Lý thuyết danh mục Markowitz
Tổng quan
Vào đầu những năm 1960, mặc dù đã có nhiều cuộc thảo luận về rủi ro, nhưng chưa có một thước đo cụ thể nào để đánh giá yếu tố này Harry Markowitz đã phát triển mô hình danh mục cơ bản, chỉ ra rằng phương sai của tỷ suất sinh lợi là một chỉ số quan trọng để đo lường rủi ro danh mục Ông đã công thức hoá cách tính toán phương sai danh mục, nhấn mạnh tầm quan trọng của việc đa dạng hoá danh mục đầu tư nhằm giảm thiểu rủi ro, đồng thời đưa ra phương pháp để thực hiện đa dạng hoá một cách hiệu quả Mô hình của Markowitz dựa trên một số giả định nhất định.
(i) Nhà đầu tư xem mỗi sự lựa chọn đầu tư như một phân phối xác suất của tỷ suất sinh lợi kỳ vọng.
Chương 1 Tổng quan lý thuyết danh mục Markowitz
(ii) Nhà đầu tư tối đa hóa lợi nhuận kỳ vọng và đường cong đẳng lợi ích của họ biểu diễn giá trị lợi nhuận.
(iii) Nhà đầu tư ước lượng rủi ro dựa vào phương sai của tỷ suất sinh lợi.
Căn cứ vào quyết định của nhà đầu tư, tỷ suất sinh lợi kỳ vọng và rủi ro là hai yếu tố quan trọng Đường cong hiệu quả thể hiện mối quan hệ giữa tỷ suất sinh lợi kỳ vọng và độ lệch chuẩn của tỷ suất sinh lợi, giúp nhà đầu tư đưa ra lựa chọn tối ưu.
Nhà đầu tư thường lựa chọn tỷ suất sinh lợi từ cao đến thấp dựa trên mức độ rủi ro đã xác định Ngược lại, khi có một tỷ suất sinh lợi kỳ vọng, họ sẽ ưu tiên lựa chọn rủi ro từ thấp đến cao.
Rủi ro
Thị trường chứng khoán tiềm ẩn rủi ro do sự phân tán của các kết quả có thể xảy ra, với độ lệch chuẩn hoặc phương sai là thước đo phổ biến cho sự phân tán này Rủi ro của chứng khoán được chia thành hai loại: rủi ro riêng biệt, chỉ liên quan đến chứng khoán đó, và rủi ro thị trường, liên quan đến biến động trên toàn thị trường Các nhà đầu tư có thể giảm thiểu rủi ro riêng biệt bằng cách xây dựng danh mục đầu tư đa dạng, nhưng không thể loại bỏ rủi ro thị trường Do đó, rủi ro của một danh mục đầu tư đa dạng tốt chủ yếu là rủi ro thị trường.
Rủi ro là sự không chắc chắn liên quan đến kết quả trong tương lai hoặc các sự cố có thể xảy ra, dẫn đến kết quả không đạt giá trị kỳ vọng.
Thái độ của nhà đầu tư đối với rủi ro
Ghét rủi ro là sự không sẵn lòng đầu tư khi có khả năng xảy ra kết quả xấu Trong lý thuyết danh mục, giả định rằng tất cả nhà đầu tư đều ghét rủi ro cho thấy họ sẽ chọn tài sản có cùng tỷ suất sinh lợi nhưng có mức độ rủi ro thấp hơn Phương pháp ước lượng rủi ro giúp xác định và đánh giá mức độ rủi ro của các tài sản đầu tư.
Tỷ suất sinh lợi được coi là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất, và rủi ro được đo lường qua các tham số như phương sai hay độ lệch chuẩn Các tham số này ước lượng mức độ phân tán của tỷ suất sinh lợi xung quanh giá trị kỳ vọng Do đó, phương sai hay độ lệch chuẩn lớn cho thấy độ phân tán cao, điều này đồng nghĩa với việc lợi nhuận kỳ vọng lớn đi kèm với sự không chắc chắn cao hơn về lợi nhuận trong tương lai.
Rủi ro hệ thống và rủi ro phi hệ thống
Rủi ro của một tài sản rủi ro được xác định thông qua phương sai hoặc độ lệch chuẩn của tỷ suất sinh lợi, phản ánh mức độ biến động và không chắc chắn trong lợi nhuận.
Rủi ro phi hệ thống có thể được giảm thiểu thông qua việc đa dạng hóa danh mục đầu tư, ảnh hưởng chủ yếu đến một doanh nghiệp hoặc ngành cụ thể do các yếu tố nội tại như lực lượng lao động, năng lực quản trị và chính sách điều tiết của Chính phủ Nghiên cứu gần đây cho thấy rằng, nếu lựa chọn cẩn thận, một danh mục đầu tư chỉ cần khoảng 15 chứng khoán là đủ để loại bỏ rủi ro phi hệ thống này.
Rủi ro không thể phân tán, hay còn gọi là rủi ro hệ thống, là những mối nguy đến từ bên ngoài doanh nghiệp hoặc ngành nghề, với tác động rộng lớn như thiên tai và chiến tranh.
Tỷ suất sinh lợi
Công thức xác định tỷ suất lợi nhuận
Trong một thị trường tài chính, có d tài sản với giá trị ban đầu p1, p2, , pd lớn hơn 0 tại thời điểm t = 0 Giá của các tài sản này tại thời điểm tương lai t = T là P1(T), P2(T), , Pd(T), nhưng chúng ta không thể dự đoán trước Do đó, các giá này được mô hình hóa như những biến ngẫu nhiên không âm trong một không gian xác suất (Ω, F, P).
Ω = {w} là không gian các sự kiện cơ sở,
F là σ- đại số các tập con của Ω,
P là độ đo xác suất trên (Ω,F )
Khi đó lợi nhuận của các tài sản, ký hiệu R i (T ) được tính như sau:
Markowitz đã đề xuất đo lợi nhuận trung bình và mức độ rủi ro thông qua phương sai, hiệp phương sai của các cặp đầu tư (R i (T ), R j (T )) tức là
Chương 1 Tổng quan lý thuyết danh mục Markowitz
Gọi ϕ i là số lượng cổ phiếu đầu tư vào tài sản thứ i, với i = 1, 2, , d Nếu ϕ i < 0, điều này có nghĩa là nhà đầu tư đang thực hiện bán khống, tức là vay cổ phiếu để bán và sau đó mua lại để trả nợ Để đảm bảo tổng tài sản không âm, chúng ta yêu cầu ϕ i > 0 cho mọi i Để hiểu rõ hơn về lý thuyết Markowitz, ta cần xem xét định nghĩa sau: Giả sử có một nhà đầu tư với tài sản ban đầu x > 0 và sở hữu ϕ i ≥ 0 cổ phiếu của tài sản loại i, với i = 1, 2, , d.
Khi đó véctơ đầu tư, hay chiến lược đầu tư, w := (w 1 , w 2 , w d ) được định nghĩa là véctơ w i := ϕ i p i x , i = 1, 2, d, và
X i=1 w i R i (T ) được gọi là lợi nhuận của chiến lược đầu tư w.
Khi đó tỷ suất sinh lợi kỳ vọng của danh mục được tính như sau:
X i=1 w i à i Phương sai của danh mục đầu tư var(R w ) = d
Hay độ lệch chuẩn của danh mục ký hiệu là δ cho bởi công thức sau δ = v u u t d
• d là số loại chứng khoán trong danh mục,
• w i là trọng số của chứng khoán thứ i trong danh mục, với 0 ≤ w i ≤ 1, d
• σ ij là hiệp phương sai của hai tỷ suất sinh lợi của hai chứng khoán i và j,
• à i là lợi nhuận kỳ vọng của chứng khoỏn i,
• p i là giá ban đầu của chứng khoán thứ i.
Phát biểu bài toán Markowitz cơ bản
Đường biên hiệu quả
Kết luận quan trọng từ lý thuyết trung bình phương sai của Markowitz là khuyến cáo về việc đa dạng hóa danh mục đầu tư, điều này đã được chứng minh bằng toán học và được các nhà đầu tư áp dụng rộng rãi Trong lĩnh vực các chiến lược đầu tư chấp nhận được, có một nhóm các chiến lược đầu tư có rủi ro thấp nhất trong số các chiến lược có cùng mức thu hoạch, đồng thời cũng có thu hoạch cao nhất trong số các chiến lược có cùng mức rủi ro Nhóm các chiến lược này tạo thành một tập hợp gọi là đường biên hiệu quả, thể hiện những lựa chọn đầu tư tối ưu.
Đường biên hiệu quả thể hiện các khả năng kết hợp tối ưu giữa lợi nhuận và rủi ro Mỗi danh mục trên đường này đều có tỷ suất sinh lợi cao hơn so với các danh mục khác có cùng mức rủi ro, hoặc có mức rủi ro thấp hơn so với các danh mục có cùng tỷ suất sinh lợi Ví dụ, danh mục A tốt hơn danh mục C vì chúng có cùng tỷ suất sinh lợi nhưng danh mục A có rủi ro thấp hơn Tương tự, danh mục B cũng vượt trội hơn danh mục C do có cùng mức rủi ro nhưng tỷ suất sinh lợi của danh mục B cao hơn.
Một nhà đầu tư sẽ lựa chọn một điểm trên đường biên hiệu quả dựa vào mức độ chấp nhận rủi ro của mình Các danh mục đầu tư nằm trên đường biên hiệu quả là những lựa chọn tốt nhất, không có danh mục nào khác vượt trội hơn.
Tài sản phi rủi ro là những tài sản không chịu rủi ro về giá trị, và việc kết hợp chúng với một danh mục đầu tư theo lý thuyết Markowitz có thể ảnh hưởng tích cực đến rủi ro và lợi nhuận Khi tài sản phi rủi ro được đưa vào danh mục, nó giúp giảm thiểu rủi ro tổng thể mà không làm giảm đáng kể lợi nhuận kỳ vọng, tạo ra một sự cân bằng tối ưu giữa rủi ro và lợi nhuận cho nhà đầu tư.
Tài sản rủi ro là những tài sản có lợi nhuận tương lai không chắc chắn, có thể được đo lường bằng độ lệch chuẩn của tỷ suất sinh lợi Ngược lại, lợi nhuận kỳ vọng từ tài sản phi rủi ro là hoàn toàn chắc chắn, với độ lệch chuẩn của tỷ suất sinh lợi bằng 0 Tỷ suất sinh lợi của tài sản phi rủi ro tương đương với lãi suất phi rủi ro (R f).
Biên đầu tư hữu hiệu trong thị trường có tài sản không rủi ro
Trong thị trường chứng khoán, sự kết hợp giữa tài sản rủi ro và tài sản phi rủi ro làm thay đổi biên đầu tư Tài sản phi rủi ro không có mối quan hệ với tài sản rủi ro khác, do đó không tạo ra hiệu quả đa dạng hóa Điều này dẫn đến việc thu hoạch và độ lệch chuẩn của danh mục rủi ro chỉ là tổ hợp tuyến tính của các yếu tố này.
Trong đó w f là tỉ trọng của tài sản phi rủi ro, E(R i ) là tỷ xuất sinh lợi kỳ vọng của danh mục rủi ro i. Độ lệch chuẩn δ = q
Sự kết hợp giữa rủi ro và lợi nhuận cho thấy rằng cả lợi nhuận kỳ vọng và độ lệch chuẩn của danh mục đều là những kết hợp tuyến tính Đồ thị lợi nhuận - rủi ro của danh mục thể hiện một đường thẳng nối giữa tài sản phi rủi ro và tài sản rủi ro trên đường biên hiệu quả Biên đầu tư là tia xuất phát từ điểm Rf tới điểm M trên đường cong, đại diện cho biên hữu hiệu của thị trường tài sản rủi ro, được gọi là đường thị trường vốn (CML) Tất cả các danh mục nằm trên CML đều là sự kết hợp giữa danh mục tài sản rủi ro M và tài sản phi rủi ro Nhà đầu tư có thể lựa chọn đầu tư một phần vào tài sản phi rủi ro và phần còn lại vào danh mục tài sản rủi ro M, hoặc vay ở lãi suất phi rủi ro và đầu tư vào danh mục rủi ro Dù lựa chọn nào, tất cả rủi ro đều đến từ danh mục M, và sự khác biệt giữa các danh mục trên CML chỉ nằm ở độ lớn rủi ro do tỷ trọng khác nhau của các tài sản rủi ro và phi rủi ro.
Lý thuyết của Markowitz cung cấp cái nhìn sâu sắc về các danh mục đầu tư, xác định một biên đầu tư tối ưu nơi mà các danh mục đầu tư có thể đạt được hiệu suất tốt nhất.
Chương 1 Tổng quan lý thuyết danh mục Markowitz
Kết hợp tài sản phi rủi ro và danh mục rủi ro tạo ra hiệu quả vượt trội so với các danh mục khác trong miền đầu tư chấp nhận được Tuy nhiên, một thách thức lớn đối với nhà đầu tư là lựa chọn chiến lược đầu tư phù hợp Biên đầu tư hữu hiệu mang đến nhiều lựa chọn khác nhau, đặt ra câu hỏi về cách thức chọn danh mục đầu tư tối ưu Để giải quyết bài toán này, nhà đầu tư cần xem xét nhiều yếu tố khác nhau nhằm xác định danh mục đầu tư thích hợp nhất Dưới đây là hai phương pháp để xấp xỉ các ưu tiên của nhà đầu tư trong không gian "trung bình-phương sai".
Chọn danh mục đầu tư sử dụng hàm lợi ích
Một trong những cách chọn danh mục đầu tư hiệu quả là mô phỏng ưu tiên của nhà đầu tư thông qua hàm lợi ích và các đường cong đẳng lợi ích Đường cong này thể hiện sự kết hợp giữa rủi ro và lợi nhuận mà nhà đầu tư sẵn lòng chấp nhận Kết hợp với đường biên hiệu quả, đường cong đẳng lợi sẽ xác định danh mục đầu tư tối ưu cho từng nhà đầu tư Để phân loại mức độ chấp nhận rủi ro, có bốn dạng nhà đầu tư: rất e ngại rủi ro, e ngại rủi ro, ít e ngại rủi ro và ưa thích rủi ro Đường cong đẳng lợi sẽ tăng dần từ dưới lên trên bên trái, thể hiện mức lợi nhuận cao hơn với cùng mức độ rủi ro Đối với nhà đầu tư ưa thích rủi ro, họ sẵn sàng chấp nhận rủi ro cao hơn để đạt được lợi nhuận lớn hơn.
Danh mục đầu tư tối ưu cho các nhà đầu tư khác nhau phụ thuộc vào mức độ chấp nhận rủi ro của họ Những nhà đầu tư e ngại rủi ro thường không sẵn sàng chấp nhận mức rủi ro cao hơn để đạt được lợi nhuận lớn hơn, mà yêu cầu tốc độ tăng lợi nhuận phải lớn hơn tốc độ tăng rủi ro Danh mục tối ưu được xác định là điểm tiếp xúc giữa đường biên hiệu quả và đường cong lợi ích cao nhất, mang lại lợi ích tối đa cho nhà đầu tư.
Chọn danh mục đầu tư theo phân bố xác suất
Mô hình Markowitz mô tả cách phân bố trung bình thu hoạch giữa các danh mục đầu tư, giúp nhà đầu tư lựa chọn chiến lược kinh doanh dựa trên phân bố xác suất Nhà đầu tư cần xác định một mức thu hoạch sàn mà họ không muốn rơi xuống dưới Phương pháp này tìm kiếm danh mục đầu tư tối ưu, nhằm giảm thiểu xác suất thu hoạch thấp hơn ngưỡng sàn đã xác định Giả sử nhà đầu tư đã đặt ngưỡng sàn là Rf, ta có thể tính tỷ số cho mỗi danh mục đầu tư trên biên đầu tư hữu hiệu.
Danh mục đầu tư có xác suất thu hoạch vượt quá Rf cao nhất là danh mục tối ưu hóa lợi suất Giá trị thu hoạch sàn quan trọng nhất là R c, tương ứng với thu hoạch trái phiếu Trong trường hợp này, tỷ lệ Sharpe được xác định bởi R p σ − R c p Danh mục đầu tư với độ đo Sharpe cao thu hút nhiều nhà đầu tư hơn.
Lý thuyết về độ đo rủi ro nhất quán
Chương này trình bày khái niệm và các tính chất cơ bản của độ đo rủi ro và rủi ro nhất quán Luận văn được thực hiện trên không gian xác suất (Ω,F , P ) Ký hiệu L p d := L p d (Ω,F , P ) với 1 ≤ p ≤ ∞ đại diện cho không gian các d-véctơ chứa các biến ngẫu nhiên, trong đó mỗi thành phần X i ∈ L p 1 Đối với trường hợp p = ∞, không gian L ∞ := L ∞ (Ω,F , P ) bao gồm các biến ngẫu nhiên bị chặn có giá trị thực.
Độ đo rủi ro
Trong chương trước, Markowitz đã chỉ ra rằng độ lệch chuẩn (phương sai) là một chỉ số quan trọng để đo lường rủi ro Việc lựa chọn các chỉ số rủi ro hiệu quả cho danh mục đầu tư vẫn là một mối quan tâm lớn của các nhà đầu tư Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện và các chỉ số rủi ro khác nhau đã được đề xuất, tuy nhiên, mỗi chỉ số đều có những nhược điểm và hạn chế riêng Do đó, việc tìm kiếm các chỉ số rủi ro mới, hiệu quả hơn vẫn đang tiếp tục được tiến hành.
Độ đo rủi ro được định nghĩa là một ánh xạ từ tập hợp các biến ngẫu nhiên đến tập số thực, trong đó biến ngẫu nhiên X tương ứng với số thực ρ(X) X đại diện cho các danh mục đầu tư trong không gian tài chính.
Tính chất độ đo rủi ro
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày các tính chất quan trọng của độ đo rủi ro trong tài chính và đầu tư, bao gồm tính đơn điệu, cộng tính dưới, cộng tính, cộng tính trên, tính lồi và điều kiện liên tục Những tính chất này không phải lúc nào cũng cần thiết cho mọi loại độ đo rủi ro, mà thường phụ thuộc vào phân tích thực tế Ký hiệu ρ(X) được sử dụng để chỉ độ đo rủi ro của biến ngẫu nhiên X.
Tính chất 2.2.1 Luật bất biến
Biến ngẫu nhiên X và Y có hàm phân phối F X và F Y, và chúng được giả định có cùng phân phối theo các độ đo xác suất ban đầu P Luật bất biến giữa chúng được xác định thông qua công thức cụ thể.
Tính chất 2.2.2 Thuần nhất dương
Cho mỗi số dương λ và X ∈X thì, ρ(λX) = λ k ρ(X).
Khik = 0 thì độ đo rủi ro không phụ thuộc vào quy mô đầu tư λ vào danh mục X.
Tính chất 2.2.3 Tổng rủi ro
Xét biến ngẫu nhiên X, Y ∈X Danh mục đầu tư là X + Y Khi đó ta có các khái niệm sau:
(i) Cộng tính dưới (sub-additivity) ∀X, Y ∈X thì ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ), (ii) Cộng tính (additivity) ρ(X + Y ) = ρ(X) + ρ(Y ),
(iii) Cộng tính trên (super-additivity) ρ(X + Y ) ≥ ρ(X) + ρ(Y ).
Tính chất 2.2.5 Tính đơn điệu
Trong lĩnh vực tài chính, nếu lợi nhuận của danh mục X bằng hoặc lớn hơn lợi nhuận của danh mục Y, thì độ đo rủi ro của danh mục X sẽ không vượt quá độ đo rủi ro của danh mục Y.
Tính chất 2.2.6 Bất biến dịch
Chương 2 Lý thuyết về độ đo rủi ro nhất quán
(i) Cho số α ≥ 0 và C ∈R , tính chất bất biến dịch của ρ có công thức sau ρ(X + C) = ρ(X) − αC.
(ii) Khi α = 0 Tính chất này còn được gọi là bất biến dịch Gaivoronsky-Pflug.
Kết quả này dựa vào tính đơn điệu.
Tính chất 2.2.7 Không âm ρ(X) ≥ 0, và ρ(X) > 0 nếu X không phải là hằng số.
Tính chất 2.2.8 Liên tục (theo nghĩa hội tụ theo xác suất)
Độ đo rủi ro đa trị
Quản lý rủi ro danh mục đầu tư là mối quan tâm hàng đầu của các nhà đầu tư, vì họ cần một chỉ số rủi ro hiệu quả để hỗ trợ chiến lược đầu tư của mình Bài viết này giới thiệu một chỉ số rủi ro nhất quán, áp dụng cho cả trường hợp đơn trị và đa trị, cùng với các tính chất liên quan, dựa trên các nghiên cứu trước đó Từ đó, chúng ta rút ra những ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực tài chính.
Trong lĩnh vực quản lý rủi ro, nhiều mô hình đã được phát triển, bắt đầu từ độ lệch chuẩn (phương sai) của Markowitz Vào đầu thập niên 1990, công cụ đo rủi ro VAR đã trở nên phổ biến, nhưng khi thị trường biến động mạnh, VAR không còn phù hợp Thay vào đó, CVAR đã xuất hiện như một độ đo rủi ro nhất quán hơn Độ đo rủi ro nhất quán này tiếp tục được cải tiến và làm rõ trong bài viết Để hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ nhắc lại khái niệm về độ đo rủi ro nhất quán trong trường hợp đơn trị.
• Đơn điệu, tức là nếu X 1 ≤ X 2 thì ρ(X 1 ) ≤ ρ(X 2 ).
• Bất biến tiền mặt, tức là ρ(X + c) = ρ(X) − c.
• Thuần nhất dương, tức là ρ(αX) = αρ(X), ∀α > 0.
• Cộng tính dưới, tức là ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ).
Trong khái niệm độ đo rủi ro nhất quán có thể thay thế hai tính chất thứ ba, thứ tư bằng tính chất của hàm lồi như sau: ρ(tX 1 + (1 − t)X 2 ) ≤ tρ(X 1 ) + (1 − t)ρ(X 2 ), ∀t ∈ [0, 1].
Tính chất hàm lồi yếu hơn cặp tính chất thuần nhất dương và tính chất cộng tính, nhưng thường được chấp nhận trong tài chính và đầu tư do ý nghĩa rõ ràng hơn Tính chất này hỗ trợ đa dạng hóa danh mục đầu tư, giúp giảm rủi ro tổng thể xuống dưới tổng rủi ro của các danh mục thành phần Độ đo rủi ro nhất quán có thể áp dụng cho trường hợp đa trị, với các ký hiệu như x_i là thành phần thứ i của phần tử x trong không gian véctơ hữu hạn chiều, và 1_i là véctơ cơ sở có vị trí thứ i bằng 1 Tập lồi K được xác định trong R^d sẽ là cơ sở cho việc thiết lập tài khoản đầu tư.
Nón lồi, đóng K cảm sinh thứ tự từng phần trên R d với x 0 nếu x ∈ K. Chúng ta mở rộng tự nhiên thứ tự từng phần trên L ∞ d bằng
Theo định nghĩa, điều kiện R d + ⊆ K chỉ ra rằng mọi danh mục đầu tư x với tất cả các tọa độ không âm đều phải không âm theo thứ tự từng phần.
Chúng ta giả sử K thỏa mãn điều kiện thay thế:
Với mọi i = n + 1, , d, điều kiện (2.3) yêu cầu rằng mỗi thành phần i > n phải được bù đắp bởi thành phần đầu tiên, tức là giá của một đơn vị tài sản i > n so với các tài sản j ≤ n phải được giới hạn Nếu n = d, điều kiện này trở nên rỗng Cuối cùng, chúng ta sẽ định nghĩa hàm thanh lý.
Chương 2 Lý thuyết về độ đo rủi ro nhất quán với giá trị trong R ∪ {+∞} Điều kiện thay thế (2.3) cùng với tính đóng của K, ta có:
Ta sử dụng ký hiệu sau: ¯ π(x) := n
Quan sát thấyd − n thành phần cuối cùng củaR d véctơ π(x) ¯ là bằng không theo cách xây dựng Chúng ta kí hiệu π(x) là véctơ của R n sao cho:
Hàm thanh lý π là Lipschitz trên miền xác định, cho thấy π là liên tục Lipschitz và π(L ∞ d ) thuộc L ∞ n Đối với một danh mục đầu tư ngẫu nhiên có giá trị trong R d, mỗi thành phần tương ứng với một thị trường nhất định Để đảm bảo danh mục đầu tư X được chấp nhận về mặt "rủi ro", nhà quản lý khuyến cáo nhà đầu tư điều chỉnh bằng cách cộng thêm ¯ x vào danh mục đầu tư X nhằm giảm thiểu rủi ro, với ¯ x được định nghĩa là ¯ x := (x, 0) ∈ R d, ∀x ∈ R n.
Trong đó, d − n thành phần cuối bằng 0, n ≤ d.
Tóm lại, khái niệm (d, n)- độ đo rủi ro nhất quán được định nghĩa là ánh xạ từ
L ∞ d (tập các danh mục đầu tư ngẫu nhiên bị chặn) vào tập con của R n Định nghĩa 2.3.2 (d, n) độ đo rủi ro là ánh xạ R : L ∞ d ⇒R n thỏa mãn tiên đề sau:
(i) Với mọi X ∈ L ∞ d thì R(X) đóng, và 0 ∈ R(0) 6=R n ;
(ii) Với mọiX, Y ∈ L ∞ d nếu X Y P-hầu chắc chắn thì R(Y ) ⊂ R(X). Định nghĩa 2.3.3 Một (d, n)-độ đo rủi ro R là lồi nếu với mọi X, Y ∈ L ∞ d ,
Đối với mọi t ∈ [0, 1], tR(X₁) + (1 − t)R(X₂) ⊆ R(tX₁ + (1 − t)X₂) Một (d, n)-đo đo rủi ro R được coi là cộng tính tiền mặt nếu với mọi x ∈ Rⁿ và X ∈ L∞d, ta có R(X + ¯x) = {−x} + R(X) Hơn nữa, (d, n)-đo đo rủi ro nhất quán là ánh xạ R : L∞d ⇒ Rⁿ thỏa mãn các tiên đề đã được xác định.
(i) Với mọi X ∈ L ∞ d , R(X) là đóng, và 0 ∈ R(0) 6=R n ;
(ii) Với mọiX ∈ L ∞ d , nếu X Y P -hầu chắc chắn thì R(Y ) ⊂ R(X);
(v) Với mọi t > 0 và X ∈ L ∞ d , R(tX) = tR(X).
Tính chất độ đo rủi ro nhất quán đa trị
Trong phần này, chúng tôi nêu ra một số tính chất cơ bản của độ đo rủi ro nhất quán được trích dẫn từ [4].
Tính chất 2.4.1 R(X) là tập con lồi đóng của R n , R(0) là nón lồi đóng của
Theo điều kiện (i) trong Định nghĩa 2.3.5, R(X) là tập đóng với mọi X thuộc L ∞ d Dựa vào (iv) và (v) của Định nghĩa 2.3.5, ta có tR(X) + (1 − t)R(X) ⊆ R(tX + (1 − t)X) = R(X) với mọi t trong khoảng [0, 1], từ đó suy ra R(X) là lồi.
Do (i) của Định nghĩa 2.3.5 có0 ∈ R(0), và tR(0) = R(0) theo (v) của Định nghĩa 2.3.5 suy ra R(0) là nón lồi đóng.
Có R(X) ⊆ R(X) + R(0), chúng ta sử dụng (iv) của Định nghĩa 2.3.5 có
(a) Giả sử X, Y ∈ L ∞ d thỏa mãn X Y, khi đó R(Y ) ⊂ R(X).
(b) Giả sử X ∈ L ∞ d thỏa mãn ¯ a X ¯ b với a, b ∈R n nào đó, khi đó
Chương 2 Lý thuyết về độ đo rủi ro nhất quán
(c) Với mọi X ∈ L ∞ d , chúng ta có −{||π(X)|| ∞ 1} + R(0) ⊂ R(X).
Chứng minh (a) Do (ii) trong Định nghĩa 2.3.5 với X Y, chúng ta có R(0) ⊂ R(X − Y ) Sử dụng Tính chất 2.4.1 cùng với (iv) của Định nghĩa 2.3.5 ta có
(b) Ta có ¯ a X ¯ b với a, b ∈R n theo (a) suy ra
R(0 + ¯ a) ⊃ R(X) ⊃ R(0 + ¯ b) theo (iii) của Định nghĩa 2.3.5 ta có {−b} + R(0) ⊂ R(X) ⊂ {−a} + R(0).
(c) Dễ dàng kiểm tra được X π(X) ¯ −||π(X)|| ∞ 1 theo định nghĩa của π và sử dụng (a).
Tính chất 2.4.3 (Tự nhất quán) Với mọi X ∈ L ∞ d ,
Chứng minh Theo Tính chất 2.4.1 ta có R(X) = R(X) + R(0) suy ra R(0) ∈ R(X) hay R(0) ∈ R(X + ¯ x) suy ra đẳng thức hai. Để chứng minh đẳng thức đầu, ta nhận thấy x ∈ R(X) nếu và chỉ nếu 0 ∈
Tính chất cuối này khẳng định tính liên tục của ánh xạR Chúng ta nhớ lại rằng:
+) Một ánh xạ đa trị F từ không gian metric U vào không gian metric V là liên tục nếu nó vừa liên tục trên và vừa liên tục dưới.
+) F là nửa liên tục dưới tại u ∈ U nếu mọi v ∈ F (u) và bất kỳ dãy (u n ) n ⊂ dom(F ) hội tụ tới u, có một dãy v n ∈ F (u n ) sao cho v n → v.
+) F là nửa liên tục trên tại u ∈ U nếu mọi ε > 0 tồn tại một hằng số η > 0 sao cho F (u + ηB U ) ⊂ F (u) + εB V , ở đây B U và B V là các hình cầu đóng đơn vị của U và V.
(b) Mỗi (d, n) độ đo rủi ro nhất quán R : L ∞ d →R d là liên tục trên L ∞ d
Chứng minh (a) Từ (iv) của Định nghĩa 2.3.5 ta có
R(X) ⊂ R(X − Y ) + R(Y ) từ (c) của Tính chất 2.4.2 ta có
R(X) ⊂ −{||π(X − Y )|| ∞ 1} + R(0) + R(Y ) theo Tính chất 2.4.1 ta có
R(X) ⊂ −{||π(X − Y )|| ∞ 1} + R(Y ) (1) Tương tự ta có R(Y ) ⊂ −{||π(Y − X)|| ∞ 1} + R(X) hay
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Ta có R là nửa liên tục dưới tại X ∈ L ∞ d Cho y ∈ R(X) và dãy {X k} k trong L ∞ d hội tụ theo chuẩn tới X trong L ∞ d Từ (a), suy ra tồn tại dãy {Y k} ∈ R(X k) sao cho y = y k − ||π(X − X k )|| ∞ 1.
Khi π là ánh xạ liên tục Lipchitz trên miền xác định của nó, xem Chú ý 2.3.1, chúng ta có π(X − X k ) → 0 trong L ∞ d , do đó y k → y.
Chứng minh rằng R là nửa liên tục trên miền xác định Kí hiệu B là hình cầu đóng đơn vị trong không gian L ∞ d Với bất kỳ ε > 0, hàm π là liên tục Lipschitz Chọn hằng số η > 0 sao cho π(X − Y) nằm trong εB với mọi Y thuộc X + ηB.
R(Y ) ⊂ R(X) − {π(X − Y)1} ⊂ R(X)+εB do đó R là nửa liên tục trên.
R vừa liên tục trên, vừa liên tục dưới suy ra R là liên tục trên L ∞ d
Chương 2 Lý thuyết về độ đo rủi ro nhất quán
Độ đo rủi ro có thể được định nghĩa qua khái niệm tập chấp nhận, bao gồm các danh mục đầu tư ngẫu nhiên X ∈ L ∞ d, mà trong đó người điều chỉnh hoặc nhà quản lý xem xét là tự do rủi ro.
Giả sử K là một tập lồi đóng trong R^d, với R^d + ⊆ K và L ∞ d (K) là hình nón bao gồm tất cả các biến ngẫu nhiên không âm Từ đó, chúng ta định nghĩa tập chấp nhận như sau: Định nghĩa 2.5.1 (d, n)-tập chấp nhận là nón lồi đóng A của L ∞ d chứa.
Chú ý 2.5.1 Định nghĩa này dựa trên quan sát sau Cho R là (d, n) độ đo rủi ro nhất quán Khi đó A := {X ∈ L ∞ d : R(0) ⊂ R(X)} là (d, n) tập chấp nhận theo nghĩa của định nghĩa trên.
Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm về tập chấp nhận được, được suy ra từ độ đo rủi ro nhất quán Theo Định lý 2.5.1, nếu A là một tập con của L ∞ d, thì hàm đa trị R A : L ∞ d ⇒ R n được định nghĩa bằng một công thức cụ thể.
Khi đó, A là một (d, n) tập chấp nhận nếu và chỉ nếu R A là một (d, n) độ đo rủi ro nhất quán.
Chứng minh Giả sử A là (d, n) tập chấp nhận ta chứng minh R A là độ đo rủi ro nhất quán Hay chứng minhR A thỏa mãn các tính chất của Định nghĩa 2.3.5.
Rõ ràng, A đóng kéo theo R A đóng Do 0 ∈ A và R n × {0} d−n 6⊂ A suy ra
R A là một tập hợp thỏa mãn điều kiện (i) khi 0 ∈ R và A(0) khác R n Để chứng minh điều kiện (ii) đúng, ta lấy bất kỳ x ∈ R A và X ∈ L ∞ d(K) Theo định nghĩa của tập chấp nhận, cả X và x ¯ đều nằm trong A, do đó X + ¯ x cũng thuộc A, nghĩa là x ∈ R(X) Việc R A thỏa mãn các điều kiện (iv) và (v) có thể dễ dàng suy ra từ các tính chất đã biết.
R A là độ đo rủi ro nhất quán, được xác định dựa trên các tính chất trong Định nghĩa 2.3.5 Tính chất (iii) của R A được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của nó.
Bây giờ giả sử R A là (d, n) độ đo rủi ro, ta đi chứng minhA là(d, n)tập chấp nhận bằng việc chỉ ra tập A là nón lồi, đóng.
Trước tiên chúng ta quan sát thấy
Tập A thỏa mãn các tính chất trong Định nghĩa 2.3.5, chứng tỏ A là nón lồi của L ∞ d, bao gồm L ∞ d (K) nhưng không bao trùm toàn bộ không gian R n × {0} d−n Hơn nữa, A là tập đóng trong L ∞ d theo Tính chất 2.4.4.
Đa dạng hóa danh mục đầu tư tối ưu
Bài toán tối ưu danh mục đầu tư sử dụng độ đo rủi ro đa trị 21
Trong phần này, chúng tôi trình bày bài toán tính toán độ đo rủi ro cho nhà đầu tư với véctơ X = (X1, , Xd) ∈ L∞d, bao gồm các tài sản tài chính như trái phiếu và cổ phiếu, trong đó mỗi X i ≥ 0 thể hiện giá trị của tài sản thứ i Nhà đầu tư sẽ tập trung vào việc phân tích phân phối và giảm thiểu rủi ro Cụ thể, chúng tôi xem xét một độ đo rủi ro thực ρ : L∞d → R và xây dựng mô hình tối ưu hóa với mục tiêu là tối thiểu hóa ρ.
Bài toán tối ưu hóa đầu tư được mô tả bởi công thức (2.7) với α ∈ R d + thể hiện tỉ trọng vốn trong từng tài sản rủi ro, và điều kiện X i α i = 1 Công thức này có thể được mở rộng cho trường hợp độ đo rủi ro đa trị, trong đó R : L ∞ d ⇒ R n với n