Mặt phẳng tọa độ Oxy
Một số khái niệm chung về tích vô hướng – Không gian Euclide
Cho V là một không gian vector trên trường Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ đƣợc xác định nhƣ sau:
thỏa các điều kiện sau:
Không gian vector V trên trường số thực có trang bị trên nó một tích vô hướng , được gọi là không gian vector Euclide
Ký hiệu: E ( , , ) V với tích vô hướng trên nó là ,
Cho E là một không gian vector Euclide Với mỗi x E , ta gọi độ dài của x ký hiệu là ||x|| là một số thực không âm và có giá trị là || || x x x ,
Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
*Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường R và v v 1 , 2 , , v n là các phần tử của V Ta nói vectơ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
1 , 2 , , n v v v nếu tồn tại các vô hướng 1 , 2 , , n K sao cho
3.2.1 Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính:
Trong không gian vectơ V trên trường R, một tập hợp các vectơ v1, v2, , vn được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hệ số vô hướng α1, α2, , αn thuộc K, không phải tất cả đều bằng 0, sao cho tổng hợp tuyến tính của chúng bằng vectơ không: α1v1 + α2v2 + + αnvn = 0.
Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính đƣợc gọi là hệ độc lập tuyến tính
CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG VEC TƠ
Áp dụng để giải phương trình đại số
Ví dụ 1: (Olympic 30 tháng 4 năm 2007) Giải phương trình sau :
Trong hệ toạ độ Oxy chọn : 2 2; 1 ; 1 ;
v x u Áp dụng bất đẳng thức u v u v ta có :
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 1 x 7
Áp dụng để giải phương trình lượng giác
Ví dụ 1: (Đề 24-Bộ đề tuyển sinh đại học năm 1996)
Giải phương trình: cos 3 x 1 cos 3 2 x 2 1 sin 2 x
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, chọn : u cos 3 ; 2 cos 3 x 2 x ; v 1;1
Khi đó : u 2; v 2; u v cos 3 x 2 cos 3 2 x Áp dụng bất đẳng thức u v u v ta có : cos 3 x 1 cos 3 2 x 2 2 2 (1) Lại có : sin 2 x 0 với mọi x 2 sin 2 x 1 2 với mọi x (2)
2 2 cos 3 x 1 cos 3 x 2 1 sin x cos 3 x 1 cos 3 2 x 2 1 sin 2 x = 2
Áp dụng chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 1 (Đại học Giao thông năm 1999) Chứng minh rằng với x ; y ; z ta có :
Áp dụng bất đẳng thức u v u v ta có :
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : f x x 2 x 1 x 2 x 1
Giải : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta chọn :
Áp dụng bất đẳng thức u v u v ta có :
Dấu “=” xảy ra u v , cùng phương, cùng chiều x = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) bằng 2 đạt đƣợc tại x = 0
CHƯƠNG 3 TỌA ĐỘ THEO HÌNH HỘP ĐỨNG
GẮN TỌA ĐỘ CHO HÌNH HỘP ĐỨNG CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC
Gắn tọa độ cho Hình hộp chữ nhật - Hình lập phương
-Chọn gốc tọa độ là 1 trong 8 đỉnh
-Ba cạnh xuất phát từ một đỉnh chọn làm gốc nằm trên 3 trục
-Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ.Với:
Gắn tọa độ cho hình hộp đứng có đáy là hình bình hành
1.2.1 Nếu hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi:
Chọn cao độ nằm trên đường thẳng nối hai đáy
Hai trục tọa độ còn lại nằm trên hai đường chéo
1.2.2 Nếu hình hộp đứngABCD.A'B'C'D' có đáy là hình bình hành:
Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình bình hành ABCD.Biết AB = b;AD = a;; AA' = c và góc BAD = α
Trên mặt phẳng (ABCD) kẻ tia Ax vuông góc với AB AD 1 = a sinα;
AD 2 = a cosα ( C 1 là hình chiếu của C xuống AyCC 1 = a sinα Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ
Gắn tọa độ cho Hình hộp đứng có đáy là hình thang vuông
Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A Biết AB = a, AD = b, BC = d, AA' =c
Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ bên
3.GẮN TOẠ ĐỘ CHO LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC.
Cách gắn toạ độ
3.1.1 Đối với hình hộp chữ nhật và hình lập phương:
Ta chia đôi các hình hộp đó bởi mặt phẳng (ACC'A') hoặc (BDD'B') nhƣ hình vẽ ta đƣợc trụ đứng có đáy là tam giác vuông
* Hình hộp chữ nhật: * Hình lập phương: z z x z
- Sau khi cắt, ta đƣợc lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông
- Cách chọn hệ trục toạ độ giống nhƣ đối với hình hộp chữ nhật
- Sau khi cắt, ta đƣợc lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân
- Cách chọn hệ trục toạ độ giống nhƣ đối với hình lập phương
3.1.2 Đối với hình hộp đứng có đáy là hình thoi, ta chia đôi hình hộp đứng bởi mặt phẳng (ACC'A') hặc (BDD'B'), ta đƣợc lăng trụ đứng có đáy là hình tam giác cân z
Để chọn hệ trục tọa độ cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân, bạn có thể áp dụng phương pháp tương tự như khi chọn hệ trục tọa độ cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi Hình vẽ minh họa sẽ giúp làm rõ quy trình này.
3.1.3 Đối với hình hộp đứng đáy là hình bình hành ABCD, Đã biết AB=a;AD=b; AA' = c ; góc BAD =α ta cắt hình hộp bởi mặt phẳng
(ACC'A') hoặc (BDD'B') ta đƣợc lăng trụ đứng có đáy là tam giác đã biết độ dài 2 cạnh và số đo góc xen giữa c c
Khi chọn hệ trục tọa độ cho lăng trụ đứng, quy trình tương tự như việc chọn hệ tọa độ cho lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành Các điểm được xác định như sau: A tương ứng với O(0;0;0), B(0;b;0), D(asinα;a cosα;0), A'(0;0;c), B'(0;b;c), và D'(asinα;a cosα;c).
4.2.Hình chóp tứ giác có ba mặt vuông
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', khi cắt bằng các mặt phẳng (A'DC) và (A'BC), ta thu được một hình chóp tứ giác với ba mặt vuông.
toạ độ hình chóp A'ABCD: A ( 0 ; 0 ; 0 ); B ( a ; 0 ; 0 ); C ( a ; a ; 0 ); D ( 0 ; 0 ; a ); A ' ( 0 ; 0 ; a ) b Đối với hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D': x z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ Ta có oạ độ hình chóp A'.ABCD là:
4.3.Hình chóp đều: Ở trường hợp 4.2.a, ta di chuyển đỉnh A' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' dọc theo đường chéo A'C' tới A ' S ( S A ' C ' B ' D ' ),khi đó ta đƣợc hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục toạ độ nhƣ hình vẽ trên, ta có toạ độ các đỉnh của hình chóp
4.4 Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, đường cao AO với O AC BD Ở trường hợp hình 1b, ta di chuyển đỉnh A' của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' dọc theo đường chéo A'C' tới khi A ' S ( S A ' C ' B ' D ' ),khi đó ta đƣợc hình chóp tứ giác S.ABCD có đặc điểm nhƣ trên
Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ, với:
4.5 Hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật và có 1 mặt bên vuông với đáy a, Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, mặt bên (SAB) (hoặc (SAO);
(SBC);(SCD) là tam giác cân tại S, ( SAB ) ( ABCD ). z y x
Khi di chuyển đỉnh A' của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' dọc theo đoạn A'B' cho đến khi A' trùng với S (trung điểm của A'B'), ta sẽ hình thành một hình chóp S.ABCD với những đặc điểm nhất định.
- Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ
* Chú ý: Nếu không muốn chọn gốc toạ độ là A; ta có chọn hệ trục toạ độ
H b, Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, mặt bên (SAD) là tam giác vuông tại S, ( SAD ) ( ABCD )
Từ hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', khi di chuyển đỉnh A' trên cạnh A'D' cho đến khi A' trùng với S (với S thuộc A'D' và A S vuông góc với D), ta tạo ra hình chóp tứ giác S.ABCD với các đặc điểm đặc trưng.
- Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ
Chúng ta áp dụng tọa độ cho các bài tập liên quan đến hình chóp S.ABCD, trong đó đáy ABCD có độ dài cạnh AB là a, cạnh AD là b, và chiều cao SH là c.
- Nếu không chọn gốc toạ độ là A, ta có thể chọn gốc toạ độ là H (H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABCD)) ta được hệ trục Hxyz z y x
Giả sử hình chóp SABCD có: SA=a,
SD=b, AD=c ( a 2 b 2 c 2 ), CD AB d ta tính SH = h qua công thức:
4.6.Hình chóp tứ giác gần đều:
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SO ( ABCD )với
Từ hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' với đáy là hình thoi, khi di chuyển đỉnh A' dọc theo A'C' cho đến khi A' trùng với điểm S (với S = A'C' ∩ B'D'), ta sẽ thu được hình chóp S.ABCD có các tính chất tương tự như trên.
Chọn hệ trục độ Oxyz nhƣ hình vẽ
Giả sử AC = a, BD = b, SO = h
Toạ độ hình chóp S.ABCD có toạ độ các đỉnh là:
4.7 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thang vuông
Ta cắt hình trên bằng các mặt phẳng (A'DC), (A'CB) ta đƣợc hình chóp tứ giác 3 mặt vuông, có đáy là hình thang vuông
Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ
5 GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CHO TỨ DIỆN THÔNG QUA HÌNH HỘP ĐỨNG
5.1 Phương pháp gắn tọa độ:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a; AD=b; AA' = c, ta cát hình hộp trên bởi mặt phẳng (A'BD) ta đƣợc tam diện vuông AA'BD
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ Với:
*Chú ý: Nếu di chuyển điểm A' tới vị trí S là trung điểm A'B', ta đƣợc tứ diện
S ( ) ( ), câm tại S và ABD vuông tại A
- Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ với: ; 0 ; )
5.1.2 Tứ diện bốn mặt vuông
Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có các kích thước AB=a, AD=b và AA'=c Khi cắt hình hộp này bởi các mặt phẳng A'BD và A'AC, ta thu được tứ diện A'ABC với những đặc điểm nổi bật.
Chọn hệ trục tọa độ Bxyz nhƣ trên hình vẽ với
*Chú ý: Nếu di chuyển điểm A' với vị trí S là trung điểm S của A'C', ta được tứ diện câm tại S và ABC vuông tại C z y x
Chọn hệ trục tọa độ Bxyz nhƣ hình vẽ Với ; )
5.1.3.Tứ diện có cạnh bên cuông góc với đáy
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' với đáy là hình bình hành Trong đó, góc BAD bằng α, AB = a, AD = b, và AA' = c Khi cắt hình hộp bởi mặt phẳng (A'BD), ta thu được tứ diện A'ABC, trong đó A'A vuông góc với mặt phẳng (ABD) tại điểm A.
- Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ với:
5.1.4 Tứ diện có mặt bên vuông góc với đáy
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi,AC = a,
AD = b, AA' = h,S là trung điểm của A'C',cắt hình hộp trên bởi các mặt phẳng
(SAB),(SBC)ta đƣợc tứ diện SABCcó ( SAC ) ( ABC ), SAC cân tại S, ABC cân tại A biết BA = BC = m, đường cao SO = h, AC = a
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ: Với
Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a,
B Gọi O’ là giao của A’C’ và B’D’ Di chuyển điểm A’ tới
O vị trí điểm S trên A’C’sao cho: ' '
A Khi đó ta đƣợc tứ diện đều S.ABD có cạnh bằng a đƣợc tứ diện
Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ Với
Khi gắn tứ diện C’ABD vào hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, tọa độ các đỉnh của tứ diện C’A’BD tương ứng với các đỉnh C’, A’, B, D của hình hộp chữ nhật: A' (0; 0; 0), D (0; b; 0), B (a; 0; 0), C' (a; b; c) Ứng dụng quan trọng của phương pháp này là xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều bằng cách nội tiếp tứ diện vào hình hộp chữ nhật Tâm và bán kính của hình cầu ngoại tiếp tứ diện sẽ tương ứng với tâm và bán kính của hình hộp chữ nhật, trong đó tâm hình cầu là giao điểm của A'C và AC' (hoặc B'D và BD'), còn bán kính hình cầu bằng một nửa độ dài của A'C (hoặc AC', B'D và BD').
Hình chóp tứ giác có ba mặt vuông
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' hoặc hình lập phương ABCD.A'B'C'D', khi cắt bằng các mặt phẳng (A'DC) và (A'BC), ta thu được một hình chóp tứ giác có ba mặt vuông.
toạ độ hình chóp A'ABCD: A ( 0 ; 0 ; 0 ); B ( a ; 0 ; 0 ); C ( a ; a ; 0 ); D ( 0 ; 0 ; a ); A ' ( 0 ; 0 ; a ) b Đối với hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D': x z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ Ta có oạ độ hình chóp A'.ABCD là:
Hình chóp đều
Ở trường hợp 4.2.a, ta di chuyển đỉnh A' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' dọc theo đường chéo A'C' tới A ' S ( S A ' C ' B ' D ' ),khi đó ta đƣợc hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục toạ độ nhƣ hình vẽ trên, ta có toạ độ các đỉnh của hình chóp
Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, đường cao AO với BDAC
Khi di chuyển đỉnh A' của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' dọc theo đường chéo A'C' cho đến khi A' trùng với điểm S (nơi S = A'C' ∩ B'D'), ta tạo ra hình chóp tứ giác S.ABCD với những đặc điểm đã nêu.
Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ, với:
Hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật và có 1 mặt bên vuông với đáy
a, Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, mặt bên (SAB) (hoặc (SAO);
(SBC);(SCD) là tam giác cân tại S, ( SAB ) ( ABCD ). z y x
Từ hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', khi di chuyển đỉnh A' dọc theo A'B' cho đến khi A' trùng với S (trung điểm của A'B'), ta tạo ra hình chóp S.ABCD với các đặc điểm như đã nêu.
- Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ
* Chú ý: Nếu không muốn chọn gốc toạ độ là A; ta có chọn hệ trục toạ độ
H b, Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, mặt bên (SAD) là tam giác vuông tại S, ( SAD ) ( ABCD )
Từ hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', khi di chuyển đỉnh A' trên cạnh A'D' cho đến khi A' trùng với điểm S (S thuộc A'D' và A'SD tạo thành góc vuông 90 độ), ta sẽ hình thành một hình chóp tứ giác S.ABCD với những đặc điểm nhất định.
- Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ
Chúng ta áp dụng hệ tọa độ cho các bài tập liên quan đến hình chóp S.ABCD, trong đó đáy ABCD có cạnh AB = a, cạnh AD = b và chiều cao SH = c.
- Nếu không chọn gốc toạ độ là A, ta có thể chọn gốc toạ độ là H (H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABCD)) ta được hệ trục Hxyz z y x
Giả sử hình chóp SABCD có: SA=a,
SD=b, AD=c ( a 2 b 2 c 2 ), CD AB d ta tính SH = h qua công thức:
Hình chóp tứ giác gần đều
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SO ( ABCD )với
Từ hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' với đáy là hình thoi, khi di chuyển đỉnh A' dọc theo A'C' cho đến khi A' trùng với điểm S (S = A'C' ∩ B'D'), ta sẽ tạo ra hình chóp S.ABCD có những đặc điểm tương tự như hình lăng trụ ban đầu.
Chọn hệ trục độ Oxyz nhƣ hình vẽ
Giả sử AC = a, BD = b, SO = h
Toạ độ hình chóp S.ABCD có toạ độ các đỉnh là:
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thang vuông
Ta cắt hình trên bằng các mặt phẳng (A'DC), (A'CB) ta đƣợc hình chóp tứ giác 3 mặt vuông, có đáy là hình thang vuông
Chọn hệ trục toạ độ Axyz nhƣ hình vẽ
5 GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CHO TỨ DIỆN THÔNG QUA HÌNH HỘP ĐỨNG
Phương pháp gắn tọa độ
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a; AD=b; AA' = c, ta cát hình hộp trên bởi mặt phẳng (A'BD) ta đƣợc tam diện vuông AA'BD
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ Với:
*Chú ý: Nếu di chuyển điểm A' tới vị trí S là trung điểm A'B', ta đƣợc tứ diện
S ( ) ( ), câm tại S và ABD vuông tại A
- Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ với: ; 0 ; )
5.1.2 Tứ diện bốn mặt vuông
Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = a, AD = b, và AA' = c Khi cắt hình hộp này bởi các mặt phẳng (A'BD) và (A'AC), ta thu được tứ diện A'ABC với những đặc điểm cụ thể.
Chọn hệ trục tọa độ Bxyz nhƣ trên hình vẽ với
*Chú ý: Nếu di chuyển điểm A' với vị trí S là trung điểm S của A'C', ta được tứ diện câm tại S và ABC vuông tại C z y x
Chọn hệ trục tọa độ Bxyz nhƣ hình vẽ Với ; )
5.1.3.Tứ diện có cạnh bên cuông góc với đáy
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' với đáy là hình bình hành Gọi góc BAD là α, với AB = a, AD = b và AA' = c Khi cắt hình hộp bằng mặt phẳng (A'BD), ta thu được tứ diện A'ABC, trong đó A'A vuông góc với mặt phẳng (ABD) tại điểm A Thông tin cụ thể bao gồm BÂD = α, AB = a, AD = b và AA' = c.
- Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ với:
5.1.4 Tứ diện có mặt bên vuông góc với đáy
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi,AC = a,
AD = b, AA' = h,S là trung điểm của A'C',cắt hình hộp trên bởi các mặt phẳng
(SAB),(SBC)ta đƣợc tứ diện SABCcó ( SAC ) ( ABC ), SAC cân tại S, ABC cân tại A biết BA = BC = m, đường cao SO = h, AC = a
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ: Với
Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a,
B Gọi O’ là giao của A’C’ và B’D’ Di chuyển điểm A’ tới
O vị trí điểm S trên A’C’sao cho: ' '
A Khi đó ta đƣợc tứ diện đều S.ABD có cạnh bằng a đƣợc tứ diện
Chọn hệ trục tọa độ Axyz nhƣ hình vẽ Với
Khi gắn tứ diện C’ABD vào hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, tọa độ các đỉnh của tứ diện C’A’BD tương ứng với tọa độ các đỉnh C’, A’, B, D của hình hộp chữ nhật: A' (0; 0; 0), D (0; b; 0), B (a; 0; 0), C' (a; b; c) Ứng dụng quan trọng của phương pháp này là trong việc xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều Bằng cách nội tiếp tứ diện vào hình hộp chữ nhật, tâm và bán kính của hình cầu ngoại tiếp tứ diện sẽ tương ứng với tâm và bán kính của hình hộp chữ nhật Tâm hình cầu được xác định là giao điểm của A'C và AC' (hoặc B'D và BD'), trong khi bán kính hình cầu là một nửa độ dài của A'C (hoặc AC', B'D và BD').