Hệ tam phân mũ
Hệ tam phân mũ đều
Cho X là không gian Banach, xét một ánh xạ liên tục t 7→ A(t) sao cho A(t) là toán tử tuyến tính bị chặn trên X với mỗi t ∈R và phương trình v 0 =A(t)v (1.1)
Nghiệm của (1.1) với v(s) =v s có thể được viết dưới dạng v(t) =T(t, s)v(s), với
T(t, s) là toán tử tiến hóa liên kết Ta có
T(t, t) = Id và T(t, s)T(s, r) = T(t, r) với mọi t, s, r ∈ R, đồng thời T(t, s) khả nghịch và T(t, s) −1 = T(s, t) với mọi t, s ∈ R Giả sử A(t) có dạng chéo khối với các thành phần hợp thành E, F1, F2 (X = E ⊕ F1 ⊕ F2), trong đó E, F1, F2 là các không gian con tâm, ổn định và không ổn định Khi đó, nghiệm của phương trình (1.1) có thể được diễn đạt dưới dạng v(t) = (U(t, s), V1(t, s), V2(t, s))v(s), với U(t, s), V1(t, s) và V2(t, s) là các toán tử tiến hóa tương ứng với ba khối của A(t), và T(t, s) = (U(t, s), V1(t, s), V2(t, s)) Định nghĩa 1.1 cho rằng phương trình (1.1) có tam phân mũ đều nếu tồn tại các hằng số b > a ≥ 0, d > c ≥ 0 và D > 0.
Hệ tam phân mũ không đều
Hệ tam phân mũ không đều là một dạng mở rộng của hệ tam phân mũ đều Bài viết này sẽ khám phá những điểm tương đồng và khác biệt cơ bản giữa hai hệ thống này.
Giả sử X là không gian Banach, và A: R → B (X)là một hàm liên tục, trong đó B(X) là tập hợp các toán tử tuyến tính bị chặn trên X.
Xét bài toán giá trị ban đầu v 0 =A(t)v, v(s) =v s , (1.2) với s ∈R và v s ∈ X Giả thiết rằng tất cả các nghiệm của (1.2) là toàn cục.
Ta viết nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu trong (1.2) dưới dạng v(t) =T(t, s)v(s), ở đó T(t, s) là toán tử tiến hóa liên kết.
0≤ a < b, 0≤ c < d, (1.3) a 0 , b 0 , c 0 d 0 ≥0 (1.4) Định nghĩa 1.2 Ta nói rằng phương trình tuyến tính v 0 = A(t)v có một tam phân mũ không đều nếu tồn tại các hàm P, Q 1 , Q 2 : R → B (X) sao cho P(t),
Q 1 (t) và Q 2 (t) là các phép chiếu với
P(t)T(t, s) =T(t, s)P(s), Q i(t)T(t, s) =T(t, s)Q i(s), i= 1,2 với mọi t, s ∈R, và tồn tại các hằng số như trong (1.3)-(1.4) và D i >0,1≤ i ≤4 sao cho
Các hằng số a, b, c, d được xem như các số mũ Lyapunov, trong khi tính không đều của dáng điệu mũ phụ thuộc vào các hằng số a₀, b₀, c₀, d₀ Khi ba thành phần của nghiệm tương ứng với các thành phần tâm, ổn định và không ổn định của A(t), ta có thể đặt a = c = 0, dẫn đến b > 0 và d > 0.
So sánh hai định nghĩa về tam phân mũ đều và tam phân mũ không đều cho thấy rằng hệ tam phân mũ không đều có thêm các lượng mũ a 0 |s|, b 0 |t|, c 0 |s|, d 0 |t| Khi các giá trị a 0, b 0, c 0, d 0 đều bằng 0, khái niệm tam phân mũ không đều sẽ trùng với khái niệm tam phân mũ đều.
Ví dụ 1.1 Cho ω > ε >0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R 3 x 0 = 0, y 0 = (−ω − εtsint)y, z 0 = (ω+εtsint)z (1.7)
Hệ phương trình vi phân (1.7) có tam phân mũ không đều.
Chứng minh Ta thấy nghiệm của hệ (1.7) được viết dưới dạng x(t) =U(t, s)x(s), y(t) =V 1 (t, s)y(s), z(t) =V 2 (t, s)z(s), trong đó
V 2 (t, s) =e ωt−ωs−εt cost+εs cos s+ε sin t−ε sin s Toán tử tiến hóa T(t, s) của hệ (1.7) được cho bởi
T(t, s)(x, y, z) = (U(t, s)x, V 1 (t, s)y, V 2 (t, s)z). Giả sử P(t), Q 1 (t), Q 2 (t) :R 3 → R 3 là các phép chiếu được xác định bởi
Các phép chiếu đã thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa của hệ tam phân mũ không đều Đặt b = d = ω − ε, b 0 = d 0 = 2ε cùng với các hằng số a, a 0 , c, c 0 > 0, a < ω − ε, c < ω − ε Chúng ta chứng minh rằng tồn tại.
||U(t, s)|| ≤ De c(s−t)+c 0 |s| với t ≤ s với mọi a, a 0 , c, c 0 >0, a < ω − ε, c < ω − ε;D >1 Ta chứng minh
Ta viết lại V 1 (t, s) như sau:
V 1 (t, s) =e (−ω+ε)(t−s)+εt(cos t−1)−εs(cos s−1)+ε(sin s−sin t) , suy ra
V 1 (s, t) =e (−ω+ε)(s−t)−εt(cos t−1)+εs(cos s−1)−ε(sin s−sin t) (1.10) Với 0≤ t ≤ s, từ (1.10) ta có
V 1 (s, t) ≤ e 2ε e −(ω−ε)(s−t)+2ε|s| ≤ e 2ε e −(ω−ε)(t−s)+2ε|t| mà V 1 (s, t) =V 1 (t, s) −1 suy ra V 1 (t, s) −1 ≤ e 2ε e −(ω−ε)(t−s)+2ε|t| Điều này cho ta (1.8) Để thu được (1.9) ta chứng minh tương tự Từ
V 2 (s, t) =e (−ω+ε)(t−s)−εs(cos s−1)+εt(cos t−1)+ε(sin s−sin t) ta có
Từ việc thỏa mãn (1.9) và (1.8) ta có hệ (1.7) có một tam phân mũ không đều.
Không gian con tâm, ổn định và không ổn định
Giả sử rằng phương trình v 0 =A(t)v có một tam phân mũ không đều Ta xét ba không gian con tuyến tính
E(t) = P(t)X, F i (t) =Q i (t)X, i= 1,2 với mỗi t ∈R Ta gọi E(t), F 1 (t) và F 2 (t) tương ứng là không gian con tâm, ổn định và không ổn định tại thời điểm t Ta có:
X =E(t)⊕ F 1 (t)⊕ F 2 (t) với mọi t ∈R vàdimE(t),dimF 1(t),dimF 2(t)không phụ thuộc vào thời điểmt Nghiệm của (1.2) có thể được viết dưới dạng v(t) = (U(t, s)ξ, V 1 (t, s)η 1 , V 2 (t, s)η 2 ) với t ∈R (1.11) với v s = (ξ, η 1 , η 2 ) ∈ E(s)× F 1 (s)× F 2 (s), trong đó
Trong trường hợp đặc biệt, nếu không gian con tâm, ổn định và không ổn định không phụ thuộc vào t, tức là E(t) = E và F i (t) = F i với i = 1,2 cho mọi t, thì toán tử T(t, s) sẽ có dạng tương ứng với tổng trực tiếp E ⊕ F 1 ⊕ F 2.
Ngoài ra, các toán tử
U(t, s) :E(s) → E(t) và V i (t, s) =F i (s)→ F i (t), i= 1,2 là khả nghịch Kí hiệu toán tử nghịch đảo tương ứng làU(t, s) −1 và V i (t, s) −1 , i 1,2 ta có:
U(t, s) −1 =U(s, t) và V i (t, s) −1 =V i (s, t) với mọit, s ∈R Chú ý rằng các bất đẳng thức ở (1.5)-(1.6) có thể viết lại thành:
Tiếp theo ta định nghĩa góc giữa hai không gian con F 1 và F 2 , E và F 1 , E và F 2 tương ứng như sau α(t) = inf{||y − z||:y ∈ F 1(t);z ∈ F 2(t);||y||=||z||= 1} (1.12) β 1 (t) = inf{||x − y||:x ∈ E(t);y ∈ F 1 (t);||x||=||y||= 1} β 2 (t) = inf{||x − z||:x ∈ E(t);z ∈ F 2 (t);||x||=||z||= 1}
Mệnh đề 1.1 Với mọi t ∈R ta có:
Chúng ta sẽ chứng minh trường hợp của góc giữa không gian con ổn định và không ổn định α(t) Các bất đẳng thức khác cũng có thể được chứng minh theo cách tương tự Lưu ý rằng Q 1 (t)(y − z) = y, với y và z được xác định bởi (1.12).
Tiếp theo ta chứng minh α(t)≤ 2
||Q 1(t)||. Thật vậy, với mỗi v, ω ∈ X mà ¯v =Q 1 (t)v 6= 0 và ω¯=Q 2 (t)ω 6= 0 thì ¯ v
Chú ý rằng Q 1 (t)(¯v − ω¯) = ¯v Cho trước ε ≥0 ta có thể chọn v và ω sao cho với z = ¯v − ω¯ ta có:
Vì ε lấy tùy ý nên ta suy ra được chặn trên của α(t).
Hệ tam phân mũ không đều được định nghĩa và phân biệt rõ ràng với hệ tam phân mũ đều Bài viết cũng nghiên cứu không gian con tâm, ổn định và không ổn định của hệ tam phân mũ không đều Mệnh đề 1.1 chỉ ra rằng tính bị chặn đều của các phép chiếu tương đương với điều kiện rằng các góc giữa các không gian con tâm, ổn định và không ổn định phải tách khỏi 0.
Đa tạp tâm
Các khái niệm cơ bản
Hệ tam phân mũ không đều là giả thiết quan trọng để chứng minh sự tồn tại của đa tạp tâm, đặc biệt là các đa tạp "trung gian" Chúng ta sẽ xem xét một số giả thiết trong trường vectơ, trong đó đặt β = max{(k+ 1)a 0 +b 0 ,(k+ 1)c 0 +d 0 }.
Ký hiệu ∂ là đạo hàm riêng ứng với biến thứ hai, giả thiết rằng tồn tại một số nguyên k ≥1 sao cho
G1 A : R → B (X) thuộc lớp C k và thỏa mãn điều kiện nghiệm của (1.2) xác định với mọi t ∈R.
G2 f : R × X → X thuộc lớp C k và thỏa mãn
2 tồn tại δ > 0 và c j > 0 với j = 1, , k + 1 sao cho với mọi t ∈ R và u, v ∈ X ta có
||∂ k f(t, u)− ∂ k f(t, v)|| ≤ c k+1 δe −β|t| ||u − v || (1.15) Chú ý rằng với mọi j = 0, , k −1, t ∈R, và u, v ∈ X ta có
||∂ j f(t, u)− ∂ j f(t, v)|| ≤ c j+1 δe −β|t| ||u − v|| (1.16) Xét các không gian con
Nghiệm duy nhất của v 0 =A(t)v có thể được viết dưới dạng v(t) = (U(t, s)ξ, V 1 (t, s)η 1 , V 2 (t, s)η 2 ) với t ∈R , (1.18) với v s = (ξ, η 1 , η 2 ) ∈ E(s)× F 1 (s)× F 2 (s) và
Cho trước s ∈ R và điều kiện ban đầu v s = (ξ, η 1 , η 2) ∈ E(s)× F 1(s)× F 2(s), ta kí hiệu (x(., s, v s), y 1(., s, v s), y 2(., s, v s)) là nghiệm duy nhất của bài toán v 0 =A(t)v+f(t, v), v(s) = v s (1.19) với s ≥0và v s ∈ X, hoặc nó là nghiệm của bài toán x(t) =U(t, s)ξ+
(1.20) với t ∈R Với mỗi τ ∈R, ta viết Ψ τ (s, v s ) = (s+τ, x(s+τ, s, v s ), y 1 (s+τ, s, v s ), y 2 (s+τ, s, v s )) Đây là dòng được sinh bởi phương trình v 0 =A(t)v+f(t, v), v(s) = v s với s ≥0và v s ∈ X.
Sự tồn tại của đa tạp tâm
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu về định lý đa tạp tâm liên quan đến điểm gốc của phương trình v 0 = A(t)v + f(t, v) Đa tạp tâm được mô tả dưới dạng đồ thị, giúp minh họa rõ ràng các đặc điểm của phương trình này.
Kí hiệu ∂ đại diện cho đạo hàm riêng liên quan đến biến thứ hai Giả sử X là không gian các hàm liên tục ϕ = (ϕ1, ϕ2): {(s, ξ) ∈ R × X : ξ ∈ E(s)} → X thuộc lớp Ck, với điều kiện rằng đối với mọi s ∈ R và x, y ∈ E(s), các hàm này thỏa mãn các tính chất nhất định.
Chú ý rằng theo định lý giá trị trung bình, với j = 0, , k −1 ta có
||∂ j ϕ(s, x)− ∂ j ϕ(s, y)|| ≤ ||x − y|| (1.22) với mọi s ∈R và x, y ∈ E(s) Cho trước một hàm ϕ ∈X, xét đồ thị của ϕ
V =graph(ϕ) = {(s, ξ, ϕ(s, ξ)) : (s, ξ) ∈R × E (s)} ⊂R × X (1.23) Đặt α i = 4c 1 D i δ vớii= 1,2, (1.24) và xét các điều kiện
Các điều kiện này gọi là các điều kiện lỗ hổng phổ.
Định lý đa tạp tâm cho điểm gốc của phương trình v 0 = A(t)v + f(t, v) được phát biểu như sau: Giả thiết G1-G2 được thỏa mãn, nếu phương trình v 0 = A(t)v trong không gian Banach X có tam phân mũ không đều và các điều kiện trong (1.25) được đáp ứng, thì với δ trong (1.14)-(1.15) đủ nhỏ, tồn tại một hàm ϕ ∈ X duy nhất sao cho tập X trong (1.23) là bất biến đối với nửa dòng Ψ τ Cụ thể, nếu (s, ξ) ∈ R × E (s) thì Ψτ(p s,ξ) ∈ V với mọi τ ∈ R.
1 V là một đa tạp trơn thuộc lớp C k chứa đường thẳng R × { 0} và thỏa mãn
3 tồn tại D > 0 sao cho với mỗi s ∈R , ξ, ξ ¯ ∈ E (s), τ ∈ R , và j = 0, , k, nếu τ ≥0 thì
Đa tạp V được xác định trong (1.23) là đa tạp tâm cho điểm gốc của phương trình (1.19) và là đa tạp tâm duy nhất Các hằng số α1 và α2 trong (1.27)-(1.28) có thể được điều chỉnh để trở nên nhỏ tùy ý bằng cách chọn δ đủ nhỏ.
Chứng minh: Xem [1][Mục 8.3, trang 176].
Tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân trong không gian Banach
Hệ đối xứng
Đối xứng đảo ngược thời gian là một trong những khái niệm cơ bản trong khoa học tự nhiên, có mặt trong nhiều hệ vật lý, đặc biệt là trong cơ học cổ điển và lượng tử Bài viết này sẽ tập trung vào việc phân tích các phương trình vi phân thường liên quan đến đối xứng này.
Trong mục này ta trình bày định nghĩa toán học chính xác hơn của hệ đối xứng đảo ngược thời gian trong hệ động lực.
Xét hai loại hệ động lực với thời gian liên tục t ∈ R và thời gian rời rạc t ∈ Z trong không gian R n Khi thời gian t là liên tục, chúng ta nghiên cứu phương trình vi phân thường ôtônôm có dạng dx/dt = F(x), với x thuộc R n.
Trong đó F :R n −→ R n là một trường vectơ (trơn, liên tục), hệ (2.1) được cho bởi một họ các toán tử tiến hóa ϕ t :R n −→ R n x(τ)7−→ ϕ t(x(τ)) =x(τ+t)
Ta nói rằng ánh xạ (trơn, liên tục) R : R n → R n là một đối xứng đảo ngược của (2.1) khi dR(x) dt =−F(R(x)) (2.3) hoặc khi dR| x ◦ F(x) =−F(R(x)) (2.4)
Trong đó: dR| x là vi phân (Fréchet) của R đối với x. Điều kiện (2.3)-(2.4) có thể được viết như sau:
Trong cơ học cổ điển phương trình vi phân nhận được từ hệ Hamilton H(q, p) có đối xứng đảo ngược được cho bởi
Chú ý rằng trong trường hợp đặc biệt thì R là chập (tức là R 2 =Id).
Các khái niệm về đối xứng đảo ngược trong trường hợp không ôtônôm là sự mở rộng tự nhiên của các khái niệm này trong trường hợp ôtônôm, được mô tả bởi phương trình dx/dt = F(x, t).
Cụ thể, ta gọi R a : (x, t)→(R(x), −t+a) là một đối xứng đảo ngược của (2.7) dR(x) dt =−F(R(x), −t+a) (2.8)
Bằng cách đưa ra một biến mới τ =t − a
2, phương trình vi phân mở rộng d(x, τ) dt = (F 0 (x, τ),1) ( với F 0 (x, τ) := F x, τ + a
) là ôtônôm và có đối xứng đảo ngược
Ánh xạ R 0 : (x, τ)7→(R(x), −τ) cho thấy rằng ánh xạ f có đối xứng đảo ngược R có thể được biểu diễn dưới dạng f =R ◦ T, với điều kiện R 2 =T 2 =Id Trong trường hợp R không phải là chập, ta có thể diễn đạt f =R ◦ T theo dạng tổng quát, với R 2 ◦ T 2 =Id Đối với trường hợp dòng vectơ không ôtônôm, khi F(x, t) tuần hoàn theo thời gian, tức là F(x, t) =F(x, t+1), ánh xạ trở lại sẽ là ôtônôm Hơn nữa, có thể dễ dàng kiểm tra rằng hệ không ôtônôm có tính bất biến theo.
R a thì ánh xạ "thời gian 1" đối với t= a
Hệ thống được gọi là đối xứng đảo ngược khi tồn tại một ánh xạ R thỏa mãn các điều kiện nhất định cho dòng ôtônôm hoặc không ôtônôm Cần phân biệt giữa tính nghịch đảo và đảo ngược đối xứng, vì không phải tất cả các hệ có tính nghịch đảo đều là đối xứng đảo ngược, mặc dù tất cả các hệ đối xứng đảo ngược đều có tính nghịch đảo.
Tính nghịch của phương trình vi phân không ôtônôm
Trong không gian Banach X, xét hàm liên tục L: R × X → X với điều kiện v 0 = L(t, v) là duy nhất và ánh xạ khả vi S: R × X → X Theo định nghĩa 2.2, phương trình v 0 = L(t, v) được coi là có tính nghịch đối với ánh xạ S nếu
∂t (t, v) (2.11) với mọi t ∈ R và v ∈ X Ta cũng nói phương trình v 0 = L(t, v) có tính nghịch nếu nó có tính nghịch đối với một ánh xạ S nào đó.
Mệnh đề này mô tả đặc trưng của nghiệm phương trình vi phân v 0 = L(t, v) có tính nghịch Đối với mỗi s ∈ R và v s ∈ X, ta ký hiệu Φ(t, s)(v s) là nghiệm của phương trình vi phân với điều kiện v(s) = v s Giả thiết rằng Φ(t, s) được xác định với mọi t, s ∈ R.
Mệnh đề 2.1 Phương trình v 0 =L(t, v) có tính nghịch đối với ánh xạ S khi và chỉ khi Φ (τ, −t) (S(t, v)) =S(−τ,Φ (−τ, v) (v)) (2.12) với mọi t, τ ∈R và v ∈ X.
Chứng minh Giả sử (2.12) đúng Ta có
∂τ =L(τ,Φ (τ, ±t) (v)) (2.13) với mọi v ∈ X Đạo hàm (2.12) theo τ, kết hợp với (2.13)
Sử dụng (2.12) và đặt ω= Φ (−τ, t) (v) ta có
Bây giờ ta giả sử (2.11) đúng Chot ∈Rvàv ∈ X Đặtz(t) =S(−t,Φ (−t, s) (v)). Đạo hàm theo t và sử dụng (2.13) ta có z 0 (t) =− ∂S
Vậy z(t) thỏa mãn giá trị ban đầu của phương trình z' = L(t, z) với z(−s) = S(s, v) Đồng thời, Φ(t, −s)(S(s, v)) cũng là nghiệm của phương trình này Theo định lý về tính duy nhất, ta có z(t) = Φ(t, −s)(S(s, v)) với mọi v ∈ X và t, s ∈ R, từ đó suy ra (2.12) là đúng.
Giả sử L là hàm vi phân Fréchet theo v, nếu phương trình v 0 = L(t, v) có tính nghịch đối với ánh xạ S và S(t) là tuyến tính với mỗi t ∈ R, thì có những tính chất quan trọng sau đây.
1 Phương trình tuyến tính v 0 =A(t)v có tính nghịch với ánh xạ S;
2 Nếu S o 2 =Id thì S −t ◦ S t =Id với mọi t ∈R
Chứng minh Đạo hàm (2.11) theo v và sử dụng tính chất tuyến tính của S t ta có
Suy ra phương trình tuyến tính v 0 = A(t)v có tính nghịch với ánh xạ S (tính chất 1.)
Giả sử S 0 2 = Id, gọi v(t) là nghiệm của phương trình v 0 = L(t, v), khi đó v 0 (t) =L(t, v(t)) Sử dụng (2.11) ta có d(S −t ◦ S t )v(t) dt = ∂S
Trong bài viết này, chúng ta xem xét nghiệm của phương trình v 0 = L(t, v), cụ thể là (S −t ◦ S t)v(t) Với điều kiện S 0 2 = Id, ta có (S −t ◦ S t)v(t)| t=0 =v(0) Áp dụng định lý về tính duy nhất của nghiệm, ta suy ra rằng (S −t ◦ S t)v(t) =v(t) cho mọi t ∈R, từ đó dẫn đến kết luận S −t ◦ S t =Id với mọi t ∈R.
Tính nghịch của phương trình vi phân ôtônôm
Khái niệm về tính nghịch được đề cập trong Mục 2.2 là một sự mở rộng tự nhiên của khái niệm này trong hệ ôtônôm.
L: X → X là hàm liên tục trong không gian Banach X, như vậy phương trình v 0 =L(v)sinh ra một dòng(ϕ t ) t∈R trong X.Ta nói rằngv 0 =L(v) có tính nghịch đối với ánh xạ T :X → X nếu
Chú ý rằng nếu hàm L(t, v) ở Định nghĩa 2.2 không phụ thuộc t khi đó ta có
S t =T với mọi t ∈R, (2.11) và (2.15) đồng nhất.
Trong trường hợp không ôtônôm, phương trình tổng quát có một sự mô tả tính nghịch tương tự như trong phương trình ôtônôm, với nghiệm v 0 = L(t, v) Hệ quả trực tiếp từ Mệnh đề 2.1 cho thấy rằng trong trường hợp ôtônôm, Φ (t, τ) = ϕ t−τ với mọi τ ∈ R.
Mệnh đề 2.3 Phương trình v 0 = L(v) có tính nghịch đối với ánh xạ T khi và chỉ khi ϕ t ◦ T =T ◦ ϕ −t với mọi t ∈R.
Kết quả dưới đây chứng minh rằng khái niệm tính nghịch được trình bày trong Mục 2.2 là một sự mở rộng tự nhiên của khái niệm tính nghịch liên quan đến phương trình vi phân ôtônôm.
Mệnh đề 2.4 Phương trình v 0 = L(t, v) có tính nghịch đối với ánh xạ S :
R × X → X khi và chỉ khi phương trình ôtônôm t 0 = 1, v 0 =L(v) (2.16) có tính nghịch đối với ánh xạ T :R × X → R × X xác định bởi
Phương trình v 0 = L(v) có nghiệm duy nhất và toàn cục, dẫn đến việc phương trình ôtônôm trong (2.16) xác định một dòng ϕ τ trên R × X, được biểu diễn bởi ϕ τ(t, v) = (t+τ, Φ(t+τ, t)(v)) Theo Mệnh đề 2.3, phương trình (2.16) có tính nghịch đối với ánh xạ T khi và chỉ khi ϕ r ◦ T = T ◦ ϕ −r; r ∈ R Với mọi (t, v) ∈ R × X, ta có.
So sánh hai đồng nhất thức ta suy ra (2.18) đúng khi và chỉ khi (2.12) đúng (đặt r − t =τ), suy ra phương trình v 0 =L(t, v) có tính nghịch đối với ánh xạ S.
Tính nghịch của một phương trình không ôtônôm có thể được chuyển đổi thành một phương trình ôtônôm, như đã chỉ ra trong Mệnh đề 2.4 Cụ thể, T 2 (t, v) được định nghĩa là (t, (S − t ◦ S t)(v)) Theo Mệnh đề 2.2, nếu L là hàm vi phân Fréchet theo v, S t là tuyến tính với mỗi t ∈ R, và S ◦ 2 = Id, thì điều này dẫn đến T 2 = Id, tức là T là một chập.
Ví dụ
Ví dụ 2.1 Hệ Hamilton Ở dạng đơn giản nhất hệ Hamilton H(q, p) là hàm được cho bởi:
Tính chất của hệ Hamilton: H(q, p) =H(q, −p)
Trong trường hợp của cơ học cổ điển, phương trình vi phân thường nhận được từ hệ Hamilton có tính nghịch đối với ánh xạ T được xác định bởi T :R 2 → R 2 ,
Ví dụ 2.2 Xét phương trình vi phân x 0 = L(x), trong đó L : R → R , L(x) x(1− x).
Phương trình x 0 =L(x) có tính nghịch đối với ánh xạ T :R → R được xác định bởi T(x) = 1− x.
Ví dụ 2.3 Xét phương trình vi phân: ∂ξ
∂t = 0 thì phương trình trên có tính nghịch với biến x.
Phương trình vi phân cấp 4 ở trên có thể được viết như một hệ bốn phương trình vi phân cấp 1 đối với biến ξ, ∂ξ
∂x 3 =q 4 Phương trình L(q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) = (q 2 , q 3 , q 4 , −2αq 3 − q 1 − q 2 2 ) có tính nghịch đối với ánh xạ T : (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 )7→(q 1 , −q 2 , q 3 , −q 4 ).
Ví dụ 2.4 Xét phương trình v 0 =L(v), v = (x, y, z), L(v) được cho bởi
Phương trình v 0 =L(v) có tính nghịch đối với ánh xạ T : R 3 → R 3 xác định bởi
Ví dụ 2.5 Xét phương trình v 0 =L(v), v = (x, y, z)∈R 3
L(x, y, z) = (y, F − εsinx− zy, α(y 2 −1)) Phương trình v 0 =L(v) có tính nghịch đối với ánh xạ T :R 3 → R 3 xác định bởi T(x, y, z) = (x, −y, −z).
Ví dụ 2.6 Tính nghịch của phương trình vi phân không ôtônôm
Dưới đây là một ví dụ quan trọng về tính nghịch của phương trình không ôtônôm Xét biến đổi tuyến tính
với mọi t ∈R, trong đó b(t) = e ε(sin t−t cos t−cos t−t sin t)
Chú ý rằng S ◦ 2 = Id và S t ◦ S −t = Id với mọi t ∈ R Ta xác định một ánh xạ
S :R × R 3 → R 3 bởi S(t, v) =S t v Xét ánh xạ L:R × R 3 → R 3 được cho bởi
δt k+1 e −12εt α(kvk 2 )(x 2 , xy+β(t)xz, xy+xz), t ≥0
(2.21) đối với một số hàm C k , α:R → R với α= 0 ở ngoài đoạn [−1,1].
Ta sẽ chỉ ra rằng phương trình v 0 = L(t, v) với L như trong (2.19) có tính nghịch đối với ánh xạ S Từ mỗi S t tuyến tính, đồng nhất thức (2.11) tương đương với
∂t (t, v). Đẳng thức trên được chứng minh nếu ta chứng minh được hai đẳng thức sau :
∂t (t, ), (2.22) và f(−t, S t v) =−S t f(t, v) (2.23) Đẳng thức (2.22) tương đương với
−(ω+εtsint)b(t) +b(t) (ω+εtcost) =−b 0 (t), ω − εtcost −(ω+εtsint) =− b 0 (−t) b(−t) , ta có thể dễ dàng chứng minh được hai đẳng thức trên.
Bây giờ ta chỉ ra rằng (2.23) đúng Với mỗi t 0 từ (2.24) (thay thế v bởi S −t v và t bởi −t) ta có S −t f(−t, S t v) −f(t, v), như vậy
S t f(t, v) =−S t S −t f(−t, S t v) =−f(−t, S t v). Mặt khác ta có f(0, v) = 0 và
Suy ra (2.23) và do đó cũng có (2.11) Đặc biệt, f là liên tục Để kiểm tra rằng nó thuộc lớp C k ta chú ý rằng bất cứ khi nào j =a+b ≤ k ta có:
Phương trình v 0 = L(t, v) thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.1 và 3.1, cho phép chúng ta kết luận rằng nó có một đa tạp tâm khả ngược toàn cục trên C k, với điều kiện ω > (k + 2)ε.
Tính thuận của phương trình vi phân trong không gian Banach 22
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm tính thuận của phương trình vi phân, áp dụng cách tiếp cận tương tự như trong Mục 2.2, do đó nội dung sẽ được trình bày một cách ngắn gọn hơn.
Trong không gian Banach X, một hàm liên tục L: R × X → X đảm bảo rằng phương trình v 0 = L(t, v) có nghiệm duy nhất và tồn tại trên toàn cục Chúng ta định nghĩa rằng phương trình v 0 = L(t, v) có tính thuận đối với ánh xạ khả vi (Fréchet) S: R × X → X nếu
∂v (t, v) (2.25) với mọi t ∈R và v ∈ X Ta cũng nói rằng phương trình v 0 =L(t, v) có tính thuận nếu nó có tính thuận đối với một ánh xạ S nào đó.
Kí hiệu Φ (t, s) (v s) là nghiệm duy nhất của phương trình v 0 = L(t, v) với điều kiện v(s) = v s Mệnh đề này được chứng minh dựa trên lí luận tương tự như trong các Mệnh đề 2.1 và 2.4, do đó sẽ không được trình bày chi tiết.
Mệnh đề 2.5 Cho ánh xạ S, các phát biểu sau đây là tương đương :
1 Phương trình v 0 =L(t, v) có tính thuận đối với ánh xạ S;
3 Phương trình ôtônôm t 0 = 1, v 0 = L(t, v) có tính thuận đối với ánh xạ T :
Khái niệm tính thuận của phương trình không ôtônôm được xem là một sự tổng quát hóa tự nhiên từ khái niệm tính thuận trong hệ ôtônôm Cụ thể, với L : X → X là hàm liên tục, phương trình v 0 = L(v) sẽ xác định một dòng (ϕ t ) t∈.
R trong X Phương trình v 0 =L(v) được gọi là có tính thuận nếu tồn tại một ánh xạ S :X → X sao cho
Điều này xảy ra khi và chỉ khi ϕ t ◦ S = S ◦ ϕ t với mọi t ∈ R Trong trường hợp xét tính nghịch, nếu hàm L(t, v) không phụ thuộc vào t trong (2.25), thì đặt S t = S với mọi t ∈ R, đẳng thức (2.25) trở thành (2.26).
Tính thuận và tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm
Tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm
Xây dựng kết quả chính
Kết quả chính của nghiên cứu cho thấy tính nghịch của phương trình vi phân liên quan đến ánh xạ S tuyến tính trên đa tạp tâm Đặc biệt, tính nghịch này thường phát sinh từ cấu trúc của đa tạp tâm khi có một số c > 0 và θ ≥ 0.
Với V s = {v ∈ X : (s, v) ∈ V} = {(ξ, ϕ(s, ξ)) : ξ ∈ E((s))}, trong đó ϕ là hàm được xác định theo Định lý 1.1 Định lý 3.1 chỉ ra rằng, dưới các giả thiết của Định lý 1.1, nếu phương trình v' = A(t)v + f(t, v) có tính nghịch đối với một ánh xạ S với S ◦ 2 = Id và S t là tuyến tính cho mọi t ∈ R, đồng thời các hằng số trong (1.3)-(1.4) và (3.1) thỏa mãn điều kiện max{c, a} + 2(γ + θ) < min{b, d} với γ = max{a₀, b₀, c₀, d₀}, thì S s (V s) = V -s cho mọi s ∈ R.
Ta thấy rằng phương trình v 0 = L(t, v) với L(t, v) = A(t) +f(t, v) thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.1 và 3.1.
Ví dụ 3.1 Xét ánh xạ L:R × R 3 → R 3 trong ví dụ 2.6 (xem (2.19)-(2.21) Ta chỉ ra rằng đang xét trong các giả thiết của Định lý 1.1 với
D=e 2ε , a=c= 0, b=d=ω − ε, γ =max a 0 , b 0 , c 0 , d 0 =ε, với điều kiện ω >(k+ 2)ε Toán tử tiến hóa liên kết với phương trình tuyến tính v 0 =A(t)v với A(t) như trong (2.20) được cho bởi
U(t, s) =e −ωt+ωs+ε(t cos t−s coss−sin t+sin s) và
Do đó điều kiện G1 trong Mục 1.2.1 được thỏa mãn với k bất kì.
Ta chỉ ra rằng tồn tại D >0 sao cho
V (s, t) ≤ De (−ω+ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s (3.5) Trước tiên ta viết lại U(t, s) như sau
U(t, s) =e (−ω+ε)(t−s)+εt(cos t−1)−εs(cos s−1)+ε(sin s−sin t) suy ra
U(s, t) ≤ e 2ε e (−ω+ε)(s−t)+2ε|t| Ngoài ra, nếu t= (2k −1)π, s = 2lπ với k, l ∈N và k ≥ l thì
Với t ≤ 0 ≤ s từ (3.6) ta có U(s, t) ≤ e 2ε e (−ω+ε)(s−t) Cuối cùng, với t ≤ s ≤ 0 từ (3.6) ta có
Từ đó ta có (3.4) Để thu được (3.5) ta tiến hành một cách tương tự Từ
Với t ≥ 0 ≥ s từ (3.7) ta có V (s, t) ≤ e 2ε e (−ω+ε)(t−s) Cuối cùng, với s ≤ t ≤ 0, từ (3.7) ta có
Từ đó ta có (3.5) Vậy phương trình v 0 =A(t)v có tam phân mũ không đều với
Cuối cùng, ta chỉ ra rằng điều kiện G2 trong 1.2.1 đúng Để đơn giản ta xét k = 1 Ta đã biết rằng f(t,0) = 0 và (∂f /∂v) (t,0) = 0 Ngoài ra, với t ≥0
Chú ý rằng tồn tại C > 0 sao cho t k+1 e −12εt e −2ε(cos t+t sin t) ≤ Ce −11εt e 2ε(1+t) =Ce 2ε e −9εt
Nếu dễ dàng suy ra từ (3.8) rằng có tồn tại một hằng số κ >0 với mọi t ≥0 và u, v ∈R 3
Vì e −2ε(1+|t|) ≤ |b(t)| ≤ e 2ε(1+|t|) , nên kS t k ≤ e 2ε(1+|t|) với mọi t ∈R Mà γ t (v) :=C 0 e 4ε(1+|t|)
∂v (−t, S t v) với mỗi hằng số C 0 >0 Vì:
Ngoài ra, tồn tại κ 0 >0 sao cho với mọi t (k+ 2)ε, giả thiết của Định lý 1.1 được đáp ứng Hơn nữa, giả thiết của Định lý 3.1 cũng được thỏa mãn khi ω > 3 + 2 √ 2 ε, với θ = √ 2ε trong (3.1).
Các kết quả phụ
Chúng tôi sẽ chứng minh một số bổ đề phụ liên quan đến toán tử tiến hóa T(t, s), liên kết với phương trình tuyến tính v₀ = A(t)v Các không gian con E(t) và Fᵢ(t), với i = 1, 2, được đề cập trong (1.17) Hơn nữa, toán tử tiến hóa có thể được biểu diễn theo dạng khác như đã nêu trong (1.18).
Bổ đề 3.1 Với mỗi t ∈R và ω= (x, y, z) ∈ E(t)× F 1 (t)× F 2 (t) kωk ≤ kxk+kyk+kzk ≤3De γ|t| kωk
Chứng minh Bất đẳng thức đầu tiên là hiển nhiên.
Với bất đẳng thức thứ hai, x=P (t)ω, y=Q 1(t)ω,và z =Q 2(t)ω, ta có kxk+kyk+kzk ≤(kP(t)k+kQ 1 (t)k+kQ 2 (t)k)kωk ,
Từ (1.5)-(1.6), đặt t =s ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức trên.
Bổ đề 3.2 Với mọi t ∈R ta có :
Chứng minh rằng đạo hàm riêng của hàm f theo biến v tại điểm (t,0) bằng 0, theo điều kiện G2 trong Mục 1.2.1 Do đó, theo Mệnh đề 2.2, phương trình tuyến tính được xác định bởi A(t) cũng có tính nghịch đối với S Từ Mệnh đề 2.1, ta có kết luận tương ứng.
S −t T(−t, −s) =T (t, s)S −s , s, t ∈R (3.11) Đặc biệt, với mỗi v ∈ F 1(−s) ta có
Tác động toán tử T (t, s) vào S −s v − ω 2 ta có kT (t, s)S −s v − V 2 (t, s)ω 2 k=kU(t, s)ω ◦ +V 1 (t, s)ω 1 k (3.13)
Chú ý rằng đối với một toán tử tuyến tính khả ngược A ta có bất đẳng thức kAvk ≥
Từ (1.5)-(1.6) ta có kU(s, t)k=kT(s, t)P(t)k ≤ De a(s−t)+γ|t|, V 1(t, s) =T(t, s)Q 1(s) suy ra V 1(s, t) =T (s, t)Q 1(t). kV 1 (s, t)k T −1 (t, s)Q 1 (t)
≤ De −d(s−t)+γ|t| suy ra kV 1 (−t, −s)k ≤ De −d(s−t)+γ|s|
Từ Bổ đề 3.1 và sử dụng bất đẳng thức (1.5)-(1.6) cho mọi t ≤ s ta có
≤ De −b(s−t)+γ|s| Kết hợp với (3.12) ta có: kT (t, s)S −s v − V 2(t, s)ω 2 k ≤ kS −t V 1(−t, −s)vk+
Từ (3.3) ta có a+ 2γ+ 2θ D 1 và lấy δ đủ nhỏ ta thu được
Cuối cùng, theo [1][Bổ đề 8.11, trang 182], và theo bất đẳng thức đầu tiên trong (1.5), với mỗi t ≥ s và ξ, ξ ¯ ∈ E (s) với ξ 6= ¯ξ, ta có
≤ Ab k D 1 δ ka+ (k+ 1)α 1 ||ξ − ξ|| ¯ e (k+1)ρ(t) Lấy δ đủ nhỏ, ta có
Do đó, J x ∈B+ và J : B+ →B+ là toán tử được định nghĩa tốt.
Bây giờ ta chứng minh rằng J là ánh xạ co với chuẩn ||.|| 0
Cho trước x, y ∈B+ và τ ≥ s, từ (1.16) và định nghĩa của α 1 , ta có
Sử dụng bất đẳng thức trong (1.5) và (1.6) thu được
0 e ρ(t) với mỗi t ≥ s, sử dụng β ≥ a 0 Do đó
Vậy J là ánh xạ co.
Từ bổ đề trên ta có J s(B s ) ⊂ B s và J s : B s → B s là một ánh xạ co Chú ý rằng điểm cố định duy nhất x s ∈Bs củaJ s là hàm x ϕ trong bổ đề trên.
Bổ đề 3.5 Cho ϕ ∈ X và s ∈ R , nếu S t ϕ(t, ξ) = ϕ(−t, S t ξ)với mọi (t, ξ) ∈
Xét hàm S t x s (t, ξ) = x − s (−t, S s ξ) với mọi (t, ξ) thuộc R × E (s) Để chứng minh, ta phân tích không gian Bs × B−s với chuẩn k(x, y)k = max{kxk s , ky −s k} Từ đó, ta định nghĩa toán tử J s = (J s , J −s) trong Bs × B−s Rõ ràng, J là ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ Bs × B−s, và điểm cố định duy nhất của J là cặp (x s , x −s).
Xét tập con C của các hàm(x, y)∈Bs ×B−s sao cho
Ta chứng minh C là tập đóng trong Bs ×B−s.
Hơn nữa, C 6 =∅ do (0,0) ∈ C Để chứng minh (3.36) ta chứng minh J(C) ∈ C, thật vậy ta có
Từ tính nghịch của phương trình và S t tuyến tính với mọi t ∈R và v ∈ X ta có
Từ (2.14), đối với mỗi t ∈R và v ∈ X f(−t, S t v) +S t f(t, v) = 0 (3.39)
Sử dụng (3.39) và giả thiết về hàm ϕ, với (x, y)∈C ta có:
= ( ¯J −s y) (−t, S s ξ), Với sự thay đổi của các biến τ =−r Từ (3.37)-(3.38)
Chứng minh tính nghịch
Bổ đề 3.6 Hàm ϕ= (ϕ 1 , ϕ 2) duy nhất ∈X trong Định lý 1.1 thỏa mãn
Chứng minh Từ [1][Mệnh đề 8.4, trang 177] ta có X là không gian metric đủ với chuẩn
Hàm duy nhất ϕ ∈X trong Định lý 1.1 thu được là điểm cố định của ánh xạ co Φ :X → X trong phương trình.
Xét tập con Y của X được hình thành bởi hàm ϕ = (ϕ1, ϕ2) ∈ X thỏa mãn điều kiện (3.40) với mọi (t, ξ) ∈ R × E(t) Dễ dàng chứng minh rằng Y là tập đóng trong X Chúng ta sẽ chỉ ra rằng ánh xạ co Φ thỏa mãn Y Do đó, ϕ là hàm duy nhất thuộc X trong Định lý 1.1 cũng đồng thời thuộc Y.
Ta phải chứng minh rằng với mọi (s, ξ)∈R × E (s),
S s (Φϕ) 1 (s, ξ) = (Φϕ) 2 (−s, S s ξ), S s (Φϕ) 2 (s, ξ) = (Φϕ) 1 (−s, S s ξ) (3.42) với ϕ ∈Y Ta chỉ chứng minh đẳng thức đầu tiên trong (3.42), vì các đẳng thức khác có thể thu được bằng cách tương tự Theo (3.41), Bổ đề 3.3 và (3.39) ta có:
Từ Bổ đề 3.5 S s (Φϕ) 1 (s, ξ) được cho bởi
V 2 (−s, −τ)f(−τ, x −s (−τ, S s ξ), ϕ(−τ, x −s (−τ, S s ξ)))dτ. Đổi biến τ =−r ta thu được
= (Φϕ) 2 (−s, S s ξ) ta suy ra đẳng thức thứ nhất trong (3.42) Các đẳng thức khác có thể thu được bằng cách tương tự.
S s tuyến tính, từ (3.43) ta có
Từ Bổ đề 3.5 ta có S s(E(s)) =E(−s) Vậy
Tính thuận của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm
đều trên đa tạp tâm
Định lý 3.2 trình bày một cách phát biểu khác về tính thuận của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm, với ký hiệu tương tự như trong Mục 3.1 Chúng ta xem xét tập V s trong (3.2) và giả thiết như trong Định lý 1.1 Nếu phương trình v 0 = A(t)v + f(t, v) có tính nghịch đối với ánh xạ S, với S 0 2 = Id và S t là tuyến tính.
∀t ∈R, các hằng số trong (1.4) và (3.1) thỏa mãn a+ 2 (γ+θ) < b và c+ 2 (γ+θ)< d với γ = max a 0 , b 0 , c 0 , d 0 thì S s (V s ) =V s với mọi s ∈R.
Từ chứng minh Bổ đề 3.2 và 3.3, ta thu được các phát biểu sau đây
Bổ đề 3.7 Với mọi t, s ∈R ta có
Theo cách hiểu như trong (3.39), ta có thể sử dụng (2.25) để chỉ ra với bất kì t ∈R và v ∈ X, f(t, S t v)− S t f(t, v) = 0 (3.44)
Theo các bước chứng minh trong Bổ đề 3.5 và 3.6, chúng ta áp dụng Bổ đề 3.7 cùng với công thức (3.44) thay cho Bổ đề 3.2 và 3.3, kết hợp với (3.39), từ đó ta có được bổ đề mới như sau:
Bổ đề 3.8 Có duy nhất một hàmϕ= (ϕ 1 , ϕ 2 ) ∈X trong Định lý 1.1 thỏa mãn:
S t ϕ 1 (t, x) = ϕ 1 (t, S t x), S t ϕ 2 (t, x) =ϕ 2 (t, S t x) với mọi (t, x) ∈R × E (t) Ngoài ra, cho s ∈R
Tương tự như chứng minh của Định lý 3.1
Từ Bổ đề 3.8 ta có
S s (ξ, ϕ(s, ξ)) = (S s ξ, ϕ(s, S s ξ)) Mặt khác, từ Bổ đề 3.7 ta có S s (E(s)) =E(s), như vậy,