(NB) Giáo trình Cơ ứng dụng và nguyên lý chi tiết máy (Nghề: Vận hành nhà máy thủy điện) cung cấp cho người học những kiến thức như: Tĩnh học; Sức bền vật liệu; Nguyên lý chi tiết máy truyền động. Mời các bạn cùng tham khảo!
Các khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh học
1.1 Các khái niệm cơ bản
Lực là sự tác động tương hỗ giữa các vật mà kết quả làm thay đổi trạng thái động học hoặc hình dáng hình học của các vật đó
Lực được đặc trương bởi 3 yếu tố:
- Điểm đặt của lực: Là điểm mà tại đó vật nhận được tác dụng từ vật khác
Phương và chiều của lực là hướng và động lực của chuyển động của chất điểm, tức là vật có kích thước rất nhỏ, khi nó chuyển từ trạng thái yên nghỉ dưới tác động của các yếu tố cơ học.
- Cường độ của lực: Là số đo mạnh hay yếu của tương tác cơ học
Hình 1.1 Biểu diễn lực Đơn vị của lực: NiuTơn (N);
Bội số: Kilô NiuTơn (1KN = 10 3 N); Mega NiuTơn (1MN = 10 6 N) Mô hình toán học của lực là vectơ kí hiệu: (hình 1.1) F
- Hai lực trực đối: Là hai lực cùng đường tác dụng, cùng trị số nhưng ngược chiều nhau
Hình 1.2 Hai lực trực đối
- Hệ lực: Là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên một vật
- Hệ lực tương đương: Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng có cùng tác dụng cơ học lên vật rắn
- Hợp của hệ lực: Là một lực duy nhất tương đương với tác dụng của một hệ lực ( Hình 1.5)
Hình 1.4 Hệ lực tương đương
Hình 1.5 Hợp của hệ lực
Hệ lực cân bằng là hệ lực tác động lên vật rắn mà không làm thay đổi trạng thái động học của nó Nếu vật đang đứng yên, nó sẽ tiếp tục đứng yên mãi mãi; nếu vật đang chuyển động, nó sẽ duy trì chuyển động đều Nói cách khác, tác dụng của hệ lực này tương đương với việc không có lực tác động.
1.1.1.3 Phân tích lực a Vật tự do và vật bị liên kết
- Vật tự do: Là vật có thể chuyển động tuỳ ý theo mọi phương trong không gian mà không bị vật nào cản trở
- Vật bị liên kết (Vật không tự do): Là vật khi một hoặc nhiều phương chuyển động của nó bị cản trở
Ví dụ: Quyển sách đặt trên mặt bàn là vật không tự do b Liên kết và phản lực liên kết
- Liên kết: Là những điều kiện cản trở chuyển động của vật Vật gây ra cản trở chuyển động của vật khảo sát gọi là vật gây liên kết
Ví dụ: Quyển sách đặt trên mặt bàn thì quyển sách là vật khảo sát hay vật bị liên kết, mặt bàn là vật gây liên kết (Hình 1.7)
Phản lực liên kết là lực tác dụng mà vật bị liên kết hoặc vật khảo sát nhận từ vật gây liên kết Theo tiên đề tương tác, lực này được gọi là phản lực liên kết Khi giải phóng liên kết, lực này sẽ không còn tác động lên vật khảo sát.
Khi khảo sát một vật rắn, điều quan trọng là phải tách vật ra khỏi các liên kết và xác định hệ lực tác dụng lên nó Hệ lực này bao gồm các lực đã biết và phản lực tương ứng.
Việc xác định các phản lực liên kết chính xác và đầy đủ là yếu tố quan trọng khi đặt các lực lên vật khảo sát Để thực hiện điều này, ta cần thay thế từng liên kết bằng các phản lực tương ứng, quá trình này được gọi là giải phóng liên kết.
Hình 1.6 Hệ lực cân bằng
Hình 1.7 Vật khảo sát và vật gây liên kết
Sau khi giải phóng liên kết, vật khảo sát sẽ trở thành vật tự do và chịu tác động của hệ lực bao gồm các lực đã cho cùng với phản lực.
Ví dụ: Thanh BD đặt trong máng như hình 1.8a
Sau khi giải phóng liên kết (hình 1.8b) hệ lực tác dụng vào thanh BD là (
) trong đó P là lực tác dụng, còn lại là các phản lực
1.2 Các tiên đề tĩnh học
1.2.1 Tiên đề 1 (hai lực cân bằng ) Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên vật rắn cân bằng là chúng phải trực đối nhau
Hình 1.9 Hai lực cân bằng
1.2.2 Tiên đề 2 ( Thêm bớt hai lực cân bằng )
Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn không thay đổi khi ta thêm vào (hay bớt đi) hai lực cân bằng nhau
Hình 1.10 Thêm bớt hai lực cân bằng
Hệ quả: Tác dụng của lực lên vật rắn không thay đổi khi ta trượt lực trên đường tác dụng của nó
Hình 1.8 Giải phóng liên kết
1.2.3 Tiên đề 3 ( Hình bình hành lực )
Hai lực tác động tại một điểm có thể được biểu diễn bằng một lực tương đương, được xác định thông qua đường chéo của hình bình hành mà hai cạnh là hai véc tơ của hai lực đã cho.
Lực tác dụng và phản lực là hai lực trực đối
Chú ý : Lực tác dụng và phản lực không phải là hai lực cân bằng nhau vì chúng luôn đặt vào hai vật khác nhau
1.3 Các liên kết cơ bản
1.3.1 Liên kết tựa (không có ma sát): Làliên kết trong đó các vật tựa trực tiếp lên nhau, chỗ tiếp xúc là bề mặt hoặc đường hoặc điểm Liên kết cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương vuông góc với mặt tiếp xúc chung giữa vật gây liên kết và vật khảo sát Phản lực có phương vuông góc với mặt tiếp xúc chung, có chiều đi về phía vật khảo sát Phản lực ký hiệu ( )
Hình 1.11 Hình bình hành lực
Hình 1.12 Lực tác dụng và phản lực
1.3.2 Liên kết dây mềm: Là liên kết cản trở vật khảo sát theo phương của dây
Phản lực liên kết có phương trùng với phương của dây, hướng từ vật khảo sát đi ra Phản lực ký hiệu ( )
1.3.3 Liên kết thanh: Là liên kết cản trở chuyển động theo phương của thanh Phản lực ký hiệu là , có phương dọc theo thanh, ngược chiều với xu hướng chuyển động của vật khảo sát khi bỏ liên kết
Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có chung một trục (chốt), tựa vào nhau theo một đường mà điểm tựa chưa được xác định Phản lực liên kết 𝑅⃗ đi qua tâm của trục và có phương chiều chưa xác định, được phân thành hai thành phần vuông góc với nhau (𝑅⃗ x và 𝑅⃗ y), nằm trong mặt phẳng thẳng góc với đường trục tâm của bản lề.
Gối đỡ được sử dụng để hỗ trợ các dầm và khung, bao gồm gối cố định và gối có con lăn Phản lực liên kết của gối cố định được xác định tương tự như liên kết bản lề, trong khi phản lực của gối con lăn được tính toán theo quy tắc phản lực liên kết tựa.
Hình 1.14 Liên kết dây mềm
Hình 1.16 Liên kết bản lề
Gối đỡ di động tạo ra phản lực vuông góc với mặt tiếp xúc giữa vật khảo sát và vật liên kết Hình 1.13a minh họa gối đỡ bản lề di động, trong khi hình 1.13b cung cấp thêm thông tin về cấu trúc này.
1.13c là sơ đồ gối bản lề di động Phản lực ký hiệu là
Gối đỡ cố định là thiết bị ngăn cản vật khảo sát di chuyển theo phương nằm ngang và phương thẳng đứng, dẫn đến phản lực có hai thành phần Phản lực toàn phần được tính bằng tổng của hai thành phần này Hình 1.14a minh họa gối đỡ bản lề cố định, trong khi hình 1.14b trình bày sơ đồ của loại gối đỡ này.
Hệ lực phẳng đồng quy
Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đường tác dụng của các lực cùng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm
Hình 1.15 Hệ lực phẳng đồng quy
2.2 Hợp lực của hai lực đồng quy
2.2.1 Qui tắc hình bình hành lực
Giả sử có 2 lực và đồng qui tại O, phương của hai lực hợp với nhau một góc
Theo tiên đề 3, hợp lực R được xác định là đường chéo của hình bình hành Để tính toán hợp lực này, cần xác định trị số, phương và chiều của nó.
Hình 1.13 Gối đỡ di động a)
Hình 1.14 Gối đỡ cố định
- Phương: Nếu phương của R hợp với phương của F1, F2 một góc tương ứng là 1, 2 thì :
Bằng cách sử dụng bảng số, chúng ta có thể xác định trị số của góc α1 và α2, từ đó xác định phương của R Chiều của R được xác định là chiều từ điểm đồng quy đến góc đối diện trong hình bình hành.
Các trường hợp đặc biệt:
* Hai lực và cùng chiều phương:
* Hai lực và cùng phương, ngược chiều:
2.2.2 Qui tắc tam giác lực:
Hợp lực có thể được xác định bằng cách đặt mút của lực song song với chiều và có trị số tương đương với đoạn nối từ điểm O đến mút của lực.
Như vậy khép kín trong tam giác lực OAC tạo thành bởi các lực thành phần và
Hình 1.17 và cùng chiều phương
Hình 1.19 Hai lực vuông góc
Hình 1.18 Hai lực cùng phương, ngược chiều
Hình 1.16 Quy tắc hình bình hành lực
2.3 Hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy
Giả sử có một hệ lực đồng qui tại điểm O, để tìm hợp lực của hệ này, trước tiên ta cần hợp hai lực lại với nhau Theo quy tắc tam giác lực, quá trình này giúp xác định hợp lực một cách chính xác.
Tiếp tục, ta hợp hai lực và bằng cách tương tự, ta được:
Cuối cùng ta hợp hai lực và , ta được:
𝑅⃗ = 𝑅⃗ 2 + 𝐹⃗⃗⃗ ′ 4 = 𝐹 1 + 𝐹 2 + 𝐹 3+ 𝐹 4 (1-6) là hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui đã cho ( Hình 1.21a )
Khi tìm hợp lực, chúng ta nhận thấy xuất hiện một đường gấp khúc được hình thành bởi các véc tơ Các véc tơ này đóng kín đường gấp khúc, tạo thành một đa giác.
Từ đó ta rút ra phương pháp tổng quát sau:
Để xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui, chúng ta cần đặt các lực theo thứ tự từ điểm đồng qui, tạo thành một đường gấp khúc Mỗi cạnh của đường gấp khúc sẽ biểu diễn một lực cụ thể trong hệ thống.
Hình 1.20 Quy tắc tam giác lực
Hình 1.21 Quy tắc đa giác lực
Trong một hệ lực, 16 lực song song, cùng chiều và cùng trị số với một lực sẽ tạo thành hợp lực Lực này được đặt tại điểm đồng quy, làm kín đường gấp khúc và tạo thành đa giác, như minh họa trong Hình 1.21b.
Nhận xét: Hợp lực có gốc là gốc lực đầu, có mút trùng với mút lực cuối, như vậy đã khép kín đa giác lực
* Điều kiện cân bằng qui tắc đa giác lực
Vì lực khép kín đa giác lực, cho nên để hệ lực phẳng đồng qui được cân bằng, hợp lực phải có trị số bằng O
Kết luận: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng qui được cân bằng là đa giác lực phải tự đóng kín
Khung cẩu treo một vật nặng có trọng lượng 𝑃⃗ tại đầu mút C, với khối lượng vật nặng là m = 20kg Cần xác định phản lực của các thanh CA và BC trong hệ thống.
Xét cân bằng ở nút C Các lực tác dụng lên nút C gồm có lực cho trước và phản lực liên kết và Ta có tam giác lực khép kín
P = m.g ( g - gia tốc trọng trường, lấy g = 10 m/s 2 )
Vậy phản lực tại các thanh CA và BC là: SB = 231 (N)
2.3.2.1 Chiếu một lực lên hệ trục toạ độ vuông góc
Giả sử ta có lực Fvà hệ toạ độ vuông góc xOy (Hình 1.23)
+ Hình chiếu vuông góc của F lên hệ trục sẽ là:
là góc nhọn hợp bởi phương của F với trục x
Dấu (+) khi chiều từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của mút cùng chiều với trục
Dấu (-) trong trường hợp ngược lại
F song song với trục x (Hình 1.24) thì:
F song song với trục y (Hình 1.25)
F song song với trục y Hình 1.23 Chiếu lực lên hai trục tọa độ
Chú ý: Khi biết các hình chiếu F x
ta hoàn toàn xác định được
2.3.2.2 Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp chiếu lực
Giả sử ta có hệ lực phẳng đồng quy (
F2 …F n ) có hình chiều tương ứng trên các trục toạ độ vuông góc xOy là: (F1x, F2x… Fnx) và (F1y, F2y…Fny) như (Hình 1.26)
- Ta có: Rx = F1x + F2x +…+ Fnx = Fx (1-12)
+ Phương, chiều xác định bởi công thức :
Hình 1.26 Chiếu hệ lực lên trục tọa độ Oxy
Ví dụ: Hệ lực phẳng đồng quy (F 1 , F 2 , F 3 , F 4 ) cho như hình vẽ
Biết F1 = F2 = 100N, F3 = 150N, F4 = 200N Góc giữa các lực cho như hình vẽ Hãy xác định hợp lực của hệ lực
- Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ
R trên các trục toạ độ là:
Rx = F1 Cos0 o + F2 Cos50 o - F3 Cos60 o - F4 Cos20 o
Ry = F1 Sin0 o - F2 Sin50 o - F3 Sin60 o + F4 Sin20 o
Vậy R nằm ở góc phần tư thứ ba với góc = 54 o 33’
2.4 Điều kiện cân bằng của một hệ lực phẳng đồng quy
2.4.1 Phương pháp hình chiếu Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là đa giác lực của hệ tự đóng kín, tức là mút của véc tơ lực cuối cùng trùng với gốc của véc tơ lực đầu tiên
Muốn hệ lực đồng qui tác dụng lên vật rắn được cân bằng thì hợp lực = 0 mà ta có R Trong đó:
Nếu một thành phần nào đó ≠ 0 ví dụ FX ≠ 0 (FX) 2 > 0 Khi đó R ≠ 0 tức là có hợp lực, kéo theo vật rắn không cân bằng, điều vô lý
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng qui tác dụng lên vật rắn được cân bằng là tổng đại số hình chiếu của các lực lên hệ trục tọa độ vuông góc phải bằng 0.
Ví dụ: Ống trụ đồng chất có khối lượng m = 6 (kg) đặt trên giá đỡ ABC và giá đỡ này vuông góc ở B (Hình 1.27) Mặt
BC của giá đỡ hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc 60 o Xác định phản lực của giá đỡ lên ống trụ tại hai điểm tiếp xúc D và E
Dưới tác động của hệ lực, ống trụ cân bằng nhờ vào trọng lực của chính nó và các phản lực từ giá đỡ tại hai điểm D và E.
Chọn hệ trục toạ độ xOy, có B ≡ O
Ta có hệ phương trình cân bằng:
P = m.g ( g - gia tốc trọng trường, lấy g = 10 m/s 2 )
Vậy phản lực tại hai điểm tiếp xúc D và E là: ND = 51,96 (N)
* Phương pháp giải bài toán hệ lực phẳng đồng qui:
- Phân tích bài toán: Đặt các lực tác dụng lên vật xét cân bằng bao gồm các lực đã cho và các phản lực liên kết
Để lập phương trình cân bằng, trước tiên cần chọn hệ trục tọa độ phù hợp với bài toán Hệ trục tọa độ có thể được lựa chọn một cách tự do mà không làm ảnh hưởng đến kết quả Tuy nhiên, việc chọn hệ trục tọa độ hợp lý sẽ giúp giải bài toán một cách đơn giản hơn Sau đó, tiến hành viết phương trình cân bằng.
Sau khi giải bài toán, cần kiểm tra lại kết quả và đối chiếu với đề bài để đảm bảo tính chính xác và phù hợp.
Ngẫu lực
3.1 Mô men của một lực đối với một điểm
Trong thực tế lực tác dụng lên vật không những làm cho vật di chuyển mà còn có khả năng làm cho vật quay
Giả sử, vật rắn chịu tác dụng của lực ,vật có thể quay quanh điểm cố định O (Hình 1.29)
Tác dụng quay mà lực gây ra cho vật gọi là mômen của lực đối với điểm O, kí hiệu là mo( )
Trị số mômen \( M_o \) phụ thuộc vào lực \( F \) và khoảng cách \( a \) từ điểm O đến đường tác dụng của lực, được gọi là cánh tay đòn Chiều quay của mômen phụ thuộc vào hướng của lực và vị trí của đường tác dụng lực so với điểm O, được biểu diễn bằng công thức \( M_o = \pm F.a \).
Quy ước về cánh tay đòn mô cho thấy rằng nếu lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ, ta sẽ ghi dấu (+), còn nếu lực làm vật quay cùng chiều kim đồng hồ, ta ghi dấu (-).
- Nếu đường tác dụng của đi qua O thì mo( ) = O, vì cánh tay đòn a = 0
Hình 1.29 Vật rắn chịu tác dụng của lực
Mômen được tính bằng hai lần diện tích tam giác tạo thành bởi lực tác dụng và điểm O, với công thức mo( ) = 2SÔOAB Đơn vị đo mômen là Niutơn mét (N.m), trong đó lực được tính bằng Niutơn (N) và cánh tay đòn tính bằng mét (m).
Mômen của hợp lực trong hệ lực phẳng tại một điểm cụ thể trong mặt phẳng chứa các lực được xác định bằng tổng đại số của các mômen của từng lực thành phần đối với điểm đó.
Nghĩa là : Hệ lực ( ) ≈ thuộc mặt phẳng P; điểm O thuộc P, ta có: mo( ) = mo( ) + mo( ) + + mo( ) (1-17)
3.1.2.1 Trường hợp hệ là hai lực đồng qui
Giả sử có hai lực và đồng qui tại A, có hợp lực là và O là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng của hai lực này
Ta phải chứng minh: mo( ) = mo( ) + mo( )
Thật vậy, Nối O với A, từ O ta vẽ đường thẳng Ox vuông góc với AO, rồi từ mút các lực hạ đường Bb, Cc, Dd vuông góc với Ox ( Hình 1.31 )
Ta có: mo( ) =2SOAB = OA Ob mo( ) =2SOAD = OA Od mo( ) =2SOAC = OA Oc
Theo hình vẽ: Oc = Ob + bc
Mặt khác: Od = bc vì là hình chiếu của hai đoạn thẳng song song bằng nhau
(AD và BC) lên trục Ox nên: Oc = Ob + Od
Vì thế: mo( ) = OA.(Ob + Od) = OA.Ob + OA.Od mo( ) = mo( ) + mo( )
3.1.2.2 Trường hợp hệ là hai lực song song
Giả sử hệ là hai lực song song ( ) đặt tại A và B có hợp lực là O là điểm bất kỳ nằm trên mặt phẳng của hệ lực (hình 1.32)
Ta phải chứng minh mo( ) = mo( ) + mo( )
Thật vậy, từ O ta kẻ đường Ox vuông góc với phương của các lực, ta có:
Hình 1.31 Hai lực đồng quy
23 mo( ) = F1.Oa mo( ) = F2.Ob mo( ) = R.Oc
Trong đó: R = F1 + F2 ; Oc = Ob + bc ;
Vì thế: mo( ) = (F1 + F2).(Ob + bc)
Nên mo( ) = F1.Ob + F1bc + F1.ca + F2.Ob
= F1.(Ob + bc + ca) + F2.Ob = F1.Oa + F2.Ob
Suy ra: mo( ) = mo( ) + mo( ) (1-18)
3.1.2.3 Trường hợp hệ gồm nhiều hệ lực phẳng bất kỳ
Giả sử hệ gồm n lực bất kỳ ( ), O là điểm nào đó nằm trên mặt phẳng chứa các lực
Ta phải chứng minh: mo( ) = mo( ) + mo( ) + + mo( ) (1-19)
Bằng cách phân tích từng cặp lực, chúng ta bắt đầu với hai lực có hợp lực Hai lực này có thể đồng quy hoặc song song, từ đó có thể chứng minh rằng mô men của lực tổng hợp bằng tổng mô men của các lực thành phần.
Tiếp tục xét hai lực và có hợp lực : mo( ) = mo( ) + mo( ) = mo( ) + mo( ) + mo( )
Tiếp tục xét lần lượt như thế cho đến lực cuối cùng , có hợp lực của hệ lực là ta sẽ có điều cần phải chứng minh
Hệ lực gồm hai lực song song, ngược chiều, cùng trị số nhưng không cùng đường tác dụng lực gọi là một ngẫu lực , ký hiệu (
Khoảng cách giữa đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực, ký hiệu a (Hình 1.33)
Ngẫu lực có tác dụng làm cho vật chuyển động quay, tác dụng quay gọi là mômen của ngẫu lực
Hình 1.32 Hai lực song song
Ngẫu lực được xác định bởi các yếu tố
Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực là mặt phẳng chứa các lực liên quan đến ngẫu lực Chiều quay của ngẫu lực được xác định theo quy ước, trong đó chiều dương là chiều quay ngược chiều kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay theo chiều kim đồng hồ.
+ Trị số mômen của ngẫu lực: là đại lượng xác định bởi tích số
F là trị số của các lực d là khoảng cách giữa hai lực, còn gọi là cách tay đòn của ngẫu
M là đại lượng vô hướng có đơn vị là N.m
Các yếu tố xác định ngẫu lực gần giống với các yếu tố xác định lực, cho thấy ngẫu lực có thể được coi là một dạng tối giản của hệ lực phẳng.
Người ta cũng có thể biểu diễn ngẫu lực bằng một vectơ sao cho
+ Phương của vectơ ngẫu lực vuông góc với mặt phẳng tác dụng của ngẫu
+ Hướng của vectơ sao cho nhìn từ ngọn vectơ xuống mặt phẳng tác dụng ngẫu lực có xu hướng quay theo chiều kim đồng hồ
+ Độ dài của vectơ biểu diễn trị số của momen ngẫu lực
3.2.2.1 Hợp hệ ngẫu lực phẳng
Giả sử cho hệ ngẫu lực phẳng có mômen lần lượt là m1, m2, , mn (hình 1.35) Biến đổi hệ ngẫu lực này thành hệ ngẫu lực ( ); ( ); ; ( ) có cùng cánh tay đòn a a F
Hình 1.34 Biểu diễn ngẫu lực
Hợp lực của các lực đặt tại A, B là hai lực song song, ngược chiều, có cùng trị số:
R = RA = RB = tạo thành ngẫu lực ( )
Ngẫu lực ( ) gọi là ngẫu lực tổng hợp, có mômen:
Như vậy: Một hệ ngẫu lực phẳng cho ta một hệ ngẫu lực tổng hợp có mômen bằng tổng đại số mômen của các ngẫu lực thuộc hệ
Ví dụ: Hệ ngẫu lực phẳng gồm m1 = 60 Nm; m2 = 120 Nm; m3 = -30 Nm
- Hãy xác định ngẫu lực tổng hợp
- Nếu ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là 0,5 m, trị số lực của nó bằng bao nhiêu? Bài giải:
- Theo công thức tính ngẫu lực tổng hợp M ta có :
- Theo công thức tính trị số của ngẫu lực tổng hợp
M = R.a R Vậy: - Ngẫu lực tổng hợp là : M = 150 Nm
- Trị số ngẫu lực tổng hợp là: R = 300 N
3.2.2.2 Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng
Để hệ ngẫu lực phẳng đạt được trạng thái cân bằng, tổng hợp ngẫu lực của nó cần phải bằng không, tức là M = 0 Do đó, điều kiện cần thiết cho sự cân bằng của hệ ngẫu lực là M = 0.
Hình 1.35 Hợp hệ ngẫu lực phẳng
26 Điều kiện cần và đủ để một hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng đại số mômen của các ngẫu lực thuộc hệ bằng 0
Ví dụ: Dầm có hai gối đỡ A và B chịu tác dụng bởi ngẫu lực ( ) có mômen m 3.10 5 Nm
Xác định phản lực tại các gối đỡ của dầm
Bài giải: Ở hai gối đỡ có các phản lực tạo thành ngẫu lực cân bằng với ngẫu lực ( ) cho nên theo điều kiện cân bằng ta có:
Vậy phản lực tại hai gối đỡ của dầm là : NA = NB = 50 kN.
Hệ lực phẳng bất kỳ
Hệ lực phẳng bất kì là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm bất kỳ trong cùng một mặt phẳng
Hình 1.36 Hệ lực phẳng bất kỳ
Hệ lực phẳng bất kỳ là trường hợp tổng quát của hệ lực phẳng
4.2 Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm
4.2.1 Định lý dời lực song song Định lý: Khi dời song song một lực, để tác dụng cơ học không đổi phải thêm vào một ngẫu lực phụ có mô men bằng mô men của lực đối với điểm mới dời đến
Hình 1.37 Dời lực song song
Lực F tác dụng tại A tương đương với tác dụng của nó tại O (lực F ') và một ngẫu lực có mômen bằng mômen của lực F đối với điểm O
Giả sử lực F đặt tại A cần phải dời lực song song đến điểm O (Hình 1.37a) Đặt tại
F ) có cùng trị số với lực F (Hình 1.37b) thỏa mãn các điều kiện sau:
F ) có: F '// cùng chiều và cùng trị số với F nên có thể coi F ' là
Định lý đã được chứng minh: F RF '+ m0(F ) Định lý đảo chỉ ra rằng nếu một lực và một ngẫu lực nằm trong cùng một mặt phẳng, chúng tương đương với một lực song song cùng chiều, có trị số bằng lực ban đầu và mômen tại điểm đặt của lực ban đầu bằng mômen của ngẫu lực.
Theo định lý, lực tương đương cần được đặt ở vị trí sao cho khi tính mô men đối với điểm đặt của lực đã cho, sẽ tạo ra chiều quay của ngẫu lực, với cánh tay đòn a = m/F.
4.2.2 Thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trước
Khi cần thu hệ lực phẳng bất kỳ (F1, F2, F3) về tâm O, ta áp dụng định lý dời lực song song Theo đó, các lực đã cho sẽ được dời song song về tâm thu gọn O.
Tại điểm mới dời đến O hệ lực đã cho tương đương với một hệ lực phẳng đồng quy và một hệ ngẫu lực phẳng (Hình 1.38b)
Hình 1.38 Thu hệ lực phẳng về một tâm
Thu hệ lực phẳng đồng quy ( F 1 / , F 2 / , F 3 / ) được R /
Thu hệ ngẫu lực phẳng được ngẫu lực có mô men: Mo = m1 + m2 + m3 = mo(
R / được gọi là véctơ chính còn Mo được gọi là mômen chính của hệ ngẫu lực phẳng đã cho đối với điểm O (Hình 1.38c)
Hệ lực phẳng bất kỳ có thể được biểu diễn bằng một lực có véc tơ tương đương với véc tơ chính của hệ lực, cùng với một ngẫu lực có mômen tương đương với mômen chính của hệ lực tính từ tâm thu gọn.
- Xác định Véctơ chính Vì hình chiếu
F1 , F 2 , F 3 luôn bằng nhau nên ta có:
Từ công thức trên cho chúng ta thấy:
Vec tơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn
Mô men chính thay đổi theo tâm thu gọn (vì với mỗi tâm thu gọn khác nhau lực có cánh tay đòn và chiều quay khác nhau)
4.3 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ
4.3.1 Điều kiện cân bằng Điều kiện cần và đủ để một hệ phẳng bất kỳ cân bằng là véc tơ chính và mô men chính của hệ đối với một tâm bất kỳ đều phải đồng thời bằng không
4.3.2 Các dạng phương trình cân bằng
Để một hệ phẳng bất kỳ đạt trạng thái cân bằng, cần và đủ điều kiện là tổng hình chiếu của các lực trên hai trục tọa độ vuông góc phải bằng không, đồng thời tổng đại số mô men của các lực đối với một tâm bất kỳ trên mặt phẳng cũng phải bằng không.
Thật vậy theo điều kiện R ’ = 0 và Mo = 0
Rcó hai hình chiếu lên trục x và y
Mà 𝑅 ′ = √(𝐹𝑥) 2 + (𝐹𝑦) 2 mà (∑Fx) 2 và (∑Fy) 2 là những số dương nên R ’ = 0 chỉ khi ∑Fx = 0 và ∑Fy = 0 mà Mo = m o F nên M o = 0 khi 𝑚 𝑜 (𝐹 ) = 0
Để một hệ phẳng bất kỳ đạt trạng thái cân bằng, điều kiện cần và đủ là tổng đại số mô men của các lực tác động tại hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng phải bằng không, đồng thời tổng hình chiếu các lực lên trục x không vuông góc với đường thẳng nối hai điểm đó cũng phải bằng không.
∑ 𝐹𝑥 = 0 x không vuông góc với AB (1-27)
Thật vậy ∑ 𝑚 𝐴 (𝐹 ) = 0 và ∑ 𝑚 𝐵 (𝐹 ) = 0 thỏa mãn mô men chính Mo = 0, mặt khác hệ có hợp lực thì 𝑅⃗ ′ phải nằm trên phương AB, nhưng trục x không vuông góc với AB nên
∑Fx = 0 thì R = 0 hệ lực cân bằng
Để một hệ phẳng bất kỳ đạt trạng thái cân bằng, điều kiện cần và đủ là tổng đại số mô men của các lực tác động tại ba điểm không thẳng hàng trên mặt phẳng phải bằng không.
A, B, C không thẳng hàng (1-28) Thật vậy hệ có hợp lực thì hợp lực đều phải đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng điều này không thể xảy ra vì vậy R = 0 hệ lực cân bằng
CÂU HỎI ÔN TẬP, BÀI TẬP
1 Lực là gì ? Cách biểu diễn lực
2 Thế nào là hệ lực, hệ lực cân bằng, hệ lực tương đương?
3 Thế nào là liên kết, phản lực liên kết? Có mấy liên kết cơ bản ? Nêu cách xác định phản lực liên kết của những liên kết đó
4 Thế nào là giải phóng liên kết ? Khi giải phóng liên kết ta phải làm những gì ?
4 Trình bày qui tắc đa giác lực và điều kiện cân bằng qui tắc đa giác lực
5 Mômen của hệ lực đối với một điểm là gì? Viết biểu thức tính mômen và cho biết qui ước về dấu
6 Ngẫu lực là gì? cách biểu diễn ngẫu lực trong mặt phẳng
7 Em hãy quan sát mô hình các dạng chịu lực ở hình 1.49 và đưa ra nhận xét? a Các trường hợp trên thuộc các dạng liên kết nào đã học? b Hãy phân tích lực tác dụng lên vật khảo sát?
Hình 1.49 Mô hình các dạng chịu lực
8 Trình bày qui tắc đa giác lực và điều kiện cân bằng qui tắc đa giác lực
9 Phát biểu và viết phương trình cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ
10 Một quả bóng bay có trọng lượng P = 20 (N), chịu lực đẩy của không khí lên phía trên là 50 (N) và lực thổi của gió theo phương nằm ngang là 40 (N) Tìm hợp lực?
11 Giá ABC dùng để treo vật nặng có khối lượng m = 200 (kg), các góc cho trên hình vẽ Xác định các phản lực của thanh AC và BC
12 Dầm CD đặt trên hai gối đỡ A và B Dầm chịu tác dụng của ngẫu lực có mômen m = 8 kN.m, các lực có trị số Q = 20 kN và lực phân bố đều q = 20 kN/m Xác định phản lực tại các gối đỡ biết a = 0,8 m ĐS: NB = 21 kN; YA = 15 kN
13 Thanh AB dài l = 8m, nặng 12 kg bắt bản lề cố định tại A và tỳ lên tường C cao h = 3m (hình 3.13) Đầu B treo một vật có khối lượng M = 20 kg Xác định phản lực tại các gối đỡ A và chỗ tỳ C ĐS: XA = 260N; YA = 170N; NC = 300N.
Ngoại lực - Nội lực - Ứng suất
Ngoại lực là những lực tác động từ môi trường bên ngoài hoặc từ các vật thể khác lên một vật thể đang được xem xét, gây ra sự biến dạng cho nó Ngoại lực bao gồm tải trọng tác động và phản lực tại các liên kết Dựa vào hình thức tác dụng, ngoại lực được chia thành lực tập trung và lực phân bố.
Lực tập trung là lực tác động lên một diện tích nhỏ, có thể được coi như tập trung tại một điểm trên vật, ký hiệu là lực P Đơn vị đo lường của lực tập trung là Niutơn (N).
- Lực phân bố là lực tác dụng trên một đoạn dài hay trên một diện tích truyền lực đáng kể của vật (lực q(z))
Trên chiều dài l có tác dụng của hệ lực phân bố đều (hình 2.2a) thì hợp lực của nó đặt ở điểm giữa đoạn phân bố và có trị số:
Trên chiều dài l, hệ lực phân bố bậc nhất tạo ra một hợp lực tại trọng tâm của hình phân bố, với trị số xác định.
+ Lực phân bố diện tích: Đơn vị (N/m 2 ) l q
Hình 2.1 Biểu diễn ngoại lực a) b)
Hình 2.2 Biểu diễn hợp lực của của hệ lực phân bố
+ Lực phân bố thể tích: Đơn vị (N/m 3 )
Dưới tác động của ngoại lực, vật thể sẽ bị biến dạng, dẫn đến việc tăng cường lực liên kết giữa các phân tố của vật để chống lại biến dạng Độ tăng của lực này được gọi là nội lực, tuy nhiên, mỗi loại vật liệu chỉ có khả năng chịu đựng nội lực đến một giới hạn nhất định Khi ngoại lực vượt quá giới hạn này, nội lực không đủ mạnh để chống lại, khiến vật liệu có nguy cơ bị phá hỏng.
* Xác định nội lực bằng phương pháp mặt cắt
Xét thanh AB chịu tác dụng của hệ ngoại lực (F1,F2,F3, ,F6
Khi cắt thanh thành hai phần A và B bằng mặt phẳng S, mặt giao tuyến của thanh AB với mặt S được gọi là F Để nghiên cứu phần A, ta bỏ đầu B và giữ lại A Để A đạt trạng thái cân bằng, cần phải đặt vào mặt cắt một hệ lực phân bố, mà hệ lực này chính là nội lực cần tìm Giả sử R là hợp lực của hệ phân bố, vì đầu A ở trạng thái cân bằng nên hệ lực bao gồm cả ngoại lực và nội lực phải tạo thành một hệ cân bằng.
Rlà nội lực trên mặt cắt F, để xác định R ta đặt hệ lực vào hệ trục xOy (hình 2.3b), viết điều kiện cân bằng:
Hình 2.3 Phương pháp mặt cắt a) mặ t cắt b) mặ t cắt c) mặ t cắt
Giải các phương trình để xác định R
Sau khi xác định được trị số, di chuyển R về trọng tâm của mặt cắt, theo định lý dời lực ta có:
N trùng với phương của trục,
Q vuông góc với phương của trục Khi đó gọi M là mômen uốn; N gọi là lực dọc;Q gọi là lực cắt (hình 2.3c)
Nội lực là hệ lực phân bố liên tục trên mặt cắt, cho phép xác định nội lực trong mỗi đơn vị diện tích Ứng suất, được định nghĩa là nội lực trên một diện tích mặt cắt, có đơn vị đo là N/m².
Các bội số của đơn vị ứng suất là: kN/m 2 , MN/m 2 Ứng suất được phân tích làm 2 thành phần:
- Thành phần vuông góc với mặt cắt được gọi là ứng suất pháp: ký hiệu
- Thành phần nằm trong mặt cắt được gọi là ứng suất tiếp: Ký hiệu là
Quy ước về dấu và cách viết ứng suất như sau
- Ứng suất pháp được coi là dương khi vectơ biểu diễn có chiều cùng với chiều dương pháp tuyến ngoài mặt cắt Ký hiệu x
- Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay một góc
90 0 theo chiều quay của kim đồng hồ sẽ trùng với chiều của ứng suất tiếp
35 Ứng suất tiếp kèm theo hai chỉ số Chỉ số thứ nhất chỉ chiều pháp tuyến ngoài, chỉ số thứ hai chỉ chiều ứng suất tiếp
1.4 Các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang
Muốn xác định nội lực ta phải dùng phương pháp mặt cắt
Giả sử chúng ta xem xét sự cân bằng của phần phải trong hệ nội lực, điều này được đặc trưng bởi tác dụng của phần trái lên phần phải Tác động này có thể được biểu diễn thông qua vectơ R, đặt tại một điểm K nhất định.
Khi thu gọn hợp lực R tại điểm K về trọng tâm O của mặt cắt ngang, ta nhận được một lực R' có vectơ tương đương với R cùng với một ngẫu lực có momen M, đại diện cho vectơ chính và mômen chính của hệ nội lực.
Lực R' và M có phương chiều tùy ý trong không gian Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ phân tích lực R' thành ba thành phần trên hệ trục tọa độ vuông góc như hình vẽ.
- Thành phần nằm trên trục Z gọi là lực dọc Ký hiệu NZ
- Thành phần nằm trên các trục X và Y trong mặt cắt ngang gọi là lực cắt Ký hiệu
Ngẫu lực M cùng được phân làm ba thành phần
Mômen uốn, ký hiệu là MX và MY, là thành phần momen quay xung quanh các trục X và Y, tác dụng trong các mặt phẳng ZOY và ZOX vuông góc với mặt cắt ngang.
- Thành phần momen quay xung quanh các trục X, Y ( tác dụng trong mặt phẳng của mặt cắt ngang) gọi là momen xoắn Ký hiệu MZ
MZ, MX, MY, QX, QY, và NZ là sáu thành phần nội lực trong mặt cắt ngang, được xác định dựa trên điều kiện cân bằng tĩnh học nhằm tính toán nội lực chịu tác động của ngoại lực.
Hình 2.5 Quy ước về dấu và cách viết ứng suất
Hình 2.6 Các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang
Kéo và nén
2.1 Khái niệm về kéo nén
Một thanh được gọi là chịu kéo hoặc chịu nén đúng tâm khi có ngoại lực tác dụng là hai lực đối diện, cùng phương với trục của thanh Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang của thanh chỉ xuất hiện một thành phần nội lực duy nhất là lực dọc.
Nội lực trongthanh chịu kéo hoặc nén là lực dọc Nz hoặc N vuông góc với mặt cắt
- Biểu đồ nội lực là đường biểu diễn sự biến thiên của lực dọc theo trục của thanh
Lực dọc được phân loại thành hai loại: dương và âm Lực dọc được coi là dương khi nó hướng ra ngoài mặt cắt, tương ứng với thanh chịu kéo Ngược lại, lực dọc được xem là âm khi nó hướng vào mặt cắt, ứng với thanh chịu nén.
Ví dụ 1: Vẽ biểu đồ lực dọc của một thanh chịu lực như hình vẽ biết P1 = 5.10 4 N;
Giải Để vẽ biểu đồ ta chia thanh làm hai đoạn L1 và L2
- Xét đoạn L1: dùng mặt cắt 1-1 khảo sát sự cân bằng bên trái ta có
Khi mặt cắt 1-1 biến thiên trong đoạn L1 ( 0 Z1 L1) lực dọc NZ1 không đổi và bằng 5.10 4 N
- Xét đoạn L2 dùng mặt cắt 2-2 khảo sát sự cân bằng bên trái: Ta có
Khi mặt cắt 2-2 biến thiên trong đoạn L2 ( 0 Z2 L2) lực dọc NZ2 không đổi và bằng 2.10 4
Biểu đồ lực dọc trên toàn bộ chiều dài thanh được thể hiện trong hình vẽ, trong đó hoành độ biểu diễn trục của thanh và tung độ thể hiện lực dọc tương ứng với các mặt cắt trên trục thanh Đối với lực dọc, nếu Nz > 0, lực dọc có giá trị dương; ngược lại, khi Nz < 0, lực dọc có giá trị âm.
Hình 2.7 Thanh chịu kéo nén a, Thanh chịu kéo; b, Thanh chịu nén
2.1.3 Ứng suất trong thanh chịu kéo (nén)
Trước khi tiến hành kiểm tra thanh chịu lực, cần kẻ các đường thẳng vuông góc với trục thanh để biểu thị các mặt cắt ngang, cùng với những đường thẳng song song với trục thanh để thể hiện các thớ dọc của thanh.
Khi tác dụng lực kéo P, các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh di chuyển xuống dưới nhưng vẫn giữ nguyên tính thẳng và vuông góc Đồng thời, các đường thẳng song song với trục dịch gần lại với nhau nhưng vẫn thẳng và song song với trục thanh Những quan sát này dẫn đến kết luận quan trọng về sự chuyển động của các đoạn thẳng trong hệ thống.
Khi một thanh chịu kéo (nén):
- Các mặt cắt ngang vẫn thẳng và vuông góc với trục thanh
- Các thớ dọc của thanh có độ giãn dài như nhau vẫn thẳng và song song với trục thanh
Nội lực phân bố trên mặt cắt cần phải song song với trục thanh, tức là chỉ có ứng suất pháp xuất hiện Đồng thời, do các thớ dọc có độ giãn dài đồng nhất, nội lực sẽ được phân bố đều trên mặt cắt.
Hình 2.8 Ứng suất trong thanh chịu kéo -nén a)
Ta ký hiệu ứng suất trong thanh chịu kéo, nén là k,n Biểu thức liên hệ giữa ứng suất với nội lực như sau:
Dấu (+) nếu thanh chịu kéo, dấu (-) nếu thanh chịu nén
N là lực kéo hoặc nén
F là diện tích mặt cắt
2.1.4 Biến dạng, định luật Húc a Biến dạng:
Dưới tác dụng của lực kéo P, thanh sẽ dài ra nhưng chiều ngang sẽ hẹp lại, trong khi đó, khi chịu lực nén P, thanh sẽ co ngắn lại nhưng chiều ngang lại lớn thêm.
Chiều dài của thanh biến đổi được xác định bởi ∆l = l1 - l, gọi là biến dạng dọc tuyệt đối Khi thanh dài ra do lực kéo, ∆l được gọi là độ giãn dọc tuyệt đối với giá trị dương Ngược lại, khi thanh ngắn lại do lực nén, ∆l được gọi là độ co tuyệt đối với giá trị âm.
Tỷ số gọi là biến dạng dọc tương đối, là một hư số b Định luật húc:
Qua nhiều thí nghiệm về kéo và nén các vật liệu, nhà vật lý Roobe Húc đã phát hiện rằng khi lực tác dụng chưa vượt quá một giới hạn nhất định, biến dạng dọc tuyệt đối luôn tỷ lệ thuận với lực P Kết luận này được diễn đạt bằng phương trình toán học.
Vì N = P nên có thể viết:
P P l 1 = l + l l a) Biế n dạ ng kéo b) Biế n dạ ng nén Hỗnh 11.3
Hình 2.9 Biến dạng trong thanh chịu kéo - nén b) Biến dạng nén a) Biến dạng kéo
Mô đun đàn hồi E là chỉ số quan trọng thể hiện độ cứng và khả năng chống biến dạng đàn hồi của vật liệu Giá trị của E được xác định qua thí nghiệm và có đơn vị đo là N/m², trong khi trong kỹ thuật thường sử dụng đơn vị MN/m², được cung cấp trong các sổ tay kỹ thuật.
Tích E.F gọi là độ cứng trong kéo (nén), công thức trên có thể biến đổi như sau:
Suy ra: = .E Định luật Húc:
“ Khi lực chưa vượt quá một giới hạn nhất định, ứng suất kéo (nén) tỉ lệ thuận với biến dạng dọc tương đối ”
Bảng 1: Bảng mô đun đàn hồi của một số vật liệu
Vật liệu E (tính bằng MN/m 2 )
2,2.10 5 1,9 10 5 Gang xám, gang trắng 1,15.10 5 - 1,6.10 5 Đồng và hợp kim đồng 1,2.10 5
Ví dụ 2: Hãy tính ứng suất trong thanh chịu lực ở ví dụ 1, biết P1 = 5.10 4 N, P2 3.10 4 N, P3 = 2.10 4 N, F = 0,5.10 -2 N
Trên biểu đồ lực dọc, đoạn AB cho thấy giá trị lực dọc lớn nhất là NzAB 5.10^4 N Với mặt cát ngang không đổi (F = 0,5.10^-2 cm^2), ứng suất pháp lớn nhất xuất hiện tại mặt cắt trong đoạn AB.
- Trong đoạn BC có Nz BC = 2.10 4 N
Vậy ứng suất trong đoạn BC là 4 2 4.10 6 2
2.2 Tính toán về kéo nén
Để đảm bảo thanh bị kéo (nén) bền, ứng suất pháp lớn nhất trong thanh cần phải nhỏ hơn hoặc tối đa bằng ứng suất cho phép của vật liệu chế tạo thanh.
𝐹≤[𝜎 𝑘,𝑛 ] (2-3) Trong đó: max: Là ứng suất lớn nhất trong thanh chịu kéo
min: Là ứng suất nhỏ nhất (trị tuyệt đối lớn nhất) trong thanh chịu kéo
2.2.2 Chọn kích thước mặt cắt
Từ điều kiện bền ta có công thức tính diện tích mặt cắt của thanh:
Một thanh thép tròn có đường kính 40mm chịu lực kéo 2 kN cần được kiểm tra tính bền kéo Ứng suất cho phép của thép là 120 MN/m².
Diện tích mặt cắt của thép tròn l:
F Ứng suất phát sinh trong thanh:
Kết luận: Thanh thép an toàn khi chịu kéo
Ví dụ 4: Kiểm tra bền của thanh chịu nén như hình vẽ bằng thép xây dựng có mặt cắt F1 = 10cm 2 ; F2 = 20cm 2 ; 1410 2 2 m
Ta đã vẽ được biểu đồ lực dọc của thanh có
Nz1max = 3KN; Nz2max= - 4KN
Từ công thức điều kiện bền
Nz max ta có ứng suất trong thanh là
Kết luận: thanh đủ bền
Cắt – dập
Khi một thanh chịu tác dụng của hai lực song song, có trị số bằng nhau và ngược chiều, đặt thẳng góc với trục của thanh, thì thanh sẽ chịu lực cắt Các lực này nằm trong hai mặt cắt gần nhau của thanh.
Để xác định nội lực, chúng ta sử dụng phương pháp mặt cắt Hãy tưởng tượng rằng thanh AB được cắt thành hai phần A và B, trong đó chúng ta giữ lại phần A để phân tích Để đảm bảo phần A đạt trạng thái cân bằng, cần đặt lực Q tại mặt cắt, nhằm duy trì sự cân bằng.
Q là tổng hợp của hệ lực phân bố (c) trên mặt cắt Fc Dựa vào giả thuyết rằng sự phân bố nội lực trên mặt cắt của thanh chịu cắt là đồng đều, ta có công thức: c.Fc = Q = P.
Trong đó: c: ứng suất tiếp Hình 2.10 Xác định nội lực - ứng suất
Fc: diện tích mặt bị cắt
Trong quá trình phát sinh hiện tượng cắt, ta thấy hình hộp giới hạn bởi hai mặt cắt abcd (hình 2.14b) biến thành hình bình hành abc'd'
Nếu coi ab cố định thì cd đã chỗ sang vị trí c'd' Vì thế biến dạng trong cắt là biến dạng trượt
Gọi cc' = dd' = S là độ trượt tuyệt đối
S gọi là độ trượt tương đối
3.1.4 Định luật Húc Định luật: Ứng suất cắt c tỷ lệ thuận với độ trượt tương đối
Mô đun đàn hồi trong cắt, ký hiệu là G, được đo bằng đơn vị MN/m² Giá trị của mô đun đàn hồi biến dạng cắt này thường được xác định thông qua các thí nghiệm thực tế và có thể tra cứu trong các sổ tay kỹ thuật.
3.1.5 Tính toán về cắt a Điều kiện bền Để một thanh chịu cắt bền thì ứng suất lớn nhất phát sinh trong thanh phải nhỏ hơn hay tối đa bằng ứng suất cắt cho phép của vật liệu chế tạo thanh
(2-7) b Chọn mặt cắt thanh chịu cắt
Từ điều kiện bền ta suy ra, muốn một thanh chịu cắt bền diện tích mặt cắt phải thỏa mãn điều kiện:
Dập là hiện tượng nén cục bộ xảy ra trên một diện tích truyền lực tương đối nhỏ của hai cấu kiện ép vào nhau
Trên mặt bị dập sẽ phát sinh ứng suất pháp gọi là ứng suất dập Ký hiệu d
Ví dụ: Thân đinh tán chịu dập do thành lỗ ép vào nó (hình 2.11)
Giả thiết nội lực dập phân bố đều trên mặt dập, ta có:
P là hợp lực của nội lực đặt vào mặt cắt dập; F là diện tích mặt chịu dập d d F
3.2.3 Tính toán về dập a Điều kiện cường độ
Ví dụ: Mối ghép đinh tán truyền tải trọng P = 5kN Hai tấm ghép dày h = 10mm, đường kính đinh tán d = 10mm, vật liệu chế tạo đinh có d 2
Hãy kiểm tra cường độ đinh tán
Thân đinh tán chịu cắt ở mặt cắt tiếp xúc giữa hai tấm ghép, nội lực cắt Q = P ta có:
Vậy, đinh tán an toàn về cường độ khi chịu cắt
2) Về dập: Để đơn giản ta giả thiết ứng suất dập phân bố đều trên mặt cắt qua trục đinh tán
Hình 2.11 Thân đinh tán chịu dập
Nên đinh tán an toàn khi chịu dập.
Xoắn thuần túy
Một thanh được gọi là chịu xoắc thuần túy khi ngoại lực tác dụng là các ngẫu lực nằm trên mặt cắt của thanh
Ví dụ: Thanh mặt cắt tròn một đầu cố định và một đầu tự do chịu tác tác dụng của ngẫu lực m = P.a (hình 2.12)
4.1.2 Nội lực Để xác định nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt
Khi cắt thanh AB chịu xoắn thành hai phần A và B, ta giữ lại đầu B để phân tích Để đảm bảo đầu B ở trạng thái cân bằng, cần đặt vào mặt cắt nội lực Mx với giá trị mômen bằng và ngược chiều với ngẫu lực (P,P) như minh họa trong hình 2.13.
Trục truyền có bốn bánh đai, trong đó bánh 2 tạo ra mômen phát động m2 = 600Nm, còn các bánh 1, 3 và 4 tác động với các mômen cản lần lượt là m1 = 200Nm, m3 = 100Nm và m4 = 400Nm Bỏ qua ma sát ở các gối, cần vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực cho trục.
Trước hết để vẽ biểu đồ ta chia trục thành 5 đoạn, tính mômen xoắn nội lực tại mặt cắt ngang trong từng đoạn
- Đối với đoạn I mặt cắt 1-1 và khảo sát sự cân bằng của phần bên trái, ta có MxI 0
- Đối với đoạn II thực hịên mặt cắt 2-2 và khảo sát sự cân bằng của phần bên trái, ta có: MxII = m1 = 200 Nm
- Đối với đoạn III thực hịên mặt cắt 3-3 và khảo sát sự cân bằng của phần bên trái, ta có:
- Đối với đoạn IV thực hịên mặt cắt 4-4 và khảo sát sự cân bằng của phần bên phải, ta có:
- Đối với đoạn V mặt cắt
1-1 và khảo sát sự cân bằng của phần bên phải, ta có
3-3, 4-4, 5-5 dịch chuyển trong đoạn I, II, III, IV, V thì
MxIII và MxIV là các hằng số không đổi, với biểu đồ thể hiện mối quan hệ của chúng Đoạn III có mômen xoắn nội lực đạt giá trị tuyệt đối lớn nhất.
4.1.3 Biến dạng trong thanh chịu xoắn
Xét thanh có mặt cắt tròn, các đường sinh được kẻ để biểu thị cho các thớ dọc, trong khi các đường vuông góc với trục thanh thể hiện các mặt cắt của thanh Những đường này tạo thành các ô chữ nhật Ở mặt đầu của thanh, bán kính r được kẻ rõ ràng.
Tác dụng vào thanh ngẫu lực m, nhận thấy:
Khi thanh chịu xoắn, các mặt cắt của nó xoay quanh trục một góc nhất định, nhưng vẫn giữ hình dạng tròn với bán kính không đổi, đồng thời vẫn phẳng và vuông góc với trục của thanh.
- Khoảng cách giữa hai mặt cắt trước và khi chịu xoắn không đổi
Trước và trong quá trình xoắn, bán kính của mặt cắt vẫn giữ thẳng và có chiều dài không thay đổi Góc xoay của bán kính mặt đầu được gọi là góc xoắn tuyệt đối, ký hiệu là .
Tỷ số gọi là góc xoắn tương đối, trong đó l là chiều dài của thanh
Dưới tác dụng của ngẫu lực, các phần tử vật liệu trên các mặt cắt dịch chuyển một góc tương đối
Hình 2.14 Biến dạng trong thanh chịu xoắn
Ta có quan hệ giữa và ở mặt ngoài của thanh: hay hay
Một điểm cách trục một khoảng sẽ thực hiện một góc trượt =
Như vậy biến dạng trượt trong thanh chịu xoắn thay đổi liên tục tăng dần từ trong thanh ra mặt ngoài thanh
Tại trục độ trượt nhỏ nhất: r = 0 = 0
Tại điểm cách trục một khoảng r = = .
Tại mặt ngoài đạt trị số lớn nhất: max = .max = .r
4.1.4 Ứng suất trên mặt cắt thanh chịu xoắn
Khi quan sát biến dạng của thanh chịu xoắn, ta có thể kết luận rằng trên mặt cắt của thanh không tồn tại ứng suất pháp, mà chỉ có ứng suất tiếp Phương chiều của ứng suất này vuông góc với bán kính đi qua điểm đang được xem xét.
Theo định luật húc về biến dạng trượt: x = G
Trị số trong mặt cắt của thanh biến đổi từ 0 đến giá trị lớn nhất khi di chuyển từ tâm ra mặt ngoài, dẫn đến ứng suất tiếp cũng thay đổi từ 0 đến max.
Biểu đồ cho thấy sự biến đổi của ứng suất, trong đó giá trị τx tỷ lệ với khoảng cách từ điểm đang xem xét đến trục biểu diễn, như được minh họa trong hình 3.13.
Nội lực phân bố như trên phần tử diện tích F là F.
Mô men xoắn trên phần tử diện tích F là M = F..
Mômen xoắn trên toàn bộ mặt cắt là:
Hình 2.15 Ứng suất trên thanh chịu xoắn
48 Đặt F 2 = J o và gọi là mômen quán tính độc cực, đơn vị m 4 , ta có:
Wo đặc trưng cho khả năng chống xoắn của thanh và được gọi là mômen diện tích chống xoắn
Với thanh tiết diện tròn
Một thanh chịu xoắn thuần túy sẽ đảm bảo độ bền khi ứng suất lớn nhất trong thanh không vượt quá ứng suất cho phép.
Từ điều kiện cường độ ta suy ra:
Chú ý: Với những trục truyền chuyển động quay công suất P, momen xoắn ngoại lực tính theo công thức: m = 9736 (Nm) (2-17)
Trong đó: Công suất P tính bằng oát, vận tốc góc n tính bằng vg/ph ( n là số vòng quay trong một phút của trục)
Trong đó: Công suất P tính bằng mã lực, vận tốc góc n tính bằng vg/ph ( n là số vòng quay trong một phút của trục)
Một thanh mặt cắt tròn chịu hai mômen xoắn tại hai đầu tự do với Mx = 2kNm và đường kính d = 6,5cm Cần kiểm tra cường độ của thanh để đảm bảo khả năng chịu lực trong điều kiện này.
Với mặt cắt hình tròn ta có:
W0 ≈ 0,2 d 3 = 0,2 0,065 3 = 54.10 -6 m 2 Áp dụng công thức ta có:
Vậy thanh được đảm bảo về cường độ.
Uốn phẳng
Khi một thanh thẳng ở trạng thái cân bằng dưới tác động của các ngẫu lực trong mặt phẳng đối xứng, thanh sẽ bị uốn Mặt phẳng đối xứng chứa các ngẫu lực được gọi là mặt phẳng tải trọng, và thanh chịu uốn được gọi là dầm.
Để xác định nội lực của thanh AB chịu uốn, ta áp dụng phương pháp mặt cắt Cụ thể, ta cắt thanh AB thành hai phần bằng một mặt cắt ngang cách đầu B một khoảng z Khi giữ đầu B và bỏ đầu A, ta cần cân bằng đầu B bằng cách đặt lực vào mặt cắt.
- Lực song song và bằng phản lực tác dụng vào gối đở B nhưng ngược chiều (Q
- Ngẫu lực Mu bằng mômen của ngẫu lực do ( tạo thành, n P
Như vậy nội lực trên mặt cắt có hai thành phần Mu gọi là mômen uốn, Q gọi là lực cắt
Xét nội lực uốn Mu ta thấy: Nếu cho mặt cắt 1-1 di chuyển dọc thanh thì khoảng cách z sẽ biến đổi, dẫn tới
2 cũng thay đổi Sự biến đổi của Mu được biểu diễn bằng biểu đồ nội lực (hình 2.17c)
Như vậy trên thanh chịu uốn tồn tại một mặt cắt có mômen uốn lớn nhất ký hiệu là
2 gọi là mặt cắt nguy hiểm
Bảng 2: Biểu đồ nội lực uốn của các dầm thường gặp
Hình 2.17 Biểu đồ nội lực
5.1.3 Biến dạng Để tiện quan sát biến dạng, ta xét một dầm thẳng mặt cắt hình chữ nhật Ở mặt bên của dầm ta kẻ những đường thẳng song song với trục dầm tượng trưng cho các thớ dọc, kẻ những đường thẳng vuông góc với trục dầm tượng trưng cho các mặt cắt (hình 2.18)
Khi tác dụng lực uốn lên dầm, các đường thẳng vuông góc với trục dầm vẫn giữ nguyên tính vuông góc, trong khi các đường thẳng song song với trục dầm chuyển thành những đường cong đồng dạng với trục dầm đã bị uốn cong.
Giả thiết biến dạng trong dầm tương tự như biến dạng mặt ngoài của nó, ta kết luận:
- Trước và khi chịu uốn, các mặt cắt ngang vẫn phẳng và vuông góc với trục
Khi dầm chịu uốn, các thớ dọc thay đổi chiều dài liên tục từ những lớp co lại đến những lớp giãn dài, trong đó có một lớp có chiều dài không đổi gọi là lớp trung hòa Giao tuyến giữa lớp trung hòa và mặt cắt được gọi là trục trung hòa, ký hiệu (x-x) Đối với mặt cắt đối xứng, trục trung hòa vuông góc với trục đối xứng và đi qua trọng tâm của mặt cắt.
Như vậy biến dạng trong thanh là biến dạng dọc không đồng nhất
Biến dạng dọc tương đối biến đổi liên tục
Tại lớp trung hòa = 0; tăng dần về phía mặt thanh bị cong lồi và giảm dần về phía mặt thanh bị cong lõm
Lớp trung hoà Lớp trung hoà
Biến dạng đạt trị số cực đại max tại mặt thanh bị lồi và cực tiểu min tại mặt thanh bị lõm
5.1.4 Ứng suất trên mặt cắt dầm chịu uốn a Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt dầm chịu uốn:
Từ quan sát biến dạng ở trên, ta nhận thấy trên mặt cắt dầm chịu uốn phát sinh ứng suất pháp, ký hiệu u
Theo định luật Húc về biến dạng dọc, biến dạng dọc tương đối được xác định bởi công thức = .E, trong đó ứng suất thay đổi liên tục từ bên trong ra mặt ngoài của thanh Do đó, ứng suất trong mặt cắt của thanh cũng biến đổi tỷ lệ với ứng suất Sự phân bố ứng suất trong mặt cắt của dầm được thể hiện qua biểu đồ (hình 2.19).
Tại bề mặt ngoài của thanh bị giãn, ứng suất pháp lớn nhất đạt giá trị max > 0, trong khi ở bề mặt ngoài của thanh bị co, ứng suất nhỏ nhất là min < 0 Ứng suất giảm dần khi tiến vào trục trung hòa, nơi có giá trị ứng suất = 0.
Tại điểm cách trục trung hòa một khoảng cách yi ứng suất yi, ta có hệ:
Trong đó: ymax là khoảng cách từ trục trung hòa tới vỏ thanh b Tính ứng suất lớn nhất:
Thực hiện phương pháp mặt cắt, cắt dầm tại mặt cắt I-I như hình vẽ max i min max, yi y
Hình 2.19 Biểu đồ ứng suất
Hình 3.20 Phương pháp mặt cắt
Phần trái của cân bằng chịu tác động của ngoại lực với mô men m và mô men uốn nội lực Mu Theo phương trình cân bằng tĩnh học, ta có mối quan hệ: Mu = m.
Vì ứng suất uốn là ứng suất pháp u nên tổng mô men của các ứng suất pháp trên mặt cắt bằng mô men uốn nội lực Mu, nghĩa là
Trong đó y là ứng suất uốn tại phân tố diện tích F cách trục trung hòa một đoạn y
Mặt khắc các lớp thớ giãn hay co tỉ lệ với khoảng cách y, nên ứng suất uốn cũng tỉ lệ với khoảng cách y đó
Trên lớp thớ trung hòa y = 0 nên pháp u = 0
Lớp thớ xa trục trung hòa nhất y = ymax , u = max.
Tính chất biến thiên bậc nhất của ứng suất u trong dầm uốn thuần túy có thể được thể hiện qua biểu đồ ứng suất trên một mặt cắt nhất định của dầm, như minh họa trong hình 2.19.
Trong một mặt cắt, lớp thớ chịu kéo sẽ có ứng suất uốn kéo hướng ra ngoài, trong khi lớp thớ chịu nén sẽ chịu ứng suất uốn nén hướng vào trong.
Từ biều đồ ứng suất ta có
𝑦 𝑚𝑎𝑥 ∑∆𝐹 𝑦 2 Đặt 𝐽 𝑥 =∑∆𝐹 𝑦 2 và gọi là mô men diện tích cấp 2 hay mô men quán tính của mặt cắt đối với trục trung hòa x ( đơn vị là m 4 )
= 𝑊 𝑥 và gọi là mô men diện tích chống uốn ( đơn vị là m 3 ) của mặt cắt đối với trục trung hòa x
𝑥 (2-19) Trong đó max là ứng suất kéo lớn nhất, lấy dấu (+)
min là ứng suất nén lớn nhất, lấy dấu (-)
Bảng 3: Bảng mômen quán tính và môđul chống uốn của một số dạng mặt cắt
Dạng mặt cắt Mômen quán tính
5.2.1 Điều kiện bền của thanh chịu uốn
Để đảm bảo một thanh chịu uốn có độ bền tối ưu, ứng suất pháp lớn nhất tại mặt cắt nguy hiểm cần phải nhỏ hơn hoặc tối đa bằng ứng suất cho phép.
Khi áp dụng điều kiện, cần lưu ý rằng đối với dầm làm bằng vật liệu có ta, chỉ cần kiểm tra cường độ ứng suất kéo Trong khi đó, đối với dầm làm bằng vật liệu khác, điều kiện bền của dầm phải bao gồm cả hai yếu tố.
5.2.2 Chọn kích thước mặt cắt
Từ điều kiện bền, kích thước mặt cắt (Wx) chọn theo công thức:
5.2.3 Mặt cắt hợp lý của dầm
Theo biểu đồ phân bố ứng suất, vật liệu gần trục trung hòa chịu ứng suất nhỏ hơn, trong khi vật liệu xa trục chịu ứng suất lớn hơn Do đó, khi thiết kế mặt cắt cho thanh chịu uốn, cần đưa phần lớn vật liệu ra xa trục trung hòa để tăng môđul chống uốn và giảm trị số ứng suất cực đại Mặt cắt hợp lý của thanh chịu uốn thường có các dạng cụ thể như hình 2.21.
Vẽ biểu đồ lực cắt Q và mômen uốn M - Xác định mặt cắt nguy hiểm
Lực cắt Q và mômen uốn M có giá trị và dấu khác nhau, cho thấy chúng thay đổi theo vị trí mặt cắt trên trục dầm Điều này có nghĩa là Q và M phụ thuộc vào hoành độ x, được biểu diễn dưới dạng hàm số Q(x) và M(x) Đồ thị của Q(x) và M(x) dọc theo trục dầm được gọi là biểu đồ nội lực Q, M.
Biểu đồ cho thấy rằng trị số lực cắt và mômen uốn xác định những mặt cắt nguy hiểm Thông thường, các mặt cắt có trị số Qmax và Mmax là những vị trí có nguy cơ cao nhất.