Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

Sự hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert thực

Các khái niệm hội tụ mạnh và yếu là những yếu tố cơ bản trong không gian Hilbert, đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng và chứng minh các định lý hội tụ của các thuật toán Định nghĩa 1.1 giới thiệu cặp (H, ⟨ã, ã⟩), trong đó H là không gian véc tơ thực.

( x, y ) 7−→ ⟨ x, y ⟩ là một hàm số thực, gọi là một không gian tiền Hilbert thực nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

Số ⟨ x, y ⟩ gọi là tích vô hướng của hai phần tử x và y Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Nếu ( H , ⟨ã , ã⟩ ) là một khụng gian tiền Hilbert, thì

|⟨ x, y ⟩| 2 ≤ ⟨ x, x ⟩ ⟨ y, y ⟩ , ∀ x, y ∈ H Định lý 1.2 ( H , ⟨ã , ã⟩ ) là một khụng gian tiền Hilbert, thỡ

⟨ x, x ⟩ , x ∈ H , là một chuẩn trên H Định nghĩa 1.2 Một không gian tiền Hilbert thực đầy đủ gọi là một không gian Hilbert thực.

Sau đây ta sẽ đưa ra một số ví dụ về không gian Hilbert thực.

Ví dụ 1.1 Không gian vectơ R n với tích vô hướng ⟨ x, y ⟩ ∑ n i=1 x i y i trong đó x = ( x 1 , x 2 , , x n ) , y = ( y 1 , y 2 , , y n )

Ví dụ 1.2 Không gian l 2 lập thành bởi tập tất cả các dãy số x = ( x 1 , x 2 , ) sao cho ∑ ∞ n=1 x 2 n < ∞ với tích vô hướng

Mỗi phiếm hàm f : H → R xác định bởi f ( x ) = ⟨ x, y ⟩ với y cố định trong không gian Hilbert H là tuyến tính và liên tục, tức là f thuộc H ∗ Theo định lý Riesz, mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H đều có thể biểu diễn dưới dạng này với một phần tử duy nhất y trong H, thỏa mãn f ( x ) = ⟨ x, y ⟩ cho mọi x ∈ H và ∥ f ∥ = ∥ y ∥ Tôpô yếu σ ( H , H ∗ ) là tôpô yếu nhất trên H, đảm bảo tính liên tục của các phiếm hàm f thuộc H ∗.

Tô pô yếu trong không gian Hilbert được xem là yếu hơn tô pô mạnh, được xác định bởi chuẩn Để phân biệt, tô pô xác định bởi chuẩn được gọi là tô pô mạnh Các khái niệm như tập hợp đóng yếu và compact yếu tương ứng với tập hợp đóng và compact trong tô pô yếu Tương tự, tập hợp đóng mạnh và compact mạnh cũng được hiểu theo cách như vậy Định nghĩa 1.4 nêu rằng dãy phần tử { x_n } của H hội tụ yếu đến phần tử x.

Trong không gian Hilbert H, một dãy {x_n} được gọi là hội tụ yếu đến x nếu nó hội tụ theo tôpô yếu σ(H, H∗), ký hiệu là x_n ⇀ x, với x là giới hạn yếu của dãy Ngược lại, dãy {x_n} hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu giới hạn của chuẩn ∥x_n − x∥ khi n tiến đến vô cùng bằng 0, và được ký hiệu là x_n → x.

Mệnh đề 1.1 ([11]) Cho dãy { x n } và x thuộc H Khi đó, ta có

( ii ) Nếu x n ⇀ x và ∥ x n ∥ → ∥ x ∥ trong H , thì x n → x ;

( iv ) Nếu H là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ mạnh và sự hội tụ yếu là tương đương;

Mọi dãy bị chặn trong không gian H đều chứa dãy con hội tụ yếu Theo Định lý 1.4 (Điều kiện Opial), với bất kỳ dãy { x_n } ⊂ H mà x_n hội tụ đến x, thì bất đẳng thức lim inf n → ∞ ∥ x_n − x ∥ < lim inf n → ∞ ∥ x_n − y ∥ luôn đúng với mọi y ∈ H và y khác x Định nghĩa 1.6 nêu rõ rằng, cho C là một tập con của H, một ánh xạ T : C → H được gọi là

( i ) Nửa đóng (demiclosed) tại điểm x , nếu dãy x n ⊂ C , sao cho x n ⇀ x và

( ii ) Liên tục yếu tại điểm x nếu x n ⇀ x , thì T ( x n ) ⇀ T ( x ).

Giả sử { e n } là một cơ sở trực chuẩn trong không gian khả ly H, và y n là một phần tử trực giao với các phần tử e 1, , e n với điều kiện ∥ y n ∥ = 1, với n = 1, 2, Khi đó, dãy { y n } sẽ hội tụ yếu đến 0.

Phép chiếu và các tính chất

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét lại khái niệm và một số tính chất quan trọng của phép chiếu trực giao của một điểm lên một tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian H Phép chiếu metric, hay phép chiếu trực giao, là một công cụ hữu ích và đơn giản để chứng minh sự hội tụ mạnh và yếu của các thuật toán sẽ được thảo luận trong các chương sau Định nghĩa 1.7 nêu rõ rằng C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong H, từ đó chúng ta có thể xác định phép chiếu của một điểm x ∈ H lên C.

Dùng định nghĩa 1.7, ta chứng minh được các tính chất sau:

Tính chất 1.1 ( i ) Với mỗi x ∈ H , P r C ( x ) tồn tại và duy nhất;

Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động

Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và khoa học kỹ thuật Việc giải phương trình hay tìm nghiệm cho các bài toán cân bằng thường được quy về việc xác định điểm bất động của các ánh xạ thích hợp Mục này sẽ trình bày các kết quả liên quan đến ánh xạ không giãn, bao gồm khái niệm ánh xạ không giãn và cấu trúc hình học của các không gian Banach, được sử dụng trong lý thuyết điểm bất động Chúng tôi sẽ giới thiệu các kết quả cơ bản của F.E Browder, D Gohde và W.A Kirk về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.8: Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H.

S : C → C được gọi là ánh xạ không giãn, nếu

Định nghĩa ánh xạ không giãn: Một ánh xạ S: C → C được gọi là không giãn nếu với mọi x, y thuộc C, khoảng cách giữa S(x) và S(y) không vượt quá khoảng cách giữa x và y, tức là ∥S(x) − S(y)∥ ≤ ∥x − y∥ Điểm x ∈ C được xem là điểm bất động của ánh xạ S nếu S(x) = x Tập hợp các điểm bất động của S được ký hiệu là F ix(S).

Ví dụ 1.4 Các ánh xạ

6 , T ( x ) = 2 − x, ∀ x ∈ R là các ánh xạ không giãn.

Ví dụ 1.5 Cho ánh xạ T : [ − 4; 2] → [ − 4; 2] được định nghĩa bởi:

T không là ánh xạ không giãn vì với x = 1 , y = 0 ta có:

Chú ý 1.1 Điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất (chẳng hạn, xét ánh xạ đồng nhất).

Nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn yêu cầu sử dụng các công cụ đặc biệt, trong đó cấu trúc hình học của không gian Banach là công cụ chính Không gian Banach (X, ∥x∥) được gọi là lồi chặt nếu với mọi x ≠ y và ∥x∥ = 1, ∥y∥ = 1, thì x + y.

< 1 Định nghĩa 1.11 Khụng gian Banach ( X, ∥ ã ∥ ) được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0đều tồn tại δ ( ε ) > 0sao cho với mọi x, y ∈ X mà ∥ x ∥ = 1 , ∥ y ∥ = 1 , ∥ x − y ∥ ≥ ε ta luôn có x + y

Mọi không gian Hilbert đều có tính lồi đều Một tập hợp K trong không gian định chuẩn X được coi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập con lồi, đóng và bị chặn D của nó với diamD > 0 đều chứa ít nhất một điểm x ∈ D sao cho sup {∥ x − z ∥ : z ∈ D } nhỏ hơn diamD.

Chúng tôi sẽ trình bày một số định lý cơ bản về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn Định lý 1.5 (Browder-Gohde) khẳng định rằng, với X là không gian Banach lồi đều và C là tập con lồi, đóng, bị chặn của X, thì mọi ánh xạ không giãn đều có điểm bất động.

S : C → C có điểm bất động trong C và tập hợp các điểm bất động của S là lồi, đóng và khác rỗng.

Hệ quả 1.1 khẳng định rằng với C là một tập con lồi, đóng và bị chặn của H, mọi ánh xạ không giãn S: C → C đều có điểm bất động trong C Định lý 1.6 của Kirk nêu rõ rằng trong không gian Banach X, nếu C là một tập con lồi, compact yếu và có cấu trúc chuẩn tắc, thì mọi ánh xạ không giãn cũng sẽ có điểm bất động.

S : C → C có điểm bất động trong C

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra một số ví dụ chứng minh rằng ánh xạ không giãn có thể không tồn tại điểm bất động trong không gian Banach tổng quát.

Ví dụ 1.6 Cho X là một không gian Banach, S : X → X là ánh xạ dịch chuyển xác định bởi

Khi đó, S là ánh xạ không giãn nhưng không có điểm bất động.

Ví dụ 1.7 Cho B là hình cầu đơn vị đóng trong C 0 (không gian Banach các dãy số hội tụ đến 0với chuẩn sup) và ánh xạ S : B → B xác định bởi

Khi đó, S là ánh xạ không giãn trong B mà không có điểm bất động.

Ví dụ tiếp theo cho thấy tồn tại một số ánh xạ không giãn không đi từ C vào chính nó nhưng vẫn có điểm bất động.

Ví dụ 1.8 Cho X =R , C = [ − 1 , 1]và S : C → X định nghĩa bởi S ( x ) = 1 − x, x ∈

C Khi đó, S ( − 1) = 2 ∈ / C nhưng S có điểm bất động duy nhất trong C

Bài toán cân bằng

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm bài toán cân bằng và một số định nghĩa cơ bản liên quan đến song hàm f Định nghĩa 1.13 nêu rõ rằng, cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, cùng với một song hàm f: C × C → R thỏa mãn điều kiện f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C, bài toán cân bằng, được viết tắt là EP(C, f), sẽ được phát biểu như sau:

Tập nghiệm của bài toán EP (C, f) được ký hiệu là Sol (C, f) Dưới đây, chúng ta sẽ nhắc lại một số định nghĩa liên quan đến song hàm f Định nghĩa 1.14 mô tả song hàm f.

( a ) đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên C với hệ số β > 0, nếu f ( x, y ) + f ( y, x ) ≤ − β ∥ x − y ∥ 2 , ∀ x, y ∈ C ; ( b ) đơn điệu chặt (strictly monotone) trên C , nếu f ( x, y ) + f ( y, x ) < 0 , ∀ x, y ∈ C, x ̸ = y ; ( c ) đơn điệu (monotone) trên C , nếu f ( x, y ) + f ( y, x ) ≤ 0 , ∀ x, y ∈ C ;

( d ) giả đơn điệu (pseudomonotone) trên C , nếu f ( x, y ) ≥ 0 suy ra f ( y, x ) ≤ 0 , ∀ x, y ∈ C ; ( e ) giả đơn điệu chặt (strictly pseudomonotone) trên C , nếu f ( x, y ) ≥ 0 suy ra f ( y, x ) < 0 , ∀ x, y ∈ C, x ̸ = y ;

( f ) tựa đơn điệu (quasimonotone) trên C , nếu f ( x, y ) > 0 suy ra f ( y, x ) ≤ 0 , ∀ x, y ∈ C ;

( g ) liên tục kiểu Lipschitz (Lipschitz-type continuous) trên C với hằng số c 1 > 0 và c 2 > 0, nếu f ( x, y ) + f ( y, z ) ≥ f ( x, z ) − c 1 ∥ x − y ∥ 2 − c 2 ∥ y − z ∥ 2 , ∀ x, y, z ∈ C.

Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Bài toán cân bằng là một khái niệm tổng quát, bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng từ các lĩnh vực khác nhau như tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, điểm yên ngựa, bù phi tuyến và cân bằng Nash Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào các trường hợp cụ thể của bài toán cân bằng.

Ví dụ 1.9 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và một hàm F : C → H Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân sau:

≥ 0 với mọi y ∈ C, ký hiệu là V I ( C, F ) Tập nghiệm của bài toán V I ( C, F ) ký hiệu là Sol ( C, F ) Ta xác định song hàm f : C × C → R bởi f ( x, y ) = ⟨

F ( x ) , y − x ⟩ với mọi x, y ∈ C Khi đó, bài toán V I ( C, F ) tương đương với bài toán cân bằng EP ( C, f ). Định nghĩa 1.15 Hàm F : C → H được gọi là

( a ) đơn điệu mạnh trên C với hằng số β > 0, nếu

( b ) đơn điệu mạnh ngược trên C với hằng số β > 0, nếu

( d ) giả đơn điệu trên C , nếu với mỗi x, y ∈ C ,

( e ) liên tục Lipschitz trên C với hằng số L > 0, nếu

Một toán tử tuyến tính bị chặn A từ H vào chính nó được gọi là dương mạnh, nếu tồn tại một hằng số γ > 0 sao cho

Ví dụ 1.10 Bài toán tối ưu

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H, và F là một hàm từ C đến R Bài toán tối ưu, ký hiệu là (OP), được định nghĩa bởi việc tìm giá trị nhỏ nhất của F tại x thuộc C Đặt f(x, y) = F(y) - F(x) cho mọi x, y thuộc C, thì bài toán (OP) trở thành bài toán cân bằng EP(C, f).

Ví dụ 1.11 Bài toán điểm bất động Kakutani

Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của R^n Ánh xạ đa trị nửa liên tục φ : C → 2^R^n đảm bảo rằng φ(x) là một tập con lồi, compact và khác rỗng của C cho mọi x ∈ C Bài toán điểm bất động, được ký hiệu là F ix, được định nghĩa dựa trên các thuộc tính này.

Tìm x ∗ ∈ C sao cho x ∗ ∈ φ ( x ∗ ) Đặt f ( x, y ) = max v ∈ φ(x) ⟨ x − v, y − x ⟩ với mọi x, y ∈ C Khi đó, bài toán ( F ix ) tương đương bài toán cân bằng EP ( C, f ).

Ví dụ 1.12 Bài toán điểm yên ngựa

Tập C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H, với các tập con C1, C2 ⊂ C và hàm f1: C1 × C2 → R Điểm (x*1, x*2) được gọi là điểm yên ngựa của f1 nếu nó thỏa mãn điều kiện f1(x*1, y2) ≤ f1(x*1, x*2) ≤ f1(y1, x*2) cho mọi (y1, y2) ∈ C1 × C2 Đặt K = C1 × C2, ta có hàm f: K × K → R xác định bởi f(x, y) = f1(y1, x2) − f1(x1, y2) với x = (x1, x2) và y = (y1, y2) Bài toán điểm yên ngựa tương đương với bài toán cân bằng EP(C, f).

Ví dụ 1.13 Bài toán bù phi tuyến

Cho C ⊂ R n là một nón lồi, đóng, C ∗ = { x ∈ R n : ⟨ x, y ⟩ ≥ 0 , ∀ y ∈ C } là nón đối ngẫu của C Giả sử F : C → R n là một ánh xạ liên tục Bài toán bù phi tuyến được phát biểu dưới dạng:

Khi đó, nếu ta đặt f ( x, y ) = ⟨

F ( x ) , y − x ⟩ với mọi x, y ∈ C , thì bài toán bù phi tuyến sẽ tương đương với bài toán cân bằng EP ( C, f ).

Ví dụ 1.14 Bài toán cân bằng Nash

Trong một trò chơi không hợp tác với p người chơi, ký hiệu I = {1, 2, , p} đại diện cho tập chỉ số của người chơi Mỗi người chơi i có một tập con chiến lược K_i là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian R^{n_i} (với n_i thuộc N) Hàm f_i: K_1 × K_2 × × K_p → R được gọi là hàm tổn thất của người chơi i khi các chiến lược của những người chơi khác bị vi phạm Đối với hai vectơ x = (x_1, x_2, , x_p) và y = (y_1, y_2, , y_p) thuộc K_1 × K_2 × × K_p, ta định nghĩa vectơ x[y_i] ∈ K_1 × K_2 × × K_p như sau: x[y_i].

 x j ∀ j ̸ = i, y i ∀ j = i Đặt K = K 1 ì K 2 ì ã ã ã ì K p Khi đú, bài toỏn cõn bằng Nash được phỏt biểu như sau:

Điểm x ∗ = ( x 1 ∗ , x 2 ∗ , , x p ∗ ) ∈ K được xác định sao cho f i ( x ∗ ) ≤ f i ( x ∗ [ y i ]) cho mọi i ∈ I và y i ∈ K i được gọi là điểm cân bằng Nash Về mặt kinh tế, điểm cân bằng Nash thể hiện rằng nếu một đối thủ quyết định rời khỏi điểm cân bằng trong khi các đối thủ khác vẫn giữ nguyên phương án, đối thủ đó sẽ gặp bất lợi Hàm f : K × K → R được định nghĩa bởi f ( x, y ) = ∑ p i=1.

Khi đó, bài toán cân bằng Nash tương đương với bài toán cân bằng EP ( C, f ).

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Bài viết này sẽ tóm tắt những kết quả quan trọng về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong bài toán cân bằng Xét C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, cùng với ánh xạ F: C → R Ánh xạ F được định nghĩa trong bối cảnh này.

( a ) nửa liên tục dưới (lower semicontinuous)tại x ∈ C , nếu với mọi dãy { x k } ⊂

C hội tụ mạnh đến x , thì lim inf k →∞ F ( x k ) ≥ F ( x );

( b ) nửa liên tục trên (upper semicontinuous) tại x ∈ C , nếu với mọi dãy { x k } ⊂

C hội tụ mạnh đến x , thì lim sup k →∞ F ( x k ) ≤ F ( x );

Ta nói F lànửa liên tục dưới (nửa liên tục trên)trên C , nếu F nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại mọi x ∈ C

( c ) lồi (convex) trên C , nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0 , 1], thì

( d ) lồi chặt (strictly convex) trên C nếu với mọi x, y ∈ C , x ̸ = y và λ ∈ (0 , 1) thì

( e ) lồi mạnh (strongly convex)trên C nếu tồn tại α > 0sao cho với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0 , 1] thì

2 αλ (1 − λ ) ∥ x − y ∥ 2 ; ( f ) tựa lồi (quasiconvex) trên C nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0 , 1] thì

F ( λx + (1 − λ ) y ) ≤ max { F ( x ) , F ( y ) } Để việc trình bày các kết quả được thuận lợi, ta cần sử dụng một số giả thiết sau của song hàm f : C × C → R,

( A 1 ) f ( x, ã ) nửa liờn tục dưới với mỗi x ∈ C ;

( A 3 ) f ( ã , y ) nửa liờn tục trờn với mỗi y ∈ C Định lý 1.7 ([33]) Cho f thỏa mãn các giả thiết ( A 2) và ( A 3) Giả sử ít nhất một trong các điều kiện sau xảy ra:

( ii ) Tồn tại một tập con bị chặn, khác rỗng V của C sao cho với mọi x ∈ C \ V đều tồn tại y ∈ V sao cho f ( x, y ) < 0.

Khi đó, bài toán EP ( C, f ) có nghiệm. Định lý 1.8 ([33]) ( i ) Nếu f giả đơn điệu chặt trên C , thì bài toán EP ( C, f ) có nhiều nhất một nghiệm.

( ii ) Nếu f ( x, ã ) lồi với mỗi x ∈ C , f thỏa món cỏc giả thiết ( A 1) , ( A 3), và đơn điệu mạnh trên C , thì bài toán EP ( C, f ) có duy nhất nghiệm.

Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

Phương pháp xấp xỉ gắn kết

Phương pháp xấp xỉ gắn kết, được giới thiệu bởi S Takahashi và W Takahashi, dựa trên nghiên cứu của P.L Combettes và S.A Hirstoaga về ánh xạ nghiệm và phương pháp xấp xỉ cho bài toán điểm bất động của A Moudafi Theo Định lý 1.9, nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, cùng với một song hàm f thỏa mãn các điều kiện nhất định và S là ánh xạ không giãn với giao điểm không rỗng giữa F ix(S) và Sol(C, f), thì tồn tại một ánh xạ co g từ H đến H.

 u n ∈ C sao cho f ( u n , y ) + 1 r n ⟨ y − u n , u n − x n ⟩ ≥ 0 , ∀ y ∈ C, x n+1 = α n g ( x n ) + (1 − α n ) Su n , với mọi n ∈ N ∗ , trong đó { α n } ⊂ [0 , 1] và { r n } ⊂ (0 , ∞ ) thỏa mãn các điều kiện sau:

| r n+1 − r n | < ∞ Khi đó, { x n } và { u n } hội tụ mạnh đến z ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ), với z = P r F ix(S )∩Sol(C,f) g ( z )

Tiếp theo là hai hệ quả được suy ra trực tiếp từ định lý trên.

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và S, với ánh xạ không giãn C → C sao cho F ix ( S ) ̸ = ∅ Định nghĩa ánh xạ co g : H → H và dãy { x n } với x 1 ∈ H, trong đó x n+1 = α n g ( x n ) + (1 − α n ) SP r C ( x n ) cho mọi n ∈ N ∗, với { α n } ⊂ [0 , 1] và điều kiện n→∞ lim α n = 0.

Khi đó, { x n } hội tụ mạnh tới z ∈ F ix ( S ), với z = P r F ix(S) g ( z ).

Hệ quả 1.3 đề cập đến một tập con lồi, đóng, khác rỗng C của H, cùng với một song hàm f: C × C → R thỏa mãn các điều kiện (B1) - (B4) và có nghiệm Sol(C, f) khác rỗng Ngoài ra, g: H → H là một ánh xạ co và các dãy {x_n} và {u_n} được sinh ra từ x_1 ∈ H.

 u n ∈ C sao cho f ( u n , y ) + 1 r n ⟨ y − u n , u n − x n ⟩ ≥ 0 , ∀ y ∈ C, x n+1 = α n g ( x n ) + (1 − α n ) u n , với mọi n ∈ N ∗ , trong đó { α n } ⊂ [0 , 1] và { r n } ⊂ (0 , ∞ ) thỏa mãn các điều kiện sau:

| r n+1 − r n | < ∞ Khi đó, { x n } và { u n } hội tụ mạnh tới z ∈ Sol ( C, f ), với z = P r Sol(C,f) g ( z )

Trong Định lý 1.9, ánh xạ co g đóng vai trò quan trọng trong việc điều chỉnh sự hội tụ của dãy lặp { x n } thông qua hệ số co được xác định trước Hệ số này hoạt động như một tham số chính quy hóa, giúp dãy lặp hội tụ về nghiệm tối ưu Nếu thiếu ánh xạ co g, dãy lặp sẽ không đạt được sự hội tụ cần thiết.

Trong định lý 1.10, nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, cùng với một song hàm f : C × C → R thỏa mãn các điều kiện (B1) đến (B4), và S : C → C là một ánh xạ không giãn với F ix(S) ∩ Sol(C, f) khác rỗng, thì dãy {x n} sẽ hội tụ yếu về nghiệm tối ưu cần tìm.

 u n ∈ C sao cho f ( u n , y ) + 1 r n ⟨ y − u n , u n − x n ⟩ ≥ 0 , ∀ y ∈ C, x n+1 = α n x n + (1 − α n ) Su n , với mọi n ∈ N ∗ , trong đó { α n } ⊂ [ a, b ] với a, b ∈ (0 , 1) và { r n } ⊂ (0 , ∞ ) thỏa mãn lim inf n→∞ r n > 0 Khi đó, { x n } hội tụ yếu đến z ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ), với z = lim n →∞ P r F ix(S ) ∩ Sol(C,f) ( x n )

W Takahashi [53] đã cải tiến phương pháp xấp xỉ gắn kết bằng cách bỏ qua ánh xạ co g khi xây dựng dãy lặp Thay vào đó, tác giả chiếu xấp xỉ ban đầu của dãy lặp lên giao của hai tập lồi đóng chứa tập nghiệm của bài toán và cũng thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán Khi đó, kỹ thuật chứng minh cũng đơn giản hơn khá nhiều Điều này được thể hiện ở phương pháp chiếu mà chúng tôi giới thiệu ở mục tiếp theo đây.

Phương pháp chiếu

Định lý 1.11 khẳng định rằng, cho C là một tập con lồi, đóng và không rỗng của H, tồn tại một song hàm f: C × C → R thỏa mãn các điều kiện (B1) đến (B4) Đồng thời, S: C → C là một ánh xạ không giãn, với điều kiện rằng giao của F ix(S) và Sol(C, f) không rỗng Ngoài ra, {x_n} và {u_n} là các dãy được sinh ra từ x_1 = x ∈ H.

D n = { z ∈ H : ⟨ x n − z, x − x n ⟩ ≥ 0 } , x n+1 = P r C n ∩D n ( x ) , với mọi n ∈ N ∗ , trong đó { α n } ⊂ [ a, 1] với a ∈ (0 , 1) và { r n } ⊂ (0 , ∞ ) thỏa mãn lim inf n →∞ r n > 0 Khi đó, dãy { x n } hội tụ mạnh tới P r F ix(S) ∩ Sol(C,f) ( x )

Hệ quả 1.4 Cho C một là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Một song hàm f : C × C → R thỏa mãn( B 1 ) − ( B 4 ), sao cho Sol ( C, f ) ̸ = ∅ Cho { x n } , { u n } là các dãy sinh bởi x 1 = x ∈ H và

D n = { z ∈ H : ⟨ x n − z, x − x n ⟩ ≥ 0 } , x n+1 = P r C n ∩D n ( x ) , với mọi n ∈ N ∗ , trong đó { r n } ⊂ (0 , ∞ ) thỏa mãn lim inf n →∞ r n > 0 Khi đó, { x n } hội tụ mạnh tới P r Sol(C,f) ( x ).

Hệ quả 1.5 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và S : C → C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix ( S ) ̸ = ∅ Cho { x n } , { u n } là các dãy sinh bởi x 1 = x ∈ H và

D n = { z ∈ H : ⟨ x n − z, x − x n ⟩ ≥ 0 } , x n+1 = P r C n ∩ D n ( x ) , với mọi n ∈ N ∗ , trong đó { α n } ⊂ [ a, 1] với a ∈ (0 , 1) Khi đó, { x n } hội tụ mạnh tới

Phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ

Phương pháp do R Wangkeeree đề xuất kết hợp kỹ thuật điểm bất động của Y Yao và các tác giả khác để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Tác giả sử dụng phương pháp xấp xỉ gắn kết của S Takahashi và W Takahashi để tìm điểm chung của bài toán cân bằng Trong nghiên cứu, phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ (extragradient approximation method) được giới thiệu để xác định điểm chung của các tập nghiệm Tuy nhiên, phương pháp này yêu cầu tính đơn điệu của song hàm f và cần giải các bài toán cân bằng phụ tại mỗi bước lặp Định lý 1.12 chỉ ra rằng với tập con lồi, đóng, khác rỗng C và ánh xạ đơn điệu A, có thể áp dụng các điều kiện cần thiết để đạt được kết quả mong muốn.

Cho các dãy { x n } , { u n } , và { y n } sinh bởi:

Tìm u n ∈ C sao cho f ( u n , y ) + 1 r n ⟨ y − u n , u n − x n ⟩ ≥ 0 , ∀ y ∈ C, y n = P r C ( u n − λ n Au n ) , x n+1 = α n g ( x n ) + β n x n + γ n S n P r C ( u n − λ n Ay n ) , ∀ n ≥ 1 , trong đó { α n } , { β n } , { γ n } ⊂ [0 , 1] , { λ n } ⊂ (0 , 1) và { r n } ⊂ (0 , ∞ ) thỏa mãn các điều kiện sau:

( iii ) 0 < lim inf n→∞ β n ≤ lim sup n→∞ β n < 1;

∑ ∞ n=1 sup {∥ S n+1 z − S n z ∥ : z ∈ B } < ∞ với bất kỳ tập con bị chặn

B của C Cho S : C → C là một ánh xạ được định nghĩa bởi Sy = lim n →∞ S n y với mọi y ∈ C và F ix ( S ) = ∩ ∞ n=1

F ix ( S n ) Khi đó, các dãy { x n } , { u n } , và { y n } hội tụ mạnh về cùng một điểm q ∈ ∩ ∞ n=1

Hệ quả 1.6 đề cập đến một tập con lồi, đóng và khác rỗng C của H Trong đó, có một song hàm f: C × C → R thỏa mãn các điều kiện (B1) đến (B4) A: C → H là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz với hệ số L Hơn nữa, {βnk} là một họ không âm các số thực với chỉ số n, k thuộc N và k ≤ n.

Cho { S k } là một dãy các ánh xạ không giãn từ C vào chính nó, với

Sol ( C, A ) ∩ Sol ( C, f ) ̸ = ∅ Cho { x n } , { y n } và { u n } là các dãy sinh bởi:

∑ n k=1 β n k S k P r C ( u n − λ n Ay n ) , ∀ n ≥ 1 , trong đó { α n } , { β n } , { γ n } ⊂ [0 , 1] , { λ n } ⊂ (0 , 1) và { r n } ⊂ (0 , ∞ ) thỏa mãn các điều kiện:

( iii ) 0 < lim inf n→∞ β n ≤ lim sup n→∞ β n < 1;

Khi đó, các dãy { x n } , { u n } và { y n } hội tụ mạnh về cùng một điểm q ∈ ∩ ∞ k=1

Hệ quả 1.7 đề cập đến một tập con lồi, đóng và khác rỗng C của H, với ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz A: C → H có hệ số L Cũng trong bối cảnh này, S: C → C là một ánh xạ không giãn, đảm bảo rằng giao điểm giữa F ix(S) và Sol(C, A) không rỗng Giả sử x1 = u thuộc C và các dãy {x n} và {y n} được xác định theo quy tắc nhất định.

 y n = P r C ( x n − λ n Ax n ) , x n+1 = α n u + β n x n + γ n SP r C ( x n − λ n Ay n ) , ∀ n ≥ 1 trong đó { α n } , { β n } , { γ n } , { λ n } là các dãy số thuộc [0 , 1] thỏa mãn các điều kiện:

( iii ) 0 < lim inf n→∞ β n ≤ lim sup n →∞ β n < 1;

Khi đó, { x n } hội tụ mạnh tới P r F ix(S) ∩ Sol(C,A) ( u ).

Phương pháp điểm bất động 36

Một số cách tiếp cận điểm bất động của ánh xạ không giãn

Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H Ánh xạ S: C → C là ánh xạ không giãn, và cấu trúc của tập điểm bất động của nó đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết ánh xạ không giãn W.R Mann đã phát triển dãy lặp x n+1 = α n x n + (1 − α n ) Sx n với n ≥ 0, bắt đầu từ giá trị x 0 ∈ C Dãy lặp này phụ thuộc vào điều kiện hạn chế trên { α n }.

{ x n } hội tụ yếu đến một điểm x ¯ ∈ F ix ( S ).

Gần đây, việc cải tiến phương pháp lặp của W.R Mann nhằm đạt được sự hội tụ mạnh đã thu hút nhiều nghiên cứu K Nakajo và W Takahashi đã giới thiệu một phương pháp mới để cải tiến kỹ thuật lặp này.

Mann để tìm một điểm bất động của một ánh xạ không giãn S trong H như sau:

Các tác giả đã chứng minh rằng, nếu dãy { α n } ⊂ [0 , a ], a ∈ [0 , 1), thì dãy { x n } sinh bởi (2.2) hội tụ mạnh tới P r F ix(S) ( x 0 ).

Trong những năm gần đây, kỹ thuật lặp dạng ẩn để xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi nhiều tác giả Năm 2011, H.K Xu và R.G Ori đã phát triển kỹ thuật này nhằm tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thực Cụ thể, họ đã đưa ra công thức lặp x n = α n x n−1 + (1 − α n ) S n x n, với S n ≡ S n mod N, và chứng minh rằng dãy lặp này hội tụ yếu đến điểm bất động chung Để đạt được sự hội tụ mạnh hơn, F Zhang cũng đã có những nghiên cứu liên quan.

Y Su [68] đã cải tiến dãy lặp (2.3) bởi phương pháp lai ghép dạng ẩn cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn { S i } N i=1 :

(2.4) với S n ≡ S n mod N , { α n } ⊂ (0 , a ], a ∈ (0 , 1)và { β n } ⊂ [ b, 1], b ∈ (0 , 1) Khi đó, { x n } hội tụ mạnh đến z 0 với z 0 = P r Ω ( x 0 ), ở đây Ω là tập các điểm bất động chung của { S i } N i=1 Ở trong nước, năm 2014, các tác giả P.K Anh, D.V Hieu, C.V Chung (xem

Phương pháp song song được giới thiệu để tìm điểm bất động chung của một họ toán tử không giãn suy rộng, nổi bật với việc giảm thiểu số lượng phép chiếu lên các tập lồi và đóng, đồng thời có tốc độ hội tụ nhanh.

Xây dựng dãy lặp

Gần đây, nhiều tác giả đã nghiên cứu và mở rộng các thuật toán lặp nhằm tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thực.

[4, 5, 8, 18, 29, 52, 55, 59, 60, 66]) Trong [55], S Takahashi và W Takahashi lần đầu tiên đã giới thiệu một kỹ thuật lặp bằng phương pháp xấp xỉ gắn kết Dãy

Trong bài viết này, tác giả đã chứng minh rằng dưới các điều kiện hạn chế đối với các dãy tham số {α n} và {r n}, các dãy {x n} và {u n} hội tụ mạnh tới z = P r F ix(S) ∩ Sol(C, f) g(z), trong đó g: C → C là một ánh xạ co.

Từ kết quả trên, S Sun [52] đã giới thiệu phương pháp chính quy thay phiên (the alternative regularization method) để đưa ra một dãy lặp tổng quát hơn như sau: 

Trong nghiên cứu này, g : H → H được xác định là một ánh xạ co với hệ số α nằm trong khoảng (0, 1), trong khi f là một song hàm đơn điệu trên C Tác giả đã chứng minh rằng, dưới các điều kiện hạn chế đối với các dãy tham số { α n }, { β n } và { r n }, các dãy { x n } và { u n } sẽ hội tụ mạnh tới điểm z, được xác định bởi z = P r F ix(S ) ∩ Sol(C,f) g ( z ).

Chúng tôi đã phát triển một kỹ thuật lặp mới để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng giả đơn điệu EP(f, C) và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thực Kỹ thuật này kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường của P.N Anh với phương pháp chính quy hóa tương đối của S Sun, giúp giảm độ phức tạp trong việc giải bài toán cân bằng phụ xấp xỉ Tại mỗi bước lặp thứ n, chúng tôi chỉ cần giải hai bài toán lồi mạnh bằng phương pháp đơn giản, từ đó đạt được nghiệm chính xác cho dãy {x_n}.

Cho x 0 , u ∈ C và các dãy số dương { λ n } , { β n } và { α n } sao cho { α n } ⊂ (0 , 1),

(2.7) x n+1 = β n g ( x n ) + (1 − β n ) S ( α n u + (1 − α n ) t n ) , ∀ n ≥ 0 , (2.8) trong đó g : C → C là một ánh xạ co với hệ số 0 < δ < √ 1

Kết quả hội tụ

Để chứng minh sự hội tụ của dãy lặp trên ta cần dùng tới các bổ đề kỹ thuật sau.

Bổ đề 2.1 ([4]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Cho f :

C × C → R là một song hàm giả đơn điệu và liên tục kiểu Lipschitz với các hằng số c1 > 0 và c2 > 0 Đối với mỗi x ∈ C, hàm f(x, ã) được xác định là lồi và khả dưới vi phân trên C Giả sử các dãy {xn}, {yn}, {tn} được sinh ra bởi (2.7) và x* thuộc tập nghiệm Sol(C, f).

Bổ đề 2.2 cho rằng nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, và S là ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với F ix(S) khác rỗng, thì I - S là nửa đóng Điều này có nghĩa là nếu dãy {x_n} thuộc C hội tụ yếu đến x̄ ∈ C và dãy {(I - S)(x_n)} hội tụ mạnh đến ȳ, thì (I - S)(x̄) = ȳ.

Bổ đề 2.3 ([54]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Giả sử, với mọi u ∈ C , dãy { x n } thỏa mãn hệ thức

∥ x n+1 − u ∥ ≤ ∥ x n − u ∥ , ∀ n ≥ 0 Khi đó, dãy { Pr C ( x n ) } hội tụ mạnh tới x ¯ ∈ C

Bổ đề 2.4 ([16]) Cho { a n } , { b n } và { c n } là ba dãy số thực không âm sao cho a n+1 ≤ (1 + b n ) a n + c n , ∀ n ≥ 0 , trong đó

∑ ∞ n=1 c n < ∞ Khi đó, lim n→∞ a n tồn tại.

Giả sử song hàm f : C × C → R và ánh xạ S thỏa mãn các điều kiện sau: ( C 1 ) f ( x, x ) = 0 với mọi x ∈ C và f giả đơn điệu trên C ;

( C 2 ) f liên tục kiểu Lipschitz trên C ;

( C 4 ) Với mỗi x ∈ C , f ( x, ã ) là hàm lồi và khả dưới vi phõn trờn C ;

( C 5 ) F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ) ̸ = ∅ Định lý 2.1 Giả sử các giả thiết ( C 1)-( C 5) được thỏa mãn, x 0 , u ∈ C và các dãy

∑ ∞ n=1 β n < ∞ , { λ n } ⊂ [ a, b ] , với bất kỳ a, b ∈ (0 , L 1 ) , trong đó L = max { 2 c 1 , 2 c 2 }

Khi đó, các dãy { x n } , { y n } và { t n } sinh bởi (2.7) và (2.8) cùng hội tụ yếu đến một điểm x ∗ ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ), nếu lim n→∞ ∥ x n+1 − x n ∥ = 0.

Chứng minh Quá trình chứng minh định lý được chia làm các bước sau.

Bước 1 Chứng minh rằng lim n →∞ ∥ x n − t n ∥ = 0

Với mỗi x ∗ ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ), theo Bổ đề 2.1 và hệ thức x n+1 = β n g ( x n ) +

Vì ∑ ∞ n=0 α n < ∞ , ∑ ∞ n=0 β n < ∞ nên sử dụng Bổ đề 2.4, ta có c = lim n→∞ ∥ x n − x ∗ ∥ (2.9)

Do đó n→∞ lim ∥ x n − y n ∥ = 0 (2.10) Tương tự, ta cũng có n lim →∞ ∥ y n − t n ∥ = 0

Kết hợp điều này, (2.10) và bất đẳng thức ∥ x n − t n ∥ ≤ ∥ x n − y n ∥ + ∥ y n − t n ∥ , nhận được n lim →∞ ∥ x n − t n ∥ = 0 (2.11)

Vì c = lim n→∞ ∥ x n − x ∗ ∥ , nên dãy { x n } bị chặn và do đó tồn tại một dãy con { x n k } hội tụ yếu tới x ¯ khi k → ∞ Khi đó, các dãy { y n k } , { t n k } cũng hội tụ yếu tới x ¯ khi k → ∞

Bước 2 Chứng minh rằng x ¯ ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ) Đặt u n = α n u + (1 − α n ) t n , khi đó

Từ x n+1 = β n g ( x n ) + (1 − β n ) Su n , ta có x n k +1 − x n k = β n k g ( x n k ) + (1 − β n k ) Su n k − x n k

Sử dụng bất đẳng thức này, lim k→∞ β n k = 0, và các kết quả có được ở Bước 1 và Bước 2 ở trên, ta được k lim →∞ ∥ t n k − St n k ∥ = 0

Do dãy { t n k } hội tụ yếu tới ¯ x , nên theo Bổ để 2.2 thì x ¯ ∈ F ix ( S ).

Tiếp theo ta chứng minh¯ x ∈ Sol ( C, f ) Vì y n là nghiệm duy nhất của bài toán lồi mạnh min

0 = λ n w + y n − x n + ¯ w, trong đó w ∈ ∂ 2 f ( x n , y n ) và w ¯ ∈ N C ( y n ) Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngoài N C , ta có

Mặt khỏc, từ f ( x n , ã ) khả dưới vi phõn trờn C , theo định lý Moreau-Rockafellar, tồn tại w ∈ ∂ 2 f ( x n , y n ) sao cho f ( x n , y ) − f ( x n , y n ) ≥ ⟨ w, y − y n ⟩ , ∀ y ∈ C

Kết hợp bất đẳng thức này với (2.12), ta được λ n

Theo giả thiết { λ n } ⊂ [ a, b ] ⊂ (0 , L 1 ), khi k → ∞, các dãy x n k và y n k hội tụ yếu đến điểm x ¯ Với sự liên tục yếu của hàm f, ta có f (¯ x, y ) ≥ 0 cho mọi y ∈ C, dẫn đến x ¯ thuộc tập nghiệm Sol ( C, f ) Kết quả là các dãy { x n k }, { y n k }, { t n k } đều hội tụ yếu về cùng một điểm x ¯ trong giao của F ix ( S ) và Sol ( C, f ).

Bước 3 Chứng minh rằng các dãy { x n } , { y n } và { t n } hội tụ yếu đến cùng một điểm x ¯, với ¯ x ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f )

Giả sử { x ¯ n k } là một dãy con của dãy { x n } sao cho x ¯ n k hội tụ về x ˆ khi k tiến đến vô cùng Khi đó, x ˆ thuộc tập hợp Sol ( C, f ) và F ix ( S ) Chúng ta sẽ chứng minh rằng x ˆ = ¯ x Nếu x ¯ ̸ = ˆ x, thì từ điều kiện Opial và (2.9), ta có c = lim n →∞ ∥ x n − ¯ x ∥.

= c Điều này dẫn tới mâu thuẫn, và do đó ¯ x = ˆ x Vậy, x n ⇀ x ¯ ∈ Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ) khi n → ∞

Từ (2.10) và (2.11), suy ra y n ⇀ ¯ x, t n ⇀ x ¯ khi n → ∞

Chú ý 2.1 Xét trường hợp đặc biệt sau:

Nếu α n = 0 với mọi n ≥ 0 và g là ánh xạ đồng nhất, thì từ Bước 1, ta có

∥ x n+1 − x ¯ ∥ ≤ ∥ x n − x ¯ ∥ với mọi ¯ x ∈ Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ). Đặt z n = P r Sol(C,f) ∩ F ix(S) ( x n )

Theo Bổ đề 2.3, dãy { z n } hội tụ mạnh tới x ∗ ∈ Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ) Khi đó, từ ¯ x ∈ Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ), dẫn tới

⟨ x ¯ − z n , z n − x n ⟩ ≥ 0 , ∀ n ≥ 0 Kết hợp bất đẳng thức này và x n ⇀ x ∗ ∈ Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ) khi n → ∞ , ta được

Do đó x ¯= x ∗ Điều này chứng tỏ các dãy { x n } , { y n } , { t n } hội tụ yếu đến cùng một điểm x ∗ ∈ Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ) với x ∗ = lim n→∞ P r F ix(S) ∩ Sol(C,f) ( x n )

Kết quả tính toán

Trong bài toán cân bằng EP (C, f) trên R^n, ánh xạ không giãn S được coi là ánh xạ đồng nhất Theo Định lý 2.1, dãy {x_n} sẽ hội tụ tới x^* thuộc Sol(C, f) Nếu ∥x_n - y_n∥ = 0, thì x_n là nghiệm của bài toán EP (C, f) Do đó, x_n được xem là một nghiệm xấp xỉ ϵ của bài toán EP (C, f) khi ∥x_n - y_n∥ ≤ ϵ Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ tính toán trên R^3.

Ví dụ 2.1 Cho C là một tập lồi đa diện được xác định như sau:

, f ( x, y ) = ⟨ Ax + By + q, y − x ⟩ , trong đó, các ma trận A, B, q là

Các ma trận A và B được xác định là đối xứng và nửa xác định dương, trong khi ma trận B - A là nửa xác định âm Điều này dẫn đến việc song hàm f liên tục kiểu Lipschitz trên tập C với hằng số c1 = c2 = 1/2 ∥A - B∥ = 1.4 Hơn nữa, f cũng giả đơn điệu trên C và đáp ứng các điều kiện của Định lý 2.1 Chúng ta chọn g(x) = 1.

Ta có các bước lặp sau: n x n 1 x n 2 x n 3 x n 1 x n 2 x n 3

Khi chọn điểm xuất phát x₀ = (3, 2, 4), sau 13 bước lặp, chúng tôi thu được nghiệm xấp xỉ ϵ là x̄ = (3.3222, 0.0000, 1.6777) với thời gian 0.55 giây Ngược lại, nếu chọn điểm xuất phát x₀ = (5, 2, 3), sau 11 bước lặp, nghiệm xấp xỉ ϵ là x̄ = (3.3227, 0.0000, 1.6772) với thời gian 0.42 giây Tất cả các tính toán được thực hiện trên Matlab R2010b trên Laptop Intel(R) Core(TM) i3-2330M CPU @ 2.20GHz với 2Gb RAM.

Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 49

Một số phương pháp chiếu cho một họ các ánh xạ không giãn

Năm 2008, K Nakprasit, W Nilsrakoo và S Saejung đã đề xuất một phương pháp chiếu kết hợp với kỹ thuật lặp dạng ẩn nhằm tìm điểm chung cho một họ các ánh xạ không giãn Họ đã xem xét hai họ ánh xạ không giãn { S n } và T từ C vào chính nó, với giả thiết rằng giao của các tập điểm cố định là không rỗng: ∞ ∩ n=1 F ix ( S n ) = F ix ( T ) ̸ = ∅ Ngoài ra, họ cũng đưa ra điều kiện rằng nếu với mỗi dãy bị chặn { z n } trong C, lim n→∞ ∥ z n − S n z n ∥ = 0 và lim n→∞ ∥ z n − z n+1 ∥ = 0, thì lim n→∞ ∥ z n − Sz n ∥ = 0 sẽ được thỏa mãn với mọi n.

S ∈ T Các tác giả đã xây dựng dãy lặp { x n } trong C như sau:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình x n+1 = P r C n ∩Q n ( x 0 ) với mọi n ≥ 0, trong đó { α n } ⊂ (0 , b ] và b ∈ (0 , 1) Kết quả cho thấy rằng dãy { x n } hội tụ mạnh tới P r F ix(T ) ( x 0 ) Để xác định điểm chung cho một tập hợp các ánh xạ không giãn S i ( i ∈ Γ), H Zhou đã áp dụng kỹ thuật lặp theo hệ quả của Định lý 2.1 trong tài liệu [70].

Dưới các điều kiện 0 < lim inf n →∞ α n,i ≤ lim sup n →∞ α n,i ≤ a i < 1/2, tác giả đã chứng minh rằng dãy { x n } được xác định bởi (3.1) hội tụ mạnh tới x ∗ = P r F ( x 0 ) trong không gian H, với F = ∩ i ∈ Γ F ix ( S i ).

Phương pháp đạo hàm tăng cường

Phương pháp đạo hàm tăng cường, được G.M Korpelevich đề xuất lần đầu, nhằm giải quyết bài toán tìm điểm yên ngựa, đã được phát triển cho bài toán bất đẳng thức biến phân Phương pháp này áp dụng hai phép chiếu trong mỗi bước lặp để tối ưu hóa quá trình giải quyết.

Phương pháp này cho phép giải bài toán bài toán bất đẳng thức biến phân

Phương pháp V I (C, F) không yêu cầu giả thiết đơn điệu mạnh của hàm F, mà chỉ cần giả đơn điệu và liên tục Lipschitz Nhiều tác giả đã áp dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để xác định điểm chung của tập các điểm bất động của ánh xạ không giãn với tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân cho các ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz Gần đây, phương pháp này đã được T.D Quoc, L.D Muu và N.V Hien mở rộng để giải bài toán cân bằng trong R n, với việc viết lại (3.2) dưới dạng: Cho x n ∈ C, tìm y n và x n+1 thỏa mãn.

Các tác giả đã sử dụng phương pháp với { λ n } ∈ (0 , 1] để chứng minh sự hội tụ của dãy lặp tới nghiệm của bài toán cân bằng, khi hàm f có tính chất giả đơn điệu và liên tục theo kiểu Lipschitz.

P.N Anh không chỉ giải quyết bài toán cân bằng mà còn áp dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để xác định điểm chung giữa tập nghiệm của bài toán này và tập các điểm bất động của ánh xạ không giãn Bắt đầu từ một điểm tùy ý x₀ ∈ C, dãy lặp được định nghĩa để tìm ra kết quả.

Dưới các điều kiện hạn chế của các dãy tham số { λ n } và { α n }, tác giả đã chứng minh rằng các dãy { x n }, { y n } và { t n } hội tụ yếu tới x, mà x thuộc giao của tập Fix(S) và tập Sol(C, f) trong không gian Hilbert thực.

Dựa trên ý tưởng của P.N Anh, các tác giả P.T Vuong, J.J Strodiot và N.V Hien đã áp dụng phương pháp đạo hàm tăng cường kết hợp với phương pháp chiếu, nhằm đạt được sự hội tụ mạnh cho thuật toán.

Khi đó, với các điều kiện hạn chế trên các dãy tham số { λ n } , { α n } và { β n } , dãy

{ x n } sẽ hội tụ mạnh tới x ∗ = P r F ix(S) ∩ Sol(C,f) ( x 0 ).

Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng

Trong phần này, dựa trên kết quả của S Wang và B Guo [58], H Zhou

Chúng tôi đã phát triển phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng, điều chỉnh kỹ thuật lặp (3.1) và (3.3) nhằm đạt được định lý hội tụ mạnh cho một tập hợp các ánh xạ không giãn và bài toán cân bằng trong không gian H, theo nghiên cứu của N Nakajo, W Takahashi, Y.J Cho, I.K Argyros, N Petrot, S Takahashi và P.N Anh.

Cho S i : C → C, với i ∈ Γ, là một tập hợp các ánh xạ không giãn, trong đó Γ là tập chỉ số Bài toán đặt ra là tìm nghiệm chung cho bài toán cân bằng EP (C, f) và tập hợp các điểm bất động của F = ∩ i ∈ Γ F ix (S i).

Tìm x ∗ ∈ F ∩ Sol ( C, f ) , trong đó f và các ánh xạ S i , i ∈ Γ, thỏa mãn các điều kiện sau:

( D 1 ) f ( x, x ) = 0 với mọi x ∈ C và f giả đơn điệu trên C ;

( D 3) f nửa liên tục trên trên C ;

( D 4 ) Với mỗi x ∈ C , f ( x, ã ) lồi và khả dưới vi phõn trờn C ;

Bổ đề 3.1 ([37]) Ta có các hệ thức sau:

Định lý 3.1 chứng minh rằng nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, và các điều kiện (D1) - (D5) được thỏa mãn, thì tồn tại một họ các ánh xạ không giãn {Si} i∈Γ từ C vào chính nó, với F là tập hợp các điểm bất động chung của {Si} i∈Γ, và F cũng khác rỗng.

{ x n } , { y n } , { z n } là các dãy sinh bởi:

0 < lim inf n→∞ α n,i ≤ lim sup n →∞ α n,i < 1 , { λ n } ⊂ [ a, b ] với a, b ∈ (0 , L 1 ) , trong đó L = max { 2 c 1 , 2 c 2 }

Khi đó, các dãy { x n } , { y n } và { z n } hội tụ mạnh tới cùng một điểm P r F ∩ Sol(C,f) ( x 0 ).

Bước 1 Chứng minh rằng C n và D n lồi, đóng với mọi n ≥ 0.

Chúng ta cần chứng minh rằng với mỗi i ∈ Γ cố định, tập hợp C n,i là lồi và đóng với mọi n ≥ 0 bằng phương pháp quy nạp theo n Rõ ràng, C 1,i là tập lồi và đóng Giả sử rằng C n,i là lồi và đóng với n thuộc tập N ∗ = { 1, 2, }.

A ={ z ∈ C : α n,i (1 − 2 α n,i ) ∥ z n − S i z n ∥ 2 ≤ ⟨ z n − z, y n,i − S i y n,i ⟩ } lồi, đóng và C n+1,i = C n,i ∩ A nên C n+1,i lồi, đóng Vì vậy, C n lồi, đóng với mọi n ≥ 0 Ta có thể viết D n+1,i dưới dạng

Khi đó, D n+1,i là lồi, đóng Điều này dẫn tới D n cũng lồi, đóng.

Bước 2 Chứng minh rằng F ∩ Sol ( C, f ) ⊆ C n ∩ D n , với mọi n ∈ N ∗

Để chứng minh F ⊆ C n bằng phương pháp quy nạp theo n, trước tiên cần xác nhận F ⊆ C n,i Rõ ràng rằng F ⊆ C = C 1,i Giả sử F ⊆ C n,i với n ∈ N ∗, nhiệm vụ còn lại là chứng minh F ⊆ C n+1,i Cụ thể, với w ∈ F, theo giả thiết quy nạp, ta có w ∈ C n,i.

+ 1 α n,i ⟨ w − y n,i , y n,i − S i y n,i ⟩ (3.4) Mặt khác, với mọi w ∈ F và y n,i ∈ C , ta có

Kết hợp bất đẳng thức này và (3.4), ta được

Theo định nghĩa của C n+1,i , ta có w ∈ C n+1,i và do đó F ⊆ C n+1,i với mọi i ∈ Γ nên F ⊆ C n Điều này chứng tỏ F ∩ Sol ( C, f ) ⊆ C n với mọi n ∈ N ∗

Chúng ta sẽ chứng minh rằng F ∩ Sol (C, f) ⊆ Dn bằng phương pháp quy nạp với n ∈ N∗ Để thực hiện điều này, cần chứng minh rằng F ∩ Sol (C, f) ⊆ Dn,i Do F ⊆ C = D1,i, nên F ∩ Sol (C, f) cũng thuộc D1,i Giả sử rằng F ∩ Sol (C, f) ⊆ Dn,i Chọn x∗ ∈ F ∩ Sol (C, f), khi đó x∗ sẽ thuộc Dn,i Áp dụng Bổ đề 2.1, chúng ta có được kết quả mong muốn.

Do đó, x ∗ ∈ D n+1,i nên F ∩ Sol ( C, f ) ⊆ D n+1,i Điều này chứng tỏ F ∩ Sol ( C, f ) ⊆

D n Vì vậy, F ∩ Sol ( C, f ) ⊆ C n ∩ D n với mọi n ∈ N ∗

Bước 3.Chứng minh rằng dãy { x n } bị chặn và tồn tại giới hạn lim n →∞ ∥ x n − x 0 ∥ = c

⟨ x 0 − x n , x n − y ⟩ ≥ 0 , ∀ y ∈ C n ∩ D n (3.6) Khi đó sử dụng Bước 2, ta có F ∩ Sol ( C, f ) ⊆ C n ∩ D n và

Kết hợp bất đẳng thức này với giả thiết ( D 5) dẫn tới phép chiếu P r F ∩Sol(C,f) ( x 0 ) xác định và tồn tại duy nhất điểm p sao cho p = P r F ∩ Sol(C,f) ( x 0 ) Do đó, ta có

Khi đó, dãy { x n } bị chặn nên các dãy { y n } , { z n } , { y n,i } , { S i y n,i } cũng bị chặn.

≤ − ∥ x 0 − x n ∥ 2 + ∥ x 0 − x n ∥∥ x 0 − x n+1 ∥ , do đó ∥ x 0 − x n ∥ ≤ ∥ x 0 − x n+1 ∥ Kết hợp điều này với tính bị chặn của { x n } , dẫn tới tồn tại giới hạn lim n →∞ ∥ x n − x 0 ∥ = c

Bước 4 Chứng minh rằng lim n→∞ x n = q ∈ C

Từ C m ∩ D m ⊆ C n ∩ D n , x m = P r C m ∩ D m ( x 0 ) ∈ C n ∩ D n với bất kỳ số nguyên dương m ≥ n và (3.6), ta có

Chuyển qua giới hạn trong (3.8) khi n → ∞ , ta được lim n →∞ ∥ x n − x n+m ∥ = 0 với mọi m ∈ N ∗ Do đó, { x n } là dãy Cauchy trong H nên lim n→∞ x n = q ∈ C

Bước 5 Chứng minh rằng q = P r F ∩ Sol(C,f) ( x 0 ), với q = lim n →∞ x n Trước hết, ta chứng minh q ∈ F ∩ Sol ( C, f ) Từ x n+1 = P r C n +1 ∩D n +1 ( x 0 ), ta có x n+1 ∈ D n+1 Khi đó, x n+1 ∈ D n+1,i và

Kết hợp bất đẳng thức trên và lim n →∞ ∥ x n − x m ∥ = 0 với mọi m ∈ N ∗ , ta được n lim →∞ ∥ x n − y n,i ∥ = 0 (3.9) Với mỗi x ∗ ∈ Sol ( C, f ) ∩ F theo (3.5), ta có

Do các dãy { x n } , { y n,i } bị chặn nên sử dụng bất đẳng thức trên và (3.9), ta được n→∞ lim ∥ x n − y n ∥ = 0 (3.10)

Tương tự, ta cũng có lim n →∞ ∥ z n − y n ∥ = 0 Từ bất đẳng thức

∥ x n − z n ∥ ≤ ∥ x n − y n ∥ + ∥ y n − z n ∥ , suy ra n lim →∞ ∥ x n − z n ∥ = 0 (3.11) Mặt khác

Kết hợp bất đẳng thức này, (3.9) và (3.11), ta được lim n →∞ ∥ y n,i − z n ∥ = 0 Từ định nghĩa của dãy { y n,i } , ta có

∥ y n,i − z n ∥ = α n,i ∥ S i z n − z n ∥ , do đó n→∞ lim ∥ S i z n − z n ∥ = 0 Điều này dẫn tới

Theo Bước 4, ta có lim n →∞ S i x n = q Do đó q ∈ F

Bây giờ ta sẽ chứng minh q ∈ Sol ( C, f ) Từ Bước 5, ta được y n → q khi n → ∞

Vì y n là nghiệm duy nhất của bài toán lồi mạnh min

0 = λ n w + y n − x n + ¯ w, với w ∈ ∂ 2 f ( x n , y n ) và w ¯ ∈ N C ( y n ) Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngoài

Mặt khỏc, vỡ f ( x n , ã )khả dưới vi phõn trờn C nờn theo Định lý Moreau-Rockafellar tồn tại w ∈ ∂ 2 f ( x n , y n ) sao cho f ( x n , y ) − f ( x n , y n ) ≥ ⟨ w, y − y n ⟩ , ∀ y ∈ C

Kết hợp bất đẳng thức này và (3.12), ta có λ n ( f ( x n , y ) − f ( x n , y n ))

Sử dụng giả thiết { λ n } ⊂ [ a, b ] ⊂ (0 , L 1 ), (3.10), x n → q , y n → q khi n → ∞ và tính nửa liên tục trên của hàm f , ta được f ( q, y ) ≥ 0 , ∀ q ∈ C Điều này chứng tỏ q ∈ Sol ( C, f ) Chuyển qua giới hạn trong (3.7), ta có

⟨ x 0 − q, q − w ⟩ ≥ 0 , ∀ w ∈ F ∩ Sol ( C, f ) , dẫn tới q = P r F ∩ Sol(C,f ) ( x 0 ) Do đó, các dãy { x n } , { y n } , { z n } hội tụ mạnh tới cùng một điểm q = P r F ∩Sol(C,f) ( x 0 ).

Phương pháp tìm kiếm theo tia 61

Giải bài toán cân bằng và một ánh xạ không giãn

Để tìm điểm chung giữa tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn, chúng tôi đã đề cập đến một số phương pháp như phương pháp điểm bất động, phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đạo hàm tăng cường Các phương pháp này yêu cầu hàm f phải thỏa mãn điều kiện liên tục kiểu Lipschitz Trong nghiên cứu của P.T Vuong, J.J Strodiot, và N.V Hien, việc tính toán điểm lặp tiếp theo của dãy x n+1 được thay thế bằng kỹ thuật tìm kiếm theo tia kiểu Armijo, với các điểm lặp y n, z n, t n được xác định dựa trên x 0 ∈ C.

, z n = (1 − γ m ) x n + γ m y n , trong đó m là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho f ( z n , x n ) − f ( z n , y n ) ≥ 2λ α n || x n − y n || 2 , t n = α n x n + (1 − α n )( β n w n + (1 − β n ) Sw n )

, với w n = P r C ( x n − σ n g n ) , trong đó g n ∈ ∂ 2 f ( z n , x n ) , σ n = f (z || g n ,x n ) n || 2 nếu y n ̸ = x n và σ n = 0 nếu y n = x n , x n+1 = P r C n ∩D n ( x 0 ) , ∀ n ≥ 0 ,

Khi đó, với một số điều kiện hạn chế trên các tham số α , γ , α n , β n , λ n , song hàm f và ánh xạ không giãn S , dãy x n hội tụ mạnh tới P r F ix(S) ∩ Sol(C,f) ( x 0 )

P.N Anh và N.D Hien [6] đã áp dụng kỹ thuật tìm kiếm theo tia kiểu Armijo để đề xuất một phương pháp tìm kiếm mới nhằm xác định điểm chung giữa tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập điểm bất động của một họ hữu hạn p ánh xạ giả co chặt trên tập lồi, đóng, khác rỗng C trong không gian R n Cụ thể, cho x n ∈ C, các điểm lặp y n, w n và x n+1 được xác định theo một quy trình nhất định.

, z n = x n − γ m n r ( x n ) , r ( x n ) = x n − y n , trong đó m là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho f ( x n − γ m n r ( x n ) , y n )

Dưới một số điều kiện hạn chế liên quan đến các tham số γ, σ, β, α n, λ n,i, hàm f và các ánh xạ giả co chặt S i, các dãy { x n }, { y n } và { w n } hội tụ đến x ∗ Trong đó, x ∗ được xác định là giới hạn khi n tiến đến vô cực của giao nhau giữa tập hợp Fix(S i ) và tập Sol(C,f)( x n ).

Dựa trên ý tưởng của P.T Vuong, P.N Anh và N.D Hiền, chúng tôi đã phát triển một thuật toán mới nhằm tìm kiếm nghiệm chung cho bài toán cân bằng và điểm bất động của một ánh xạ không giãn.

Thuật toán 4.1 Chọn x 0 ∈ C , n = 0, γ ∈ (0 , 1), 0 < σ < β 2 và các dãy số dương

{ α n } , { β n } thỏa mãn các điều kiện:

Bước 1 Giải bài toán lồi mạnh y n = argmin

Nếu ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì chuyển sang Bước 2 Ngược lại, đặt w n = x n và chuyển sang Bước 3.

Bước 2 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m n sao cho f ( x n − γ m n r ( x n ) , y n )

Tính w n = P r C ∩ H n ( x n ) , trong đó z n = x n − γ m n r ( x n ), v n ∈ ∂ 2 f ( z n , z n ), H n = { x ∈ H : ⟨ v n , x − z n ⟩ ≤ 0 } và chuyển sang Bước 3.

Nếu y n = x n , x n+1 = x n , thì dừng, x n ∈ Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ) Ngược lại, chuyển sang Bước 4.

Bước 4 Đặt n := n + 1, và quay lại Bước 1.

Trước hết ta nhắc lại một số bổ đề cần thiết.

Bổ đề 4.1 ([6], Định lý 3.2) Các phát biểu sau đây đúng:

(b) Nếu ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì tồn tại số nguyên không âm nhỏ nhất m n sao cho f ( x n − γ m n r ( x n ) , y n ) ≤ − σ ∥ r ( x n ) ∥ 2 ;

Chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý hội tụ của Thuật toán 4.1 Định lý 4.1 khẳng định rằng, với C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, cùng với ánh xạ không giãn S: C → C và hàm f: C × C → R, thì các điều kiện nhất định sẽ được thỏa mãn.

(i) f ( x, x ) = 0 với mọi x ∈ C , f giả đơn điệu trên C ;

(iii) Với mỗi x ∈ C, f ( x, ã ) lồi và khả dưới vi phõn trờn C ;

Khi đó, các dãy { x n } , { y n } và { w n } sinh bởi Thuật toán 4.1 hội tụ yếu tới điểm x ∗ , với x ∗ = lim n →∞ P r Fix(S) ∩ Sol(f,C) ( x n ).

Bước 1 Chứng minh rằng nếu ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì dãy {∥ x n − x ∗ ∥} không tăng và do đó hội tụ Hơn nữa, ta có

∥ r ( x n ) ∥ 4 , trong đó y ¯ n = P r H n ( x n ), và x ∗ ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ).

Trong trường hợp ∥ r ( x n ) ∥ = 0, theo Thuật toán 4.1, ta có w n = x n và

Kết hợp bất đẳng thức trên và (4.3), ta được

Vì vậy, dãy {∥ x n − x ∗ ∥} không tăng và do đó dãy hội tụ.

Bước 2 Chứng minh rằng tồn tại m = lim n →∞ ∥ x n − x ∗ ∥ = lim n →∞ ∥ w n − x ∗ ∥ , trong đó x ∗ ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ) Do đó, các dãy { x n } , { y n } , { z n } , { v n } và { w n } bị chặn. Theo Bước 1, tồn tại m = lim n →∞ ∥ x n − x ∗ ∥ (4.4)

Từ w n = x n nếu ∥ r ( x n ) ∥ = 0, w n = P r C ∩ H n ( x n ) nếu ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0 và theo Bổ đề 4.1, dẫn tới

Sử dụng x n+1 = α n x n + (1 − α n )( β n w n + (1 − β n ) Sw n ) và Bước 1, ta có

Từ (4.5) và (4.6), suy ra m = lim n →∞ ∥ w n − x ∗ ∥

Vì y n là nghiệm duy nhất của bài toán min

Thay y = x n ∈ C vào bất đẳng thức trên và sử dụng giả thiết f ( x n , x n ) = 0, ta được

Từ f ( x n , ã ) lồi và khả dưới vi phõn trờn C , ta cú f ( x n , y ) − f ( x n , x n ) ≥ ⟨ u n , y − x n ⟩ , ∀ y ∈ C, trong đó u n ∈ ∂ 2 f ( x n , x n ) Thay y = y n , ta được f ( x n , y n ) ≥ ⟨ u n , y n − x n ⟩

Kết hợp bất đẳng thức này và (4.7), ta được

Từ giả thiết u n ∈ ∂ 2 f ( x n , x n ) và { x n } bị chặn theo (4.4) dẫn tới dãy { u n } bị chặn.

Từ (4.8), dãy { y n } bị chặn, z n = x n − γ m n ( x n − y n ) cũng bị chặn, do đó các dãy

Bây giờ, ta định nghĩa { x n k } là dãy con của { x n } sao cho

∥ r ( x n k +p ) ∥ 4 , (4.9) trong đó p = n k+1 − n k − 1, y ¯ n k +p = P r H nk + p ( x n k +p ), x ∗ ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ) và dãy

Nếu n k+1 = n k + 1, thì từ Bước 1, ta có (4.9) Ngược lại, nếu tồn tại một số nguyên dương p sao cho n k + p + 1 = n k+1, thì có ∥ r ( x n k +i ) ∥ = 0 với mọi i = 0, 1, , p − 1 Sử dụng r ( x n k +p ) ̸ = 0, theo (4.3) và Bước 1, ta có kết quả mong muốn.

Do đó, (4.9) được chứng minh.

Bước 4 Chứng minh rằng các dãy { x n } , { y n } và { w n } hội tụ yếu tới x ¯, trong đó ¯ x ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ).

Vì dãy {∥ x n − x ∗ ∥} hội tụ, nên lim k →∞ γ m nk + p ∥ r ( x n k +p ) ∥ = 0

Trường hợp 1 lim sup k →∞ γ m nk + p > 0 Trong trường hợp này, ta có lim inf k→∞ ∥ r ( x n k +p ) ∥ = 0

Vì { x n k +p } là dãy bị chặn, nên nó có điểm hội tụ yếu x ¯, tức là tồn tại dãy con

{ x n kj } hội tụ yếu tới ¯ x khi j → ∞ sao cho r (¯ x ) = 0 Do đó, x ¯ ∈ Sol ( C, f ).

Trường hợp 2 lim k →∞ γ m nk + p = 0 Vì {∥ x n k +p − x ∗ ∥} hội tụ, nên tồn tại dãy con

{ x n kj } của { x n k +p } hội tụ yếu tới x ¯ khi j → ∞ Vì m n k +p là số nguyên không âm nhỏ nhất thỏa mãn (4.1), nên m n k +p − 1 không thỏa mãn (4.1), do đó f ( x n kj − γ m nk j − 1 r ( x n kj ) , y n kj )

Chuyển qua giới hạn khi j → ∞ và sử dụng tính liên tục của f , ta được y n kj ⇀ ¯ y và f (¯ x, ¯ y ) ≥ − σ || r (¯ x ) || 2 , (4.10) trong đó r (¯ x ) = ¯ x − y ¯ Từ (4.7), suy ra f ( x n kj − 1 − γ m nk j r ( x n kj − 1 ) , y n kj − 1 ) + β

Sử dụng tính liên tục của hàm f và chuyển qua giới hạn khi j → ∞ , ta được f (¯ x, y ¯) + β

Kết hợp bất đẳng thức này và (4.10), ta có σ ∥ r (¯ x ) ∥ 2 ≥ − f (¯ x, y ¯) ≥ β

Khi đó, r (¯ x ) = 0 nên x ¯= ¯ y ∈ Sol ( C, f ) Vậy, điểm hội tụ yếu của dãy { x n k +p } là nghiệm của bài toán EP ( f, C ).

Chúng ta sẽ chứng minh rằng điểm hội tụ yếu của dãy { x n k +p } là điểm bất động của ánh xạ không giãn S Giả sử tồn tại dãy con { x n kj } của { x n k +p } hội tụ yếu tới x ¯ khi j → ∞, từ đó suy ra x ¯ ∈ Sol ( C, f ) Đồng thời, các dãy { y n kj } và { w n kj } cũng hội tụ yếu tới x ¯ khi j → ∞.

∥ x n kj − Sx n kj ∥ ≤ ∥ x n kj − w n kj ∥ + ∥ w n kj − Sw n kj ∥ + ∥ Sw n kj − Sx n kj ∥

≤ ∥ w n kj − Sw n kj ∥ + 2 ∥ x n kj − w n kj ∥

Theo Bổ đề 2.2, ta có ¯ x ∈ F ix ( S ), dẫn đến ¯ x ∈ F ix ( S ) ∩ Sol( f, C ) Để chứng minh dãy { x n } hội tụ yếu tới x ¯, giả sử { ¯ x n k } là một dãy con khác của { x n } sao cho ¯ x n k ⇀ x ˆ khi k → ∞ Khi đó, ˆ x thuộc Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ).

Ta sẽ chứng minh ˆ x = ¯ x Giả sử x ¯ ̸ = ˆ x , thì từ (4.4) và điều kiện Opial, suy ra m = lim n →∞ ∥ x n − ¯ x ∥

= m Điều này dẫn tới mâu thuẫn, do đó ¯ x = ˆ x Vậy dãy { x n } hội tụ yếu tới ¯ x Tương tự, các dãy { y n } và { w n } cũng hội tụ yếu tới x ¯.

Bước 5 Chứng minh rằng các dãy { x n } , { y n } và { w n } hội tụ yếu tới x ¯, trong đó ¯ x = lim n →∞ P r F ix(S ) ∩ Sol(C,f) ( x n ). Đặt t n = P r F ix(S)∩Sol(C,f)( x n ), sử dụng định nghĩa của P r C , ta có

Theo Bổ đề 2.3, ta có t n = P r F ix(S) ∩ Sol(C,f) ( x n ) → ˆ x ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ) khi n → ∞ (4.12)

Chuyển qua giới hạn trong (4.11) kết hợp với (4.12) và x n ⇀ x ˆ khi n → ∞ , ta được

Do đó, x ¯= ˆ x và ¯ x = lim n →∞ P r F ix(S)∩Sol(C,f )( x n )

Từ Bước 4, các dãy { x n } , { y n } và { w n } hội tụ yếu tới x ¯, trong đó ¯ x = lim n →∞ P r F ix(S) ∩ Sol(C,f ) ( x n )

4.1.3 Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân Áp dụng Thuật toán 4.1 cho bài toán tìm phần tử chung của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn S và tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Thuật toán 4.2 Chọn x 0 ∈ C , n = 0, γ ∈ (0 , 1), 0 < σ < β 2 và dãy các số dương

{ α n } , { β n } thỏa mãn các điều kiện:

Nếu ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì chuyển sang Bước 2 Ngược lại, đặt w n = x n và chuyển sang Bước 3.

Bước 2 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m n sao cho

Tính w n = P r C ∩ H n ( x n ) , trong đó z n = x n − γ m n r ( x n ) và H n = { x ∈ H : ⟨ F ( z n ) , x − z n ⟩ ≤ 0 } , và chuyển sang Bước 3.

Nếu y n = x n , x n+1 = x n , thì dừng, x n ∈ Sol ( C, F ) ∩ F ix ( S ) Ngược lại, chuyển sang Bước 4.

Theo Định lý 4.2, khi C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, cùng với ánh xạ không giãn S: C → C, ta có thể đạt được kết quả hội tụ cho Thuật toán 4.2 Hơn nữa, F: C → H là một hàm liên tục và giả đơn điệu.

F ix ( S ) ∩ Sol ( C, F ) ̸ = ∅ Khi đó, các dãy { x n } , { y n } và { w n } sinh bởi Thuật toán

4 2 hội tụ yếu tới x ∗ , trong đó x ∗ = lim n→∞ P r Fix(S) ∩ Sol(C,F ) ( x n ).

Ví dụ 4.1 Xét bài toán bất đẳng thức biến phân V I ( C, F ) trên R 3 Miền xác định C và ánh xạ F : C ⊂ R 3 → R 3 được xác định như sau

Khi đó, F là giả đơn điệu trên C Với mỗi x ∈ C , ta xét ánh xạ không giãn S được định nghĩa bởi:

Ta biết rằng y n = P r C ( x n − β 1 F ( x n )) là nghiệm của bài toán V I ( C, F ) khi và chỉ khi ∥ x n − y n ∥ = 0 Do đó, x n là một ϵ - nghiệm xấp xỉ của bài toán V I ( C, F ) khi ∥ x n − y n ∥ ≤ ϵ Ngoài ra, từ Bước 3 của Thuật toán 4.2, x n được xác định là một ϵ - điểm bất động của ánh xạ không giãn S nếu ∥ x n+1 − x n ∥ ≤ ϵ Vì vậy, x n sinh ra từ Thuật toán 4.2 có thể được coi là một ϵ - nghiệm xấp xỉ của bài toán tìm điểm chung giữa tập nghiệm của bài toán V I ( C, F ) và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.

Ta chọn các tham số như sau: β = 2 , σ = 0 1 , γ = 0 999 , ϵ = 10 − 3 , α n = 0 7 , β n = 0 1 , ∀ n = 1 , 2 , n x n 1 x n 2 x n 3 x n 1 x n 2 x n 3

Khi chọn giá trị khởi đầu x₀ = (0.2, 0.7, 0.1), sau 16 bước lặp, chúng tôi thu được nghiệm xấp xỉ ϵ là x̄ = (0.1003, 0.8993, 0.0004) trong thời gian 0.49 giây Nếu chọn x₀ = (0.3, 0.5, 0.2), sau 18 bước lặp, nghiệm xấp xỉ cũng đạt được với thời gian 0.52 giây Nghiệm xấp xỉ x̄ rất gần với nghiệm chính xác x* = (0.1, 0.9, 0) của bài toán Tất cả các tính toán được thực hiện trên Matlab R2010b trên Laptop Intel(R) Core(TM) i3-2330M CPU @ 2.20GHz và 2GB RAM.

Giải bài toán cân bằng và một họ các ánh xạ không giãn

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày bài toán tìm kiếm điểm chung giữa tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f) và tập hợp các điểm bất động ∩ ∞ i=1 F ix (S i) trong một họ vô hạn các ánh xạ không giãn {S i}.

Tìm x ∗ ∈ ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) ∩ Sol ( C, f ) , (4.15) trong đó hàm f và các ánh xạ S i ( i = 1 , 2 , ) thỏa mãn các điều kiện:

( E 1 ) f giả đơn điệu và liên tục trên C ;

( E 3 ) Với mỗi x ∈ C, f ( x, ã ) lồi và khả dưới vi phõn trờn C ;

( E 4) { S i } là một dãy các ánh xạ không giãn chính quy tiệm cận đều trên C , tức là, với mọi m ≥ 1, i→∞ lim sup x ∈ C ∥ S m ( S i x ) − S i x ∥ = 0 , hơn nữa, giả sử tồn tại giới hạn

Sx = lim i →∞ S i x, với mọi x ∈ C và F ix ( S ) = ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) Để xác định điểm chung của một tập hợp vô hạn các ánh xạ không giãn { S n }, Y Song và R Chen đã giới thiệu dãy lặp { x n } với x 0 ∈ C và x n+1 = α n x n + (1 − α n ) S n x n, với C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực, và { α n } thuộc [ a, b ] ⊂ (0 , 1) Họ đã chứng minh rằng dãy { x n } hội tụ yếu tới x ∗ thuộc ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ).

Sau đó, kỹ thuật này được mở rộng bởi Y Yao, Y.C Liou, và J.C Yao [66] để tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán (4.15) trong một không gian

Tìm y n ∈ C sao cho h ( y n , x ) + 1 r n ⟨ x − y n , y n − x n ⟩ ≥ 0, ∀ x ∈ C Đặt x n+1 = α n f ( x n ) + β n x n + γ n W n ( y n ), với f : C → C là ánh xạ co và W n là W-ánh xạ của { S n } Dưới các điều kiện hạn chế của tham số, các tác giả đã chứng minh rằng các dãy { x n } và { y n } hội tụ mạnh tới x ∗, trong đó x ∗ = P r ∩ ∞ i =1 F ix(S i )∩Sol(C,f) f ( x ∗ ).

Trong thời gian gần đây, các phương pháp tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán (4.15) cũng đã được giới thiệu trong nhiều bài báo (xem [7, 29, 59,

Chúng tôi đã giới thiệu một kỹ thuật lặp mới để tìm điểm chung của bài toán bằng cách kết hợp phương pháp xấp xỉ và cải tiến dãy lặp trong kỹ thuật tìm kiếm theo tia kiểu Armijo Tại mỗi bước lặp thứ n, chỉ cần giải bài toán lồi mạnh với song hàm giả đơn điệu mà không cần điều kiện liên tục kiểu Lipschitz Đồng thời, chúng tôi thực hiện việc tìm hình chiếu của các điểm trong dãy lặp lên một tập lồi, đóng Kết quả cho thấy dãy lặp sinh bởi thuật toán này hội tụ tới điểm chung cần tìm.

Bước 1 Giải bài toán lồi mạnh y n = argmin

} và đặt r ( x n ) = x n − y n Nếu ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì chuyển sang Bước 2 Ngược lại, đặt w n = x n và chuyển sang Bước 3.

Bước 2 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m n sao cho f ( x n − γ m n r ( x n ) , y n )

Nếu y n = x n , x n+1 = x n , thì dừng, x n ∈ ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) ∩ Sol ( C, f ) Ngược lại, chuyển sang Bước 4.

4.2.2 Kết quả hội tụ Để khảo sát sự hội tụ của Thuật toán 4.3, ta sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề 4.2 ([50]) Cho { α n } là dãy số thực thỏa mãn 0 < a ≤ α n ≤ b < 1 với mọi n = 0 , 1 , , { v n } và { w n } là các dãy trong H , sao cho lim sup n→∞ ∥ v n ∥ ≤ c, lim sup n→∞ ∥ w n ∥ ≤ c, n lim →∞ ∥ α n v n + (1 − α n ) w n ∥ = c, với mỗi c ≥ 0 Khi đó, n lim →∞ ∥ v n − w n ∥ = 0

Chúng tôi sẽ chứng minh sự hội tụ của các dãy { x n }, { y n } và { w n } được sinh ra từ Thuật toán 4.3 bằng cách giải quyết bài toán tìm điểm chung của hai tập hợp.

Định lý 4.3 chứng minh rằng với C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của R s, các ánh xạ không giãn S i: C → C cho mọi i ≥ 1, và hàm f: C × C → R thỏa mãn các giả thiết nhất định, ta có thể áp dụng ∩ ∞ i=1 F ix(S i) và Sol(C, f) mà không cần điều kiện liên tục kiểu Lipschitz cho tính giả đơn điệu của song hàm f.

Các dãy { x n }, { y n } và { w n } được sinh bởi Thuật toán 4.3 hội tụ đến một điểm x ∗ thuộc giao của các tập hợp F ix(S i ) và Sol(C, f) Cụ thể, x ∗ được xác định là giới hạn khi n tiến tới vô cùng của P r giao của các F ix(S i ) và Sol(C, f) tại điểm x n Định lý này sẽ được chứng minh qua các bước chi tiết.

Bước 1 Nếu tồn tại n 0 sao cho x n = y n với mọi n ≥ n 0 , thì dãy { x n } hội tụ tới x ∗ ∈ ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) ∩ Sol ( C, f )

Nếu ∥ r ( x n ) ∥ = 0, thì x n ∈ Sol ( C, f ) [4] Khi đó, ta có x n+1 = α n x n + (1 − α n ) S n x n , ∀ n ≥ n 0

Theo (4.17), dãy { x n } hội tụ tới x ∗ ∈ ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) Do đó, x ∗ ∈ ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) ∩ Sol ( C, f )

Bước 2 Chứng minh rằng, nếu ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì tồn tại số nguyên không âm nhỏ nhất m n sao cho f ( x n − γ m n r ( x n ) , y n ) ≤ − σ ∥ r ( x n ) ∥ 2

Với ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0 và γ ∈ (0 , 1), giả sử ngược lại, với mọi số nguyên không âm m , ta có f ( x n − γ m r ( x n ) , y n )

Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức trên khi m → ∞ và sử dụng tính liên tục của hàm f , ta được f ( x n , y n )

+ σ || r ( x n ) || 2 ≥ 0 (4.19) Mặt khác, từ y n là nghiệm duy nhất của bài toán lồi mạnh min

Thay y = x n vào bất đẳng trên, ta được f ( x n , y n ) + β

2 || r ( x n ) || 2 ≤ 0 (4.20) Kết hợp (4.19) với (4.20), ta có σ || r ( x n ) || 2 ≥ β

Do đó phải xảy ra một trong hai khả năng ∥ r ( x n ) ∥ = 0 hoặc σ ≥ β 2 Khả năng thứ nhất mâu thuẫn với ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0, trong khi khả năng thứ hai mâu thuẫn với giả thiết σ < β 2

Bước 3 Với ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0, chứng minh rằng x n ∈ / H n

Khi đó, sử dụng (4.18) và giả thiết f ( x, x ) = 0 với mọi x ∈ C , ta được

Bước 4 Với ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0, chứng minh rằng w n = P r C∩H n (¯ y n ), trong đó y ¯ n P r H n ( x n ).

Ta biết rằng, nếu đặt K = { x ∈ R s : ⟨ w, x − x 0 ⟩ ≤ 0 } và ∥ w ∥ ̸ = 0, thì

Mặt khác, với mỗi y ∈ C ∩ H n tồn tại λ ∈ (0 , 1) sao cho ˆ x = λx n + (1 − λ ) y ∈ C ∩ ∂H n , trong đó

Từ Bước 2, ta có x n ∈ C nhưng x n ∈ / H n , do đó

Sử dụng w n = P r C ∩ H n ( x n ) và Định lý Pythagorean, ta được

Bước 5 Chứng minh rằng, nếu ∥ r ( x n ) ∥ > 0 và dãy { v n } bị chặn đều bởi M > 0, thì dãy {∥ x n − x ∗ ∥} không tăng và hội tụ Hơn nữa, ta có

(4.23) trong đó y ¯ n = P r H n ( x n ) và x ∗ ∈ ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) ∩ Sol ( C, f ).

Từ Bước 4, ta có w n = P r C ∩ H n (¯ y n ), tức là

⟨ y ¯ n − w n , z − w n ⟩ ≤ 0 , ∀ z ∈ C ∩ H n , trong đó y ¯ n = P r H n ( x n ) Thay z = x ∗ ∈ C ∩ H n , ta được

Thay y bởi y n và kết hợp với các giả thiết f ( z n , z n ) = 0 và z n = x n − γ m n r ( x n ), nhận được f ( z n , y n ) ≥ ⟨ v n , y n − z n ⟩

Kết hợp bất đẳng thức này với (4.18) và giả thiết γ ∈ (0 , 1), ta có

Thay y = x ∗ trong (4.26) và sử dụng f ( z n , z n ) = 0, suy ra f ( z n , x ∗ ) ≥ ⟨ v n , x ∗ − z n ⟩ (4.28)

Vì f giả đơn điệu trên C và f ( x ∗ , x ) ≥ 0 với mọi x ∈ C , nên f ( z n , x ∗ ) ≤ 0

Kết hợp bất đẳng thức này với (4.28), ta được

∥ r ( x n ) ∥ 4 (4.30) Kết hợp (4.24) với (4.30), ta được

Sử dụng (4.31) và x n+1 = α n w n + (1 − α n ) S n w n , ta có

∥ r ( x n ) ∥ 4 (4.32) Trong trường hợp ∥ r ( x n ) ∥ = 0, theo Thuật toán 4.3, ta có w n = x n và

Sử dụng (4.32) và (4.33), ta được

Vì vậy, dãy {∥ x n − x ∗ ∥} không tăng và do đó nó hội tụ Từ (4.32) và dãy { v n } bị chặn đều bởi M > 0, tức là

Bây giờ, ta định nghĩa { x n j } là dãy con của { x n } sao cho

Bước 6 Giả sử x ∗ ∈ ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) ∩ Sol ( C, f ) và dãy { v n } bị chặn đều bởi M > 0, chứng minh rằng

Nếu n j+1 = n j + 1, thì từ Bước 5, ta được (4.34) Ngược lại, giả sử tồn tại một số nguyên dương p sao cho n j + p + 1 = n j+1 Chú ý rằng ∥ r ( x n j +i ) ∥ = 0 với mọi i = 0 , 1 , , p − 1 Từ ∥ r ( x n j +p ) ∥ ̸ = 0, (4.32) và Bước 4, ta có

Bước 7 Chứng minh rằng nếu ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì Sol ( C, f ) ⊆ C ∩ H n

Giả sử x ∗ ∈ Sol ( C, f ) Khi đó, f ( x ∗ , x ) ≥ 0 với mọi x ∈ C Sử dụng tính giả đơn điệu của f , ta được f ( z n , x ∗ ) ≤ 0 (4.35)

≥⟨ v n , x ∗ − z n ⟩ (4.36) Kết hợp (4.35) và (4.36), ta có

Theo định nghĩa của H n , x ∗ ∈ H n Do đó, Sol ( C, f ) ⊆ C ∩ H n

Bước 8 Chứng minh rằng tồn tại c = lim n→∞ ∥ x n − x ∗ ∥ = lim n→∞ ∥ w n − x ∗ ∥ , trong đó x ∗ ∈ ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) ∩ Sol ( C, f ) Khi đó, các dãy { x n } , { y n } , { z n } , { v n } và { w n } bị chặn.

Theo Bước 5, ta đặt c = lim n →∞ ∥ x n − x ∗ ∥ (4.37)

Từ w n = x n nếu ∥ r ( x n ) ∥ = 0, w n = P r C ∩ H n ( x n ) nếu ∥ r ( x n ) ∥ ̸ = 0 và Bước 5, ta được

Do đó n lim →∞ ∥ w n − x ∗ ∥ ≤ lim n →∞ ∥ x n − x ∗ ∥ = c (4.38) Tương tự như (4.33), với x n+1 = α n w n + (1 − α n ) S n w n , ta có

Từ (4.38) và (4.39), ta được c = lim n →∞ ∥ w n − x ∗ ∥

Vì y n là nghiệm duy nhất của bài toán min

Thay y = x n ∈ C vào bất đẳng thức trên và sử dụng giả thiết f ( x n , x n ) = 0, ta được

Từ f ( x n , ã ) lồi và khả dưới vi phõn trờn C , ta cú f ( x n , y ) − f ( x n , x n ) ≥ ⟨ s n , y − x n ⟩ , ∀ y ∈ C, trong đó s n ∈ ∂ 2 f ( x n , x n ) Thay y = y n , ta được f ( x n , y n ) ≥ ⟨ s n , y n − x n ⟩

Kết hợp bất đẳng thức này và (4.40), suy ra

Từ giả thiết s n ∈ ∂ 2 f ( x n , x n ) và { x n } bị chặn theo (4.37), dẫn tới dãy { s n } bị chặn Khi đó, từ (4.41) suy ra { y n } bị chặn, và các dãy { z n = x n − γ m n ( x n − y n ) } ,

Bước 9 Chứng minh rằng các dãy { x n } , { y n } và { w n } hội tụ tới x ¯ ∈ ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) ∩

Sử dụng Bước 6 và Bước 8, ta được dãy { v n } bị chặn bởi M > 0 và

∥ r ( x n j +p ) ∥ 4 , với p = n j+1 − n j − 1 Từ {∥ x n − x ∗ ∥} hội tụ, suy ra j lim →∞ γ m nj + p ∥ r ( x n j +p ) ∥ = 0

Ta xét các trường hợp sau.

Trường hợp 1 lim sup j →∞ γ m nj + p > 0 Khi đó, ta có lim inf j →∞ ∥ r ( x n j +p ) ∥ = 0 Do

{ x n j +p } bị chặn, nên tồn tại điểm tụ x ¯của { x n j +p } Nói cách khác, dãy con { x n ji } hội tụ tới x ¯ khi i → ∞ sao cho r (¯ x ) = 0 Khi đó theo Bước 1, ta có ¯ x ∈ Sol ( C, f ).

Trong trường hợp 2, khi giới hạn lim j→∞ γ m nj + p = 0, ta có thể thấy rằng dãy {∥ x n j +p − x ∗ ∥} hội tụ, từ đó dẫn đến sự tồn tại của một dãy con { x n ji } từ { x n j +p } hội tụ tới x ¯ khi i → ∞ Đặc biệt, m n j +p là số nguyên không âm nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (4.18), do đó m n j +p − 1 không thỏa mãn (4.18) Kết quả là, ta nhận được f ( x n ji − γ m nj i − 1 r ( x n ji ) , y n ji ).

Chuyển qua giới hạn khi i → ∞ và sử dụng tính liên tục của song hàm f , ta có y n ji → ¯ y và f (¯ x, ¯ y ) ≥ − σ || r (¯ x ) || 2 , (4.42) trong đó r (¯ x ) = ¯ x − y ¯ Từ (4.20), dẫn tới f ( x n ji −1 − γ m nj i r ( x n ji ) , y n ji −1 ) + β

Từ f liên tục và chuyển qua giới hạn khi i → ∞ , ta được f (¯ x, y ¯) + β

Kết hợp bất đẳng thức này với (4.42), ta có σ ∥ r (¯ x ) ∥ 2 ≥ − f (¯ x, y ¯) ≥ β

2 ∥ r (¯ x ) ∥ 2 Điều này dẫn tới r (¯ x ) = 0, và do đó x ¯= ¯ y ∈ Sol ( C, f ) Vậy, mọi điểm tụ của dãy

{ x n j +p } đều là nghiệm của bài toán EP ( f, C ).

Chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi điểm tụ của dãy { x n j +p } đều là điểm bất động của ánh xạ S Giả sử tồn tại một dãy con { x n ji } của { x n j +p } hội tụ tới x ¯ khi i → ∞ Theo chứng minh trước đó, x ¯ thuộc Sol ( C, f ) Đối với mỗi x ∗ thuộc Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ), điều này cho thấy mối liên hệ giữa các điểm tụ và điểm bất động trong không gian này.

∥ Sw n ji − x ∗ ∥ = ∥ Sw n ji − Sx ∗ ∥

Sử dụng Bước 8, suy ra lim sup i→∞ ∥ Sw n ji − x ∗ ∥ ≤ lim sup i→∞ ∥ w n ji − x ∗ ∥ = c

Từ (4.37) và Bước 7, ta được i→∞ lim ∥ α n ji ( x n ji − x ∗ ) + (1 − α n ji )(

Theo Bổ đề 4.2, i→∞ lim ∥ Sw n ji − x n ji ∥ = 0

∥ Sx n ji − x n ji ∥ ≤ ∥ Sx n ji − Sw n ji ∥ + ∥ Sw n ji − x n ji ∥

≤ ∥ w n ji − x n ji ∥ + ∥ Sw n ji − x n ji ∥ (4.43) Áp dụng tính chất của phép chiếu P r C :

∥ w n ji − x n ji ∥ 2 = ∥ P r C ∩ H nj i ( x n ji ) − x n ji ∥ 2

→ 0 khi i → ∞ , (4.44) với mọi x ∗ ∈ Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ) Kết hợp (4.43) và (4.44), ta được i→∞ lim ∥ Sx n ji − x n ji ∥ = 0

Vì x n ji → x ¯ khi i → ∞ và lim i →∞ ∥ Sx n ji − x n ji ∥ = 0 nên x ¯ ∈ F ix ( S ) Do đó, x ¯ ∈ Sol ( C, f ) ∩ F ix ( S ) Đặt x ∗ = ¯ x , từ Bước 8, ta có c = lim n →∞ ∥ x n − x ∗ ∥ = lim i→∞ ∥ x n ji − x ∗ ∥ = 0

Do đó, dãy { x n } hội tụ tới x ∗ ∈ ∩ ∞ i=1 F ix ( S i ) ∩ Sol ( C, f ) Tương tự, các dãy { y n } và { w n } cũng hội tụ tới x ∗

Bước 10 Chứng minh rằng các dãy { x n } , { y n } và { w n } hội tụ tới x ∗ , trong đó x ∗ = lim n →∞ P r F ix(S)∩Sol(C,f)( x n ) , với S được định nghĩa bởi (4.16). Đặt t n = P r F ix(S)∩Sol(C,f)( x n ) Theo định nghĩa của P r C , ta có

Theo Bổ đề 2.3, ta có t n = P r F ix(S) ∩Sol(C,f) ( x n ) → ˆ x ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ) khi n → ∞ (4.46)

Chuyển qua giới hạn trong (4.45) kết hợp với (4.46) và x n → x ∗ khi n → ∞ , ta được

⟨ x ˆ − x ∗ , x ˆ − x ⟩ ≤ 0 , ∀ x ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, f ) Điều này dẫn tới x ∗ = ˆ x và x ∗ = lim n→∞ P r F ix(S) ∩ Sol(C,f) ( x n )

Theo Bước 9, các dãy { x n } , { y n } và { w n } hội tụ tới x ∗ , trong đó x ∗ = lim n →∞ P r ∩ ∞ i =1 F ix(S i ) ∩Sol(C,f)( x n )

Giải bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và ánh xạ không giãn

và ánh xạ không giãn

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán tìm điểm chung giữa tập nghiệm của bài toán cân bằng Sol (C, f), tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Sol (C, B) và tập các điểm bất động của ánh xạ không giãn Fix (S).

Bài toán (4.47) là một bài toán tổng quát, bao gồm các trường hợp như bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, điểm bất động và tối ưu véc tơ Nghiên cứu về việc tìm điểm bất động chung của các ánh xạ đã được thực hiện rộng rãi.

[5, 9, 36]) Trên thực tế, x ∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Điểm V I (C, F) là điểm bất động của ánh xạ T λ, với T λ (x) = P r C (x − λF (x)) cho mọi x thuộc C và λ > 0 Đồng thời, với mỗi λ > 0 và x thuộc C, x ∗ nằm trong Sol (C, f) khi và chỉ khi nó là điểm bất động của ánh xạ nghiệm S.

Việc tìm điểm chung giữa tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (f, C), bài toán bất đẳng thức biến phân VI (C, F) và các điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể được quy về việc xác định điểm bất động chung của các ánh xạ này.

Lý thuyết và phương pháp giải bài toán đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả (xem [3, 7, 8, 9, 18, 45, 58, 59]) Trong nghiên cứu của P.L Combettes và S.A Hirstoaga [21], các tác giả đã đề xuất một kỹ thuật lặp để tìm điểm xấp xỉ tốt nhất khi Sol (C, f) không rỗng và chứng minh định lý về sự hội tụ mạnh của thuật toán Dựa trên ý tưởng này, S Takahashi và W Takahashi [55] đã phát triển phương pháp xấp xỉ gắn kết để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng với tập các điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thực Gần đây, P.N Anh [4] đã giới thiệu thuật toán đạo hàm tăng cường dạng lai ghép nhằm tìm điểm chung của tập F ix (S) ∩ Sol (C, f) Dãy lặp được cho bởi:

Dưới các điều kiện hạn chế về tham số λ n và α n, tác giả đã chứng minh rằng các dãy { x n } và { y n } hội tụ yếu tới điểm x ¯ thuộc giao điểm của tập Fix(S) và tập Sol(C, f) Dựa trên ý tưởng của P.N Anh, R Wangkeeree và P Preechasilp đã cải tiến phương pháp bằng cách thay thế x n+1 trong công thức (4.48) bằng biểu thức x n+1 = P r C ( α n γg ( x n ) + ( I − α n A ) SP r C ( t n − βBt n )), trong đó y n được xác định là argmin{ λ n f ( x n , y ) + ∥ y − x n ∥ 2 : y ∈ C }.

Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu ánh xạ co g và toán tử tuyến tính A, là một toán tử bị chặn dương mạnh từ không gian H vào chính nó Các tác giả đã chứng minh rằng dưới một số điều kiện nhất định, các dãy {x_n}, {y_n} và {t_n} sẽ hội tụ mạnh tới điểm chung của tập hợp F ix(S) ∩ Sol(C, B).

Chúng tôi đã phát triển một kỹ thuật lặp mới kết hợp phương pháp lặp và tìm kiếm theo tia để giải bài toán cân bằng, nhằm tìm điểm chung của F ix (S) ∩ Sol (C, B) ∩ Sol (C, f) Kết quả cho thấy các dãy lặp sinh ra từ kỹ thuật này hội tụ mạnh mẽ tới nghiệm của bài toán (4.47) trong không gian Hilbert thực.

Thuật toán 4.4 Chọn các dãy số dương { α n } , { λ n } ⊂ (0 , 1), β ∈ [ a, b ], 0 < a < b < 2 β , γ > 0, γ − α 1 < γ < γ α , à ∈ (0 , 1), σ ∈ (0 , 1 2 ), x 0 ∈ C , n = 0

Bước 1 Giải bài toán lồi mạnh y n = argmin { λ n f ( x n , y ) + 1

2 || y − x n || 2 : y ∈ C } , (4.49) và đặt d ( x n ) = x n − y n Nếu ∥ d ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì chuyển sang Bước 2 Ngược lại, đặt t n = x n và chuyển sang Bước 3.

Bước 2 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m n sao cho f ( x n − à m n d ( x n ) , y n )

Tính t n = P r C ∩ H n ( x n ) , (4.51) trong đú z n = x n − à m n d ( x n ), v n ∈ ∂ 2 f ( z n , z n ), H n = { x ∈ H : ⟨ v n , x − z n ⟩ ≤ 0 } và chuyển sang Bước 3.

Nếu y n = x n , x n+1 = x n , thì dừng, x n ∈ F ix ( S ) ∩ Sol ( C, B ) ∩ Sol ( C, f ) Ngược lại, chuyển sang Bước 4.

Trong phần này, chúng tôi sẽ chứng minh rằng các dãy { x n }, { y n } và { t n } được định nghĩa bởi Thuật toán 4.4 hội tụ mạnh tới điểm chung trong không gian Hilbert thực Đầu tiên, chúng tôi sẽ nhắc lại các bổ đề liên quan.

Bổ đề 4.3 khẳng định rằng điểm u ∈ C là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I (C, F) nếu và chỉ nếu u thỏa mãn hệ thức u = P r C (u − λF(u)) với mọi λ > 0 Ánh xạ đa trị T: H → 2H được gọi là đơn điệu khi với mọi x, y ∈ H, u ∈ T x và v ∈ T y, thì ⟨x − y, u − v⟩ ≥ 0 Một ánh xạ T là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(T) không hoàn toàn nằm trong đồ thị của bất kỳ toán tử đơn điệu nào khác Để xác định tính cực đại của ánh xạ đơn điệu T, ta cần điều kiện rằng nếu (x, u) ∈ H × H và ⟨x − y, u − v⟩ ≥ 0 với mọi (y, v) ∈ G(T), thì u phải thuộc T x Đối với ánh xạ đơn điệu mạnh ngược B từ C vào H, ta định nghĩa N C(v) là nón pháp tuyến ngoài của C tại v ∈ C, với N C(v) = {w ∈ H: ⟨v − u, w⟩ ≥ 0, ∀u ∈ C}.

Khi đó, T đơn điệu cực đại và 0 ∈ T v khi và chỉ khi v ∈ Sol ( C, B ) [48].

Bổ đề 4.4 ([36]) Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn, dương mạnh trên H với hệ số γ > 0 và 0 < ρ ≤ ∥ A ∥ − 1 , thì ∥ I − ρA ∥ ≤ 1 − ργ

Bổ đề 4.5 ([62]) Cho { a n } là dãy số thực không âm thỏa mãn tính chất sau: a n+1 ≤ (1 − α n ) a n + β n , ∀ n ≥ 0 trong đó { α n } ⊂ (0 , 1) và { β n } ⊂ R sao cho:

Cho f : C × C → R thỏa mãn các tính chất:

Định lý 4.4 xác định rằng với mỗi x ∈ C, hàm f (x, ã) là lồi và khả dưới vi phân trên C Giả sử C là một tập hợp lồi, đóng và khác rỗng trong H, và f : C × C → R là một song hàm thỏa mãn các giả thiết (F1) - (F4) B là một ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số β > 0, trong khi A là một toán tử tuyến tính bị chặn và dương mạnh từ H vào chính nó với hệ số γ > 0, sao cho ∥ A ∥ = 1 Ngoài ra, g : C → C là một ánh xạ co với hệ số α ∈ (0, 1) Giả sử rằng γ > 0 và γ - α1 < γ < αγ Cuối cùng, S là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó, với Ω = F ix(S) ∩ Sol(C, f) ∩ Sol(C, B) khác rỗng Các dãy {xn}, {yn}, và {tn} được sinh bởi các công thức (4.49), (4.51) và (4.52).

(0 , 1) , β ∈ [ a, b ] với 0 < a < b < 2 β và { λ n } ⊂ [ c, d ] , với 0 < c < d < 1 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:

Khi đó, ta có các kết quả sau:

( i ) P r Ω ( I − A + γg ) là ánh xạ co trên C , do đó tồn tại duy nhất q ∈ C sao cho q = P r Ω ( I − A + γg )( q );

( ii ) Các dãy { x n } , { y n } , và { t n } hội tụ mạnh tới cùng một điểm q ∈ F ix ( S ) ∩

Chứng minh ( i ) Với bất kỳ x, y ∈ H , ta có

Do đó, P r Ω ( I − A + γg ) là ánh xạ co trên C Theo nguyên lý ánh xạ co Banach,

P r Ω ( I − A + γg )có duy nhất điểm bất động là q ∈ H Tức là, q = P r Ω ( I − A + γg )( q ). Theo Tính chất 1.1 ( ii ), ta được

Nếu tồn tại n 0 sao cho d(x_n) = 0, tức là x_n = y_n với mọi n ≥ n 0, thì t_n = x_n Theo kết quả của C Klin-eam và S Suantai, các dãy {x_n}, {y_n} và {t_n} hội tụ mạnh tới cùng một điểm q ∈ Ω.

Bây giờ, ta xét d ( x n ) ̸ = 0 và chia chứng minh thành các bước sau.

Bước 1 Chứng minh rằng nếu ∥ d ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì tồn tại số nguyên không âm nhỏ nhất m n sao cho f ( x n − à m n d ( x n ) , y n ) ≤ − σ ∥ d ( x n ) ∥ 2

Chứng minh tương tự Bước 2 của Định lý 4.3.

Bước 2 Chứng minh rằng nếu ∥ d ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì x n ∈ / H n

Bước 3 Chứng minh rằng nếu ∥ d ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì t n = P r C∩H n (¯ y n ), trong đó ¯ y n = P r H n ( x n ).

Bước 4 Chứng minh rằng nếu ∥ d ( x n ) ∥ ̸ = 0, thì Ω ⊆ C ∩ H n

Bước 5 Đặt w n = P r C ( t n − βBt n ) và x ∗ ∈ Ω Chứng minh rằng nếu ∥ d ( x n ) ∥ ̸ = 0,thì các dãy { x n } , { w n } và { t n } bị chặn.

Thật vậy, trong trường hợp ∥ d ( x n ) ∥ ̸ = 0, theo Bước 3, ta có t n = P r C ∩ H n (¯ y n ), tức là

⟨ ¯ y n − t n , z − t n ⟩ ≤ 0 , ∀ z ∈ C ∩ H n , trong đó ¯ y n = P r H n ( x n ) Thay z = x ∗ ∈ Sol ( f, C ) ⊆ C ∩ H n khi đó theo Bước 4, ta có

Từ v n ∈ ∂ 2 f ( z n , z n ), dẫn tới f ( z n , y ) − f ( z n , z n ) ≥ ⟨ v n , y − z n ⟩ , ∀ y ∈ C (4.57) Thay y bởi y n và kết hợp với giả thiết f ( z n , z n ) = 0 và z n = x n − à m n d ( x n ), ta cú f ( z n , y n ) ≥ ⟨ v n , y n − z n ⟩

Kết hợp bất đẳng thức này với (4.50) và giả thiết à ∈ (0 , 1), ta được

1 − à m n ∥ d ( x n ) ∥ 2 (4.58) Thay y = x ∗ trong (4.57) và sử dụng f ( z n , z n ) = 0, dẫn tới f ( z n , x ∗ ) ≥ ⟨ v n , x ∗ − z n ⟩ (4.59)

Từ f giả đơn điệu trên C và f ( x ∗ , x ) ≥ 0với mọi x ∈ C , suy ra f ( z n , x ∗ ) ≤ 0

Kết hợp bất đẳng thức này với (4.59), ta được

Sử dụng (4.56), (4.58) và (4.60), ta có

∥ d ( x n ) ∥ 4 (4.61) Kết hợp (4.55) với (4.61), ta đạt được

Mặt khác, ta thấy I − βB là một ánh xạ không giãn Thật vậy, từ B là ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số β và 0 < β < 2 β với mọi x, y ∈ C, ta có

≤ ∥ t n − x ∗ ∥ Áp dụng Bổ đề 4.4, ta được

= ∥ α n ( γg ( x n ) − Ax ∗ ) + I ( Sw n − Sx ∗ ) − α n A ( Sw n − Sx ∗ ) ∥

( γ − γα ) Theo quy nạp, ta có

Do đó, { x n } bị chặn và khi đó { w n } , { t n } cũng bị chặn.

Bước 6 Chứng minh dãy { y n } bị chặn.

Thật vậy, từ y n là nghiệm duy nhất của bài toán min

Vỡ f ( x n , ã ) lồi và khả dưới vi phõn trờn C , nờn f ( x n , y ) − f ( x n , x n ) ≥ ⟨ u n , y − x n ⟩ , ∀ y ∈ C, trong đó u n ∈ ∂ 2 f ( x n , x n ) Thay y = y n trong bất đẳng thức trên, ta có f ( x n , y n ) ≥ ⟨ u n , y n − x n ⟩

Kết hợp bất đẳng thức này và (4.62), suy ra λ n ⟨ u n , y n − x n ⟩ + 1

Từ u n ∈ ∂ 2 f ( x n , x n ) và { x n } bị chặn theo Bước 5, suy ra dãy { u n } bị chặn Khi đó, từ (4.63) ta được dãy { y n } cũng bị chặn.

Bước 7 Chứng minh rằng lim n→∞ ∥ x n+1 − x n ∥ = 0.

= (1 − α n ( γ − γα )) ∥ x n − x n−1 ∥ + | α n − α n−1 | M, (4.64) trong đó M = sup n≥ 0 {∥ γg ( x n − 1 ) ∥ + ∥ ASw n − 1 ∥} Áp dụng Bổ đề 4.5 và sử dụng giả thiết ( H 1 ), ( H 2 ), ( H 3 ) ta có lim n→∞ ∥ x n − x n−1 ∥ = 0 Do đó, lim n→∞ ∥ x n+1 − x n ∥ = 0

Thật vậy, với mỗi x ∗ ∈ Ω, ta có

Bước 9 Chứng minh rằng lim n →∞ ∥ x n − Sx n ∥ = 0.

Thật vậy, theo Bước 7 và 8, ta có

Sử dụng ( H 1 ) và bất đẳng thức này, suy ra lim n→∞ ∥ Bt n − Bx ∗ ∥ = 0.

Mặt khác, theo Tính chất 1.1 và Bước 7, ta được

Từ bất đẳng thức này và Bước 8, suy ra

+2 β ⟨ t n − w n , Bt n − Bx ∗ ⟩ − β 2 ∥ Bt n − Bx ∗ ∥ 2 ) +2 α n (1 − α n γ ) ∥ γg ( x n ) − Ax ∗ ∥∥ w n − x ∗ ∥

Vì α n → 0 và ∥ Bt n − Bx ∗ ∥ → 0, nên n lim →∞ ∥ t n − w n ∥ = 0

≤ ∥ t n − x n ∥ + ∥ x n − x n+1 ∥ + ∥ x n+1 − Sw n ∥ + ∥ w n − t n ∥ , do đó ∥ t n − St n ∥ → 0khi n → ∞ Suy ra

≤ ∥ x n − x n+1 ∥ + ∥ x n+1 − Sw n ∥ + ∥ w n − x n ∥ , ta được n→∞ lim ∥ x n − Sx n ∥ = 0

Bước 10 Chứng minh rằng lim sup n →∞

Thật vậy, ta chọn một dãy con { w n k } của { w n } sao cho lim sup n →∞

Vì { w n } bị chặn, nên tồn tại dãy con { w n ki } của { w n k } hội tụ yếu tới x ∗

Tiếp theo, ta chứng minh x ∗ ∈ Ω Ta sẽ chứng minh x ∗ ∈ F ix ( S ) Không mất tính tổng quát, ta giả sử w n k ⇀ x ∗ Từ ∥ w n − Sw n ∥ → 0, ta được Sw n k ⇀ p Từ

∥ x n − Sx n ∥ → 0, ∥ x n − w n ∥ → 0 và áp dụng Bổ đề 2.2, ta có x ∗ ∈ F ix ( S ).

Bây giờ, ta chứng minh x ∗ ∈ Sol ( C, f ) Từ các Bước 8 và Bước 9, ta có t n k ⇀ x ∗ , x n k ⇀ x ∗ , y n k ⇀ x ∗

Vì y n là nghiệm duy nhất của bài toán y n =argmin

0 = λ n z + y n − x n + z n , trong đó z ∈ ∂ 2 f ( x n , y n ) và z n ∈ N C ( y n ) Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngoài N C , ta có

⟨ y n − x n , y − y n ⟩ ≥ λ n ⟨ z, y n − y ⟩ , ∀ y ∈ C (4.66) Mặt khỏc, vỡ f ( x n , ã ) khả dưới vi phõn trờn C và z ∈ ∂ 2 f ( x n , y n ), nờn f ( x n , y ) − f ( x n , y n ) ≥ ⟨ z, y − y n ⟩ , ∀ y ∈ C (4.67) Kết hợp (4.66) với (4.67), ta có λ n ( f ( x n , y ) − f ( x n , y n )) ≥ ⟨ y n − x n , y n − y ⟩ , ∀ y ∈ C

Sử dụng { λ n } ⊂ [ c, d ] , 0 < c < d < 1 và tính liên tục của hàm f , ta được f ( x ∗ , y ) ≥ 0 , ∀ y ∈ C

Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng x ∗ ∈ Sol ( C, B ) Đặt

Khi đó, T là toán tử đơn điệu cực đại Cho ( v, u ) ∈ G ( T ), từ u − Bv ∈ N C ( v ) và w n ∈ C , ta có ⟨ v − w n , u − Bv ⟩ ≥ 0 Mặt khác, theo Tính chất 1.1 ( ii ) và từ w n = P r C ( t n − βBt n ), suy ra

Khi k → ∞ , ta có ⟨ v − x ∗ , u ⟩ ≥ 0 Từ T là đơn điệu cực đại, suy ra 0 ∈ T x ∗ , và do đó x ∗ ∈ Sol ( C, B ) Vậy, ta được x ∗ ∈ Ω Hay lim sup n →∞

Thật vậy, từ Bước 5 ta có

Do { x n } , { g ( x n ) } và { Sw n } bị chặn nên ta có thể chọn một hằng số M > ¯ 0 sao cho

∥ x n+1 − q ∥ 2 ≤ (1 − 2 α n ( γ − αγ )) ∥ x n − q ∥ 2 + α n σ n , (4.68) trong đó σ n = 2 ⟨ Sw n − q, γg ( q ) − Aq ⟩ + α n M ¯ Từ (4.65), suy ra lim sup n→∞ σ n ≤ 0 Áp dụng Bổ đề 4.5 cho (4.68), ta được x n → q khi n → ∞

Từ Thuật toán 4.4, ta có thể dễ dàng đạt được thuật toán giải bài toán cân bằng EP ( f, C ) như sau.

Thuật toán 4.5 Chọn các dãy số dương { α n } , { λ n } ⊂ (0 , 1), γ > 0, γ − α 1 < γ < α γ , à ∈ (0 , 1), σ ∈ (0 , 1 2 ), x 0 ∈ C , n = 0

Bước 1 Giải bài toán lồi mạnh sau y n = argmin { λ n f ( x n , y ) + 1

2 || y − x n || 2 : y ∈ C } , và đặt d ( x n ) = x n − y n Nếu ∥ d ( x n ) ∥ = 0, thì dừng, x n ∈ Sol ( C, f ) Nếu

Bước 2 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m n sao cho f ( x n − à m n d ( x n ) , y n )

≤ − σ || d ( x n ) || 2 Tính t n = P r C∩H n ( x n ) , trong đú z n = x n − à m n d ( x n ), v n ∈ ∂ 2 f ( z n , z n ), H n = { x ∈ H : ⟨ v n , x − z n ⟩ ≤ 0 } và chuyển sang Bước 3.

Đặt n := n + 1, và quay lại Bước 1.

Theo Định lý 4.5, nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, và f : C × C → R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (F1) đến (F4), cùng với A là một toán tử tuyến tính bị chặn dương mạnh từ H vào chính nó với hệ số γ > 0 và ∥A∥ = 1, cũng như g : C → C là một ánh xạ co với hệ số α ∈ (0, 1), thì khi thỏa mãn điều kiện γ > 0, γ - α1 < γ < γα và Sol(C, f) ≠ ∅, các dãy {xn}, {yn}, và {tn} được sinh ra từ Thuật toán 4.5 với {αn} ⊂ (0, 1) sẽ hội tụ.

{ λ n } ⊂ [ c, d ] , với 0 < c < d < 1 Giả sử các điều kiện ( H 1 ) − ( H 3 ) của Định lý 4.4 được thỏa mãn Khi đó, ta có các kết quả sau:

( i ) P r Sol(C,f) ( I − A + γg ) là ánh xạ co trên C , do đó tồn tại duy nhất q ∈ C sao cho q = P r Sol(C,f) ( I − A + γg )( q );

( ii ) Các dãy { x n } , { y n } và { t n } hội tụ mạnh tới cùng một điểm q ∈ Sol ( C, f ).

Kết luận

Trong chương 4, chúng tôi áp dụng kỹ thuật tìm kiếm theo tia kiểu Armijo để giải quyết ba loại bài toán quan trọng: tìm điểm chung giữa tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, tìm điểm chung giữa tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của các ánh xạ không giãn, và tìm điểm chung giữa tập nghiệm bài toán cân bằng, tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân, cùng tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Kỹ thuật này nổi bật với cấu trúc và tính toán đơn giản, không yêu cầu điều kiện liên tục kiểu Lipschitz cho song hàm f.

Chúng tôi đã xây dựng một siêu phẳng chứa tập nghiệm của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Bằng cách chiếu điểm lặp hiện tại vào phần giao của siêu phẳng với một tập con lồi, đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, chúng tôi áp dụng kỹ thuật điểm bất động để xác định điểm lặp tiếp theo Kết quả là chúng tôi thu được các định lý về sự hội tụ mạnh và yếu của thuật toán Ngoài ra, trong chương này, chúng tôi cũng đã phát triển ví dụ tính toán trên phần mềm Mathlab cho thuật toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn.

Luận án đã đạt được những kết quả sau:

1) Sử dụng phương pháp điểm bất động trên cơ sở cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường của P.N Anh [4] với phương pháp chính quy thay phiên của S Sun [52] đưa ra một kỹ thuật lặp mới để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschitz trên một không gian Hilbert thực H và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn S mà không cần giải các bài toán cân bằng phụ thường chỉ cho nghiệm dưới dạng xấp xỉ Thay vào đó, tại mỗi bước lặp, chúng tôi chỉ cần giải hai bài toán lồi mạnh, là những bài toán có thể thu được lời giải chính xác và chứng minh được sự hội tụ yếu của thuật toán.

2) Đưa ra phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng bằng cách kết hợp phương pháp lặp kiểu Mann với phép chiếu xấp xỉ ban đầu của dãy lặp lên giao của hai họ các tập lồi, đóng chứa tập nghiệm của bài toán để đạt được sự hội tụ mạnh.

3) Sử dụng phương pháp tìm kiếm theo tia kiểu Armijo loại bỏ điều kiện liên tục kiểu Lipschitz của song hàm f - một điều kiện rất mạnh và khó kiểm tra với một song hàm cho trước, để giải ba loại bài toán: Bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của một họ các ánh xạ không giãn, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng, tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và tập các điểm bất động của một ánh xạ không giãn và thu được các định lý về sự hội tụ mạnh và yếu của thuật toán.

Các vấn đề cần nghiên cứu tiếp theo là:

1) Áp dụng thuật toán điểm gần kề cho bài toán tìm nghiệm chung của F ix ( S ) ∩

Sol ( C, f ) và mở rộng với bài toán cân bằng và một họ các ánh xạ không giãn.

2) Dùng các kỹ thuật chiếu và phương pháp siêu phẳng cắt để tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và tập điểm bất động của các ánh xạ giả co chặt.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

[1] P.N Anh, and D.D Thanh (2015), "Linesearch methods for equilibrium problems and an infinite family of nonexpansive mappings", Bull Malays Math Sci. Soc 38(3), pp 1157-1175.

[2] P.N Anh, L.Q Thuy, and D.D Thanh (2015), "A fixed point scheme for nonexpansive mappings, variational inequalities and equilibrium problems",Vietnam

[3] D.D Thanh, P.N Anh, and P.K Anh (2014), "Hybrid linesearch algorithms for equilibrium problems and nonexpansive mappings", Internat J Numer Methods Appl 11(1), pp 39-68.

[4] D.D Thanh (2014), "Strong convergence theorems for equilibrium problems involving a family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi:10.1186/1687-1812-2014-200.

[1] P.K Anh, and C.V Chung (2014), "Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim.

[2] P.K Anh, and D.V Hieu (2014), "Parallel and sequential hybrid methods for a finite family of asymptotically quasi ϕ - nonexpansive mappings", J. Appl Math Comput Doi: 10.1007/s12190-014-0801-6.

[3] P.N Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and Ky Fan inequalities", J Optim Theory Appl (154), pp 303-320.

[4] P.N Anh (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optim (62), pp 271-283.

[5] P.N Anh (2013), "A hybrid extragradient method for pseudomonotone equilibrium problems and fixed point problems", Bull Malays Math Sci Soc.

[6] P.N Anh, and N.D Hien (2012), "The extragradient-Armijo method for pseudomonotone equilibrium problems and strict pseudocontractions",Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1186/1687-1812-2012-82.

[7] P.N Anh, and D.X Son (2011), " A new iterative scheme for pseudomonotone equilibrium problems and a finite family of pseudocontractions", J.Appl Math Inform (29), pp 1179-1191.

[8] P.N Anh, J.K Kim, and J.M Nam (2012), "Strong convergence of an extragradient method for equilibrium problems and fixed point problems", J. Korea Math Soc (49), pp 187 -200.

[9] K Aoyama, Y Kimura, W Takahashi, and M Toyoda (2007), "Approxima- tion of common fixed points of a coutable family of nonexpansive mappings in Banach space", Nonlinear Anal (67), pp 2350-2360.

[10] E Blum, and W Oettli (1994), "From optimization and variational inequality to equilibrium problems", Math Student (63), pp 123-145.

[11] H Brezis (1987), Analyse fonctionnelle: Theórie et applications, MAS-SON.

[12] F.E Browder (1965), "Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space",

Proc Nat Acad Sci USA (54), pp 1041-1044.

[13] N Buong, and N.D Duong (2011), "A method for a solution of equilibrium problem and fixed point problem of a nonexpansive semigroup in Hilbert’s spaces", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2011/208434.

[14] L.C Ceng, and S Huang (2009), "Modified extragradient methods for stric pseudo-contractions and monotone mappings", Taiwan J Math (13), pp. 1197-1211.

[15] L.C Ceng, and J.C Yao (2007), "An extragradient-like approximation method for variational inequalities and fixed point problems", Appl Math. Comput (190), pp 205-215.

[16] L.C Ceng, P Cubiotti, and J.C Yao (2008), "An implicit iterative scheme for monotone variational inequalities and fixed point problems", Nonlinear Anal (69), pp 2445-2457.

[17] L.C Ceng, N Hadjsavvas, and N.C Wong (2010), "Strong convergence theorem by a hybrid extragradient like approximation method for variational inequalities and fixed point problems", J Glob Optim (46), pp 635-646.

[18] L C Ceng, A Petrusel, and J C Yao (2009), "Iterative approaches to solving equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (143), pp 37 - 58.

[19] L.C Ceng, S Schaible, and J.C Yao (2008), "Implicit iteration scheme with perturbed mapping for equilibrium problems and fixed point problems of finitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (139), pp. 403-418.

[20] Y.J Cho, I.K Argyros, and N Petrot (2010), "Approximation methods for common solutions of generalized equilibrium, systems of nonlinear variational inequalities and fixed point problems",Comput Math Appl (60), pp. 2292-2301.

[21] P.L Combettes, and S.A Hirstoaga (2005), "Equilibrium programming in Hilbert space", J Nonlinear Convex Anal (6), pp 117–136.

[22] P Daniele, F Giannessi, and A Maugeri (2003), Equilibrium problems and variational models, Kluwer.

[23] T.T.T Duong, and N.X Tan (2012),"On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems" J Global Optim., (52), pp 711-728.

[24] T.T.T Duong, and N.X Tan (2011),"On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type II and related problems" Acta Math Vietnam, (36), pp 231-248.

[25] K Fan (1972), "A minimax inequality and applications", In: O Shisha (ed.), Inequality III, Academic Press, New York pp 103-113.

[26] A Genel, and J Lindenstrauss (1975), "An example concerning fixed points", Israel J Math (22), pp 81-86.

[27] K Goebel, and W.A Kirk (1990),Topics on metric fixed point theory, Cam- bridge University Press, Cambridge, England.

[28] D Gohde (1965), "Zum prinzip der contraktiven abbindung", Math Nachr.

[29] C Jaiboon, and P Kumam (2009), "A hybrid extragradient viscosity approximation method for solving equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2009/374815.

[30] P.Q Khanh, and N.M Tung (2015), "Optimality conditions and duality for nonsmooth vector equilibrium problems with contraints", Optim (64), pp. 1547-1575.

[31] W.A Kirk (1965), "A fixed point theorem for mappings with do not increase distances", Amer Math Monthly (72), pp 1004-1006.

[32] C Klin-eam, and S Suantai (2009), "A new approximation method for solving variational inequalities and fixed points of nonexpansive mappings", J. Inequal Appl vol 2009, Articale ID 520301, 16pages.

[33] I.V Konnov (2000), Combined relaxation methods for variational inequalities, Springer-Verlag, Berlin.

[34] G.M Korpelevich (1976), "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomikai Matematcheskie Metody (12), pp. 747-756.

[35] W.R Mann (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math. Soc (4), pp 506-510.

[36] G Marino, and H K Xu (2006), "A general iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (318), pp 43-52.

[37] G Marino, and H.K Xu (2007), "Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces",J Math Anal Appl.(329), pp 336-346.

[38] A Moudafi (2000), "Viscosity approximation methods for fixed point problems", J Math Anal Appl (241), pp 46-55.

[39] N Nadezhkina, and W Takahashi (2006), "Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings",

[40] N Nadezhkina, and W Takahashi (2006), "Strong convergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipchitz-continous monotone mappings", SIAM J Optim (16), pp 1230-1241.

[41] K Nakajo, and W Takahashi (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl.

[42] K Nakprasit, W Nilsrakoo, and S.Saejung (2008), "Weak and strong convergence theorems of an implicit iteration process for a countable family of nonexpansive mappings", Fixed point Theory Appl Doi: 10.1155/2008/732193.

[43] J Nash (1950), "Equilibrium points in n-person games", Proceedings of the National Academy of Sciences (54), pp 286-295.

[44] Z Opial (1967), "Weak convergence of the sequence of successive approxima- tions for nonexpansive mappings",Bull Amer Math Soc (73), pp 591-597.

[45] J W Penga, and J C Yao (2010), "Some new extragradient-like methods for generalized equilibrium problems, fixed point problems and variational inequality problems", Optimi Methods Softw (25), pp 677 - 698.

[46] A Petrucel, and J.C Yao (2009), "An extragradient iterative scheme by viscosity approximation methods for fixed point problems and variational inequality problems", Cent Eur J Math (7), pp 335-347.

[47] T.D Quoc, L.D Muu, and N.V Hien (2008), "Extragradient algorithms extended to equilibrium problems", Optim (57), pp 749-776.

[48] R.T Rockafellar (1970), "On the maximality of sums of nonlinear monotone operators", Trans Amer Math Soc (149), pp 75 - 88.

[49] P.H Sach, and L.A Tuan (2013), "New scalarizing approach to the stability analysis in parametric generalized Ky Fan inequality problems", J Optim Theorem Appl (157), pp 347 - 364.

[50] J Schu (1991), "Weak and strong convergence to fixed points of asymptotically nonexpansive mapping", Bulletin Austral Math Soc (43), pp 153- 159.

[51] Y Song, and R Chen (2008), "Weak and strong convergence of Mann’s- type iterations for a countable family of nonexpansive mappings",J Korean

[52] S Sun (2012), "An alternative regularization method for equilibrium problems and fixed point of nonexpansive mappings", J Appl Math Article ID

[53] A Tada, and W Takahashi (2007), "Weak and strong convergence theorems for a nonexpansive mapping and an equilibrium problems", J Optim Theorem Appl (133), pp 359-370.

[54] W Takahashi (1997), "Weak and strong convergence theorems for families of nonexpansive mappings and their applications", Ann Univ Mariae Curie- Sklodowska Sect A (51), pp 277-292.

[55] S Takahashi, and W Takahashi (2007), "Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces", J. Math Anal Appl (331), pp 506-515.

[56] L.A Tuan, P.H Sach, and N.B Minh (2013),"Existence results in a general equilibrium problem ", Numer Funct Anal Optim (34), pp 430-450.

[57] P.T Vuong, J.J Strodiot, and N.V Hien (2012), "Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems", J Optim Theory Appl (155), pp 605-627.

[58] S Wang, and B Guo (2010), "New iterative scheme with nonexpansive mappings for equilibrium problems and variational inequality problems in Hilbert spaces", J Comput Appl Math., (233), pp 2620 - 2630.

[59] S Wang, Y.J Cho, and X Qin (2010), "A new iterative method for solving equilibrium problems and fixed point problems for infinite family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2010/165098.

[60] R Wangkeeree (2008), "An extragradient approximation method for equilibrium problems of a countable family of nonexpansive mappings", Fixed point Theory and Appl Article ID 134148, 17 pages.

[61] R Wangkeeree, and P Preechasilp (2012), "A new iterative scheme for solving the equilibrium problems, variational inequality problems, and fixed point problems in Hilbert spaces", J Appl Math Article ID 154968, 21 pages.

[62] H.K Xu (2003), "An iterative approach to quadratic optimization", J Op- tim Theory Appl (116), pp 659-678.

[63] H.K Xu (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (298), pp 279-291.

[64] H.K Xu, and R.G Ori (2001), "An implicit iteration process for nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim (22), pp 767-773.

[65] Y Yao, Y.C Liou, and J.C Yao (2007), "An extragradient method for fixed point problems and variational iequality problems",J Inequal Appl.Article

Tiêu đề	Một Số Phương Pháp Tìm Nghiệm Chung Của Bài Toán Cân Bằng Và Bài Toán Điểm Bất Động Của Ánh Xạ Không Giãn
Tác giả	Đỗ Duy Thành
Người hướng dẫn	PGS.TS. Phạm Ngọc Anh, GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh
Trường học	Đại học Quốc gia Hà Nội
Chuyên ngành	Toán giải tích
Thể loại	luận án tiến sĩ
Năm xuất bản	2016
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	122
Dung lượng	361,63 KB