Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ... Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit.[r]
(1)Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit PHẦN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT Phương pháp 1: Phương pháp x + y = + x + 1) x log y − 2log2 = log + 2 2 ðK: x > −2; y ≠ x Phương trình thứ hai hệ tương ñương : log y − log = log + ⇔ y = + x 2 vào phương trình thứ hệ ta có: x = x + Giải ñược x = ⇒ y = 2 x − 2y − xy − y − = 2) x +1 y +2 2 + = - Coi phương trình thứ hệ là phương trình bậc hai ẩn x, y là tham số giải ñược x=-y-1 x=2y+1 -Nếu x=-y-1 vào phương trình thứ hai ta ñược: 2− y + 2y + = Giải ñược ( x; y ) = ( −1;0 ) ; (1; −2 ) -Nếu x=2y+1 vào phương trình thứ hai ta ñược ( 22 y + + 2y + = Giải ñược ( x; y ) = 2log2 ( ) − − 1;log2 ( ) ) −1 −1 23 x = y − y 3) x + x +1 (ðH_Khối D 2002) =y x +2 Từ phương trình thứ hai hệ rút ñược y = 2x vào phương trình thứ ta ñược y − 5y + 4y = Từ ñó giải ñược ( x; y ) = (0;1);(2;4) log ( y − x ) − log y = 4) (ðH_Khối A 2004) x + y = 25 ðK: y>0;y>x Từ phương trình thứ hệ rút ñược y = x Từ ñó giải ñược (x;y)=(3;4) x − + − y = (ðH_Khối B 2005) 3log ( x ) − log3 y = 5) Từ phương trình thứ hai rút ñược x=y vào phương trình thứ ta ñược x −1 + − x = Giải ñược ( x; y ) = (1;1) ; ( 2;2 ) Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ (2) Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit log ( x + y ) = + log ( xy ) 6) 3x − xy + y = 81 (ðH_Khối A 2009) ðS: (2;2), (−2;−2) 3log x − log21 y = log x.log2 y 2 7) x y 3 + = ðK: x,y>0 Biến ñổi phương trình thứ ta có: x = y log2 x = log2 y 3log22 x − 2log2 x.log2 y + log22 y = ⇔ ⇔ 3log2 x + log2 y = x y = -Nếu x = y vào phương trình thứ hai ta ñược x + x = ⇔ x = ⇔ x = log3 -Nếu x y = vào phương trình thứ hai hệ ta ñược x + x = (*) Với x ≥ ta có x + x > 31 + 30 = Với < x < ta có x + x > 30 + 31 = Vậy (*) vô nghiệm KL: ( x; y ) = ( log2 3;log2 ) x −y x −y 2 + −6 =0 8) 3 3 log(3 x − y ) + log( x + y ) − 4log2 = ðK: x − y > 0; x + y > Từ phương trình thứ thu ñược 2x-y=2 ⇒ y = x − vào phương trình thứ hai ta có x + x − 20 = ðS: ( x; y ) = ( 2;2 ) Phương pháp 2: ðặt ẩn phụ log y = log x − 4log x + 7log x 1) log x = log y − 4log y + 7log y ðK: x > 0; y > ðặt u = log x;v = log y ta có hệ phương trình u = v − 4v + 7v u = v − 4v + 7v (I) ⇔ 2 v = u − 4u + 7u (v − u ) u − (v − 3)u + v − 3v + = Xét phương trình u − (v − 3)u + v − 3v + = (*) ta có ∆u = −3v + 12v − 19 < 0; ∀v nên phương trình (*) vô nghiệm ñối với biến u Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ (3) Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit u = v Do ñó hệ (I) tương ñương ⇔u =v =0 u = v − 4v + 7v Từ ñó giải ñược ( x; y ) = (1;1) log2 x + log2 y = 2) logx + logy = ðK: x > 1; y > ðặt u = log2 x ;v = log2 y ;(u,v > 0) hệ ñã cho trở thành: ( u + v )2 − 2uv = u + v = 1 ⇔ u + v = + = u v 2 uv Giải ñược ( u;v ) = (1;2 ) ; ( 2;1) Từ ñó thu ñược ( x; y ) = ( 2;16 ) ; (16;2 ) 3 − log3 y = − log5 x 3) 3 log5 x − = log3 y − ðK: < y ≤ 35 ; x ≥ 2 u = − log3 y log3 y = − u 3u = − v ðặt thay vào hệ phương trình ta ñược ⇒ 2 3v = − u v = log5 x − log5 x = + v Giải hệ này thu ñược ( u;v ) = (1;1) ⇒ ( x; y ) = (25;81) 2x +1 + − 2y = 4) 2y +1 + − 2x = ðK: 2x ≤ 3;2y ≤ x u = − 2x 2 = − u ðặt ;(u,v ≥ 0) ⇒ y thay vào hệ ñã cho ta ñược 2 = − v v = − 2y Giải hệ này ta có ( u;v ) = (1;1) ⇒ ( x; y ) = (1;1) Phương pháp 3: Lôgarit hóa mũ hóa x −1 yy+1 3 = 24 1) x +1 3 y −1.4 x = 24 ðK: xy ≠ x y1 3 = 18 Hệ phương trình tương ñương với 3 y x = 18 Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ 2u − v − = 2v − u − = (4) Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Lôgarit hai vế phương trình thứ ta có x + log3 = + log3 ⇔ xy − (2 + log3 2)y + 2log3 = y Tương tự phương trình thứ hai tương ñương với xy − (2 + log3 2)x + 2log3 = Trừ vế với vế hai phương trình ta có ( + log3 )( x − y ) = ⇔ x = y Từ ñó giải ñược ( x; y ) = ( 2;2 ) ; ( log3 2;log3 ) ( ) ( ) log y = + log x − y 2) log x = + log y − x 2 ðK: x > 0; y > 0; x − y > 0; y − x > ( ( ) ) 2 log2 y + log2 x − y = x y − y = Hệ tương ñương với ⇔ 2 y x − x = log2 x + log2 y − x = Trừ vế hai phương trình ta có ( x − y )( xy + x + y ) = ⇔ x = y ;( xy + x + y > 0) ( ) Thay vào ta có phương trình x − x − = ⇔ ( x − ) x + x + = ⇔ x = 3x x log2 + log2 y = y + log2 3) x log 12 + log x = y + log 2y 3 ðK: x > 0; y > Phương trình thứ tương ñương 3x 3x log2 y x = log2 2y ⇔ y x = 2y ⇔ 2y x = x.2y 2 Phương trình thứ hai hệ tương ñương với 2y y 2y y log3 ( x.12 x ) = log3 ⇔ x.12 x = ⇔ y y = x.12 x ( ) 3x 2y = ⇔ 36 x = y ⇔ y = x y x 12 Từ ñó giải ñược nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = (1;2 ) Chia vế với vế hai phương trình này ta có 27( x + y ).3 y − x = 4) 3log5 ( x + y ) = x − y ðK: x + y > Phương trình thứ hai hệ tương ñương log5 ( x + y ) = x+y x−y ⇔ x+y =5 3 vào phương trình thứ ta có 27.5 x −y .3 y − x =5⇔ 27 x −y = ⇔ x−y =3 27 Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ (5) Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Từ ñó giải ñược ( x; y ) = ( 4;1) ( ) log x + y − = log13 5) log ( x + y ) = log ( x − y ) + 3log2 ðK: x + y > 0; x − y > Phương trình thứ hai cho ta x + y = 8( x − y ) ⇔ y = 9x vào phương trình thứ hệ ta có 81x log x + = log13 + ⇔ x = 49 ⇔ x = ±7 49 Từ ñó giải ñược ( x; y ) = ( 7;9 ) Phương pháp 4: Sử dụng tính ñơn ñiệu hàm sô x + x + = 3y 1) y + y + = x Xét hàm số f (t ) = t + t + 1; g (t ) = 3t trên ℝ t Ta có f '(t ) = + > 0; ∀t ∈ ℝ; g '(t ) = 3t ln3 > 0; ∀t ∈ ℝ nên f (t ); g (t ) là các HS t +1 ðB trên ℝ f ( x ) = g ( y ) Hệ pt có dạng f y ) = g ( x ) -Nếu x < y ⇒ f ( x ) < f ( y ) ⇒ g ( y ) < g ( x ) ⇒ y < x mâu thuẫn -Nếu x > y ⇒ f ( x ) > f ( y ) ⇒ g ( y ) > g ( x ) ⇒ y > x mâu thuẫn Do ñó x=y thay vào pt hệ ta có x + x + = x ⇔ x ( x + − 1) = (*) Dễ thấy x=0 là nghiệm pt (*) Xét q( x ) = x ) ( x2 + − ( ) x + − ln3 − > 0; ∀x ∈ ℝ nên q(x) là HS ðB trên ℝ x2 + Do ñó x=0 là nghiệm (*) KL : ( x; y ) = ( 0;0 ) ta có q '( x ) = x x + x − x + = y −1 + 2) x −1 y + y − x + = + a + a + = 3b ðặt a = x – ; b = y – Ta ñược hệ b + b + = 3a ðưa hệ 1) Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ (6) Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit x + y = y + x 3) x + y x −1 2 − = x − y y = x Từ phương trình thứ hệ ta có ( x − y )( x + y − 1) = ⇔ y = 1− x -Với y = x ta vào phương trình thứ hai thu ñược 22 x − 2x −1 = ⇔ x = −1 -Với y = − x vào phương trình thứ hai ta có − x −1 = x − ⇔ x −1 + x − = (*) -Xét hàm số f ( x ) = 2x −1 + x − trến ℝ f '( x ) = 2x −1 ln + > hàm số ðB trên ℝ mà f(1)=0 nên x=1 là nghiệm pt (*) KL : (x ;y)=(1 ;0) e x − e y = x − y 4) logx + log ( xy ) = ðK : < x ≠ 1; y > PT thứ hệ e x − x = e y − y (*) Xét hàm số f ( t ) = et − t trên ( 0;+∞ ) Ta có f '(t ) = et − > 0; ∀t ∈ ( 0; +∞ ) nên HS f(t) ðB trên ( 0;+∞ ) Pt (*) f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Thế vào pt thứ hai hệ ta có logx + log x = ⇔ logx + 4log2 x = Giải pt này thu ñược x = 2; x = KL : ( x; y ) = ( 2;2 ) ; ( 2; ) x − y + = log3 ( y − 4) − log3 ( x − 2) 5) 2 x − y = ðK : x > 2; y > Pt thứ hệ tương ñương ( x − ) + log3 ( x − ) = ( y − 4) + log3 ( y − 4) (*) Xét f (t ) = log3 t + t trên ( 0;+∞ ) HS f(t) ðB trên ( 0;+∞ ) nên (*) : f ( x − 2) = f ( y − 4) ⇔ x − = y − ⇔ x = y − vào pt thứ hai hệ ta có y = − (loại) KL : Vậy hệ ñã cho vô nghiệm x e = + y 6) y e = + x Trừ vế với vế hai pt thu ñược e x − e y = y − x ⇔ e x + x = e y + y Xét hàm số f (t ) = et + t trên ℝ Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ (7) Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Cm ñược hàm số ñó ðB trên ℝ Từ (*) ta có x=y vào hai pt hệ ta có e x − x − = Xét g ( x ) = e x − x − trên ℝ g '( x ) = e x − 1; g ''( x ) = e x > nên g’(x) có tối ña nghiệm ; g’(0)=0 BBT x +∞ −∞ g’(x) + g(x) g(x) ñạt GTNN là x=0 KL : ( x; y ) = ( 0;0 ) xy − x + = (1) y − x + 7) x 3 y (2) 2 + x = y + Giải: Xét hàm số f (t ) = 2t + t trên ℝ -Ta có f '(t ) = 2t ln + 3t > 0, ∀t ∈ ℝ nên f (t ) ñồng biến trên ℝ ( 2) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y Thay vào (1) ta có x − x + x −2 x+ = ⇔ − x4 + 4x = 2x −2 x+ Mặt khác 2x −2 x +4 ≥ ⇒ − x + x ≥ ⇔ x − x + ≤ ⇔ ( x − 1) ( x + x + 3) ≤ ⇔ x = Vậy hệ ñã cho có nghiệm ( x; y ) = (1;1) Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ (8)