Đại c-ơng về nhóm 5
Trong một tập hợp G, khi có một luật hợp nhất được xác định, phép nhân sẽ cho phép tạo ra một đại lượng gọi là tích từ mỗi cặp phần tử x và y thuộc G, ký hiệu là xy.
Nếu phép nhân thỏa mãn 4 tính chất sau:
1 Tính kín: với mọi phần tử bất kỳ x, y thuộc G: x, y G kết quả xy còng thuéc G: xy G
2 Tính kết hợp: x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z G
3 Tính có đơn vị: Tồn tại một phần tử e G gọi là đơn vị , có tính chất
4 Tính có nghịch đảo: Với mọi phần tử x G, có tồn tại một phần tử xác định x -1 G, có tính chất: xx -1 = x -1 x =e với mọi x G
Một tập hợp G được gọi là một nhóm Nếu H là một tập con của G, và H cũng tạo thành một nhóm theo phép nhân của G, thì H được xem là nhóm con của G.
Theo định nghĩa, phần tử đơn vị và nhóm G đều là những nhóm con của G, và hai nhóm con này được gọi là nhóm con tầm thường.
Nhóm con thực sự là những nhóm con không tầm thường Định nghĩa 3: Cho G là một nhóm, với x và y là hai phần tử bất kỳ thuộc G (x, y ∈ G) Nếu tích xy = yx, thì nhóm G được gọi là nhóm giao hoán, hay còn gọi là nhóm Abel.
Trong lý thuyết nhóm, cấp của một nhóm G được định nghĩa là số lượng phần tử của nhóm đó Nếu số phần tử của nhóm G là hữu hạn, thì G được gọi là một nhóm hữu hạn.
M ét sè vÝ dô vÒ nhãm
1.1.1 Tập các số nguyên N lập thành một nhóm với phép nhân nhóm là phép cộng, phần tử đơn vị là số 0 Nhóm N là một nhóm Abel vô hạn
1.1.2 Nhóm Z n Tập tất cả các nghiệm của căn bậc n cũng lập thành nhóm với phép nhân số phức thông th-ờng Phần tử đơn vị là số 1 Nhóm Z n
=Z (1) n là nhóm tuần hoàn điển hình, cấp n
Nhóm Z (m) n gồm n nhóm tuần hoàn, các nhóm Z (1) n và Z (n-1) n là đồng nhÊt
Ví dụ: Căn bậc 4 của 1 có các giá trị: e= z 0 = 1; z 1 = i; z 2 = - 1; z 3 = - i lập thành nhóm tuần hoàn, có phần tử đơn vị là 1.
Các nhóm hình học 6
Tập các phép chuyển động tịnh tiến tạo thành một nhóm, trong đó phép nhân nhóm được hiểu là phép dịch chuyển liên tiếp, và phần tử đơn vị tương ứng là phép không dịch chuyển.
Ký hiệu C n là tập gồm các phần tử C n i với n và i là các số nguyên d-ơng và i n Nếu phép nhân giữa hai phần tử của C n là: C n i C n j = C n i+j Tập
C n cũng lập thành một nhóm Cấp của nhóm bằng n Ví dụ với n = 4 ta có:
Về mặt hình học nhóm C n là nhóm gồm tất cả các phép quay hình tháp đều đáy có n cạnh trùng với chính nó
Tập hợp C n = { e, c n , c 2 n, … c n-1 n } Với c n là phép quay trong mặt phẳng với gãc n
- Phép nhân là phép thực hiện liên tiếp các phép quay trong mặt phẳng
Nhóm này là một nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n
Tập hợp C 4 ={ e, C 4 , C 2 4 ,C 3 4 } (C 4 4 = e) làm thành một nhóm giao hoán Hai phần tử C 4 và C 3 4 là nghịch đảo của nhau do C 4 C 3 4 = C 4 4 = e Phần tử C 2 4 là nghịch đảo của chính nó
1 2 3 Nhóm C i : ( Nhóm nghịch đảo không gian)
Ta có tập hợp C i = {e, I } Với I là phép nghịch đảo không gian:
Tập hợp trên tạo thành một nhóm hữu hạn, tuần hoàn cấp 2 Phép nhân nhóm thực hiện các phép biến đổi liên tiếp, bao gồm phép biến đổi đơn vị e và phép nghịch đảo không gian I.
Ta có, nếu thực hiện liên tiếp hai phép nghịch đảo không gian I thì lại trở về giá trị cũ:
I 2 r = r hay I 2 = e (e là phép biến đổi để nguyên mọi điểm của không gian) và I -1 = I
Nhóm C i gọi là nhóm nghịch đảo không gian
Tập hợp C s = {e, } Với là phép phản chiếu qua một mặt phẳng nào đó
Nhóm C s cũng là một nhóm hữu hạn, tuần hoàn, cấp 2
Phép nhân ở đây cũng hiểu theo nghĩa thực hiện liên tiếp các phép chiếu qua g-ơng Phép biến đổi đơn vị là phép tự phản chiếu 2 = e.
Nhãm ma trËn GL(N) 7 1.4 Nhóm đối xứng các phân tử 11
Tập hợp tất cả các ma trận cấp n không kì dị xác định trên C với phép nhân nhóm là phép nhân ma trận thông thường, đảm bảo các tính chất cơ bản của nhóm.
- Phần tử đơn vị là ma trận đơn vị cấp n
- Phép nhân ma trận là kín: Tích 2 ma trận cấp n cũng là ma trận cấp n
- Phép nhân có tính chất kết hợp: (AB)C = A(BC) ( mọi A, B, C)
Tất cả các ma trận cấp n, ngoại trừ những ma trận có định thức bằng 0 (ma trận kỳ dị), đều có thể có nghịch đảo Nghịch đảo của ma trận cấp n có thể được tính theo phương pháp thông thường.
Tập hợp tất cả các ma trận cấp n xác định trên C với định thức khác 0 tạo thành một nhóm liên tục Nhóm này được gọi là GL(n) và đặc điểm nổi bật của nó là không giao hoán.
Các nhóm con của nhóm GL(n) là các nhóm SL(n), O(n), U(n)
SL(n) là tập các ma trận cấp n không kỳ dị có định thức bằng 1
O(n) là tập các ma trận trực giao với nhau
U(n) là tập các ma trận unita cấp n ( U = U + )
1.3.1 Nhóm quay trong không gian ba chiều O(3)
Các phép quay trong không gian Euclide 3 chiều tạo thành một nhóm quan trọng, được ứng dụng rộng rãi trong vật lý, bao gồm vật lý nguyên tử và vật lý hạt nhân, đồng thời đại diện cho môment động lượng Nghiên cứu bắt đầu từ các phép quay trong mặt phẳng xOy quanh gốc tọa độ, hình thành nhóm SO(2), tương ứng với nhóm quay trong không gian 3 chiều quanh trục OZ cố định Việc thực hiện liên tiếp hai phép quay với góc 1 và 2 tương ứng với phép nhân của nhóm này.
Phần tử đơn vị trong nhóm SO(2) là phép không quay với góc = 0, trong khi phần tử nghịch đảo là phép quay trở lại với góc ’ = - Tất cả các phép quay trong nhóm này giao hoán với nhau, do đó SO(2) là một nhóm giao hoán Mỗi yếu tố của nhóm SO(2) được xác định hoàn toàn bởi giá trị thông số , thay đổi liên tục từ 0 đến 2, khiến nó trở thành một nhóm liên tục một thông số Trong phép quay O(), các vectơ cơ sở i và j được chuyển thành các vectơ đơn vị mới i .
’liên hệ với i và j bởi hệ thức: i
’= - i sin + j cosHai công thức này có thể viết d-ới dạng ma trận nh- sau:
Vậy ma trận của phép biến đổi là:
Dễ thử lại rằng ma trận O() là ma trận trực giao
O()O T () = O T ()O() = I có định thức bằng 1: det O() =1 và thoả mãn điều kiện:
Trong phép quay O() vectơ r với các thành phần x và y r
+ y j chuyển thành vectơ với thành phần x' và y' r
, j sau cùng là một phép quay cho nên hệ thức giữa r
’ có dạng giống như hệ thức giữa r
Thay vào đây các biểu thức diễn tả i
’, ta suy ra x’ = x cos + ysin y’ = -x sin + ycos
Công thức này còn viết d-ới dạng ma trận nh- sau:
Các phép quay mặt phẳng xOy quanh gốc tọa độ O cũng tương đương với các phép quay trong không gian ba chiều quanh trục Oz Trong không gian Euclide ba chiều, các vectơ đơn vị cơ sở được ký hiệu là i.
Phép quay góc quanh trục Oz được ký hiệu là C() Quá trình này chuyển đổi các vectơ đơn vị cơ sở thành các vectơ đơn vị cơ sở mới, cụ thể là vectơ i .
Do đó ma trận của phép quay C() có dạng
T-ơng tự nh- vậy, ma trận của các phép quay góc quanh các trục Ox và Oy, ký hiệu là
1.3.2 NHóm SO(3) Xét nhóm quay trong không gian ba chiều SO(3)
Mọi phép quay trong không gian ba chiều quanh gốc tọa độ O có thể được thực hiện dưới dạng tổ hợp của ba phép quay liên tiếp: phép quay góc quanh trục Oz, phép quay góc quanh trục mới Ox', và phép quay góc quanh trục mới Oz'' Ba góc này được gọi là ba góc Euler, ký hiệu là O(, , ) Ma trận phép quay tương ứng là tích của ba ma trận liên quan đến các phép quay quanh các trục Oz, Ox' và Oz''.
Thay vào đây các biểu thức của C z (), C x () và C z (), ta thu đ-ợc
Các góc và thay đổi từ 0 đến 2, còn góc thay đổi từ 0 đến Nhóm SO(3) là nhóm liên tục ba thông số
1.4 Nhóm đối xứng các phân tử:
Cấu trúc vật chất như nguyên tử, phân tử và tinh thể thường có sự sắp xếp đều đặn trong không gian, đồng thời thể hiện các tính chất đối xứng nhất định.
Phân tử OsF8 có cấu trúc hình lập phương với 9 hạt nhân, bao gồm 1 hạt nhân Os ở trung tâm và 8 hạt nhân F tại các đỉnh Cấu hình không gian này giữ nguyên khi thực hiện các phép quay, phản chiếu hoặc nghịch đảo không gian, khiến hình lập phương trùng với chính nó.
Những phép biến đổi này là những phần tử của nhóm O(3) và làm thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng của phân tử Os F 8 Định nghĩa:
Tập hợp các phần tử của nhóm trực giao 3 chiều O(3) tạo thành một cấu hình hạt nhân trùng với chính nó, từ đó hình thành nên nhóm đối xứng của phân tử.
Ta hãy nghiên cứu một số ví dụ về nhóm đối xứng:
1 4.1 Nhóm C n : Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình tháp đều đáy có n cạnh trùng với chính nó
Ví dụ: Phân tử C 2 H 3 Cl 3 có cấu hình không gian sau:
Các phân tử H₂ và Cl₂ có cấu hình không gian hình tròn, với vị trí của mỗi phân tử trên đường tròn cách đều nhau 120 độ Đường thẳng đi qua hai hạt nhân C tạo thành trục đối xứng Khi quay phân tử C₂H₃Cl₃ quanh trục đối xứng với góc 120 độ, phân tử sẽ trùng khớp với hình dạng ban đầu.
Nh- vậy, nhóm này thuộc loại C n nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n=3 và là nhóm đối xứng C 3
Trục quay của nhóm kí hiệu là C n , gọi là trục đối xứng và đ-ợc vẽ thẳng đứng C 3 = g(
Là nhóm gồm tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm hình tháp đều đáy có n cạnh trùng với chính nó
Phần tử đối xứng : Một trục C n và n mặt thẳng đứng cách đều nhau
Ví dụ: Phân tử n-ớc H 2 O có nhóm đối xứng gồm các phần tử của nhóm
C 2 có một trục đối xứng hạng 2 và hai mặt phẳng phản chiếu thẳng đứng đi qua trục này, trục đi qua điểm O và tâm điểm hai H, đồng thời chúng vuông góc với nhau.
Nhóm này gọi là nhóm C 2v
Các phần tử của nhóm C 2v :
Nhóm đối xứng của phân tử C 2 H 2 Cl 2 là cũng là nhóm C 2v
Phân tử CH3Cl có cấu trúc đối xứng với một trục bậc 3 và ba mặt đối xứng thẳng đứng phân bố đều, mỗi mặt đi qua nguyên tử carbon (C), clo (Cl) và một nguyên tử hydro (H) Nhóm đối xứng này được gọi là nhóm C3v.
1.4 3 Nhóm C nh : Là tích trực tiếp các nhóm: C nh = C n C s
Kí hiệu h là chỉ phép phản chiếu qua mặt phẳng ngang vuông góc với trục C n của nhóm C n Bản thân mặt phẳng ngang này cũng kí hiệu là h
Khi n=2p (là số chẵn) có thể chứng minh rằng:
Phân tử C 2 H 2 Cl 2 có nhóm đối xứng là nhóm C 2h , trong đó h là mặt phẳng của phân tử Do
C 2h = C 2 C i ; C i ={e, I} và do C 2 I = h nên ta có: C 2h = {e, C 2 , I, C 2 I = h )
1.4 4 Nhóm D n : Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình lăng trụ đều n cạnh trùng với chính nó
Phần tử đối xứng là : Một trục C n và n trục C 2 vuông góc với C n và cách đều nhau
1.4.5 Nhóm D nh : Là nhóm gồm tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm hình lăng trụ đều đáy n cạnh trùng với chính nó
Phần tử đối xứng: Một trục C n và n trục C 2 vuông góc với C n và cách đều nhau Ngoài ra nhóm này còn có một mặt đối xứng
Từ các phần tử đối xứng này kéo theo có n mặt đối xứng h t-ơng ứng đi qua các trục C 2
Khi n =2p dễ thấy nhóm có chứa phân tử I, ta đ-ợc:
Ví dụ: Phân tử C 2 H 6 có các trục đối xứng của nhóm D 3 và ba mặt phẳng thẳng đứng t cách đều xen kẽ nhau Nhóm đối xứng này gọi là D 3h
1.4.6 Nhóm T : Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình tứ diện đều trùng với chính nó
Phần tử đối xứng: 4 trục C 3 đi qua một đỉnh và tâm điểm của mặt đối diện
3 trục C 2 đi qua trung điểm các cạnh đối diện Nhóm có 12 phần tử
1.4.7 Nhóm T d : Tập hợp tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm tứ diện đều trùng với chính nó làm thành một nhóm gọi là nhóm T d Nhóm có 24 phần tử
Phần tử đối xứng gồm 4 trục C 3 đi qua 1 đỉnh và tâm điểm của mặt đối diện
3 trục C 2 đi qua trung điểm các cạnh đối diện
6 mặt phản chiếu đi qua 1 cạnh và trung điểm của cạnh đối diện( 6 phép phản chiếu qua 6 mặt phẳng t-ơng đ-ơng)
Nhóm T d là nhóm đối xứng của các phân tử tứ diện
Ví dụ: Phân tử CH 4 thuộc nhóm đối xứng này
1.4.8 Nhóm T h : Là tích trực tiếp 2 nhóm T và nhóm C i : T h =T C i
Nhóm O bao gồm tất cả các phép quay giúp hình lập phương trùng với chính nó Trong nhóm này, có 3 trục C4 đi qua các mặt đối diện, 4 trục C3 đi qua các đỉnh đối diện và 6 trục C2 đi qua các cạnh đối diện.
1.4.10 Nhóm O h : Là nhóm gồm tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm hình lập ph-ơng trùng với chính nó Có thể chứng tỏ đ-ợc: O h = O C i Nhóm O h có 48 phần tử.
Nhóm đối xứng S N 14
Một nhóm có vai trò rất quan trọng trong bài toán hệ nhiều hạt đồng nhất là nhóm đối xứng S N
Nhóm đối xứng, ký hiệu là S N, được định nghĩa cho một tập hợp N vật: 1, 2,…, N Tập hợp này bao gồm tất cả các hoán vị của N vật, với phép nhân được hiểu là thực hiện các hoán vị liên tiếp nhau.
Các phần tử của nhóm có thể kí hiệu nh- sau:
2 1 nghĩa là : Vật 1 biến thành p 1
Vật N biến thành p N Đơn vị e là phép hoán vị để nguyên mọi vật:
Nhóm S N là nhóm hữu hạn, không giao hoán, cấp của nhóm là N!
Ví dụ nhóm S 3 gồm sáu phần tử e =
Phép nhân nhóm là phép hoán vị liên tiếp, ta có: p 1 p 2 =
Ta có thể viết nhóm bằng nhiều cách:
Chuyển vị là một khái niệm trong lý thuyết nhóm, cụ thể là trong các hoán vị của nhóm đối xứng S N, nơi chỉ có hai vật được đổi chỗ với nhau Ví dụ, các phép hoán vị trong nhóm này minh họa rõ ràng cho khái niệm chuyển vị.
Mọi phép hoán vị đều có thể viết d-ới dạng tích của nhiều chuyển vị, ta thấy rằng:
Trong phân tích này, do các chuyển vị khác nhau chia sẻ một phần tử chung (P1), việc sắp xếp đúng thứ tự các chuyển vị trong biểu thức phân tích là rất quan trọng.
Tất cả các hoán vị đều có thể phân tích thành tích nhiều chuyển vị
Một hoán vị gồm một số chẵn chuyển vị gọi là hoán vị chẵn
Một hoán vị gồm một số lẻ chuyển vị gọi là hoán vị lẻ
1.5.3 Sơ đồ Young : Ta phân tích số nguyên N thành tổng có dạng:
N = n 1 + n 2 +….+n N n i là số nguyên d-ơng với n 1 n 2 … n N
Sau đó lấy N ô xếp thành bảng nh- sau:
Với: n 1 ô ở hàng thứ nhất n 2 ô ở hàng thứ 2 n 3 ô ở hàng thứ 3
Các sơ đồ ta thu đ-ợc t-ơng ứng với những biểu thức phân tích khác nhau nh- thế gọi là sơ đồ Young của nhóm S N
{n 1 , n 2 , …, n N } gọi là đặc biểu của Sơ đồ Young
Ví dụ: Với N=3 ta có các sơ đồ Young sau: n 1 = 3 n 1 = 2 n 1 = 1 n = n = 0 n = 1 n = 1 n 3 = 0 n 3 = 1
Khi điền các số 1, 2, 3, …, n vào các ô của sơ đồ Young ta đ-ợc những bảng gọi là bảng Young của nhóm S N
Một sơ đồ Young có thể cho nhiều bảng Young khác nhau
Ví dụ nh-: với sơ đồ Young {2,1} ta có bảng Young sau:
Một bảng Young được gọi là chuẩn khi các số trong bảng tăng dần từ trái sang phải và từ trên xuống dưới Những bảng Young này được biết đến với tên gọi bảng Young chuẩn.
1.5.5 Toán tử Young (đối xứng hóa tử Young)
Trong một bảng Young, các hoán vị trong mỗi hàng được gọi là hoán vị ngang, ký hiệu là p, trong khi các hoán vị trong mỗi cột được gọi là hoán vị dọc, ký hiệu là q Để tính toán, ta lập tổng tất cả các hoán vị ngang theo từng hàng và sau đó lấy tích của các tổng này, kết quả thu được được ký hiệu là P.
Mặt khác có thể lập tích Q các tổng hoán vị trong mỗi hàng của bảng
Young, gọi là hoán vị dọc và ký hiệu là q mỗi hoán vị nhân với
q = 1 nếu hoán vị là chẵn, q = -1 nếu hoán vị là lẻ
L-ợng Y = Q.P gọi là toán tử Young
Chẳng hạn với bảng Young đang xét:
1.5.6 Sơ đồ Young liên hợp
Hai sơ đồ Young được gọi là liên hợp nếu các hàng của sơ đồ này tương ứng với các cột của sơ đồ kia Tương tự, đối với bảng Young, sự liên hợp cũng diễn ra như vậy Một số sơ đồ Young trùng với liên hợp của chính nó được gọi là tự liên hợp Ví dụ như:
1, Hai sơ đồ {3, 1} và {2,1 2 } liên hợp với nhau
2, Hai bảng Young sau liên hợp với nhau:
Líp 18
1.6.1 Phép nhân lớp đối với các biểu diễn nhóm điểm
Cho một nhóm G, chọn một phần tử g thuộc G Ta xét tập hợp các phần tử có dạng g' = xgx⁻¹, với x là một phần tử trong G Tập hợp này được gọi là lớp chứa g, ký hiệu là [g], trong đó g là đại diện của lớp Mọi phần tử trong lớp đều có thể đại diện cho lớp này Phần tử g' được gọi là liên hợp của g bởi x, và g là liên hợp của g' bởi x⁻¹ Do đó, lớp chứa những phần tử liên hợp với nhau.
Phần tử đơn vị luôn làm thành một lớp
Trong các nhóm giao hoán, ta có mối quan hệ xgx -1 = g(xx -1 ) = ge = g, cho thấy mỗi phần tử của nhóm tạo thành một lớp Số lớp của nhóm giao hoán tương ứng với cấp của nhóm, do đó nhóm C_n có n lớp.
1.6.2 Phép phân lớp đối với các nhóm điểm: Đối với các nhóm điểm, ng-ời ta chứng minh đ-ợc các quy tắc phân lớp sau:
Những phép phản chiếu thuộc cùng một lớp khi các mặt phẳng phản chiếu có thể trùng nhau nhờ các phần tử trong nhóm, được gọi là mặt phản chiếu tương đương.
Những phép quay thuộc cùng một lớp có cùng góc quay và trục quay có thể trùng nhau thông qua các phần tử trong nhóm được gọi là trục quay tương đương.
Các phần tử nghịch đảo có thể thuộc cùng một lớp nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện: Thứ nhất, tồn tại một trục C2 vuông góc với trục Cn Thứ hai, có mặt phẳng σ đi qua trục Cn.
Thỏa mãn tr-ờng hợp a, có nhóm D n , D nd , D nh …
Thỏa mãn tr-ờng hợp b, có nhóm C nv , D nd ,T d …
Các trục quay có tính chất trên gọi là trục hai phía Còn các trục không có tính chất đó gọi là trục một phía
Ví dụ: nhóm C 3v có trục C 3 là trục hai phía, các lớp của nhóm là: e ; {C 3 , C 3 2 } ; { v , v , , v ,, }
Vì ba mặt phẳng là t-ơng đ-ơng với nhau( trùng với nhau bởi những phép quay C 3 và C 3 2 của nhóm) Kí hiệu là : C 3v = {e, 2C 3 , 3 } Các chỉ số
2, 3 chỉ số phần tử của các lớp thứ hai và thứ ba.
Tính đồng cấu và đẳng cấu giữa các nhóm 19
Các phần tử thuộc các nhóm khác nhau có thể có bản chất vật lý đa dạng, như ma trận, phép quay, hoán vị hay con số Tuy nhiên, nhiều nhóm với phần tử khác nhau có thể có cấu trúc tương đồng, ví dụ như có bảng nhóm giống nhau Điều này có nghĩa là các phần tử ở những vị trí tương tự trong các bảng nhóm sẽ tương ứng với nhau.
Cho hai nhóm G và G' Mọi ánh xạ f từ G vào G': g g’= f(g) giữa các phần tử của nhóm g G và g’ G’ Thỏa mãn điều kiện f(g 1 g 2 ) = g 1 'g 2 ' = f(g 1 )f(g 2 ) víi g 1 , g 2 thuéc G; g 1 ' , g 2 ' thuéc G'
Thì nhóm G' gọi là đồng cấu với nhóm G Hay còn gọi là phép đồng cấu từ G vào G'
Nếu ánh xạ f là một đối một, hai nhóm G và G' sẽ được coi là đẳng cấu với nhau, tức là phép đồng cấu trở thành phép đẳng cấu Điều này được ký hiệu là G ~ G'.
Đẳng thức f(e) = e' thể hiện mối quan hệ giữa đơn vị của nhóm G và đơn vị của nhóm G' Các nhóm hữu hạn đẳng cấu không chỉ có cấp giống nhau mà còn có bảng nhóm tương tự nhau.
Trong phương diện đại số, các nhóm đẳng cấu được coi là tương đương với nhau Các định lý đại số áp dụng cho các nhóm này cũng có tính chất tương đồng.
1.7.2.1 Các nhóm C i , C 2 , C s và S 2 là đẳng cấu với nhau vì chúng có bảng nhãm gièng nhau e I e C 2 e e (1, 2)
1.6.2.2 Nhóm C 3 và Z 3 đẳng cấu với nhau e C 3 C 3 2 e 2
Một số định nghĩa 21
Định nghĩa 1: Trong vật lý lý thuyết nhóm đ-ợc thâm nhập vào các bài toán cụ thể qua lý thuyết biểu diễn của nhóm
Cho G là một nhóm và một nhóm ma trận D nào đó Nếu với mọi phần tử của
G: g G sẽ có một ma trận D(g) thuộc D sao cho [1]:
D(e) = I (I ma trận đơn vị của nhóm D)
Thì tập D gọi là biểu diễn của nhóm G Hay Nếu nhóm G đồng cấu với một nhóm ma trận D thì D gọi là biểu diễn của G
Các ma trận thường được sử dụng để thực hiện các phép biểu diễn trong các không gian tuyến tính Chiều của không gian tuyến tính này được gọi là chiều không gian biểu diễn, hay còn gọi là cấp của ma trận Nếu D = {1}, thì
Biểu diễn đơn vị được định nghĩa là D(g) = 1 cho mọi phần tử g thuộc nhóm G Mọi nhóm đều sở hữu ít nhất một biểu diễn đơn vị Định nghĩa 3 đề cập đến khái niệm biểu diễn toán tử.
Cho M = {q} là không gian tuyến tính, và L là tập hợp các hàm (q) sao cho nếu (q) thuộc L thì (gq) cũng thuộc L Biến đổi được gọi là phép biến đổi bất biến của không gian L.
Ký hiệu T g là một toán tử với định nghĩa:
T g (gq) = (gq) (2.1.2) sẽ là một toán tử tác động trong không gian L Theo (2.1.2) ta có:
Nh-ng ta lại có:
So sánh hai đẳng thức cuối cùng ta có:
Theo định nghĩa, các toán tử T tạo thành một biểu diễn của nhóm trong không gian (q), được gọi là biểu diễn toán tử Biểu diễn này đóng vai trò quan trọng trong các bài toán vật lý sau này.
Ví dụ về biểu diễn của nhóm D 3
Ta hãy xây dựng một biểu diễn của nhóm D 3 Nhóm D 3 có bảng nhóm
Nhóm này có các biểu diễn sau: a, Biểu diễn đơn vị: D 1 ={1} b, BiÓu ®iÔn cÊp 1: D 2 ={1, -1} a, b, c D(a) = D(b) = D(c) = -1 f, d D(f) = D(d) = 1 c, BiÓu diÔn ma trËn:
Đặc biểu 22
Nếu ta biến đổi cơ sở trong không gian biểu diễn : ’ = S, theo lý thuyết đại số các ma trận biểu diễn sẽ biến đổi theo qui luật:
D(g) D’(g) = SD(g)S -1 (2.2.1) Nh- vËy, ta cã:
D’(gh) = SD(gh)S -1 = SD(g)D(h)S -1 = SD(g)S -1 SD(h) S -1 = D’(g)D’(h)
Các ma trận D’ tạo thành một biểu diễn khác của G, được gọi là biểu diễn tương đương với biểu diễn D Hai biểu diễn được coi là tương đương khi chúng có phép biến đổi tương đương.
Đặc biểu của biểu diễn được xác định bởi SpD(g) = Sp D’(g) = inv Đại lượng được xác định là (g’) = SpD(g), và nó được gọi là đặc biểu của biểu diễn Các phần tử liên hợp trong cùng một lớp của nhóm sẽ có cùng một đặc biểu.
(g’) = SpD(g’) = SpD(xgx -1 ) =Sp(D(xx -1 )D(g)) = SpD(g) = (g)
Lấy nhóm D 3 làm ví dụ Nhóm này có 3 lớp
Trong biểu diễn D 1 các đặc biểu lần l-ợt là: {1, 1, 1}
Trong biểu diễn D 2 các đặc biểu lần l-ợt là: {1, -1, 1}
Trong biểu diễn D 3 các đặc biểu lần l-ợt là: {2, 0, -1}
Các bổ đề Schur 23
Khi làm việc với một nhóm cho sẵn, có thể tồn tại nhiều cách biểu diễn khác nhau Điều quan trọng là xác định xem các biểu diễn này có thể phân tách thành các thành phần "đơn giản" hay không Ký hiệu D = {D(g)}, với g thuộc G, đại diện cho ma trận biểu diễn của nhóm G Bằng cách lựa chọn hệ cơ sở phù hợp, ta có thể chuyển ma trận D(g) về dạng gần chéo.
Trong đó, ma trận khối D(g) thể hiện một nhóm và nếu D(g) không thể giản lược về dạng tối giản (chỉ chứa một biểu diễn), thì được gọi là biểu diễn bất khả quy Ngược lại, nếu D(g) chứa nhiều biểu diễn, thì được gọi là biểu diễn khả quy Thông thường, biểu diễn này được viết một cách cụ thể.
a D trong đó các số a ( nguyên, không âm) cho ta biết bao nhiêu lần biểu diễn D chứa trong biểu diễn D(g)
Vấn đề chính của lý thuyết nhóm gồm các bài toán:
Tìm các biểu diễn bất khả quy của một nhóm
Tiêu chuẩn biểu diễn bất khả quy
Chiều không gian biểu diễn
Phân tích một biểu diễn khả quy thành tổng trực tiếp các biểu diễn bất khả quy
Các vấn đề đó chỉ có thể giải quyết với hai bổ đề của Schur
Các bổ đề của Schur
Bổ đề 1 Cho một nhóm G và một biểu diễn bất khả quy D của nhóm Mọi toán tử A giao hoán với D :
A D (g) = D (g)A cho mọi g G sẽ là bội của toán tử ma trận đơn vị A = I
Bổ đề 2 Cho một nhóm G và hai biểu diễn bất khả quy không t-ơng đ-ơng với nhau D và D ( ) Mọi toán tử A có tính chất
Các hệ thức trực giao 24
Hệ thức trực giao loại một : Giả sử D và D một biểu diễn bất khả quy nào đó của nhóm G chúng phải thoả mãn hệ thức:
G lm kj (2.4.1) trong đó G là cấp của nhóm
Nếu lấy vết (Sp) của (2.4.1) ta có dạng khác của hệ thức trực giao loại mét:
Từ hệ thức trực giao loại một, ta có thể rút ra các định lý quan trọng, trong đó Định lý 1 nêu rõ cách đặc biểu các biểu diễn bất khả quy của nhóm thỏa mãn các hệ thức.
p * p g p =G (2.4.3) trong đó s là số lớp của nhóm, g p là số phần tử của lớp p
Hệ thức trực giao loại hai Đặc biểu các biểu diễn bất khả quy của nhóm thoả mãn hệ thức
p * q g p = G (2.4.4) trong đó s’ l¯ số biểu diễn bất kh° quy của nhóm
Từ (2.4.4) ta có kết quả sau:
Số biểu diễn bất khả quy bằng số lớp của nhóm s = s’
Các hệ thức này cho phép xác định cấu trúc của một nhóm hữu hạn Bằng cách lấy vết hai vế từ phương trình (2.4.1) và áp dụng hệ thức trực giao, ta có thể đạt được kết quả là a μ = ∑.
Từ đó ta có tiêu chuẩn bất khả quy: Đặc biểu của biểu diễn bất khả quy D thoả mãn điều kiện sau:
Bài toán hạ cảm 25
Về mặt lý luận, cũng nh- vận dụng, một vấn đề quan trọng là bài toán hạ cảm với nội dung sau:
Cho một nhóm G và một nhóm con G’ của nó, với G là nhóm O(3) và G’ là một nhóm điểm Ta ký hiệu D là một biểu diễn bất khả quy của nhóm G Nếu trong các ma trận D = {D(g)}, ta chỉ xem xét các phần tử g thuộc nhóm G.
Biểu diễn hạn chế trên nhóm con G’ là một biểu diễn của nhóm con này, và nó thường được coi là khả quy Bài toán hạ cảm liên quan đến việc tìm cấu trúc của biểu diễn hạn chế dựa trên các biểu diễn bất khả quy của nhóm con G’.
Trong đó: D là các biểu diễn bất khả quy của nhóm con
Cho G = T và G’ = C 3 và chọn lấy biểu diễn bất khả quy của D của nhóm
Bảng đặc biểu của T và C 3
Theo bảng đặc biểu, các phần tử C3 và C32 thuộc nhóm C3 được xác định tại cột thứ 3 và thứ 4 của bảng nhóm T Điều này cho thấy bảng đặc biểu hạn chế của biểu diễn có sự phân bố rõ ràng trong các cột tương ứng.
Biểu diễn một chiều a liên hợp phức của nhóm này được gộp lại thành biểu diễn ε có chiều gấp đôi, với đặc điểm là 2, -1.
Biểu diễn bất khả quy ba chiều F của nhóm T chuyển thành biểu diễn bất khả quy của nhóm C3, và được phân thành tổng trực tiếp của các biểu diễn một chiều a và ε.
Một số bài toán vật lý với ph-ơng pháp nhóm 3.1 Ph-ơng pháp sơ đồ Young và các trạng thái spin theo liên kÕt L- S
Do spin S bảo toàn nên các trạng thái là các hàm riêng của toán tử S 2 và
Số trạng thái tương ứng với một giá trị S là (2S + 1) Để xác định các trạng thái này, có hai phương pháp giải sử dụng lý thuyết nhóm.
Ph-ơng pháp dùng các toán tử Young của nhóm đối xứng S N
Ph-ơng pháp dùng các hệ số Clebsh-Gordan
Trong phần này, chúng ta chỉ tập trung vào phương pháp đầu tiên vì tính đơn giản và trực quan của nó Qua mối liên hệ giữa các phép biểu diễn của nhóm đối xứng S N và nhóm SO(3), ta nhận thấy rằng bài toán xác định các trạng thái S 3 có thể được giải quyết thông qua các toán tử Young.
Y= QP Để cụ thể hơn, ta lấy nhóm S 3 , tức là N=3 và chọn toán tử Young t-ơng ứng với bản Young sau:
Bây giờ ta chọn một hàm (1,2,3) tuỳ ý nào đó và toán tử Young tác dụng lên hàm này đ-ợc định nghĩa nh- sau: a, Tác dụng của từng hoán vị: p =
3 2 1 p p p S 3 lên hàm (1,2,3) định nghĩa là: P (1,2,3) = (p 1 ,p 2 ,p 3 )
Chẳng hạn là: (1,2,3) (1,2,3) = (2,3,1) b, Tác dụng của tổng nhiều hoán vị p lên hàm (1,2,3) định nghĩa là:
Chẳng hạn với toán tử trên ta đ-ợc:
Nếu ta chọn là hàm Spin của hệ: = (1,2, ,N)
Khi áp dụng toán tử Young tương ứng với một bảng Young lên hàm theo định nghĩa đã nêu, chúng ta sẽ nhận được một hàm mới có chuẩn khác đơn vị.
Chúng ta chuẩn hóa hàm bằng cách nhân với một hệ số nhất định, sau đó ký hiệu kết quả đã được chuẩn hóa bằng bảng Young.
Theo lý thuyết nhóm, các trạng thái Spin của hệ hạt có Spin bằng 1/2 sẽ tương ứng với các bảng Young chuẩn, mang lại những tính chất đặc trưng.
Các sơ đồ Young t-ơng ứng chứa N ô
Các sơ đồ Young t-ơng ứng có không quá hai hàng
Giá trị của Spin S là: S = (m 1 - m 2 )/2 trong đó: m 1 là số ô của hàng thứ nhất m 2 là số ô của hàng thứ hai
Các trạng thái S 3 là t-ơng ứng với những tổ hợp khác nhau giữa các
S a3 : v thành phần thứ 3 của véc tơ Spin S a
Hệ gồm hai hạt với N=2 cho thấy các hàm Spin chỉ có tối đa hai hàng và hai ô Do đó, chỉ có hai khả năng xảy ra trong hệ thống này.
Với các m sa = S a3 Ta có các tổ hợp: m s1 = m s2 =
Với khả năng (1) và các tổ hợp (3), (4) và (5) ta có:
3 s2 s1 Đó là 3 trạng thái Spin S= 1, 0, -1 t-ơng ứng với Spin S =1
Với khả năng (2) ta có:
Trong tr-ờng hợp này, các tổ hợp (3) và (4) đều cho các kết quả bằng 0
Nguyên lý loại trừ Pauli và hàm sóng không gian theo liên kết L-S 30
3.2.1 Các quy tắc cơ bản về hàm sóng
Trong hàm sóng không gian, xét hệ electron đồng nhất nh- nhau nên cần tuân theo nguyên lí loại trừ Pauli, hàm sóng toàn phần:
= (1, 2, 3, , N)(1, 2, 3, , N) phải là hàm phản xứng đối với mọi hoán vị 2 hạt với nhau
Chúng ta giới hạn trong tr-ờng hợp tất cả các hạt đồng nhất đều có cùng mômen quỹ đạo nh- nhau: l 1 = l 2 = l 3 =…= l N = l
Nh- vậy, theo lí thuyết nhóm , ng-ời ta chứng minh đ-ợc quy tắc sau:
Quy tắc 1: Nếu hàm sóng Spin tương ứng với một sơ đồ Young nhất định, thì hàm sóng không gian sẽ là sơ đồ Young liên hợp với sơ đồ đó.
Quy tắc 2 : Các sơ đồ Young cho các hàm sóng không gian có không quá
Nh- vậy, từ quy tắc này và từ các sơ đồ Young của các hàm sóng Spin có không quá hai hàng và (2l+1) cột
Ta biết rằng có thể xác định giá trị của S từ sơ đồ Young theo công thức:
Công thức S = (m1 - m2) / 2 được sử dụng để tính toán trong các sơ đồ Young của các hàm không gian Việc xác định các giá trị t-ơng ứng trong trường hợp này trở nên phức tạp hơn Các kết quả đã được chứng minh cho thấy rằng l = 1.
N Sơ đồ Young Các giá trị của L
Ví dụ: Giả sử có hai hạt, N=2 thuộc cấu hình np 2 , tức là
Giả sử hàm sóng là đối xứng, t-ơng ứng với sơ đồ Young:
Ta lập các cặp (m 1 ,m 2 ) khả dĩ và lập tổng M L = m 1 + m 2 :
0 Nhìn vào bảng giá trị trên cho thấy :
Hàm sóng không gian tương ứng với sơ đồ Young đối xứng có các giá trị M L = 2, 1, 0, -1, -2 cho L = 2 và giá trị M L = 0 cho L = 0 Trong trường hợp xét l1 = l2 = 1, rõ ràng có hai giá trị L là 0 và 2.
Xét ví dụ khác là cho N = 3 và cấu hình nd 3 , tức là: l 1 = l 2 = l 3 = 2 ; m 1 ,m 2 , m 3 = 2, 1, 0, -1 ,-2
Giả sử hàm sóng không gian là phản xứng, tương ứng với sơ đồ Young, hàm sóng sẽ khác 0 và các chỉ số m1, m2, m3 chỉ có thể nhận các giá trị khác nhau.
Bảng giá trị cho thấy : Do M L = 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3 t-ơng ứng L =3 và M L
= 1, 0, -1 ứng với L =1 nên ta thấy rằng sơ đồ Young ở trên cho hai giá trị L
Quy tắc đa tuyến Hunde áp dụng cho cấu hình cụ thể của tập hợp electron với nhiều mức năng lượng khác nhau Để sắp xếp các mức năng lượng, bao gồm cả mức năng lượng cơ bản, chúng ta dựa vào thực nghiệm Theo đó, Hunde đã đề xuất quy tắc này để hướng dẫn việc phân bố electron trong các mức năng lượng.
- Với một cấu hình nhất định, trạng thái có S lớn nhất là trạng thái có năng l-ợng thấp nhất
- Với 2 trạng thái có cùng S, trạng thái nào có L lớn nhất là trạng thái có mức năng l-ợng thấp nhất
- Để sắp xếp các mức năng l-ợng theo J , ta chia cấu hình thành 2 loại:
Electron t-ơng đ-ơng là những electron có cùng cấu hình (ne) N và mô men l, với số lượng khả dĩ là 2(2l =1) Khi số electron t-ơng đ-ơng này nhỏ hơn nửa tổng số electron t-ơng đ-ơng khả dĩ, nó được gọi là cấu hình bình thường.
Loại có electron t-ơng đ-ơng lớn hơn nửa tổng số electron t-ơng đ-ơng khả dĩ gọi là cấu hình khả dĩ
Trong các cấu hình bình thường, mức năng lượng của electron tăng theo đơn vị joule (J), trong khi ở các cấu hình đảo ngược, mức năng lượng giảm theo joule Để làm rõ hai khái niệm này, chúng ta có thể xem xét ví dụ về electron tương đương và electron tương đương khả dĩ.
Hệ 2 electron ở trạng thái n1 = n2 = 1 và l1 = l2 = 1 tương ứng với cấu hình 1p² Hai electron này có cùng trạng thái với l bằng nhau Tuy nhiên, khi l = 1, có 3 giá trị m là 1, 0 và -1, và mỗi giá trị m này tương ứng với 2 giá trị spin S là 1/2 và -1/2, dẫn đến tổng số electron khả dĩ là 6 Do đó, trạng thái của cặp electron này được coi là một cấu hình bình thường.
Cấu hình electron 2p4 có 4 electron tương đương, trong khi số electron tương đương khả dĩ là 6 Do đó, cấu hình này được xem là một cấu hình đảo ngược.
Dựa vào quy tắc các sơ đồ Young, bảng giá trị tương ứng và quy tắc Hunde, chúng ta có thể xác định trạng thái cơ bản cùng với các trạng thái năng lượng khác theo thứ tự tăng dần của năng lượng nguyên tử.
Xét trạng thái của một số nguyên tố: a) Nguyên tố H với cấu hình 1S, tức là L= l= 0; S = s = 1/2; J=1/2
Vậy trạng thái cơ bản : 2 S 1/2 b) Nguyên tố He với cấu hình 1S 2 , tức là N =2 ta có: l 1 =l 2 =0 , L= 0
Theo quy tắc về sơ đồ Young, khi \( l_1 = l_2 = l = 0 \), các sơ đồ Young tương ứng với hàm spin không quá \( 2l + 1 = 1 \) cột, chỉ có một khả năng duy nhất về hàm spin Xét nguyên tố Li với cấu hình \( 1S^2 2S \), các electron trong cấu hình \( 1S^2 \) có \( L = 0, S = 0 \) tạo thành vỏ kín, do đó chỉ cần xem xét electron ngoài cùng trong cấu hình \( 2S \), dẫn đến trạng thái cơ bản \( 2S_{1/2} \) Đối với nguyên tố Be với cấu hình \( 1S^2 2S^2 \), các electron trong \( 1S^2 \) cũng tạo thành vỏ kín, chỉ cần xét cấu hình \( 2S^2 \), cho ra trạng thái cơ bản \( 1S_0 \) Cuối cùng, với nguyên tố B có cấu hình \( 1S^2 2S^2 2P \), các electron trong \( 1S^2 2S^2 \) tạo thành vỏ kín, chỉ còn lại electron ở trạng thái \( 2P \) với \( L = l = 1, S = s = 1/2 \), dẫn đến các giá trị \( J = 3/2, 1/2 \).
Trong trạng thái 2P, nguyên tử có khả năng chứa tối đa 6 electron, cho thấy đây là một trạng thái bình thường Theo quy tắc Hund về đa tuyến, mức năng lượng được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau:
3.3 T-ơng tác giữa hệ vi mô với bức xạ điện từ
3.3.1 T-ơng tác giữa sóng điện từ với các hạt vi mô
Các nguyên tử và phân tử là các trung tâm bức xạ và hấp thụ sóng điện từ, chuyển từ trạng thái lượng tử n sang trạng thái lượng tử m Do đó, việc tính xác suất chuyển dời giữa các trạng thái này là rất quan trọng.
Theo lý thuyết nhiễu loạn, ta có toán tử Hamiltonian dạng
Mc e (A, P) (3.3 1) là một hàm trường vectơ mô tả bức xạ điện từ Giả sử trường này là một sóng phẳng đơn sắc với vectơ sóng k và tần số ω, có dạng cụ thể.
Với Q 0 có giá trị không đổi và u là vectơ dọc theo ph-ơng không đổi của điện tr-ờng, vì rằng
Nh- thế toán tử Hamiltonian nhiễu loạn trong t-ơng tác của cấu tạo vật chất với sóng điện từ đơn sắc phẳng là:
3.3.2 Xác suất chuyển dời trạng thái
Theo lý thuyết ta có xác suất chuyển dời trạng thái đ-ợc tính theo công thức:
Vấn đề chính ở đây cần tính các phần tử ma trận trong công thức trên
Trong thực tế, các hạt vi mô có kích thước rất nhỏ, dẫn đến các hàm sóng |m > và |n > chỉ khác nhau khi r < a0, trong đó a0 là bán kính của Bohr Đối với bức xạ tử ngoại và ánh sáng nhìn thấy, điều này cho thấy sự khác biệt trong hành vi của các hạt này.
Thành thử, ta có các khai triển sau: exp (-ikr) = 1 ’ikr +
Từ đó, theo công thức (3.3.2), ta có thể viết:
|< m|W|n>| = W 1 mn - W 2 mn + víi W 1 mn = - cM
Mặt khác, ta có thể chứng minh: p = ih
+U(r) (3.3.5) Theo công thức trên, ta lại có:
< m|(u,r)|n> do H 0 | n> = E 0n | n > Cuối cùng ta có: