Luận án nghiên cứu sự bền vững của tính điều khiển được của hệ động lực mô tả bởi phương trình vi phân có trễ trong ba trường hợp: hệ điều khiển tuyến tính có trễ rời rạc, hệ tuyến tính trung tính và hệ điều khiển tuyến tính có trễ mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm khi các ma trận của các hệ này được nhiễu có cấu trúc.
Hệ tuyến tính có trễ mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm
trình vi phân phiếm hàm
Nội dung của mục này được lấy trong cuốn sách "Theory of functional differential equations" của J.K Hale (xem trong [27]) và các bài báo [6],
Xét hệ tuyến tính có trễ mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm: ˙ x(t) = A 0 x(t) +
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình dạng \( -h d[η(θ)]x(t+θ) + B_0 u(t), t > 0 \), với \( x(t) \in K^n \), \( u(t) \in K^m \), \( B_0 \in K^{n \times m} \) và \( η(θ) \in BV([-h, 0], K^n) \) là các hàm có biến phân giới nội trên tập \([-h, 0]\) Ở đây, \( K \) có thể là tập số thực \( R \) hoặc số phức \( C \), và tích phân được hiểu theo nghĩa Lebesgue-Stieltjes Chúng ta cũng sẽ gặp dạng đặc biệt của hàm \( η(θ) \).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hệ phương trình (1.6) với các tham số Q(s)ds, (1.7) trong đó 0 < h1 < < hN = h, và A_i thuộc K n×n cho mọi i = 1, , N Ma trận Q(.) bao gồm các hàm khả tích trên đoạn [-h, 0], trong khi χA là hàm đặc trưng của tập A Dựa trên các điều kiện này, hệ phương trình có thể được viết lại dưới dạng ˙x(t) = A0 x(t) + A1 x(t-h1) + + AN x(t-hN) +
Q(θ)x(t+θ)dθ, (1.8) nếu Q(θ) = 0, với mọi θ ∈ [−h,0] thì hệ (1.8) được gọi là hệ tuyến tính có trễ rời rạc: ˙ x(t) =A 0 x(t) +A 1 x(t−h 1 ) + +A N x(t−h N ) (1.9)
Hệ phương trình (1.6) có thể được viết lại dưới dạng phương trình vi phân phiếm hàm như sau: ˙ x(t) = A 0 x(t) + Lx t + B 0 u(t), với t > 0 Trong đó, x t được xác định bởi x t (θ) = x(t + θ) với −h ≤ θ ≤ 0, và L là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian C := C([−h,0],K n ) vào K n.
Ma trận của tựa đa thức đặc trưng của hệ (1.6) là
−h d[η(θ)]e λθ −λI n , (1.12) đặc biệt, trong trường hợp hệ trễ rời rạc (1.9), ta tính được
Hàm P rr (λ) được định nghĩa như sau: P rr (λ) = A 0 + e −λh 1 A 1 + + e −λh k A k − λI n Ma trận hàm Hautus tương ứng của hệ (1.6)-(1.11) được ký hiệu là W(λ) = [P tq (λ), B 0] Theo Định lý 1.3.1, với mỗi hàm φ 1 (ã) thuộc L p ([−h,0],K n) với 1 ≤ p < ∞ và hàm điều khiển đo được u(ã) thuộc L loc p ([0,∞),K m), hệ (1.6) với điều kiện ban đầu x(0) = φ 0 ∈ K n và x(θ) = φ 1 (θ) cho mọi θ ∈ [−h,0] sẽ có nghiệm duy nhất x(t) xác định trên khoảng [−h,+∞), thỏa mãn điều kiện ban đầu của bài toán Cauchy trên đoạn [−h,0] và phương trình (1.6) cho hầu hết t > 0.
Theo tài liệu của J.K Hale, khi hàm điều khiển u(t) ≡ 0, hệ thống sinh ra nửa nhóm toán tử tuyến tính liên tục {S(t)} trên không gian Mp = K n × L p ([−h,0],K n ) Đối với mỗi t > 0, S(t) được xác định bởi S(t)(φ 0 , φ 1 ) = (x(t), x t ), trong đó x t (θ) = x(t + θ) với θ thuộc khoảng [−h,0] Toán tử A : Mp → Mp được sinh bởi nửa nhóm {S(t)} t > 0.
A((φ 0 , φ 1 )) = (A 0 x 0 +L(φ 1 ),φ˙ 1 ), với mọi ((φ 0 , φ 1 )) thuộc vào miền xác định của A: dom(A) ={(φ 0 , φ 1 ) ∈ Mp : ˙φ 1 ∈ Lp([−h,0],K n ), φ 0 = φ 1 (0)}.
Bằng cách định nghĩa z(t) = (x(t), ẋ(t)), hệ tuyến tính có trễ có thể được chuyển đổi thành phương trình vi phân không có trễ trong không gian trạng thái vô hạn chiều Phương trình này được biểu diễn dưới dạng ˙z(t) = Az(t) + Bu(t), với t > 0 Ở đây, toán tử tuyến tính bị chặn B : K^m → M^p được xác định bởi.
Bổ đề sau mô tả tính chất của tập phổ của toán tử sinh A.
Bổ đề 1.3.2 khẳng định rằng tập phổ σ(A) của toán tử A bao gồm tất cả các giá trị riêng của A, với λ ∈ C là giá trị riêng khi và chỉ khi nó là nghiệm của phương trình detP tq (λ) = 0 Hơn nữa, các nghiệm của phương trình này có phần thực bị chặn trên, và mọi λ ∈ σ(A) đều có không gian riêng suy rộng M λ với số chiều hữu hạn Cụ thể, tồn tại một số tự nhiên kλ sao cho M λ = Ker(A − λI) k λ = Ker(A − λI) k λ + i, với mọi i = 0, 1, 2,
Nghiệm nhẹ (mild solution) z(t) = (x(t), x t ) của hệ (1.6) tương ứng với hàm điều khiển u(ã) ∈ L loc p ([0,∞),K m ) và điều kiện ban đầu x(0) φ 0 , x(θ) =φ 1 (θ), với mọi θ ∈ [−h,0) là
S(t−s)Bu(s)ds, t >0, tích phân ở đây được hiểu là tích phân Bochner.
S(t−s)Bu(s)ds : u(ã) ∈ Lp([0, t],K m ), t >0 là tập đạt được từ gốc tọa độ 0 sau thời gian t và R p = S t > 0R t,p là tập đạt được từ 0 của hệ (1.6).
Nhận xét 1.3.3 chỉ ra rằng clR ∞ = clR p đối với mọi p > 1 trong không gian M p Cụ thể, với mọi ε > 0 và mọi z ∈ clR p, có tồn tại z₁ ∈ R p sao cho ||z - z₁|| < 2 Hơn nữa, vì z₁ thuộc R p, nên tồn tại t₁ > 0 và u₁(ã) ∈ L p([0, t₁], K m) sao cho z₁ = Rt₁.
Theo Định lý 1.1 trang 181 trong tài liệu [81], tồn tại một hằng số M > 0 sao cho ||S(t)|| ≤ M với mọi t ∈ [0, t1] Hơn nữa, không gian L∞([0, t1], K^m) trù mật trong không gian L^p([0, t1], K^m), do đó tồn tại hàm điều khiển u_2(ã) thuộc không gian này.
Trong không gian M p, các không gian riêng suy rộng σ(A) được coi là đầy đủ nếu như tập đóng của span{M λ , λ ∈ σ(A)} bằng M p Điều này được chứng minh qua việc cho rằng kz 1 − z 2 k nhỏ hơn một hằng số nhất định và từ đó suy ra mối quan hệ giữa các phần tử z1, z2 trong không gian R ∞.
Hệ tuyến tính có trễ được mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm (1.6) được gọi là điều khiển được Euclide nếu với mọi điều kiện ban đầu x 0 ∈ K n và trạng thái mong muốn x 1 ∈ K n, tồn tại thời gian T > 0 và hàm điều khiển u(t) ∈ K m cho hầu hết t ∈ [0, T], sao cho nghiệm x(t) thỏa mãn x(T) = x 1 Ngoài ra, hệ này được xem là điều khiển được xấp xỉ trong không gian trạng thái M p nếu với bất kỳ trạng thái φ = (φ 0, φ 1) ∈ M p và > 0 tùy ý, tồn tại thời gian hữu hạn T > 0 và hàm điều khiển u(t) ∈ L p ([0, T], K m), sao cho nghiệm x(t) với điều kiện ban đầu φ = 0 thỏa mãn kx(T)−φ 0 k K n + kx T −φ 1 k L p < Điều này tương đương với việc tập đạt được từ gốc tọa độ R p trù mật trong không gian trạng thái M p: cl(R p ) = M p.
Hệ thống (1.6) có khả năng điều khiển từ trạng thái bất kỳ nếu nó có thể điều khiển từ gốc tọa độ Cụ thể, đối với hệ tuyến tính có độ trễ, ta có cl(R p ) = cl(R t,p ) với mọi t > n+1 h.
Tính điều khiển được xấp xỉ từ gốc tọa độ cho thấy rằng với mọi φ thuộc M p, S(T 0)φ cộng với cl(R T 0, p) bằng M p, trong đó T 0 = n+1 h Điều này chỉ ra rằng hệ điều khiển có thể được xấp xỉ từ φ trong một khoảng thời gian hữu hạn.
Nhận xét 1.3.8 Chú ý rằng trong định nghĩa trên, nếu R p = M p thì ta nói rằng hệ (1.6) là điều khiển được chính xác trên không gian hàm
Nếu P L p là phép chiếu chính tắc lên không gian L p ([−h,0],K n ) và P L pR = L p, thì hệ (1.6) được coi là điều khiển được chính xác trong không gian L p ([−h,0],K n ) Tuy nhiên, từ phương trình (1.14), ta thấy rằng B là toán tử compact, do đó, theo Định lý 1.2.7, hệ (1.6) sẽ không bao giờ đạt được điều khiển chính xác trong không gian này.
M p và cũng không bao giờ điều khiển được chính xác trên không gian
Luận án này tập trung vào sự bền vững của tính điều khiển được xấp xỉ cho hệ tuyến tính có trễ, được mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm (1.6) Hệ (1.6) được gọi là điều khiển được phổ nếu với mỗi λ ∈ σ(A), P λ R = M λ, trong đó P λ là phép chiếu chính tắc của M p trên không gian riêng suy rộng hữu hạn chiều M λ Để nghiên cứu tính đầy đủ và tính điều khiển được của hệ (1.6), các tác giả M C Delfour, A Manitius và R Triggiani cùng các cộng sự đã áp dụng các toán tử cấu trúc H và G.
47, 48]) Trong đó, toán tử H : L p ([−h,0],K n ) → L p ([−h,0],K n ) không phụ thuộc vào các ma trận A 0 , B 0 và được xác định bởi
−h d[η(θ)]φ 1 (θ−α), α ∈ [−h,0], (1.15) với φ 1 ∈ L p ([−h,0],K n ) Toán tử G : L p ([−h,0],K m ) → L p ([−h,0],K n ) được xác định bởi
Hệ tuyến tính trung tính
Nội dung của mục này được lấy trong cuốn sách "Control and Obser- vation of Neutral Systems" của D Salamon([63]) và các bài báo [30] và[54].
Xét hệ tuyến tính trung tính ˙ x(t) = A 0 x(t) +A −1 x(t˙ −h) +A 1 x(t−h) +Bu(t), t > 0, (1.22) trong đó h là hằng số dương, A −1 , A 0 , A 1 ∈ K n×n , B ∈ K n×m , x(t) ∈ K n , u(t) ∈ K m , với t> 0.
Hệ tuyến tính trung tính, tương tự như hệ tuyến tính có trễ, không thể được điều khiển chính xác trong không gian M2 hay không gian khi η khác 0, theo phương trình vi phân phiếm hàm.
Nghiên cứu tính điều khiển được của hệ tuyến tính trung tính trên không gian hẹp hơn L2([−h,0],K n) dẫn đến việc xem xét không gian Sobolev W2 1([−h,0],K n), nơi tính điều khiển được có thể xảy ra chính xác Không gian W2 1([−h,0],K n) bao gồm các hàm liên tục tuyệt đối x: [−h,0] → K n và đạo hàm x(ã)˙ thuộc L2([−h,0],K n) Đây là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định bởi hξ, ψi = hξ(0), ψ(0)i+.
E dt, với mọi ξ, ψ ∈ W 2 1 ([−h,0],K n ) Khi đó, kξk W 1
Trong phần này, ta xét K là trường số phức. Định lý 1.4.1 Với mỗi hàm điều khiển u(ã) ∈ L loc 2 ([0,∞),C m ) và ξ(ã) ∈
W 2 1 ([−h,0],C n ), hệ (1.22)có nghiệm duy nhất x(t) = x(t, ξ, u) thỏa mãn điều kiện ban đầu của bài toán Cauchy x(θ) = ξ(θ), với mọi θ ∈ [−h,0] và thỏa mãn phương trình (1.22) hầu khắp nơi.
• Kớ hiệu x(ã, ξ, u) là nghiệm của hệ (1.22) tương ứng với hàm điều khiểnu(ã) ∈ L loc 2 ([0,+∞),C n )và điều kiện ban đầuξ(ã) ∈ W 2 1 ([−h,0],C n ).
• Đặtx t (ã, ξ, u) là đoạn nghiệm của hệ (1.22) tương ứng với hàm điều khiển u(ã) ∈ L 2 ([0, t],C n ) và điều kiện ban đầu ξ(ã) ∈ W 2 1 ([−h,0],C n ) trờn đoạn [t−h, t], tức là x t (ã, ξ, u)(θ) = x(t+θ, ξ, u), với mọiθ ∈ [−h,0].
Bây giờ, với mỗi t >0, ta xét toán tử
T(t)(ξ) = x t (ã, ξ,0) ∈ W 2 1 ([−h,0],C n) với x t (ã, ξ,0)(θ) = x(t+θ, ξ,0), θ ∈ [−h,0] Các toán tử tuyến tính {T(t)} t > 0 tạo thành một nhóm toán tử tuyến tính liên tục mạnh trên không gian W 2 1 ([−h,0],C n) Toán tử A được sinh bởi nửa nhóm {T(t)} t > 0 có miền xác định là dom(A) = {ξ ∈ W 2 1 : ˙ξ ∈ W 2 1, ξ(0) = ˙ A −1 ξ(−h) + ˙ A 1 ξ(−h) + A 0 ξ(0)}.
• Đặt K t = {x t (ã,0, u) : u(ã) ∈ L 2 ([0, t],C m )} là tập đạt được từ 0 sau thời gian t của hệ (1.22) và K = S t>0K t là tập đạt được từ 0 ∈
W 2 1 ([−h,0],C n ) của hệ (1.22) Theo kết quả trong bài báo [54] (trang
316), tập K t có thể viết lại như sau:
(1.23) với λ không phải là nghiệm của phương trình det P th (λ) = 0, trong đó
P th (λ) =A 0 +A 1 e −hλ +λA −1 e −hλ −λI n là ma trận của tựa đa thức đặc trưng của hệ tuyến tính trung tính (1.22).
Hệ (1.22) trên không gian W 2 1 ([−h,0],K n ) được định nghĩa là điều khiển được chính xác nếu với mọi điều kiện ban đầu ξ 0 (ã) ∈ W 2 1 ([−h,0],C n ) và trạng thái cuối ξ1(ã) ∈ W 2 1 ([−h,0],C n ), tồn tại thời gian T > 0 và hàm điều khiển u(t) ∈ L 2 ([0, T],C n ) sao cho nghiệm x(t) thỏa mãn x T (θ) = ξ 1 (θ) với mọi θ ∈ [−h,0] Ngược lại, hệ được gọi là điều khiển được xấp xỉ nếu với mọi điều kiện ban đầu và điều kiện cuối mong muốn, cùng với một ε > 0, tồn tại T > 0 và hàm điều khiển u(t) sao cho khoảng cách giữa nghiệm x T (ã) và ξ 1 (ã) trong không gian W 1 nhỏ hơn ε.
Hệ (1.22) được gọi là điều khiển được Euclide nếu với mọi điều khiển ban đầu ξ 0 (ã) thuộc W 2 1 ([−h,0],C n ) và mọi trạng thái cuối mong muốn x 1, tồn tại một thời gian T > 0 cùng với hàm điều khiển u(t) thuộc tập hợp tương ứng.
L 2 ([0, T],C n ) sao cho nghiệm tương ứng x(t) = x(t, ξ 0 , u) thỏa mãn x(T) = x 1
Năm 1983, D.A O’Connor và T.J Tarn đã mở rộng lý thuyết nửa nhóm toán tử liên tục mạnh cho hệ (1.22) trên không gian trạng thái W 2 1 ([−h,0],C n ), dựa trên các kết quả trước đó của H.T Banks, M.Q Jacobs, C.E Langenhop, A Manitius, R Triggiani, và H.R Rodas Họ đã đưa ra một số tiêu chuẩn đại số cho tính điều khiển được của hệ (1.22) thông qua mệnh đề rằng hệ này là điều khiển được Euclide nếu và chỉ nếu rank[P th (λ), B] = n, với mọi λ ∈ C.
P th (λ) =A 0 +e −hλ A 1 +λe −hλ A −1 −λI n (1.24) là ma trận của tựa đa thức tựa đặc trưng của hệ (1.22) Hệ (1.22) là điều khiển được chính xác khi và chỉ khi (i) xảy ra và
Hệ (1.22) là điều khiển được xấp xỉ khi và chỉ khi (i) xảy ra và
Điều kiện (ii) trong Mệnh đề 1.4.5 chỉ ra rằng cặp ma trận (A −1 , B) là điều khiển được, với điều kiện rank[A −1 −λI n , B] = n cho mọi λ thuộc C Kết quả này được rút ra từ phần 1.1 của chương này.
Toán tử đa trị tuyến tính và các kết quả về các bán kính toàn ánh
quả về các bán kính toàn ánh
Trong mục này, chúng tôi tổng hợp nội dung từ các tài liệu [14] và [70], đồng thời cung cấp các chứng minh ngắn gọn về các tính chất của toán tử đa trị tuyến tính, nhằm giúp người đọc dễ dàng theo dõi và hiểu rõ hơn.
Cho K = Choặc là tập hợp các số phức hoặc thực, với n, m, k, l, q, N là các số nguyên dương Trong luận án này, ký hiệu N 1, N = {1, , N} và K n×m đại diện cho tập tất cả các ma trận cấp n×m Ma trận A ∗ ∈ K m×n được sử dụng để ký hiệu ma trận liên hợp của ma trận.
A ∈ K n×m, K n (= K n×1) là không gian véc tơ n - chiều, bao gồm các véc tơ cột n thành phần trong K, được trang bị với chuẩn véc tơ k Không gian liên hợp của nó đồng nhất với (K n) ∗ = (K nì1) ∗ {u ∗ : u ∈ K n}, tức là không gian của các véc tơ hàng n thành phần trong K.
K), được trang bị với chuẩn liên hợp Với u ∗ ∈ (K n ) ∗ chúng ta viết u ∗ (x) = u ∗ x,∀x ∈ K n và với một tập M ⊂ K n , chúng ta định nghĩa
M ⊥ = {u ∗ ∈ (K n ) ∗ : u ∗ x = 0,∀x ∈ M} Ta kớ hiệu k ã k 2 là chuẩn Euclide, tức là kxk 2 = √ x ∗ x và k ã k ∞ là chuẩn vụ cựng trờn K n , tức là kxk ∞ = maxi∈{1, ,n}kx i k, với mọi x = (x 1 , , x n ) ∈ K n
Với mỗi ma trận A ∈ K n×m , ta nói rằng σ > 0 là giá trị kì dị của
Giá trị kì dị của ma trận được xác định khi và chỉ khi det(A ∗ A−σ² Iₘ) = 0 Khái niệm giá trị kì dị cũng có thể được mở rộng cho cặp ma trận (A, B) với cùng số cột Đối với hai ma trận A ∈ Kⁿ và B ∈ Kˡ, giá trị kì dị của cặp ma trận (A, B) được xác định khi và chỉ khi det(A ∗ A−σ² B ∗ B) = 0.
Chú ý rằng trong không gian vectơ trang bị chuẩn Euclide, với mỗi ma trận A ∈ K n×m, ta có kAk pλ max (A ∗ A) = σ max (A), trong đó λ max (A ∗ A) là giá trị riêng lớn nhất của ma trận A ∗ A Chính vì vậy, chuẩn Euclide còn được gọi là chuẩn phổ.
Toán tử đa trị F: K^n ⇒ K^m được định nghĩa là tuyến tính nếu đồ thị của nó, được biểu diễn bởi grF(x, y) ∈ K^n × K^m với y ∈ F(x), là một không gian con tuyến tính của K^n × K^m Miền xác định của F được ký hiệu là domF, bao gồm các x ∈ K^n sao cho F(x) không rỗng, trong khi nhân của F được ký hiệu là KerF, chứa các x ∈ domF.
0 ∈ F(x) Bởi định nghĩa, F(0) là một không gian con tuyến tính và với x ∈ domF, chúng ta có đẳng thức sau y ∈ F(x) ⇐⇒ F(x) =y +F(0) (1.26)
Cho F: K^n ⇒ K^m là một toán tử đa trị tuyến tính Với chuẩn véc tơ đã cho trên K^n và K^m, chuẩn của F được định nghĩa bởi công thức kF k = sup y∈F(x) inf kyk, với x thuộc domF và kxk = 1.
Theo định nghĩa của toán tử đa trị, ta có bất đẳng thức inf y∈F(x)kyk ≤ kF kkxk với mọi x ∈ domF Điều này dẫn đến kết luận rằng nếu F là đơn trị, thì kF(x)k ≤ kF kkxk với mọi x ∈ domF.
Nếu các không gian vectơ được trang bị chuẩn Euclide (kxk = √ x ∗ x) thì từ (1.26) ta được mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.5.2 Cho F : K n ⇒ K m là một toán tử đa trị tuyến tính. Khi đó, y ∈ F(x), y ∗ ∈ F(0) ⊥ =⇒ d(0,F(x)) := inf z∈F(x)kzk= kyk (1.29)
Với toán tử đa trị tuyến tính F : K n ⇒ K m thì toán tử liên hợp
F ∗ : (K m ) ∗ ⇒ (K n ) ∗ và toán tử nghịch đảo F −1 : ImF ⇒K n được định nghĩa tương ứng bởi
Bởi định nghĩa, F ∗ và F −1 cũng là các toán tử đa trị tuyến tính và ta có các mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.5.3 Cho F : K n ⇒ K m là một toán tử đa trị tuyến tính. Khi đó,
Mệnh đề 1.5.4 Cho F : K n ⇒ K m là một toán tử đa trị tuyến tính. Khi đó, F là toàn ánh (F(K n ) = K m ) nếu và chỉ nếu F ∗ là đơn ánh (F ∗−1 (0) = {0}) hoặc tương đương F ∗−1 là đơn trị.
Cho các toán tử đa trị tuyến tính F : K n ⇒ K m và G : K m ⇒ K l, ta định nghĩa toán tử GF : K n ⇒ K l với công thức (GF)(x) = G(F(x)) cho mọi x ∈ domF Do đó, GF cũng là một toán tử đa trị tuyến tính.
Mệnh đề 1.5.5 Cho F : K n ⇒ K m ,G : K m ⇒ K l là các toán tử đa trị tuyến tính Khi đó,
Toán tử đơn trị tuyến tính F được định nghĩa bởi F G (x) = Gx, với G ∈ K m×n và x ∈ K n Chuẩn của toán tử F G được xác định theo công thức (1.27), và rõ ràng rằng chuẩn này thực sự tương đương với chuẩn của ma trận G, tức là kF G k = kGk.
Do vậy khi làm việc với các toán tử này chúng ta sẽ sử dụng khái niệm
Toán tử liên hợp (F G) ∗: (K m) ∗ −→ (K n) ∗ là một toán tử đa trị tuyến tính, được xác định bởi (F G) ∗ (v ∗) = v ∗ G, với mọi v ∗ ∈ (K m) ∗ Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ đồng nhất (F G) ∗ với
G ∗ v thường được hiểu là tích của ma trận G ∗ ∈ K n×m và véc tơ cột v ∈ K m, với tính chất (G ∗ v) ∗ = G ∗ (v ∗ ) Khi ma trận G có hạng bằng số hàng, tức là G(K n ) = K m, ta có G † y ∈ G −1 (y) cho mọi y ∈ K m Nếu các không gian được trang bị các chuẩn vectơ Euclide, thì bất đẳng thức kxk ≥ kG † yk luôn đúng với mọi x ∈ G −1 (y).
Kết quả nghiên cứu về bán kính toàn ánh phức và khoảng cách phức đến tập các ma trận không toàn ánh của ma trận được trình bày bởi N.K Son và D.D Thuan trong bài báo [70].
Giả sử Q ∈ K n×m là ma trận toàn ánh với rank Q = n, và D ∈ K n×l, E ∈ K q×m là các ma trận cho trước Khi đó, khoảng cách có cấu trúc tới tập hợp các ma trận không toàn ánh được xác định bởi công thức dist C (Q;D, E) = inf{k∆k : ∆ ∈ C l×q sao cho Q+D∆E không toàn ánh}.
(1.37) trong đó Q −1 là toán tử đa trị tuyến tính nghịch đảo của Q.
Chứng minh Vì toán tử Q là toàn ánh nên Q ∗−1 là toán tử đơn trị Giả sử rằng
Qe = Q+D∆E là không toàn ánh với∆ ∈ K l×q nào đó Do đó, tồn tại y 0 ∗ ∈ (C n ) ∗ , y 0 ∗ 6= 0 thỏa mãn (Q+ D∆E) ∗ (y 0 ∗ ) = Q ∗ (y ∗ 0 ) + (E ∗ ∆ ∗ D ∗ )(y 0 ∗ ) = 0 Vì Q ∗−1 λ
0 là đơn trị nên chúng ta có y ∗ 0 = −(Q ∗−1 E ∗ ∆ ∗ )(D ∗ (y 0 ∗ )) (1.38) và vì thế nên D ∗ (y 0 ∗ ) 6= 0 Bằng cách tác động D ∗ vào phía trái cả hai vế của (1.38) ta thu được
Do đó, từ (1.28), ta có
0< kD ∗ (y ∗ 0 )k ≤ kD ∗ Q ∗−1 E ∗ kk∆ ∗ (D ∗ (y 0 ∗ ))k ≤ kD ∗ Q ∗−1 E ∗ kk∆ ∗ kkD ∗ (y ∗ 0 )k.
Vì ImQ −1 ⊂ domE = K m nên bởi sử dụng (1.34) ta có (EQ −1 ) ∗ Q −1∗ E ∗ = Q ∗−1 E ∗ Hơn nữa, vì Q là toàn ánh và ImD⊂dom(EQ −1 ) K n nên từ (1.34), ta có
Từ (1.32), ta nhận được k∆ ∗ k= k∆k ≥ 1 kD ∗ Q ∗−1 E ∗ k = 1 kEQ −1 Dk.
Bất đẳng thức trên đúng cho mọi ma trận nhiễu ∆∈ K l×q, với điều kiện D∆E phá vỡ tính toàn ánh, dẫn đến dist C (Q;D, E) ≥ 1 kEQ −1 Dk Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, cần lưu ý rằng D ∗ Q ∗−1 E ∗ là đơn trị, do đó chuẩn của nó là chuẩn toán tử Tồn tại v ∗ ∈ (K q ) ∗ với kv ∗ k = 1, v ∗ thuộc dom(D ∗ Q ∗−1 E ∗) thỏa mãn kEQ −1 Dk = k(D ∗ Q ∗−1 E ∗ )(v ∗ )k Đặt u ∗ = −Q ∗−1 (E ∗ (v ∗ )) 6= 0.
Theo định lý Hahn-Banach, tồn tại h ∈ K l thỏa mãnkhk = 1,(D ∗ (u ∗ ))h
∆ = 1 kD ∗ (u ∗ )khv ∗ ∈ K l×q Khi đó, k∆k = kD ∗ (u ∗ )k −1 = k(D ∗ Q ∗−1 E ∗ )(v ∗ )k −1 = 1 kEQ −1 Dk, và từ (1.35), ta có (∆ ∗ D ∗ )(u ∗ ) = ∆ ∗ (D ∗ (u ∗ )) = D ∗ (u ∗ )∆ = v ∗ Vì thế (E ∗ ∆ ∗ D ∗ )(u ∗ ) =E ∗ (v ∗ ) và do đó
Q ∗ (u ∗ ) + (E ∗ ∆ ∗ D ∗ )(u ∗ ) = 0, với u ∗ 6= 0 Điều này suy ra rằng ma trận bị nhiễu Qe = Q+D∆E không là toàn ánh Do đó dist C (Q;D, E) ≤ k∆k ≤ 1 kEQ −1 Dk. Chứng minh định lý đã được hoàn thành.
Bán kính điều khiển được phức
Trong không gian trạng thái vô hạn chiều, khái niệm điều khiển xấp xỉ được xem xét bên cạnh điều khiển chính xác, nhằm đưa trạng thái hệ thống gần với trạng thái mong muốn trong khoảng thời gian hữu hạn Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra các vấn đề này, như của R F Curtain, Prichard và R Triggiani Trong khi điều khiển chính xác vẫn được duy trì dưới tác động của nhiễu nhỏ, điều khiển xấp xỉ có thể bị phá vỡ trong các trường hợp tổng quát.
Hệ điều khiển tuyến tính (A, b) được mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính ˙x = Ax + bu, với x thuộc không gian Banach X = l2, bao gồm các dãy số phức khả tổng bậc hai Cơ sở trực chuẩn của không gian này được biểu diễn bởi {ei}, trong đó ei là dãy số có phần tử thứ i là 1 và các phần tử khác là 0 Toán tử chuyển trái A được xác định bởi các quy tắc Ae1 = 0 và Aei+1 = ei cho i = 1, 2, , trong khi vectơ b thuộc X có tọa độ là 1, 1/2, , 1/i, hay b được biểu diễn dưới dạng tổng P∞ i=1.
A là một toán tử tuyến tính bị chặn, và theo kết quả trong bài báo [21] (trang 43), ta có cl span{b, Ab, A^2b, } = X Do đó, dựa vào Định lý 1.2.11, hệ (A, b) được xác định là điều khiển được xấp xỉ.
Bây giờ, ta xét hệ điều khiển tuyến tính (A, bn), n = 1,2, với b n = Pn i=1
1 ie i Rõ ràng k(A, b n )−(A, b)k= kb−b n k → 0 khi n → ∞ và
A k b n = 0, với mọi k > n nên cl span{b, Ab, A 2 b, } 6= X Theo kết quả của Định lý 1.2.11, hệ (A, bn) không điều khiển được xấp xỉ.
Ví dụ 2.1.2 Xét hệ điều khiển tuyến tính trong không gian trạng thái
X = L 2 [0,1], được mô tả bởi phương trình vi tích phân loại Volterra:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hệ phương trình động lực học được mô tả bởi phương trình (2.2) với x(t) = w(t, ã) ∈ L²[0,1], t ≥ 0 và v(ã) ∈ L²[0,1], trong đó v(ξ) khác 0 hầu hết trên khoảng [0, δ] ⊂ [0,1] với δ > 0 Dựa trên điều này, chúng ta có thể tái cấu trúc hệ (2.2) dưới dạng (2.3) với ˙ x(t) = A(x(t)) + Bu(t), t > 0, trong đó A là toán tử tuyến tính từ không gian L²[0,1] vào chính nó, chuyển đổi mỗi x(ã) ∈ L²[0,1] thành A(x), với A(x) được xác định một cách cụ thể.
Dễ thấy rằng, A là toán tử tuyến tính, và kAxk 2 Z 1 0
Vì vậy, A là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, theo các kết quả của
Ví dụ 3.2.1 và Chú ý 3.2.1 trong bài báo [78], hệ (2.2) điều khiển được xấp xỉ trong X.
Bây giờ, với mọi > 0đủ bé, ta chọn0 > 0sao cho R 0
0 |v(ξ)| 2 dξ < 2 Xét hàm v(ξ)˜ xác định bởi: ˜ v(ξ)
∂t Z ξ 0 w(t, s)ds+ ˜v(ξ)u(t), với v(ã)˜ được xỏc định bởi (2.4) Theo kết quả của Vớ dụ 3.2.1 và Chỳ ý 3.2.1 trong bài báo [78], hệ (2.1.2) không điều khiển được xấp xỉ.
Bán kính điều khiển được xấp xỉ thường bằng không, nhưng đối với hệ điều khiển tuyến tính có trễ rời rạc, ta có thể xác định bán kính điều khiển dương Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày công thức tính bán kính điều khiển được xấp xỉ cho loại hệ thống này, đồng thời lưu ý đến các kết quả đã được trình bày trong Chương trước.
1, hệ này không bao giờ điều khiển được chính xác Vì vậy, không có khái niệm bán kính điều khiển được chính xác của hệ này.
Nhắc lại rằng, ma trận của tựa đa thức đặc trưng của hệ (2.1) là
Dựa trên các kết quả từ Định lý 1.3.13 và Định lý 1.3.14, chúng ta nhận thấy rằng nếu hệ (2.1) có khả năng điều khiển xấp xỉ, thì hệ đó cũng có thể điều khiển theo cách Euclide Những kết quả này dẫn chúng ta đến việc tính toán bán kính điều khiển Euclide và bán kính điều khiển xấp xỉ cho hệ (2.1), đặc biệt khi các ma trận A_i (với i = 1, , k) và ma trận B chịu ảnh hưởng của các nhiễu nhỏ.
Bây giờ, ta giả sử rằng các ma trận của hệ (2.1) được nhiễu có cấu trúc dạng
Hệ nhiễu tương ứng được mô tả bằng phương trình ˙ x(t) = Ae 0 x(t) + Ae 1 x(t−h 1 ) + + Ae k x(t−h k ) + Bu(t), trong đó ∆ ∈ K l×q là ma trận nhiễu chưa biết, còn D ∈ K n×l và E ∈ K q×(n(k+1)+m) là các ma trận đã cho xác định cấu trúc các nhiễu Lớp nhiễu affine D∆E đã được áp dụng trong nhiều nghiên cứu về điều khiển trong không gian trạng thái và đã chứng minh tính hữu ích trong lý thuyết bền vững của sự ổn định cũng như khả năng điều khiển (xem [32, 39]).
Để xác định bán kính điều khiển được Euclide và bán kính điều khiển được xấp xỉ tương ứng với nhiễu cho hệ điều khiển, chúng ta xem xét chuẩn trên không gian K l×q, trong đó k∆k được định nghĩa là sup x∈ K q, kxk K q =1 k∆xk K l Định nghĩa bán kính điều khiển được Euclide của hệ điều khiển được cho bởi r e K (A, B;D, E) = inf k∆k: ∆∈ K l×q sao cho hệ không điều khiển được Euclide.
Nếu [A, B] +D∆E là điều khiển được Euclide với mọi ∆ ∈ K l×q thì ta đặt r e
Bán kính điều khiển được xấp xỉ là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết hệ thống, đặc biệt đối với hệ tuyến tính có trễ rời rạc Định nghĩa cho thấy rằng nếu hệ thống này là điều khiển được xấp xỉ trong không gian Banach M2 (K) với K là C hoặc R, và kã k là một chuẩn trên không gian K l×q, thì bán kính điều khiển được xấp xỉ tương ứng với nhiễu cấu trúc được xác định bởi r a.
K(A, B;D, E) = inf k∆k: ∆∈ K l×q sao cho (2.7) không điều khiển được xấp xỉ trong không gian M2(K) (2.10)
Nếu [A, B] +D∆E điều khiển được xấp xỉ với mọi ∆ ∈ C l×q thì ta đặt r a
Mỗi hệ (2.1) cho phép xác định hai bán kính điều khiển được: bán kính Euclide và bán kính xấp xỉ, thông qua các công thức (2.9) và (2.10) Bán kính phức tương ứng với K = C và bán kính thực khi K = R, phụ thuộc vào ma trận nhiễu ∆ với các phần tử có giá trị thực hoặc phức Rõ ràng rằng bán kính phức là giới hạn dưới của bán kính thực, tức là r C ≤ r R Hơn nữa, theo Định lý 1.3.13 và Định lý 1.3.14, việc tính toán bán kính điều khiển được phức có liên quan trực tiếp đến khoảng cách tới tập hợp các ma trận không toàn ánh Để thiết lập các công thức bán kính điều khiển được cho các hệ điều khiển đang xem xét, chúng ta sẽ áp dụng kết quả từ Mệnh đề 1.5.6.
Công thức tính bán kính điều khiển được cho hệ tuyến tính có trễ rời rạc (2.1) được xác định thông qua hai định lý quan trọng Theo định lý 2.1.5, nếu hệ (2.1) là điều khiển được Euclide và kã k là một chuẩn trên không gian K lìq, thì bán kính điều khiển được Euclide của hệ tương ứng với cấu trúc nhiễu dạng (2.6) có thể được tính bằng công thức r e.
C(A, B;D, E) = 1 sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk, (2.12) ở đó W(λ) −1 : K n ⇒ K n+m là toán tử đa trị tuyến tính nghịch đảo của
Chứng minh Giả sử rằng hệ nhiễu (2.7) không điều khiển được Euclide với ∆ nào đó Khi đó, từ Định lý 1.3.13, tồn tại λ 0 ∈ C để ma trận phức
W˜ (λ 0 ) = [ ˜P(λ 0 ),B˜ 0 ] không toàn ánh, ở đây P˜(λ 0 ) = ˜A 0 + e −h 1 λ 0 A˜ 1 + +e −h N λ 0 A N là ma trận của tựa đa thức đặc trưng của hệ nhiễu (2.7).
Từ (2.5) và (2.11), ta có fW(λ0) = [Pe(λ0),B] = [e Ae0,Ae1, ,Aek,B]He (λ0)−λ0[In,0]
Vì Wf(λ 0 ) không toàn ánh, từ kết quả của Mệnh đề 1.5.6, ta nhận được k∆k ≥ dist C (W(λ 0 );D, E(λ 0 )) = 1 kE(λ 0 )W(λ 0 ) −1 Dk
Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi ∆∈ C l×q sao cho D∆E phá vỡ tính điều khiển được Euclide của hệ (2.1) nên từ định nghĩa ta thu được r e
C(A, B;D, E) ≥ 1 sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk (2.15) Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, với > 0 đủ bé, tồn tại λ ∈ C sao cho kE(λ )W(λ ) −1 Dk ≥ sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk − > 0.
Hệ (2.1) điều khiển được Euclide theo Định lý 1.3.13, dẫn đến W(λ ) [P(λ ), B] toàn ánh Theo Mệnh đề 1.5.6, tồn tại ma trận nhiễu ∆ với điều kiện k∆ k ≤ 1 kE(λ )W(λ ) −1 Dk − và ma trận nhiễu Wf(λ ) = W(λ ) +D∆ E(λ ) không toàn ánh Do đó, hệ nhiễu (2.7) không điều khiển được Euclide với nhiễu ∆, từ đó suy ra r C e (A, B;D, E) ≤ k∆ k ≤ 1 kE(λ )W(λ ) −1 Dk −.
≤ 1 sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk −2. Cho →0, ta thu được r C e (A, B;D, E) ≤ 1 sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk. Điều này kết hợp với (2.14), ta nhận được điều phải chứng minh.
Trong trường hợp A i = 0 với mọi i ∈ {1,2, , k}, hệ (2.1) trở thành hệ tuyến tính không có trễ (1.1), với h i cũng bằng 0 Khi đó, ma trận đặc trưng P(λ) = A 0 − λI n được tính toán, dẫn đến E(λ) = E Áp dụng công thức bán kính điều khiển Euclide (2.12), ta thu được kết quả (15) của N.K Son và D.D Thuan cho hệ tuyến tính không có trễ Định lý 2.1.7 chỉ ra rằng hệ tuyến tính có trễ rời rạc (2.1) là điều khiển được xấp xỉ trên không gian M 2 (K) và bị nhiễu có cấu trúc.
(2.6) Khi đó, bán kính điều khiển được phức của hệ (2.1) được cho bởi công thức r a C (A, B;D, E) = min
1 sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk, 1 kM[A k , B] −1 Dk
(2.16) trong đó các ma trận W(λ), E(λ) và M được xác định bởi (2.11).
Giả sử hệ nhiễu (2.7) với [A,e B] = [A, Be ] + D∆E không điều khiển được trên không gian M 2 (K) với ∆∈ C l×q Từ (1.21), ma trận phức Wf(λ 0 ) = [Pe(λ 0 ),B]e không toàn ánh với λ 0 ∈ C nào đó, trong đó Pe(λ 0 ) = Ae 0 +e −h 1 λ 0 Ae 1 + + e −h k λ 0 Ae k −λ 0 I n là ma trận của tựa đa thức đặc trưng của hệ nhiễu (2.7), hoặc ma trận [Aek,B]e không toàn ánh.
Nếu Wf(λ 0 ) không toàn ánh thì bởi các định nghĩa (2.5) và (2.11) ta có phân tích fW(λ 0 ) = [Pe(λ 0 ),B] = [e Ae 0 ,Ae 1 , ,Ae k ,B]He (λ 0 )−λ 0 [I n ,0]
Từ (1.37), ta nhận được k∆k ≥ dist C (W(λ0);D, E(λ0)) = 1 kE(λ 0 )W(λ 0 ) −1 Dk
Nếu [Ae k ,B]e không toàn ánh, từ định nghĩa (2.11) ta có thể viết lại như sau
[Ae k ,B] = [e Ae 0 ,Ae 1 , ,Ae k ,B]Ne
Vì vậy, từ (1.37), ta nhận được k∆k ≥ dist C ([A k , B];D, M) = 1 kM[A k , B] −1 Dk. Điều này kéo theo k∆k ≥ min
1 sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk, 1 kM[A k , B] −1 Dk
Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi ∆∈ C l×q sao cho D∆E phá vỡ tính điều khiển được xấp xỉ của hệ (2.1) nên từ định nghĩa ta thu được r a C (A, B;D, E) ≥min
1 sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk, 1 kM[Ak, B] −1 Dk
(2.19) Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, với > 0 đủ bé, tồn tại λ ∈ C sao cho kE(λ )W(λ ) −1 Dk ≥ sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk − > 0.
Hệ điều khiển (2.1) xấp xỉ có thể được mô tả qua W(λ) = [P(λ), B], dẫn đến việc tồn tại một ma trận nhiễu ∆ với điều kiện k∆ k ≤ 1 kE(λ)W(λ) −1 Dk Hơn nữa, ma trận nhiễu Wf(λ) = W(λ) + D∆ E(λ) không phải là toàn ánh Do đó, hệ nhiễu (2.7) không thể điều khiển được xấp xỉ.
M 2 (K) với các nhiễu ∆ Vì vậy, từ định nghĩa ta có r a
≤ 1 sup λ∈ C kE(λ )W(λ ) −1 Dk −2. Cho →0, ta thu được r C a (A, B;D, E) ≤ 1 sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk.
Hoàn toàn tương tự, ta cũng đánh giá được r C a (A, B;D, E) ≤ 1 kM[A k , B] −1 Dk, và do đó r a C (A, B;D, E) ≤min
1 sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk, 1 kM[A k , B] −1 Dk
Bán kính điều khiển được thực
Trong Mục 2.1, chúng tôi đã phát triển công thức để tính toán bán kính điều khiển phức cho hệ thống (2.1) trong không gian trạng thái M 2 (K) K n ×L2([−h k ,0],K) với K có thể là C hoặc R, trong đó tất cả các ma trận được xem xét.
Trong bài viết này, chúng tôi giả định rằng các ma trận A, B của hệ và các ma trận cấu trúc D, E có các hệ số trong trường K, trong khi ma trận nhiễu ∆ lại có các phần tử trên trường số phức Chúng tôi sẽ đánh giá sự bền vững của tính điều khiển được khi tất cả các phần tử của ma trận trong hệ (2.1) là thực Đặc biệt, lớp nhiễu thực ∆ ∈ R l×q sẽ được nghiên cứu, và khái niệm bán kính điều khiển được thực r R sẽ đóng vai trò quan trọng trong trường hợp này.
Giả sử rằng tất cả các yếu tố A_i (với i = 0, , k), B của hệ (2.1) và các ma trận cấu trúc D, E trong cấu trúc nhiễu (2.6) đều là thực Bài viết này sẽ trình bày một số công thức cùng với đánh giá và tính toán bán kính điều khiển thực trong không gian M2(R) = R^n × L2([-h_k, 0], R^n) của hệ (2.1) Để bắt đầu, chúng ta cần chứng minh mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.2.1 Giả sử rằng Q ∈ R n×m là ma trận toàn ánh và D ∈
R n×l , E ∈ R q×m là hai ma trận cho trước Khi đó, tồn tại ma trận nhiễu
∆∈ R l×q có hạng bằng một sao cho Q+D∆E không toàn ánh và k∆k= 1 kEQ −1 Dk.
Chứng minh rằng vì Q là ma trận toàn ánh, nên Q ∗−1 là toán tử tuyến tính đơn trị, dẫn đến D ∗ Q ∗−1 E ∗ là toán tử tuyến tính từ (R q ) ∗ tới (R l ) ∗ Tồn tại v ∗ ∈ (R q ) ∗ với kv ∗ k = 1, v ∗ ∈ dom(D ∗ Q ∗−1 E ∗) sao cho kD ∗ Q ∗−1 E ∗ k = k(D ∗ Q ∗−1 E ∗)(v ∗)k = kEQ −1 Dk 6= 0 Đẳng thức này được suy ra từ (1.32) Đặt u ∗ = −Q ∗−1 (E ∗ (v ∗)), ta có u ∗ 6= 0 và D ∗ (u ∗) = −(D ∗ Q ∗−1 E ∗)(v ∗) 6= 0 Theo định lý Hahn-Banach, tồn tại h ∈ R l sao cho khk = 1 và (D ∗ (u ∗))h = kD ∗ (u ∗)k.
Do vậy, ta có thể xác định được nhiễu ∆ ∈ R l×q có hạng bằng một bằng cách đặt
Khi đó, dễ thấy rằng k∆k ≤ kD ∗ (u ∗ )k −1 Hơn nữa, ta có D ∗ (u ∗ )∆ = v ∗ Điều này kéo theo rằng k∆k ≥ kD ∗ (u ∗ )k −1 Vì vậy, ta nhận được k∆k= 1 kD ∗ (u ∗ )k = 1 k(D ∗ Q ∗−1 E ∗ )(v ∗ )k = 1 kD ∗ Q ∗−1 E ∗ k = 1 kEQ −1 Dk.
(E ∗ ∆ ∗ D ∗ )(u ∗ ) = E ∗ (v ∗ ) = −Q ∗ (u ∗ ) dẫn đến Q ∗ (u ∗ ) + (E ∗ ∆ ∗ D ∗ )(u ∗ ) = 0 với u ∗ 6= 0, cho thấy ma trận nhiễu Q+D∆E không toàn ánh Định lý 2.2.2 khẳng định rằng với K = R, hệ tuyến tính có trễ rời rạc (2.1) là điều khiển được xấp xỉ trong không gian Banach M 2 (R) = R n ×.
Hệ L 2 ([−h k ,0],R n ) chịu ảnh hưởng của nhiễu có cấu trúc, được mô tả bởi các ma trận thực D ∈ R n×l và E ∈ Rq×(n(k+1)+m) Dựa trên đó, chúng ta có thể đưa ra các đánh giá về bán kính điều khiển xấp xỉ thực cho hệ thống (2.1): r a.
1 sup λ∈ R kE(λ)W(λ) −1 Dk, 1 kM[A k , B] −1 Dk
, (2.31) trong đó các ma trận W(λ), E(λ), M được xác định trong (2.11).
Theo Định nghĩa 2.1.3 và Định nghĩa 2.1.4, ta có thể suy ra vế trái của (2.31) Hệ (2.1) có khả năng điều khiển xấp xỉ trong không gian M²(R), do đó, dựa vào (1.21) và Mệnh đề 2.2.1, với mỗi λ ∈ R, tồn tại một ma trận nhiễu thực có hạng ∆λ sao cho k∆λk = 1 kE(λ)W(λ) −1 Dk, và điều kiện rank[Pe(λ),B]e < n được thỏa mãn Đồng thời, cũng tồn tại một nhiễu thực ∆0 với k∆0k = 1 kM[A k , B] −1 Dk, và rank[Ae k ,B]e < n.
(trong đó Pe(λ) là ma trận của tựa đa thức đặc trưng của hệ (2.7) và
Ae k ,Be được xác định bởi (2.6), với ∆ = ∆ λ và ∆ = ∆ 0 , tương ứng) Vì vậy, từ Định nghĩa 2.1.3, ta nhận được r R a (A, B;D, E) ≤ min{inf λ∈ R k∆ λ k,k∆ 0 k},
Bất đẳng thức này dẫn đến (2.31) Định lý được chứng minh.
Các kết quả cho thấy mối quan hệ giữa bán kính điều khiển được xấp xỉ và bán kính điều khiển được Euclide trong các trường hợp thực và phức Theo định lý 2.2.3, nếu hệ tuyến tính có trễ (2.1) là điều khiển được xấp xỉ trong không gian M2(R), thì rC a (A, B; D, E) = min{rR a (A, B; D, E); rC e (A, B; D, E)} Hơn nữa, r a R (A, B; D, E) = min r e R (A, B; D, E); 1 kM[A k , B] −1 Dk.
Hơn nữa, nếu E có hạng bằng số cột và các không gian vectơ được trang bị các chuẩn Euclide thì r R a (A, B;D, E) = r R e (A, B;D, E).
Chứng minh Từ các định nghĩa, ta dễ thấy rằng r a
C(A, B;D, E), từ Định lý 2.1.7, r a C (A, B;D, E) = 1 kM[Ak, B] −1 Dk.
Theo Mệnh đề 2.2.1, tồn tại một ma trận nhiễu thực ∆ làm giảm tính điều khiển được xấp xỉ, với k∆k = 1 kM[A k , B] −1 Dk Do đó, ta có r C a (A, B;D, E) = k∆k ≥ r a R (A, B;D, E) ≥ r C a (A, B;D, E) Điều này dẫn đến r C a (A, B;D, E) = r a R (A, B;D, E) và (2.32) xảy ra Để chứng minh (2.33), từ định nghĩa của bán kính điều khiển được xấp xỉ thực và kết quả từ Mệnh đề 2.2.1, ta có r a R (A, B;D, E) ≤ min r e R (A, B;D, E); 1 kM[Ak, B] −1 Dk.
Chọn ∆ là ma trận nhiễu thực sao cho k∆k < min r R e (A, B;D, E); 1 kM[A k , B] −1 Dk
R(A, B;D, E), hệ (2.7) là điều khiển được Euclide và do đó rank[Pe(λ),Be] = n với mọi λ ∈ C.
Vì k∆k < 1 kM[A k , B] −1 Dk = dist C ([Ak, B];D, M), điều này dẫn đến rank([Ae k ,B]) = rank([Ae k , B] +D∆M) = n.
Vì vậy, từ (1.21), hệ (2.7) là điều khiển được xấp xỉ với mọi nhiễu thực
∆ thỏa mãn (2.34) Do đó, theo Định nghĩa 2.1.4, ta nhận được r a
R(A, B;D, E); 1 kM[A k , B] −1 Dk và (2.33) xảy ra.
Nếu E có hạng bằng số cột và các không gian vectơ được trang bị các chuẩn Euclide, thì theo Mệnh đề 2.2.1 và Bổ đề 2.1.8, với mỗi λ ∈ R, tồn tại một nhiễu thực ∆ λ làm phá vỡ tính điều khiển được Euclide Hơn nữa, k∆ λ k= 1 kE(λ)W(λ) −1 Dk = σmin(E(λ) ∗† W(λ) ∗ , D ∗ ).
Tương tự của chứng minh Định lý 2.1.10, ta có λ→−∞lim σ min (E(λ) ∗† W(λ) ∗ , D ∗ ) =σ min (M ∗† [A k , B] ∗ , D ∗ )
R(A, B;D, E) ≤ lim λ→−∞k∆ λ k = 1 kM[A k , B] −1 Dk. Kết hợp với (2.33), ta nhận được r R a (A, B;D, E) = r R e (A, B;D, E).
Chứng minh đã được hoàn thành.
Ví dụ 2.2.4 Xét hệ có trễ rời rạc được nhiễu trong Ví dụ 2.1.14 Từ các tính toán trong Ví dụ 2.1.14, với mỗi λ ∈ C, kE(λ)W(λ) −1 Dk ∞ = 3
|2−λ|+ 2, và kM[A2, B] −1 Dk = 3 2 Do đó
1 sup λ∈ C kE(λ)W(λ) −1 Dk = 1 sup λ∈ R kE(λ)W(λ) −1 Dk
3. Điều này kết hợp với kết quả của Định lý 2.2.2, ta nhận được r a
Trong phần nhận xét 2.2.5, cần lưu ý rằng trong một số trường hợp, bán kính ổn định thực có thể lớn hơn đáng kể so với bán kính ổn định phức.
Trong hệ tuyến tính có trễ rời rạc, bán kính điều khiển được phức có thể nhỏ hơn bán kính điều khiển được thực, tức là r C < r R Định lý 2.2.6 cung cấp công thức tính bán kính điều khiển được xấp xỉ thực cho hệ có trễ thông qua giá trị nhiễu thực của một cặp ma trận đã được giới thiệu Nếu hệ tuyến tính có trễ rời rạc là điều khiển được xấp xỉ và bị nhiễu bởi các nhiễu cấu trúc, thì các điều kiện nhất định sẽ được áp dụng.
D là ma trận khả nghịch và các không gian vectơ được trang bị bởi các chuẩn Euclide thì r e R (A, B;D, E) = inf λ∈ C τ n (D −1 W(λ), E(λ)), và r a
, trong đó τ n được tính theo công thức (1.41).
Do D khả nghịch, từ (2.17) và (2.18) ta có rank(fW(λ)) = rank(W(λ) + D∆E(λ)) = rank(D^(-1)W(λ) + ∆E(λ)) và rank([Ae k, B]) = rank([Ae k, B] + D∆M) = rank(D^(-1)[A k, B] + ∆M) Các ma trận fW(λ) và [Ae k, B] thuộc hệ nhiễu (2.7) Dựa vào các kết quả từ Định lý 1.3.13, Định lý 1.3.14 và Định nghĩa 1.5.9 về giá trị nhiễu thực suy rộng thứncủa cặp ma trận, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét hệ (2.1) bị nhiễu bởi các dạng nhiễu khác nhau.
(2.35) ở đó αi ∈ K, i = 0,1, , k, là các tham số vô hướng đã cho, αk 6= 0, và
∆ A i ∈ R n×n , i = 0,1, , k,∆ B ∈ R n×m là các ma trận chưa biết Khi đó ta sử dụng Định lý 3.2.4 để tính bán kính điều khiển được xấp xỉ của hệ (2.1) dưới cấu trúc nhiễu dạng (2.35).
Hệ quả 2.2.7 đề cập đến việc cho hệ (2.1) là điều khiển được xấp xỉ Giả sử rằng các ma trận của hệ này bị nhiễu có cấu trúc theo dạng (2.35) và các không gian vectơ được trang bị bởi các chuẩn Euclide Khi đó, ta có thể xác định rằng r R a (A, B;D, E) = r R e (A, B;D, E) = inf λ∈ C τ n (W(λ), E α (λ)), với W(λ) = [P(λ), B] và E α (λ).
Các bán kính điều khiển được dưới nhiễu có cấu trúc
Dựa trên kết quả từ Mệnh đề 1.4.5 về các tiêu chuẩn điều khiển chính xác và xấp xỉ trong không gian Sobolev W²₁([-h, 0], Cⁿ) của hệ trung tính (3.1), chúng tôi tiến hành nghiên cứu bài toán xác định các bán kính điều khiển của hệ tuyến tính trung tính (3.1) khi hệ chịu nhiễu cấu trúc dạng: ˙x(t) = Ae₀x(t) + Ae₁x(t−h) + Ae₋₁x(t˙−h) + Bu(t), e (3.2).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hệ thống điều khiển tuyến tính trung tính (3.1) với nhiễu cấu trúc được mô tả bởi phương trình (3.3), trong đó ∆ ∈ C l×q là ma trận nhiễu và D ∈ C n×l, E ∈ C q×(3×n+m) xác định cấu trúc của nhiễu Để định nghĩa các khái niệm về bán kính điều khiển chính xác, bán kính điều khiển xấp xỉ và bán kính điều khiển Euclide, chúng ta tham khảo chuẩn kã k trên không gian C lìq được xác định trong (2.8) Cụ thể, nếu hệ tuyến tính trung tính (3.1) được điều khiển chính xác trên không gian Sobolev W 2 1 ([−h,0],C n ), thì bán kính điều khiển chính xác tương ứng với nhiễu cấu trúc (3.3) được xác định bởi công thức r K ex (A0, A1, A −1 , B;D, E) = inf k∆k: ∆∈ K l×q sao cho hệ (3.2) không điều khiển được chính xác.
Nếu hệ (3.2) với nhiễu cấu trúc (3.3) là điều khiển được chính xác với mọi ∆∈ C l×q thì ta đặt r ex
K(A 0 , A 1 , A −1 , B;D, E) = +∞ Định nghĩa 3.1.2 nêu rõ rằng hệ tuyến tính trung tính (3.1) có thể được điều khiển và xấp xỉ trên không gian Sobolev W 2 1 ([−h,0],C n ) với k ã k là một chuẩn trên C l×q Do đó, bán kính điều khiển được xấp xỉ của hệ trung tính (3.1) tương ứng với nhiễu có cấu trúc dạng (3.3) được xác định bởi r ap.
K(A 0 , A 1 , A −1 , B;D, E) = inf k∆k: ∆∈ K l×q sao cho hệ (3.2) không điều khiển được xấp xỉ
Nếu hệ (3.2) với nhiễu cấu trúc (3.3) là điều khiển được xấp xỉ với mọi
K(A 0 , A 1 , A −1 , B;D, E) = +∞ Định nghĩa 3.1.3 nêu rõ rằng hệ tuyến tính trung tính (3.1) được coi là điều khiển được Euclide và kã k là một chuẩn trên C lìq Trong bối cảnh này, bỏn kớnh điều khiển được Euclide của hệ (3.1) tương ứng với nhiễu có cấu trúc dạng (3.3), được xác định bởi r eu K (A 0 , A 1 , A −1 , B;D, E) = inf k∆k: ∆∈ K l×q, đảm bảo rằng hệ (3.2) không điều khiển được Euclide.
Nếu hệ (3.2) với nhiễu cấu trúc (3.3) là điều khiển được Euclide với mọi
K(A 0 , A 1 , A −1 , B;D, E) = +∞. Để ngắn gọn, ta đặt r ex
Nhắc lại rằng, ma trận của tựa đa thức đặc trưng của hệ tuyến tính trung tính (3.1) là
Để thiết lập công thức tính bán kính điều khiển được chính xác cho hệ tuyến tính trung tính (3.1), chúng ta sẽ dựa vào Định lý 3.1.4 Theo định lý này, nếu hệ (3.1) là điều khiển được chính xác, thì bán kính điều khiển được chính xác của hệ tương ứng với cấu trúc nhiễu dạng (3.3) được xác định bởi công thức r ex.
C = min λ∈infC kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk −1 , inf λ∈ C kE 2 W 2 (λ) −1 Dk −1
, (3.9) trong đó W1(λ) −1 , W2(λ) −1 : C n ⇒ C n+m tương ứng là các toán tử đa trị nghịch đảo của W 1 (λ), W 2 (λ).
Giả sử rằng [Ae0,Ae1,Ae −1 ,B] = [Ae 0, A1, A −1 , B] + D∆E không điều khiển được chính xác với ∆ ∈ C l×q Theo Mệnh đề 1.4.5 (i), (ii) và Nhận xét 1.4.6, tồn tại λ 0 ∈ C sao cho hoặc toán tử Wf 1 (λ 0 ) [Pe(λ 0 ),B]e không toàn ánh, trong đó Pe(λ 0 ) = 0 + e −hλ 0 Ae 1 + λe −hλ 0 Ae −1 − λ0In là ma trận của đa thức đặc trưng của hệ nhiễu (3.2), hoặc toán tử Wf 2 (λ 0 ) = [Ae −1 − λ 0 I n ,B]e không toàn ánh Nếu Wf 1 (λ 0 ) không toàn ánh, từ (3.7) và (3.8), ta có thể phân tích fW1(λ0) = [Pe(λ0),B] = [e Ae0,Ae1,Ae −1 ,B]He 1(λ0)−λ0[In,0].
Trong trường hợp này, bằng việc áp dụng kết quả của Mệnh đề 1.5.6, ta nhận được k∆k ≥ dist(W 1 (λ 0 );D, E 1 (λ 0 )) = kE 1 (λ 0 )W 1 (λ 0 ) −1 Dk −1
≥ inf λ∈ C kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk −1 (3.11) Nếu fW 2 (λ 0 ) không toàn ánh với λ 0 nào đó thì từ (3.8), ta có fW 2 (λ 0 ) = [Ae −1 −λ 0 I n ,B] = [e Ae 0 ,Ae 1 ,Ae −1 ,B]He 2 −λ 0 [I n ,0]
= W2(λ0) +D∆E2. Khi đó, cũng xuất phát từ kết quả của Mệnh đề 1.5.6, ta nhận được k∆k ≥ dist(W 2 (λ 0 );D, E 2 ) =kE 2 W 2 (λ 0 ) −1 Dk −1 ≥ inf λ∈ C kE 2 W 2 (λ) −1 Dk −1
Do đó k∆k ≥ min λ∈infC kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk −1 , inf λ∈ C kE 2 W 2 (λ) −1 Dk −1
Bất đẳng thức trên áp dụng cho mọi ma trận nhiễu ∆ ∈ C l×q, dẫn đến hệ nhiễu (3.2) không thể điều khiển chính xác Từ định nghĩa bán kính điều khiển chính xác, ta có thể xác định rằng r C ex ≥ min λ∈infC kE 1 (λ)W1(λ) −1 Dk −1 ,inf λ∈ C kE 2 W2(λ) −1 Dk −1.
Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, với mọi > 0 đủ bé, tồn tại λ ∈ C sao cho kE 1 (λ )W 1 (λ ) −1 Dk ≥ sup λ∈ C kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk − > 0.
Tồn tại một ma trận nhiễu ∆ sao cho k∆ k ≤ kE 1 (λ )W 1 (λ ) −1 Dk −−1, dẫn đến ma trận nhiễu Wf 1 (λ ) = W 1 (λ ) +D∆ E 1 (λ ) không phải là ma trận toàn ánh Do đó, hệ nhiễu (3.2) không thể được điều khiển chính xác với ma trận nhiễu ∆ Từ định nghĩa của bán kính điều khiển chính xác, ta có r C ex ≤ kE 1 (λ )W1(λ ) −1 Dk −−1.
Cho →0, ta nhận được r ex C ≤ inf λ∈ C kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk −1 Chứng minh tương tự, ta cũng thu được r C ex ≤ inf λ∈ C kE 2 W 2 (λ) −1 Dk −1 , và do đó r ex
C ≤ min λ∈infC kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk −1 ,inf λ∈ C kE 2 W 2 (λ) −1 Dk −1
Chứng minh đã được hoàn thành.
Dựa vào chứng minh của Định lý 3.1.4 cùng với các kết quả từ Mệnh đề 1.4.5 và Mệnh đề 1.5.6, chúng ta có thể đưa ra Định lý 3.1.5 Định lý này khẳng định rằng, nếu hệ tuyến tính trung tính (3.1) có khả năng điều khiển được xấp xỉ, thì bán kính điều khiển được xấp xỉ của hệ này, tương ứng với nhiễu có cấu trúc dạng (3.3), được xác định bởi công thức r ap.
C = min λ∈infC kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk −1 , inf λ∈ C kE 3 (λ)W 3 (λ) −1 Dk −1
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các toán tử đa trị tuyến tính nghịch đảo W 1 (λ) và W 3 (λ), với W 1 (λ) −1 : C n ⇒ C n+m Theo định lý 3.1.6, nếu hệ tuyến tính trung tính (3.1) là điều khiển được Euclide, thì bán kính điều khiển được Euclide của hệ này, tương ứng với nhiễu có cấu trúc dạng (3.3), được xác định bởi công thức r eu C = inf λ∈ C kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk −1.
Trong nhận xét 3.1.7, ta thấy rằng y thuộc W 1 (λ) −1 D(v) tương đương với W 1 (λ)y = Dv Do đó, bài toán tính kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk có thể được chuyển thành bài toán tối ưu, cụ thể là kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk = max kvk=1 min{kE 1 (λ)yk : W 1 (λ)y = Dv} Định nghĩa 3.1.8 đề cập đến ma trận A thuộc K n×m, xác định một tập hợp liên quan.
Không gian nhân trái của ma trận A, ký hiệu là LN S(A), được định nghĩa là tập hợp các vectơ y T thuộc K 1×n sao cho y T A = 0 trong không gian K 1×m Phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với một số vô hướng trên K 1×n tạo thành một không gian vectơ con, và không gian này được gọi là không gian nhân trái (left nullspace) của A.
Gọi k là số chiều tương ứng của LN S(A) và {f 1 , f 2 , , f k } là một cơ sở của nó Khi đó, ma trận
, (3.14) là ma trận mà dòng thứ i của nó là tọa độ của vectơ f i , với i = 1, , k được gọi là ma trận cơ sở của không gian nhân trái của ma trận A.
[U3(λ), V3(λ)] T tương ứng là các ma trận cơ sở của không gian nhân trái của ma trận
# Khi đó, ta có kE 1 (λ)W 1 (λ) −1 Dk = max kvk=1min{kzk : V 1 (λ)z = −U 1 (λ)Dv}, kE 2 W2(λ) −1 Dk = max kvk=1min{kzk : V2(λ)z = −U 2 (λ)Dv}, kE 3 (λ)W3(λ) −1 Dk = max kvk=1min{kzk : V3(λ)z = −U 3 (λ)Dv}.
Chứng minh Từ Nhận xét 3.1.7, ta có kE 1 (λ)W1(λ) −1 Dk = max kvk=1min{kE 1 (λ)yk : W1(λ)y = Dv}.
Vì [U1(λ), V1(λ)] T là các ma trận cơ sở của không gian nhân trái của
Do đó, với mỗi y : W1(λ)y = Dv, đặt z = E1(λ)y, ta được
V 1 (λ)z = V 1 (λ)E 1 (λ)y = −U 1 (λ)W 1 (λ)y = −U 1 (λ)Dv. Điều này kéo theo rằng min{kE 1 (λ)yk :W 1 (λ)y = Dv} ≥ min{kzk: V 1 (λ)z = −U 1 (λ)Dv}. Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, với z : V 1 (λ)z = −U 1 (λ)Dv, ta có
Vì [U 1 (λ), V 1 (λ)] T là các ma trận cơ sở của không gian nhân trái tương ứng của
# nên tồn tại vectơ y sao cho
# y ⇐⇒ z = E 1 (λ)y và W 1 (λ)y = Dv. Điều này dẫn đến bất đẳng thức ngược lại và chúng ta nhận được kE 1 (λ)W1(λ) −1 Dk = max kvk=1min{kE 1 (λ)yk :W1(λ)y = Dv}
= max kvk=1min{kzk : V1(λ)z = −U 1 (λ)Dv}.
Hoàn toàn tương tự, ta nhận được kE 2 W 2 (λ) −1 Dk = max kvk=1min{kzk : V 2 (λ)z = −U 2 (λ)Dv}, kE 3 (λ)W 3 (λ) −1 Dk = max kvk=1min{kzk : V 3 (λ)z = −U 3 (λ)Dv}.
Ví dụ 3.1.10 Xét hệ tuyến tính trung tính: ˙ x(t) = A 0 x(t) + A 1 x(t−1) +A −1 x(t˙ −1) +Bu(t), (3.16) với A 0
Giả sử rằng các ma trận [A 0 , A 1 , A −1 , B] của hệ (3.16) được nhiễu với cấu trúc dạng:
, ở đây δ i ∈ C, i ∈ {1,2} là các tham số nhiễu.
Ta có rankW 1 (λ) = rankW 2 (λ) = 3 với mọi λ ∈ C Thật vậy, với W 1 (λ) ta xét det
Rõ ràng rankW 1 (λ) = 3, với mọi λ 6= 0, λ6= −1 Mặt khác,
Do đó, rankW 1 (λ) = 3, với mọi λ ∈ C Bây giờ, với W 2 (λ), ta xét det
Do vậy, rankW 2 (λ) = 3, với mọi λ 6= 0 Với λ = 0,
Dễ thấy rằng rankW2(0) = 3 Do đó, rankW2(λ) = 3, với mọi λ ∈ C Vì vậy, theo Mệnh đề 1.4.5 (i) và (ii), hệ (3.16) là điều khiển được chính xác.
Cấu trúc nhiễu ở trên có thể biểu diễn lại dưới dạng
Do đó, từ (3.8), ta đượcE 1 (λ) "
# Bằng các tính toán đơn giản, ta nhận được
Giả sử các không gian vectơ được trang bị các chuẩn k và k ∞ Theo Mệnh đề 3.1.9, với V 1 (λ) là một vectơ dòng, ta có kE 1 (λ)W1(λ) −1 Dk = max kvk=1 kU 1 (λ)Dvk kV 1 (λ)k = kU 1 (λ)Dk kV 1 (λ)k = 5.
Do đó, sup λ∈ C kE 1 (λ)W1(λ) −1 Dk = 5
4. Hoàn toàn tương tự, sup λ∈ C kE 3 (λ)W 3 (λ) −1 Dk = 5
4 Hơn nữa, từ Mệnh đề 3.1.9, dễ thấy rằng kE 2 W 2 (λ) −1 Dk = 0 nếu λ 6= 0,±√
Do đó sup λ∈ C kE2W2(λ) −1 Dk = 3√
√3 Vì vậy, sử dụng các kết quả của các Định lý 3.1.4, 3.1.5, 3.1.6, ta thu được r C ex √3