Về tính hội tụ của chuỗi các phần tử ngẫu nhiên độc lập

Sự hội tụ của chuỗi các đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập 10

Trình bày về tính hội tụ của chuỗi các phần tử ngẫu nhiên độc lập bao gồm những nội dung sau:

2.1.Về tính hội tụ của chuỗi các đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập.

Về tính hội tụ của chuỗi các phần tử ngẫu nhiên độc lập trong không

Luận văn này được thực hiện tại Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Phan Đức Thành Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy vì sự nhiệt huyết, trách nhiệm và lòng nhân ái Thầy đã cung cấp nhiều hướng giải quyết hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Trung Hoà, TS Trần Xuân Sinh cùng các Thầy cô giáo trong khoa Toán và khoa Đào tạo Sau đại học, cũng như các bạn trong lớp Cao học IX và Cao học X Toán trường ĐH Vinh Sự quan tâm và hỗ trợ của các Thầy cô và bạn bè đã giúp tác giả thuận lợi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến trường THPT Lê Viết Thuật TP Vinh - Nghệ An, cùng với đại gia đình và bạn bè đã hỗ trợ cả về vật chất lẫn tinh thần, giúp tác giả vượt qua quá trình học tập.

Tác giả ch-ơng 1 một số tính chất hình học của không gian

Giả sử   i , i  1  là dãy các đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối

1 i i i i E : x x hội tụ theo xác suất } Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E đ-ợc gọi là không gian Rademacher loại p (1 < p  2 ) ( gọi tắt là R - loại p ) nếu tồn tại C   sao cho

E đối với mọi dãy  x i , i  1  trong C(E) Định lí 1.1.2 ( J.Hoffmann-Jorgensen, G.Pisier [21] ) Không gian Banach thực, khả li là R - loại p (1 < p  2 ) khi và chỉ khi tồn tại C > 0 thoã mãn

Trong lý thuyết xác suất, đối với mọi phần tử ngẫu nhiên độc lập \(X_i \in L^p\) với \(E[X_i] = 0\), một dãy các phần tử ngẫu nhiên \(\{X_n, n \geq 1\}\) được gọi là bị chặn đuôi theo xác suất bởi đại lượng ngẫu nhiên \(X\) (ký hiệu là \((X_n) \pi X\) ) nếu tồn tại một hằng số \(C > 0\) sao cho điều kiện nhất định được thỏa mãn.

P n    với mọi t > 0 và với mọi n  1

1.2 Các điều kiện hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi và các tính chất có liên quan Định lí 1.2.1 ([21]) Giả sử  p là hàm xác định trên R + cho bởi

 với 1p2, t 0 Khi đó, các tính chất sau của không gian

Banach E là t-ơng đ-ơng: i) E  R - loại p ii) Đối với mọi dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập   X i lấy giá trị trong E, EX i  0 , tính hội tụ của chuỗi

E kéo theo tính hội tụ h.c.c của chuỗi   i  1 X i iii) Đối với mọi dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập  X i , i  1  lấy giá trị trong E,

EX i  , tính hội tụ của chuỗi p

 kéo theo tính hội tụ h.c.c của chuỗi   i  1 X i iv) Đối với mọi dãy  x n , n  1   E , điều kiện

1 i x i kéo theo   i  1  i x i hội tụ h.c.c và trong L p   E Định lí 1.2.2 ([21]) Giả sử  X n , n  1  là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập trong không gian Banach Rademacher loại p , EX n  0 , n  1 Giả sử n :

 R +  R + (n=1,2, ) là các hàm liên tục sao cho   t n t

 là các hàm không giảm Khi đó đối với mọi dãy ( a n )  R + điều kiện

X E kéo theo tính hội tụ h.c.c của chuỗi a

 Định lí 1.2.3 ([21]) Nếu E  R - loại p (1< p 2) và  X n , n  1  là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng trong E sao cho các tổng riêng   n 1 i X i bị chặn h.c.c thì chuỗi   n 1 i X i héi tô h.c.c

1.3 Luật mạnh số lớn và dáng điệu tiệm cận của tổng các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Rademacher loại p Định lí sau đây là một kết quả nổi tiếng, có tên là Bổ đề Kronecker, đ-ợc sử dụng rất nhiều khi chứng minh các Định lí dạng luật mạnh số lớn

1.3.1 Bổ đề Kroneker Giả sử  b n , n  1  là dãy số thoả mãn 0  b n   và chuỗi số   n 1 x n hội tụ Khi đó

Định lý 1.3.2 khẳng định rằng, với 1 < p ≤ 2, các tính chất sau đây của không gian Banach E là tương đương: i) E thuộc loại R-p; ii) Đối với mọi dãy {Xn, n ≥ 1} gồm các phần tử ngẫu nhiên độc lập có giá trị trong E.

EX n = 0, từ tính hội tụ của chuỗi

  h.c.c khi n iii) Tồn tại C > 0 sao cho mọi dãy hữu hạn   x i  E đều thoả mãn p

iv) Tồn tại C > 0 sao cho đối với mọi dãy hữu hạn  X n , n  1  các phần tử ngẫu nhiên độc lập lấy giá trị trong E, EX n = 0 đều thoả mãn p

Theo Bổ đề Kroneker và Định lí 1.3.2, ta có định lí 1.3.3 Giả sử dãy ngẫu nhiên độc lập  X n , n  1  lấy giá trị trong E với kỳ vọng EX n = 0 trong không gian Rademacher loại p (1 < p ≤ 2).

 : R +  R + là hàm liên tục sao cho   t

 là các hàm không giảm Khi đó điều kiện

  h.c.c khi n Định lí 1.3.4 ([21]) Giả sử  X n , n  1  là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập lấy

 : R +  R + là hàm liên tục sao cho   t

 là hàm không giảm Khi đó nếu E     X n    và A n   n i  1 E   X i   , thì

 c : R R là hàm không giảm và

1 Định lí 1.3.5 ([21]) Giả sử  X n , n  1  là dãy các phần tử ngẫu nhiên đối xứng, độc lập, cùng phân phối trong không gian Rademacher loại p  1  p  2  ,

 : R +  R + là hàm lồi, sao cho   t

 là các hàm không giảm, giả sử

 t n , n  1  là dãy số thực thoả mãn

X P là cần và đủ để

1.4 Sự hội tụ của chuỗi các đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập Định lí 1.4.1 (Levy) Giả sử  X n , n  1  là dãy các đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập, và  S n , n  1  là dãy các tổng riêng của nó, S n  X 0  X 1   X n , n  1 Khi đó, các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng: i) (S n ) héi tô h.c.c; ii) (S n ) hội tụ theo xác suất ; iii) (S n ) héi tô theo ph©n phèi Định lí 1.4.2 ( Chow và Teicher[6] ) Giả sử P n , n  1 và P là các độ đo xác suất Khi đó các điều kiện sau t-ơng đ-ơng: i) P P

W n  ; ii) Với mọi tập đóng A thì limn P n (A) P(A)

   ; iii) Với mọi tập mở A thì lim n   P n ( A )  P ( A ) ; iv) P P e n  Định lí 1.4.3 (Kolmogorov) Giả sử a > 0 và  X k , 1  k  n  là dãy các đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập sao cho tồn tại p < 1

Khi đó với mọi x, ta có

 Định lí 1.4.4 (Kolmogorov-Khinchin) Giả sử  X n , n  1  là dãy các đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập, EX n = 0 Khi đó i) NÕu     

EX thì chuỗi   n 1 X n hội tụ h.c.c ii) Nếu với xác suất 1, dãy  X n , n  1  bị chặn đều, tồn tại hằng số C > 0 sao cho

P n   với mọi n  1 , và nếu chuỗi   n  1 X n hội tụ h.c.c thì     

Định lý 1.4.5, hay còn gọi là định lý hai chuỗi của Kolmogorov, khẳng định rằng nếu {Xn, n ≥ 1} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, thì có hai trường hợp quan trọng Thứ nhất, nếu hai chuỗi tổng EXn và DXn hội tụ, thì chuỗi tổng Xn cũng hội tụ h.c.c Thứ hai, nếu dãy {Xn, n ≥ 1} bị chặn đều với xác suất 1, tức là tồn tại một hằng số, thì điều này cũng dẫn đến sự hội tụ của chuỗi tổng Xn.

Nếu chuỗi \(\sum_{n=1}^{\infty} X_n\) hội tụ h.c.c với \(P_n < P \leq P_n\), thì hai chuỗi \(\sum_{n=1}^{\infty} E[X_n]\) và \(\sum_{n=1}^{\infty} D[X_n]\) cũng hội tụ Định lý 1.4.6, được gọi là Định lý ba chuỗi của Kolmogorov, khẳng định rằng nếu \(\{X_n, n \geq 1\}\) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, thì với đại lượng ngẫu nhiên \(X\) bất kỳ, các điều kiện trên sẽ được áp dụng.

Khi đó i) Nếu chuỗi   n 1 X n hội tụ h.c.c thì với mọi C > 0, ba chuỗi

, EX héi tô ii) Ng-ợc lại, nếu tồn tại C > 0 để ba chuỗi trên hội tụ, thì chuỗi   n 1 X n hội tô h.c.c

Bất đẳng thức Markov là một bất đẳng thức quan trọng, thường được áp dụng để chứng minh các kết quả chính trong các chương tiếp theo.

Bất đẳng thức 1.4.7 (Markov) Giả sử X là đại l-ợng ngẫu nhiên Khi đó, với mọi  > 0 và p > 0, ta có

Về tính hội tụ của chuỗi các phần tử ngẫu nhiên độc lập

2.1.Về tính hội tụ của chuỗi các đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập

Trong bài viết này, chúng ta giả sử rằng  X n , n  1  là một dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, được xác định trong không gian xác suất ( , F,P ) Theo đó, tổng riêng của dãy này được biểu diễn bằng công thức     .

S Nếu S n hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) tới đại l-ợng ngẫu nhiên S, thì ( đặt S 0  0 )

T là một dãy các đại l-ợng ngẫu nhiên hoàn toàn đ-ợc xác định với

2.1.1 Định nghĩa Dãy các đại l-ợng ngẫu nhiên  X n , n  1  đ-ợc gọi là có chuỗi đuôi tuân theo Luật yếu số lớn liên quan đến các hằng số b n  0 , n  1 nếu các chuỗi đuôi T n hoàn toàn đ-ợc xác định và

Nếu (2.1) đ-ợc thay thế bởi b 0

T n n  h.c.c khi n  , (2.2) thì dãy  X n , n  1  đ-ợc gọi là có chuỗi đuôi tuân theo Luật mạnh số lớn ( liên quan đến các hằng số b n  0 , n  1 )

Nam, Rosalsky và Rosenblatt đã nghiên cứu mối liên hệ giữa luật giới hạn (2.1) và luật giới hạn b 0

Tiết này trình bày mối quan hệ giữa các luật giới hạn (2.1) và (2.3) Ta chứng minh rằng đối với dãy các số d-ơng  b n , n  1  sao cho b j  Cb n với

1 n j   , thì các luật giới hạn (2.1) và (2.3) t-ơng đ-ơng với nhau

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày một số bổ đề quan trọng, đóng vai trò là công cụ chính để chứng minh các định lý về tính hội tụ của chuỗi đại lượng ngẫu nhiên độc lập Bổ đề đầu tiên là một dạng bất đẳng thức cực đại, được phát hiện bởi Von Bahr và Esseen.

Bổ đề 2.1.2 (Von Bahr và Esseen [19]) Giả sử  X i , 1  i  N  là các đại l-ợng ngẫu nhiên sao cho E  X m  1 S m   0 với 0  m  N  1 , trong đó S 0 = 0 và

Bổ đề của Nam, Rosalsky và Volodin sẽ được trình bày mà không có chứng minh trong bài viết này, vì chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh kết quả cho trường hợp các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach ở tiết sau.

Bổ đề 2.1.3 ( Nam, Rosalsky và Volodin [16]) Giả sử  X n , n  1  là dãy các đại l-ợng ngẫu nhiên độc lập với chuỗi   n  1 X n hội tụ h.c.c Đặt T n   i  n X i ,n1

Khi đó với mọi   0 , ta có