KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic
Cho X là một tập khác rỗng Một khoảng cách, hay metric, trên X là một hàm :d X × →X + thỏa mãn:
Cho k là một trường Một chuẩn trên trường k là một ánh xạ :k→ + thỏa mãn:
(1) Trên và , giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn
(2) Cho klà một trường Xét ánh xạ:
Khi đó là một chuẩn trên k , gọi là chuẩn tầm thường
1.1.2 Metric trên trường số hữu tỷ
Cho p là một số nguyên tố Với số nguyên không âm a, đặt ord a p là lũy thừa cao nhất của p chia hết a , tức là số m lớn nhất sao cho 0(mod m ) a≡ p
Với số hữu tỷ a x= b, ta định nghĩa ord x p =ord a p −ord b p
Cho p là một số nguyên tố Với mọi x y , ∈, ta có :
1.1.2.3 Mệnh đề Ánh xạ p :→ + xác định như sau: , 0
= Khi đó p là chuẩn trên
Một chuẩn trên trường k được gọi là chuẩn không Acsimet nếu nó thỏa mãn thêm điều kiện: x+ y ≤max( x , y ), với mọi ,x y∈k
Chuẩn tầm thường trên k là chuẩn không Acsimet trên k
1.1.2.6 Mệnh đề p là chuẩn không Acsimet trên
1.1.3 Xây dựng trường số phức p-adic
1.1.3.1 Định lý (Định lý Ostrowski)
Mọi chuẩn không tầm thường trên tương đương với p với p là số nguyên tố hoặc p= ∞
Giả sử là một chuẩn không tầm thường trên Ta xét hai trường hợp Trường hợp 1 : ∃ ∈n : n >1
Gọi n 0 là số tự nhiên bé nhất sao cho n 0 >1 Ta đặt n 0 α = n 0 , (α =log n 0 n 0 )
Giả sử n = a 0 + a n 1 0 + + a n s 0 s , với 0≤ thì υ p ( P f ( ) )= −n i υ p ( g−e i )0 với p nào đó Theo phần trước, ta có υ p (g−e 2 )≥n Khi đó h g ( − e 2 )≥ n , vì nó bằng số các không điểm, kể cả bội
Ta đặt F =t F G p − 1 , =t G p − 1 với ( )υ p F =υ p ( )G =0 Khi đó
Ch ứng minh Điều này được suy ra từ d η) 1 υ η
Nhắc lại rằng C S ={ p∉S |υ p ( f −u i )=0 với mọi 1≤ ≤i n } Đặt S ={ p∉S |υ p ( f −u i )>0, 1≤ ≤i n }
Giả sử f và g là hai hàm phân biệt khác hằng thỏa mãn
Từ mệnh đề 2.2.1.6, ( ) 1υ p ∞ H p = nếu ( ) 0υ p H p < Từ (2.2.9) ta thấy nếu (H ) 0 υ p p < chỉ nếu (a) υ p ( ) f 0,
(c) υ p ( P f ( ) ) > 0, υ p ( P g ( ) ) > 0, hoặc (d) (υ p d f p )>0, hoặc υ p ( d g p )>0 Do đó, hai số hạng đầu tiên trong các bất đẳng thức (i) hoặc (ii) không kể đến từ (a) và (b) Chú ý rằng
Hơn nữa, nếu (υ p f −u i )>0 thì υ p (g−u j )=υ p (f −u i )>0 với j nào đó
Do đó, số hạng cuối cùng trong (i) chỉ được tính đến khi p∈C S
Bây giờ, xét trường hợp m 0 là một số nguyên dương Nếu υ p ( P f ( ) ) > 0 thì υ p (f −u i )>0 với i nào đó và (υ p g−u j )>0 với j nào đó do
Nếu υ p ( ) d f p = υ p ( ) d g p = 0, thì suy ra υ p ( f − u i ) = 1 và υ p ( g − u j ) = 1, dẫn đến (H) 0 υ p p > theo bổ đề 2.2.1.5 Do đó, chỉ cần xem xét trường hợp khi (υ p d f p ) 1> hoặc (d g) 0 υ p p = Không mất tính tổng quát, ta chỉ xét υ p ( f − u i )≥2 Trong trường hợp này, (υ p d f p ) 1≥, vì vậy (ii) đúng khi m 0 = 1, 2 Giả sử m 0 ≥ 3.
Nếu 2≤υ p ( f − u i )≤ m 0 và 00 với 1≤ ≤ i n nào đó Từ đó suy ra (f u m ) 0 υ p − = với mọi m ≠ i Nếu (υ p f −u i ) 1= thì υ p (g−u j ) 1= với j nào đó vì f g , thỏa mãn
(C m S )và m 0 ≥2 Do đó υ p ( ( )) P f =υ p ( ( )) 1 P g = Từ mệnh đề 2.2.1.5 suy ra ( ) 0υ p H p > Nếu υ p ( f −u i )≥2thì υ p (d f p ) 1≥ Vì vậy (3.15) đúng
Với trường hợp m 0 =1 Nếu (υ p f −u i )>0 thì ta chỉ kết luận rằng (a) (d f) 0 υ p p > hoặc (υ p d g p )>0, hoặc (b) (υ p d f p )=υ p (d g p )=0 Một cách tương tự, trường hợp sau được suy ra từ ( ) 0υ p H p > Vậy ta có (3.15)
Thứ hai, ta khẳng định rằng
Một cách tương tự, ta có
Cộng hai bất đẳng thức này, ta được
Vì f g, là các hàm khác hằng nên h f ( )+ h g ( )≥2 Suy ra
g Đối với trường hợp ,f g là các S−nguyên, N S (f − 1 )=N S (g − 1 )≤ S , ta có
Vì f g, là các hàm khác hằng nên h f ( ) + h g ( ) ≥ 2 Bất đẳng thức này cũng cho ta
Gọi ={ u 1, ,u n } là một cứng affine, tập con của k , đặt ( ) ( 1) ( n )
P X = X −u X −u thỏa mãn giả thiết I, P X '( ) như trong (1) và (i)
4 l≥ , (ii) l=3 và max{ m m m 1, 2, 3 }≥2 hoặc (iii) l=2 và min{ m m 1, 2 }≥2
Giả sử f và g là hai hàm phân biệt khác hằng trên Kthỏa mãn (C m S 0 , )
(c) Nếu m 0 = 1, f và g là các S−nguyên, và nếu n≥2l+6 thì
( ) ( ) 26 20 12 h f +h g ≤ g− + S (d) Nếu m 0 ≥2, f và g là các S−nguyên, và nếu
− thì ( )h f +h g( )≤22g− +8 10S (II) Giả sử thêm l≥2g+4 nếu g≥2
(c) Nếu m 0 =1, f và g là các S−nguyên thì
{ } max 2 6, 2 5 13 2 n≤ l+ l− + g+ S (d) Nếu m 0 ≥ 2, f và g là các S−nguyên thì
Nếu H ≡0 thì từ bổ đề 2.2.9 suy ra 1 0 1
Nếu c 1 ≠ 0 thì (i) ( ) 10(2h f ≤ g− +2 S), và (ii) n≤max{5, 4g+2S}
Nếu c 1 =0 thì P g( )=c P f 0 ( ) Từ định lý 2, ta có ( ) 8h f ≤ g−8, và
( ) 6 6 3 h f ≤ g− + S nếu f và g là các S−nguyên Ngoài ra, nếu ta giả sử thêm l≥2g+4 khi g≥2 thì mâu thuẫn với định lý 2.11 Vậy chỉ cần xét khi 0
H ≡ Định lý này được suy ra trực tiếp từ bổ đề 2.2.8 Chúng ta sẽ trình bày điều kiện cần và đủ để xác định một đa thức là duy nhất.
Cho ={ u 1, ,u n }là cứng affine và là tập con của k Đặt
P X = X −u X −u thỏa mãn giả thiết I và '( )P X như trong (1) Giả sử P không thỏa mãn (1A), (1C) hoặc (1D) Giả sử thêm rằng l≥2g+4 nếu
≥2 g Khi đó là tập xác định duy nhất trên S:
Từ 2.2.2.2(II)(a) và do là tập xác định duy nhất trên S nên ta có 2.2.10(a)
− , kết hợp với 2.2.2.2(II)(b) ta có được 2.2.2.3(b)
Lập luận tương tự, từ 2.2.2.2(II)(c) và 2.2.2.2(II)(d) ta có 2.2.2.3(c) và 2.2.2.3(d)
Cho ={ , ,u 1 u n }là cứng affine và là tập con của k Đặt
P X = X −u X −u thỏa mãn giả thiết I và '( )P X như trong (1) Giả sử P không thỏa mãn (1A), (1C) hoặc (1D)
(I) Giả sử rằng f và g chung nhau trên S
(a) IM, khi đó ( )h f +h g( )≤26g−20+4 S nếu n≥ +2l 13; (b) CM, khi đó ( )h f +h g( )≤22g− +8 4 S nếu n ≥ 2 l + 7 (II) Giả sử rằng f và g là các S −nguyên chung nhau trên S
(a) IM, khi đó ( )h f +h g( )≤26g−20 12+ S nếu n ≥ 2 l + 6; (b) CM, khi đó ( )h f +h g( )≤22g− +8 10 S nếu n ≥ +2 l 3
− , kết hợp với 2.2.2.2(I)(b) ta có 2.2.2.4(I)(b)
Lập luận tương tự, từ 2.2.2.2(I)(c) và 2.2.2.2(I)(d) ta suy ra được 2.2.2.4(II)(a) và 2.2.2.4(II)(b)
Luận văn khám phá các vấn đề liên quan đến tập xác định duy nhất và đa thức duy nhất cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet Những kết quả chính của nghiên cứu này sẽ làm sáng tỏ các khía cạnh quan trọng trong lĩnh vực toán học này.
1 Trình bày các khái niệm, và các tính chất cơ bản, cần thiết cho việv nghiên cứu tập xác định duy nhất và đa thức duy nhất cho các hàm phần hình trên trường không Acsimet Cụ thể gồm: Trường định chuẩn không Acsimet, trường số p-adic Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p -adic Các trường hàm đại số và số chiều của đa tạp xạ ảnh Đường cong đại số Giống của đường cong đại số
2 Đưa ra các điều kiện cần và đủ để một đa thức là duy nhất mạnh: Các định lý 2.1.4.1 và 2.1.4.2, và các điều kiện cần và đủ để một tập là xác định duy nhất: Các định lý 2.2.2.3 và 2.2.2.4.