Không gian Hilbert và các vấn đề liên quan
Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào không gian Hilbert thực, sử dụng tích vô hướng h và chuẩn ||.|| Phép chiếu lên tập con U đóng lồi khác rỗng của H được ký hiệu là P_U, và ký hiệu x_n → x biểu thị rằng dãy x_n hội tụ mạnh đến x.
Tích vô hướng trên không gian tuyến tính H được định nghĩa là một ánh xạ từ tích Descartes H × H vào trường số thực R, ký hiệu là h(., ), với các điều kiện sau: (a) h(x, y) = h(y, x) cho mọi x, y thuộc H; (b) h(x+y, z) = h(x, z) + h(y, z) cho mọi x, y, z thuộc H; (c) h(αx, y) = αh(x, y) cho mọi x, y thuộc H và mọi α thuộc R; (d) h(x, x) > 0 nếu x khác 0 và h(x, x) = 0 nếu x = 0.
Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa ta suy ra
Không gian tuyến tính H với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert Định nghĩa này cho thấy rằng với mọi x, y, z thuộc H, ta có thể áp dụng quy tắc cộng tích vô hướng Theo định lý 1.1, bất đẳng thức Schwarz trong không gian tiền Hilbert H khẳng định rằng với mọi x, y thuộc H, luôn tồn tại một bất đẳng thức nhất định.
|hx, yi| 2 ≤ hx, xihy, yi
Chứng minh Với mọi số thực α ta có
0≤ hx−αy, x−αyi = hx, xi −2αhx, yi+α 2 hy, yi
Nên ∆ = |hx, yi|² − hx, xihy, yi ≤ 0, hay |hx, yi|² ≤ hx, xihy, yi Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính Định lý 1.2 cho biết rằng nếu H là một không gian tiền Hilbert, thì H cũng là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định bởi.
Chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng là một khái niệm quan trọng trong không gian H, được biểu diễn bằng hàm số ||x|| = p hx, xi cho mọi x ∈ H Đặc biệt, điều kiện d) cho thấy rằng ||x|| > 0 nếu x khác 0 và ||x|| = 0 khi x bằng 0, khẳng định tính đúng đắn của chuẩn này.
Từ điều kiện a), c) ta suy ra||λx|| = |λ|.||x|| Từ bất đẳng thức Schwarz và cách định nghĩa chuẩn ta có
Từ đó hx+y, x +yi = hx, xi+ 2hx, yi+hy, yi
Định lý suy ra ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| cho không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.3 nêu rõ rằng nếu H là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ theo chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng, thì H được gọi là không gian Hilbert thực.
Ví dụ 1.1 R n là không gian Hilbert thực với tích vô hướng hx, yi n
X k=1 x k y k trong đóx = (x 1 , x 1 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ R n và chuẩn cảm sinh
|x n | 2 < +∞} là không gian Hilbert với tích vô hướng hx, yi ∞
X n=1 x n y n trong đóx = (xn) n∈N , y = (yn) n∈N ∈ l 2 và chuẩn cảm sinh
Tập hợp C [a,b] bao gồm tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong không gian C [a,b], ta xét tích vô hướng giữa hai hàm x(t) và y(t) được định nghĩa bởi tích phân Z b a x(t)y(t)dt, với x(t), y(t) thuộc C [a,b] Không gian này được trang bị một chuẩn nhất định.
|x(t)| 2 dt) 1 2 là không gian tiền Hilbert.
1.1.2 Một số tính chất Định lí 1.3 Giả sử(x n ) n∈N , (y n ) n∈N là hai dãy lần lượt hội tụ mạnh đến x 0 , y 0 trong không gian tiền Hilbert thựcH, khi đó n→∞limhxn, yni = hx0, y0i.
Chứng minh Giả sử lim n→∞x n = x 0 , lim n→∞y n = y 0 trong không gian H Ta sẽ chứng minh cho lim n→∞hx n , y n i = hx 0 , y 0 i trong R Thật vậy, ta có
|hx n , y n i − hx 0 , y 0 i| = |hx n , y n i+hx n , y 0 i − hx n , y 0 i − hx 0 , y 0 i|
Vì dãy(xn)n∈N hội tụ trong H nên tồn tại M > 0sao cho ||x n || ≤ M với mọin ∈ N Khi đó, n→∞limhx n , y n i = hx 0 , y 0 i.
Tích vô hướng được chứng minh là một hàm số liên tục trên không gian H×H, đồng thời là một phiếm hàm song tuyến tính bị chặn và cũng liên tục Đối với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H, chúng ta luôn có đẳng thức hình bình hành.
Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, ta có
||x+y|| 2 = hx+y, x+yi = ||x|| 2 +||y|| 2 + 2hx, yi và
Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơx−y, x−z ta có hệ quả sau
Hệ quả 1.1 ChoH là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius
Nhận xét 1.3 (Ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành)
1) Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: tổng bình phương các cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo.
Để đưa tích vô hướng vào một không gian định chuẩn, không gian đó cần phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành Ngược lại, nếu H là một không gian định chuẩn và đẳng thức hình bình hành được thỏa mãn cho mọi phần tử thuộc H, thì điều này cũng có ý nghĩa quan trọng trong cấu trúc của không gian.
Trong không gian định chuẩn (H, ||.||) trên R, tồn tại một tích vô hướng h được xác định bởi tích vô hướng Theo định lý 1.5, nếu đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H, thì ta có thể đặt hx, yi = p(x, y) = 1.
4(||x+ y|| 2 − ||x−y|| 2 ) (1.3) thìh., i là một tích vô hướng trênH và ta cóhx, xi = ||x|| 2
Chúng ta chứng minh rằng hàm h., i xác định như trên thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa về tích vô hướng Các điều kiện a) - d) hiển nhiên được thỏa mãn Lưu ý rằng hàm h., i: H×H −→ R là một hàm liên tục, với p(x,0) = 0 và p(−x, y) = −p(x, y) cho mọi x, y thuộc H.
Trong đẳng thức trên lấy y = 0 được p(x, z) = 2p( x 2 , z) Như vậy ta có
2 , z) =p(x+y, z).Nghĩa làp(x, z) +p(y, z) = p(x+y, z).Vậy điều kiện b) được chứng minh Thay thếxbằng2xta được
Bằng quy nạp ta kiểm tra được p(nx, z) =np(x, z), ∀n∈ N và bằng lập luận như trên ta có p(rx, z) = rp(x, z), ∀r ∈ Q và x, z ∈ H.
Nhờ tính liên tục của chuẩn||.||suy ra hàm p(., z)liên tục, qua giới hạn ta có p(ax, z) =ap(x, z), ∀x, z ∈ H và a ∈ R.
Vậyp(x, y) là một tích vô hướng trên không gian Hilbert H, trong đó hx, xi = p(x, x) = ||x||^2 Định lý 1.6 khẳng định rằng với mọi không gian tiền Hilbert H, luôn tồn tại một không gian Hilbert H1 chứa H, sao cho H là không gian con trù mật trong H1.
Chứng minh rằng bằng cách sử dụng phép bổ sung đầy đủ của một không gian định chuẩn, ta có thể xây dựng một không gian định chuẩn đầy đủ H1 chứa H, trong đó H là không gian định chuẩn trù mật trong H1 Đối với mọi x, y thuộc H1, tồn tại các dãy (xn)n và (yn)n trong H sao cho giới hạn khi n tiến tới vô cực của xn là x và giới hạn khi n tiến tới vô cực của yn là y trong H1 Theo đẳng thức hình bình hành, ta có
Chon−→ ∞, do tính liên tục của hàm chuẩn ta suy ra
Theo định lý, tồn tại một tích vô hướng trong không gian H1 cảm sinh ra chuẩn của H1, và khi n tiến tới vô cùng, giới hạn của tích vô hướng sẽ bằng tích vô hướng trong H1 Định lý này đã được chứng minh.
Không gian Hilbert có những đặc điểm khác biệt so với không gian định chuẩn, đặc biệt là khái niệm tích vô hướng, bao gồm các yếu tố như tính trực giao, trực chuẩn và góc giữa các vectơ Bài viết này sẽ nhắc lại định nghĩa và tính chất của những khái niệm này, kèm theo một số ví dụ minh họa Định nghĩa 1.4: Cho H là không gian tiền Hilbert thực.
1) Hai phần tửx, y ∈ H được gọi là trực giao với nhau nếuhx, yi = 0 và được kí hiệu làx⊥y.
2) Hệ S ⊂ H được gọi là hệ trực giao nếu các phần tử của S trực giao với nhau từng đôi một, tức là∀x, y ∈ S, x 6= y ta có hx, yi = 0.
3) Hệ E = {e 1 , e2, ,} ⊂ H được gọi là hệ trực chuẩn nếuE là hệ trực giao và ||ej|| = 1 ∀e i ∈ E Một cách tương đương, hệ E được gọi là hệ trực chuẩn nếu he i , e j i = δ ij
4) Phần tửx ∈ H được gọi là trực giao với M ⊂ H nếu ∀y ∈ M ta có hx, yi = 0và được kí hiệu là x⊥M.
5) Phần bù trực giao củaM ⊂ H được kí hiệuM ⊥ là tập hợp
M ⊥ = {x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ M}. Định lí 1.7 Cho M là một không gian con đóng của không gian Hilbert
H Khi đó mọi phần tửx ∈ H đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = y +z, y ∈ M, z ∈ M ⊥ trong đóy thỏa mãn
Nhận xét 1.4 Từ định lý này ta có thể viết
H = M ⊕M ⊥ vày được gọi là hình chiếu trực giao của xlên không gian con M. Định nghĩa 1.5 Dãy(xn) n∈N ∈ H được gọi là
(i) Hội tụ mạnh đếnx0 ∈ H nếu nó hội tụ theo chuẩn, nghĩa là n−→∞lim ||x n −x0|| = 0, kí hiệux n −→x 0 hay lim n−→∞x n = x 0 (ii) Hội tụ yếu đến x ∈ H nếu∀y ∈ H ta có n→∞limhx n , yi = hx, yi.
Ký hiệu là{x n } −→ w xhoặc{x n } * x,khin −→ ∞.
Chú ý 1.1 Nếu dãy {x n } hội tụ mạnh về x thì nó cũng hội tụ yếu về x,nhưng điều ngược lại không đúng.
Một số vấn đề về giải tích lồi
Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân,
1.2.1 Tập lồi, bao lồi và nón lồi
Giả sửX là không gian tuyến tính,Rlà tập số thực. Định nghĩa 1.6 TậpA ⊂ X, ∀x, y ∈ A, ta có
1) Ađược gọi là lồi⇔ λx+ (1−λ)y ∈ A, với mọi λ ∈ [0,1].
3) Giao của tất cả các tập lồi chứaAđược gọi là bao lồi củaAvà ký hiệu làcoA.
Ví dụ 1.4 choA = {(x, y) ∈ R|y ≥ x 2 } Dễ thấyAlà tập lồi.
Cho tậpA ⊂ X, khi đó, ta có nhận xét sau:
1) coAlà tập lồi nhỏ nhất chứa A.
2) TậpAlà lồi nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ Asuy ra[x 1 , x 2 ] ⊂ A.
3) Alà tập lồi khi và chỉ khiA ≡ coA.
P n=1 λ i = 1; λ i > 0∀i = 1,2, , m}. Định nghĩa 1.7 Cho tậpA ⊂X khi đó, i) Giao tất cả các tập con đóng của X chứaA được gọi là bao đóng của
Avà ký hiệu là A. ii) Giao tất cả các tập con lồi đóng củaX chứaAđược gọi là bao lồi đóng củaAvà ký hiệu là coA.
Nhận xét 1.5 Ta có coA là tập lồi đóng và là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa
Chú ý 1.2 Bao lồi đóng của tập A trùng với bao lồi của A tức là ta có co A = coA. Định nghĩa 1.8 Cho tậpK ⊂ X ta có các định nghĩa
1) Tập K được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu với mọi x ∈ K và mọi λ > 0suy ra λx ∈ K.
2) TậpK ⊂X được gọi là nón có đỉnh tạix 0 nếu K −x 0 là nón có đỉnh tại0.
NónK có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi, tức là với mọi x, y ∈ K và mọi λ, à > 0, thì λx + ày ∈ K Theo Định lý 1.8, tập K ⊂ X là nón lồi có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ K và mọi λ > 0, ta có x + y ∈ K và λx ∈ K Định nghĩa 1.9 đề cập đến tập A ⊂ R^n.
1) Ađược gọi là tập affine nếu:
2) Giao của tất cả các tập affine chứaA⊂ R n được gọi là bao affine của
Avà ký hiệu là affA.Nghĩa là affA := { m
1.2.2 Hàm lồi và dưới vi phân Định nghĩa 1.10 Giả sử X là không gian lồi địa phương, D ⊂ X và f : D −→ R∪ {−∞,+∞} Ta có các định nghĩa:
1) Trên đồ thị (epigraph) của hàmf, ký hiệu là epif và epif = {(x, r) ∈ D ×R : f(x) ≤r}.
2) Hàm f được gọi là hàm lồi nếu epif là tập lồi trong X ×R Hàm f được gọi là hàm lõm nếu−f là hàm lồi.
3) Miền hữu dụng (miền xác định) của hàmf ký hiệu làdomf và: domf = {x ∈ D : f(x) < +∞}.
4) Hàm f xác định trên X được gọi là thuần nhất dương (positively ho- mogeneous), nếu với mọi x ∈ X và với mọiλ ∈ (0,+∞) ta đều có: f(λx) =λf(x).
Hàm f(x) = |x| là một ví dụ điển hình của hàm lồi Theo Định lý 1.9, một hàm f: D → (−∞,+∞] được coi là lồi trên tập lồi D nếu thỏa mãn bất đẳng thức f(λx + (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y) với mọi λ ∈ [0,1] và mọi x, y ∈ D Định nghĩa 1.11 chỉ ra rằng hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu nó đáp ứng hai điều kiện: thứ nhất, miền xác định của f không rỗng (dom f ≠ 0); thứ hai, giá trị của f(x) lớn hơn −∞ với mọi x ∈ D.
Hàm thuần nhất dương f: X → (−∞,+∞] được coi là lồi nếu với mọi x, y ∈ X, ta có f(x+y) ≤ f(x) + f(y) Định nghĩa hàm lồi cho phiếm hàm (vectơ) x ∗ ∈ X ∗ được gọi là dưới gradient của f tại x¯ nếu điều kiện f(x)−f(¯x) ≥ hx ∗ , x−x¯i được thỏa mãn với mọi x ∈ X.
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x¯được gọi là dưới vi phân của f tại ¯ x Ký hiệu là:∂f(¯x) Như vậy:
∂f(¯x) ={x ∗ ∈ X :f(x)−f(¯x) ≥ hx ∗ , x−xi¯ với mọix ∈ X}. Hàmf được gọi là khả dưới vi phân tạix¯nếu ∂f(¯x) 6= ∅.
Ví dụ 1.6 Cho C là tập lồi khác rỗng của H Xét hàm chỉ của tập C có dạng δ C (x) :
Khi đó dưới vi phân của δC(x) tại x0 ∈ C là nón pháp tuyến ngoài của C tạix0 Thật vậy, khix0 ∈ C thì
Với x /∈ C thì δC(x) = +∞nên bất đẳng thứchx ∗ , x−x0i ≤ δC(x) luôn đúng Do đó
Ví dụ 1.7 Chof : H −→ Rlà hàm lồi thuần nhất dương, (tức là f lồi và f(λx) =λf(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ H.) Khi đó
Thật vậy, nếuz ∈ ∂f(x) thì hz, x−xi ≤ f(x)−f(x), ∀x ∈ C.
Thayx = 2x, ta có hz, xi ≤ f(2x)−f(x) =f(x).
Còn nếu thay x = 0, ta có
Từ kết quả trên suy ra hz, xi = −f(x).
Hơn nữa, hz, x−xi = hz, xi − hz, xi = hz, xi −f(x).
Suy ra, hz, x−xi = hz, xi − hz, xi ≤ f(x)−f(x), ∀x ∈ C.
Nhận xét 1.6 Nếu f là hàm lồi thuần nhất dương thỏa mãn f(−x) = f(x) ≥0, ∀x ∈ C, thì hz, xi ≤ f(x), ∀x ∈ C
Nếu hàm lồi \( f \) khả vi Gâteaux, thì nó khả dưới vi phân, và ngược lại, nếu hàm lồi \( f \) khả dưới vi phân tại điểm \( x_0 \) chỉ gồm một điểm, thì \( f \) khả vi Gâteaux và đạo hàm Gâteaux tại \( x_0 \) trùng với dưới vi phân tại đó Một số tính chất đơn giản của dưới vi phân được đề cập như sau: Định lý 1.10 khẳng định rằng \( f \) là hàm lồi chính thường trên \( X \), \( x \) thuộc \( \text{dom} f \) thì \( x^* \) thuộc \( \partial f(\bar{x}) \) khi và chỉ khi \( 0 \leq (\bar{x}, d) \geq h_{x^*}, d \) với mọi \( d \in X \) Định lý 1.11 (Moreau - Rockafellar) chỉ ra rằng, với mọi \( x \in X \), nếu \( f_1, \ldots, f_m \) là hàm lồi chính thường trên \( X \), thì các điều kiện nhất định luôn được thỏa mãn.
Hơn nữa, nếu tại điểm x ∈ m
\ i=1 domfi, tất cả các hàmf 1 , , f m liên tục (có thể trừ ra một hàm), thì:
Với f : H → R ∪ {∞}, kí hiệu tập các điểm cực tiểu của hàm f trên
C ⊂ H làarg min x∈C f(x) và được xác định bởi arg min x∈C f(x)
{x ∈ C :f(x) = inf x∈Cf(x)} nếu inf x∈Cf(x) ∈ ∞,/
Nếu \( \inf x \in C f(x) = \infty \), theo Định lý 1.12, cho tập lồi \( C \) không rỗng và hàm lồi \( f: C \to \mathbb{R} \) khả vi dưới, thì điểm \( y \) là nghiệm của bài toán tối thiểu hóa \( \min f(x) \) với \( x \in C \) khi và chỉ khi \( 0 \in \partial f(y) + N_C(y) \).
1.2.3 Phép chiếu mêtric trong không gian Hilbert
Mệnh đề 1.2 Cho C là tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H Khi đó với mọix ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử P C x ∈ C sao cho||x−P C x|| ≤ inf u∈C||xưu||.
Chứng minh Thật vậy, đặtd = inf u∈C||xưu||suy ra tồn tại {u n } ⊂ C sao cho||xưu n || ư→d, n ư→ ∞ Từ đó ta có:
Như vậy :||u n −u m || −→ 0khin−→ ∞ Vậy {u n }là dãy Cauchy trongH nên tồn tạiu = lim n→∞u n ∈ C Từ tính liên tục của chuẩn suy ra||xưu|| = d. Giả sử tồn tạiv ∈ C sao cho||x−v|| = d Suy ra:
Chú ý 1.4 Phần tử PCx ∈ C là hình chiếu của x lên C khi và chỉ khi hy −P C x, x −P C xi ≤ 0với mọiy ∈ C.
Thật vậy, giả sử kx−P C xk= inf u∈Ckxưuk Với α ∈ [0,1], ta đặt y α = αy + (1−α)P C x.
Vì C lồi nên yα ∈ C và do đó ||x −PCx|| ≤ ||y α −x|| Điều này tương đương với
Vậy2hy −PCx, x−PCxi ≤ α||y −PCx|| 2 −→ 0khiα −→ 0 +
Ví dụ 1.8 TậpC = {x ∈ H :hx, ui = y},u 6= 0 Khi đó
Mệnh đề 1.3 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H Với mọi x, y ∈ H ta đều cóPy+Cx = y +PC(x−y).
Chứng minh Rõ ràngy+P C (x−y) ∈ y+C Đặt: z ∗ = P C (x−y) Khi đó với mọiz ∈ C, từ Chú ý 1.4 ta có: h(y +z)−(y +z ∗ ), x−(y +z ∗ )i = hz−z ∗ ,(x−y)−z ∗ i ≤ 0.Suy raPy+Cx = y +PC(x−y).Vậy ta có điều cần chứng minh
Mệnh đề 1.4 ChoC là tập con lồi đóng khác rỗng của H Khi đó với mọi λ >0ta đều có
Chứng minh Với mọi y ∈ C ta có: hy−P C x, P C x+λ(x−P C x)−P C xi = λhy−P C x, x−P C xi ≤ 0, ∀y ∈ C.
Toán tử đơn điệu, nghiệm của phương trình toán tử đơn điệu và của bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 19
tử đơn điệu và của bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
Toán tử đơn điệu là một công cụ quan trọng trong nghiên cứu ánh xạ nghiệm và giải tích biến phân trong toán học Bài viết này sẽ giới thiệu các khái niệm và tính chất của toán tử đơn điệu, bao gồm cả toán tử đơn điệu cực đại và tổng của các toán tử đơn điệu cực đại.
1.3.1 Toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.13 Cho hai không gian véctơ bất kỳ X và Y Một ánh xạ
A: X −→ Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu: a) A(x1 +x2) = Ax1 +Ax2 với mọix1, x2 ∈ X. b) A(αx) = αAx với mọix ∈ X và với mọi số thực α.
Chú ý 1.5 (i) Ở đây ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong ánh xạ A.
(ii) Qua điều kiện của định nghĩa ta có điều kiện tương đương:
Nếu Y = X, thì A được coi là một toán tử trong X Định nghĩa 1.14 cho biết rằng nếu X, Y là các tập con của H và A : X −→ 2 Y (với 2 Y là tập hợp tất cả các tập con của Y), thì A là ánh xạ đa trị từ X vào Y Điều này có nghĩa là với mỗi x ∈ X, A(x) là một tập con của Y, có thể là rỗng Nếu A(x) chỉ chứa một phần tử cho mỗi x ∈ X, thì A được gọi là ánh xạ đơn trị.
X vàoY, và kí hiệuA : X −→ Y. Định nghĩa 1.15 Toán tửAđược gọi là
(i) Nửa liên tục trên tại x ∈ domA nếu với mọi tập mởV ⊃ A(x), tồn tại lân cận mởU của x sao cho
(ii) Nửa liên tục dưới tại x ∈ domA nếu với mọi tập mở V ⊂ H thỏa mãnA(x)∩V /∈ ∅tồn tại lân cận mở U củax sao cho
(iii) Toán tử Ađược gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên H nếuAnửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc H.
(iv) Ađược gọi là liên tục tại x ∈ domA nếuA đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tạix.
(v) NếuA liên tục tại mọi điểm thuộcH thìA được gọi là liên tục trên
Ví dụ 1.9 Cho toán tửA : R−→ 2 R xác định bởi
Hàm A là nửa liên tục trên mọi điểm x khác 0, nhưng không liên tục tại x = 0 Cụ thể, A duy trì tính nửa liên tục trên khoảng mở (a, b) bao gồm đoạn [-1, 1], và tồn tại một lân cận của 0, chẳng hạn như (-1, 1).
Do đóA(x) ⊆ (a, b) với mọi x ∈ (−1,1) Nghĩa là A(x) liên tục trên tại x = 0 Vậy A(x) nửa liên tục trên tại x = 0 Như vậy A(x) nửa liên tục trên trênR.
Ví dụ 1.10 Cho toán tửF : R−→ 2 R xác định bởi
Tại x = 0, F là nửa liên tục dưới nhưng không phải nửa liên tục trên Cụ thể, với mọi tập mở (a, b) sao cho (a, b)∩ F(0) = {0} không rỗng, tồn tại một lân cận của 0, ví dụ U = (−1, 1).
Lấy một lân cận mở của F(0) là V = (−1
2), khi đó không tồn tại lân cận mởU của0sao cho
Trong không gian Banach H, một toán tử A: H → 2^H được gọi là đơn điệu nếu với mọi cặp (x, u) và (y, v) thuộc đồ thị của A, điều kiện hx - y, u - vi ≥ 0 luôn được thỏa mãn Điều này có nghĩa là đối với mọi x, y trong miền xác định của A, và mọi u thuộc A(x), v thuộc A(y), sự khác biệt giữa các điểm và các giá trị tương ứng luôn không âm.
Ví dụ 1.11 Chof : H −→ R∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường Ánh xạ dưới vi phân∂f : H −→2 H củaf là toán tử đơn điệu trên dom∂f.
Thật vậy, với mọix, y ∈ dom(∂f), u ∈ ∂f(x), v ∈ ∂f(y)ta có u ∈ ∂f(x) ⇔ hu, y −xi ≤ f(y)−f(x), ∀y ∈ H v ∈ ∂f(x) ⇔ hv, x−yi ≤ f(x)−f(y), ∀y ∈ H Vậy ta có hv, x−yi − hu, x−yi ≤ 0
Cũng có nghĩa là hx−y, u−vi ≥ 0.
Toán tử đơn điệu là một khái niệm quan trọng trong toán học Một toán tử đơn điệu A: H −→ 2^H được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị của nó, được ký hiệu là gra(A) = {(u, x) : x ∈ domA, u ∈ A(x)}, không nằm trong đồ thị của bất kỳ toán tử đơn điệu nào khác trên không gian H.
Ví dụ 1.12 Cho f : E −→ R là một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới Khi đó, toán tử dưới vi phân
∂f(x) = {x ∗ ∈ E ∗ : f(y)−f(x) ≥ hy −x, x ∗ i, ∀y ∈ E} là một toán tử đơn điệu cực đại.
Ví dụ 1.13 Xét T : R−→ 2 R xác định như sau :
−x 2 nếu x < 0. là toán tử đơn điệu cực đại.
Thật vậy, với mọi M(x, y) ∈/ gra(T) ta luôn tìm được ít nhất điểm
M0(x0, y0) ∈ gra(T) sao cho góc giữa −−→
OM0 là góc tù Nghĩa là h(x, y),(x 0 , y 0 )i = −−→
VậyT là toán tử đơn điệu cực đại. Định lí 1.13 (Định lý Minty) Cho A là một toán tử đơn điệu từ H đến
2 H Khi đóAđược gọi là đơn điệu cực đại khi và chỉ khiran(Id+λA) =H với mọi λ > 0, ở đây ran(Id+ λA) là miền ảnh của toán tử Id+λA và
Idlà toán tử đồng nhất trênH.
1.3.2 Nghiệm của phương trình toán tử đơn điệu và của bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
Cho H là không gian Hilbert thực, toán tử A : H −→ 2 H là đơn điệu cực đại, khi đó bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại được phát biểu như sau
Khi toán tử A là đơn trị, bài toán trở thành giải phương trình A(z) = 0 Ngược lại, nếu A là đa trị, chúng ta cần tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A Mặc dù hình thức bài toán có vẻ đơn giản, nhưng nó lại chứa đựng nhiều lớp bài toán quan trọng khác từ các lĩnh vực khác nhau, như bài toán cực tiểu hàm lồi, bất đẳng thức biến phân, bài toán bù và bài toán điểm bất động Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày hai trường hợp điển hình nhất của bài toán liên quan đến thức đơn điệu cực đại.
Bài toán cực tiểu hàm lồi liên quan đến việc xác định điểm z ∈ H sao cho 0 ∈ A(z), trong đó A là dưới vi phân của một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới Khi A = ∂f, A trở thành toán tử đơn điệu cực đại, từ đó dẫn đến việc giải quyết bài toán tối ưu trong không gian H.
Tìm z ∈ H sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) trong H là f(z) và 0 ∈ A(z) được gọi là bài toán cực tiểu hàm lồi Điều này xảy ra khi và chỉ khi 0 ∈ A(z), tương ứng với điều kiện 0 ∈ ∂f(z), theo định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi h0, u−zi ≤ f(u)−f(z) cho mọi u ∈ H.
Như vậy việc tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đạiA = ∂f tương đương với việc tìm cực tiểu của hàm lồi và nửa liên tục dướif.
1.3.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H,
T 0 : C −→ H là một toán tử đơn điệu đơn trị và bán liên tục vàN C (z) là nón pháp tuyến ngoài củaC tạiz ∈ C, đặt
Khi đóT là toán tử đơn điệu cực đại và bài toán tìm không điểm của toán tửT quy về bài toán
Tìm z ∈ C sao cho hT 0 (z), u−zi ≥ 0 với mọi u ∈ C được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu trong không gian Hilbert Điều này có nghĩa là 0 ∈ T(z) khi và chỉ khi
Theo định nghĩa nón pháp tuyến ngoài của tậpC tạiz ∈ C ta có hT 0 (z), u−zi ≥ 0, ∀u ∈ C.
Như vậy bài toán tìm z ∈ C sao cho 0 ∈ T(z) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.4).
Nếu C là một nón thì bài toán trên trở thành bài toán
Tìm z ∈ C sao cho −T0(z) ∈ C 0 và hT 0 (z), zi = 0 chỉ ra rằng z là không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T nếu và chỉ nếu z là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Do đó, việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu có thể được thay thế bằng việc tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T.
Trong Chương 1, chúng tôi đã đề cập đến những vấn đề cơ bản, tạo nền tảng cho nội dung của chương tiếp theo Chương tiếp theo sẽ tập trung vào bài toán xác định giao điểm của hai không gian con đóng và giới thiệu phương pháp Dykstra để tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu.
Phương pháp Dykstra lai ghép cho hai toán tử đơn điệu
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu thuật toán Neumann để tìm giao điểm của hai không gian con đóng, cùng với phương pháp Dykstra lai ghép cho hai toán tử đơn điệu Các kết quả được trình bày dựa trên tài liệu số [5].
Bài toán tìm giao điểm của hai không gian con đóng và thuật toán Neumann
Trước hết chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và kí hiệu hay dùng trong chương này.
Giả sử A là một toán tử từ không gian Hilbert H đến tập hợp con của H, ta có các khái niệm sau: miền xác định của A, ký hiệu là domA, là tập hợp các x thuộc H sao cho Ax khác rỗng; miền ảnh của A, ký hiệu là ranA, bao gồm các u thuộc H tồn tại x trong H sao cho u thuộc Ax; tập 0 điểm của A, ký hiệu là zerA, là tập hợp các x thuộc H sao cho 0 thuộc Ax; và đồ thị của A, ký hiệu là gra(A), là tập hợp các cặp (x, u) thuộc H × H với điều kiện u thuộc Ax Ngoài ra, ánh xạ ngược của A được ký hiệu là A −1, cũng là một toán tử từ H đến 2H, với đồ thị của A −1 là tập hợp các cặp (x, u) thuộc H × H sao cho u thuộc Ax.
Toán tử giải của A là J A = (Id+A) −1 Chúng tôi xây dựng toán tử A ∼ như sau
Giả sử A là một toán tử đơn điệu, nghĩa là với mọi cặp (x, u) và (y, v) thuộc gra(A), điều kiện hx−y, u−vi ≥ 0 được thỏa mãn Khi đó, ánh xạ JA : ran(Id+A) −→ H là ánh xạ đơn trị Toán tử A được gọi là đơn điệu cực đại nếu với mọi (x, u) ∈ H×H, nếu điều kiện trên đúng cho mọi (y, v) ∈ gra(A), thì (x, u) cũng nằm trong gra(A) Định lý Minty khẳng định rằng A là đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu ran(Id+A) = H.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các toán tử đơn điệu JA và JA−1, với công thức JA − 1 = Id−JA và (JA −1) ∼ = Id+A ∼ Cuối cùng, phần trong tương đối của tập con lồi C trong không gian H được định nghĩa là sriC = {x ∈ C| [λ>0 λ(C −x) = span(C −x)} Định nghĩa 2.1 nêu rõ rằng C và D là hai toán tử đơn điệu từ H đến 2H.
C +D được xác định như sau
(C +D)(x) =C(x) +D(x) ={x 1 ∗ +x 2 ∗ :x 1 ∗ ∈ C(x), x 2 ∗ ∈ D(x)}, là toán tử đơn điệu. Định lí 2.1 (Thuật toán của Von Neumann, xem [5] và tài liệu trích dẫn)
Choz ∈ H, cho U và V là các không gian véctơ con đóng củaH, và đặt x0 = z và (∀n∈ N) yn = PVxn và xn+1 = PUyn (2.4)
Kết quả này không áp dụng khi U và V là giao hai tập đóng, lồi Đầu tiên, kết quả đúng với các dãy vô hạn (x n ) n∈N và (y n ) n∈N trong (2.4) khi chúng hội tụ yếu, nhưng có thể không đúng khi hội tụ mạnh Thêm vào đó, có thể đưa ra ví dụ đơn giản cho thấy điểm giới hạn không phải là hình chiếu của z lên U ∩ V Trong trường hợp U và V là các nón lồi, đóng trong không gian Euclid, một cải biên của phép lặp trong (2.4) được diễn đạt qua thuật toán Dykstra như trong (2.5) Kết quả này cũng được mở rộng cho tập đóng lồi (xem [5] và tài liệu trích dẫn) Định lý 2.2 (Thuật toán Dykstra) khẳng định rằng, cho z ∈ H và U, V là các tập con đóng, lồi của H với điều kiện U ∩ V ≠ ∅.
Phương pháp Dykstra tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu
Cho C và D là hai toán tử đơn điệu, cực đại từ H đến 2H Bao hàm thức 0 ∈ Cx + Dx và bao hàm thức đối ngẫu 0 ∈ C −1 u + D ∼ u có thể dễ dàng phân tích cho bài toán phi tuyến với đối ngẫu bao hàm Điều này dẫn đến mệnh đề tương đương: zer(C + D) ≠ ∅ nếu và chỉ nếu zer(C −1 + D ∼) ≠ ∅.
Hiện tượng đối ngẫu được thể hiện rõ trong nghiên cứu tính tiệm cận của tổ hợp hai toán tử giải Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa các phương trình (2.5) và (2.14), trong đó có sự xuất hiện của toán tử xấp xỉ.
Một hàm f : H −→ [−∞; +∞] được coi là hàm chính thường nếu miền xác định của nó domf = {x ∈ H|f(x) < +∞} không rỗng Các hàm thực lồi, chính thường và nửa liên tục dưới yếu từ H vào [−∞; +∞] được ký hiệu là Γ 0 (H) Đối với f thuộc Γ 0 (H), liên hợp của f, ký hiệu là f ∗, cũng thuộc Γ 0 (H) và được định nghĩa bởi f ∗ :u 7→ sup x∈H hx, ui −f(x) Dưới vi phân của f, hàm này trở thành một toán tử đơn điệu cực đại.
Tập hợp các điểm đạt cực tiểu của f là arg minf = zer∂f, bao hình Moreau củaf là hàm lồi liên tục: envf : H −→R : x 7→ inf y∈H+1
2||x−y|| 2 , (2.8) và hàm phản xạ của hàmf làf v : x7→ f(−x).
Với mỗi x ∈ H, hàm y 7→ f(y) + ||x −y|| 2 /2 có điểm cực tiểu duy nhất, được xác định bởiproxfx Còn nếu không thì,proxfx = J∂f.
Mệnh đề 2.1 C và D là hai toán tử đơn điệu cực đại từ H đến 2 H Thì zer(C +Id−J D ) 6= ∅nếu và chỉ nếu J C −1 +D ∼ 0tồn tại, trong trường hợp này ta cózer(C −1 +Id+D ∼ ) = J C −1 +D ∼ 0.
Chứng minh Về bản chất J C −1 +D ∼ 0 là nghiệm duy nhất của bao hàm
0∈ (C −1 +Id+D ∼ )u, nghĩa là, trong zer(C −1 +Id+D ∼ ) tồn tại điểm duy nhất Mặt khác, từ (2.6), áp dụng choC là toán tử đơn điệu, cực đại và
J D −1 , và từ (2.2) ta có zer(C +Id−JD) 6= ∅ ⇔ zer(C −1 + (J D −1 ) ∼ ) 6= ∅
Vậy định lí đã được chứng minh Định lí 2.3 C và D là hai toán tử đơn điệu cực đại từH đến2 H , và cho u 0 ∈ H và(∀n ∈ N) ( v n ) =J D u n và u n+1 = J C v n (2.10)
Khi đó, i) Nếuzer(C +Id−J D ) 6= ∅thì v n −u n −→J C −1 +D ∼ 0 và v n −u n+1 −→ J C −1 +D ∼ 0. ii) Nếuzer(C +Id−J D ) =∅ thì||u n || −→ +∞và||v n || −→ +∞.
Kết quả chính của mục này là định lý về tính tiệm cận của mở rộng từ việc chiếu lên tập lồi đóng của toán tử giải của toán tử đơn điệu cực đại Cụ thể, định lý 2.4 nêu rõ rằng với z ∈ H, A và B là hai toán tử đơn điệu, cực đại từ H đến 2H.
Khi đó, i) Nếuz ∈ ran(Id+A+B) thìxn −→ JA+Bz và yn −→JA+Bz. ii) Nếuz /∈ ran(Id+A+B) thì||p n || −→+∞và||q n || −→+∞.
Chứng minh Từ (2.11) ta có
Mặt khác,(∀n ∈ N) p n + q n = z −x n Theo (2.11), đồng nhất thức này chắc chắn đúng khin= 0 Và, nếup n +q n = z−x n đúng với một vài giá trị củan ∈ N, sau đóp n+1 +q n+1 = x n +p n −y n +y n +q n −x n = z−x n+1
Ta có thể viết lại (2.11) như sau
Bây giờ đặt u 0 = −z và (∀n∈ N) u n = q n −z và v n = −p n+1 (2.15)
(∀n∈ N) v n −u n = −p n+1 −q n +z = y n và vn−un = −p n+1 −qn+1+ z = xn+1.
Tiếp theo, từ (2.15) và (2.14), các dãy(un) n∈N và(vn) n∈N thỏa mãn phương trình
Bây giờ ta định nghĩa hai toán tử cực đại như sau
Hơn nữa,(2.2) cho ta kết quả
Do đó chúng ta viết lại (2.17) như sau
(∀n∈ N)v n = J D u n và u n+1 = J C v n (2.22) Đây chính là quá trình lặp trong (2.10) với điểm đầu tiên u 0 = −z Mặt khác, từ (2.19), với mỗix ∈ H, ta có: x= J A+B z ⇔0 ∈ x+ (−z +Ax+Bx)
Vì vậy, z ∈ ran(Id+A+ B) ⇔z ∈ dom(Id+A+B) −1
Do đó, từ Mệnh đề 2.1 và Định lí 2.3 ta có kết quả sau i) Nếu z ∈ ran(Id+ A+B), theo (2.16) ta có y n = v n −u n −→ J C −1 +D ∼ 0 =J A+B z, và x n+1 = v n −u n+1 −→ J C −1 +D ∼ 0 = J A+B z. ii) Nếu z /∈ ran(Id+ A+B), thì (2.15) tương đương với
Trong Định lí 2.4, nếu bổ sung giả thiết A + B là toán tử đơn điệu cực đại với điều kiện 0 ∈ sri(domA−domB), thì kết luận (ii) không còn đúng, dẫn đến (∀z ∈ H)x n −→ J A+B z và y n −→ J A+B z Từ đó, ta có kết quả trong Định lí 2.5: cho ϕ và ψ là hàm trong Γ 0 (H) với inf(ϕ+envψ)(H) > −∞, nếu chọn u 0 ∈ H và (∀n ∈ N)v n = prox ψ u n, u n+1 = prox ϕ v n, thì i) hàm ϕ ∗ + ψ ∗ + ||.|| 2 /2 có điểm cực tiểu duy nhất w, và vn−un −→ w, vn − un+1 −→ w ii) Nếu arg min ϕ + env ψ = ∅, thì ||u n || −→ +∞ và ||v n || −→ +∞ Cuối cùng, trong Định lí 2.6, với z ∈ H, f và g là hàm trong Γ 0 (H) sao cho dom f ∩ dom g ≠ ∅.
Khi đó, i) x n −→prox f +g z vày n −→ prox f +g z. ii) Nếu argminf ∗ (.+z) +envg ∗ v = ∅thì ||p n || −→+∞ và||q n || −→ +∞.
Chứng minh Đặt A = ∂f, B = ∂g Thì J A = prox f , J B = prox g , và (2.28) là trường hợp đặc biệt của (2.11) Chúng ta đặt như trong (2.15), u0 = −z và (∀n∈ N) un = qn −z và vn = −p n+1 (2.29) Thì ta đạt được như trong (2.16),
(∀n ∈ N) vn −un = yn và vn−un+1 = xn+1 (2.30)
(∀n∈ N) v n = u n +prox g (−u n ) và un+1 = vn −proxf(vn +z).
Bây giờ định nghĩa hai hàm trongΓ 0 (H) như sau: ϕ: H −→ [−∞; +∞] v 7→ f ∗ (v +u)− 1
Do đó với mọix ∈ H, ta có ϕ ∗ (x) +ψ ∗ (x) + 1
Bây giờ, đặtC = ∂ϕvàD = ∂ψ, theo (2.32), ta có
Vì thế, từ (2.20) và (2.21) ta có
(∀v ∈ H) prox ϕ v =v−prox f (v+z) và prox ψ v =v+ prox g (−v).
Mà ta thấy khi đưa (2.31) về sơ đồ lặp (2.26) với bắt đầu bằng khởi động u 0 = −z Mặt khác, từ (2.32) cho ta kết luận: ϕ+envψ = f ∗ (.+z)− 1
Do đó, từ (2.33) và tính đối ngẫu Fenchel ta có
Bây giờ ta có kết luận i) Theo (2.34), điểm đạt cực tiểu ϕ ∗ +ψ ∗v + ||.| | 2 /2là w = proxf +gz.
Theo Định lý 2.6(i) và (2.30), ta có y n = v n − u n −→ prox f + g z và x n+1 = v n − u n+1 −→ prox f + g z Từ (2.37), suy ra arg min f ∗ ( + z) + env g ∗ v = ∅, dẫn đến arg min ϕ + env ψ = ∅ Cuối cùng, theo Định lý 2.5(ii) và (2.29), ta có các kết quả liên quan.
Chú ý 2.3 Định lý 2.6 chính xác hơn Định lý 2.4 khi áp dụng choA = ∂f vàB = ∂g Thực vậy, từ:∂f +∂g ⊂ ∂(f +g), ta có với mọip ∈ H, p= J∂f +∂gz ⇔ z−p∈ ∂f(p) +∂g(p) ⇒z −p ∈ ∂(f +g)(p)
⇔ p= prox f+g z (2.39) Qua Định lý 2.4 , ta có x n −→prox f +g z và y n −→ prox f +g z, (2.40) miễn là z ∈ ran(Id+∂f +∂g) (2.41) Một điều kiện đủ cơ bản cho kết luận này là choz ∈ H có:
(xem [5]), và tài liệu trích dẫn) Mặt khác, trong Định lý 2.6(i), ta đạt được (2.40) cho mỗiz ∈ H với (2.27), nghĩa là,
Từ đó (2.43) là ít hạn chế hơn (2.41).
Phương pháp luân hướng để tính toán \( p = \text{prox}_{f+g} z \) cho bất kỳ \( z \in H \) theo điều kiện (2.42) là thuật toán Douglas–Rachford, được sử dụng để tính toán không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại.
Thật vậy, từ (2.42),pđặc trưng bởi bao hàm
0 ∈ ∂(f +g)(p) = ∂f +∂g +p−z = Cp+Dp, khiC = −z +∂f vàD = Id+∂g là đơn điệu cực đại.
Theo Định lý 2.6(i), nếu U và V là các tập con đóng lồi của H, thì chúng ta có thể áp dụng Định lý 2.2 Khi mở rộng cho U và V là các không gian con đóng, ta sẽ đạt được Định lý 2.1 Từ đó, trong trường hợp này, công thức (2.5) sẽ mang lại kết quả quan trọng.
(∀n∈ N) yn = PV(xn+pn) =PVxn +PVpn = PVxn và x n+1 = P U (y n +q n ) = P U y n +P U q n = P U y n
Bài viết đã trình bày về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert và giải quyết bài toán tìm giao điểm của hai không gian con đóng Ngoài ra, tác giả cũng đã giới thiệu thuật toán của Neumann và phương pháp Dykstra lai ghép cho hai toán tử đơn điệu Đóng góp của tác giả trong luận văn bao gồm việc nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức và làm rõ hơn một số chứng minh liên quan.