Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên trường âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ

Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được chia làm 3 chương

Chương 1: Nghiên cứu về siêu mạng pha tạp và sự biểu diễn của dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng này dưới tác động của phonon giam cầm, đồng thời không có sự hiện diện của sóng điện từ.

Chương 2: Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm khi có mặt sóng điện từ

Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị

Luận văn trình bày kết luận chính ở chương 2 và chương 3, với việc đưa ra biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm khi có sóng điện từ Bên cạnh đó, luận văn cũng thực hiện các phép tính và vẽ đồ thị liên quan Đặc biệt, khi tham số được đặt bằng không, biểu thức giải tích sẽ trở về trường hợp không có sóng điện từ.

SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BIỂU THỨC DÒNG ÂM ĐIỆN

Tổng quan về siêu mạng pha tạp

Bán dẫn siêu mạng là cấu trúc tuần hoàn nhân tạo bao gồm các lớp bán dẫn khác nhau với độ dày nanomet xếp chồng lên nhau Nhờ vào cấu trúc tuần hoàn này, các electron trong bán dẫn siêu mạng không chỉ chịu tác động của thế tuần hoàn của mạng tinh thể mà còn phải chịu một thế tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra, với chu kỳ lớn hơn hằng số mạng rất nhiều Thế phụ này được hình thành từ sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của hai loại bán dẫn trong cấu trúc siêu mạng.

Trong bán dẫn siêu mạng, các lớp có độ dày đủ mỏng cho phép electron xuyên qua các lớp liên tiếp, do đó siêu mạng có thể được xem như một thế tuần hoàn bổ sung cho thế của mạng tinh thể.

Bán dẫn siêu mạng được chia làm 2 loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng hợp phần

Bán dẫn siêu mạng pha tạp (DSL) được cấu tạo từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau, tạo ra các hố thế trong siêu mạng.

Siêu mạng pha tạp là cấu trúc tuần hoàn gồm các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAs: Si) và GaAs loại p (GaAs: Be), được ngăn cách bởi các lớp GaAs không pha tạp, tạo thành tinh thể n-i-p-i Trong siêu mạng này, sự phân bố điện tích đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành thế siêu mạng.

Khi mật độ các chất pha tạp không quá cao và số lượng các tâm acceptor trong lớp n tương ứng với số lượng các tâm donor, thì tất cả các tâm donor trong siêu mạng pha tạp sẽ mang điện tích dương, trong khi tất cả các tâm acceptor sẽ mang điện tích âm.

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha tạp

Hàm sóng của điện tử trong siêu mạng pha tạp có dạng:

Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp

Trong đó n = 1,2,3 : chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z p p   p z : vectơ xung lượng của điện tử (vectơ sóng của điện tử)

S 0 : số chu kỳ siêu mạng d: chu kỳ siêu mạng e: khối lượng của điện tử m * : khối lượng hiệu dụng của điện tử

  : tần số plasma gây bởi các tạp chất donor n D : nồng độ pha tạp

0: hằng số điện p  : Hình chiếu của p trên mặt phẳng (x, y) r : Hình chiếu của r trên mặt phẳng (x, y)

Phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong siêu mạng pha tạp chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, điều này khác biệt so với phổ năng lượng trong bán dẫn khối.

Sự phân bố năng lượng liên tục trong toàn bộ không gian dẫn đến sự khác biệt đáng kể trong các tính chất điện tử của siêu mạng pha tạp Những biến đổi này ảnh hưởng mạnh mẽ đến hành vi và tính chất của các electron trong hệ thống.

Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm khi không có sóng điện từ

1.2.1 Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng pha tạp khi không có sóng điện từ

Hamilton của hệ điện tử trong siêu mạng pha tạp cho thấy vai trò quan trọng của phonon âm giam cầm, đặc biệt khi xem xét tác động của phonon âm ngoài Việc phân tích này giúp hiểu rõ hơn về sự tương tác giữa điện tử và phonon, cũng như ảnh hưởng của sóng điện từ đến hệ thống Nghiên cứu này mở ra hướng đi mới trong việc tối ưu hóa các ứng dụng công nghệ dựa trên vật liệu pha tạp.

H=H e +H ph +He-ph (1.1) Trong đó:

 lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ở trạng thái n p,  ( kiểu hạt fecmi )

Toán tử sinh và hủy phonon âm ở trạng thái k là các yếu tố quan trọng trong nghiên cứu vật lý, đặc biệt là khi xem xét xung lượng của điện tử và phonon âm Trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng pha tạp, các ký hiệu p  và q  đại diện cho xung lượng tương ứng của hai thành phần này.

   là số e trung bình tại thời điểm t

Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:

Biến đổi vế phải của (1.2) có tương ứng bốn số hạng với toán tử Hamilton

Thay ,, , phương trình (1.2) trở thành:

Vế phải của (1.4) chứa bốn số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton H + Số hạng thứ nhất:

Thay các số hạng vào (1.4) ta được phương trình:

Phương trình (1.5) là một phương trình vi phân không thuần nhất, và để giải nó, ta sử dụng phương pháp biến thiên hằng số Đầu tiên, cần xem xét phương trình vi phân thuần nhất tương ứng.

Với điều kiện đoạn nhiệt tương tác

F t , nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:

Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng:

Thay vào phương trình không thuần nhất và giải ra nghiệm của phương trình:

Thay (1.6) vào (1.3) ta đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon, t 2 t ta được phương trình động lượng tử:

Phương trình (1.7) mô tả động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng pha tạp, bao gồm sự tương tác giữa điện tử với phonon âm trong và phonon âm ngoài, trong điều kiện không có sự xuất hiện của sóng điện từ.

Giải (1.7) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, chọn gần đúng ban đầu của 0 , ( ) n p  n t là 0 ,

  n p n n p t n và có giá trị tích phân sau:

Với tích phân K đã tính ta được:

 , giải (1.8) , lấy tích phân chạy từ 0  p ta được:

Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon âm trong siêu mạng pha tạp, chúng ta xem xét tương tác giữa điện tử và phonon âm ngoài khi không có sóng điện từ Bằng cách sử dụng gần đúng lặp, chúng ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp Từ phương trình này, chúng ta có thể tính toán biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp mà không cần đến sóng điện từ.

1.2.2 Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi không có sóng điện từ

Dòng âm điện dọc theo chiều truyền sóng âm có dạng sau:

 ở đây  p  là vận tốc của điện tử cho bởi công thức , 

Tuyến tính hóa phương trình bằng cách thay: n n n , '( )p n F ( )p n 1

Vì hàm điện tử không suy biến '

Xét các số hạng trong biểu thức (1.10):

Khi có tán xạ điện tử - phonon âm trong, ta có:

N m q vào SH1, sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân và tính toán ta được:

Khi có tán xạ điện tử - phonon âm ngoài, ta có:

Thay C k , N k vào SH2, sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân và tính toán ta được:

Như vậy, ta có biểu thức dòng âm điện phi tuyến:

Bằng phương pháp phương trình động lượng tử dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp, đã thu được kết quả dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm mà không có sóng điện từ Khi có sóng điện từ, định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng bị thay đổi do năng lượng của photon, dẫn đến sự thay đổi xác suất tán xạ của các hạt tải trong siêu mạng Cường độ của trường sóng điện từ, như bức xạ laze, làm cho các hiệu ứng động và trường âm điện trở nên phi tuyến theo cường độ sóng điện từ Các chi tiết cụ thể sẽ được tính toán trong chương sau.

BIỂU THỨC DÒNG ÂM ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ

Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng pha tạp

Hamilton của hệ điện tử - phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi kể đến tác dụng của phonon âm ngoài và khi có sóng điện từ:

 lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ở trạng thái n p,  ( kiểu hạt fecmi )

Toán tử sinh và hủy phonon âm ở trạng thái k (kiểu hạt boson) được ký hiệu lần lượt là p ⊥ và q ⊥, trong đó p ⊥ và q ⊥ đại diện cho xung lượng của điện tử và phonon âm trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng pha tạp.

   c  là hàm năng lượng theo biến e ( ) p A t c

 là thế vecto của trường điện từ

 m  là tần số của phonon âm

I q : thừa số dạng của điện tử trong siêu mạng

: Hằng số tương tác điện tử - phonon âm

 là Hamilton tương tác giữa các điện tử khi có mặt sóng điện từ

  là Hamilton tương tác giữa các phonon âm

 là Hamilton tương tác giữa điện tử - phonon âm ngoài

 là Hamilton tương tác giữa điện tử - phonon âm trong

   là số e trung bình tại thời điểm t Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:

Biến đổi vế phải của (2.2) có tương ứng bốn số hạng với toán tử Hamilton

Thay ,,, phương trình (2.2) trở thành:

Vế phải của (2.4) chứa bốn số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton H + Số hạng thứ nhất:

Thay các số hạng vào (2.4) ta được phương trình:

Phương trình (2.5) là phương trình vi phân không thuần nhất được giải bằng phương pháp biến thiên hằng số Trước hết, xét phương trình vi phân thuần nhất:

Với điều kiện đoạn nhiệt tương tác

F t , nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:

Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng:

Lấy tích phân 2 vế và kết hợp điều kiện ta có

M t i dt C U k a a b b a a b b i t i p p dt ie p p A t dt mc dt C

F t i dt C U k a a b b a a b b i t i p p dt ie p p A t dt mc

( ) exp ( t t t t n n m q t m m q n n n p q n p m q m q n p n p m q m q n i p p dt e p p A t dt mc dt C I a a b b a a b b i

) ( ) ( ) exp ( ) ( ) ( ) (2.6) t t n m q t t n n m q p p dt ie p p A t dt mc i p p dt e p p A t dt mc

1 1 1 1 1 1 2 1 1 exp ( ) exp ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) ( ) t t t t t t t t t t i dt i y t dt i dt i y t dt i dt dt i y t dt y t dt i t t i y t dt

F t iC U k dt a a b b a a b b i t i p p t t ie p p A t dt mc

( ) exp ( ) ( ) ( ) ( ) t t m m q n n n p q n p m q m q n p n p m q m q t n n m q iC I dt a a b b a a b b i p p t t ie p p A t dt

Thay vào (2.3) ta đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon, t 2 t ta được phương trình động lượng tử:

 t q t n p m q n p q n p q n p q n p m q n p q n p q n p q t t ie q A t dt mc n n N i t t ie q A t dt mc n n N i t t

 t t k n n n k t k n p q k n p n p k n p k k n p n p n p q n ie q A t dt mc i C U dt n n N i t t ie q A t dt mc n n N i

Xét thế véc tơ A t( )của trường điện từ

) ( ) exp( ) sin exp( iz J z i ta có:

    exp ( ) exp 1 sin sin exp( ')exp( )

           t ieE q eE q eE q ie q A t dt o t t J o J o is t il t l s mc t m l s m m

Phương trình (2.8) mô tả động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng pha tạp, đồng thời xem xét tương tác giữa điện tử với phonon âm trong và phonon âm ngoài dưới tác động của sóng điện từ.

Giải (2.8) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, chọn gần đúng ban đầu của 0 , ( ) n p  n t là 0 ,

  n p n n p t n và có giá trị tích phân sau:

   Đặt s-l = k, với các tích phân đã tính ta được:

Giải (2.9), lấy tích phân chạy từ 0 p ta được:

Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon âm trong siêu mạng pha tạp, chúng ta xem xét tương tác giữa điện tử và phonon âm ngoài, cùng với sự ảnh hưởng của sóng điện từ Bằng cách áp dụng gần đúng lặp, chúng tôi xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp Từ phương trình này, chúng tôi có thể tính toán biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi có sóng điện từ.

Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ

Dòng âm điện dọc theo chiều truyền sóng âm có dạng sau:

Thế véctơ của trường điện từ là: A t ( )  E c  0 c os    t

Nồng độ hạt tải trong siêu mạng là: 0 ,

Thay biểu thức thế véc tơ, nồng độ hạt tải vào biểu thức tính mật độ dòng ta được :

  (2.12) Xét số hạng thứ hai của (2.12) và thay biểu thức của hàm phân bố (2.10) vào có:

Tuyến tính hóa phương trình bằng cách thay: n n n , '( )p n F ( )p n 1

Vì hàm điện tử không suy biến '

Xét các số hạng trong biểu thức (2.14)

SH e i C I J aq J aq ik t N m k p n n dp q q m e i C I m

J aq J aq ik t N q k n p p n m dp k T  k T  mk T  mL k T 

SH e i C I J aq J aq ik t N q m k p n p n m dp k T k T mk T mL k T p q p n n m m

SH e i C I J aq J aq ik t N q m k n p p n m dp k T k T mk T mL k T p q q n n m m

Thay vào số hạng 1, ta có

SH C I J aq J aq k T k T mL k T k m p ik t N q p q mk T q m p n n q

(2.15) Tính toán tương tự SH1 ta thu được SH2

2 2 p F m n l s m q n n l s p q m q n e E j t c t SH SH m e i n n e E B c t C I J aq J aq m k T k T mR k

31 Áp dụng công thức: exp(-ik t)= os(k t)- sin(k  c  i  t) và k   k l   2 k 2 ( )

 , đồng thời áp dụng khai triển trong gần đúng của hàm Bessel J aq k 2 (  ):

Khi có tán xạ điện tử - phonon âm trong, ta có:

Trong đó: V: Thể tích chuẩn hóa

: Hằng số điện biến dạng

: Mật độ tinh thể v s : Vận tốc truyền âm

Chuyển tổng thành tích phân

Chuyển tổng thành tích phân

Khi có tán xạ điện tử - phonon âm ngoài, ta có:

N k vào J 2 , sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân và tính toán ta được:

Chuyển tổng thành tích phân

Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích biểu thức giải tích cho dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp Biểu thức này được thiết lập dựa trên các phương trình từ các tham số (2.23), (2.27), (2.31), (2.32) và (2.28), đồng thời xem xét ảnh hưởng của phonon giam cầm khi có mặt sóng điện từ.

Bằng phương pháp phương trình động lượng tử dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm khi có sóng điện từ, chúng tôi đã thu được những kết quả quan trọng Dòng âm điện phi tuyến phụ thuộc không tuyến tính vào nhiệt độ, tần số sóng âm, cường độ và tần số sóng điện từ, cũng như các tham số đặc trưng của siêu mạng pha tạp như nồng độ pha tạp Sự phụ thuộc này khác biệt so với trường hợp không có sóng điện từ, khi bổ sung thêm yếu tố cường độ và tần số sóng điện từ, với số hạng tỉ lệ với E0^2 Khi E0 tiến tới 0, số hạng này mất đi, dẫn đến kết quả tương tự như trường hợp không có sóng điện từ Hơn nữa, dòng âm điện phi tuyến còn phụ thuộc vào chỉ số giam cầm của phonon âm giam cầm m; khi chỉ số này tiến tới 0, kết quả cũng trở về trường hợp không có phonon âm giam cầm Để làm rõ hơn sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào các yếu tố như tần số sóng âm, nhiệt độ, cường độ sóng điện từ và nồng độ pha tạp, biểu thức dòng âm điện sẽ được vẽ đồ thị và thảo luận chi tiết trong chương 3.

TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN

Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào tần số sóng âm

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào tần số sóng âm

Hình 3.1 minh họa mối quan hệ giữa dòng âm điện phi tuyến và tần số sóng âm ngoài, với các giá trị cường độ sóng điện từ và tham số đặc trưng cho sự giam cầm khác nhau.

Dòng âm điện phi tuyến phụ thuộc vào tần số sóng âm ngoài và cường độ sóng điện từ, với các giá trị đặc trưng cho sự giam cầm m = 3 Khi E0 = 0, đường liền đỏ thể hiện sự giảm của dòng âm điện khi có sóng điện từ, trong khi E0 ≠ 0 được biểu diễn bằng đường liền xanh dương Quan sát đồ thị cho thấy sự phụ thuộc không tuyến tính của dòng âm điện vào tần số sóng âm ngoài, với sự giảm rõ rệt khi sóng điện từ xuất hiện.

Với m=3, E 0 =0 tương ứng với trường hợp có sóng điện từ thì dòng âm điện tương ứng vào cỡ 5,5.10 -7

Với m=3, E 0 0 tương ứng với trường hợp có sóng điện từ thì dòng âm điện tương ứng vào cỡ 4,49.10 -7

Dòng âm điện sẽ giảm khoảng 18% khi có sự hiện diện của sóng điện từ so với trường hợp không có sóng điện từ, và sự giảm này phụ thuộc vào tần số của sóng âm.

- Sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số sóng âm ngoài tại những giá trị

Có 46 tham số khác nhau đặc trưng cho sự giam cầm, với E 0 khác 0 và các giá trị m khác nhau: m=0 (đường đứt xanh dương), m=1 (đường liền xanh lá), m=3 (đường liền đỏ) Quan sát đồ thị cho thấy, khi thay đổi các giá trị tham số, độ cao của các đỉnh sẽ thay đổi, trong khi vị trí của chúng vẫn giữ nguyên.

Với m = 0 tương ứng với trường hợp không có sự giam cầm phonon thì độ cao đỉnh là thấp nhất và dòng âm điện khoảng 2,2.10 -7

Với m = 1 tương ứng với trường hợp có sự giam cầm phonon thì độ cao đỉnh là thấp nhất và dòng âm điện khoảng 3,58.10 -7

Dòng âm điện sẽ tăng khoảng 38% khi có ảnh hưởng của phonon giam cầm so với trường hợp không có phonon giam cầm, và sự thay đổi này phụ thuộc vào tần số sóng âm.

Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nồng độ pha tạp

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nồng độ pha tạp

Hình 3.2 minh họa mối quan hệ giữa dòng âm điện phi tuyến và nồng độ pha tạp, thể hiện sự phụ thuộc vào cường độ sóng điện từ và các giá trị khác nhau của tham số đặc trưng cho sự giam cầm.

Dòng âm điện phi tuyến phụ thuộc vào nồng độ pha tạp tại các cường độ sóng điện từ khác nhau, với các tham số đặc trưng cho sự giam cầm m = 3, E0 = 0 (đường liền đỏ) và E0 ≠ 0 (đường liền xanh dương) Đồ thị cho thấy dòng âm điện phụ thuộc vào tần số sóng âm ngoài không tuyến tính trong cả hai trường hợp có và không có sóng điện từ Đặc biệt, dòng âm điện trong trường hợp có sóng điện từ tăng khoảng 25% so với trường hợp không có sóng điện từ.

Sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số sóng âm ngoài được thể hiện qua các giá trị khác nhau của tham số giam cầm, với các trường hợp cụ thể như E 0 ≠ 0, m = 0 (đường đứt xanh dương), m = 1 (đường liền xanh lá), và m = 3 (đường liền đỏ) Đồ thị cho thấy rằng phonon giam cầm tạo ra vị trí cực đại, và khi thay đổi chỉ số giam cầm, cả giá trị dòng âm điện lẫn vị trí của đỉnh cực đại đều bị ảnh hưởng.

Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nhiệt độ

Hình 3.3: Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nhiệt độ và năng lượng Fermi

Hình 3.3 cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của dòng âm điện vào nhiệt độ và năng lượng Fermi với tần số sóng điện từ  q = 3.10^11 s^-1 và n D = 23 (m^-3) Khi nhiệt độ tăng và có mặt sóng điện từ, dòng âm điện phi tuyến gia tăng, đạt giá trị cực đại tại khoảng 335K.

Với trường hợp E 0 =0 ứng với trường hợp không có sóng điện từ, thì đỉnh cực đại ở vị trí dòng âm điện xấp xỉ 1,2.10 -7 ở vị trí nhiệt độ vào cỡ 330K

Với trường hợp E 0 0 ứng với trường hợp có sóng điện từ, đỉnh cực đại ở vị trí dòng âm điện xấp xỉ 1,8.10 -7 ở vị trí nhiệt độ vào cỡ 335K

Khi có sóng điện từ, dòng âm điện đạt giá trị cực đại, tăng 13% so với trường hợp không có sóng điện từ.