Đặt bài toán
Các phương trình cơ bản
Hai bán không gian được hình thành từ cùng một loại tinh thể (tinh thể trực hướng) dẫn đến các reduced elastic compliances không liên quan đến trạng thái biến dạng phẳng, cụ thể là S 11 0, S 22 0, S 12 0 và S 66 0.
Trong hệ tọa độ tinh thể OX (1) Y (1) Z, các thành phần tenxơ biến dạng và tenxơ ứng suất của bán không gian dưới (X 2 ≥ 0) được ký hiệu lần lượt là ε ˆ (1) ij và σ ˆ ij (1) Tương tự, các thành phần của trường hợp thứ hai được ký hiệu là ε ˆ (2) ij và σ ˆ (2) ij, trong đó p đại diện cho áp suất thủy tĩnh.
Xét bán không gian dưới Vì hệOX 1 X 2 X 3 nhận được từ hệOX (1) Y (1) Z bằng phép quay một góc θ quanh trục OZ (≡ OX 3 ) nên trong hệ OX 1 X 2 X 3 đẳng thức (1.2) trở thành (xem [17]) :
Trong hệ tọa độ OX1X2X3, các thành phần tenxơ biến dạng (εij) và tenxơ ứng suất (σij) của bán không gian dưới được xác định bởi các công thức sau: Sij.
S 16 = [2S 22 0 sin 2 θ − 2S 11 0 cos 2 θ + (2S 12 0 + S 66 0 )(cos 2 θ − sin 2 θ)]sinθcosθ
S 26 = [2S 22 0 cos 2 θ − 2S 11 0 sin 2 θ + (2S 12 0 + S 66 0 )(cos 2 θ − sin 2 θ)]sinθcosθ
(1.4) Đối với bán không gian trên ta cũng có hệ thức (1.3) trong đó S ij được xác định bởi (1.4) với θ được thay bởi −θ.
Gọi ma trận C = (C ij ), (i, j = 1, 2, 6) là ma trận nghịch đảo của ma trận
S = (S ij ), (i, j = 1, 2, 6) Khi đó từ (1.3) ta có :
Ma trận C chính là ma trận các hằng số đàn hồi của vật liệu.
Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng : σ 11,1 + σ 12,2 = ρ u ¨ 1 σ 12,1 + σ 22,2 = ρ u ¨ 2
(1.8) trong đó ρ là mật độ khối lượng của vật liệu, dấu "." chỉ đạo hàm theo thời gian,dấu "," chỉ đạo hàm theo biến không gian.
Vì vật liệu không nén được, ta có phương trình u 1,1 + u 2,2 = 0 Ứng suất và chuyển dịch cần phải liên tục tại mặt phân chia X 2 = 0 và giảm dần khi X 2 tiến tới ±∞ Cần lưu ý rằng trong bán không gian trên, cũng tồn tại các phương trình tương tự như (1.4) - (1.9).
Điều kiện biên hiệu dụng
Giả sử sóng Stoneley di chuyển theo hướng OX1 và suy giảm theo hướng OX2 với vận tốc c và số sóng k Đối với bán không gian dưới (X2 ≥ 0), nghiệm được tìm dưới dạng: u_j = U_j(y)e^(ik(X1 - ct)) (j = 1, 2), trong đó y = kX2 và U_j(y) là biên độ của sóng Đặt σ_j² = ikt_j(y)e^(ik(X1 - ct)) (j = 1, 2).
Từ (1.7-1) và (1.7-2) suy ra: σ 11 = σ 22 + (C 11 − C 12 )u 1,1 + (C 12 − C 22 )u 2,2 + (C 16 − C 26 )(u 1,2 + u 2,1 ) (1.12) Thay (1.10) và (1.11) vào (1.7-3) ta được :
Thay (1.10) vào phương trình không nén được (1.9) suy ra:
Thay (1.10) và (1.11) vào (1.8-1) có sử dụng (1.12) ta được: t 1 0 = i([ρc 2 − (C 11 − 2C 12 + C 22 ) + (C 26 − C 16 ) 2
C 66 t 1 − t 2 ) (1.15) Thay (1.10) và (1.11) vào (1.8-2) ta có: t 2 0 = i(ρc 2 U 2 − t 1 ) (1.16)
Từ (1.13), (1.14), (1.15) và (1.16) ta có hệ phương trình sau:
(1.17) Đặt ξ = [U 1 U 2 t 1 t 2 ] T Khi đó, dưới dạng ma trận các phương trình (1.17) được viết như sau: ξ 0 = iN ξ (1.18) dấu ’phẩy’ chỉ đạo hàm theo biến y (y = kX 2 ), N =
# , N 1 , N 2 , N 3 là các ma trận thực đối xứng được xác định như sau:
Cụ thể N có dạng sau:
Chú ý rằng, khi chuyển từ bán không gian dưới lên bán không gian trên thì C 11,
Trong bài viết này, chúng ta thấy rằng các hệ số C 22, C 66, C 12 giữ nguyên giá trị, trong khi C 16 và C 26 lại thay đổi dấu Do đó, theo công thức (1.20), a 1 không thay đổi và b 1 thay đổi dấu khi chuyển từ bán không gian dưới lên bán không gian trên Đối với bán không gian trên, chúng ta cũng có phương trình tương tự: ξ ∗ 0 = iN ∗ ξ ∗ (1.22).
Các thành phần của N ∗ được xác định bởi (1.21) với b 1 được thay bằng −b 1
Như vậy bài toán dẫn về việc giải hệ (1.18) và (1.22), với điều kiện tắt dần ở vô cùng : ξ(±∞) = ξ ∗ (±∞) = 0 (1.23) và điều kiện liên tục tạiX 2 = 0 (hay y = 0) : ξ(0) = ξ ∗ (0) (1.24)
Ta tìm nghiệm của (1.18) dưới dạng: ξ = ξ o e ipy , ξ o = [m n k h] T (1.25)
Phương trình đặc trưng (1.28) là một phương trình bậc 4 đầy đủ, và để đảm bảo điều kiện tắt dần ở vô cùng (1.24), chúng ta chọn hai nghiệm p1 và p2 với phần ảo dương Nếu sóng Stoneley tồn tại, bốn nghiệm của phương trình (1.28) sẽ là các số phức liên hợp, do đó luôn có hai nghiệm với phần ảo dương Đối với mỗi p_i (i = 1, 2), nghiệm của (1.26) có dạng ξ_oi = [m_i m_i k_i h_i]^T.
Như vậy nghiệm của (1.18) là: ξ(y) = A 1 ξ o1 e ip 1 y + A 2 ξ o2 e ip 2 y (1.31) trong đó A 1 , A 2 là các hằng số.
Nghiệm của phương trình (1.22) có dạng ξ ∗ (y) = B 1 ξ o1 ∗ e ip ∗ 1 y + B 2 ξ o2 ∗ e ip ∗ 2 y, với B 1 và B 2 là các hằng số Hai nghiệm p ∗ 1 và p ∗ 2 có phần ảo âm, được xác định từ phương trình đặc trưng ω 4 p ∗ 4 + 2ω 3 p ∗ 3 + ω 2 p ∗ 2 + 2ω 1 p ∗ + ω 0 = 0 Ngoài ra, ξ 0i ∗ = m ∗ i n ∗ i k ∗ i h ∗ i T là nghiệm của phương trình liên quan.
Dễ dàng chứng minh được rằng: p ∗ i = −p i , , m ∗ i = m i , n ∗ i = −n i , k ∗ i = −k i , h ∗ i = h i , i = 1, 2 (1.35)
Từ điều kiện liên tục (1.24) ta có:
Sử dụng (1.35) (bốn đẳng thức cuối), từ (1.36) ta có :
Do A 6= 0 và B 6= 0, từ (1.37) suy ra: |K 1 | |K 2 | = 0.
Nếu |K 1 | = 0 ⇒ |K 2 | 6= 0, từ phương trình thứ hai của (1.37) ⇒ A = −B
Khi đó, từ phương trình thứ nhất của (1.37) suy ra : K 1 A = 0, tức là :
Ngược lại, nếu có (1.39) tức làK 1 A = 0 Do A 6= 0 nên⇒ |K 1 | = 0
Tương tự, nếu |K 2 | = 0 ⇒ |K 1 | 6= 0 từ phương trình thứ nhất của (1.37)
⇒ A = B Khi đó, từ phương trình thứ nhất của (1.37) suy ra : K 2 A = 0 tức là :
Ngược lại, nếu có (1.40) tức làK 2 A = 0 Do A 6= 0 nên⇒ |K 2 | = 0 ⇔ (1.40).
Để giải hệ phương trình (1.18) và (1.22) thỏa mãn điều kiện tắt dần tại ±∞ và liên tục tại X2 = 0, ta chỉ cần tập trung vào việc giải phương trình (1.18) với điều kiện tắt dần tại +∞ và áp dụng điều kiện biên (1.39) hoặc (1.40).
Bài toán tìm nghiệm của hệ (1.18) với điều kiện X 2 ≥ 0 thỏa mãn điều kiện tắt dần ở +∞ và điều kiện biên (1.39) hoặc (1.40) tương tự như bài toán sóng Rayleigh trong bán không gian dưới Điều kiện biên (1.39) và (1.40) thay thế ảnh hưởng của bán không gian trên đối với bán không gian dưới, do đó được gọi là điều kiện biên hiệu dụng Theo Mozhaev [10], sóng Stoneley thỏa mãn điều kiện biên (1.39) được gọi là IAW1 (Interface Acoustic Wave 1), trong khi sóng thỏa mãn điều kiện biên (1.40) được gọi là IAW2 (Interface Acoustic Wave 2).
Tìm các phương trình tán sắc bằng phương pháp tích phân đầu
Phương trình tán sắc của sóng IAW1
Sóng IAW1 có thể được xem như sóng mặt Rayleigh trong bán không gian dưới, với điều kiện tự do cho thành phần chuyển dịch (U1) và thành phần ứng suất (t2) tại mặt biên X2 = 0 Phương trình đặc trưng của IAW1 là phương trình bậc bốn (1.28), do đó không thể sử dụng phương pháp truyền thống để tìm phương trình tán sắc của sóng Để xác định phương trình tán sắc của sóng IAW1, ta áp dụng phương pháp tích phân đầu, yêu cầu biến đổi hệ bốn phương trình vi phân cấp một thành hệ hai phương trình vi phân cấp hai đối với hai ẩn số U1(y) và t2(y) Quá trình biến đổi này sẽ được trình bày chi tiết trong bài viết.
Khi đó hệ (1.18) trở thành:
(dấu 0 chỉ đạo hàm theo y) Ta cần một phương trình vi phân cấp 2 đối vớiP
(1.45) Đạo hàm (1.45) theo y ta có:
Thay T’ trong (1.46) bởi (1.44-2) và tính đến (1.45) ta thu được phương trình vi phân cấp 2 đối với P như sau :
# (1.50) với ∆ = X − C 66 Rõ ràng từ (1.50), các ma trận γ ˆ, β ˆ và γ ˆ là các ma trận thực và đối xứng Áp dụng mệnh đề 3.1 trong [1] suy ra: ˆ α 11 β ˆ 11 ˆ γ 11 ˆ α 12 β ˆ 12 ˆ γ 12 ˆ α 22 β ˆ 22 ˆ γ 22
= 0 (1.51) Đó chính là phương trình tán sắc của sóng IAW1 Thay (1.50) vào (1.51) ta có:
Sau khi khai triển vế trái của (1.52), phương trình tán sắc của sóng IAW1 có dạng:
3X 2 − (C 66 b 2 1 + 3C 66 + a 1 )X + a 1 C 66 = 0 (1.53) Đó là phương trình bậc 2 đối với X = ρc 2
Phương trình tán sắc của sóng IAW2
Sóng IAW2 được coi là sóng mặt Rayleigh trong bán không gian, đáp ứng điều kiện tự do cho thành phần ứng suất t1(y) và thành phần chuyển dịch U2(y) tại mặt biên X2 = 0 Do phương trình đặc trưng của IAW2 là phương trình bậc 4 đầy đủ, phương pháp truyền thống không thể áp dụng Thay vào đó, chúng ta sử dụng phương pháp "tích phân đầu" để xác định phương trình tán sắc của sóng IAW2.
Sóng IAW2 tuân theo phương trình (1.18) và điều kiện biên (1.40) Để xác định phương trình tán sắc của sóng IAW2, chúng ta cần biến đổi (1.18) thành phương trình vi phân cấp 2, tương tự như trong phần 1.2.1, sử dụng phương pháp tích phân đầu.
T =h t 1 U 2 i. Theo phần 1.2.1, từ (1.18) ⇒ (1.44) Từ (1.44-2) suy ra :
X= −iK 3 −1 T 0 − K 3 −1 K 1 T (1.54) Đạo hàm (1.54) theo y ta có:
Thay P0 trong (1.55) bởi (1.44-1) và tính đến (1.54) ta thu được phương trình vi phân cấp 2 đối với T như sau :
Tương tự như phần 1.2.1, áp dụng mệnh đề 3.1 trong [1], phương trình tán sắc của
Khai triển (1.60) ta nhận được phương trình tán sắc của IAW2, đó là phương trình bậc nhất đối với X = ρc 2 như sau : b 1 (X − a 1 ) = 0 (1.61) hay: X − a 1 = 0
Tìm các phương trình tán sắc bằng phương pháp vectơ phân cực 19
Phương trình tán sắc của sóng IAW1
Điều kiện biên của trường hợp này là tại mặt biên X 2 = 0 có U 1 (0) = t 2 (0) = 0.
Với điều kiện biên (1.62), phương pháp vectơ phân cực không thể áp dụng ngay Do đó, cần hoán đổi vị trí t1 với U1 trong vectơ cột ξ = [U1, U2, t1, t2]T, tạo thành ξ* = [t1, U2, U1, t2]T Sau khi hoán đổi, ta có phương trình mới: ξ*0 = iN*ξ* (1.63), với ξ* = [t1, U2, U1, t2]T.
C 66 Để đơn giản trong trình bày ta bỏ dấu∗ và viết (1.63) dưới dạng: ξ 0 = iN ξ (1.64) với ξ = ξ ∗ = [t 1 , U 2 , U 1 , t 2 ] T , N = N ∗ =
Sóng IAW1 có thể được xem như sóng mặt Rayleigh truyền trong bán không gian dưới tại mặt biên X2 = 0 Áp dụng phương pháp vectơ phân cực để xác định phương trình tán sắc của sóng IAW1, ta có hệ thức ξ ¯ T (0) ˆ IN n ξ(0) = 0 (1.66), trong đó n là bậc của ma trận N, với cấu trúc khối tương ứng.
, (1.67) với K (n) = (K (n) ) T , N 2 (n) = (N 2 (n) ) T ,ở đây T biểu thị cho chuyển vị, dấu ” − ” chỉ liên hợp và I ˆ là ma trận sau:
Tại mặt biên X 2 = 0 ta có: ξ(0) = [t 1 (0) U 2 (0) 0 0] T (1.69) Thay (1.69) vào (1.66) ta được :
Thay (1.71) vào (1.70) ta có phương trình: ¯ aK (n) a = 0 ⇔ [1 α] ¯
# hay dưới dạng thành phần :
Do [1 α + ¯ α α α] ¯ 6= 0 nên định thức của hệ (1.73) phải bằng không, tức là:
Thay (1.74) vào ta được phương trình tán sắc của sóng IAW1:
3X 2 − (C 66 b 2 1 + 3C 66 + a 1 )X + a 1 C 66 = 0 (1.76)Phương trình (1.76) hoàn toàn trùng với (1.53).
Phương trình tán sắc của sóng IAW2
Điều kiện biên của trường hợp này là tại mặt biên X 2 = 0 có U 2 (0) = t 1 (0) = 0.
Với điều kiện biên (1.77) chưa thể áp dụng phương pháp vectơ phân cực ngay được Ta cần đổi chỗ t 2 với U 2 trong vectơ cột ξ = [U 1 , U 2 , t 1 , t 2 ] T để trở thành ξ ∗ = [U 1 , t 2 , t 1 , U 2 ] T
Ta được phương trình mới như sau: ξ ∗ 0 = iN ∗ ξ ∗ (1.78) trong đó: ξ ∗ = [U 1 , t 2 , t 1 , U 2 ] T , N ∗ =
# với N 1 , N 2 , K được xác định từ (1.65).
Tương tự phần 1.3.1 áp dụng phương pháp vectơ phân cực với:
Phương trình tán sắc của sóng IAW2 là:
Kết quả thu được bằng phương pháp vectơ phân cực hoàn toàn trùng với kết quả của phương pháp tích phân đầu.
SÓNG STONELEY TRONG MÔI TRƯỜNG TRỰC HƯỚNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC
Sóng Stoneley được nghiên cứu lần đầu bởi Stoneley vào năm 1924, truyền dọc theo biên phân chia của hai bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén Tác giả đã thu được phương trình tán sắc dạng hiện của sóng này bằng phương pháp truyền thống Đến năm 1999, Sotiropolous phát hiện ra phương trình tán sắc của sóng Stoneley trong các bán không gian đàn hồi trực hướng nén, cũng bằng phương pháp sử dụng định lý Vi-et, tuy nhiên phương trình này vẫn chưa hoàn toàn tường minh Năm 2015, Vinh và Anh đã tìm ra dạng hoàn toàn tường minh của phương trình này bằng phương pháp ma trận trở kháng.
Chương này nghiên cứu sóng Stoneley trong các bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được, với mục tiêu xác định phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Để đạt được điều này, phương pháp điều kiện biên hiệu dụng được áp dụng, trong đó một trong hai bán không gian được loại bỏ và ảnh hưởng của nó được thay thế bằng các hệ thức tuyến tính giữa ứng suất và chuyển dịch tại bề mặt tiếp xúc Các hệ thức này được gọi là "điều kiện biên hiệu dụng" Sóng Stoneley sau đó được khảo sát như một sóng Rayleigh truyền trong bán không gian còn lại, với điều kiện biên hiệu dụng đã được thiết lập.
Đặt bài toán
Xét sóng Stoneley trong hai bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được, với bán không gian thứ nhất nằm trong miền x2 ≤ 0 và bán không gian thứ hai trong miền x2 ≥ 0, giả thiết hai bán không gian này gắn chặt Các đại lượng tương ứng giữa hai bán không gian được ký hiệu giống nhau nhưng phân biệt bằng dấu gạch ngang cho bán không gian thứ nhất Trong nghiên cứu này, trạng thái biến dạng phẳng được xét với các thành phần chuyển dịch có dạng ui = ui(x1, x2, t), i = 1, 2, và u3 = u3 ≡ 0, trong đó t là thời gian.
Mục tiêu của bài toán là xác định phương trình tán sắc của sóng Stoneley Để giải quyết bài toán này, chúng ta áp dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng, trong đó ảnh hưởng của bán không gian thứ nhất lên bán không gian thứ hai được thay thế bằng một điều kiện biên hiệu dụng tại biên phân chia x2 = 0 Sau đó, sóng Stoneley được coi như sóng Rayleigh truyền trong bán không gian thứ hai, trong khi bán không gian thứ nhất bị bỏ qua, với điều kiện biên hiệu dụng đã được thiết lập.
Điều kiện biên hiệu dụng
Chúng ta sẽ loại bỏ bán không gian thứ nhất x2 ≤ 0 và thay thế ảnh hưởng của nó lên bán không gian thứ hai x2 ≥ 0 bằng điều kiện biên hiệu dụng tại mặt phẳng x2 = 0 của bán không gian thứ hai.
Vì bán không gian thứ nhất là đàn hồi trực hướng không nén được, nên quan hệ ứng suất-biến dạng có dạng sau: σ 11 = −p + c 11 u 1,1 + c 12 u 2,2 σ 22 = −p + c 12 u 1,1 + c 22 u 2,2 σ 12 = c 66 (u 1,2 + u 2,1 )
(2.2) trong đó σ ¯ ij là các thành phần ướng suất, p = p(x 1 , x 2 , t) là áp suất thủy tĩnh, c ij là các hằng số vật liệu, dấu "," chỉ đạo hàm theo biến không gian.
Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng: σ 11,1 + σ 12,2 = ρ u ¨ ¯ 1 σ 12,1 + σ 22,2 = ρ u ¨ ¯ 2
(2.3) trong đó ρ là mật độ khối lượng của vật liệu, dấu "." chỉ đạo hàm theo thời gian.
Vì vật liệu là không nén được nên ta có: u 1,1 + u 2,2 = 0 (2.4) Điều kiện tắt dần ở vô cùng: ¯ u 1 = ¯ u 2 = ¯ σ 12 = ¯ σ 22 = 0 tại x 2 = −∞ (2.5)
Sóng Stoneley được giả định truyền theo hướng x1 và tắt dần theo hướng x2 Theo Vinh và cộng sự [22], chuyển dịch và ứng suất của sóng Stoneley trong bán không gian thứ nhất với điều kiện x2 ≤ 0 tuân theo các phương trình (2.2)-(2.5) và được mô tả bởi công thức (2.6): ¯un = ¯Un(y)eik(x1−ct), σ¯n2 = ikΣ¯n(y)eik(x1−ct), với y = kx2 và n = 1, 2.
A 1 , A 2 là các hằng số,y = kx 2 , p 1 , p 2 là hai nghiệm có phần thực dương của phương trình: ¯ γp 4 − (2β − X)p 2 + ¯ γ − X = 0 (2.9) với ¯ γ = c 66 , X = ¯ ρc 2 , β = (δ − 2¯ γ)/2, δ = c 11 − 2c 12 + c 22 (2.10) và: α k = p k , β k = c 66 (1 + p 2 k ), γ k = (X − δ + β k )α k , k = (1, 2) (2.11)
Cũng theo Vinh và cộng sự [22]:
U 1 (0) = (α 1 A 1 + α 2 A 2 ), U 2 (0) = −i(A 1 + A 2 ) (2.15) Σ 1 (0) = −i(β 1 A 1 + β 2 A 2 ), Σ 2 (0) = (γ 1 A 1 + γ 2 A 2 ) (2.16) Khử A 1 , A 2 từ các (2.15) và (2.16) ta được hai hệ thức sau: Σ 1 (0) = −i[β]
[α] U 2 (0) (2.17) Ở đây ta sử dụng các kí hiệu (được gọi là "móc"):
Vì hai bán không gian gắn chặt với nhau tại mặt phẳng x 2 = 0, do vậy
Phương trình (2.19) là điều kiện biên hiệu dụng cần thiết, thay thế hoàn toàn ảnh hưởng của bán không gian thứ nhất lên bán không gian thứ hai.
Phương trình tán sắc
Bỏ qua bán không gian thứ nhất x2 ≤ 0, sóng Stoneley được coi là sóng Rayleigh trong bán không gian thứ hai x2 ≥ 0, truyền theo hướng x1, tắt dần theo hướng x2 và tuân theo điều kiện biên hiệu dụng (2.19) Giả thiết bán không gian thứ hai x2 ≥ 0 là đàn hồi trực hướng không nén được Theo Vinh và cộng sự [22], các thành phần chuyển dịch và ứng suất được xác định bởi các công thức sau: u n = U n (y)e ik(x1 − ct) và σ n2 = ikΣ n (y)e ik(x1 − ct), với y = kx2 và n = 1, 2 (2.20).
U 1 (y) = −(α 1 B 1 e −p 1 y + α 2 B 2 e −p 2 y ) và U 2 (y) = −i(B 1 e −p 1 y + B 2 e −p 2 y ) mô tả các hàm năng lượng trong hệ thống Σ 1 (y) = −i(β 1 B 1 e −p 1 y + β 2 B 2 e −p 2 y ) và Σ 2 (y) = −(γ 1 B 1 e −p 1 y + γ 2 B 2 e −p 2 y ) thể hiện các hàm tổng hợp trong cùng bối cảnh Các hằng số B 1, B 2 được xác định từ các điều kiện biên hiệu dụng, trong khi p 1, p 2 là các nghiệm có phần thực dương của phương trình đã cho Các đại lượng α k, β k, γ k được xác định từ phương trình (2.11) bằng cách loại bỏ dấu gạch ngang.
Thay thế (2.21),(2.22) vớix 2 = 0 vào (2.19) ta có:
Do B 1 , B 2 không đồng thời bằng không nên định thức của hệ (2.23) phải bằng không, tức là:
Khai triển (2.24) ta nhận được phương trình tán sắc như sau:
Biến đổi (2.25) và chú ý đến đẳng thức [f ; g][h] − [f; h][g] = [f][h; g] ta thu được:
Từ (2.18) và (2.11) dễ dàng thấy:
(2.27) với S, P được tính bằng (2.12) bằng cách bỏ đi dấu ngạch ngang Các móc ngang có dạng như (2.27) được phân biệt bởi dấu ngạch ngang ở trên.
DE ¯ + D E ¯ − 2B B ¯ + ¯ AC + A C ¯ = 0 (2.28) Phương trình (2.28) được viết tường minh như sau: c 66 [(X − δ)( √
Phương trình tán sắc của sóng Stoneley trong hai bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được được biểu diễn dưới dạng P ¯ ) = 0 Để thu được dạng không thứ nguyên, ta chia cả hai vế của phương trình (2.29) cho c 2 66.
Rõ ràng, vận tốc sóng không thứ nguyên x phụ thuộc vào 4 tham số không thứ nguyờn:e δ , e ¯ δ , r à , r v
Trường hợp đặc biệt
Khi hai bán không gian đàn hồi là đẳng hướng ngang với trục đẳng hướng là 0x3, ta có các hệ số c 11 = c 22, c 11 − c 12 = 2c 66, c ¯ 11 = ¯ c 22, và ¯ c 11 − ¯ c 12 = 2¯ c 66 Trong trường hợp này, các giá trị được xác định là e δ = e ¯ δ = 4, P = 1 − x, S = 2 − x, P ¯ = 1 − r v 2 x, và S ¯ = 2 − r v 2 x Phương trình tán sắc của sóng Stoneley có dạng (2.30) với e δ = e δ ¯ = 4 và S.
S ¯, P, P ¯ được tính theo công thức (2.33) Khi cả hai bán không gian có tính đẳng hướng, phương trình tán sắc giữ nguyên dạng, tuy nhiên khi đó x = ρc²/à Dạng thứ nguyên tương ứng với nó là à[(ρc² − 4à) √.
Phương trình (2.34) mô tả tán sắc của sóng Stoneley trong môi trường đẳng hướng và không nén được Nó tương đồng với phương trình tán sắc được rút ra từ phương trình (58) trong tài liệu [23] khi các bán không gian trở thành đẳng hướng không nén.
TRƯỜNG TRỰC HƯỚNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC
Sóng Scholte là loại sóng mặt di chuyển dọc theo bề mặt phân cách giữa chất lỏng và chất rắn, với năng lượng giảm dần theo hai phương vuông góc với mặt phân cách Tương tự như sóng Rayleigh và sóng Stoneley, sóng Scholte có nhiều ứng dụng quan trọng trong địa chấn học, khoa học vật liệu và kiểm tra không phá hủy.
Sóng Scholte trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén dưới bán không gian chất lỏng lý tưởng (không nhớt) được nghiên cứu lần đầu bởi Scholte vào năm 1949, nơi ông đã phát hiện ra phương trình tán sắc của sóng bằng phương pháp truyền thống Đến năm 2013, Vinh đã áp dụng phương pháp hàm biến phức để tìm ra các công thức chính xác cho vận tốc sóng và chứng minh rằng sóng Scholte luôn tồn tại và là duy nhất.
Chương này tập trung vào nghiên cứu sóng Scholte trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được dưới một bán không gian chất lỏng lý tưởng Mục tiêu chính là xác định phương trình tán sắc dạng hiện Để đạt được điều này, luận văn áp dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng được trình bày ở chương hai, trong đó ảnh hưởng của bán không gian chất lỏng được thay thế bằng điều kiện biên hiệu dụng.
Điều kiện biên hiệu dụng
Nghiên cứu sóng Scholte trên bề mặt của bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được diễn ra trong miền x2 ≥ 0, nằm dưới một bán không gian chất lỏng lý tưởng (không nhớt) với x2 ≤ 0 Tại biên phân chia x2 = 0, ứng suất tiếp bằng không, trong khi ứng suất pháp và chuyển dịch pháp lại liên tục Các đại lượng liên quan đến lớp nước lý tưởng được phân biệt bằng dấu * Trong trạng thái biến dạng phẳng, các thành phần chuyển dịch được biểu diễn qua công thức u_i = u_i(x1, x2, t) và u* i = u* i(x1, x2, t) với i = 1, 2, u3 = u* 3 ≡ 0 Đối với bán không gian chất lỏng lý tưởng, các thành phần chuyển dịch u* 1 và u* 2 được xác định bằng ϕ, 1 và ϕ, 2, trong đó ϕ thỏa mãn phương trình c*^2(1)(ϕ,11 + ϕ,22) = ¨ϕ Vận tốc sóng trong chất lỏng được xác định bởi c*1 = pλ*/ρ* Điều kiện tắt dần được thiết lập với u* i = 0 (i = 1, 2) khi x2 → −∞ Cuối cùng, ứng suất được biểu diễn qua chuyển dịch theo mối quan hệ σ*12 = 0 và σ*22 = λ*(u*1,1 + u*2,2).
Xét sóng Scholte truyền theo phương x 1 và tắt dần theo x 2 , với vận tốc sóng c, số sóng k Từ (3.3 ) thế chuyển dịch ϕxác định bởi: ϕ = Be kb ∗ 1 x 2 e ik(x 1 −ct) , b ∗ 1 = r
1 − c 2 c 1 ∗2 , 0 < c < c ∗ 1 (3.6) trong đó B là hằng số Thay vào phương trình (3.2) các thành phần chuyển dịch u ∗ 1 , u ∗ 2 có dạng: u ∗ 1 = iA ∗ 1 e kb ∗ 1 x 2 e ik(x 1 −ct) u ∗ 2 = b ∗ 1 A ∗ 1 e kb ∗ 1 x 2 e ik(x 1 −ct)
(3.7) ở đây: A ∗ 1 = kB là hằng số Từ (3.5) và (3.7) ta có: σ ∗ 22 = λ ∗ k(b ∗2 1 − 1)A ∗ 1 e kb ∗ 1 x 2 e ik(x 1 −ct) (3.8)
So sánh (3.8) và phương trình thứ hai của (3.7) dẫn đến: σ ∗ 22 = kλ ∗ (b ∗ 1 − 1 b ∗ 1 )u ∗ 2 (3.9)
Từ điều kiện liên tục về ứng suất và chuyển dịch pháp tại biên phân chia x 2 = 0, ta có thể suy ra rằng σ 12 = 0 và σ 22 = kλ ∗ (b ∗ 1 − 1 b ∗ 1 )u 2 Đây là điều kiện biên hiệu dụng tại x 2 = 0, thay thế toàn bộ tác động của bán không gian chất lỏng lý tưởng lên bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được.
Theo Vinh và các cộng sự đã nghiên cứu chuyển dịch và ứng suất của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được Các biểu thức cho chuyển dịch u1 và u2, cũng như ứng suất σ12 và σ22, được thể hiện bằng các hàm mũ với các tham số α, β, γ và B Cụ thể, u1 và u2 được mô tả bằng các hệ số và biến đổi theo thời gian với tần số k, trong khi σ12 và σ22 thể hiện mối quan hệ giữa ứng suất và chuyển dịch trong hệ thống đàn hồi này.
(3.11) trong đó p 1 , p 2 là hai nghiệm có phần thực dương của phương trình (2.9), α k , β k và γ k được xác định bởi (2.11) bằng cách bỏ đi dấu gạch ngang.
Từ (3.11) suy ra: u 2 (0) = −i(B 1 + B 2 )e ik(x 1 −ct) σ 12 (0) = k(β 1 B 1 + β 2 B 2 )e ik(x 1 −ct) σ 22 (0) = −ik(γ 1 B 1 + γ 2 B 2 )e ik(x 1 −ct)
Thay (3.12) vào (3.10) ta được hệ phương trình:
(3.13) Để (3.13) có nghiệm không tầm thường thì det = 0, tức là: β 1 β 2 γ 1 − λ ∗ (b ∗ 1 − b 1 ∗
Khai triển (3.14) ta nhận được phương trình tán sắc như sau:
Phương trình tán sắc của sóng Scholte được thể hiện qua công thức P = 0 (3.16), cho thấy một dạng hoàn toàn tường minh Để thu được dạng không thứ nguyên, chúng ta chia cả hai vế của phương trình (3.16) cho c 66.
Từ phương trình (3.17), ta thấy rằng x là một hàm của ba tham số không thứ nguyên r, e δ , γ ∗
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của vận tốc Scholte không thứ nguyên x vào r
Hình 3.1 biểu diễn sự phụ thuộc vào hằng số không thứ nguyên r của vận tốc sóng Scholte không thứ nguyên bình phương x (với các giá trị cho trước của γ ∗ ).
Khi bán không gian đàn hồi đẳng hướng ngang, với trục đẳng hướng là 0x3, ta có các mối quan hệ c 11 = c 22 và c 11 − c 12 = 2c 66 Trong trường hợp này, các biến số được xác định là e δ = 4, P = 1 − x, S = 2 − x Sau khi thay thế các giá trị vào phương trình (3.17) và thực hiện một số phép toán biến đổi, ta sẽ thu được kết quả rx(√.
Nhân cả 2 vế của (3.21) với 1 − √
Phương trình (3.22) mô tả tán sắc của sóng Scholte trong môi trường đẳng hướng ngang, không nén được, và cũng áp dụng cho trường hợp đẳng hướng với x = ρc²/à Phương trình này tương đương với phương trình tán sắc (13) trong bài báo [20] khi λ → ∞, tức là mô tả tán sắc của sóng Scholte trong không gian đàn hồi đẳng hướng không nén được.
Luận văn khảo sát ba bài toán liên quan đến sóng Stoneley trong các tinh thể xoắn không nén được, sóng Stoneley giữa hai bán không gian đàn hồi trực hướng không nén và sóng Scholte giữa bán không gian đàn hồi trực hướng không nén và bán không gian chất lỏng lý tưởng Bằng cách áp dụng phương pháp tích phân đầu, phương pháp véc tơ phân cực và phương pháp điều kiện biên hiệu dụng, luận văn đã đạt được các kết quả quan trọng.
+ Tìm ra các phương trình tán sắc dạng hiện (tường minh) của sóng Stoneley trong các tinh thể trực hướng xoắn không nén được.
+ Tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Stoneley trong môi trường trực hướng không nén được.
Phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Scholte được xác định khi truyền dọc theo biên phân chia giữa bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được và bán không gian chất lỏng không nhớt Những kết quả này mang tính mới mẻ và sẽ là công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn.
[1] Phạm Chí Vĩnh (2015), Các phương pháp tìm phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh và ứng dụng, NXB ĐHQGHN.
Phạm Chí Vĩnh và Lương Thế Thắng (2015) đã nghiên cứu về sóng Stoneley trong các tinh thể xoắn không nén được Công trình này được trình bày trong Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, tổ chức tại Đà Nẵng Nghiên cứu này góp phần làm rõ các đặc điểm của sóng Stoneley trong môi trường tinh thể đặc biệt này.
[3] Achenbach J D (1973),Wave Propagation in Elastic Solids, Else-vier Science Publishers, North-Holland, Amsterdam.
[4] Collet, B and Destrade, M (2004), "Explicit secular equations for piezoacous- tic surface waves: Shear-horizontal modes",J Acoust Soc Am., 116, pp 3432 – 3442.
[5] Currie, P K (1979), "The secular equation for Rayleighwaves on elastic crys- tal", Q J Mech Appl Math., 32, pp 163-173.
[6] Destrade, M (2001), "The explicit secular equation for surface acoustic waves in monoclinic elastic crystals", J Acoust Soc Am., 109, pp 1398-402.
[7] Destrade, M., Martin, P A., Ting, T C T (2002), "The incom-pressible limit in linear anisotropic elasticity, with application to surface waves and elastostatics", J Mech Phys Solids, 50, pp 1453-1468.
[8] Destrade, M.(2003), "Elastic interface acoustic waves in twinned crys- tals",Int.J.Solids and Struct, 40, pp 7375-7383.
[9] Kaufman,A A., Levshin, A L (2005), Acoustic and Elastic Wave Fields inGeophysics III, Elsevier.
[10] Mozhaev, V G., Tokmakova, S P., Weihnacht, M.(1998), "Interface acoustic modes of twisted Si (001) wafers",J.Appl.Phys, 8, pp 3057-3060.
[11] Ogden, R W., Vinh, P C (2004), "On Rayleigh waves in incompressible orthotropic elastic solids" J Acoust Soc Am., 115, pp 530- 533.
[12] Stroh, A N (1962), "Steady state problems in anisotropic elastic-ity",Journal of Mathematical Physics, 41, pp 77–103.
[13] Scholte, J G (1949), "On true and pseudo Rayleigh waves", Proc K Ned. Akad Wet A, 52, pp 652–653.
[14] Sotiropolous, D A (1999), "The effect of anisotropy on guided elastic waves in a layered half-space", Mech Mater, 31, pp 215-233.
[15] Stoneley, R (1924) "Elastic waves at the surface of separation of two solids". Proceedings of the Royal Society of London Series A – Mathematical and Phys- ical Sciences, 106, pp 416–428.
[16] Taziev, R M (1989), "Dispersion relation for acoustic waves in an anisotropic elastic half-space", Sov Phys Acous, 35, pp 535- 538.
[17] Ting, T C T (1996), Anissotropic Elasticity: Theory and Applications, Ox- ford University Press, NewYork.
[18] Ting, T C T (2004), "The polarization vector and secular equation for sur- face waves in an anisotropic elastic half-space", The Bruno Boley Symposium Volume Int J Solids Struct, 41, pp 2065-2083.
[19] Vinh, P C., Hue, T T T., Quang, D V., Linh, N T K., Nam, N T (2010),
"Method of first inte-grals and interface, surface waves", Vietnam Journal of Mechanics, 32, pp 107-120.
[20] Vinh, P C (2013), "Scholte-wave velocity formulae", Wave Motion, 50, pp.180–190.