Các trạng thái phi cổ điển biến liên tục
Trạng thái kết hợp, được phát hiện bởi Schrodinger vào năm 1926, vẫn thuộc lớp các trạng thái cổ điển Đến năm 1970, Stoler đã giới thiệu trạng thái nén phi cổ điển đơn mode đầu tiên Trạng thái này được diễn đạt dưới một dạng cụ thể.
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu về toán tử nén Uˆ z = e (zˆ a 2 −z ∗ ˆ a †2 )/2, trong đó |zi = ˆU z |0i, với ˆa(ˆa †) là toán tử hủy (sinh) hạt của trường boson và |0i là trạng thái chân không Sự mở rộng lớp các trạng thái phi cổ điển đơn mode đã dẫn đến sự xuất hiện của nhiều trạng thái mới, như trạng thái kết hợp chẵn lẻ, trạng thái kết hợp thêm photon, và trạng thái kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng Mặc dù các trạng thái này thể hiện hiệu ứng phi cổ điển mạnh, nhưng ứng dụng của chúng còn hạn chế Do đó, nhiều trạng thái hai mode, đặc biệt là trạng thái kết hợp chồng chất hai mode, đã được nghiên cứu sâu hơn.
, (1.2) trong đó |α, αi ab và | −α,−αi ab là các trạng thái kết hợp hai mode a và b,
Hệ số chuẩn hóa N α thỏa mãn điều kiện bahψ|ψi ab = 1, cùng với các trạng thái chân không nén hai mode, trạng thái kết hợp cặp, trạng thái con mèo kết cặp điện tích phi tuyến, và trạng thái kết hợp điện tích chẵn và lẻ, đóng vai trò quan trọng trong ứng dụng thông tin và tính toán lượng tử nhờ vào tính chất đan rối giữa hai mode Để nâng cao độ đan rối trong các trạng thái hai mode, các phương pháp như thêm và/hoặc bớt photon đã được nghiên cứu, dẫn đến sự ra đời của các trạng thái mới như trạng thái kết hợp đan rối chẵn hai mode chồng chất thêm và bớt photon.
|Φi ab = N α,m,n 1/2 (t aˆa+r aˆa † ) m (t bˆb+r bˆb † ) n (|α, αi ab +| − α,−αi ab ), (1.3) trong đó N α,m,n 1/2 thỏa mãn điều kiện bahΦ|Φi ab = 1, r i , t i là các số phức và
Các trạng thái lượng tử như |r i| 2 +|t i| 2 = 1, với i ={a, b}, m và n là các số nguyên không âm, đã được nghiên cứu cùng với nhiều trạng thái khác như trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, trạng thái kết hợp cặp thêm photon, và trạng thái chân không nén hai mode Những trạng thái này cho thấy sự cải thiện đáng kể về độ phi cổ điển so với trạng thái gốc Hơn nữa, các phương pháp chống cất đan rối cũng đã nâng cao hiệu quả cho một số nhiệm vụ lượng tử.
Nhiệm vụ lượng tử mạng lưới yêu cầu sử dụng các nguồn đan rối đa mode, do đó, các trạng thái từ ba mode trở lên đã được nghiên cứu Một ví dụ điển hình là trạng thái ba mode kiểu W, được trình bày dưới dạng cụ thể.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày công thức cho trạng thái kết hợp ba mode a, b và c, được biểu diễn bởi phương trình W, αi abc = x|α,−α,−αi abc +y|−α, α,−αi abc +z|−α,−α, αi abc, với các hệ số thực x, y, z tuân theo điều kiện chuẩn hóa x² + y² + z² + 2e⁻⁴|α|²(xy + xz + yz) = 1 Ngoài ra, chúng tôi cũng đề cập đến một số trạng thái khác đã được nghiên cứu, bao gồm trạng thái chân không nén ba mode, trạng thái kết hợp bộ ba và bộ ba bậc hai.
[15], trạng thái ba mode kiểu Greenberger-Horne-Zeilinger [10], trạng thái kết hợp bộ ba phi tuyến [93] và trạng thái đa mode kiểu khóm [18].
Một số trạng thái cơ bản của tr-ờng boson
Trạng thái số hạt
Trạng thái cơ bản đầu tiên, hay trạng thái số hạt |ni (trạng thái Fock), đóng vai trò quan trọng trong các nhiệm vụ quang lượng tử hiện nay Nó được hình thành từ kết quả của việc lượng tử hóa trường boson lần thứ hai Trạng thái này được định nghĩa là trạng thái riêng của toán tử số hạt Nˆ, với các trị riêng là n.
Nˆ|ni =n|ni, (1.5) với n ={0,1,2, } và Nˆ = ˆa † ˆa Các trạng thái số hạt là trực chuẩn và đầy đủ, tức là hm|ni =δ mn và
Khi tác dụng nhiều lần lên trạng thái số hạt bằng toán tử sinh hoặc hủy, ta có thể biểu diễn nó dưới dạng ˆ a †k |ni = p(n+k)! với |ni là trạng thái cơ bản và ˆI là toán tử đơn vị Hàm delta Kronecker δ mn cũng đóng vai trò quan trọng trong các tính toán này.
√ n! |n+ki, (1.7) với k nguyên d-ơng, hoặc ˆ a k |ni √ p n!
|n−ki, (1.8) với 0 ≤ k ≤n Do đó hn|ˆa †m ˆa k |ni = n! p(n−m)!(n−k)!δ mk , (1.9) hn|ˆa k aˆ †m |ni p(n+k)!(n+m)! n! δ mk (1.10)
Do tính chất trực chuẩn và đầy đủ của các trạng thái số hạt, nhiều trạng thái phi cổ điển đã được phát triển từ các trạng thái này Việc tạo ra và ứng dụng các trạng thái này để tạo ra các trạng thái phi cổ điển khác trong thế giới vĩ mô đã được thực hiện Thậm chí, những trạng thái này đã được tạo ra từ sớm trong mạch lượng tử siêu dẫn.
Nghiên cứu về trạng thái số hạt đã cho phép thực hiện thao tác thêm photon vào các trạng thái phi cổ điển Gần đây, các biến đổi trên trạng thái số hạt cũng đã được khám phá, mở ra nhiều khả năng mới trong lĩnh vực này.
Trạng thái kết hợp
Trạng thái kết hợp của tr-ờng boson lần đầu tiên đ-ợc giới thiệu bởi Schrodinger [103], sau đó đ-ợc hoàn thiện bởi Glauber và Sudarshan [56],
[108] Nó đ-ợc định nghĩa theo một trong ba cách nh- sau:
• Trạng thái kết hợp đ-ợc tạo ra bởi tác dụng toán tử dịch chuyển
D(α) =ˆ e −αˆ a † +α ∗ ˆ a lên trạng thái chân không |0i, tức là
|αi = ˆD(α)|0i, (1.11) với α là một số phức.
• Trạng thái kết hợp là một trạng thái riêng của toán tử hủy boson aˆ với trị riêng α, nghĩa là ˆ a|αi = α|αi (1.12)
• Trạng thái kết hợp là trạng thái có quan hệ bất định cực tiểu
Trong bài viết này, phương sai của toán tử fˆ được xác định bằng công thức (∆ ˆf) 2 = hfˆ 2 i − hfˆi 2 Ký hiệu hã ã ã i đại diện cho trung bình lượng tử, trong khi qˆ và pˆ lần lượt là toán tử tọa độ và xung lượng, với ˆ q = 1.
Trạng thái kết hợp đ-ợc khai triển theo các trạng thái số hạt là
Hàm phân bố xác suất của sự kiện tìm thấy n photon trong trạng thái kết hợp đ-ợc xác định bởi
Hàm phân bố xác suất này đ-ợc gọi là phân bố Poisson và luôn nhận giá trị trong đoạn [0,1] Hàm này đạt cực đại tại n= |α| 2
Khác với trạng thái số hạt, các trạng thái kết hợp không trực giao nhau hβ|αi =e −(|α| 2 +|β| 2 −2β ∗ α)/2 6=δ αβ , (1.18) do đó
Do tính chất D(β) ˆˆ D(α) = e (βα ∗ −β ∗ α)/2 D(βˆ +α) nên khi tác dụng toán tử dịch chuyển lên một trạng thái kết hợp, ta nhận đ-ợc
D(β)ˆ |αi = ˆD(β) ˆD(α)|0i = e (βα ∗ −β ∗ α)/2 |β +αi (1.20) Điều này cho thấy toán tử D(β)ˆ đã làm dịch chuyển trạng thái |αi thành
|β+αi khi nó tác dụng lên Chú ý Dˆ † (α) = ˆD(−α), vì vậyDˆ † (α) ˆD(α) = ˆI. Trạng thái kết hợp thỏa mãn tính chất quá đủ sau đây
Trạng thái kết hợp được tạo ra trong quá trình sản xuất bức xạ laser và đã trở thành một phần quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ Ngoài ra, từ trạng thái kết hợp, có thể phát sinh nhiều trạng thái phi cổ điển, nổi bật như trạng thái kết hợp cặp và trạng thái kết hợp bộ ba.
Trạng thái kết hợp cặp
Trạng thái kết hợp cặp của trường boson được xác định bởi trạng thái riêng đồng thời của cặp toán tử hủy ˆaˆb và toán tử hiệu số hạt Nˆ b −Nˆ a, với trị riêng tương ứng χ và Q Cụ thể, các phương trình ˆ aˆb|Ψ Q i ab = χ|Ψ Q i ab và ( ˆN b −Nˆ a )|Ψ Q i ab = Q|Ψ p i ab mô tả mối quan hệ này, trong đó χ = |χ|e iφ, với φ là số thực và Q là số nguyên Giả sử số photon trong mode b không nhỏ hơn số photon trong mode a, điều này sẽ tương ứng với
Q ≥0 Khi khai triển theo các trạng thái số hạt, trạng thái kết hợp cặp đ-ợc cho bởi ph-ơng trình
|n, n+Qi ab , (1.24) với |n, n+Qi ab ≡ |ni a |n+Qi b là tích thông th-ờng của hai trạng thái Fock và hệ số chuẩn hóa N Q đ-ợc xác định là
|χ| 2n n!(n+Q)! =|χ| −Q I Q (2|χ|), (1.25) với I Q (x) là hàm Bessel biến đổi loại một có dạng
Hàm Wigner là hàm phân bố chuẩn xác suất của trạng thái kết hợp cặp Biểu thức của hàm này trong không gian pha khi χ = |χ| đã được trình bày rõ ràng.
(m!n!) 2 × 2 F 0(−m,−n; ;−1/|α| 2 )2 F 0(−m;−n; ;−1/|β| 2 ), (1.27) trong đó Q = 0, α =|α|e iϕ a vàβ = |β|e iϕ b , 2 F 0 đ-ợc ký hiệu cho một tr-ờng hợp riêng của hàm siêu bội dạng tổng quát P F Q (a 1 , , a P ;b 1 , , b Q ;x) là
Hàm Wigner của trạng thái kết hợp cặp có thể nhận giá trị âm trong một số miền của không gian pha, như được nêu bởi Agarwal [53] Điều này khác với các trạng thái cổ điển, trong đó hàm phân bố xác suất luôn nằm trong khoảng [0,1] Do đó, trạng thái kết hợp cặp được coi là một trạng thái phi cổ điển.
Viễn tải l-ợng tử thông qua trạng thái kết hợp cặp đã đ-ợc nghiên cứu
Trạng thái này có hạn chế trong việc thực hiện các nhiệm vụ như điều khiển viễn tải lượng tử và viễn tải lượng tử của trạng thái đan rối, do yêu cầu về nguồn đan rối cần phải có từ ba mode trở lên.
Trạng thái chân không nén hai mode
Mở rộng trạng thái chân không nén đơn mode đ-ợc cho nh- trong [107], chúng ta xét trạng thái chân không nén hai mode có dạng [92]
Trong bài viết này, chúng ta xem xét toán tử nén cho hai mode a và b, được biểu diễn bởi công thức |ri ab = ˆs ab |0,0i ab Toán tử nén sˆ ab được xác định bởi sˆ ab = e −rˆ a † ˆ b † +rˆ a ˆ b với tham số nén r thực Trạng thái chân không nén cho hai mode có thể được khai triển theo các trạng thái Fock.
X∞ n=0 λ n |n, ni ab , (1.30) vớiλ = tanhr Trạng thái chân không nén hai mode là một trạng thái Gauss.
Trạng thái phi cổ điển đã được nghiên cứu sâu về các tính chất của nó, bao gồm các phương pháp tăng cường độ phi cổ điển và quá trình viễn tải lượng tử.
Trạng thái kết hợp bộ ba
Nh- là một sự mở rộng từ trạng kết hợp cặp đ-ợc định nghĩa trong [6], với trạng thái kết hợp bộ ba của tr-ờng boson ba mode a, b và c Trạng thái này được mô tả như là trạng thái riêng đồng thời của tích bộ ba toán tử hủy ˆaˆbˆc và các toán tử hiệu số hạt Nˆb−Nˆa và Nˆc −Nˆb [15] Cụ thể, các phương trình liên quan đến trạng thái này bao gồm ˆ aˆbˆc|Ψ p,q i abc = ξ|Ψ p,q i abc, (1.31), ( ˆN b −Nˆ a )|Ψ p,q i abc = p|Ψ p,q i abc, (1.32), và ( ˆN c −Nˆb)|Ψp,qi abc = q|Ψp,qi abc, (1.33), trong đó ξ = re iφ, với r và φ là các số thực, còn p và q là các số nguyên Nếu giả sử rằng p, q ≥ 0, trạng thái kết hợp bộ ba có thể được khai triển theo các trạng thái số hạt.
|n, n+p, n+p+qi abc , (1.34) trong đó |n, n+p, n +p +qi abc ≡ |ni a |n+pi b |n+p+qi c và hệ số chuẩn hóa N p,q (r) đ-ợc xác định bởi
N p,q −2 (r) X∞ n=0 r 2n n!(n+p)!(n+p+q)! (1.35) Trạng thái kết hợp bộ ba đ-ợc viết trong dạng các trạng thái kết hợp là [15]
Tuy nhiên để cho gọn trong việc tính toán về sau, ta đặt c n (ξ) = N p,q (r)ξ n pn!(n+p)!(n+p +q)!, (1.37) trạng thái kết hợp bộ ba trong ph-ơng trình (1.34) trở thành
Trạng thái kết hợp bộ ba đã được nghiên cứu với nhiều tính chất phi cổ điển và có một số sơ đồ thực nghiệm được đề xuất để tạo ra trạng thái này Trong lĩnh vực thông tin lượng tử, trạng thái kết hợp bộ ba đã được áp dụng để thực hiện viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp, dựa trên giao thức của Janszky và cộng sự.
Các trạng thái thêm photon
Trạng thái kết hợp thêm photon
Trạng thái kết hợp được nghiên cứu từ phương trình (1.11), dẫn đến việc phát triển các phương pháp biến đổi trạng thái này Đặc biệt, trạng thái kết hợp với photon đơn mode được Agarwal và Tara giới thiệu lần đầu, thông qua việc bổ sung các photon vào trạng thái kết hợp Trạng thái này được định nghĩa rõ ràng trong nghiên cứu.
|α, mi = 1 pL m (−|α| 2 )m!ˆa †m |αi, (1.39) với m là số nguyên d-ơng và L m (−|α| 2 ) là đa thức Laguerre bậc m đ-ợc cho bởi ph-ơng trình d-ới đây
Trạng thái kết hợp là một khái niệm cổ điển, nhưng trạng thái kết hợp có thêm photon lại mang tính phi cổ điển Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện để khám phá các tính chất phi cổ điển trong trạng thái này.
[38], [46], [105] Thí nghiệm tạo ra trạng thái kết hợp thêm đơn photon bằng bộ chuyển đổi tham số cũng đã đ-ợc thực hiện từ rất sớm [120].
Một số trạng thái hai mode thêm photon
Dựa trên trạng thái kết hợp thêm photon được mô tả bởi phương trình (1.39), ta thực hiện việc thêm photon không định xứ vào trạng thái kết hợp của hai mode.
|αi a |βi b cũng đã đ-ợc nghiên cứu [63] Theo đó, trạng thái kết hợp hai mode thêm photon đ-ợc cho bởi
Trạng thái kết hợp hai mode |αi a |βi b không tạo ra sự đan rối, tuy nhiên, khi thêm photon vào trạng thái kết hợp này, nó sẽ trở thành trạng thái đan rối Điều này được thể hiện qua phương trình (1.41), cho thấy rằng trạng thái kết hợp hai mode với thêm photon không thể được biểu diễn dưới dạng tích tensor thông thường như (x|αi a +y|α,1i a )(z|βi b +t|β,1i b ).
Chúng ta sẽ khám phá các trạng thái phi cổ điển hai mode khi thêm các photon Đầu tiên, trạng thái chân không nén hai mode được mở rộng bằng cách thêm photon, được định nghĩa qua việc bổ sung photon định xứ lên trạng thái chân không nén hai mode |ri ab.
(n!) 2 N k,l cosh 2 r tanh n r|n+k, n+li ab , (1.42) trong đó hệ số chuẩn hóa N k,l = Trab ˆa †k ˆb †l |ri ab hr|aˆ k ˆb l
Trong nghiên cứu này, chúng tôi ký hiệu các mode a và b, với k và l là các số nguyên không âm đại diện cho số photon được thêm vào mỗi mode Kết quả cho thấy rằng độ đan rối trong trạng thái này tăng lên khi số photon thêm vào k và l tăng.
Chúng tôi nghiên cứu một trạng thái phi cổ điển hai mode mới, được hình thành từ việc thêm photon định xứ vào trạng thái phi cổ điển hai mode Trạng thái này là trạng thái nhiệt nén hai mode với công thức ˆρ = N m,n −1 ˆa †m b †n sˆ ab ρˆ nh1 ρˆ nh2 sˆ † ab ˆa m b n, trong đó m và n là số photon được thêm vào mỗi mode, với N m,n là hệ số chuẩn hóa đảm bảo điều kiện Trab(ˆρ) = 1 Toán tử nén hai mode ˆs ab và ρˆ nh1,2 là toán tử mật độ của trạng thái nhiệt đơn mode, với ˆρ nh1 = ˆρ nh2.
Kết quả khảo sát cho thấy rằng trạng thái nhiệt ρˆ nhj với số photon trung bình n ngày càng bị đan rối hơn khi số photon được thêm vào tăng lên Điều này cũng được xác nhận trong nhiều nghiên cứu khác liên quan đến tác động của việc thêm photon lên các trạng thái phi cổ điển hai mode.
Khi thêm photon vào một trạng thái cổ điển, trạng thái mới sẽ trở thành phi cổ điển Ngược lại, khi photon được thêm vào các trạng thái phi cổ điển, biểu hiện phi cổ điển trong các trạng thái mới sẽ trở nên rõ ràng hơn Do đó, việc thêm photon được coi là một kỹ thuật quan trọng để nâng cao độ phi cổ điển, đặc biệt là trong việc tăng cường độ đan rối.
Đến nay, nghiên cứu về việc thêm photon chủ yếu tập trung vào hai mode Trong luận án này, chúng tôi khám phá việc thêm photon vào trạng thái ba mode phi Gauss và đan rối kiểu pha-số hạt Theo kiến thức hiện có, vấn đề này chưa từng được thực hiện trước đây.
Một số tính chất của các trạng thái phi cổ điển
Hàm Wigner
Một hạt cổ điển được xác định bởi tọa độ q và xung lượng p, nhưng trong cơ học lượng tử, do nguyên lý bất định Heisenberg, việc mô tả hạt theo cách này không khả thi Thay vào đó, trạng thái của hạt được mô tả bằng hàm sóng ψ(q) trong phương trình Schrödinger Hàm sóng này liên quan đến phân bố xác suất trong không gian pha thông qua hàm Wigner.
Trong cơ học lượng tử, hàm Wigner có thể nhận các giá trị âm, điều này khác biệt so với các hàm phân bố xác suất trong cơ học cổ điển, vốn chỉ nằm trong khoảng [0,1] Sự xuất hiện của các giá trị âm trong hàm Wigner thể hiện tính phi cổ điển của nó, cho thấy sự khác biệt rõ rệt giữa hai lĩnh vực này Cặp biến tọa độ và xung lượng được ký hiệu là q và p, và hàm Wigner được xác định qua công thức toán học phức tạp, phản ánh bản chất phức tạp của các hệ lượng tử.
Việc tính tích phân của hàm Wigner theo phương trình (1.48) thường rất phức tạp Để đơn giản hóa quá trình tính toán, người ta thường sử dụng biểu diễn của hàm này dưới dạng các trung bình lượng tử.
K mode, hàm Wigner của trạng thái |ψi đ-ợc cho trong dạng [19]
Trong công thức Λ(αˆ 1 , α 2 , , α K ) = ⊗ K j=1 Dˆ j (α j )(−1) N ˆ j Dˆ † j (α j ), các biến tọa độ và xung l-ợng được ký hiệu là q j và p j cho mode j, với j ={1,2, , K} Ở đây, Dˆ j (α j ) là toán tử dịch chuyển tương ứng với mode j, và Nˆ j là toán tử số hạt của mode này, trong đó ký hiệu ⊗ biểu thị cho tích tenxơ.
Dựa vào ph-ơng trình (1.50) và sử dụng các phép biến đổi nh- trong
[8], hàm Wigner có thể đ-ợc viết trong dạng các trạng thái kết hợp Ví dụ, hàm Wigner của một tr-ờng đơn mode đ-ợc cho bởi
Hàm Wigner cho trường hai mode được xác định qua biểu thức Z d 2 uh−u|ρˆ|uie 2αu ∗ −2α ∗ u, trong đó |ui là trạng thái kết hợp và ρˆ là toán tử mật độ của trường.
Z d 2 u 1 d 2 u 2 h−u 2 ,−u 1 |ρˆ 12 |u 1 , u 2 i ×e 2α 1 u ∗ 1 +2α 2 u ∗ 2 −2α ∗ 1 u 1 −2α ∗ 2 u 2 , (1.52) với |u 1 , u 2 i = |u 1 i|u 2 i là tích hai trạng thái kết hợp của hai mode độc lập.
Mở rộng hơn, hàm Wigner của tr-ờng ba mode đ-ợc viết d-ới dạng
Z d 2 u 1 d 2 u 2 d 2 u 3 × h−u 3 ,−u 2 ,−u 1|ρˆ123|u 1 , u 2 , u 3i ×e 2α 1 u ∗ 1 +2α 2 u ∗ 2 +2α 3 u ∗ 3 −2α ∗ 1 u 1 −2α ∗ 2 u 2 −2α ∗ 3 u 3 , (1.53) trong đó |u 1 , u 2 , u 3i ≡ |u 1i|u 2i|u 3i là một trạng thái kết hợp ba mode.
Tính chất nén tổng ba mode
Để phát hiện nén trong các trạng thái phi cổ điển, người ta sử dụng các tiêu chuẩn nén, đặc biệt là tiêu chuẩn nén tổng cho các hệ ba mode Tiêu chuẩn này đã được áp dụng để khảo sát các trạng thái kết hợp bộ ba và trạng thái kết hợp bộ ba phi tuyến Để hiểu rõ hơn về tiêu chuẩn nén này, ta xem xét một toán tử của trường boson ba mode a, b và c.
2 , (1.54) trong đó ϕ là số thực Với giá trị ϕ bất kỳ, biểu thức giao hoán giữa hai toán tử vuông pha đ-ợc xác định là
= ˆN a Nˆ b + ˆN b Nˆ c + ˆN a Nˆ c + ˆN a + ˆN b + ˆN c + 1 (1.56) Quan hệ bất định cho hai toán tử Pˆ(ϕ) và Pˆ(ϕ+π/2) đ-ợc xác định là
16hLˆi (1.57) Một trạng thái tồn tại nén tổng ba mode theo góc ϕ nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức sau đây
− hLˆi hLˆi , (1.59) điều kiện nén tổng ba mode theo góc ϕ trở thành
Hệ số nén S(ϕ) cũng thể hiện độ nén Độ nén càng cao khi hệ số nén S(ϕ) nhận giá trị càng âm, nén lý t-ởng theo góc ϕ khi S(ϕ) =−1.
Ngoài tiêu chuẩn nén tổng ba mode bậc thông thường, chúng ta cần xem xét điều kiện nén bậc cao tổng quát Để làm rõ, hãy xem xét hai toán tử trực giao.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các số nguyên không âm a, b, c thỏa mãn các điều kiện j x = j y ≠ 0, j z = 0 hoặc j x = j y = 0, j z ≠ 0, hoặc j x = j y = j z ≠ 0, với x, y, z thuộc tập {a, b, c} Khi j x = j y = j z ≠ 0, các toán tử X̂ và Ŷ sẽ trở thành các toán tử trực giao ba mode bậc cao Hệ thức giao hoán giữa hai toán tử X̂ và Ŷ cũng được đề cập trong ngữ cảnh này.
Zˆ = ˆa j a ˆb j b ˆc j c ˆa †j a ˆb †j b ˆc †j c −ˆa †j a ˆb †j b cˆ †j c ˆa j a ˆb j b cˆ j c (1.64) Một trạng thái tồn tại nén bậc cao trong Xˆ hoặc Yˆ nếu nó thỏa mãn
TÝnh chÊt ®an rèi
Đan rối là một đặc tính quan trọng trong cơ học lượng tử, được phát hiện qua bài thảo luận nổi tiếng của Einstein, Podolsky và Rosen vào năm 1935 Nhiều tiêu chuẩn đã được phát triển để kiểm tra đan rối trong các trạng thái hai thành phần, bao gồm các tiêu chuẩn Hillery-Zubairy, Peres-Horodecki, Duan-Cirac và Shchukin-Vogel Gần đây, lý thuyết dò đan rối cũng đã xuất hiện các tiêu chuẩn Nha-Kim và Mancini Đối với các trạng thái ba mode, tiêu chuẩn Hillery-Zubairy có thể được áp dụng để xác định đan rối, và một trạng thái tách biệt luôn thỏa mãn bất đẳng thức liên quan.
Sự vi phạm bất đẳng thức cho biết trạng thái ba thành phần bị đan rối Chúng ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Look-Furusawa để phân tích Xét các toán tử tọa độ và xung lượng tương ứng là qˆ1, qˆ2, qˆ3 và pˆ1, pˆ2, pˆ3; nếu một trạng thái vi phạm bất kỳ bất đẳng thức nào dưới đây, thì nó được coi là bị đan rối.
Trong trường hợp g là một số thực bất kỳ, giá trị sẽ nằm trong khoảng ≥ 1, (1.71) Để áp dụng tiêu chuẩn đan rối bậc cao cho trường hợp ba mode, cần xem xét các điều kiện vi phạm các bất đẳng thức nhất định.
|hˆa m ˆb n cˆ l i| ≤ [hˆc †l cˆ l ihˆa †m ˆa m ˆb †n ˆb n i] 1/2 , (1.75) ta có thể kết luận rằng trạng thái này đan rối hoàn toàn.
Trong điều kiện đan rối đầu tiên của phương trình (1.72), một trạng thái ba mode được xem là bị đan rối khi bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn: hNˆ a (m a ) ihNˆ b (m b ) ihNˆ c (m c ) i1/2.
− |hˆa m a ˆb m b ˆc m c i| 0, việc áp dụng biểu thức giải tích từ phương trình (2.5) cho phép xác định các hệ số nén tổng của ba mode bậc cao trong trạng thái kết hợp của bộ ba photon.
C n;h,k,l (r)C n+i 2 −i 1 ;h,k,l (r) × (n a +i 2 )!(n b +i 2 )!(n c +i 2 )! pn a!n b!n c!(n a +i 2−i 1)!(n b +i 2−i 1)!(n c +i 2−i 1)!, (2.13) với i 1 và i 2 là các số nguyên không âm.
Trong nghiên cứu của chúng tôi, hệ số nén S Y ;j luôn không âm Cụ thể, với các giá trị cố định p = q = 0, r = 4, h = k = l = 1, chúng tôi tính được S Y ;j ≈ 0.356 (0.092, 0.011) khi j = 1 (2,3) Điều này cho thấy rằng trạng thái kết hợp ba photon không dẫn đến nén tổng ba mode bậc cao trong Yˆ.
Biểu thức giải tích trong phương trình (2.11) được sử dụng để làm rõ nén tổng ba mode bậc cao của trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon Hình 2.4 cho thấy sự phụ thuộc của hệ số nén S X ;j theo r với một số bậc j, cho thấy trạng thái này tồn tại nén tổng ba mode bậc cao khi biên độ trường lớn Tính âm của S X ;j càng trở nên rõ ràng hơn khi bậc j giảm hoặc r tăng lên Nén tổng ba mode bậc cao biến mất trong miền nhỏ của r, và khi số photon thêm vào ba mode tăng, hệ số nén tổng ba mode bậc cao càng âm Cụ thể, với p = q = 0, r = 8 và j = 2, hệ số nén tổng ba mode bậc cao gần đúng lần lượt là −0.07, −0.11, −0.12 và −0.13 tương ứng với h = k = l = 1, 2, 3 và 4.
Hình 2.4: Sự phụ thuộc của hệ số nén S X;j vào r với p = q = 0, h = k = l = 2 khi j = 2
(đ-ờng liền nét), j = 3 (đ-ờng gạch - gạch) và j = 4 (đ-ờng gạch - chấm).
TÝnh chÊt ®an rèi
Đan rối là yếu tố quan trọng trong thông tin và tính toán lượng tử, với độ đan rối cao giúp nâng cao hiệu quả thực hiện các nhiệm vụ lượng tử Để xác định độ đan rối trong các trạng thái ba mode, có thể áp dụng các tiêu chuẩn từ các phương trình (1.67) đến (1.77) và sử dụng các entropy đã đề cập trong chương một Đặc biệt, để phát hiện đan rối bậc cao trong trạng thái kết hợp bộ ba photon, tiêu chuẩn trong phương trình (1.77) được áp dụng Trong trường hợp m_a ≠ m_b ≠ m_c, trung bình của các toán tử ˆa m_a ˆb m_b cˆ m_c bằng không, cho thấy trạng thái này không chứa đan rối bậc cao Ngược lại, khi m_a = m_b = m_c = m, hệ số đan rối bậc cao được xác định thông qua biểu thức trong phương trình (2.5) và (2.13).
Chúng tôi áp dụng biểu thức giải tích trong phương trình (2.14) để đánh giá sự thể hiện của đan rối bậc cao trong trạng thái kết hợp của ba photon.
Hình 2.5 minh họa mối quan hệ giữa hệ số đan rối bậc cao E m và biên độ r, thể hiện sự phụ thuộc của chúng theo các giá trị khác nhau của bậc m Kết quả cho thấy, khi giá trị của r hoặc m tăng lên, mức độ đan rối trong trạng thái kết hợp của bộ ba photon trở nên rõ ràng hơn.
Hình 2.5: Sự phụ thuộc hệ số đan rối bậc cao E m vào r với p = q = 0 và h = k = l = 2 khi m = 1 (đ-ờng liền nét), m = 2 (đ-ờng gạch - gạch) và m = 3 (đ-ờng gạch - chấm)
Cần lưu ý rằng giá trị của E m giảm khi số photon tăng lên, nhưng bất đẳng thức trong phương trình (1.76) càng được thỏa mãn Ví dụ, khi cố định m = 2, p = q = 0, r = 5, giá trị của E m đạt -0.79 (tương ứng với -0.46) khi h = k = l = 0 (1), nhưng hNˆa (m a ) ihNˆ b (m b ) ihNˆc (m c ) i1/2 vẫn giữ vai trò quan trọng.
Giá trị gần đúng của |haˆ m a ˆb m b cˆ m c i| là −13.7 (−22.2), cho thấy rằng sự đan rối bậc cao trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon trở nên rõ ràng hơn khi số lượng photon tăng lên Khi cố định h + k + l, hệ số E m đạt giá trị lớn nhất khi h = k = l Cụ thể, với h + k + l = 6, p = q = 0, r = 5 và m = 2, giá trị E m gần đúng lần lượt là −0.43, −0.27 và −0.21 tương ứng với các bộ giá trị (h, k, l) = (6,0,0), (4,1,1) và (2,2,2).
Chúng tôi sẽ đo lường độ đan rối trong trạng thái kết hợp ba photon bằng cách sử dụng entropy tuyến tính Toán tử mật độ thu gọn cho các mode a, b và c được xác định theo công thức ˆ ρ a X∞ n=0.
Hệ số C n;h,k,l(r) được xác định theo phương trình (2.4) với việc thay ξ bằng r, trong đó n a = n + h, n b = n + p + k, và n c = n + p + q + l Theo phương trình (1.78), entropy tuyến tính của trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon được xác định như sau.
|c n (ξ)| 4 (n a !n b !n c !) 2 [n!(n+p)!(n+p +q)!] 2 , (2.18) với c n (ξ) và N p,q;h,k,l (r) lần l-ợt đ-ợc xác định nh- trong ph-ơng trình (1.37) và (2.2).
Kết quả khảo sát độ đan rối E trong phương trình (2.18) được trình bày trong hình 2.6 Hình 2.6 (a) cho thấy sự phụ thuộc của độ đan rối E vào r với p = q = 0 và các giá trị h, k, l khác nhau Trong đó, (h, k, l) = (0,0,0) tương ứng với trạng thái kết hợp bộ ba, còn (h, k, l) = (2,2,2) và (5,5,5) tương ứng với trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon Độ đan rối E luôn dương với bất kỳ giá trị r khác 0 và số photon thêm vào các mode h, k, l Giá trị E tăng lên khi r tăng và đạt khoảng 0.9 tại r = 120 Đối với cùng một giá trị r, trạng thái kết hợp bộ ba có độ đan rối E nhỏ hơn so với trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon Ngược lại, khi số photon thêm vào tăng, độ đan rối trong trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon cũng tăng cao Hình 2.6 (b) cho thấy ở miền giá trị nhỏ của r, có sự khác biệt nhỏ về độ đan rối E khi tổng số photon thêm vào được cố định, nhưng thay đổi số photon thêm vào mỗi mode Tuy nhiên, khi r lớn, độ đan rối hầu như không thay đổi theo h, k và l.
Hình 2.6: Sự phụ thuộc của độ đan rối E vào r với p = q = 0 khi (a) (h, k, l) = (0, 0, 0)
(đ-ờng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (5, 5, 5) (đ-ờng gạch - chấm) và (b) (h, k, l) =
(2, 2, 2) (đ-ờng liền nét), (5, 1, 0) (đ-ờng gạch - gạch), (6, 0, 0) (đ-ờng gạch - chấm).
Trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon
Hàm Wigner
Để tính toán hàm Wigner cho trạng thái kết hợp của bộ ba chồng chất photon, chúng tôi biểu diễn trạng thái này dưới dạng các trạng thái Fock như được nêu trong phương trình (2.19).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét toán tử mật độ của trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon, được biểu diễn dưới dạng các trạng thái kết hợp Cụ thể, công thức toán học cho toán tử mật độ này là ˆ ρ abc = N p,q;h,k,l 2 (r)N p,q 2 (r)e 3r 2/3 Các biến số n a,i, n b,i, n c,i được định nghĩa là n a,i = n + h i, n b,i = n + p + k i, và n c,i = n + p + q + l i, với i thuộc {1,2,3} Các giá trị h, k, l được chỉ định cho từng chỉ số i, trong đó h 1 = h, h 2 = h 3 = 0, k 1 = k 3 = 0, k 2 = k, l 1 = l 2 = 0, và l 3 = l.
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu biểu thức được cho bởi phương trình (2.26) với các tham số ζ = ξ 1/3 Bằng cách khai triển các trạng thái kết hợp theo các trạng thái Fock, chúng tôi tiến hành tính toán các tích phân liên quan Kết quả cuối cùng cho thấy hàm Wigner được biểu diễn dưới một dạng cụ thể, giúp làm sáng tỏ các đặc điểm của hệ thống nghiên cứu.
Hàm Wigner của trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon được xác định thông qua việc tính toán các tích phân từng phần trong phương trình (2.27).
Chúng tôi nghiên cứu các đặc tính phi cổ điển và phi Gauss trong trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon bằng cách sử dụng biểu thức giải tích trong phương trình (2.28) Hình 2.7 minh họa sự phụ thuộc của hàm Wigner vào các thành phần thực và ảo của α a với ξ = 1, p = q = 0.
Khi λ = σ = 1 và αb = αc = 0.01 với h = k = l = 1, kết quả cho thấy hàm Wigner có giá trị âm trong một số miền của phần thực và ảo của αa Điều này chứng minh rằng trạng thái kết hợp của bộ ba chồng chất thêm photon là một trạng thái phi cổ điển và phi Gauss.
Hình 2.7 cho thấy sự phụ thuộc của hàm Wigner W vào các thành phần thực và ảo của α a với ξ = 1, p = q = 0, λ = σ = 1, và α b = α c = 0.01 khi h = k = l = 1 Để minh họa tác động nâng cao độ phi cổ điển và phi Gauss khi thêm photon vào trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất, Hình 2.8 thể hiện sự phụ thuộc của hàm Wigner vào r với các thông số λ = σ = 1, p = q = 0, φ = 0, α a = 0.05 và α b = α c = 0.01 cho một số giá trị của h, k, l Trong đó, h = k = l = 0 tương ứng với trạng thái kết hợp bộ ba, trong khi các trường hợp khác là trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon Kết quả cho thấy độ sâu của hàm Wigner tăng lên khi số photon được thêm vào ba mode h, k và l, cho thấy sự biểu hiện rõ rệt của các tính chất phi cổ điển và phi Gauss.
Trong trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất, Gauss có thể thể hiện rõ ràng hơn so với trạng thái kết hợp bộ ba thông thường, đặc biệt khi số lượng photon được thêm vào tăng lên.
Hình 2.8: Sự phụ thuộc của hàm Wigner W vào r với φ = 0, p = q = 0, = λ = σ =
1, α a = 0.05 và α b = α c = 0.01 khi (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ-ờng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch) và (4, 4, 4) (đ-ờng gạch - chấm).
Tính chất nén tổng ba mode
Với trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon, tử số của vế trái trong bất ph-ơng trình (1.60) đ-ợc viết lại theo dạng
Sử dụng các biểu thức giải tích từ các phương trình (2.22), (2.23) và (2.29), hệ số nén trong trạng thái kết hợp ba chồng chất photon được xác định.
Chúng tôi áp dụng biểu thức giải tích trong phương trình (2.30) để nghiên cứu tính chất nén tổng ba mode trong trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon Hình 2.9 thể hiện sự phụ thuộc của hệ số nén S vào r với các tham số p = q = 0, λ = σ = 1 và φ−ϕ = 0, tương ứng với một số giá trị của h, k và l.
Kết quả cho thấy nén tổng luôn xuất hiện trong trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon khi S < 0 Độ nén gia tăng khi bán kính r và số photon thêm vào các mode h, k, l tăng lên Khi tổng h + k + l được cố định ở giá trị 9, giá trị S trở nên ít âm hơn khi số photon thêm vào ba mode bằng nhau, tức h = k = l, dẫn đến độ nén đạt giá trị nhỏ nhất.
Hình 2.9: Sự phụ thuộc của hệ số nén S vào r với p = q = 0 và φ − ϕ = 0 khi (a)
(h, k, l) = (1, 1, 1) (đ-ờng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (4, 4, 4) (đ-ờng gạch - chấm) và (b) (h, k, l) = (5, 3, 1) (đ-ờng liền nét), (4, 4, 1) (đ-ờng gạch - gạch), (3, 3, 3)
Để phân tích sự phụ thuộc của độ nén vào các tham số λ, σ trong trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon, hình 2.10 cho thấy hệ số nén S phụ thuộc vào λ và σ với các giá trị cố định p = q = 1, r = 4, = 1 và φ−ϕ = 0 khi h = k = l = 1 Kết quả cho thấy hệ số nén S đạt giá trị nhỏ nhất tại λ = σ = 0, cho thấy độ nén đạt cực đại khi chỉ thêm photon vào một mode của trạng thái kết hợp bộ ba Điều này dẫn đến kết luận rằng trong miền giá trị lớn của r, việc thêm photon định xứ mang lại độ nén cao hơn so với việc thêm photon không định xứ, trong khi khi r nhỏ, việc thêm photon không định xứ lại thể hiện rõ ràng hơn sự nén tổng ba mode.
Hình 2.10: Sự phụ thuộc của hệ số nén S vào λ và σ với p = q = 1, r = 4, = 1 và φ − ϕ = 0 khi h = k = l = 1.
TÝnh chÊt ®an rèi
Với trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất photon, toán tử mật độ thu gọn cho mode còn lại a, b và c được xác định lần lượt là ˆρ a.
Hệ số khai triển \( c_{n,i;h,k,l}(\xi) \) được xác định qua phương trình (2.25) và được sử dụng trong công thức \( |c_{n,i;h,k,l}(\xi)|^2 |n_{c,i} i c_{hn,c,i}| \) (2.33) Sau khi áp dụng phương trình (1.78) và tính toán vết trên mode còn lại, chúng tôi đã thu được entropy tuyến tính của các mode trong trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon, với mode a.
+q,1 +m,1 +t,1 +u,1 +v,1 +w;r 4 ) (2.35) T-ơng tự, với mode b, entropy tuyến tính là
Dựa trên các phương trình từ (2.34) đến (2.37), các độ đan rối E a, E b và E c có sự khác biệt khi p, q khác 0 và không bằng λ, σ Điều này cho thấy tính chất đan rối trong trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon không đối xứng Hơn nữa, các độ đan rối E b và E c trở thành E a.
Trong trường hợp p = q = 0, h = k = l và λ = σ, ba mode trong trạng thái này bị đan rối đối xứng với nhau Để nghiên cứu tính chất đan rối trong trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon, chúng tôi đã áp dụng các biểu thức giải tích từ các phương trình (2.34) đến (2.37) Hình 2.11 minh họa sự phụ thuộc của độ đan rối.
Khi xét các giá trị p = q = 0 và λ = σ = 1 cho các giá trị h, k và l, với (h, k, l) = (0,0,0) tương ứng với trạng thái kết hợp bộ ba, các trường hợp khác tương ứng với trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon Kết quả cho thấy trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon có độ đan rối hoàn toàn Độ đan rối này gia tăng khi tăng giá trị r cũng như số lượng photon được thêm vào ba mode h, k và l Đặc biệt, khi tổng h+k+l được cố định, độ đan rối đạt giá trị lớn nhất khi h = k = l.
Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng các độ đan rối E_b và E_c cũng thể hiện sự tương tự với trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon Dưới các tham số giống nhau và trong miền r nhỏ, trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon đạt được độ đan rối cao hơn so với trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon.
Hình 2.11: Sự phụ thuộc của độ đan rối E a vào r với p = q = 0 và = λ = σ = 1 khi (a) (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ-ờng liền nét), (1, 1, 1) (đ-ờng gạch - gạch), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch
- chấm) và (b) (h, k, l) = (5, 3, 1) (đ-ờng liền nét), (4, 3, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (3, 3, 3)
Hình 2.12 minh họa sự phụ thuộc của E a vào các tham số λ và σ với r = 0.5, p = q = 0 và h = k = l = 1 Kết quả cho thấy độ đan rối E a đạt giá trị tối đa khi λ² + σ² = 2 Dưới điều kiện này, và với p ≥ q ≥ 0, cả hai hệ số E b và E c đều có giá trị thấp hơn E a khi r lớn.
Ví dụ khi λ = 0.8, σ = 0.6, = 1, p = 2, q = 1, r = 10 và h =k =l = 1 (2), ta có E a ≈ 0.79 (0.83), E b ≈ 0.78 (0.82) và E c ≈ 0.78 (0.81) Bên cạnh đó, víi λ √
3/2, σ = 1/2, = 1, p = 1, q = 0, r = 5 và h = k = l = 1 (2), ta cũng nhận đ-ợc E a ≈ 0.75 (0.81), E b ≈ 0.74 (0.80) và E c ≈ 0.73 (0.76).
Hình 2.12: Sự phụ thuộc của độ đan rối E a vào λ và σ với r = 0.5, p = q = 0 và = 1 khi h = k = l = 1.
KÕt luËn
Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu hai trạng thái phi cổ điển ba mode mới bằng cách thêm photon định xứ và không định xứ lên trạng thái kết hợp bộ ba Các trạng thái này bao gồm trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon và trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon Chúng tôi đã khảo sát ba tính chất phi cổ điển của chúng: tính âm của hàm Wigner, nén tổng ba mode và độ đan rối Kết quả cho thấy rằng độ âm của hàm Wigner ở hai trạng thái mới cao hơn so với trạng thái kết hợp bộ ba gốc, và khi số photon thêm vào tăng, hàm Wigner càng âm hơn Đối với tính chất nén tổng ba mode, việc thêm photon đã tạo ra nén tổng trong hai trạng thái mới, trong khi trạng thái gốc không có đặc tính này Đặc biệt, khi tăng số photon, độ nén tổng cũng tăng cường Về độ đan rối, cả hai trạng thái mới đều là trạng thái đan rối hoàn toàn và có độ đan rối cao hơn so với trạng thái kết hợp bộ ba Trong miền giá trị nhỏ của r, độ đan rối của trạng thái chồng chất thêm photon cao hơn so với trạng thái thêm photon đơn thuần, và độ đan rối cũng tăng khi số photon thêm vào tăng Những kết quả quan trọng này mở ra khả năng ứng dụng các trạng thái ba mode vào thông tin lượng tử.
Sơ đồ thực nghiệm Tạo ra các trạng thái ba mode
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một sơ đồ thực nghiệm mới nhằm tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba, sử dụng các nguồn vật lý hiện có với công nghệ hiện tại Đặc biệt, trạng thái kết hợp bộ ba này có khả năng lan truyền tự do trong không gian mở, điều mà các sơ đồ trước đây chưa đạt được Chúng tôi cũng làm rõ tính khả thi của sơ đồ mới thông qua việc khảo sát yếu tố độ trung thực và xác suất thành công trong việc tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba.
Chúng tôi đề xuất một sơ đồ mới sử dụng trạng thái kết hợp bộ ba để tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba thêm photon thông qua các bộ tách chùm, với độ trung thực cao Ngoài ra, chúng tôi cũng giới thiệu một sơ đồ thực nghiệm mới nhằm tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba chồng chất thêm photon Cả hai trạng thái này đều có khả năng lan truyền tự do trong không gian mở, phục vụ cho các nhiệm vụ lượng tử.
Tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba
Một số sơ đồ thực nghiệm đã được đề xuất để tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba, nhưng chỉ có thể thực hiện trong không gian cục bộ như bẫy ion Trong trường hợp này, việc sử dụng trạng thái kết hợp bộ ba để thêm hoặc bớt photon cũng như ứng dụng vào các nhiệm vụ lượng tử vẫn chưa khả thi Do đó, chúng tôi đề xuất một sơ đồ thực nghiệm mới nhằm tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba với tính khả thi thực tế, cho phép các mode lan truyền tự do trong không gian mở để thực hiện các nhiệm vụ quang lượng tử Sơ đồ này sử dụng các thiết bị quang hiện có như bộ dịch pha, bộ tách chùm, tinh thể phi tuyến Kerr, đầu dò quang và các trạng thái kết hợp ở đầu vào Để bắt đầu thảo luận về sơ đồ mới, chúng tôi viết lại trạng thái này trong phương trình (1.34) dưới dạng các trạng thái Fock bằng cách đặt ξ = ζ³.
|n, n+p, n+p +qi 123 , (3.1) trong đó các mode 1 ≡ a,2 ≡ b,3 ≡c và N p,q (|ζ|) đ-ợc cho bởi
Sơ đồ thực nghiệm mới được trình bày trong hình 3.1 cho thấy trạng thái kết hợp bộ ba trong phương trình (3.1) Các thiết bị quang sử dụng bao gồm bốn bộ tách chùm cân bằng, năm bộ dịch pha, bốn tinh thể phi tuyến Kerr và hai đầu dò quang.
Tác dụng của bộ tách chùm cân bằng Bˆ xy trong sơ đồ đ-ợc cho bởi
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét trạng thái kết hợp |αi x và |βi y của hai mode x và y Đồng thời, chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về biến đổi của bộ dịch pha khi tác động lên trạng thái kết hợp |αi x.
Sơ đồ thực nghiệm mới được trình bày trong hình 3.1 cho thấy cách tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba lan truyền tự do trong không gian mở Các bộ tách chùm cân bằng được ký hiệu từ BS1 đến BS4, trong khi các bộ dịch pha được biểu diễn bằng các hình vuông Các khung vuông với ký hiệu ± $ đại diện cho các tinh thể phi tuyến Kerr Bên cạnh đó, P D1 và P D2 là các đầu dò quang không lý tưởng Sơ đồ này sử dụng các trạng thái đầu vào bao gồm ba trạng thái kết hợp với biên độ | ζ |, hai trạng thái chân không và một trạng thái kết hợp có biên độ | α.
2 | 1 Các đ-ờng tròn thể hiện cho các đ-ờng dẫn quang có tác dụng đ-a các mode vào những thiết bị một cách đồng thời của mode x đ-ợc cho là
Pˆx(φ)|αi x = |αe iφ i x (3.4) Đối với các tinh thể phi tuyến Kerr có c-ờng độ $, biến đổi của chúng đ-ợc đặc tr-ng bởi toán tử Kˆ xy =e −i$tˆ a † x ˆ a x ˆ a † y ˆ a y và
Kˆ xy |ni x |βi y =|ni x |βe −i$tn i y, với |ni x và |βi y lần lượt là trạng thái Fock của mode x và trạng thái kết hợp của mode y, trong đó t là thời gian tương tác giữa hai chùm quang trong tinh thể Để tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba với biên độ |ξ|, chúng tôi sử dụng ba trạng thái kết hợp đầu vào |ζi 1, |ζi 2 và |ζi 3 tương ứng với ba mode 1, 2 và 3, trong đó ξ = ζ 3 Các trạng thái phụ đầu vào bao gồm một trạng thái kết hợp |α.
2i 4 của mode 4 có biên độ lớn |α
2| 1 cùng với hai trạng thái chân không |0i 5 và |0i 6 t-ơng ứng với mode 5 và 6 Bây giờ trạng thái vào của toàn bộ hệ đ-ợc biểu diễn là
Khai triển các trạng thái kết hợp |ζi 1 ,|ζi 2 và |ζi 3 trong dạng các trạng thái Fock, chúng tôi viết lại ph-ơng trình (3.6) d-ới dạng
√ l! và l = {n, m, k}. Sau khi truyền qua bộ tách chùm BS1 và bộ dịch pha Pˆ 5 (θ), trạng thái
Tiếp tục xuyên qua bộ tách chùm thứ hai BS2 và bộ dịch pha Pˆ 6 (φ), trạng thái của hệ bây giờ đ-ợc cho bởi
Trạng thái của hệ được đưa vào các tinh thể phi tuyến Kerr Sau khi các mode 1 và 4, 2 và 5, 3 và 6 truyền đồng thời qua ba tinh thể phi tuyến Kerr Kˆ 14, Kˆ 25 và Kˆ 36, trạng thái của hệ đã được chuyển đổi.
6 (3.10) Đặt $t= τ 1, θ =τ p, φ = τ q, ta viết lại trạng thái (3.10) d-ới dạng
6 (3.11) Để thuận tiện trong việc tính toán, đặtα l = αe −iτ l , khi đó ph-ơng trình (3.11) đ-ợc viết lại là
Mode 5 được kết hợp với mode 6 qua bộ tách chùm BS3 và sau đó chồng chất với mode 4 qua bộ tách chùm BS4 Cần lưu ý rằng mode 5 phải thực hiện dịch pha thông qua các bộ dịch pha Pˆ 5 (π) → Pˆ 5 (π) → Pˆ 5 (π/2), như thể hiện trong hình 3.1 Trạng thái |Ψ3i sẽ trở thành.
Sau đó mode 1 và mode 5 cùng đ-ợc truyền qua tinh thể phi tuyến Kerr thứ t- với hệ số phi tuyến −$, trạng thái ra bây giờ là
|Ψ ra i X∞ n,m,k=0 a nmk |n, m, ki 123 |β nmk i 4 |γ nmk i 5 |λ nmk i 6 , (3.14) víi β nmk = αe −iτ n
Tại tầng cuối cùng, chúng tôi đã bố trí hai đầu dò quang PD1 và PD2 để đo số photon lần lượt trong các chế độ 4 và 6 Giả sử các đầu dò quang hoạt động lý tưởng, việc đo số photon trong chế độ j được xác định bởi tập hợp đầy đủ các toán tử đo lường.
Mˆ j n j = |n j i j hn j |, n j = 0,1,2, Giả sử các giá trị đo đ-ợc đồng thời là
{n 4 , n 6 }, tức là có n 4 và n 6 photon lần l-ợt trong các mode 4 và 6, với xác suất P n 4 n 6 , trạng thái |Ψ ra i trong (3.14) đ-ợc sắp xếp thành
|Φn 4 n 6 i = ˆM 4 n 4 ⊗Mˆ 6 n 6 |Ψ ra i = |φ n 4 n 6 i 1235 |n 4i 4 |n 6i 6 , (3.19) trong đó trạng thái |φ n 4 n 6 i 1235 có dạng
|φ n 4 n 6 i 1235 X∞ n,m,k=0 a nmk hn 4 |β nmk ihn 6 |λ nmk i|n, m, ki 123 |γ nmk i 5 , (3.20) xác suất là
Chúng ta hãy tập trung vào các mode 1,2 và 3, trạng thái của chúng đ-ợc đặc tr-ng bởi toán tử mật độ thu gọn có dạng ˆ ρ n 123 4 n 6 = 1
P n 4 n 6 Tr5(|φ n 4 n 6 i 1235 hφ n 4 n 6 |), (3.22) với Tr5 biểu thị cho việc lấy vết trên mode 5 Từ đó ˆ ρ n 123 4 n 6 = 1
Trong bài viết này, chúng ta xem xét độ trung thực của trạng thái ứng với ρˆ n 123 4 n 6 trong trạng thái kết hợp bộ ba Công thức tính độ trung thực được đưa ra là F n 4 n 6 = 123hΨp,q(ζ)|ρˆ n 123 4 n 6 |Ψp,q(ζ)i 123 Các ký hiệu và biến số như n 0, m 0, k 0, và các trạng thái liên quan được sử dụng để mô tả các yếu tố ảnh hưởng đến độ trung thực trong hệ thống này.
Độ trung thực trong trường hợp n4 = n6 = 0 sẽ khác không, theo phương trình (3.24) với Np,q(|ζ|) được xác định bởi phương trình (3.2) Khi n4 và n6 bằng 0, độ trung thực sẽ dẫn đến trạng thái kết hợp bộ ba.
Độ trung thực F và xác suất thành công P ảnh hưởng đến trạng thái kết hợp bộ ba vào | ζ |, với các giá trị p = q = 0, τ = 10 −3 và | α | = 10 3, 2 ì 10 3, 3 ì 10 3, 5 ì 10 3 được thể hiện qua các đường biểu diễn khác nhau: đường liền nét, đường gạch - gạch, đường gạch - chấm và đường chấm - chấm.
Chúng tôi đã sử dụng các biểu thức giải tích trong các phương trình (3.25) và (3.26) để nghiên cứu độ trung thực và xác suất thành công trong việc tạo ra trạng thái kết hợp bộ ba với các đầu dò quang lý tưởng Hình 3.2 cho thấy sự phụ thuộc của độ trung thực và xác suất thành công vào |ζ| với p = q = 0 và τ = 10^−3 cho một số giá trị của |α| Kết quả cho thấy rằng độ trung thực được cải thiện khi biên độ kết hợp |α| tăng lên.
Đặc biệt, đơn vị tiến tới khi |α| đạt giá trị ≥ 5 x 10^3 Tuy nhiên, xác suất thành công giảm khi |α| tăng Đồng thời, cả độ trung thực và xác suất thành công cũng giảm khi |ζ| tăng.
Chúng tôi xem xét trường hợp hoạt động không lý tưởng của các đầu dò quang PD1 và PD2 với hiệu suất η, trong đó 0 < η < 1 Các đầu dò này hoạt động theo chế độ bật/tắt, với chế độ bật tương ứng khi có photon và chế độ tắt khi không có photon Việc dò bật/tắt được mô tả bằng các toán tử Πˆ bật j và Πˆ tắt j, trong đó f n tắt (η) = (1−η) n và f n bật (η) = 1−f n tắt (η) Kết quả đo trong mode 4 có thể là x = bật hoặc tắt, và trong mode 6 là y = bật hoặc tắt, dẫn đến bốn khả năng xảy ra cho các sự kiện dò bật/tắt của PD1 và PD2: {x, y}= {bật, bật}, {tắt, bật}, {bật, tắt} và {tắt, tắt} Do đó, trạng thái |Ψ ra i trong phương trình (3.14) sẽ được sắp xếp theo các kết quả này.
X∞ n,m,k,n 4 ,n 6 =0 a nmk q f n x 4 (η)f n y 6(η)hn 4 |β nmk i × hn 6 |λ nmk i|n, m, ki 123 |n 4 i 4 |γ nmk i 5 |n 6 i 6 , (3.30) và
P x,y (η) X∞ n,m,k,n 4 ,n 6 =0 f n x 4 (η)f n y 6 (η)|a nmk hn 4 |β nmk ihn 6 |λ nmk i| 2 (3.31)
Toán tử mật độ thu gọn của hệ lúc này có dạng ˆ ρ x,y 123 (η) = Tr456(|Ψ x,y (η)ihΨ x,y (η)|)
Độ trung thực của trạng thái ρˆ x,y 123 (η) đối với trạng thái kết hợp bộ ba |Ψ p,q (ζ)i 123 được xác định thông qua công thức 6(η)a ∗ n 0 m 0 k 0 a nmk × hn 4|β nmkihβ n 0 m 0 k 0 |n 4ihγ n 0 m 0 k 0 |γ nmkihn 6|γ nmki × hλ n 0 m 0 k 0 |n 6i|n, m, ki 123 hn 0 , m 0 , k 0 |, theo ký hiệu Tr456 cho việc lấy vết trên các mode 4, 5 và 6.