bị loại bỏ và M⁺ \ 2M⁺ phải chứa trong mọi hệ sinh của M.
Hệ quả 1.3.17 Một binoid hữu hạn sinh là giao hoán tự do nếu và chỉ nếu nó là binoid giao hoán, nguyên và nửa tự do.
Tất cả các tính chất của binoid giao hoán tự do đều xuất phát từ việc (N n ) ∞ sở hữu những tính chất này Ngược lại, theo Mệnh đề 1.3.16, binoid M với các tính chất đã cho nhận một hệ sinh tối tiểu, được biểu diễn là M + \2M + = {x 1 , , x n }.
Vì M là nửa tự do và nguyên nên toàn cấu binoid chính tắc
Chứng minh của Hệ quả 1.3.17 cho thấy tập M + \2M + hữu hạn Ta có thể tổng quát hóa như sau.
Bổ đề 1.3.18 Cho M là một binoid dương và giao hoán hữu hạn sinh Khi đó tập M + \nM + là hữu hạn sinh với mọi n ≥1.
Chứng minh Giả sử{x 1 , , x r }là hệ sinh tối tiểu của M.Khi đó, do tính dương của M nên x 1 , , x r ∈M + Do đó nM + ( n 1 x 1 +ã ã ã+n r x r | r
. Đặc biệt, M + \nM + hữu hạn với mọi n ≥1. Định nghĩa 1.3.19 Cho M là một binoid dương và giao hoán hữu hạn sinh. Ánh xạ
H(−, M) :N −→ N với H(n, M) := #(M \nM + ) nếu n ≥1 và H(0, M) := 0 được gọi là hàm Hilbert-Samuel của M và
H(n, M)T n là chuỗi Hilbert-Samuel của M.
Quan hệ tương đương
Một tương đương trên một binoid M là một quan hệ tương đương ∼ trên M, tương thích với phép cộng Cụ thể, nếu a, b ∈ M và a ∼ b, thì a+c ∼ b+c và c+a ∼ c+b với mọi c ∈ M Lớp tương đương của a ∈ M được ký hiệu là [a] (hoặc ¯a), và tập tất cả các lớp tương đương được ký hiệu là M/∼.
∼ 1 và ∼ 2 là hai tương đương trên một binoid Khi đó giao của hai tương đương
∼ 1 ∩ ∼ 2 là một tương đương ∼ trên M xác định với a, b∈M a ∼b nếua ∼ 1 b hoặc a∼ 2 b.
Ta viết ∼ 1 ≤∼ 2 nếu a∼ 1 b kéo théo a∼ 2 b, với mọi a, b∈M.
Trên tập các tương đương của binoid xác định một quan hệ thứ tự toàn phần
Trong một binoid, cần tồn tại hai loại tương đương: tương đương lớn nhất ∼ u và tương đương nhỏ nhất ∼ id Điều này có nghĩa là phải có ∼ id ≤ ∼ ≤ ∼ u cho mọi tương đương trên binoid Tương đương ∼ u phản ánh mối liên hệ giữa hai phần tử phân biệt, trong khi tương đương ∼ id thể hiện mối liên hệ giữa hai phần tử trùng nhau.
Mệnh đề này giải thích khái niệm tương đương giữa đồng cấu và đẳng cấu trong bối cảnh của một binoid, trước khi đi sâu vào nghiên cứu về binoid giao hoán tự do và binoid hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.4.2 Cho M là một binoid và ∼ là một tương đương trên M, thương M/∼ là một binoid với phép toán cộng
Ánh xạ chính tắc M −→ M/ ∼, với a7−→ [a], tạo thành một toàn cấu binoid khi có quan hệ tương đương a∼ b Ngược lại, nếu ϕ :M −→ N là một toàn cấu binoid, thì quan hệ ∼ ϕ trên M được định nghĩa bởi a∼ ϕ b nếu ϕ(a) = ϕ(b), đảm bảo rằng M/ ∼ ϕ −→ N, a 7−→ ϕ(a) là một đẳng cấu binoid.
Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được M/∼ là binoid với phép toán đã cho và ∼ ϕ là tương đương trên M Chiều ngược lại được suy ra từ kết quả sau.
Bổ đề 1.4.3 Nếu ϕ : M −→ N là đẳng cấu và ∼ là một tương đương trên M với ∼≤∼ ϕ thì tồn tại duy nhất một đồng cấu ϕ˜ sao cho biểu đồ sau giao hoán
;; Đặc biệt, với hai tương đương ∼ 1 và ∼ 2 trên M, quan hệ ∼ 1 ≤∼ 2 tương đương với ánh xạ M/ ∼ 1 −→ M/∼ 2 , [a] 1 7−→ [a] 2 được định nghĩa là toàn cấu binoid.
Tương đương ∼ ϕ thường được định nghĩa thông qua đồng cấu vị nhóm ϕ : M −→ N, ký hiệu là kerϕ, như đã nêu trong Mệnh đề 1.4.2 Các tính chất này chủ yếu được suy ra từ định lý đẳng cấu nổi tiếng, với các ví dụ minh họa trong tài liệu [6], [7], [10].
M/∼ ϕ ∼= imϕ có thể được định nghĩa một cách tổng quát, như được nêu trong Mệnh đề 8.2 Định nghĩa của ker không bao gồm phần tử hút nào, và đồng cấu binoid sinh ra từ kerϕ không nhất thiết phải là đẳng cấu, như đã đề cập trong Ghi chú 1.8.8 Tuy nhiên, nếu ϕ là đồng cấu binoid mà ϕ |M\ker ϕ là đơn ánh, tức là kerϕ được định nghĩa bởi tương đương ∼ ϕ, thì đồng cấu sinh ra sẽ là một đẳng cấu, theo Ghi chú 1.8.8.
Rất phổ biến để tìm đồng nhất của tương đương ∼ với tập
Chẳng hạn, R(∼ i ) =M ×M và R(∼ id ) là đường chéo
Mặt khác, mọi tập con R ⊆M ×M sinh ra một tương đương trên M.Ví dụ tập
R 0 := {(a+c, b+c)| (a, b) ∈R∪R −1 ∪D, c ∈M}, trong đó R −1 ={(b, a) |(a, b) ∈ R} Quan hệ ∼ R trên M được cho bởi a∼ R b:⇔ ∃a=a 1 , a 2 , , a n = b sao cho (a 1 , a i+1 ) ∈R 0 , i ∈ {1, , n−1}, là tương đương trên M. Định nghĩa 1.4.5 Cho M là một binoid và tập con R ⊆ M×M.Tương đương
Tương đương R trên binoid M được xác định theo Ghi chú 1.4.4, và được gọi là hữu hạn sinh nếu có một tập con hữu hạn R ⊆ M × M, từ đó R tạo ra tương đương này.
Ghi chú 1.4.6 [Binoid Noether] Tập tất cả các tương đương trên một binoid
M là tập sắp thứ tự toàn phần với quan hệ≤, trong đó ∼ 1 ≤∼ 2 tương đương với R(∼ 1 ) ⊆R(∼ 2 ).
Ví dụ 1.4.7 cho thấy rằng M là một binoid giao hoán được sinh bởi tập hợp {a i | i ∈ I} Nếu ε: FC(I) −→ M là một toàn cấu chính tắc với i 7−→ a i, thì theo Mệnh đề 1.4.2, ta có M ∼= FC(I)/ ∼ ε Điều này chứng minh rằng M được sinh bởi tập {a i | i ∈ I} và các quan hệ ε(y j ) = ε(z j ) (với R j : y j ∼ ε z j, j ∈ J) tạo ra ∼ ε, phù hợp với phát biểu trong Định nghĩa 1.2.1.
M = FC(I)/(R j ) j∈J Nếu #I =r thì M ∼= (N r ) ∞ , trong đó ε :e i 7→ a i , i ∈ {1, , r}.
Tương tự như nửa nhóm và vị nhóm, tập chỉ số J có thể được thay thế bằng một tập con hữu hạn nếu M là binoid giao hoán hữu hạn sinh Kết quả này được gọi là Định lý Resdei và được chứng minh cho binoid tương tự như nửa nhóm và vị nhóm.
Bổ đề 1.4.8 xác định rằng cho ∼ là tương đương trên binoid giao hoán tự do (N n ) ∞ và J(∼) là iđêan của vành đa thức Z[X1, , Xn], thì J(∼) được sinh bởi các binoid X a − X b, với a, b ∈ (N n ) ∞ sao cho a ∼ b và X c = X 1 c1 X n cn, trong đó c = (c1, , cn) ∈ N n và X ∞ = 0 Tương đương a ∼ b xảy ra nếu và chỉ nếu X a − X b ∈ J(∼) Định lý 1.4.9, được biết đến như Định lý Rédei, khẳng định rằng mọi tương đương trên binoid giao hoán tự do (N n ) ∞ đều là hữu hạn sinh.
Giả sử ∼ là một quan hệ tương đương trên (N n ) ∞ Nếu ∼ không hữu hạn sinh, thì sẽ tồn tại một chuỗi tăng dần R 1 ⊂ R 2 ⊂ ⊂ R k của các tập con hữu hạn Tập hợp R(∼) được định nghĩa là R(∼) = {(a, b) | a ∼ b}, từ đó tạo ra chuỗi tăng dần các tương đương.
∼ R 1 ≤ ∼ R 2 ≤ ã ã ã ≤ ∼ R k ≤ ã ã ã trên (N n ) ∞ Theo giả thiết của ∼ chuỗi này không thể dừng và do đó chuỗi tăng dần các iđêan
J(∼ R 1 ) ⊆ J(∼ R 2 ) ⊆ ã ã ã ⊆ J(∼ R k ) ⊆ ã ã ã trong Z[X 1 , , X n ]như trong Bổ đề 1.4.8 cũng không dừng Điều này mâu thuẫn với Định lý cơ sở Hilbert, xem [[9], Định lý 1.C.4].
Tương tự như định lý đối với vị nhóm, hệ quả của Định lý 1.4.9 có thể gọi là Định lý Rédei cho binoid giao hoán hữu hạn sinh.
Hệ quả 1.4.10 Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M với các phần tử sinh x1, , xn đều có hữu hạn các quan hệ R 1 , ,R s sao cho
Chứng minh Điều này được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.4.9 khi
M ∼= (N n ) ∞ /∼ ε, trong đó ε: (N r ) ∞ −→ M là đồng cấu binoid chính tắc e i 7−→ x i, i ∈ {1, , r} Định nghĩa 1.4.11 cho biết một quan hệ tương đương ∼ trên M với tính chất π: M → M/∼ là đơn ánh trên M\kerπ được gọi là một iđêan tương đương.
Mọi đồng cấu binoid ϕ: M → N xác định một iđêan tương đương trên M, ký hiệu là a∼ ker ϕ b, nếu a = b hoặc a, b ∈ ker ϕ Các phần tử của M/∼ ker ϕ được biểu diễn bởi [a] = {a} nếu a không thuộc ker ϕ và [a] = [∞] trong trường hợp còn lại Khái niệm M/ker ϕ và M/∼ ker ϕ sẽ được sử dụng trong các phần sau của bài viết.
Bổ đề 1.4.13 Mọi đồng cấu binoid ϕ : M → N được phân tích duy nhất qua M/ ker ϕ sao cho M/ ker ϕ là miền nguyên nếu N cũng là miền nguyên.
Dễ dàng chứng minh được kết quả sau.
Bổ đề 1.4.14 Nếu M là một binoid dương thì M/ ∼ cũng là binoid dương với mọi iđêan tương đương ∼.
Bổ đề 1.4.15 Cho M là một binoid giao hoán Khi đó
(1) Quan hệ ∼ int trên M được cho bởi a∼ int b nếu a =b hoặc a, b∈ int c (M), là một iđêan tương đương sao cho M/∼ int ∼=M int
(2) Quan hệ ∼ red trên M được cho bởi a ∼ red b nếu a = b hoặc a, b∈ nil(M), là một iđêan tương đương sao cho M/∼ red =:M red
Chứng minh Rõ ràng ∼ int và ∼ red là các quan hệ tương đương Để chứng minh
Trong một binoid giao hoán M, hai phần tử a và b được coi là tương đương nếu a ∼ int b Khi a = b, ta có a + c = b + c với mọi c ∈ M Xét trường hợp a, b ∈ int c (M), ta có a + x = ∞ = b + y với x, y ∈ M Do tính chất giao hoán của M, (a + c) + x = ∞ = (b + c) + y, dẫn đến a + c ∼ int b + c Phát biểu cuối cùng cho thấy [a] = [∞] nếu và chỉ nếu a ∈ int c (M) và [a] = {a} trong trường hợp còn lại Định nghĩa về sự liên kết giữa hai phần tử a và b trong M được đưa ra khi tồn tại phần tử đơn vị u sao cho a = b + u.
Bổ đề 1.4.17 trình bày rằng cho M là một binoid giao hoán, quan hệ ∼ pos trên M được định nghĩa bởi a ∼ pos b nếu a và b là liên kết của nhau Đây là một quan hệ tương đương, dẫn đến M/ ∼ pos =: M pos trở thành một binoid dương Hơn nữa, M pos sẽ đồng nhất với M khi và chỉ khi M là dương.
Tích smash
Định nghĩa 1.5.1 Cho(S i , p i ) i∈I là một họ các tập định điểm và kí hiệu ∼ ∧ là quan hệ trên Y i∈I
(s i ) i∈I ∼ ∧ (t i ) i∈I :⇔ s i =t i , ∀i ∈I hoặc tồn tại k, l ∈I sao cho s k =p k , t l =p l
Khi đó tập định điểm
! /∼ ∧ với điểm phân biệt [(p i ) i∈I ] =: p ∧ được gọi là tích smash của họ (S i , p i ) i∈I Lớp
S i nào đó được ký hiệu là ∧ i∈I S i
Ví dụ 1.5.2 Binoid M = FC(x, y)/(3x = x,2y = 0) là một tích smash của (M × ) ∞ và M pos , nghĩa là M ∼= (M × ) ∞ ∧M pos Hơn nữa, với vành K ta có
Bổ đề 1.5.3 Cho(M i ) i∈I là một họ các binoid với quan hệ ∼ ∧ trên Y i∈I
M i là một iđêan đồng dư sao cho V i∈IM i là một binoid với phần tử lũy linh ∧ i∈I 0 i =: 0 ∧ và phần tử hút ∧ i∈I ∞ i =: ∞ ∧ Hơn nữa phép nhúng chính tắc ι k : M k −→ ^ i∈I
M i , a7−→ ∧ i∈I a i , trong đó a k = a và a i = 0 với i 6=k là đồng cấu binoid
Chú ý rằng tích smash là binoid không nếu có một binoid không trong họ binoid đã cho và V i∈I{0,∞} ∼= {0,∞} Nhìn chung, ta có M ∧ {0,∞} = M và
M ∧ {∞} = {∞ ∧ } với mọi binoid M Do đó {0,∞} là một yếu tố bất động và {∞}là một yếu tố hút trong phạm trù của binoid B với quan hệ trên tích smash.
Nếu (M_i)_{i∈I} là một họ hữu hạn các binoid khác nhau và A_i ⊆ M_i là hệ sinh của M_i, thì V_{i∈I} M_i được sinh bởi aeb_i := 0∧ ã ã ã ∧0∧a∧0∧ ã ã ã ∧0, với a ∈ A_i và i ∈ I, trong đó a đứng ở vị trí thứ i trong aeb_i Đặc biệt, các phần tử sinh của V_{r i∈I} N ∞ là eb_i := 0∧ ã ã ã ∧0∧1∧0ã ã ã ∧0, với i ∈ {1, , n}, trong đó 1 đứng ở vị trí thứ i trong eb_i Lưu ý rằng V_{r i∈I} ∼= (N_r) ∞.
Ghi chú 1.5.5 Cho G là một nhóm binoid và N là một binoid dương Khi đó
G∧ N là một binoid với nhóm đơn vị G × và (G ∧N) pos đẳng cấu với N Đặc biệt, có một đơn cấu và toàn cấu binoid
(G × ) ∞ −→G∧N −→N, sao cho thành phần của chúng chỉ mang điểm đặc trưng của χ G ×
Ví dụ 1.5.6 Xét nhóm binoid G = (Z/2Z) ∞ = FC(y)/(2y = 0) và binoid
N = FC(x)/(3x=x) Khi đó tích smash của chúng là
Theo Ví dụ 1.5.2 ta có G∧N là một binoid.
Tiếp theo ta xét binoid
Cả hai binoid G∧N và M˜ đều có chung nhóm đơn vị là {0, y} ∼= Z/2Z Đặc biệt hơn ta có
Tuy nhiên G∧N M˜ vì 3z = a với mọi a ∈ G∧N nhưng 3(x+y = x) ∈ M ˜
Do đó, đại số binoid tương ứng trên vành K là
K[ ˜M] = K[X, Y]/(X 3 −Y X, Y 2 −1) không đẳng cấu với nhau.
Bổ đề 1.5.7 Cho (M i ) i∈I là một họ các binoid khác không và N là một binoid. Khi đó mọi đồng cấu binoid ϕ : Y i∈I
M i −→ N với ϕ((a i ) i∈I ) =∞ nếu a i =∞ với ít nhất một i ∈I, các yếu tố thông qua V i∈I M i
Bổ đề 1.5.8 Cho (M i ) i∈I là một họ các binoid khác không Khi đó
(1) V i∈IM i là giao hoán nếu và chỉ nếu mọi M i đều giao hoán.
(3) int(V i∈IM i ) ∼= Q i∈Iint(M i ) và int c ^ i∈I
={∧ i∈I a i |a k ∈int c (M k ) với ít nhất một k∈ I}. Đặc biệt, V i∈IM i int = V i∈I(M i ) int , nghĩa là V i∈IM i là nguyên nếu và chỉ nếu mọi M i đều nguyên Trong trường hợp này V i∈I M i = Q i∈IM i • ∞
(4) nil(V i∈IM i ) ={∧ i∈I a i | a k ∈nil(M k ) với ít nhất một k ∈I}.
Tác động của binoid trên tập định điểm
Định nghĩa 1.6.1 Cho N là một binoid Một phép toán của N trên tập định điểm (S, p) là một ánh xạ
+ : N ×S −→ S, (a, s) 7−→a+s, thỏa mãn các điều kiện sau:
Khi đó S được gọi là N-tập.
Một N-ánh xạ là một ánh xạ định điểm ϕ: S −→ T của N-tập sao cho biểu đồ
N ×T // T là giao hoán, nghĩa là ϕ(a+ s) = a +ϕ(s), với mọi a ∈ N và s ∈ S Ta nói
S là N-tập hữu hạn sinh nếu tồn tại một tập con hữu hạn T ⊆ S sao cho mọi s ∈ S đều có thể viết được dưới dạng s = a+t, với a ∈ N và t ∈ T, nghĩa là
(N +t) Khi đó (S, p) được gọi là sinh dưới dạng N-tập bởi T.
Điều kiện (3) trong định nghĩa N-tập chỉ ra rằng plà một phần tử bất biến dưới phép toán của N, và p không nhất thiết phải là phần tử duy nhất thỏa mãn điều kiện này.
Mệnh đề 1.6.3 Một tập định điểm (S, p) là một N-tập nếu và chỉ nếu có một đồng cấu binoid
N −→ (map p S,◦,id, ϕ ∞ ), a7−→ ϕ a , trong đó ϕ a :S →S sao cho s7→ a+s với a ∈N.
Theo Mệnh đề 1.6.3, mộtN ∞ -tập cũng giống nhưS cùng với ánh xạ định điểm cố định ϕ :S →S là phép toán xác định bởi n+s =ϕ n (s).
Mệnh đề 1.6.4 Tích, tổng trực tiếp, tích smash của một họ các N-tập cũng là một N-tập.
Chứng minh Giả sử(S i , p i ) i∈I là một họ các N-tập Phép toán của N trên Y i∈I
S i được cho bởi a+ (s i ) i∈I = (a+s i ) i∈I kéo theo phép toán của N trên L i∈I S i và V
Địa phương hóa
Trong mục này, ta luôn giả thiết các binoid là giao hoán. Định nghĩa 1.7.1 Cho M là một binoid giao hoán và S là binoid con của M.
Ta định nghĩa một quan hệ tương đương trên M ×S như sau: với mọi a, a 0 ∈M và s, s 0 ∈ S ta nói
Lớp tương đương của (a, s) được ký hiệu là a−s Tập các lớp tương đương
M S := {a−s | a∈M, s ∈S} được gọi là địa phương hóa của M tại S Địa phương hóa của một binoid con được sinh bởi một phần tử f ∈ M ký hiệu là M f
Bổ đề 1.7.2 Cho M là một binoid và S là một binoid con của M Phép cộng
(a−s) + (a 0 −s 0 ) := (a+a 0 )−(s+s 0 ) định nghĩa một cấu trúc binoid trên M S sao cho ι S : M −→ M S , a 7−→ a−0 là một đồng cấu binoid, biến các phần tử của S thành đơn vị, kerι S = {a ∈ M |
∃b ∈S : a+b =∞} ⊆int c (M) và M S là một M-binoid.
Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được phép toán trên là xác định và ánh xạ đó là đồng cấu Nếu s∈ S thì (s−0) + (0−s) =s−s∼0−0 Do đó s−0∈ M S ×
Theo Bổ đề 1.7.2, có một M S = M S+M × Hơn nữa M S = M nếu và chỉ nếu
S ⊆ M × và M S =∞ nếu và chỉ nếu ∞ ∈S.
Mệnh đề 1.7.3 Cho đồng cấu binoid ϕ : M → N và binoid con S ⊆ M với ϕ(S) ⊆ N × Khi đó có duy nhất một đồng cấu M-binoid ϕ S : M S → N sao cho biểu đồ
Chứng minh định nghĩa ϕ S (a−s) := ϕ(a) +−ϕ(s) với a ∈ M và s ∈ S, vì ϕ(S) ⊆ N × Để chứng minh tính xác định, giả sử a−s = b−t với mọi a, b ∈ M và s, t ∈ S Khi đó, tồn tại c ∈ S sao cho a+t+c = b+s+c, dẫn đến ϕ(a) + ϕ(t) + ϕ(c) = ϕ(b) + ϕ(s) + ϕ(c).
Vì ϕ(S) ⊆N × nên điều này tương đương với ϕ(a) +−ϕ(s) =ϕ(b) +−ϕ(t).
Do đó ϕ(S) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện Nó là đồng cấu M-binoid vì ϕ là đồng cấu binoid và ϕ S (a−0) = ϕ(a) +−ϕ(0) =ϕ(a).
Tính duy nhất được suy ra từ tính giao hoán của biểu đồ yêu cầu ϕ S (a−0) = ϕ(a) và ϕ S (0−a) =−ϕ(a), với s ∈S.
Iđêan trong binoid giao hoán
Trong mục này, ta luôn giải thiết các binoid là giao hoán. Định nghĩa 1.8.1 Cho M là một binoid Mộtiđêan trong M là tập con I ⊆M nếu ∞ ∈ I và x+M ⊆ I, với mọi x∈ I.
Rõ ràng, bản thânM là một iđêan, gọi làiđêan đơn vị và một iđêan trùng với
M nếu và chỉ nếu nó chứa phần tử đơn vị Điều kiện ∞ ∈ I tương đương với
I 6=∅ Theo định nghĩa, tập con khác rỗng I của M là một iđêan nếu và chỉ nếu
I đóng kín với phép cộng của M :
Ví dụ 1.8.2 (1) Tập hợp con {∞} là iđêan của mọi binoid M.
(2) Tập hợp tất cả các phần tử khác phần tử đơn vị M + = M \M × của một binoid khác không M là một iđêan của M vì a+b ∈M × nếu a hoặc b∈ M+.
Hạt nhân của đồng cấu binoid ϕ: M → N là một iđêan của M, vì nếu a ∈ ker ϕ và b ∈ M thì ϕ(a+b) = ϕ(a) + ϕ(b) = ∞ Đây là trường hợp đặc biệt của Bổ đề 1.8.4(1) (với J = {∞}) Ví dụ, nếu (S, p) là tập N, thì tập {a ∈ N | a + s = p, với mọi s ∈ S} ⊆ N cũng là một iđêan trong N, vì nó là hạt nhân của các đồng cấu binoid N → (map p (S, S), ◦, id, ϕ ∞), như đã nêu trong Bổ đề 1.6.3 Hơn nữa, hạt nhân của phép chiếu chính tắc π: M → M/∼ là một iđêan cho mọi iđêan đồng dư ∼ Đặc biệt, đối với một binoid M khác không, tập hợp tất cả các phần tử int c (M) và tập hợp tất cả các phần tử lũy linh nil(M) đều là các iđêan của M.
Tập hợp I + J được định nghĩa là {a + b | a ∈ I, b ∈ J}, trong đó I và J là hai iđêan thuộc M Đặc biệt, với mọi n ≥ 0, nI được xác định là I + + I = {a₁ + + aₙ | aᵢ ∈ I}, cũng là một iđêan Lưu ý rằng theo quy ước của chúng tôi, tổng trống 0I được xem là M.
Rõ ràng, mọi iđêan trong vành R đều là iđêan trong (R, ,1,0), nhưng chiều ngược lại không đúng Ví dụ, tập hợp {a | a = 0 hoặc |a| ≥ 10} là một iđêan trong binoid (Z, ,1,0) nhưng không phải là iđêan trong vành Z Định nghĩa 1.8.3 cho thấy M + là iđêan tối đại của M, tức là iđêan lớn nhất khác M trong M theo quan hệ bao hàm ⊆ Một đồng cấu binoid ϕ : N → M được coi là địa phương nếu ϕ(N+)⊆ M+.
Bổ đề 1.8.4 Cho ϕ: M → N là đồng cấu của binoid Khi đó:
(1) Nếu J là một iđêan trong N thì ϕ −1 (J) là một iđêan trong M.
(2) Nếu I là một iđêan trong M thì ϕ(I) +N = {a+b | a ∈ ϕ(I), b ∈N} là một iđêan trong N.
Chứng minh Cả hai khẳng định đều dễ dàng được chứng minh. Định nghĩa 1.8.5 Iđêan ϕ(I) +N trong Bổ đề 1.8.4 được gọi là iđêan mở rộng của I theo ϕ.
Hệ quả 1.8.6 Cho M là một binoid và S là một binoid con của M Khi đó
(1) Nếu I là một iđêan trong M S thì ι −1 S (I) là một iđêan trong M.
(2) Nếu I là một iđêan trong M thì I S := {a−s | a∈ I, s ∈S} là một iđêan trong M S sao cho I S =M S nếu và chỉ nếu S∩ I =∅.
Chứng minh các hệ quả từ Bổ đề 1.8.4 cho thấy rằng I S =ι S (I) +M S Định nghĩa 1.8.7 nêu rõ rằng, cho I là một iđêan trong M, quan hệ tương đương ∼ I trên M được xác định bởi a ∼ I b nếu và chỉ nếu a = b hoặc a, b ∈ I Quan hệ này được gọi là đồng dư Rees của I, và thương số M/ ∼ I được ký hiệu là M/I Hơn nữa, iđêan mở rộng của một iđêan J ⊆ M được xác định bằng phép chiếu chính tắc.
M → M/I sẽ được ký hiệu là J/I.
Thương số M/I được mô tả là kết quả của việc thu gọn I thành phần tử ∞, trong khi các phần tử bên ngoài I vẫn giữ nguyên Quan hệ tương đương ∼ I giữa các iđêan cho thấy mọi quan hệ tương đương đều thuộc dạng này, vì hạt nhân của đồng cấu binoid là một iđêan Theo đó, M/I có thể được xác định bằng binoid (M \ I)∪ {∞}, với phép cộng được định nghĩa bởi a+b.
∞ nếu a+b∈ I, với a, b ∈ (M \ I)∪ {∞} Tương tự, có thể xác định iđêan mở rộng của J theo
M → M/I với tập hợp con (J \(J ∩ I))∪ {∞} Lưu ý rằng sự tương đương
Đồng dư Rees của lý thuyết lý do π I : M → M/I cho thấy rằng M/∼ π I = M/I và I = kerπ I Trong trường hợp tổng quát, nếu ϕ : M → N là một toàn cấu, thì cảm sinh đồng cấu M/kerϕ → N không phải là một đẳng cấu khi ∼ π ker ϕ khác với ∼ ϕ Ví dụ, hạt nhân của đồng cấu binoid ϕ : N ∞ × N ∞ → N ∞, với ánh xạ (a, b) 7→ b, được xác định bởi các iđêan {(a,∞) | a∈ N ∞} và thương số tương ứng.
Mặt khác, chúng ta có (N ∞ ×N ∞ )/∼ ϕ ∼=N ∞ (xem Ghi chú 1.4.4).
(1) Từ Ghi chú 1.8.8 và Ví dụ 1.8.2(3), ta có:
M int =M/int c (M) và M red =M/nil(M).
Mô tả về hàm Hilbert-Samuel H(−, M) : N → N có thể được hiểu tương tự như lý thuyết về các vành nửa địa phương, với việc tính toán dựa trên thương số bởi bội số của iđêan tối đại.
H(n, M) = #(M/nM + )−1,đối với một binoid dương, hữu hạn sinh M.
Nếu V là một tập hợp hữu hạn và I là một iđêan thuộc FC(V), thì FC(V)/I là một nửa tự do được sinh bởi các phần tử v trong V mà không thuộc I Hơn nữa, FC(V)/I là một cấu trúc dương, có luật giản ước và không xoắn đến bậc lũy linh Ngược lại, mọi binoid nửa tự do hữu hạn sinh đều đẳng cấu với FC(V)/I, với điều kiện V là một tập hợp hữu hạn và I là một iđêan thuộc FC(V).
Chứng minh (⇒) Khẳng định này được suy ra từ Hệ quả 1.3.17.
(⇐) Giả sử V ⊆ M là hệ sinh tối tiểu của binoid nửa tự do M Khi đó
M ∼= FC(V)/(R j ) j∈J , trong đó (R j ) j∈J là một họ các quan hệ có dạng R : f g, f, g ∈ FC(V) Vì M là nửa tự do nên mọi quan hệ R j là đơn thức (tức là
R j : f j =∞, với mọi j ∈J Điều này cho thấy sự tương đương được xác định bởi (R j ) j∈J là đồng dư Ress của iđêan I = hf j | j ∈ Ji Do đó, theo Mệnh đề 1.4.2,
Theo Hệ quả 1.8.10, binoid nửa tự do được hình thành từ các binoid giao hoán tự do với quan hệ đơn thức, và có thể được gọi là binoid đơn thức Một lớp đặc biệt trong đại số đơn là Đại số Stanley-Reisner, còn được biết đến là phủ các vành.
Mệnh đề 1.8.12 khẳng định rằng, cho M và N là các binoid và I là một iđêan trong M, mọi đồng cấu binoid ϕ : M → N với I ⊆ kerϕ sẽ phân tích duy nhất qua M/I Điều này dẫn đến việc chúng ta có một đẳng cấu nửa nhóm.
Chứng minh Đây là trường hợp đặc biệt của [3, Mệnh đề 1.7.5].
Mệnh đề 1.8.13 Cho I và J là các iđêan của M Khi đó
(M/I)∧ M (M/J) ∼=M/(I ∪ J), trong đó M/A là một M −binoid thông qua phép chiếu chính tắc π A : M → M/A,A ∈ {I,J }.
Chứng minh Theo [3, Hệ quả 1.10.22], các toàn cấu M-binoid chính tắc ψ A : M/A → M/(I ∪ J) với a¯ 7→ [a],A ∈ {I,J } sinh ra một đồng cấu M- binoid:
(M/I)∧ M (M/J) −→ M/(I ∪ J) với ¯a∧ M ¯b 7−→[¯a+ ¯b] là toàn ánh khi ψ I và ψ J là toàn ánh Đối với đơn ánh, có thể thấy rằng ¯a∧ M ¯b=∞ nếu và chỉ nếu a+b ∈ I ∪ J, và trong trường hợp này, [a+b] = ∞ Nếu a ∈ I hoặc b ∈ J thì điều này là hiển nhiên Ngược lại, a /∈ I và b /∈ J tương đương với việc ¯a = {a} và ¯b ={b} là đơn trị, dẫn đến ¯ a∧ M ¯b = a∧ M b = 0∧ M (a+b) = (a+b)∧ M 0, và điều này là ∞ nếu và chỉ nếu a+b ∈ I ∪ J Kết quả là [¯a+ ¯b] = [a+b] = ∞.
∞ 6= ¯a∧ M ¯b=a∧b7→ [a+b] = a+b 6=∞ nếu a+b /∈ I ∪ J. Điều này kéo theo ψ là đơn ánh.
Bổ đề 1.8.14 Cho ϕ :M → N là một đồng cấu binoid và I ⊆M là một iđêan. Khi đó ta có đẳng cấu binoid
Chứng minh Vì kerπ I ⊆ ker(πϕ) và do đó ∼ π I ≤∼ πϕ Theo Bổ đề 1.4.3, ta có sơ đồ giao hoán của đồng cấu binoid
Đồng cấu cảm sinh ϕ˜ là một đồng cấu M-binoid, vì mọi đồng cấu khác cũng thuộc loại này Theo Hệ quả 1.10.22 trong tài liệu [3], ϕ˜ tạo ra duy nhất một đồng cấu M-binoid: ψ(M/I)∧ M N −→ N/(ϕ(I) +N), với [a]∧ M x7−→ [ϕ(a) +x].
Mặt khác, đồng cấu M-binoid chính tắc: ι : N → M ∧ M N → (M/I)∧ M N với ι(x) = [0]∧ M x phân tích thông quaN/(ϕ(I) +N) vì ϕ(I) +N ⊆ker ι Nói cách khác, có một đồng cấu M-binoid: Φ : N/(ϕ(I) +N) −→ (M/I)∧ M N với [x] 7−→ [0]∧ M x.
Một tính toán dễ dàng cho thấy ψ và Φ là nghịch đảo của nhau.
Bổ đề 1.8.15 Cho I ⊆N là một iđêan Nếu ϕ : N →M là đồng cấu binoid địa phương thì ϕ(I) +M 6=M.
Chứng minh Nếuϕ(I)+M = M thì tồn tạia∈ I vàb ∈M sao choϕ(a)+b = 0.
Vì thế ϕ(a)∈ M × , mâu thuẫn với tính địa phương của ϕ vì a∈ I ⊆N +
Đại số binoid
Đại số
Định nghĩa 2.1.1 Cho R là một vành giao hoán Một R-đại số là một vành A cũng là R-môđun sao cho phép nhân A×A →A thỏa mãn: r(ab) =r(a)b=ar(b),∀a, b∈A,∀r∈ R.
Một R-đại số được định nghĩa là một vành giao hoán R cùng với một vành có đơn vị A, trong đó tồn tại một đồng cấu vành f: R → A thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(ii) f (R)⊆ Z(A), Z(A) ={a ∈A :ax =xa,∀x∈ A} là tâm của A.
(i) Mọi vành A là Z-đại số.
(ii) Cho A là một vành, R là vành con của A Khi đó A là R-đại số.
(iii) Vành đa thứcR[x 1 , , x n ]trên vànhRlàR-đại số Vành thươngR[x 1 , x n ]/I với I là iđêan của R[x 1 , , x n ] là R-đại số.
(iv) Cho A là một R-đại số, I là iđêan của A Khi đó A/I là R-đại số.
Cho A, B là các R-đại số, thì A⊕B cũng là một R-đại số Định nghĩa R-đại số con: Một tập hợp con L ⊆ A được gọi là R-đại số con của A nếu với mọi x, y ∈ L và mọi a ∈ A, thì xãy ∈ L, x+y ∈ L, và aãx ∈ L.
L là R-đại số). Định nghĩa 2.1.5 Cho A là R-đại số, Ω ⊆A Đặt:
L là một R-đại số con nhỏ nhất của A chứa Ω, được gọi là đại số con sinh bởi Ω Khi Ω = {c1, , cn}, chúng ta ký hiệu R[Ω] là R[c1, , cn] Một R-đại số A được gọi là R-đại số hữu hạn sinh nếu tồn tại c1, , cn thuộc A sao cho A = R[c1, , cn].
Từ đó ta cũng có một R-đại số A là R-đại số hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu
A∼=R[x1, , xn]/I với I là iđêan của vành đa thức R[x 1 , , x n ].
Ký hiệu tập Hom R-alg
A, A 0 là tập tất cả các đồng cấu R-đại số A → A 0 và được ký hiệu là R−SpecA khi A 0 =R. Định nghĩa 2.1.6 Cho A là R-đại số, M là vị nhóm Một M-phân bậc trên A là một tập các R-môđun con {A n } n∈M thỏa mãn A =L n∈MA n và
Một đại số M-phân bậc là một R-đại số với một phân bậc đã cho.
Ví dụ 2.1.7 A =R[x 1 , , x n ] là một đại số N-phân bậc với
A n = {đa thức thuần nhất bậc n} ∪ {0}. Định nghĩa 2.1.8 Cho A = L n∈MAn là R-đại số M-phân bậc Một iđêan I của A được gọi là phân bậc nếuI =L n∈M(I ∩A n )
Ví dụ 2.1.9 (i) Cho A = ⊕A n là R-đại số phân bậc và I là iđêan của A sinh bởi các phần tử thuần nhất Khi đó I là phân bậc.
(ii) ChoA =R[x], I =hx+ 1i.Khi đó I không phân bậc vì I không chứa các đơn thức và do đó L∞ n=0(I ∩R[x] n ) ={0} 6=I.
Mệnh đề 2.1.10 nêu rõ rằng cho A = L n∈MA n là R-đại số M-phân bậc và I là iđêan phân bậc của A, thì (A/I) n = (A n + I)/I ∼= A n /I ∩ A n là ảnh của A n trong A/I, từ đó A/I = L n∈M(A/I) n cũng là R-đại số M-phân bậc Định nghĩa 2.1.11 chỉ ra rằng cho A = L n∈MA n và B = L n∈MB n là các R-đại số, ánh xạ ϕ : A → B được gọi là R-đồng cấu đại số phân bậc nếu ϕ là R-đồng cấu đại số và ϕ(A n )⊆ B n với mọi n ∈ M Cuối cùng, định nghĩa 2.1.12 khẳng định rằng đại số vị nhóm RM của M trên R là R-môđun trái có cơ sở {T a | a ∈ M}, với phép nhân cho các phần tử của cơ sở này được xác định thông qua phép toán của M.
T a T b = T a+b , với a, b ∈ M sau đó cùng tính chất phân phối mở rộng với một phép nhân trên
RM Trong trường hợp M là một nhóm, RM được gọi là nhóm đại số của M trên R.
R là vành con của RM thông qua đơn cấu vành R ,→ RM, r → rT 0 Nếu
Khi R 6= 0, tồn tại một phép nhúng vị nhóm M vào RM với ánh xạ a 7→ T a, cho phép M được xem như một vị nhóm con của RM Mỗi phần tử f thuộc RM có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng f = Σ a∈M r a T a, trong đó r a ∈ R và chỉ có hữu hạn r a khác 0 với a thuộc M Hơn nữa, RM là một R-đại số M-phân bậc.
RT a là một R-môđun, trong đó RT a = {rT a | r ∈ R} Các phần tử của R-môđun RT a được gọi là thuần nhất bậc a, với phần tử 0 được quy ước là thuần nhất mọi bậc Đại số vị nhóm RM sẽ giao hoán nếu và chỉ nếu M giao hoán.
Ví dụ 2.1.13 Đại số đa thức R[X i /i ∈I] ∼= RN (I) trên R là đại số vị nhóm. Đặc biệt
Tính phổ dụng của đại số vị nhóm được thể hiện trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.14 Cho một R-đại số A và đồng cấu vị nhóm: φ : M → (A, ), tồn tại duy nhất một đồng cấu R-đại số φ˜: RM → A với φ˜(T a ) =φ(a), với mọi a ∈M.
Hệ quả 2.1.15 Cho M là một vị nhóm.
(1) Gọi α : R → S là đồng cấu của các vành và ϕ : M → N là đồng cấu vị nhóm Khi đó, có một phép đồng vành duy nhất RM → SN xác định bởi ra 7→α(r)ϕ(a).
(2) Nếu a là một iđêan trong R, thì RM/aRM ∼= (R/a)M
(3) Nếu S là tập đóng nhân trong R thì (RM) S ∼=R S M.
(4) Cho một họ hữu hạn (M i ) i∈I của các vị nhóm, khi đó ta có một đẳng cấu chính tắc
(5) Nếu A là R-đại số thì A⊗ R RM ∼= AM.
Người ta rất quan tâm đến câu hỏi khi nào đại số vị nhómRM là miền nguyên. Câu trả lời được đưa ra trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.16 xác định rằng đại số vị nhóm RM là một miền nguyên nếu và chỉ nếu R là một miền nguyên, và M không xoắn cùng với việc có luật giản ước.
Chứng minh Xem ([7], Định lý 8.1) hoặc ([4], Định lý 4.18).
Đại số binoid
Định nghĩa 2.2.1 ChoM là một binoid.Đại số binoid củaM ký hiệu làR[M], được định nghĩa là đại số
RT là đại số vị nhóm, trong đó (T ∞ ) là iđêan trong RM được sinh bởi phần tử T ∞ Nếu I là một iđêan của M, thì iđêan tương ứng (R-môđun con) của RM được sinh bởi T a, với a thuộc I, sẽ được biểu thị một cách tổng quát.
R[I] = RI/(T ∞ ) = (T a | a∈ I) ⊆ R[M], là iđêan (tương ứng R-môđun con) của R[M].
Theo định nghĩa, R[M] có thể đồng nhất được với tập hợp tất cả các tổng hình thức X a∈∧ r a T a với ∧ ⊆ M • hữu hạn và r a ∈R, trong đó phép nhân r a T a s b T b
0, trong trường hợp còn lại Đẳng cấu R-môđun:
R[M] ∼=RM/ht ∞ i được suy ra từ đồng cấu R-đại số phân bậc
KM → R[M] với ker =RT ∞ Với một iđêanI ⊆M, các iđêan RI và R[I]∼=K[t]/ht ∞ i=R[t] lần lượt là các iđêan đơn thức của RM và R[M] Nếu R 6= 0, hợp thành M ,→
RM →R[M] tạo ra một phép nhúng binoid ι M :M → R[M], a7→ T a sao cho M có thể được coi là một binoid con của (R[M], ,1,0).
Ví dụ 2.2.2 Cho R là một vành Khi đó:
(1) Đại số binoid của binoid không {∞}, tức là 0 = ∞ trên bất kỳ vành nào là vành không (trong khi đó đại số của vị nhóm không là R).
(2) Đại số binoid của binoid tầm thường {0;∞}, tức là với 06=∞ trên R là R (trong khi đại số của vị nhóm đó là R[x]/(x 2 )).
Mệnh đề 2.2.3 khẳng định rằng, với binoid M, R-đại số A và phép đồng cấu binoid ϕ: M → A, sẽ tồn tại duy nhất một phép đồng cấu R-đại số φ: R[M] → A, đảm bảo rằng sơ đồ tương ứng giao hoán.
Chứng minh rằng xét hợp thành của các ánh xạ chính tắc M → RM → π R[M] cho thấy ϕ cảm sinh đồng cấu R-đại số ϕ˜ : RM → A, với ánh xạ rT a 7→ α(r)ϕ(a), trong đó α : R → A là đồng cấu đại số, r ∈ R và a ∈ M Do kerπ = RT ∞ ⊆ ker ˜ϕ, đồng cấu R-đại số ϕ˜ dẫn đến phép đồng cấu vành φ : R[M] → A với φπ = ϕ ∼, sao cho rT a 7→ α(r)ϕ(a), r ∈ R, a ∈ M Do đó, φ là phép đồng cấu R-đại số.
Hệ quả sau chỉ ra đại số binoid được xác định duy nhất bởi tính chất phổ dụng của nó.
Hệ quả 2.2.4 Cho α : R → S là một đồng cấu vành và φ : M → M 0 là một đồng cấu binoid Khi đó có một đồng cấu vành duy nhất φ : R[M] → S[M 0 ] với φ(rT a ) 7→ α(r)ϕ(a), r ∈R, a ∈M
Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3, ϕ cảm sinh phép đồng cấu R-đại số φ˜sao cho biểu đồ sau giao hoán
Khi đóφ = ˜αφ˜là phép đồng cấu vành duy nhất, trong đó α˜: rT a 7→ α(r)T a
Ghi chú 2.2.5 Có hai trường hợp đặc biệt của Hệ quả 2.2.4.
Nếu ϕ = id M, thì tồn tại một đồng cấu vành duy nhất α[M] : R[M] → S[M] Tất cả các tập hợp con của S sinh ra S như R-môđun sẽ sinh ra S[M] như R[M]-môđun, và mọi tập hợp các phần tử độc lập tuyến tính của S trên R cũng sẽ độc lập tuyến tính trong S[M] trên R[M] Đặc biệt, các cơ sở không thay đổi khi chuyển sang đại số binoid Nếu α là toàn cấu, thì α[M] cũng là toàn ánh.
(2) Xét S =R Trong trường hợp này có một đồng cấu R-đại số duy nhất
R[ϕ] :R[M]→ R[N] ϕ là đơn cấu (toàn cấu) nếu và chỉ nếu R[ϕ] là đơn cấu (toàn cấu).
Hệ quả 2.2.6 Cho M là một binoid.
(1) Nếu N là một binoid con của M thì đại số binoid R[N] là một R-đại số con của R[M].
(2) Nếu a là một iđêan của R thì
(3) Nếu M là giao hoán và I là một iđêan trong M thì
(4) Nếu M là giao hoán và S là một binoid con của M thì S˜ = {T a | a∈S} là tập đóng nhân trong R[M] và có một đẳng cấu
(5) Nếu A là R-đại số thì A⊗ R R[M] ∼= A[M].
(6) Nếu S là tập đóng nhân trong R thì R[M] S ∼=R S [M].
Chứng minh (1) Kiểm tra theo định nghĩa.
Đặt π : R → R/a là một ánh xạ toàn ánh chính tắc Hạt nhân của đơn cấu vành cảm sinh R[π] : R[M] → (R/a)[M] chứa tất cả các đa thức f ∈ R[M] với hệ số thuộc a, điều này chứng minh cho khẳng định (2).
(3) Toàn cấu binoid M → M/I cảm sinh toàn cấu R-đại số R[M] → R[M/I] bởi Hệ quả 2.2.4 Hạt nhân của nó được xác định bởi L a∈I • RT a =R[I], do đó
(4) Theo Hệ quả 2.2.4, ánh xạ chính tắc ι S : M → M S cảm sinh đồng cấu R-đại số ˜ι S : R[M] → R[M S ] Đặt ι : R[M] → S˜ −1 (R[M]) biểu thị đồng cấu vành chính tắc Vì ι(S) ⊆
, nên theo tính chất phổ dụng của địa phương hóa ta có sơ đồ giao hoán sau:
Trong đó đồng cấu R-đại số cảm sinhψ là một đẳng cấu với nghịch đảo được đưa ra bằng cách viết lại các phần tử của R[M S ] theo cách sau n
T f , với a 0 = a j + P i6=jf i ∈ M và f = Pn i=1f i ∈ S Đây là một phần tử trong
A⊗ R R[M] ∼= (A⊗ R RM)/(1⊗T ∞ ) ∼=AM/(T ∞ ) ∼= A[M], trong đó đẳng cấu ở giữa là do Hệ quả 2.1.15 (2).
(6) Ta có R[M] S ∼=R S ⊗ R R[M] ∼=R S [M], với đẳng cấu sau là do (5).
Khi I ⊆ M là một iđêan và e ∈ I là một phần tử lũy đẳng (e^2 = e), thì RI trở thành một K-đại số với đơn vị e Dựa trên điều này, ánh xạ φ: RM → RI × R[M/I] được xác định bởi φ(x) = (ex, π(x)), trong đó π: RM → R[M/I] là đồng cấu chính tắc và là một đẳng cấu của đại số Đặc biệt, RM có thể được coi như là R × R[M] trong cấu trúc R-đại số.
Chứng minh Theo giả thiết, có một đẳng cấu R-đại số RM ∼=RI ×(1−e)RM và do đó
Giới hạn của π trên (1−e)RM là đẳng cấu với R[M/I], tức là (1−e)RM ∼= R[M/I] Điều này dẫn đến ánh xạ RM → RI × R[M/I] Đặc biệt, khi I = RT ∞, ta có RM ∼= K × K[M] Để xác định điều kiện mà R[M] là miền nguyên, chúng ta cần giới thiệu khái niệm binoid chính quy không xoắn Theo Định lý 2.2.8, đại số binoid R[M] sẽ là miền nguyên nếu và chỉ nếu R là miền và M là một binoid chính quy không xoắn.
Chứng minh Nếu R[M] là một miền nguyên, binoid M phải là nguyên Do đó
R[M]∼=RM • Từ Mệnh đề 2.1.16 ta suy ra điều phải chứng minh.
Iđêan trong đại số binoid
Chú ý rằng mọi iđêanI trong một binoid M đều xác định một iđêan đơn thức trong R[M], cụ thể là:
Ngược lại, với mỗi iđêan a⊆ R[M] thì có một iđêan của các số mũ trong M,
Ta dễ dàng kiểm tra được các tính chất sau.
Bổ đề 2.3.1 (1) Giả sử I và J là hai iđêan của M Khi đó:
(2) R[I(a)]⊆ a với mọi iđêan a trong R[M] Hơn nữa, nếu a và b là iđêan đơn thức trong R[M] thì:
(a) R[I(a)] =a Cụ thể, I(−)thành lập một song ánh giữa tập hợp các iđêan củaM và tập hợp các iđêan đơn thức của R[M] với ánh xạ nghịch đảo R[−],I 7→
(b) b⊆ a nếu và chỉ nếu tôi I(b)⊆ I(a).
(c) Nếu a là một iđêan căn thì I(a) cũng vậy.
Mệnh đề 2.3.2 Cho R là một trường Nếu M dương thì R[M + ] là iđêan tối đại trong R[M]
Chứng minh Chúng ta có
R ∼= R[{0,∞}] = R[M/M + ] =R[M]/R[M + ], trong đó đồng nhất thức sau cùng là do Hệ quả 2.2.6 (3).
Kết quả này sai đối với binoids không dương.
Ví dụ, ta xét nhóm binoid M = (Z/nZ) ∞ với n≥ 2 Khi đó
R[M]/R[M + ] = R[M/M + ] = R[M]∼= R[X]/(X n −1), không phải là một trường vì X − 1 là một ước của không Cụ thể, ta có
R[M + ] = R[(∞)] = 0 không phải là iđêan tối đại trong R[M].
Hệ quả 2.3.3 Cho R là một trường Nếu M hữu hạn sinh và dương thì dim R R[M]/(R[M + ]) n = H(n, M), trong đó ta sử dụng quy ước a 0 =R cho iđêan a trong vành R.
Chứng minh Chúng ta có
RT a như R-không gian vectơ, do đó dim R R[M]/(R[M + ]) n = (M/M + ) −1 =H(n, M).
R[N]–môđun
Khái niệm đại số binoid cho binoid có thể được tổng quát cho N-tập tùy ý (S, p); nghĩa là, với mỗi N-tập (S, p) người ta có thể liên kết một R[N]-môđun
Định nghĩa R[S] cho thấy rằng nhiều kết quả về đại số binoid trong Mục 2.2 có thể được mở rộng cho các N-tập và các R[N]-môđun liên kết của chúng, vì mỗi binoid đều là một {0,∞}-tập Cụ thể, R[S] được định nghĩa là R[N]-môđun, bao gồm tất cả các tổng chính thức X s∈T r s X s với T ⊆ S ∗ hữu hạn, trong đó r s thuộc R và phép nhân vô hướng được xác định bởi r a X a r s X s.
Ví dụ 2.4.2 IđêanR[I] làR[M]-môđun có thể hiểu là được xây dựng từM-tập (I,∞).
Bằng kiểm tra trực tiếp, ta có kết quả sau.
Bổ đề 2.4.3 S là N-tập hợp hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu R[S] là R[N]-môđun hữu hạn sinh.
Mỗi R[N]-môđun V cũng là một N-tập hợp với phép toán (trái) của N trên (V,0) được xác định bởi
N-ánh xạ từ tập S đến R[S] được xác định bởi công thức s → X s, trong đó R[S] là N-tập cho mọi N-tập (S, p) với R khác 0 Đặc biệt, R[N]-môđun của N-tập được xác định một cách duy nhất và khác đẳng cấu.
Mệnh đề 2.4.4 chỉ ra rằng, cho (S, p) là một N-tập hợp và V là một R[N]-môđun, thì mọi N-ánh xạ ϕ : (S, p)→ (V,0) sẽ tạo ra duy nhất một đồng cấu R[N]-môđun φ : R[S]→ V, đảm bảo rằng sơ đồ sau giao hoán.
Chứng minh : Ánh xạ φ được xác định duy nhất bởi φ X s∈T r s X s
Xét X s∈T r s ϕ(s), với r s ∈ R, s∈ T và T ⊆ S • hữu hạn, là một đồng cấu R-môđun được định nghĩa bởi φı s = ϕ Để chứng minh rằng φ cũng là một đồng cấu của các R[N]-môđun, ta có ϕ(a+s) = a + ϕ(s) = X a ϕ(s) cho tất cả a∈N và s ∈S Do đó, nếu
F =P a∈Ar a X a ∈ R[N] và P s∈T r s X s ∈R[S] với các tập hữu hạn A ⊆N • và
Hệ quả 2.4.5 Cho một N-ánh xạ ϕ : S → T của N-tập hợp (S, p) và (T, q), tồn tại duy nhất đồng cấu R[N]-môđun φ :R[S] → R[T] sao cho sơ đồ sau giao hoán:
R[S] R[ϕ] // R[T] Đặc biệt, tồn tại đồng cấu binoid map p S, o,id S, ϕ∞
→ End R R[S], o,id R[S] ,0 R[S] với ϕ → R[ϕ], trong đó End R R[S] biểu thị vành của tất cả các đồng cấu R- môđun R[S] →R[S] và 0 R[S] ánh xạ không.
Chứng minh Đây là kết quả được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.4.4 được áp dụng cho N−ánh xạ xác định bởi hợp thành ı T ϕ : S → T → R[T] Cụ thể,
R[ϕ] (F) = X s∈S 0 r s X ϕ(s) với F = X s∈S 0 r s X s ∈R[S]. trong đó r s ∈R, s∈ S 0 và S 0 ⊆ S hữu hạn Điều này chứng tỏ rằng
Suy ra khẳng định thứ hai là đúng.
Mệnh đề 2.4.6 Cho (S, p) là một N-tập hợp Khi đó R[S] là một R[N]-môđun sao cho sơ đồ sau là giao hoán
R[N] φ // End R R[S] trong đó ϕ là đồng cấu binoid và φ là một đồng cấu vành.
Chứng minh rằng phép toán N × S → S, (a, s) 7→ a+s sinh ra một phép toán chính tắc R[N]×R[S]→ R[S] với quy tắc (r a T a , r s T s ) 7→ r a r s T a+s Từ đó, tồn tại một phép đồng cấu vành φ :R[N] →End R R[S] với F 7→ (φ(F) :G 7→ G.F) để tạo ra sơ đồ giao hoán.
Đại số binoid của N -binoid
Theo Ghi chú 2.2.5 (2), đồng cấu cấu trúc ϕ : N → M của một N-binoid M cảm sinh một đồng cấu vành R[ϕ] :R[N]→ R[M] Điều này xác định cấu trúc
Hệ quả 2.5.1 Mọi đồng cấu ϕ: M → M 0 của N-binoids cảm sinh duy nhất một đồng cấu R[N]−đại số φ: R[M]→ R[M 0 ] với φ(rT a ) =rT ϕ(a) , r ∈R, a∈ M ∗
Chứng minh Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.2.4 (với R = L và α = id R ) và sơ đồ giao hoán
M ϕ // M 0 trong đó ψ và ψ 0 lần lượt là đồng cấu cấu trúc của M và M 0
Hệ quả sau đây có thể được khái quát thànhN-tập hợp.
Hệ quả 2.5.2 Cho (M i ) i∈I là một họ hữu hạn của N-binoids giao hoán Khi đó
∼=O i∈I R[N ]R[M i ] như R-đại số Đặc biệt,
Chứng minh Sử dụng quy nạp ta chỉ cần chứng minh vớiI ={1; 2} ĐặtM 1 =M và M 2 =M 0 là các binoid giao hoán Ta có sơ đồ giao hoán của R-đại số:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét 66, trong đó ι và ι 0 là các bao hàm thức chính tắc, còn ϕ và ϕ 0 là các đồng cấu R[N]-đại số cảm sinh từ các phép nhúng M ,→ M∧ N M 0 và M 0 ,→ M ∧ N M 0 theo Hệ quả 2.5.1 Nhờ vào tính phổ dụng của tích tensor, chúng ta có đồng cấu R-đại số ψ : R[M]⊗ R[N ] Rh.
= ϕ(F)ϕ 0 (G), là đồng cấu R[N]-đại số vì ϕ và ϕ 0 cũng là các đồng cấu R[N]-đại số Mặt khác, ta có đồng cấu binoid:
Do đó theo Mệnh đề 2.2.3 ta có đồng cấu các R-đại số
Đó cũng là đồng cấu R[N]-đại số và là nghịch đảo của ψ.
Hệ quả 2.5.3 Nếu M là một N-binoid giao hoán hữu hạn sinh, thì R[M] là một R[N]-đại số hữu hạn sinh.
Chứng minh Giả sử {x 1 , , x r } là tập hợp sinh của M Theo Ghi chú 2.2.5 (2) và Hệ quả 2.5.2, toàn cấu binoid ϕ : N ∧(N r ) ∞ → M, a∧(n 1 , , n r )x7→ ϕ(a) +n 1 x 1 + .+n r x r cảm sinh một toàn cấu R-đại số
R[ϕ] :R[N] [X 1 , , X r ] →R[M],với rT a X ν 7→ rT ϕ(a) X ν , ν = (n 1 , , n r ) Rõ ràng, R[ϕ] là một đồng cấu R[N]- đại số Do đó ta có điều phải chứng minh.