Khảo sát chuyển động của một vật thể trong môi trường có ma sát bằng phần mềm maple 17

Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài

Hiện nay, sự phát triển của khoa học công nghệ đã làm cho máy tính trở thành một công cụ quan trọng trong giáo dục và nghiên cứu Để nâng cao chất lượng dạy và học, ngày càng nhiều chương trình được sáng tạo ra Yêu cầu đặt ra là làm thế nào để làm việc và giải quyết các bài toán một cách hiệu quả, nhanh chóng và đơn giản, đồng thời tiết kiệm thời gian Phần mềm Maple đã được phát triển để đáp ứng nhu cầu này.

Lý do lựa chọn đề tài

Hiện nay, sự phát triển của khoa học công nghệ đã nâng cao vai trò của máy tính, đặc biệt trong giáo dục và nghiên cứu Nhu cầu tạo ra các chương trình dạy và học ngày càng tăng nhằm cải thiện chất lượng giáo dục Con người đang tìm kiếm những phương pháp làm việc hiệu quả, nhanh chóng và tiết kiệm thời gian Để đáp ứng nhu cầu này, phần mềm Maple đã được phát triển, giúp giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và đơn giản.

Việc khảo sát chuyển động của vật trong trường có ma sát là một thách thức lớn, đòi hỏi các phương pháp giải gần đúng Phần mềm Maple là công cụ mạnh mẽ giúp tính toán các biểu thức và giải số Ứng dụng Maple trong việc tìm lời giải gần đúng cho các bài toán khảo sát chuyển động của vật thể trong trường có ma sát không chỉ quan trọng mà còn giúp sinh viên làm quen với nghiên cứu khoa học.

Mục tiêu đề tài

 So sánh nghiệm số với nghiê ̣m giải tích của bài toán về chuyển động của một vật thể trong trường có ma sát.

 Đánh giá và bàn luận về các kết quả thu được

 Thu thập tư liệu từ internet, sách báo.

 Giải số bằng phần mềm Maple, chạy chương trình.

 So sánh với kết quả khảo sát bằng giải tích.

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Bài toán chuyển động của vật thể trong trường ma sát.

 Khảo sát chuyển đô ̣ng của vâ ̣t có vâ ̣n tốc nhỏ hơn rất nhiều so với vâ ̣n tốc ánh sáng.

 Vật thể chuyển động trong môi trường khí, lỏng.

 Nghiên cứu vận dụng một số công cụ tính toán của Maple 17 để tính toán những vấn đề liên quan trong đề tài.

 Khảo sát bằng phương pháp giải tích chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v 2

 Khảo sát số chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v 2

 Mở rộng nghiên cứu lực cản 2 thành phần trong giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tầng sang chảy rối.

Chương 1: TÌM HIỂU PHẦN MỀM MAPLE TRONG MỘT SỐ TÍNH TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI

1.1 Hàm số và đồ thị

Maple định nghĩa các hàm số dùng cho từng kiểu dữ liệu như: a Các hàm số cho số nguyên (Integer)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các hàm số quan trọng trong toán học Hàm abs(x) cho biết trị tuyệt đối của x, trong khi min(x1, x2, …) và max(x1, x2, …) lần lượt xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trong một tập hợp các số Hàm irem(m, n) tính dư số trong phép chia m/n, còn hàm iquo(m, n) cho thương số trong phép chia đó Để tìm ước số chung lớn nhất, chúng ta sử dụng igcd(n1, n2, …), và bội số chung nhỏ nhất được tính bằng ilcm(n1, n2, …) Hàm isprime(n) kiểm tra tính nguyên tố của số n, trong khi nextprime(n) và prevprime(n) tìm số nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất gần n Cuối cùng, ithprime(n) trả về số nguyên tố thứ n trong dãy các số nguyên tố, và ifactor(n) cho biết thừa số nguyên tố của n.

Ví dụ: b Các hàm số cho số thực (Float)

Hàm số exp(x) biểu thị hàm mũ với cơ số e, trong khi ln(x) hay log(x) là logarit nêpe của x Logarit thập phân được ký hiệu là log10(x) và logarit cơ số b là log[b](x) Hàm căn bậc hai được thể hiện qua sqrt(x) Các hàm lượng giác bao gồm sin(x), cos(x), tan(x) và cot(x), được ký hiệu lần lượt là sinx, cosx, tgx, cotgx Ngoài ra, sec(x) và csc(x) là 1/cosx và 1/sinx Các hàm nghịch đảo bao gồm arcsin(x), arcos(x), arctan(x) và arccot(x), tương ứng với Arcsinx, arccosx, arctgx và arccotgx Cuối cùng, sinh(x) và cosh(x) là các hàm hyperbolic, với tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) và coth(x) = cosh(x)/sinh(x).

 Biểu diễn biểu thức: theo Maple

 Biểu diễn thành lũy thừa hàm sinh(x) và hàm sec(x) theo sinx, cosx c Các hàm số cho số phức (complex)

Re(z) Phần thực của số phức z

Im(z) Phần ảo của số phức z argument(z) Argument của số phức z abs(x) môđun của số phức z

1.1.2 Vẽ đồ thị hàm số a Hàm 1 biến: dùng lệnh plot(f, h, v, option1, option2, …);

 f: hàm số thực hoặc biểu thức chứa x

 h: miền ngang (horizontal range) dạng a.b hoặc x=a b

 v: miền dọc (vertical range) tùy chọn

The article outlines various options for graph customization, including the title, which can be defined as "graph title." The title's font can be adjusted using parameters such as family, style, and size Additionally, users can specify the color and choose a style for the graph, such as point, line, or patch The number of points plotted, which affects the graph's smoothness, can also be set Options for axes include none, normal, boxed, or framed, and a legend can be included as a list of annotations.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = sinx (màu đỏ, từng điểm) và (màu xanh, kiểu line)

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số

Khi viết lệnh plot không dùng x = -3 3 mà dùng -3 3

Hình 1.3 b Hàm dạng tham số

 Hệ tọa độ Descartes: plot([x(t), y(t), t = a b], option);

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị đường asteroid

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.

 Hệ tọa độ cực: plot([r(t), ,t=t0 t1], coords = polar, option);

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị:

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số r = 2sin3

Trước khi ra lệnh vẽ phải gọi thủ tục vẽ đồ thị hàm ẩn bởi lệnh: with(plots, implicitplot);

Và vẽ bằng lệnh: implicitplot (F(x,y), x=a b, y=c d):

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm ẩn: x 3 + y 3 – 3xy = 0

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị x 2 – y 2 = 1 và x 2 + y 2 = 4

Dùng lệnh: plot3d (expr1, x=a b, y=c d, options) plot3d (f, a b, c d, options) plot3d ([exprf, expfg, exprh], x=a b, y=c d, options) plot3d ([f, g, h], a b, c d, options)

Trong đó: expr1, exprf, exprg, exprh là biểu thức chứa x, y f, g, h là các hàm hai biến options bao gồm các lựa chọn sau:

 coords = c: chọn hệ tọa độ Descartes, cylindrical (trụ), spherical (cầu)

 orientation = [theta, phi]: xoay đồ thị theo các góc theta, phi là cặp tham số ( ) trong tọa độ cầu, giá trị ngầm định [45,45].

 Projection = r: chọn chiếu phối cảnh với r [0,s1], r=0 (‘FISHEYE’), r=0.5

(‘NORMAL), giá trị ngầm định (default) là r=1 (‘ORTHOGONAL’).

 style = s: chọn một kiểu vẽ mặt trong các loại sau: POINT, HIDDEN, PATCH (mảnh ghép – default style), WIREFRAME (khung dây), CONTOUR (đường đồng mức), PATCHNOGRID, PATCHCONTOUR, LINE.

Ví dụ: Vẽ đồ thị z = x 2 + y 2 trong miền D: -10 x 10 và -10 y 10

Câu lệnh: int(expr, x): Tích phân bất định int(expr, x=a b, …): Tích phân xác định

Expr – một biểu thức đại số x – tên biến tích phân a, b – cận tích phân

Ví dụ 1: Tính tích phân bất định

Ví dụ 2: Tính tích phân xác định

Ví dụ 3: Tính tích phân suy rộng

Câu lệnh : dsolve(ODE); dsolve({ODE, ICs}, y(x), Options);

ODE – phương trình vi phân thường ( y(x) – hàm 1 biến độc lập

Options – tùy chọn bao gồm: implicit (dạng ẩn), explicit (dạng hiện – ngầm định), useInt (Dạng tích phân), series (chuỗi), numeric (dạng số)…

ICs – điều kiện ban đầu (để tìm nghiệm riêng) dạng y(a) = b, D(y)(a) = c,

Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân: y’ = y.tgx

Trong đó _C1 là hằng số tùy ý.

Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân: y’ 12

Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân: y’ Ví dụ 4: Giải phương trình vi phân: xy’’ = y’ln(

Ví dụ 5: Giải phương trình vi phân: y’’ - = x(x-1) thỏa điều kiện: y(2) = 1, y’(2) = -1

Ví dụ 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: yy’’-y’ 2 =0 thỏa: y(0)=1, y’(0)=2

Ví dụ 7: Giải phương trình vi phân: xy’’ + y’ + 4x 2 y = 0

Chương 2: SƠ LƯỢC VỀ CÁC LỰC CẢN CỦA MÔI TRƯỜNG

2.1 Lực cản do ma sát

Khi chất lưu có vận tốc thấp, trong lớp biên với chế độ chảy thành lớp, chất lưu sẽ di chuyển quanh vật một cách nhịp nhàng mà không bị đứt quãng Các đường dòng trong trường hợp này có hình dạng tương tự như trong chảy lượn của chất lưu lý tưởng.

Khi xem xét sự chảy quanh quả cầu trong trường hợp chất lưu lý tưởng, tổng áp lực lên bề mặt quả cầu bằng 0 nhờ vào sự đối xứng của các đường dòng Điều này cũng áp dụng cho trường hợp chất lưu nhớt chảy thành lớp quanh quả cầu, trong đó tổng áp lực vuông góc với mặt cầu cũng bằng 0.

Lực tác dụng lên quả cầu từ chất lưu là lực ma sát γdS tại mỗi phần tử mặt cầu Ứng suất γ phụ thuộc vào gradient vận tốc, mà gradient này lại liên quan đến độ dày của lớp biên Lớp biên mỏng nhất xuất hiện tại các điểm C và D, trong khi lớp biên dày nhất nằm ở các điểm A và B Do đó, gradient vận tốc và ứng suất γ sẽ đạt giá trị cao nhất tại các điểm C và D, và thấp nhất tại các điểm A và B.

Lực ma sát Fms của tất cả các lực, do sự đối xứng của dòng chảy, hướng theo chiều dòng Lực này phụ thuộc vào độ nhớt η, vận tốc tương đối v0 (vận tốc của dòng không bị nhiễu loạn) và bán kính R của cầu.

Ta xác định được x, y, z bằng tính chất thứ nguyên: thứ nguyên của vế trái bằng thứ nguyên của vế phải.

Thứ nguyên của vế trái: [F ms ] [M][ ][ ]L T  2 (2)

Thứ nguyên của vế phải:

So sánh (2) và (3) ta được hệ phương trình:

Từ đó ta tìm được: x = 1, y = 1, z = 1

Trong đó k là hê ̣ số không có thứ nguyên

Phép tính chính xác ms ms

Kết quả ta thu được công thức Stokes: Fms= 6πηRv0 (4)

Lực nhớt tác dụng lên quả cầu tỷ lệ thuận với hệ số nhớt, bán kính R và vận tốc chuyển động tương đối v0 của quả cầu Theo công thức Stokes, lực nhớt Fms phụ thuộc tuyến tính vào vận tốc v0.

Hệ thức (4) áp dụng cho điều kiện Re9,8 m/s : vâ ̣n tốc giảm dần đến vâ ̣n tốc tới hạn. v = 0 0 m /s v = 0 5 m /s v 0 = 9,8 m/s v 0 = 1

Trường hợp: F c = - k 1 v 2 với k 1 = 1 (kg/m)

4.2.1 Với vận tốc nhỏ hơn hay bằng 10 m/s

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

 Khi v 0 = 3,13 m/s : vâ ̣n tốc không thay đổi.

 Khi v 0 >3,13 m/s : vâ ̣n tốc giảm dần đến vâ ̣n tốc tới hạn.

 Khi v 0 < 3,13 m/s : thì vâ ̣n tăng dần đến vâ ̣n tốc tới hạn.

4.2.2 Với vận tốc lớn hơn 10m/s

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình: Đỏ: v 0 m/s Xanh Dương: v 0 = 30 m/s Vàng: v 0 P m/s Đen: v 0 p m/s Xanh lá: v 0 = 100 m/s

 Khi v 0 >>3,13 m/s : vâ ̣n tốc giảm dần đến vâ ̣n tốc tới hạn.

4.3 So sánh đường biểu diễn khi F c =kv và F c =k 1 v 2

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

 F c = k 1 v 2 tăng dần đến vận tốc tới hạn nhanh hơn F c = kv

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

 F= kv 2 tăng vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn F= kv

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

 F c = k 1 v 2 tăng dần đến vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn F c = kv

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

 F c = -k 1 v 2 : rất nhanh đạt vâ ̣n tốc tới hạn

 F c = -kv: sau mô ̣t thời gian tăng dần vâ ̣n tốc đến vâ ̣n tốc tới hạn

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

 F c = -k 1 v 2 :sau mô ̣t thời gian giảm dần vâ ̣n tốc đến vâ ̣n tốc tới hạn

 F c = -kv: rất nhanh đạt vâ ̣n tốc tới hạn

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

 F c = -kv giảm dần đến vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn F c = -k 1 v 2

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

 F c = kv giảm dần vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn F c = k 1 v 2

Giả thuyết về lực cản hai thành phần

Số Reynolds phụ thuộc vào hình dạng và vận tốc của vật, và đối với những vật có hình dạng phức tạp, các phần của vật có thể có số Reynolds khác nhau Điều này dẫn đến việc lực cản có thể có hai thành phần đồng thời Nghiên cứu này tập trung khảo sát trường hợp lực ma sát với hai thành phần, trong đó đóng góp của từng thành phần được đặc trưng bằng các giá trị của à và γ.

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với các giá trị khác nhau của à, γ với giỏ trị v 0 =1 m/s

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với các giá trị khác nhau của à, γ với giỏ trị v 0 m/s

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với các giá trị khác nhau của à, γ với giỏ trị v 0 m/s

Hình 4.13 Đỏ : à= 1 , γ=1/3 Xanh dương : à=1 , γ=1/2 Xanh lá : à=1 , γ=1 Vàng : à= 1/2 , γ=1 Đen : à=1/3 , γ=1

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với các giá trị khác nhau của à, γ với giỏ trị v 0 m/s

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình:

Xanh lá : à=1 , γ=1 Vàng : à= 1 , γ=1/3 Đen : à=1, γ=1/4

Xanh lá: à=1 , γ=1 Vàng : à= 1/3 , γ=1 Đen : à=1/4 , γ=1

Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với các giá trị khác nhau của à, γ với giỏ trị v 0 0 m/s

Qua khảo sát bằng phần mềm Maple ta thu được hình: Đường v(t) với lực cản mô ̣t thành phần

F= -v không trùng và có vâ ̣n tốc tới hạn Đường v(t) với lực cản mô ̣t thành phần

F= -v 2 trùng với đường các đường v(t)

Xanh lá: F c = -v 2 Xanh dương: à=0.1 , γ=0,1 Vàng : à= 1 , γ=0.1 Đen : à=1 , γ=0.01 Đỏ : à= 0.01 , γ=1

BÀN LUẬN VỀ CÁC KẾT QUẢ KHẢO SÁT SỐ

Khảo sát số cho kết quả phù hợp với khảo sát bằng phương pháp giải tích:

 Tồn tại vận tốc tới hạn phù hợp giữa khảo sát số và khảo sát giải tích

 Thời gian mà vận tốc đạt vận tốc tới hạn:

 Vận tốc nhỏ: Fc= k1 v 2 tăng dần vâ ̣n tốc để đạt vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn Fc k1 v.

 Vận tốc lớn: Fc= k1 v 2 giảm dần vâ ̣n tốc để đạt vâ ̣n tốc tới hạn nhanh hơn Fc k1 v.

 Với trường hợp mở rộng khảo sát lực cản hai thành phần trong giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tầng sang chảy rối cho thấy

 F c = -à.kv –γk 1 v 2 , với à,γ ≤ 1 và F c = -v : trong trường hợp này F c = -v cú võ ̣n tốc tới hạn lớn của các trường hợp à, γ của F c = -à.kv –γk 1 v 2 , với võ ̣n tốc ban đầu bằng nhau.

 F c = -à.kv –γk 1 v 2 , với à,γ ≤ 1, F c = -v 2 : trong trường hợp này F c = -v 2 cú võ ̣n tốc tới hạn nhỏ hơn hoă ̣c bằng các trường hợp à, γ của F c = -à.kv –γk 1 v 2 , với vâ ̣n tốc ban đầu bằng nhau.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận.

 Đã tìm hiểu nắm vững và vận dụng tốt một số công cụ của phần mềm Maple để tình toán số những vấn đề liên quan trong đề tài.

Đã tiến hành khảo sát bằng phương pháp giải tích chuyển động của một vật thể trong trường lực ma sát, từ đó đưa ra các biểu thức tường minh xác định sự phụ thuộc của vận tốc vật vào thời gian và độ nhớt của môi trường.

Sử dụng phần mềm Maple, chúng tôi đã khảo sát số chuyển động của vật thể trong trường có ma sát, từ đó tạo ra nhiều đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa vận tốc của vật và các yếu tố như thời gian, độ nhớt của môi trường, cũng như vận tốc ban đầu của vật.

 Đã mở rộng khảo sát sô trường hợp lực cản của môi trường có hai thành phần cho giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tần sang chảy rối.

Phần mềm Maple là một công cụ tính toán mạnh mẽ, rất được ưa chuộng trong các bộ môn và khoa học, giúp sinh viên ứng dụng và thực hiện các phép tính trong học tập và nghiên cứu khoa học.

Nghiên cứu sâu về ma sát hai thành phần trong giai đoạn chuyển tiếp từ chảy tầng sang chảy rối là cần thiết, đặc biệt trong bối cảnh các vận tốc cực lớn vượt qua vận tốc âm thanh.