ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP MƠĐUN VÀ VÀNH GIẢ NỘI XẠ VÀ C -NỘI XẠ Giảng viên hướng dẫn: TS Trương Cơng Quỳnh Sinh viên thực hiện: Phạm Hồng Xn Ninh Lớp: 10CTT1 Đà Nẵng - Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Trước tiên cho em gửi lời cảm ơn chân thành đến tất quý thầy cô khoa Tốn, tất q thầy trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng suốt thời gian qua giảng dạy trang bị cho em kiến thức học tập nghiên cứu, tạo điều kiện cho em thực hoàn thành đề tài Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Cơng Quỳnh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em nhiều suốt trình thực đề tài Em xin cảm ơn lời động viên, khích lệ từ gia đình, chia sẻ, cổ vũ từ bạn bè, tất điều góp phần nhiều cho khóa luận tốt nghiệp em đạt kết tốt Tuy cố gắng khả nghiên cứu kiến thức hạn chế nên q trình hồn thành khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận dạy q thầy giúp em hồn thiện khóa luận đạt kết tốt trình nghiên cứu sau Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Hồng Xn Ninh Khóa luận tốt nghiệp Mục lục MỞ ĐẦU MỘT SỐ KÝ HIỆU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm biết 1.2 Một số kết liên quan 12 Môđun giả nội xạ 14 2.1 Định nghĩa ví dụ 14 2.2 Một số tính chất mơđun giả nội xạ 15 2.3 Tính chất giả nội xạ tựa nội xạ 20 Tính chất c-nội xạ 26 3.1 Tính chất c-nội xạ 27 3.2 Các mơđun tự c-nội xạ miền giao hốn 34 3.3 Các mơđun tự c-nội xạ miền iđêan 42 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Phạm Hồng Xn Ninh Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Môđun nội xạ đối tượng nghiên cứu lý thuyết vành mơđun Vai trị quan trọng lý thuyết vành mơđun trở nên hiển nhiên vào năm 1960, 1970 lâu Trong suốt trình phát triển lý thuyết, nhiều nhà tốn học quan tâm nhiều kết nghiên cứu đưa Người ta mở rộng khái niệm thành khái niệm môđun M -nội xạ, môđun tựa nội xạ Sau đó, dựa yếu tố nội xạ, người ta tiếp tục mở rộng khái niệm môđun gần M -nội xạ, môđun M -nội xạ cốt yếu, môđun giả nội xạ giả nội xạ cốt yếu Vào năm 1975, Jain Singh công bố kết môđun tựa nội xạ giả nội xạ báo mang tên: "Quasi-injective and pseudo-injective modules" Ngồi lớp mơđun giả nội xạ, lớp mơđun c-nội xạ nhà toán học nghiên cứu rộng rãi Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài "Môđun vành giả nội xạ c-nội xạ" để thực Mục đích nghiên cứu đề tài: Mục đích việc nghiên cứu đề tài tìm hiểu tài liệu nước nước ngồi, sau chọn lọc tổng hợp lại kết liên quan đến nội dung cần nghiên cứu Cuối cùng, chúng tơi trình bày lại Phạm Hồng Xn Ninh Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỤC LỤC kết cách khái quát rõ ràng Trước hết, chúng tơi tìm hiểu tính chất môđun giả nội xạ mối liên hệ tính chất giả nội xạ tựa nội xạ mơđun Sau rút mối quan hệ mở rộng tính chất sau mơđun: nội xạ, tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục CS Tiếp theo, chúng tơi tiếp tục tìm hiểu tính chất c-nội xạ Cuối cùng, chúng tơi tìm hiểu đưa mơđun tự c-nội xạ miền giao hốn miền iđêan Giới hạn việc giải đề tài: Đề tài giới hạn việc nghiên cứu tính chất mơđun giả nội xạ, tính chất tựa nội xạ, tính chất c-nội xạ tìm hiểu mơđun tự c-nội xạ miền giao hốn miền iđêan Phương pháp nghiên cứu: Trong trình nghiên cứu đề tài này, chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu phương pháp phân tích, so sánh, chứng minh tổng hợp Các phương pháp cụ thể: sử dụng tài liệu giảng viên hướng dẫn, tài liệu tham khảo khác thông tin, tư liệu internet, báo chí liên quan đến vấn đề cần nghiên cứu, từ chắt lọc thông tin, tư liệu cần thiết, sử dụng phương pháp phân tích, so sánh, chứng minh cuối tổng hợp lại để hoàn thành đề tài Cấu trúc nghiên cứu: Ngoài phần Mở đầu Kết luận, nội dung nghiên cứu đề tài gồm chương: Phạm Hoàng Xuân Ninh Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỤC LỤC Chương Kiến thức chuẩn bị Các khái niệm đề cập chủ yếu chương là: môđun, tổng trực tiếp môđun, môđun nội xạ tựa nội xạ, nội xạ cốt yếu, môđun liên tục, môđun đều, môđun đóng, mơđun mở rộng, chiều Goldie, mơđun suy biến khơng suy biến, đế mơđun Ngồi ra, chương cịn có vài kết biết cần sử dụng để chứng minh cho chương sau Chương Môđun giả nội xạ Các kết tính chất mơđun giả nội xạ, tính chất giả nội xạ tựa nội xạ chương chúng tơi tìm hiểu trình bày lại cách tổng quan, chứng minh tác giả Đinh Quang Hải Trong quan trọng Mệnh đề 2.2.1, phát biểu số tính chất đặc trưng môđun giả nội xạ, Định lý 2.3.4 cho thấy mối liên hệ tính chất giả nội xạ tựa nội xạ Chương Tính chất c-nội xạ Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu tổng hợp kết tính chất c-nội xạ Chúng ta xem xét liên quan tính chất mở rộng với tính chất c-nội xạ, thể qua Mệnh đề 3.1.1 Định lý 3.1.8 cho ta biết M = M1 ⊕ M2 tự c-nội xạ M1 M2 tự c-nội xạ nội xạ lẫn nhau, M1 mở rộng M2 -nội xạ, M2 tự c-nội xạ M1 -nội xạ cốt yếu Phạm Hoàng Xuân Ninh Khóa luận tốt nghiệp MỘT SỐ KÝ HIỆU N ≤M N môđun M N ≤⊕ M N hạng tử trực tiếp M N ≤e M N môđun cốt yếu M N ≤c M N mơđun đóng M Mi tổng trực tiếp họ {Mi }i∈I i∈I E(M ) bao nội xạ M A A đẳng cấu với B B Soc(M ) Phạm Hoàng Xuân Ninh đế M Khóa luận tốt nghiệp Chương Kiến thức chuẩn bị Trong toàn đề tài chúng tơi xét đến R vành có đơn vị = 0, khơng thiết giao hốn 1.1 Một số khái niệm biết Định nghĩa 1.1.1 Cho nhóm aben (M, +) M gọi R-môđun phải M người ta trang bị phép nhân (ngoài) · : M × R −→ M (m, r) −→ mr thỏa mãn tính chất sau: • (mr)r = m(rr ) • m(r + r ) = mr + mr • (m + m )r = mr + m r • 1m = m ∀m, m ∈ M, ∀r, r ∈ R Phạm Hồng Xn Ninh Khóa luận tốt nghiệp 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM ĐÃ BIẾT CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Ký hiệu: MR Hoàn toàn tương tự ta có khái niệm R-mơđun trái Ký hiệu: R M Trong toàn đề tài xét trường hợp M R-môđun phải Định nghĩa 1.1.2 A B hai R-môđun phải Đồng cấu α từ A vào B ánh xạ α : A −→ B thỏa: α(a1 +a2 ) = α(a1 )+α(a2 ) α(ar) = α(a)r với a1 , a2 ∈ A r ∈ R * Hạt nhân, ảnh đồng cấu môđun Cho đồng cấu f : M −→ N, Ker(f ) = {x ∈ M/f (x) = 0N } hạt nhân đồng cấu f Khi f đơn cấu Ker(f ) = Imf = {f (x)/x ∈ M } = f (M ) ảnh đồng cấu f Khi f tồn cấu Imf = f (M ) = N Định nghĩa 1.1.3 Đơn cấu f : N −→ M gọi chẻ Imf ≤⊕ M , nghĩa tồn đồng cấu g : M −→ N để gf = 1N Định nghĩa 1.1.4 Cho {Mi }i∈I họ môđun M Nếu Mj ∩ i∈I Mi = {OM } với j ∈ I j = i i∈I Mi gọi tổng trực tiếp họ mơđun {Mi }i∈I cịn ký hiệu là: i∈I Mi Định nghĩa 1.1.5 Cho M môđun, E(M ) gọi bao nội xạ M E(M ) nội xạ cực đại với tính chất M ≤e E(M ) Định lý 1.1.6 Với N ≤e M E(N ) = E(M ) Định nghĩa 1.1.7 Cho R-môđun M môđun A M A gọi cốt yếu M với K ≤ M , K = A ∩ K = Phạm Hồng Xuân Ninh Khóa luận tốt nghiệp 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM ĐÃ BIẾT CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa 1.1.8 Cho hai R-môđun M N , N gọi M -nội xạ với môđun A M , đồng cấu α : A −→ N mở rộng tới đồng cấu β : M −→ N Môđun N gọi nội xạ M -nội xạ với R-môđun M Mặt khác, N gọi tựa nội xạ (hay tự nội xạ) N N -nội xạ Hai môđun A, B gọi nội xạ lẫn A B-nội xạ B A-nội xạ Định nghĩa 1.1.9 Cho M, N môđun M gọi N -nội xạ cốt yếu với môđun A N , đồng cấu f : A −→ M cho Ker(f ) ≤e A mở rộng thành đồng cấu f : N −→ M , tức f iA = f Môđun M gọi nội xạ cốt yếu M M -nội xạ cốt yếu Định nghĩa 1.1.10 Cho môđun M , M gọi tựa liên tục (M ) ≤ M , với lũy đẳng End(E(M )) Định nghĩa 1.1.11 Một môđun khác không U gọi (uniform) hai môđun khác khơng U có giao khác khơng, nghĩa là, môđun khác không U cốt yếu U Định nghĩa 1.1.12 Cho M môđun N môđun M Môđun N gọi đóng M N khơng có mở rộng cốt yếu thực M Nói cách khác N gọi đóng M với môđun khác không K M mà N ≤e K K = N Ký hiệu N ≤c M Định nghĩa 1.1.13 Xét điều kiện sau môđun M : (C1 ) Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Phạm Hồng Xn Ninh Khóa luận tốt nghiệp 3.2 CÁC MƠĐUN TỰ C-NỘI XẠ TRÊN MIỀN GIAO HỐN CHƯƠNG TÍNH CHẤT C-NỘI XẠ tử khác khơng khác đơn vị R Khi R-mơđun R ⊕ (R/cR) khơng phải tự c-nội xạ Chứng minh Gọi Q ký hiệu trường thương R, cho N = R/cR cho M = c−1 R/cR Khi N môđun M Cho m ∈ M, m = Khi m = c−1 r + cR, với r ∈ R Nếu r ∈ cR m ∈ N , r ∈ R\cR cm = r + cR ∈ N \{0} Vậy N ∩ mR = 0, với m ∈ M \{0} N cốt yếu M Cho X := R ⊕ N m := c−1 + cR ∈ M cho V := {(r, mr) | r ∈ R, mr ∈ N } Theo Bổ đề 3.2.2, V mơđun đóng mơđun X Cho r ∈ R cho mr ∈ N Khi c−1 r + cR = mr = s + cR, với s ∈ R c−1 r − s ∈ cR Vì nên r ∈ cR Vậy cR = {r ∈ R | mr ∈ N } V = {(cr, r + cR) | r ∈ R} Định nghĩa ánh xạ α : V −→ X α(cr, r + cR) = (r, cR), với r ∈ R Dễ thấy, α đồng cấu Giả sử α nâng lên tới đồng cấu β : X −→ X, với β(0, 1+cR) = (a1 , a2 +cR) β(1, cR) = (b1 , b2 +cR), với a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R Khi c(a1 , a2 + cR) = cβ(0, + cR) = β(0, cR) = (0, cR), mà a1 = Từ suy (1, cR) = α(c, + cR) = β(c, + cR) = cβ(1, cR) + β(0, + cR) = c(b1 , b2 + cR) + (0, a2 + cR) Vậy = cb1 , mâu thuẫn Điều chứng tỏ X tự c-nội xạ Hệ 3.2.4 [7, Lemma 3] Cho R miền iđêan M mơđun tự c-nội xạ hữu hạn sinh Khi M mơđun tự mơđun xoắn Phạm Hồng Xn Ninh 37 Khóa luận tốt nghiệp 3.2 CÁC MÔĐUN TỰ C-NỘI XẠ TRÊN MIỀN GIAO HỐN CHƯƠNG TÍNH CHẤT C-NỘI XẠ Chứng minh Theo Bổ đề 3.1.4 Mệnh đề 3.2.3 Bây xét môđun không xoắn miền giao hoán Ta tập trung vào ý sau: (*)R miền giao hoán với trường thương Q, M1 M2 R-môđun Q cho R ≤ M1 ∩ M2 , M := M1 ⊕ M2 , r s phần tử khác không R Với phần tử q ∈ Q R-môđun N Q, ta đặt q −1 N := {x ∈ Q | qx ∈ N } Trong trường hợp q = 0, q −1 N = {y/q ∈ Q | y ∈ N Ngồi ra, L N R-mơđun Q, ta đặt (L : N ) := {q ∈ Q | qN ≤ L} Định lý 3.2.5 [25] Cho R miền giao hoán với trường thương Q cho M1 M2 R-môđun Q cho R ≤ M1 ∩ M2 Khi đó, R-mơđun M : M1 ⊕ M2 mở rộng R ≤ [(M1 : M2 ) ∩ (sM2 : rM1 )] + [(M2 : M2 ) ∩ (rM1 : sM2 )], với phần tử khác không r, s R Chúng ta mô tả đặc điểm M tự c-nội xạ Bổ đề 3.2.6 Với ý (*), cho N := r−1 M1 ∩ s−1 M2 cho K := {(rx, sx)|x ∈ N } Khi K mơđun đóng M Hơn nữa, ánh xạ ϕ : K −→ M R-đồng cấu tồn u ∈ (M1 : N ) v ∈ (M2 : N ) cho ϕ(rx, sx) = (ux, vx), với x ∈ N Chứng minh Cho qi ∈ Mi , i = 1, Giả sử c(q1 , q2 ) ∈ K, với = c ∈ R Tồn x ∈ N cho c(q1 , q2 ) = (rx, sx), nghĩa cq1 = rx cq2 = sx Khi r(x/c) = q1 s(x/c) = q2 , nên x/c ∈ r−1 M1 ∩ s−1 M2 = N Phạm Hồng Xn Ninh 38 Khóa luận tốt nghiệp 3.2 CÁC MƠĐUN TỰ C-NỘI XẠ TRÊN MIỀN GIAO HỐN CHƯƠNG TÍNH CHẤT C-NỘI XẠ (q1 , q2 ) = (r(x/c), s(x/c)) ∈ K Điều dẫn đến K mơđun đóng M Giả sử u ∈ (M1 : N ) v ∈ (M2 : N ) cho ϕ(rx, sx) = (ux, vx), với x ∈ N Dễ dàng kiểm tra ϕ : K −→ M đồng cấu Ngược lại, cho ϕ : K −→ M đồng cấu Khi ϕ(r, s) = (u, v), với u ∈ M1 v ∈ M2 Cho x ∈ N Khi x = a/b, với a, b ∈ R, b = Từ ta có: bϕ(rx, sx) = ϕ(brx, bsx) = ϕ(ar, as) = aϕ(r, s) = a(u, v) Giả sử ϕ(rx, sx) = (p, q), với p ∈ M1 q ∈ M2 Thực tế b(p, q) = a(u, v) dẫn đến bp = au bq = av, vậy, Q, p = au/b = ux q = av/b = vx Vậy ϕ(rx, sx) = (ux, vx) Chú ý ux ∈ M1 vx ∈ M2 Bổ đề 3.2.7 Với ý (*), ánh xạ θ : M −→ M R-đồng cấu tồn phần tử a ∈ (M1 : M1 ), b ∈ (M1 : M2 ), c ∈ (M2 : M1 ) d ∈ (M2 : M2 ) cho θ(x, y) = (ax + by, cx + dy), với x ∈ M1 , y ∈ M2 Chứng minh Giả sử a ∈ (M1 : M1 ), b ∈ (M1 : M2 ), c ∈ (M2 : M1 ) d ∈ (M2 : M2 ) cho θ(x, y) = (ax + by, cx + dy), với x ∈ M1 , y ∈ M2 Dễ dàng kiểm tra θ : M −→ M R-đồng cấu Ngược lại, cho θ : M −→ M R-đồng cấu ι : M −→ Q ⊕ Q đồng cấu bao hàm Vì Q ⊕ Q R-mơđun nội xạ, tồn R-đồng cấu ψ : Q ⊕ Q −→ Q ⊕ Q cho ψι = ιθ Dễ dàng kiểm tra ψ Q-đồng cấu Do đó, tồn a, b, c, d ∈ Q cho ψ(p, q) = Phạm Hoàng Xuân Ninh 39 Khóa luận tốt nghiệp 3.2 CÁC MƠĐUN TỰ C-NỘI XẠ TRÊN MIỀN GIAO HỐN CHƯƠNG TÍNH CHẤT C-NỘI XẠ (ap + bq, cp + dq), với p, q ∈ Q Cho x ∈ M1 y ∈ M2 Khi θ(x, 0) = ψ(x, 0) = (ax, cx) nên ax ∈ M1 cx ∈ M2 Cũng vậy, θ(0, y) = ψ(0, y) = (by, dy) nên by ∈ M1 dy ∈ M2 Điều suy a ∈ (M1 : M1 ), b ∈ (M1 : M2 ), c ∈ (M2 : M1 ) d ∈ (M2 : M2 ) Hơn nữa, ta có θ(x, y) = ψ(x, y) = (ax + by, cx + dy), với x ∈ M1 , y ∈ M2 ) Bổ đề 3.2.8 Với ý (*), cho N := r−1 M1 ∩s−1 M2 K := {(rx, sx)|x ∈ N } Khi đồng cấu ϕ : K −→ M nâng lên tới M (M1 : N ) ≤ (M1 : M1 )r + (M1 : M2 )s (M2 : N ) ≤ (M2 : M1 )r + (M2 : M2 )s Chứng minh Giả sử đồng cấu ϕ : K ∈ M nâng lên tới M Cho u ∈ (M1 : N ) v ∈ (M2 : N ) Định nghĩa ϕ : K −→ M ϕ(rx, sx) = (ux, vx), với x ∈ N Theo Bổ đề 3.2.6, ϕ đồng cấu Theo Bổ đề 3.2.7, tồn a ∈ (M1 : M1 ), b ∈ (M1 : M2 ), c ∈ (M2 : M1 ) d ∈ (M2 : M2 ) cho với x ∈ N , (ux, vx) = ϕ(rx, sx) = (arx + bsx, crx + dsx) Vì R ≤ M1 ∩ M2 , suy R ≤ N mà ∈ N , điều dẫn đến (u, v) = (ar + bs, cr + ds) Khi u = ar + bs ∈ (M1 : M1 )r + (M1 : M2 )s v = cr + ds ∈ (M2 : M1 )r + (M2 : M2 )s Vậy (M1 : N ) ≤ (M1 : M1 )r + (M1 : M2 )s (M2 : N ) ≤ (M2 : M1 )r + (M2 : M2 )s Ngược lại, giả sử hai quan hệ bao hàm thỏa mãn Cho α : K −→ M R-đồng cấu Theo Bổ đề 3.2.6, tồn u ∈ (M1 : N ) v ∈ (M2 : N ) cho α(rx, sx) = (ux, vx), với x ∈ N Theo Phạm Hồng Xn Ninh 40 Khóa luận tốt nghiệp 3.2 CÁC MÔĐUN TỰ C-NỘI XẠ TRÊN MIỀN GIAO HỐN CHƯƠNG TÍNH CHẤT C-NỘI XẠ giả thiết, tồn a ∈ (M1 : M1 ), b ∈ (M1 : M2 ), c ∈ (M2 : M1 ) d ∈ (M2 : M2 ) cho u = ar + bs v = cr + ds Cho β : M −→ M ánh xạ định nghĩa β(y, z) = (ay + bz, cy + dz), với y ∈ M1 z ∈ M2 Theo Bổ đề 3.2.7, β R-đồng cấu Với x ∈ N , β(rx, sx) = (arx + bsx, crx + dsx) = (ux, vx) = α(rx, sx) Vậy α thu hẹp β K Định lý 3.2.9 Cho R miền giao hoán với trường thương Q cho M1 M2 R-môđun Q cho R ≤ M1 ∩ M2 Khi R-mơđun M := M1 ⊕ M2 tự c-nội xạ (M1 : r−1 M1 ∩ s−1 M2 ) ≤ (M1 : M1 )r + (M1 : M2 )s (M2 : r−1 M1 ∩ s−1 M2 ) ≤ (M2 : M1 )r + (M2 : M2 )s, với phần tử khác không r, s R Chứng minh Điều kiện cần suy Bổ đề 3.2.6 Bổ đề 3.2.8 Ngược lại, giả sử (M1 : r−1 M1 ∩ s−1 M2 ) ≤ (M1 : M1 )r + (M1 : M2 )s (M2 : r−1 M1 ∩ s−1 M2 ) ≤ (M2 : M1 )r + (M2 : M2 )s, với phần tử khác không r, s R Cho K môđun đóng M Nếu K ∩(M1 ⊕0) = K ∩(M1 ⊕0) mơđun đóng M1 ⊕ nên K ∩ (M1 ⊕ 0) = M1 ⊕ Vậy nên M1 ⊕ ≤ K K = M1 ⊕ K + M , suy K hạng tử trực tiếp M Tương tự, K ∩ (0 ⊕ M2 ) = K hạng tử trực tiếp Phạm Hồng Xn Ninh 41 Khóa luận tốt nghiệp 3.3 CÁC MÔĐUN TỰ C-NỘI XẠ TRÊN MIỀN IĐÊAN CHÍNH CHƯƠNG TÍNH CHẤT C-NỘI XẠ M Vậy giả sử K ∩ (M1 ⊕ 0) = K ∩ (0 ⊕ M2 ) = Trong trường hợp đặc biệt, K Cho (q1 , q2 ) ∈ K, với = q1 , q2 ∈ Q Khi tồn phần tử khác không r, s, c ∈ R cho q1 = r/c q2 = s/c Vì mà (r, s) = c(q1 , q2 ) ∈ K Theo Bổ đề 3.2.6, K = {(rx, sx) | x ∈ N }, K {(rx, sx) | x ∈ N } Theo Bổ đề 3.2.8, đồng cấu α : K −→ M nâng lên tới M Vậy M tự c-nội xạ 3.3 Các môđun tự c-nội xạ miền iđêan Để mơ tả đặc điểm này, miền iđêan chính, tổng trực tiếp mơđun nội xạ không xoắn môđun xoắn xyclic tự c-nội xạ, cần bổ đề sau Bổ đề 3.3.1 [20, Lemma 2.4] Cho M1 M2 môđun M := M1 ⊕ M2 Một môđun K M phần bù M2 M tồn đồng cấu ϕ : M1 −→ E(M2 ) cho K = {x + ϕ(x)|x ∈ ϕ1 (M2 )} Cho số nguyên dương n, môđun M1 , , Mn gọi tương n phần tử mj ∈ Mj , thích với i r(mi ) + r({mj |1 n, j = i}) = R j j n, ta có Bổ đề 3.3.2 Giả sử R vành di truyền M môđun cho M = M0 ⊕ M1 ⊕ ⊕ Mn với số nguyên dương n, môđun nội xạ không suy biến M0 môđun suy biến Mi = mi R, i n, với E(M1 ), , E(Mn ) tương thích Cho K mơđun đóng khác khơng M cho K ∩ (M1 ⊕ ⊕ Mn ) = Khi x0 + x1 + xn ∈ K, với Phạm Hoàng Xuân Ninh 42 Khóa luận tốt nghiệp 3.3 CÁC MƠĐUN TỰ C-NỘI XẠ TRÊN MIỀN IĐÊAN CHÍNH CHƯƠNG TÍNH CHẤT C-NỘI XẠ = x0 ∈ M0 xi ∈ {0, mi }, i n Hơn nữa, K ≤ M0 ⊕ ( n i=1 xi R) Chứng minh Tồn = m = m + m ∈ K, với m ∈ M0 m ∈ M := M1 ⊕ ⊕ Mn Vì K ∩ M = 0, suy m = Tồn iđêan phải cốt yếu E R cho m E = Khi mE = m E = Vậy K ∩ M0 = Tồn môđun M0 M0 cho M0 = E(K ∩ M0 ) ⊕ M0 Chú ý K ∩ M0 ∩ M0 = K ∩ M = nên K bao M0 mà K không suy biến Giả sử K ∩ (M0 ⊕ M = 0) cho = a ∈ K ∩ (M0 ⊕ M ) Khi aF ≤ K ∩ M0 = K ∩ M0 ∩ M0 = 0, với iđêan phải cốt yếu F R Vậy a = 0, điều có nghĩa K phần bù M0 ⊕ M M = E(K ∩ M0 ) ⊕ M0 ⊕ M Theo Bổ đề 3.3.1, tồn đồng cấu ϕ : E(K ∩ M0 ) −→ M0 ⊕ E(M1 ) ⊕ ⊕ E(Mn ) cho K = {y + ϕ(y) | y ∈ E(K ∩ M0 ), ϕ(y) ∈ M0 ⊕ M1 ⊕ ⊕ Mn } Với i n, cho πi : M0 ⊕ E(M1 ) ⊕ ⊕ E(Mn ) −→ E(Mi ) phép chiếu tắc Cho i n xét đồng cấu πi ϕ : E(K ∩ M0 ) −→ E(Mi ) Giả sử πi ϕ = Vì R di truyền phải, πi ϕ(E(K ∩ M0 )) môđun nội xạ khác không môđun không phân tích E(Mi ) nên πi ϕ(E(K ∩ M0 )) = E(Mi ) Trong trường hợp đặc biệt, tồn e0 ∈ E(K ∩ M0 ) cho πi ϕ(e0 ) = mi Do ϕ(e0 ) = e + e1 + + en , với e ∈ M0 , ej ∈ E(Mj ), j n, ei = mi Khi tồn s ∈ r(mi ), t ∈ r(e1 , , ei−1 , ei+1 , , en ) cho = s+t Khi ϕ(e0 t) = e t + mi t = e t + mi (1 − s) = e t + mi Từ suy e0 t + e t + mi ∈ K Đặt zi := e0 t + e t Khi zi ∈ M0 zi + mi ∈ K Nếu πi ϕ = 0, chọn zi ∈ K ∩ M0 Trong vài trường hợp, zi + xi ∈ K, với xi ∈ {0, mi } Phạm Hoàng Xn Ninh 43 Khóa luận tốt nghiệp 3.3 CÁC MƠĐUN TỰ C-NỘI XẠ TRÊN MIỀN IĐÊAN CHÍNH CHƯƠNG TÍNH CHẤT C-NỘI XẠ Ta chứng minh rằng, với i n, tồn zi ∈ M0 cho zi + xi ∈ K, với xi = πi ϕ = xi = mi πi ϕ = Khi z + x1 + + xn ∈ K, với z := z1 + + zn ∈ M0 Vì K ∩ M = 0, suy z = Cuối cùng, ý K = {y + ϕ(y) | y ∈ E(K ∩ M0 ), ϕ(y) ∈ M0 ⊕ M1 ⊕ ⊕ Mn } ≤ M0 ⊕ ( n i=1 xi R), xi = πi ϕ = Mệnh đề 3.3.3 Giả sử R miền iđêan chính, cho p số nguyên tố cho M môđun p-nguyên sơ với chiều Goldie Khi M tự c-nội xạ Chứng minh Nếu M nội xạ khơng có cần phải chứng minh Giả sử M = M1 ⊕ M2 , với M1 nội xạ khơng phân tích M2 = mR, với mpn = 0, mpn−1 = 0, với số nguyên n Cho U môđun cực đại M cho ϕ : U −→ M2 đồng cấu U đẳng cấu với M1 hạng tử trực tiếp M U xyclic Giả sử U xyclic Khi U = (x + ma)R, với x ∈ M1 a ∈ R với ma = Giả sử a ∈ pR Khi a = pb, với b ∈ R x = yp, với y ∈ M1 Cho U := (y + bm)R ý (y + mb)p = x + ma Khi U mơđun p-ngun tố xyclic, U ≤ U Từ suy U = U Vậy ta giả sử, khơng tính tổng qt, a ∈ / pR, với a = Giả sử ϕ(x + m) = mr, với r ∈ R Định nghĩa θ : M −→ M2 θ(z + mc) = mcr, với z ∈ M1 , c ∈ R Dễ thấy θ đồng cấu Hơn nữa, với s ∈ R, θ((x + m)s) = θ(xs + ms) = msr = ϕ((x + m)s) Vậy ϕ thu hẹp θ U Phạm Hồng Xn Ninh 44 Khóa luận tốt nghiệp 3.3 CÁC MƠĐUN TỰ C-NỘI XẠ TRÊN MIỀN IĐÊAN CHÍNH CHƯƠNG TÍNH CHẤT C-NỘI XẠ Vì đồng cấu từ U đến M2 nâng lên đến M Vì M1 nội xạ, suy M tự c-nội xạ, theo Bổ đề 3.1.4 Bây giả sử M = m1 R ⊕ m2 R, với m1 cấp iđêan ps R m2 cấp iđêan pt R, với số nguyên dương s t Cho U môđun cực đại M Vì m2 R tựa nội xạ, theo [29, p 19], suy m2 R m1 R-nội xạ, theo [29, Proposition 1.5] Vậy đồng cấu từ U đến m2 R nâng lên tới M Cho ϕ : U −→ m1 R đồng cấu Khi U = (m1 a + m2 b)R, với a, b ∈ R Theo lý luận trên, khơng tính tổng qt, giả sử a = b = Nếu b = M = M1 ⊕ U ϕ nâng lên tới M Giả sử a = ϕ(m1 + m2 b) = m1 r, với r ∈ R Định nghĩa θ : M −→ m1 R θ(m1 r1 + m2 r2 ) = m1 r1 r, với tất r1 , r2 ∈ R Khi θ đồng cấu Hơn nữa, ϕ thu hẹp θ U Từ suy đồng cấu từ U đến m1 R nâng lên tới M Vậy M tự c-nội xạ Phạm Hoàng Xuân Ninh 45 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Đề tài bao gồm phần: mở đầu, nội dung kết luận Phần nội dung đề tài trình bày chương Trong Chương 1, nêu khái niệm biết kết liên quan, nội dung sử dụng chương sau Trong Chương 2, chúng tơi ngồi việc trình bày lại định nghĩa tính chất mơđun N M -giả nội xạ, chúng tơi cịn trình bày tính chất giả nội xạ tựa nội xạ, kèm tính chất chứng minh cụ thể Trong Chương 3, qua việc tìm kiếm, nghiên cứu, tổng hợp lại đưa kết chứng minh tính chất c-nội xạ, việc đưa môđun tự c-nội xạ miền giao hốn miền iđêan Phạm Hồng Xn Ninh 46 Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo [1] Anderson, F W., Fuller, K.R (1972) Modules with decompositions that complement direct summands, J Algebra, 241 − 253 [2] Anderson, F W., Fuller, K R (1992) Rings and Categories of Modules., Springer-Verlag GTM,New York [3] Bear, R (1940) Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group, Proc Amer Math Soc 46, 800 − 806 [4] Baba, Y and Harada, M (1990) On almost M -projectives and almost M -injectives, Tsukuba J Math 14, 53 − 69 [5] Bharadwaj, P.C., Tiwary, A.K (1982) Pseudo-injective modules Bull Math Soc Sci Math Roumanie, R.S, (N.S) 26 (74), 21 − 25 [6] Camillo, V.P., Yu, H.P (1994) Exchange rings, units and idempotents Comm Algebra 22(12), 4737 − 4749 [7] C ¸ elik, C (1994) Modules satifying a lifting condition Turkish J of Mathematics 18, 293 − 301 [8] C ¸ elik, C., Harmanci, A and Smith, P.F (1995) A generalization of CS-modules Comm Algebra 23, 5445 − 5460 Phạm Hồng Xn Ninh 47 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO [9] Cozzens, J.H (1970) Homological properties of the ring of differential polynomials Bull Amer Math Soc 76, 75 − 79 [10] Dinh, H.Q., Smith, P.F (2003) A result on semi-artinian rings Proc Edinburgh Math Soc 46, 63 − 66 [11] Dung, N.V., Huynh, D.V., Smith, P.F and Wisbauer, R (1994) Extending Modules London, Pitman [12] Faith, C (1973, 1976) Algebra: Rings, Modules and Categories I, II Springer Grundl 190, 191 [13] Fuchs, L (1969) On quasi-injective modules Ann Scuola Norm Sup Pisa 23, 541 − 546 [14] Goldie, A.W (1960) Semi-prime rings with maximum condition Proc London Math Soc 10(3), 201 − 220 [15] Gomes, Catarina Araújo de Santa Clara (1998) Some generalizations of Injectivity University of Glasgow 70 − 97 [16] Goodearl, K.R (1976) Ring Theory Marcel Dekker, New York [17] Hai Quang Dinh (2005) A note on pseudo-injective modules North Dakota, USA [18] Harada, M (1982) On Modules with Extending Properties Osaka J Math 19, 203 − 215 [19] Harada, M., Oshiro, K (1981) On extending property on direct sums of uniform modules Osaka J Math 18, 767 − 785 [20] Harmanci, A., Smith, P.F., Tercan, A and Tiras, Y (1996) Direct sums of CS-modules Houston J Math 22, 61 − 71 Phạm Hồng Xn Ninh 48 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO [21] Huynh, D V., Rizvi, S T (1997) An approach to Boyle’s conjecture Proc Edinburgh Math Soc 40, 267 − 273 [22] Jain, S K., Singh, S (1975) Quasi-injective and pseudo-injective modules Canad Math Bull 18, 359 − 366 [23] Johnson, R E., Wong, E T (1961) Quasi-injective modules and irreducible rings J London Math Soc 36, 260 − 268 [24] Kamal, M A (1995) On the decomposition and direct sums of modules Osaka J Math 32, 125 − 133 [25] Kamal, M A and Mă uller, B J (1988) Extending modules over commutative domains Osaka J Math 25, 531 − 538 [26] Kamal, M A and Mă uller, B J (1988) The structure of extending modules over Noetherian rings Osaka J Math 25, 539 − 551 [27] Kamal, M A and Mă uller, B J (1988) Torsion-free extending modules Osaka J Math 25, 825 − 832 [28] Mohamed, S H and Mă uller, B J (1989) Continous modules have the exchange property Abelian Group Theory (perth, 1987) Contemp Math 87, 285 289 [29] Mohamed, S H and Mă uller, B J (1990) Continous and Discrete Modules London Math Soc Lecture Notes 147, Cambridge University Press, London [30] Mohamed, S H and Mă uller, B J (1993) The exchange property for quaisi-continous modules Ring Theory (Ohio State - Denison, 1992), World scientific, 242 − 247 Phạm Hồng Xn Ninh 49 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO [31] Oshiro, K (1984) Lifting modules, extending modules and their applications to QF-rings Hokkaido Math J 13, 310 − 338 [32] Oshiro, K (1984) Lifting modules, extending modules and their applications to QF-rings Hokkaido Math J 13, 339 − 346 [33] Pandeya, B M and Koirala, S P (2001) Pseudo M -injective modules In: Rizvi, S T., Quadri, M A., Ashraf, M., eds Algebra and Its Applications Narosa publishing House, pp 201 − 207 [34] Santa-Clara, C and Smith, P F (1996) Extending modules which are direct sums of injective modules and semisimple modules Comm Algebra 24(11),3641 − 3651 [35] Santa-Clara, C (1998) Extending modules with injective or semisimple summands J Pure Appl Algebra 127, 193 − 203 [36] Sharpe, D W and Vamos, P (1972) Injective Modules Cambridge University Pres [37] Smith, P F (1994) Lecture on CS-modules University of Glasgow, Department of Mathematics preprint series, 94/95 [38] Smith, P F and Tercan, A (1992) Continous and quasi-continous modules Houston J Math 18, 339 − 348 [39] Smith, P F and Tercan, A 1993 Generalizations of CS-modules Comm Algebra 21(6), 1809 − 1847 [40] Teply M L 1975 Pseudo-injective modules which are not quasiinjective Proc Amer Math Soc 49, 305 − 310 Phạm Hồng Xn Ninh 50 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO [41] Utumi, Y (1965) On continous rings and self-injective rings Trans Amer Math Soc 118, 158 − 173 [42] Wakamatsu, T (1979) Pseudo-projectives and pseudo-injectives in abelian categories Math Rep Toyama Univ 2, 133 − 142 [43] Zariski, O and Samuel, P (1958) Commutative Algebra, volume I Van Nostrand, Princeton [44] Zimmermann-Huisgen, B and Zimmermann, W (1984) Classes of modules with the exchange property J Algebra 88, 416 − 434 Phạm Hồng Xn Ninh 51 Khóa luận tốt nghiệp ... mơđun giả nội xạ, lớp mơđun c -nội xạ nhà toán h? ?c nghiên c? ??u rộng rãi Theo hướng nghiên c? ??u chọn đề tài "Môđun vành giả nội xạ c -nội xạ" để th? ?c M? ?c đích nghiên c? ??u đề tài: M? ?c đích vi? ?c nghiên c? ??u... để chứng minh cho chương sau Chương Môđun giả nội xạ C? ?c kết tính chất mơđun giả nội xạ, tính chất giả nội xạ tựa nội xạ chương chúng tơi tìm hiểu trình bày lại c? ?ch tổng quan, chứng minh t? ?c giả. .. tr? ?c tiếp hai môđun tự c -nội xạ tự c -nội xạ, c? ??n bổ đề sau Bổ đề 3.1.6 Cho M1 M2 môđun cho M2 M1 -nội xạ c? ??t yếu Nếu môđun M1 -c -nội xạ M2 -nội xạ M1 ⊕ M2 -c -nội xạ Chứng minh Cho M := M1 ⊕ M2 giả