Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài
Hiện nay, sự phát triển của khoa học công nghệ đã làm cho máy tính trở nên quan trọng hơn bao giờ hết, đặc biệt trong giáo dục và nghiên cứu Con người ngày càng sáng tạo nhiều chương trình hỗ trợ dạy và học, nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Để đáp ứng yêu cầu ngày càng cao về hiệu quả và tiết kiệm thời gian trong việc giải quyết các bài toán, phần mềm Maple đã ra đời, mang lại giải pháp tối ưu cho người dùng.
Lý do lựa chọn đề tài
Hiện nay, với sự phát triển không ngừng của khoa học công nghệ, máy tính đóng vai trò ngày càng quan trọng trong giáo dục và nghiên cứu Sự sáng tạo trong việc phát triển các chương trình dạy học giúp nâng cao chất lượng giáo dục Để đáp ứng yêu cầu ngày càng cao về hiệu quả và tiết kiệm thời gian trong công việc, phần mềm Maple đã được ra đời nhằm giải quyết những bài toán một cách nhanh chóng và đơn giản.
Việc khảo sát chuyển động của vật trong trường có ma sát là một thách thức lớn, do đó, các phương pháp giải gần đúng trở nên cần thiết Phần mềm Maple là công cụ mạnh mẽ hỗ trợ tính toán các biểu thức và giải số Ứng dụng Maple trong việc tìm lời giải gần đúng cho các bài toán khảo sát chuyển động của vật thể trong trường có ma sát không chỉ quan trọng mà còn giúp sinh viên dần làm quen với nghiên cứu khoa học.
Mục tiêu đề tài
So sánh nghiệm số với nghiê ̣m giải tích của bài toán về chuyển động của một vật thể trong trường có ma sát.
Đánh giá và bàn luận về các kết quả thu được
Thu thập tư liệu từ internet, sách báo.
Giải số bằng phần mềm Maple, chạy chương trình.
So sánh với kết quả khảo sát bằng giải tích.
5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán chuyển động của vật thể trong trường ma sát.
Khảo sát chuyển đô ̣ng của vâ ̣t có vâ ̣n tốc nhỏ hơn rất nhiều so với vâ ̣n tốc ánh sáng.
Vật thể chuyển động trong môi trường khí, lỏng.
Nghiên cứu vận dụng một số công cụ tính toán của Maple 17 để tính toán những vấn đề liên quan trong đề tài.
Khảo sát bằng phương pháp giải tích chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v 2
Khảo sát số chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v 2
Mở rộng nghiên cứu lực cản 2 thành phần trong giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tầng sang chảy rối.
Chương 1: TÌM HIỂU PHẦN MỀM MAPLE TRONG MỘT SỐ TÍNH TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI
1.1 Hàm số và đồ thị
Maple định nghĩa các hàm số dùng cho từng kiểu dữ liệu như: a Các hàm số cho số nguyên (Integer)
Hàm số abs(x) tính trị tuyệt đối của x, trong khi min(x1, x2, …) xác định giá trị nhỏ nhất trong tập hợp x1, x2, … và max(x1, x2, …) tìm giá trị lớn nhất Hàm irem(m, n) trả về dư số trong phép chia m/n, còn hàm iquo(m, n) cho thương số Để tìm ước số chung lớn nhất, sử dụng igcd(n1, n2, …), và bội số chung nhỏ nhất được tính bằng ilcm(n1, n2, …) Hàm isprime(n) kiểm tra tính nguyên tố của số n, trong khi nextprime(n) và prevprime(n) lần lượt tìm số nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất gần n Cuối cùng, ithprime(n) trả về số nguyên tố thứ n trong dãy các số nguyên tố, và ifactor(n) cung cấp thừa số nguyên tố của n.
Ví dụ: b Các hàm số cho số thực (Float)
Hàm số exp(x) biểu thị hàm mũ với cơ số e, trong khi ln(x) hay log(x) là logarit nêpe của x Logarit thập phân được ký hiệu là log10(x) hoặc lgx, và logarit cơ số b được ký hiệu là log[b](x) Hàm căn bậc hai được biểu diễn bằng sqrt(x) Các hàm lượng giác bao gồm sin(x), cos(x), tan(x) và cot(x), với các ký hiệu tương ứng là sinx, cosx, tgx, cotgx Hàm sec(x) và csc(x) được định nghĩa là 1/cosx và 1/sinx Các hàm nghịch đảo bao gồm arcsin(x), arcos(x), arctan(x) và arccot(x), tương ứng với arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx Cuối cùng, các hàm hyperbolic như sinh(x) và cosh(x) có thể được kết hợp để tính tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) và coth(x) = cosh(x)/sinh(x).
Biểu diễn biểu thức: theo Maple
Biểu diễn thành lũy thừa hàm sinh(x) và hàm sec(x) theo sinx, cosx c Các hàm số cho số phức (complex)
Re(z) Phần thực của số phức z
Im(z) Phần ảo của số phức z argument(z) Argument của số phức z abs(x) môđun của số phức z
1.1.2 Vẽ đồ thị hàm số a Hàm 1 biến: dùng lệnh plot(f, h, v, option1, option2, …);
f: hàm số thực hoặc biểu thức chứa x
h: miền ngang (horizontal range) dạng a.b hoặc x=a b
v: miền dọc (vertical range) tùy chọn
The article outlines the various options for graph customization, including the title, which can be defined as “graph title.” Font settings are adjustable with options for family, style, and size Color can be specified with a numerical value, while the style of the graph can be chosen from point, line, or patch The smoothness of the graph is determined by the number of points drawn Additionally, axes can be set to none, normal, boxed, or framed Finally, a legend can be included with a specified list of annotations.
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = sinx (màu đỏ, từng điểm) và (màu xanh, kiểu line)
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số
Khi viết lệnh plot không dùng x = -3 3 mà dùng -3 3
Hình 1.3 b Hàm dạng tham số
Hệ tọa độ Descartes: plot([x(t), y(t), t = a b], option);
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị đường asteroid
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
Hệ tọa độ cực: plot([r(t), ,t=t0 t1], coords = polar, option);
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị:
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số r = 2sin3
Trước khi ra lệnh vẽ phải gọi thủ tục vẽ đồ thị hàm ẩn bởi lệnh: with(plots, implicitplot);
Và vẽ bằng lệnh: implicitplot (F(x,y), x=a b, y=c d):
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm ẩn: x 3 + y 3 – 3xy = 0
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị x 2 – y 2 = 1 và x 2 + y 2 = 4
Dùng lệnh: plot3d (expr1, x=a b, y=c d, options) plot3d (f, a b, c d, options) plot3d ([exprf, expfg, exprh], x=a b, y=c d, options) plot3d ([f, g, h], a b, c d, options)
Trong đó: expr1, exprf, exprg, exprh là biểu thức chứa x, y f, g, h là các hàm hai biến options bao gồm các lựa chọn sau:
coords = c: chọn hệ tọa độ Descartes, cylindrical (trụ), spherical (cầu)
orientation = [theta, phi]: xoay đồ thị theo các góc theta, phi là cặp tham số ( ) trong tọa độ cầu, giá trị ngầm định [45,45].
Projection = r: chọn chiếu phối cảnh với r [0,s1], r=0 (‘FISHEYE’), r=0.5
(‘NORMAL), giá trị ngầm định (default) là r=1 (‘ORTHOGONAL’).
style = s: chọn một kiểu vẽ mặt trong các loại sau: POINT, HIDDEN, PATCH (mảnh ghép – default style), WIREFRAME (khung dây), CONTOUR (đường đồng mức), PATCHNOGRID, PATCHCONTOUR, LINE.
Ví dụ: Vẽ đồ thị z = x 2 + y 2 trong miền D: -10 x 10 và -10 y 10
Câu lệnh: int(expr, x): Tích phân bất định int(expr, x=a b, …): Tích phân xác định
Expr – một biểu thức đại số x – tên biến tích phân a, b – cận tích phân
Ví dụ 1: Tính tích phân bất định
Ví dụ 2: Tính tích phân xác định
Ví dụ 3: Tính tích phân suy rộng
Câu lệnh : dsolve(ODE); dsolve({ODE, ICs}, y(x), Options);
ODE – phương trình vi phân thường ( y(x) – hàm 1 biến độc lập
Options – tùy chọn bao gồm: implicit (dạng ẩn), explicit (dạng hiện – ngầm định), useInt (Dạng tích phân), series (chuỗi), numeric (dạng số)…
ICs – điều kiện ban đầu (để tìm nghiệm riêng) dạng y(a) = b, D(y)(a) = c,
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân: y’ = y.tgx
Trong đó _C1 là hằng số tùy ý.
Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân: y’ 12
Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân: y’ Ví dụ 4: Giải phương trình vi phân: xy’’ = y’ln(
Ví dụ 5: Giải phương trình vi phân: y’’ - = x(x-1) thỏa điều kiện: y(2) = 1, y’(2) = -1
Ví dụ 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: yy’’-y’ 2 =0 thỏa: y(0)=1, y’(0)=2
Ví dụ 7: Giải phương trình vi phân: xy’’ + y’ + 4x 2 y = 0
Chương 2: SƠ LƯỢC VỀ CÁC LỰC CẢN CỦA MÔI TRƯỜNG
2.1 Lực cản do ma sát
Khi chất lưu có vận tốc thấp và ở trong lớp biên với chế độ chảy thành lớp, chất lưu sẽ chảy xung quanh vật một cách nhịp nhàng, không bị đứt đoạn Các đường dòng trong trường hợp này sẽ có hình dạng tương tự như trong tình huống chảy lượn của chất lưu lý tưởng.
Khi xem xét sự chảy quanh quả cầu, trong trường hợp chất lưu lý tưởng, tổng áp lực trên bề mặt quả cầu bằng 0 nhờ vào sự đối xứng của các đường dòng Điều này cũng áp dụng cho trường hợp chất lưu nhớt, nơi tổng áp lực vuông góc với mặt cầu cũng bằng 0 khi chất lưu chảy thành lớp quanh quả cầu.
Lực tác dụng lên quả cầu do chất lưu tạo ra là lực ma sát γdS tại mỗi phần tử mặt cầu Ứng suất γ phụ thuộc vào gradient vận tốc, mà gradient này lại liên quan đến độ dày của lớp biên Lớp biên mỏng nhất xuất hiện ở các điểm C và D, trong khi lớp biên dày nhất nằm ở các điểm A và B Do đó, gradient vận tốc và ứng suất γ sẽ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm C và D, và nhỏ nhất tại các điểm A và B Tất nhiên, đây là lực tổng hợp.
Lực ma sát Fms của tất cả các lực, do sự đối xứng của dòng chảy, hướng theo chiều dòng Lực ma sát này phụ thuộc vào độ nhớt η, vận tốc tương đối v0 (vận tốc của dòng không bị nhiễu loạn) và bán kính R của cầu.
Ta xác định được x, y, z bằng tính chất thứ nguyên: thứ nguyên của vế trái bằng thứ nguyên của vế phải.
Thứ nguyên của vế trái: [F ms ] [M][ ][ ]L T 2 (2)
Thứ nguyên của vế phải:
So sánh (2) và (3) ta được hệ phương trình:
Từ đó ta tìm được: x = 1, y = 1, z = 1
Trong đó k là hê ̣ số không có thứ nguyên
Phép tính chính xác ms ms
Kết quả ta thu được công thức Stokes: Fms= 6πηRv0 (4)
Lực nhớt tác dụng lên quả cầu tỷ lệ thuận với hệ số nhớt, bán kính R và vận tốc chuyển động tương đối v0 của quả cầu Theo công thức Stokes, lực nhớt Fms phụ thuộc tuyến tính vào v0.
Công thức Stokes cho phép xác định vận tốc ổn định của một quả cầu nhỏ khi rơi trong chất lưu nhớt, từ đó giúp đo hệ số nhớt η Nguyên tắc này là cơ sở cho phương pháp Stokes trong việc nghiên cứu các hiện tượng liên quan đến chất lỏng.
2.2 Lực cản do áp suất:
Thí nghiệm cho thấy khi tăng vận tốc dòng chảy, có một thời điểm mà sự lưu thông quanh vật thay đổi đột ngột Lúc này, các xoáy tách ra khỏi vật và bị dòng chảy cuốn đi, tạo thành các rãnh xoáy Những rãnh này cuối cùng tan đi ở một vị trí xa, cho thấy dòng chảy quanh vật và các rãnh xoáy hình thành thành lớp.
Với vật có hình dạng đối xứng, thường xuất hiện hai xoáy phía sau vật, có mômen xung lượng bằng nhau về độ lớn nhưng ngược chiều Điều này tuân theo định luật bảo toàn mômen xung lượng trong hệ kín giữa vật và chất lưu.
Các xoáy hình thành phá hủy tính đối xứng trong phân bố chất lưu trên mặt trụ Nếu áp suất trong vòng chất lưu không bị nhiễu loạn bằng p0, thì trong miền có xoáy sẽ có áp suất nhỏ hơn p0.
Mă ̣t khác trong miền tiếp giáp với mă ̣t trước của hình trụ (điểm A) áp suất chất lưu theo định luâ ̣t Bernoulli bằng 0 0
Tổng áp lực phân bố trên mặt trụ không bằng 0 do sự đối xứng, dẫn đến lực cản do áp suất Fa Hiệu áp suất giữa phía trước và phía sau hình trụ là yếu tố quan trọng trong việc xác định lực này.
Tổng hợp lực tỉ lệ với mật độ chất lưu và bình phương vận tốc tương đối \(v_0\) Ngoài ra, lực tổng hợp \(F\) còn phụ thuộc vào kích thước của vật, vì nó liên quan đến miền xoáy phía sau vật.
Kích thước đặc trưng của vật ảnh hưởng đến độ lớn của các lực cản Fa Cụ thể, kích thước này được xác định qua diện tích tiết diện S của vật, là mặt phẳng lớn nhất vuông góc với dòng tiết diện tiền đầu Tóm lại, lực cản Fa phụ thuộc vào mật độ ρ, diện tích S và vận tốc v0, và mối quan hệ này có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát.
Và áp dụng phương pháp thứ nguyên đã mô tả ở trên ta tìm thấy : x=1, y=1, z=2.
Như vâ ̣y ta đi tới định luâ ̣t về lực cản chính diê ̣n khi ở đằng sau vâ ̣t xuất hiê ̣n các xoáy:
Nội dung nghiên cứu
Nghiên cứu vận dụng một số công cụ tính toán của Maple 17 để tính toán những vấn đề liên quan trong đề tài.
Khảo sát bằng phương pháp giải tích chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v 2
Khảo sát số chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v 2
Mở rộng nghiên cứu lực cản 2 thành phần trong giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tầng sang chảy rối.
TÌM HIỂU PHẦN MỀM MAPLE TRONG MỘT SỐ TÍNH TOÁN LIÊN
Hàm số và đồ thị
Maple định nghĩa các hàm số dùng cho từng kiểu dữ liệu như: a Các hàm số cho số nguyên (Integer)
Bài viết này trình bày các hàm số toán học cơ bản và ý nghĩa của chúng Hàm abs(x) tính trị tuyệt đối của x, trong khi min(x1, x2, …) và max(x1, x2, …) lần lượt tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trong tập hợp các số x1, x2, … Hàm irem(m, n) cho biết dư số trong phép chia m/n, còn hàm iquo(m, n) tính thương số trong phép chia đó Để tìm ước số chung lớn nhất, ta sử dụng igcd(n1, n2, …), và bội số chung nhỏ nhất được tính bằng ilcm(n1, n2, …) Hàm isprime(n) kiểm tra tính nguyên tố của số n, trong khi nextprime(n) và prevprime(n) lần lượt tìm số nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất gần n Cuối cùng, ithprime(n) xác định số nguyên tố thứ n trong dãy số nguyên tố, và ifactor(n) cung cấp thừa số nguyên tố của n.
Ví dụ: b Các hàm số cho số thực (Float)
Hàm số exp(x) biểu thị hàm mũ với cơ số e, trong khi ln(x) hay log(x) là logarit nêpe của x Logarit thập phân được ký hiệu là log10(x) và logarit cơ số b là log[b](x) Hàm căn bậc hai được biểu diễn bằng sqrt(x) Các hàm lượng giác như sin(x), cos(x), tan(x) và cot(x) tương ứng với sinx, cosx, tgx, cotgx Các hàm sec(x) và csc(x) là 1/cosx và 1/sinx Hàm nghịch đảo của các hàm lượng giác được ký hiệu là arcsin(x), arcos(x), arctan(x), và arccot(x) Cuối cùng, sinh(x) và cosh(x) là các hàm hyperbolic, với tanh(x) và coth(x) được định nghĩa là sinh(x)/cosh(x) và cosh(x)/sinh(x).
Biểu diễn biểu thức: theo Maple
Biểu diễn thành lũy thừa hàm sinh(x) và hàm sec(x) theo sinx, cosx c Các hàm số cho số phức (complex)
Re(z) Phần thực của số phức z
Im(z) Phần ảo của số phức z argument(z) Argument của số phức z abs(x) môđun của số phức z
1.1.2 Vẽ đồ thị hàm số a Hàm 1 biến: dùng lệnh plot(f, h, v, option1, option2, …);
f: hàm số thực hoặc biểu thức chứa x
h: miền ngang (horizontal range) dạng a.b hoặc x=a b
v: miền dọc (vertical range) tùy chọn
The graph options include a title, specified as "graph title," with customizable font settings such as family, style, and size Users can choose a color and select a style from options like point, line, or patch The number of points drawn, which determines the smoothness of the graph, can also be adjusted Additionally, axes can be set to none, normal, boxed, or framed, and a legend can be included with a list of annotations.
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = sinx (màu đỏ, từng điểm) và (màu xanh, kiểu line)
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số
Khi viết lệnh plot không dùng x = -3 3 mà dùng -3 3
Hình 1.3 b Hàm dạng tham số
Hệ tọa độ Descartes: plot([x(t), y(t), t = a b], option);
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị đường asteroid
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
Hệ tọa độ cực: plot([r(t), ,t=t0 t1], coords = polar, option);
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị:
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số r = 2sin3
Trước khi ra lệnh vẽ phải gọi thủ tục vẽ đồ thị hàm ẩn bởi lệnh: with(plots, implicitplot);
Và vẽ bằng lệnh: implicitplot (F(x,y), x=a b, y=c d):
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm ẩn: x 3 + y 3 – 3xy = 0
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị x 2 – y 2 = 1 và x 2 + y 2 = 4
Dùng lệnh: plot3d (expr1, x=a b, y=c d, options) plot3d (f, a b, c d, options) plot3d ([exprf, expfg, exprh], x=a b, y=c d, options) plot3d ([f, g, h], a b, c d, options)
Trong đó: expr1, exprf, exprg, exprh là biểu thức chứa x, y f, g, h là các hàm hai biến options bao gồm các lựa chọn sau:
coords = c: chọn hệ tọa độ Descartes, cylindrical (trụ), spherical (cầu)
orientation = [theta, phi]: xoay đồ thị theo các góc theta, phi là cặp tham số ( ) trong tọa độ cầu, giá trị ngầm định [45,45].
Projection = r: chọn chiếu phối cảnh với r [0,s1], r=0 (‘FISHEYE’), r=0.5
(‘NORMAL), giá trị ngầm định (default) là r=1 (‘ORTHOGONAL’).
style = s: chọn một kiểu vẽ mặt trong các loại sau: POINT, HIDDEN, PATCH (mảnh ghép – default style), WIREFRAME (khung dây), CONTOUR (đường đồng mức), PATCHNOGRID, PATCHCONTOUR, LINE.
Ví dụ: Vẽ đồ thị z = x 2 + y 2 trong miền D: -10 x 10 và -10 y 10
Tích phân
Câu lệnh: int(expr, x): Tích phân bất định int(expr, x=a b, …): Tích phân xác định
Expr – một biểu thức đại số x – tên biến tích phân a, b – cận tích phân
Ví dụ 1: Tính tích phân bất định
Ví dụ 2: Tính tích phân xác định
Ví dụ 3: Tính tích phân suy rộng
Phương trình vi phân
Câu lệnh : dsolve(ODE); dsolve({ODE, ICs}, y(x), Options);
ODE – phương trình vi phân thường ( y(x) – hàm 1 biến độc lập
Options – tùy chọn bao gồm: implicit (dạng ẩn), explicit (dạng hiện – ngầm định), useInt (Dạng tích phân), series (chuỗi), numeric (dạng số)…
ICs – điều kiện ban đầu (để tìm nghiệm riêng) dạng y(a) = b, D(y)(a) = c,
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân: y’ = y.tgx
Trong đó _C1 là hằng số tùy ý.
Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân: y’ 12
Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân: y’ Ví dụ 4: Giải phương trình vi phân: xy’’ = y’ln(
Ví dụ 5: Giải phương trình vi phân: y’’ - = x(x-1) thỏa điều kiện: y(2) = 1, y’(2) = -1
Ví dụ 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: yy’’-y’ 2 =0 thỏa: y(0)=1, y’(0)=2
Ví dụ 7: Giải phương trình vi phân: xy’’ + y’ + 4x 2 y = 0
Chương 2: SƠ LƯỢC VỀ CÁC LỰC CẢN CỦA MÔI TRƯỜNG
2.1 Lực cản do ma sát
Khi chất lưu có vận tốc thấp và ở trong lớp biên với chế độ chảy thành lớp, chất lưu sẽ di chuyển xung quanh vật một cách nhịp nhàng mà không bị đứt quãng Các đường dòng trong trường hợp này có hình dạng tương tự như trong trường hợp chảy lượn của chất lưu lý tưởng.
Khi xem xét sự chảy quanh quả cầu trong trường hợp chất lưu lý tưởng, tổng áp lực lên bề mặt quả cầu bằng 0 nhờ vào sự đối xứng của các đường dòng Điều này cũng áp dụng cho tổng áp lực vuông góc với mặt cầu, vẫn bằng 0 ngay cả khi chất lưu nhớt chảy thành lớp quanh quả cầu.
Lực tác dụng của chất lưu lên quả cầu được biểu diễn qua lực ma sát γdS tại mỗi phần tử mặt cầu Ứng suất γ phụ thuộc vào gradient vận tốc, mà gradient này lại liên quan đến độ dày của lớp biên Lớp biên mỏng nhất xuất hiện tại các điểm C và D, trong khi lớp biên dày nhất nằm ở các điểm A và B Do đó, gradient vận tốc và ứng suất γ sẽ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm C và D, và nhỏ nhất tại các điểm A và B.
Lực ma sát Fms trong các dòng chảy được xác định bởi sự đối xứng của chúng và hướng theo chiều của dòng chảy Fms phụ thuộc vào độ nhớt η, vận tốc tương đối v0 (vận tốc của dòng không bị nhiễu loạn) và bán kính R của cầu.
Ta xác định được x, y, z bằng tính chất thứ nguyên: thứ nguyên của vế trái bằng thứ nguyên của vế phải.
Thứ nguyên của vế trái: [F ms ] [M][ ][ ]L T 2 (2)
Thứ nguyên của vế phải:
So sánh (2) và (3) ta được hệ phương trình:
Từ đó ta tìm được: x = 1, y = 1, z = 1
Trong đó k là hê ̣ số không có thứ nguyên
Phép tính chính xác ms ms
Kết quả ta thu được công thức Stokes: Fms= 6πηRv0 (4)
Lực nhớt tác dụng lên quả cầu tỷ lệ thuận với hệ số nhớt, bán kính R và vận tốc chuyển động tương đối v0 của quả cầu Theo công thức Stokes, lực nhớt Fms phụ thuộc một cách tuyến tính vào v0.
Công thức Stokes cho phép xác định vận tốc ổn định của một quả cầu nhỏ khi rơi trong chất lưu nhớt, từ đó giúp đo hệ số nhớt η.
2.2 Lực cản do áp suất:
Thí nghiệm cho thấy rằng khi tăng vận tốc dòng chảy, sẽ có một thời điểm mà sự chảy quanh vật xảy ra sự thay đổi đột ngột Đằng sau vật, các xoáy tách ra và bị dòng cuốn đi xa, hình thành các rãnh xoáy Những rãnh xoáy này tan đi ở một vị trí cách xa vật, trong khi dòng chảy vẫn tiếp tục vòng quanh vật và các rãnh xoáy tạo thành lớp.
Với vật có hình dạng đối xứng, phía sau vật thường xuất hiện hai xoáy có mômen xung lượng bằng nhau về môđun nhưng ngược chiều Điều này tuân theo định luật bảo toàn mômen xung lượng trong hệ kín giữa vật và chất lưu.
Các xoáy hình thành làm phá hủy tính đối xứng trong phân bố chất lưu trên mặt trụ Nếu áp suất trong vòng chất lưu không bị nhiễu loạn và giữ ở mức p0, thì trong miền có xoáy sẽ có áp suất nhỏ hơn p0.
Mă ̣t khác trong miền tiếp giáp với mă ̣t trước của hình trụ (điểm A) áp suất chất lưu theo định luâ ̣t Bernoulli bằng 0 0
Trong một hệ thống không bị nhiễu loạn, tổng áp lực phân bố trên mặt trụ sẽ không bằng 0 và sẽ hướng theo dòng do sự đối xứng Lực cản do áp suất Fa được hình thành từ hiệu áp suất giữa phía trước và phía sau của hình trụ.
Tổng hợp lực sẽ tỉ lệ với mật độ của chất lưu và bình phương của vận tốc tương đối v0 Đồng thời, lực tổng hợp F cũng phụ thuộc vào kích thước của vật, vì nó liên quan đến miền xoáy phía sau vật.
Kích thước đặc trưng của vật ảnh hưởng đến lực cản Fa, trong đó diện tích tiết diện S là mặt phẳng lớn nhất vuông góc với dòng tiết diện tiền đầu Do đó, Fa phụ thuộc vào các yếu tố như mật độ ρ, diện tích S và vận tốc v0 Sự phụ thuộc này có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát.
Và áp dụng phương pháp thứ nguyên đã mô tả ở trên ta tìm thấy : x=1, y=1, z=2.
Như vâ ̣y ta đi tới định luâ ̣t về lực cản chính diê ̣n khi ở đằng sau vâ ̣t xuất hiê ̣n các xoáy:
Hệ số cản tiền đầu Cx là một hệ số không thứ nguyên, có giá trị không thay đổi cho các vật có hình dạng và định hướng tương đồng trong dòng chảy, bất kể kích thước của chúng.
Cx phụ thuộc chủ yếu vào Re, vì các số Re lớn tạo ra xoáy dịch chuyển về phía trước vật, trong khi miền có chuyển động xoáy phía sau vật được mở rộng.
Trên hình 2.3 nêu các giá trị Cx đối với các vâ ̣t có hình dạng khác nhau(Re = 10 3 - 10 4 ), và có tiết diê ̣n tiền đầu giống nhau.
Dựa vào các số liệu, có thể nhận thấy rằng các vật thể thuôn có hệ số cản (Cx) nhỏ nhất, trong khi đó, đĩa có hệ số cản lớn nhất Thí dụ về bán cầu cho thấy rằng ảnh hưởng chính đến Cx không đến từ phần trước mà chủ yếu từ phần sau của vật, nơi hình thành các xoáy.
SƠ LƯỢC VỀ LỰC CẢN MÔI TRƯỜNG
Hệ số Reynolds
Khi thử nghiệm lại định luật Poiseuille, người ta nhận thấy rằng phương trình chỉ áp dụng cho các vận tốc chảy nhỏ trong các ống nhỏ Vào năm 1883, Reynolds đã phát hiện rằng với kích thước ống và chất lưu nhất định, điều kiện chảy thành lớp chỉ được duy trì đến một vận tốc tối đa (vận tốc tới hạn); vượt quá giá trị này, chất lưu sẽ không còn giữ được tính chất chảy thành lớp.
Trong môi trường chất lỏng, mỗi hạt phải chịu tác động của áp lực P và lực nhớt FN, dẫn đến chuyển động có gia tốc của hạt Điều này được giải thích qua định luật II của Newton.
Nếu quĩ đạo của các hạt chất lưu bị cong đi thì trên hạt có lực hướng tâm giữ cho hạt chuyển động cong.
Nếu hệ qui chiếu gắn liền với hạt chuyển động thì trong hệ đó trên hạt còn có tác dụng của lực quán tính bằng
Mức độ ổn định của sự chảy thành lớp được xác định bởi tỉ số giữa lực quán tính và lực nhớt Khi lực quán tính lớn, độ lệch của hạt trong dòng khỏi quỹ đạo thẳng cũng sẽ tăng, trong khi lực nhớt có vai trò ngăn cản sự lệch đó.
Lực quán tính được biểu diễn bởi tích của khối lượng riêng với thể tích và với đạo hàm của vận tốc theo thời gian: vì còn
18 có thể biểu thị bởi đại lượng tỉ lệ với tỉ số
Vận tốc v0 đại diện cho một trường hợp cụ thể của dòng chảy chất lưu, trong khi L0 là chiều dài đặc trưng, chẳng hạn như đường kính ống trong trường hợp chất lưu chảy qua ống Tỉ lệ này liên quan đến lực quán tính của chất lưu.
Lực nhớt thì tỷ lệ với , với diện tích nào đó và với hệ số nhớt η.
Do vậy, tỉ số với độ chính xác đến thừa số không đổi bằng một số không thứ nguyên được gọi là số Reynolds.
Trong đó gọi là hệ số nhớt động học.
Khi số Reynolds (Re) nhỏ, lực nâng (FN) lớn hơn lực quán tính (Fqt), khiến mọi nhiễu loạn trong chất lưu bị triệt tiêu Khi vận tốc (v) và kích thước dòng tăng lên (hoặc độ nhớt giảm), Fqt dần tiệm cận với FN, dẫn đến việc quỹ đạo các hạt trở nên cong và chế độ chảy tương ứng với một giá trị cụ thể của số Reynolds, được gọi là số Reynolds tới hạn (Reth).
Khi số Re lớn hơn Reth, hiện tượng Fqt sẽ dẫn đến sự phát triển của nhiễu loạn, và sau một thời gian, dòng chất lỏng sẽ bị đầy nhiễu loạn Các hạt trong chất lỏng sẽ chuyển động theo các quỹ đạo cong, biến đổi ngẫu nhiên theo thời gian, hiện tượng này được gọi là chuyển động cuộn xoáy.
Sự chuyển đổi từ chuyển động lớp sang chuyển động cuộn xoáy của tất cả các chất lỏng xảy ra tại cùng một giá trị của số Reth Điều này cho thấy rằng tốc độ dòng chảy (vth) tương ứng với sự chuyển đổi này thay đổi theo kích thước dòng và độ nhớt, trong khi giá trị tới hạn của số Reth vẫn giữ nguyên.
Sự chuyển đổi từ dòng chảy thành lớp xảy ra ở số Reynolds (Re) 1000 Khi giá trị Re tăng từ 1000 đến 2000, dòng chảy chuyển sang trạng thái cuộn xoáy Đối với các giá trị Re lớn hơn 2000, dòng chảy sẽ hoàn toàn ở dạng cuộn xoáy.
Giá trị của Reth phụ thuộc vào phương pháp đưa chất lưu vào ống và độ nhám của thành ống; với các thành ống nhẵn, Reth có thể đạt tới 20.000.
Hình 2.4: Bảng giá trị các hệ số Reynolds phụ thuộc vào vận tốc và đường kính đặc trưng của vật
Hệ số Reynolds trong một số hệ thực:
Dòng máu trong động mạch chủ ~ 1000
Số Reynolds tạo ra khi quả bóng chày bị đánh bay trong những giải đấu lớn
Cá voi xanh đang bơi ~ 30000000
Chương 3: KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT VẬT THỂ TRONG TRƯỜNG MA SÁT BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
3.1 Lực cản của môi trường tỉ lê ̣ với vâ ̣n tốc F c = k.v
η: hê ̣ số nhớt của môi trường.
Phương trình chuyển động của vật có khối lượng m dưới tác dụng của trọng lực và lực cản từ môi trường được biểu diễn bằng công thức: mdv/dt = mg - kv Trong đó, v là vận tốc ban đầu v0, g là gia tốc trọng trường, và k là hệ số cản.
Từ phương trình trên ta có: dv k g v dt m
Với điều kiê ̣n ban đầu t = 0, v = v0:
3.2 Lực cản của môi trường tỉ lê ̣ với bình phương vâ ̣n tốc F c = k 1 v 2
Cx: là hê ̣ số không thứ nguyên (hê ̣ số cản tiền đầu).
S: diê ̣n tích tiết diê ̣n của vâ ̣t là mă ̣t phẳng lớn nhất vuông góc với dòng tiết diê ̣n tiền đầu.
ρ: mâ ̣t đô ̣ của chất lưu.
Phương trình chuyển đô ̣ng của vâ ̣t khối lượng m với vâ ̣n tốc ban đầu là v0 dưới tác dụng của trọng lực và lực cản của môi trường là:
Từ phương trình trên ta có: dv k 1 2 g v dt m
Để xác định sự phụ thuộc của v(t) vào tọa độ x ta làm như sau
Phương trình chuyển động rơi của vật được viết là:
Phương trình này có thể tích phân để trở thành:
Thay đổi biến, ta được:
Trong đó: Vế trái của phương trình trên là một tích phân chuẩn, có thể được giải để thành
Vật sau đó cần giảm khoảng cách xt trước khi vật đạt vận tốc tới hạn
KHẢO SÁT SỐ CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT VẬT THỂ TRONG TRƯỜNG MA SÁT BẰNG PHẦN MỀM MAPLE 17
Trường hợp: F c =k.v với k =1 (kg/s)
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
Khi v 0 < 9,8 m/s : thì vâ ̣n tăng dần đến vâ ̣n tốc tới hạn.
Khi v 0 = 9,8 m/s : vâ ̣n tốc không thay đổi.
Khi v 0 >9,8 m/s : vâ ̣n tốc giảm dần đến vâ ̣n tốc tới hạn. v = 0 0 m /s v = 0 5 m /s v 0 = 9,8 m/s v 0 = 1
Trường hợp: F c = - k 1 v 2 với k 1 = 1 (kg/m)
4.2.1 Với vận tốc nhỏ hơn hay bằng 10 m/s
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
Khi v 0 = 3,13 m/s : vâ ̣n tốc không thay đổi.
Khi v 0 >3,13 m/s : vâ ̣n tốc giảm dần đến vâ ̣n tốc tới hạn.
Khi v 0 < 3,13 m/s : thì vâ ̣n tăng dần đến vâ ̣n tốc tới hạn.
4.2.2 Với vận tốc lớn hơn 10m/s
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình: Đỏ: v 0 m/s Xanh Dương: v 0 = 30 m/s Vàng: v 0 P m/s Đen: v 0 p m/s Xanh lá: v 0 = 100 m/s
Khi v 0 >>3,13 m/s : vâ ̣n tốc giảm dần đến vâ ̣n tốc tới hạn.
4.3 So sánh đường biểu diễn khi F c =kv và F c =k 1 v 2
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
F c = k 1 v 2 tăng dần đến vận tốc tới hạn nhanh hơn F c = kv
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
F= kv 2 tăng vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn F= kv
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
F c = k 1 v 2 tăng dần đến vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn F c = kv
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
F c = -k 1 v 2 : rất nhanh đạt vâ ̣n tốc tới hạn
F c = -kv: sau mô ̣t thời gian tăng dần vâ ̣n tốc đến vâ ̣n tốc tới hạn
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
F c = -k 1 v 2 :sau mô ̣t thời gian giảm dần vâ ̣n tốc đến vâ ̣n tốc tới hạn
F c = -kv: rất nhanh đạt vâ ̣n tốc tới hạn
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
F c = -kv giảm dần đến vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn F c = -k 1 v 2
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
F c = kv giảm dần vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn F c = k 1 v 2
Giả thuyết về lực cản hai thành phần
Số Reynolds phụ thuộc vào hình dạng và vận tốc của vật, dẫn đến việc các vật có hình dạng phức tạp có thể có số Reynolds khác nhau ở các phần khác nhau Điều này khiến lực cản có thể có hai thành phần đồng thời Nghiên cứu này tập trung vào việc khảo sát trường hợp lực ma sát với hai thành phần, và đóng góp của chúng được đặc trưng bởi các giá trị của à và γ.
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với các giá trị khác nhau của à, γ với giỏ trị v 0 =1 m/s
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với các giá trị khác nhau của à, γ với giỏ trị v 0 m/s
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với các giá trị khác nhau của à, γ với giỏ trị v 0 m/s
Hình 4.13 Đỏ : à= 1 , γ=1/3 Xanh dương : à=1 , γ=1/2 Xanh lá : à=1 , γ=1 Vàng : à= 1/2 , γ=1 Đen : à=1/3 , γ=1
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với các giá trị khác nhau của à, γ với giỏ trị v 0 m/s
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:
Xanh lá : à=1 , γ=1 Vàng : à= 1 , γ=1/3 Đen : à=1, γ=1/4
Xanh lá: à=1 , γ=1 Vàng : à= 1/3 , γ=1 Đen : à=1/4 , γ=1
Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với các giá trị khác nhau của à, γ với giỏ trị v 0 0 m/s
Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình: Đường v(t) với lực cản mô ̣t thành phần
F= -v không trùng và có vâ ̣n tốc tới hạn Đường v(t) với lực cản mô ̣t thành phần
F= -v 2 trùng với đường các đường v(t)
Xanh lá: F c = -v 2 Xanh dương: à=0.1 , γ=0,1 Vàng : à= 1 , γ=0.1 Đen : à=1 , γ=0.01 Đỏ : à= 0.01 , γ=1
BÀN LUẬN VỀ CÁC KẾT QUẢ KHẢO SÁT SỐ
Khảo sát số cho kết quả phù hợp với khảo sát bằng phương pháp giải tích:
Tồn tại vận tốc tới hạn phù hợp giữa khảo sát số và khảo sát giải tích
Thời gian mà vận tốc đạt vận tốc tới hạn:
Vận tốc nhỏ: Fc= k1 v 2 tăng dần vâ ̣n tốc để đạt vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn Fc k1 v.
Vận tốc lớn: Fc= k1 v 2 giảm dần vâ ̣n tốc để đạt vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn Fc k1 v.
Với trường hợp mở rộng khảo sát lực cản hai thành phần trong giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tầng sang chảy rối cho thấy
F c = -à.kv –γk 1 v 2 , với à,γ ≤ 1 và F c = -v : trong trường hợp này F c = -v cú võ ̣n tốc tới hạn lớn của các trường hợp à, γ của F c = -à.kv –γk 1 v 2 , với võ ̣n tốc ban đầu bằng nhau.
F c = -à.kv –γk 1 v 2 , với à,γ ≤ 1, F c = -v 2 : trong trường hợp này F c = -v 2 cú võ ̣n tốc tới hạn nhỏ hơn hoă ̣c bằng các trường hợp à, γ của F c = -à.kv –γk 1 v 2 , với vâ ̣n tốc ban đầu bằng nhau.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận.
Đã tìm hiểu nắm vững và vận dụng tốt một số công cụ của phần mềm Maple để tình toán số những vấn đề liên quan trong đề tài.
Đã tiến hành khảo sát bằng phương pháp giải tích chuyển động của một vật thể trong trường lực ma sát, từ đó đưa ra các biểu thức tường minh xác định mối quan hệ giữa vận tốc của vật và thời gian cũng như độ nhớt của môi trường.
Nghiên cứu số chuyển động của vật thể trong trường có ma sát bằng phần mềm Maple cho thấy mối quan hệ giữa vận tốc của vật và các yếu tố như thời gian, độ nhớt của môi trường, cùng với vận tốc ban đầu Các đồ thị được tạo ra minh họa rõ ràng sự phụ thuộc này, giúp hiểu rõ hơn về ảnh hưởng của ma sát đến chuyển động của vật thể.
Đã mở rộng khảo sát sô trường hợp lực cản của môi trường có hai thành phần cho giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tần sang chảy rối.
Phần mềm Maple là một công cụ tính toán mạnh mẽ, được khuyến nghị cho sinh viên trong các bộ môn khoa học, giúp hỗ trợ ứng dụng và tính toán trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học.
Nghiên cứu mở rộng về ma sát hai thành phần trong giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tầng sang chảy rối, cũng như trong giai đoạn vận tốc cực lớn vượt quá vận tốc âm thanh, là cần thiết để hiểu rõ hơn về các hiện tượng dòng chảy phức tạp.