ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƢỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ  GVHD SVTH LỚP : : : Th.S PHAN THỊ QUẢN NGUYỄN VỎ PHÚC HÒA 11ST ĐÀ NẴNG 5/2015 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP LỜI CẢM ƠN: Đầu tiên, tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến THS.Phan Thị Quản, người Thầy tận tình hướng dẫn động viên tơi suốt thời gian qua để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời tri ân tới ban giám hiệu tập thể giáo viên trường ĐHĐN- ĐH Sư Phạm tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình tham gia học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình động viên bên Nguyễn Vỏ Phúc Hòa SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn khóa luận: Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thiết khoa học Đối tƣợng nghiên cứu 6 Phƣơng pháp nghiên cứu Đóng góp khóa luận Cấu trúc khóa luận PHẦN NỘI DUNG Chƣơng 1: SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức: 1.2 Biểu diễn hình học số phức : 1.3 Cộng, trừ, nhân số phức : 1.3.1 Phép cộng phép trừ hai số phức : 1.3.2 Phép nhân số phức : 1.4 Số phức liên hợp môđun số phức : 1.4.1 Số phức liên hợp : 1.4.2 Môđun số phức : 10 1.5 Phép chia cho số phức khác 0: 10 1.6 Căn bậc hai số phức: 11 1.7 Số phức dƣới dạng lƣợng giác : 12 1.7.1 Dạng lƣợng giác số phức 12 1.7.2 Nhân chia số phức dƣới dạng lƣợng giác: 12 1.7.3 Công thức Moa-vrơ (Moivre) ứng dụng : 13 1.8 Dạng mũ số phức : 14 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƢỢNG GIÁC 15 2.1 Tính tốn biểu diễn số biểu thức: 15 2.1.1 Kiến thức sử dụng: 15 2.1.2 Bài tập áp dụng 19 2.2 Tính giá trị số biểu thức lƣợng giác: 25 2.2.1.Kiến thức sử dụng: 25 2.2.2 Bài tập áp dụng: 26 SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP 2.3 Tổng tích dãy biểu thức lƣợng giác: 29 2.3.1 Kiến thức sử dụng: 29 2.3.2 Bài tập áp dụng: 29 2.4 Sử dụng số phức để giải phƣơng trình lƣợng giác : 39 2.4.1 Kiến thức sử dụng : 39 2.4.2 Bài tập áp dụng : 40 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ 43 3.1 Ứng dụng phƣơng trình: 43 3.1.1 Phƣơng trình bậc hai: 43 3.1.1.1 Phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc hai có dạng 43 3.1.1.2 Bài tập áp dụng 44 3.1.2.Phƣơng trình bậc ba : 45 3.1.2.1.Phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc ba : 45 z az bz c 45 3.1.2.2 Bài tập áp dụng : 47 3.1.3 Phƣơng trình bậc bốn : 49 3.1.3.1 Phƣơng trình bậc bốn dạng : z az bz c 49 3.1.3.2 Phƣơng trình bậc bốn có dạng : z az bz cz d (*) 52 3.2 Ứng dụng việc giải hệ phƣơng trình : 54 3.2.1 Xây dựng hệ phƣơng trình giải ứng dụng số phức : 54 3.2.2 Bài tập áp dụng : 55 3.3 Ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức : 62 3.3.1 Hƣớng giải bất đẳng thức dùng ứng dụng số phức : 62 3.3.2 Bài tập áp dụng : 63 3.4 Ứng dụng việc tính tổng biểu thức có chứa : 66 3.4.1 Khai triển cho x nhận giá trị thích hợp khai triển trực tiếp số phức 66 3.4.1.1 Phƣơng pháp giải 66 3.4.1.2 Bài tập áp dụng : 66 3.4.2 Khai triển đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp: 69 3.4.2.1 Phƣơng pháp giải: 69 3.4.2.2 Bài tập áp dụng: 70 3.4.3 Khai triển cho x nhận giá trị bậc ba đơn vị: 72 SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP 3.4.3.1 Phƣơng pháp giải: 72 3.4.3.2 Bài tập áp dụng : 72 SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn khóa luận: Số phức đời nhu cầu phát triển Toán học giải phương trình đại số Từ đời số phức thúc đẩy Toán học phát triển mạnh mẽ giải nhiều vấn đề khoa học kĩ thuật Đốivới học sinh bậc Trung học phổ thông số phức nội dung cịn mẻ Với thời lượng không nhiều, học sinh biết kiến thức số phức Việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức phương tiện để giải toán Lượng giác Đại số cịn vấn đề khó, địi hỏi học sinh phải có lực giải tốn định, biết vận dụng kiến thức đa dạng Tốn học Có nhiều tài liệu nghiên cứu số phức tài liệu ứng dụng số phức Lượng giác Đại số chưa nhiều chưa đầy đủ vấn đề cụ thể mà sở lí thuyết chung chung tổng quát Với mong muốn tổng hợp lại số kiến thức số phức sở tìm hiểu sâu số ứng dụng số phức việc giải toán Lượng giác Đại số, chúng tơi chọn khóa luận: “ Số phức ứng dụng số phức Lƣợng giác Đại số” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trường số phức, số khái niệm, tính chất số phức Từ nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải só tốn Lượng giác Đại số nhằm giúp thấy ý nghĩa quan trọng số phức Toán học Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kỹ sở lý thuyết số phức, sử dụng số phức vào giải số toán Lượng giác Đại số, phân loại dạng tập đưa phương pháp giải cho dạng cụ thể, sử dụng kết chúng vào SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hịa GVHD: Phan Thị Quản Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP giải số toán Lượng giác Đại số phổ thông nhiều phương pháp khác Giả thiết khoa học Nếu biết cách phân loại toán Lượng giác Đại số sử dụng số phức hợp lý giúp học sinh giải toán Lượng giác Đại số cách dễ dàng Đối tƣợng nghiên cứu Nghiên cứu số vấn đề liên quan đến số phức, trường số phức, khái niệm, tính chất, dạng biểu diễn số phức Nghiên cứu tốn Lượng giác Đại số sử dụng số phức để giải Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức - Kinh nghiệm thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đóng góp khóa luận Khóa luận sau hồn thành làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán Giáo viên phổ thơng Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Phần nội dung bao gồm chương sau: Chương 1: Số phức Chương 2: Ứng dụng số phức vào Lượng giác Chương 3: Ứng dụng số phức Đại số SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hịa GVHD: Phan Thị Quản Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP PHẦN NỘI DUNG Chƣơng 1: SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức: Định nghĩa 1: Một số phức biểu thức dạng a+bi a, b số thực số i thỏa mãn = Kí hiệu số phức z = a + bi i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z = a + bi Tập hợp số phức kí hiệu Định nghĩa 2: Hai số phức z = a + bi (a, b ), z’ = a’ + b’i (a’, b’ ) nếu: a = a’ ; b = b’ Khi ta viết z = z’ 1.2 Biểu diễn hình học số phức : Mỗi số phức z = a + bi (a, b ) biểu diễn điểm M(a ; b) Khi đó, ta thường viết M (a + bi) hay M(z) Gốc O biểu diễn số Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Trục Ox gọi trục thực Trục Oy gọi thực ảo 1.3 Cộng, trừ, nhân số phức : 1.3.1 Phép cộng phép trừ hai số phức : Định nghĩa : SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hịa GVHD: Phan Thị Quản Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Tổng hai số phức : Tổng hai số phức ( , , , = + i, = + i ) + =( + )+( + ).i Tính chất phép cộng số phức : Tính chất kết hợp : ( + )+ = +( + ) với Tính chất giao hốn : + = + với Cộng với : z + = + z = z với z ) , kí hiệu số phức –a – bi –z Với số phức z = a + bi (a, b ta có : z + ( z) = z + z = Số z gọi số đối số phức z Định nghĩa : Hiệu hai số phức tổng số phức z1 số phức đối z , tức với: = + i, = = + i( , +( , , )=( ) )+( ).i Ý nghĩa hình học phép cộng phép trừ số phức : ) biểu diễn điểm M(a, b) có Mỗi số phức z = a + bi (a, b nghĩa vectơ Khi  + , theo thứ tự biểu diễn số phức biểu diễn số phức SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hịa GVHD: Phan Thị Quản + : Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP  biểu diễn số phức 1.3.2 Phép nhân số phức : Định nghĩa : Tích hai số phức phức : = = + i, = +( + i( , , , ) số )i Tính chất phép nhân số phức Tính chất giao hốn : = với Tính chất kết hợp : ( ) = ( ) với Nhân với 1: 1.z = z.1 = z với z Tính chất phân phối ( phép nhân phép cộng) : ( + )= + với 1.4 Số phức liên hợp môđun số phức : 1.4.1 Số phức liên hợp : Định nghĩa : Số phức liên hợp z = a + bi ,(a, b ) a – bi kí hiệu Như ta có : = a bi = a – bi Tính chất : Với số phức z = a + bi ,(a, b ); với , ta có : z z z z z SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hịa GVHD: Phan Thị Quản Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đặt z z z Ta có : Do u; v u vi u v2 u vi , ta có phương trình z i z2 38 i 21 21 ' 21 2 i z 2i z 21 2 i z 21 2 i , nên u 21 x u2 v 2 y v2 11 21 22 7 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : ( x; y) 11 22 ; 21 7 3.3 Ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức : 3.3.1 Hướng giải bất đẳng thức dùng ứng dụng số phức : Biến đổi bất đẳng thức cho thành bất đẳng thức có chứa Xét số phức z1 a bi; z2 a b2 c di Áp dụng bất đẳng thức sau : SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang 62 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP z1 z2 z1 z2 z1 z2 z3 ( z1 ; z2 ) z1 z2 z3 ( z1; z2 ; z3 ) Từ ta có điều cần phải chứng minh 3.3.2 Bài tập áp dụng : Bài : Chứng minh x2 2x x , ta ln có : x2 2x 5 Giải Ta có : (1) x Xét số phức : z1 Vì z1 z2 Vậy x z1 2 22 22 x 1 x 2 22 22 x x; y; z Bài : Chứng xy y x2 xz z z1 z2 22 4i 22 42 5 (đpcm) Để đẳng thức xảy : x 2 x x2 x 2i; z2 x 2i z2 22 x x , ta ln có : y2 yz z ( 1) Giải Ta có : ( 1) x y 2 y SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản z x 2 z y2 yz z Trang 63 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Xét số phức z1 z1 Vì z1 z2 y i; z 2 y z z2 z x z i y z i z1 z2 2 y x y x y z x 2 z y2 Vậy x2 xy y2 x2 xz z 2 x 2 16 32 x x 5 y x x; y; z Bài : Chứng minh x y z 2 yz z yz z (đpcm) y2 z x Để đẳng thức xảy : y z z y 2 xz xy yz , ta ln có : x x 10 x 5 2 (1) Giải Ta có : x2 (1) x 2 x2 x 32 64 x 5 2 SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản x x 20 16 x x2 8 16 x 5 x 4 4 Trang 64 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Xét z1 x 2i; z2 z1 z2 z3 z4 x 2i; z3 x i 5 12 16 i 5 Vế trái (1) x i; z 4i Mặt khác ta có : z1 Vậy 16 x z2 z3 12 z4 2 16 32 x x 5 2x z1 z2 16 x 2 4 x x 10 x 5 2 2x 16 Để đẳng thức xảy : x Bài : Cho a, b, c, d z3 z4 , nên x x 5 thỏa mãn điều kiện : a b 2(a b) c d 36 12(c d ) Chứng minh : a c b d 2 Giải Ta có : a b2 2(a b) c2 d 36 12(c d ) Xét z1 a (1 b)i; z2 z1 z2 z3 a c b c (d 6)i; z3 (c a) (d b)i z1 SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản d 36 5i z2 z3 z1 z2 z3 Trang 65 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP c a d b Mà ta có : c a 2 3.2 1 d b 2 (đpcm) 3.4 Ứng dụng việc tính tổng biểu thức có chứa 3.4.1 Khai triển trực tiếp số phức : cho x nhận giá trị thích hợp khai triển 3.4.1.1 Phƣơng pháp giải Khai triển x n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnk xk Cnn xn Cho x nhận giá trị số phức thích hợp ( thường ta chọn x = i) Khai triển trực tiếp số phức (thông thường xét số phức có argumen ; ; ) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính Suy giá trị tổng cần tìm 3.4.1.2 Bài tập áp dụng : Bài : Tính tổng : A 310 C20 39 C20 38 C20 16 18 20 32 C20 3C20 C20 Giải Xét khai triển : 20 i 20 C200 i 19 C20 310 C20 39 C20 38 C20 SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản 18 C202 18 19 C20 i 3C20 C2020 16 18 20 32 C20 3C20 C20 Trang 66 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP 19 17 20 C C203 19 3C20 i Mặt khác, ta có : 20 20 i 20 220 cos 220 cos i 20 20 i sin i sin 20 cos i sin 6 20 2 20 i 219 219 3i 20 So sánh phần thực i hai cách khai triển ta có : 310 C20 39 C20 38 C20 16 18 32 C20 3C20 20 C20 219 19 Vậy A= Bài : Tính tổng sau : n A C20n C22n C24n B C21n C23n C25n C22nn n C22nn Giải Ta có : x 2n C20n C21n x C22n x2 C22nn x2n C22nn x2n Cho x = i ta : SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang 67 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP 2n i C20n C21ni C22n n C20n C22n C24n C22nn n C22nn n 1 C22nn n C21n C23n C25n C22nn i (1) Mặt khác : i i cos 2n 2n cos i sin n i.2n sin 2n cos n ;B 2n n cos n i sin n n (2) n C20n C22n C24n C22nn B C21n C23n C25n C22nn Từ (1) (2) ta suy : A Vậy A i n sin n 2n cos n 2n sin n n Bài : Tính tổng : A 46 3C502 32 C504 323 C50 50 48 324 C50 325 Giải Xét khai triển : SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang 68 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP 50 2 i 2 50 C 50 50 C 49 49 i C5049 i 2 50 50 50 C 50 50 25 C500 C50 3i C502 C5049 324 3i C50 50 50 3C 50 25 3C cos i sin 50 i C50 C50 3 C5049 324 Mặt khác, ta có : 50 i cos 100 i sin 50 100 cos i sin 3 i 2 50 So sánh phần thực 2 i hai cách khai triển : 50 3C502 32 C504 325 3.4.2 Khai triển đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp: 3.4.2.1 Phƣơng pháp giải: Khai triển x n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnk xk Cnn xn Đạo hàm hai thao x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) So sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính Suy giá trị tổng cần tìm SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hịa GVHD: Phan Thị Quản Trang 69 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP 3.4.2.2 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tính tổng sau: A C150 3C152 5C154 B 2C15 4C153 12 14 7C156 13C15 15C15 13 15 6C155 8C157 14C15 16C15 Giải Xét khai triển: x x x 15 C150 15 xC150 xC15 x2C152 x2C15 13 x3C153 x13C15 x3C152 14 x14C15 13 x4C153 x14C15 15 x15C15 14 x15C15 15 x16C15 Đạo hàm hai vế đẳng thức theo x ta được: x 15 15x x 14 14 15 C150 xC15 3x2C152 x3C153 15x14C15 16x15C15 Với x = i ta có: i 15 15i i 14 12 14 C150 3C152 5C154 7C156 13C15 15C15 13 15 2C15 4C153 6C155 8C157 14C15 16C15 i Mặt khác: i 15 15i i 15 15 14 cos 15 cos SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản 15 4 i sin i sin 15 14 14 15i 15.27 i cos cos 14 4 i sin i sin 14 Trang 70 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP 15 2 2 i 15.27 27 27 i 15.27 16.27 27 i 211 27 i So sánh phần thực phần ảo i triển ta có: C15 3C152 5C154 15 15i i 14 hai cách khai 12 14 7C156 13C15 15C15 211 2C151 4C153 6C155 8C157 14C1513 15C1514 16C1515 211 B Vậy A 27 27 Bài 2: Tính tổng: A C30 3C30 B 2C302 4C304 5C305 7C307 25C3025 27C3027 6C306 8C30 26C3026 29C3029 30 28C3028 30C30 Giải Xét khai triển: x 30 C300 xC30 x2C302 x3C303 x28C3028 x29C3029 x30C3030 Đạo hàm hai vế ta có: 30 x 29 30 C30 2xC302 3x 2C30 28x 27C3028 29x 28C3029 30x 29C30 Cho x = i ta có : 30 i 29 C30 28 29 30 2iC30 3C30 28iC30 29C30 30iC30 C30 3C303 5C305 7C307 25C3025 27C3027 SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản 29C3029 Trang 71 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP i 2C302 4C304 6C306 8C30 26C3026 28C3028 30C3030 Mặt khác ta có : 30 i 29 29 29 30 cos i sin 29 30 cos 29 i sin 29 15.215 15.215 i So sánh phần thực phần ảo hai cách tính ta có : A C30 3C30 B 5C30 7C307 25C3025 27C3027 29C3029 2C302 4C304 6C306 8C308 26C3026 28C3028 30C3030 Vậy A 15.215 B 15.215 15.215 15.215 cho x nhận giá trị bậc ba đơn vị: 3.4.3 Khai triển 3.4.3.1 Phƣơng pháp giải: Khai triển: x n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnk xk Cnn xn n Cho x = 1, ta có: 2 Cho x Cho x Cn0 i Cn1 Cn2 Cnk ta có khai triển 1 Cnn (1) (2) n (3) Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta giá trị tổng cần tìm 3.4.3.2 Bài tập áp dụng : Bài : Tính tổng : S C20 C20 3k C20 C20 15 C20 18 C20 Giải Xét khai triển : SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang 72 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP x 20 18 19 C200 xC20 x2C202 x3C20 x18C20 x19C20 x 20C2020 20 Cho x = ta có : 2 Cho x 20 Cho x C20 C20 i C20 C20 2 18 19 20 C20 C20 C 20 C 20 C 20 (1) , ta có : 18 C20 C20 C20 19 C20 20 C20 (2) ta có : 20 C20 C20 18 C20 C20 C20 19 C20 20 C20 (3) Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta : 220 20 1 20 Mặt khác : Do : 3S 20 3S 20 Hay S 20 Bài : Tính tổng S 40 ;1 20 20 20 220 3k C20 C204 C207 C20 16 19 C20 C20 Giải Xét khai triển : x 20 C20 xC20 x 2C20 18 x3C20 x18C20 19 x19C20 20 x 20C20 Nhân hai vế với x ta có : SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang 73 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP x2 x 20 x2C20 x3C20 x4C20 18 x5C20 x20C20 19 x 21C20 20 x 22C20 Cho x = ta có : 220 18 19 C200 C20 C202 C203 C20 C20 C2020 Cho x ta có : 20 Cho x (1) C20 C20 C20 C20 18 19 C20 C20 20 C20 (2) , ta có : 20 C20 C20 C202 C20 18 19 C20 C20 C2020 (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế, ta có : 220 20 Mặt khác : Do : 3S 20 20 20 42 Hay S SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản 3S 1; 20 21 220 Trang 74 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KẾT LUẬN Với nhiệm vụ đặt ra, khóa luận trình bày cách có hệ thống tương đối đầy đủ kiến thức số phức bao gồm: định nghĩa số phức; dạng đại số số phức, dạng lượng giác số phức; bậc n số phức; biểu diễn hình học số phức số dạng toán ứng dụng vào lượng giác như: tính tốn biểu diễn số biểu thức, tính giá trị số biểu thức lượng giác, tổng tích dãy biểu thức lượng giác, chứng minh bất đẳng thức lượng giác, sử dụng số phức giải phương trình lượng giác, số dạng toán ứng dụng số phức đại số bao gồm: ứng dụng để giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng việc tính tổng biểu thức chứa tổ hợp Ở dạng toán đưa phương pháp, hướng giải, ví dụ minh họa Do thời gian hạn chế, chắn khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy, giáo bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện có nhiều dạng tốn áp dụng SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang 75 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2003), Vai trị phân tích khoa học luận lịch sử toán học nghiên cứu thưc hành dạy học mơn tốn, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, mã số B2001–23-02 Lê Văn Tiến (2003), “Trong nghiên cứu tốn học, “biết vi phạm qui tắc” lại khởi nguồn sáng tạo”, Tạp chí “Dạy học ngày nay” số 6, Tạp chí “Thế giới toán –tin” – Khoa toán ĐHSP HCM tháng 4/2003 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên, 2008), Giải tích 12, NXB Giáo dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên, 2008), Giải tích 12, sách giáo viên, NXB Giáo dục Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên, 2008), Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên, 2008), Giải tích 12 nâng cao, sách giáo viên NXB Giáo dục Trần Trịnh Ninh, Trần Trí Đức (dịch, 1976), Toán học giới ngày nay, NXB Khoa Học Kĩ Thuật, Hà Nội SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa GVHD: Phan Thị Quản Trang 76 ... muốn tổng hợp lại số kiến thức số phức sở tìm hiểu sâu số ứng dụng số phức việc giải toán Lượng giác Đại số, chúng tơi chọn khóa luận: “ Số phức ứng dụng số phức Lƣợng giác Đại số? ?? Mục đích nghiên... CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƢỢNG GIÁC 2.1 Tính tốn biểu diễn số biểu thức: 2.1.1 Kiến thức sử dụng: +) Dạng đại số số phức +) Dạng lượng giác số phức +) Nhân chia số phức dạng lượng giác. .. Chương 1: Số phức Chương 2: Ứng dụng số phức vào Lượng giác Chương 3: Ứng dụng số phức Đại số SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hịa GVHD: Phan Thị Quản Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP PHẦN NỘI DUNG Chƣơng 1: SỐ PHỨC