BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————— KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỊNH THỨC WRONSKI VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Sinh viên thực hiện: Trần Thị Diệu Linh Giáo viên hướng dẫn: TS.Lê Hải Trung Lớp: 10ST Đà Nẵng, 06/2013 Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Ma trận Định thức 1.3 1.4 Hệ hàm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Hệ Cramer 10 12 1.5 Các loại nghiệm hệ phương trình tuyến tính 14 Định thức Wronski ứng dụng 2.1 2.2 2.3 2.4 16 Định nghĩa 16 Định thức Wronski cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 16 Định thức Wronski cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n 23 Ứng dụng phần mềm Mathcad tính tốn định thức Wronski 27 2.4.1 2.4.2 Giới thiệu tổng quan phần mềm Mathcad Ứng dụng phần mềm tính tốn định thức 27 Wronski 28 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 Mở đầu Lý lựa chọn đề tài Trong lĩnh vực ứng dụng thường bắt gặp nhiều tốn liên quan tới phương trình vi phân Việc nghiên cứu nghiệm chúng đóng vai trị quan trọng lý thuyết tốn học, việc tìm nghiệm chưa phải đủ, đề lại yêu cầu xác định nghiệm vừa tìm được, có lập thành hệ nghiệm hay không Vấn đề dù giải chương trình đại học với mong muốn hiểu kĩ gợi ý giáo viên hướng dẫn – TS Lê Hải Trung nên định lựa chọn đề tài: «Định thức Wronski ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân» cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu đề tài Đi sâu vào phân tích định thức Wronski nhằm tìm tính chất để ứng dụng cho lý thuyết phương trình vi phân Bố cục đề tài Đề tài chia làm chương: Chương : Trình bày số khái niệm, định nghĩa, định lý có liên quan đến đề tài nhằm nắm vững sở lý thuyết làm tiền đề cho phần hai nội dung đề tài Chương : Trình bày định thức Wronski ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Xin cho tơi gửi lời cảm ơn, lời tri ân chân thành tới quý thầy, cô giáo Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng giáo viên hướng dẫn TS Thầy Lê Hải Trung giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành đề tài Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ma trận Định nghĩa 1.1 Một bảng gồm m × n số viết thành m dòng n cột sau       a11 a21 am1 a12 a22 am2 a1n a2n amn       (1.1) gọi ma trận cấp m × n Mỗi số aij gọi thành phần ma trận, nằm dịng thứ i cột thứ j (1 ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n) Ta thường kí hiệu ma trận chữ in hoa: A, B , Có thể viết ma trận (1.1) cách đơn giản A = (aij )(m×n) Nếu ma trận có dịng (một cột) ta gọi ma trận dịng (ma trận cột) Nếu m = n (1.1) gọi ma trận vuông cấp n viết A = (aij )n Ví dụ 1.1 √ −7 A=  ma trận cấp ×  −2    ma trận vuông cấp × B= −9   −4 −5 ma trận dòng  −2    11   D=   ma trận cột   C=  Định nghĩa 1.2 Ta gọi ma trận (1.2) ma trận chuyển vị ma trận (1.1) kí hiệu At    A =   t a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn       (1.2) Như ma trận At thu từ A cách đổi dòng thứ i A thành cột thứ i At A ma trận cấp m × n ma trận chuyển vị At ma trận cấp n × m Ví dụ 1.2  A=    ⇒ At =     −2 −2         Định nghĩa 1.3 Nếu ma trận vng A cấp n có phần tử nằm ngồi đường chéo ( aij = 0, ∀i = j ) lúc A gọi ma trận chéo  a11   a22 A=   0  0  0     ann Định nghĩa 1.4 Ma trận chéo có aii = 1, i = 1, n gọi ma trận đơn vị cấp n Kí hiệu In hay En (có viết tắc I E ) Định nghĩa 1.5 Ma trận vuông A (cấp n) gọi khả đảo (hay có ma trận nghịch đảo) tồn ma trận vuông B (cấp n)sao cho AB = BA = En với En ma trận đơn vị cấp n    En =    0 0       Dễ thấy B Thật vậy, giả sử tồn B cho AB = B A = En Lúc B = BEn = B(AB ) = (BA)B = En B = B Ta gọi B ma trận nghịch đảo A kí hiệu A−1 Định nghĩa 1.6 Hai ma trận cỡ A = [ai j]m×n B = [bi j]m×n gọi aij = bij , ∀i, j : i = 1, m; j = 1, n Định nghĩa 1.7 Cho hai ma trận cỡ m × n : A = (aij )(m×n) , B = (bij )(m×n) Tổng hai ma trận A, B ma trận C = (cij )(m×n) cỡ m × n cho cij = aij + bij , ∀i, j : i = 1, m; j = 1, n Kí hiệu C = A + B Ví dụ 1.3         −1 + + + (−1)          −1 + −3  =  + 3 + (−3) (−1) +  =  0  −2 4 + (−2) + + Tính chất Giả sử A, B, C, O ma trận cỡ, ta có: • A + B = B + A (tính giao hốn) • A + O = O + A = A • A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp) Định nghĩa 1.8 Cho A = (aij )(m×n) α ∈ R ; phép nhân số α với ma trận A ma trận C = (cij )(m×n) với cij = αaij ; ∀i, j : i = 1, m j; = 1, n Định nghĩa 1.9 Cho hai ma trận A = (aij )(m×p) , B = (bij )(p×n) số cột ma trận A số hàng ma trận B Tích hai ma trận A, B ma trận C = (cij )(m×n) có m hàng n cột mà phần tử cij tính cơng thức sau: p cij = aip bpj = ai1 b1j + ai2 b2j + + a1p bpj k=1 Tính chất • Cho ma trận Am×n Bn×p Cp×q lúc A.(B.C) = (A.B).C ã Cho cỏc ma trn Amìn Bnìp Cnìp lỳc A.(B + C) = A.B + A.C • Tích ma trận nhìn chung khơng có tính giao hoán 1.2 Định thức Định nghĩa 1.10 Cho ma trận A = (aij )n Định thức A số thực, kí hiệu xác định sau (−1)N (f ) a1f (1) a2f (2) anf (n) det(A) = f ∈Sn Sn tập tất hoán vị n phần tử 1, 2, 3, ., n (tập Sn có n! phần tử) Ta cịn kí hiệu định thức ma trận A |A|, a11 a21 |A| = an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann Như định thức ma trận A số: - Bằng tổng đại số n! hạng tử dạng a1f (1) anf (n) - Mỗi hạng tử tích n phần tử aij mà hàng, cột phải có phần tử tham gia vào tích - Dấu hạng tử phụ thuộc vào số hoán vị nghịch tương ứng (nếu N (f ) số chẳn (lẻ) đấu hạng tử tương ứng dấu + (-) ) Ví dụ 1.4 Với n = ta có định thức cấp a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 a21 a22 Ví dụ 1.5 Với n = ta có định thức cấp a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a13 a22 a31 −a12 a21 a33 −a11 a23 a32 a31 a32 a33 Để tìm kết ta phải tìm tất phép X3 xác định dấu chúng, cơng việc vất vả Muốn có phương pháp tính tốn thuận tiện hơn, ta tiến hành nghiên cứu tính chất định thức Tính chất 1.1 det(At ) = det(A) Tính chất 1.2 Nếu ma trận vng A có hàng (cột) gồm tồn phần tử định thức Tính chất 1.3 Nếu ta nhân hàng ma trận vng A với số thực α định thức ma trận A nhân với α a11 a12 a1n a11 a12 a1n αak1 αak2 an1 an2 αakn = α ak1 ann an1 ak2 an2 akn = α det(A) ann Tính chất 1.4 Nếu ta đổi chỗ hai hàng ma trận vng A cho ta ma trận vng B có det(B) = − det(A) (tức đổi chỗ hai hàng định thức cho định thức đổi dấu) Tính chất 1.5 Nếu ma trận có hai hàng giống có thành phần (cùng cột), tương ứng tỉ lệ định thức Chứng minh Giả sử định thức A có dịng thứ i giống dịng thứ k Theo tính chất 4, đổi chỗ hai dòng cho ta A = −A Nhưng định thức A định thức A ⇒ A = A hay 2A = Vậy A = (điều cần chứng minh) Hệ 1.1 Nếu ta cộng vào hàng ma trận vuông A với hàng khác nhân với số ta ma trận vng B có det(A) = det(B) Tính chất 1.6 Định thức ma trận chéo A tích phần tử nằm đườg chéo Nghĩa a11 0 a22 det(A) = 0 0 = a11 a22 ann ann Ví dụ 1.6 Tính định thức sau cách sử dụng tính chất trên: a+x a a a+x Dn = det(A) = a a a a a a a a + x Lời giải n • Bước 1: h1 = hi + h i=2 • Bước 2: rút na + x • Bước 3: hi = hi + (−a)h1 ; i = 2, n na + x na + x na + x a a+x a Dn = a a a 1 a a+x = (na + x) a a 1 x = (na + x) 0 na + x a a + x a a a a + x x = (na + x)xn−1 1.3 Hệ hàm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.11 Một hệ hàm số yi = yi (x), i = 1, n gọi phụ thuộc tuyến tính khoảng (a, b), tồn số αi , i = 1, n n không đồng thời đẳng thức αi yi = thỏa mãn i=1 10 Chứng minh - Theo định lí (2.1) rõ ràng W (x) = khoảng I đồng nghĩa với việc det(A) = hay hệ phương trình  y (x)z + y (x)t = (2.5) y (x)z + y (x)t = (2.5) nghiệm tầm thường (α1 , α2 )=0 hay y1 (x) y2 (x) độc lập tuyến tính - Giả sử nghiệm y1 (x) y2 (x) phương trình (2.4) độc lập tuyến tính cần chứng minh W (x) = với x ∈ I Để làm điều đó, giả sử ngược lại tồn điểm x0 ∈ I cho W (x0 ) = 0, tồn số α1 , α2 không đồng thời cho chúng nghiệm hệ phương trình  y (x )z + y (x )t = y (x )z + y (x )t = Lúc y(x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) nghiệm phương trình (2.4) với điều kiện ban đầu Mặc khác, với điều kiện ban đầu ta ta có nghiệm tầm thường y ≡ Theo định lý tồn nghiệm nghiệm Do y(x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) = khoảng I , tức hàm y1 (x) y2 (x) phụ thuộc tuyến tính khoảngI hay W (x0 ) = Suy mâu thuẫn giả sử y1 (x) y2 (x) độc lập tuyến tính (định lý chứng minh) Định lý 2.3 Giả sử hai nghiệm y1 (x) y2 (x) phương trình (2.4) độc lập tuyến tính khoảng I Khi nghiệm phương trình (2.4) I có dạng y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) Chứng minh • Bước : Chứng tỏ y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) nghiệm phương trình Ta có y1 = y1 (x), y2 = y2 (x) nghiệm riêng phương trình hay L[y1 ] = L[y2 ] = 19 Xét L[y1 + y2 ] = (y1 + y2 ) + a1 (y1 + y2 ) + a0 (y1 + y2 ) = y + a1 y + a0 y + y + a1 y + a0 y (1) = L[y1 ] + L[y2 ] = Điều nghĩa y = y1 + y2 nghiệm phương trình (2.4) Lại xét L[αy1 ] = αy1 + αa1 y1 + αa0 y1 = αL[y1 ] (2) = Kết hợp (1) (2) ⇒ y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) nghiệm phương trình (2.4) • Bước : Chứng tỏ y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) nghiệm tổng quát Từ việc với lựa chọn ci ta nhận nghiệm riêng tương ứng (2.4) Áp dụng định lý tồn nghiệm phương trình vi phân bậc n, nghiệm riêng y = y(x) hoàn toàn xác định trước điều kiện đầu: x = x0 , y = y0 , y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 (2.6) Như ta cần chứng minh với điều kiện đầu (2.6) xác định ci y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) thỏa mãn điều kiện (2.6) Xét hệ  c y (x ) + c y (x ) = y 1 2 0 c y (x ) + c y (x ) = y 1 2 0 (2.7) Định thức hệ (2.7) định thức Wronski W (x0 ) Theo định lý (2.2) hai nghiệm y1 (x); y2 (x) độc lập tuyến tính nên W (x0 ) = 0, hệ (2.7) có nghiệm Xét hàm y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) với số c1 , c2 vừa tìm trên, nghiệm (2.4) từ thỏa mãn điều kiện (2.6) Định lý chứng minh 20 Định lý 2.4 (Định lý Abel) Nếu hai hàm y1 (x) y2 (x) nghiệm phương trình (2.4) định thức Wronski hai nghiệm x − W(y1 , y2 )(x) = W(y1 , y2 )(x0 )e a1 (x)dx (2.8) x0 với x0 giá trị tùy ý Chứng minh Giả sử y2 (x) = u(x)y1 (x), thay vào phương trình (2.4) ta có (uy1 ) + a1 (x)(uy1 ) + a0 (uy1 ) = (2.9) Mặc khác lại có  (uy ) (uy ) = u y1 + uy1 = (u y1 + uy1 ) = u y1 + 2u y1 + uy1 Thay vào (2.9) ta u y1 + 2u y1 + uy1 + a1 (x)(u y1 + uy1 ) + a0 (x)(uy1 ) = ⇒ y1 + u [2y1 + a1 (x)y1 ] + u [y1 + a1 (x)y1 + a0 (x)y1 = (2.10) =0 Đặt u = v , (2.10) trở thành v + 2y1 dv 2y1 dy1 + a1 (x) v = ⇒ =− + a1 (x) dx = −2 − a1 (x)dx y1 v y1 y1 x x ⇒ ln v = −2 ln y1 − a1 (x)dx a1 (x)dx ⇒ vy1 = ce x0 x0 Ta có W(y1 , y2 )(x) = y1 (x0 ) y2 (x0 ) = y1 (x0 )y2 (x0 ) − y2 (x0 )y1 (x0 ) y1 (x0 ) y2 (x0 ) = y1 (x)[uy1 ] − uy1 y1 = vy12 + uy1 y1 − uy1 y1 = cexp(− 21 x x0 a1 (x)dx) Chọn c = W(y1 , y2 )(x), suy kết (2.8) Ví dụ 2.1 Xét hai nghiệm phức y1 (x) = eλx cos µx; y2 (x) = eλx sin µx Chứng tỏ hai nghiệm y1 (x) y2 (x) làm thành hệ nghiệm sở phương trình Lời giải Để chúng tạo thành hệ nghiệm bản, định thức Wronski phải khác 0, tức eλx cos µx eλx sin µx W= λeλx cos µx − µeλx sin µx λeλx sin µx + µeλx cos µx = µeλx (cos2 µx + sin2 µx) = µeλx = Hàm mũ e khơng 0, µ = ngược lại khơng có nghiệm phức Do suy W = Như hai nghiệm cho thực hai nghiệm bản, nghiệm tổng quát là: y(x) = c1 eλx cos µx + c2 eλx sin µx Ví dụ 2.2 Với phương trình 2x2 y + xy − 3y = 0, giả sử ta tìm nghiệm thứ hai y2 (x) = x với nghiệm thứ y1 (x) = x−1 Chứng minh chúng làm thành hệ nghiệm phương trình Lời giải Xét định thức Wronski −3 x−1 x W= −x−2 32 x 5 = x− − −x = x2 = √ 2 x Định thức không 0, nên y1 (x) y2 (x) làm thành hệ nghiệm nghiệm tổng quát phương trình cho y(x) = c1 x−1 + c2 x 22 2.3 Định thức Wronski cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n 2.3.1 Định nghĩa Cho phương trình vi phân bậc n y (n) + p1 (x)y (n−1) + + pn (x)y = (2.11) Giả sử tìm n nghiệm riêng phương trình (2.11) yi = yi (x), i = 1, n, n − lần khả vi khoảng I Khi định thức y1 (x) y2 (x) y1 (x) y2 (x) W(x) = ··· ··· (n−1) (n−1) y1 (x) y2 (x) · · · yn (x) · · · yn (x) ··· ··· (n−1) · · · yn (x) (2.12) gọi định thức Wronski Đối với W (x) phương trình vi phân tuyến tính cấp n ta phát biểu ba định lý quan trọng định lý (2.1); (2.2); (2.3) trường hợp đặc biệt với n = ba định lý mà biết 2.3.2 Các định lý Định lý 2.5 Nếu hệ y1 (x), y2 (x), y3 (x), ., yn (x), n − lần khả vi (a, b) phụ thuộc tuyến tính W (x) = x ∈ (a, b) Chứng minh Giả sử hệ yi i = 1, n (n − 1) lần khả vi (a, b) phụ thuộc tuyến tính, tồn ci i = 1, n khơng đồng thời không để cho: n ci yi (x) = 0; ∀x ∈ (a, b) i=1 Đạo hàm hai vế hệ thức (2.13) n − lần cho ta: c1 y1 + c2 y2 + + cn yn = c1 y1 + c2 y2 + + cn yn = 23 (2.13) (n−1) (n−1) (n−1) c1 y1 + c y2 + + cn yn = Kết hợp biểu thức nhận với (2.13) cố định x = x0 ∈ (a, b) ta nhận hệ phương trình đại số cấp n    c1 y10 + c2 y20 + + cn yn0 = 0,     c y + c y + + c y = 0, n n0 20 10       c y (n−1) + c y (n−1) + + c y (n−1) = 10 20 n n0 (2.14) hệ số ci ; (i = 1, n coi ẩn cần phải tìm hệ (2.14) Theo giả thiết ci ; i = 1, n không đồng thời 0, định thức hệ (2.14) phải Mặc khác định thức hệ (2.14) bằng: y10 (x) y20 (x) y20 (x) y10 (x) W(x) = ··· ··· (n−1) (n−1) y10 (x) y20 (x) · · · yn0 (x) · · · yn0 (x) ··· ··· (n−1) · · · yn0 (x) Nhận x0 ∈ (a, b): W (x0 ) = Như W (x) = x ∈ (a, b) Định lý chứng minh Định lý 2.6 Với hệ nghiệm sở y1 (x), y2 (x), , yn (x) phương trình vi phân bậc n: y (n) + p1 (x)y (n−1) + + pn (x)y = (2.15) định thức Wronski: y1 (x) y2 (x) y1 (x) y2 (x) W(x) = ··· ··· (n−1) (n−1) y1 (x) y2 (x) · · · yn (x) · · · yn (x) =0 ··· ··· (n−1) · · · yn (x) điểm x ∈ (a, b) Chứng minh Lấy hệ nghiệm sở tùy ý yi (x), i = 1, n phương trình vi phân bậc n (2.15) ta giả sử định thức Wronski 24 điểm x ∈ (a, b) đấy, vậy: y10 (x) y20 (x) y10 (x) y20 (x) W(x) = ··· ··· (n−1) (n−1) y10 (x) y20 (x) (k) · · · yn0 (x) · · · yn0 (x) =0 ··· ··· (n−1) · · · yn0 (x) (2.16) (k) yi0 = yi (0), i = 1.n, yi0 = yi (x0 ), k = 0, n − Xét hệ (thuần nhất) n phương trình đại số:    c1 y10 + c2 y20 + · · · + cn yn0 =     c y + c y + · · · + c y = n n0 20 10       c y (n−1) + c y (n−1) + · · · + c y (n−1) = n n0 20 10 (2.17) Do định thức Wronski (2.15): W (x0 ) = 0, (2.17) có nghiệm khác không (c1 ∗, c2 ∗, c3 ∗, ., cn ∗), ta có    c∗1 y10 + c∗2 y20 + + c∗n yn0 =     c∗ y + c∗ y + + c∗ y = n n0 20 10 (2.18)       c∗ y (n−1) + c∗ y (n−1) + + c∗ y (n−1) = 10 20 n n0 Xét hàm y ∗ = c∗1 y1 + c2 y2∗ + + c∗n yn , nghiệm phương trình (2.15) Từ hệ phương trình (2.18) ta nhận : ∗(n−1) y0∗ = y ∗ (x0 ) = 0, y0∗ = y ∗ (x0 ) = 0, , y0 = y ∗(n−1) (x0 ) = Theo định lý tồn nghiệm phương trình vi phân bậc n ⇒ y ∗ = Điều mâu thuẫn với giả thiết y1 , y2 , y3 , , yn hệ nghiệm sở phương trình (2.15) độc lập tuyến tính (y ∗ -phụ thuộc tuyến tính Từ ta có điều phải chứng minh Định lý 2.7 (Định lí nghiệm tổng quát phương trình vi phân bậc n hệ số biến) Với hệ nghiệm sở y1 (x), y2 (x), , yn (x) phương trình vi phân bậc n hàm y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + + 25 cn yn (x), c1 , , cn số theo ý, nghiệm tổng quát phương trình (2.15) Chứng minh Lấy hệ nghiệm sở tùy ý yi (x), i = 1, n phương trình n ci yi (x) nghiệm tổng quát phương trình (2.15) Ta chứng tỏ y = i=1 vi phân Ta có : y1 = y1 (x), , yn = yn (x) nghiệm riêng (2.15) Theo tính chất tốn tử vi phân tuyến tính kết hợp với tính chất nghiệm cho DE lại có y = c1 y1 + + cn yn nghiệm phương trình Việc cịn lại ta chứng tỏ nghiệm tổng quát Từ việc với lựa chọn ci ta nhận nghiệm riêng tương ứng (2.15) Áp dụng định lí tồn nghiệm phươg trình vi phân bậc n nghiệm riêng y = y(x) hoàn toàn xác định trước điều kiện đầu (n−1) x = x0 , y = y0 , y = y0 , , y (n−1) = y0 (2.19) Như ta cần phải chứng minh với điều kiện đầu (2.19) xác định ci y = y(x) = c1 y1 (x) + + cn yn (x) thỏa mãn (2.15) Xét hệ :    c1 y10 + c2 y20 + + cn yn0 = y0       c y + c2 y20 + + cn yn0 = y0   10 c1 y10 + c2 y20 + + cn yn0 = y0          c y (n−1) + c y (n−1) + + c y (n−1) = y (n−1) 10 20 n n0 (2.20) k Trong yi0 = yi (x0 ), i = 1, n, yi0 = yi (x0 ), k = 1, n Định thức hệ 2.22 định thức Wronski W (x0 ) Theo định lý (2.6) hệ y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), , yn = yn (x) hệ nghiệm sở nên W (x0 ) = 0, hệ (2.20) có nghiệm (c10 , c20 , , cn0 ) Xét hàm y = c1 y1 + + cn yn với số trên, nghiệm (2.15) thỏa mãn điều kiện (2.19) Định lý chứng minh 26 2.4 Ứng dụng phần mềm Mathcad tính tốn định thức Wronski 2.4.1 Giới thiệu tổng quan phần mềm Mathcad Mathcad 7.0 phần mềm tốn, tính tốn cách đơn giản tiện lợi lĩnh vực ứng dụng ví dụ như: - Giải tốn cao cấp: tính giá trị xấp xĩ, rút gọn -đơn giản biểu thức, tính tích phân, đạo hàm, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình,hệ bất phương trình,tính diện tích, thể tích, vẽ đồ thị hàm số, ma trận, khai triển chuổi, thống kê liệu, số phức - Giải tốn lĩnh vực hóa học, đất đá, cấu trúc vật liệu, điện, phương pháp số Mathcad sử dụng để lập trình giải tốn phức tajpkhoong tính tốn số mà cịn tính tốn kí hiệu (symbolics) Lập trình Mathcad tổ hợp lệnh, thơng qua cấu trúc lệnh hàm Mathcad Với Mathcad 7.0 ta giao lưu, trao đổi kinh nghiệm với người dùng khác giới(nếu ta có kết nối sử dụng internet); Mathcad cịn chuyển liệu từ đến Excel ngược lại thơng qua MathConnex Màn hình Mathcad Hình 2.1: 27 Những đặc điểm tính tốn: Mathcad làm việc theo hai chế độ: tự động thủ công - Automatic Mode: chế độ này: + Việc tính tốn thực + "Auto" xuất dịng tình trạng - Manual Mode: + Việc tính tốn xảy nhấn F9 chọn menu Math / Calculate nhấn vào biểu tượng = công cụ + "Cal F9" xuất dịng tình trạng hay để trống Để Mathcad tự động tính tốn ta vào menu Math / Automatic Calculation đánh dấu Mathcad duyệt tài liệu từ trái sang phải từ xuống Tính tốn với ma trận Cách 1: Để thực tính tốn với phép toán ta việc đưa vào ma trận (vector) phép tốn, sau ta ấn Ctrl- , Enter Cách 2: Dùng menu để tính định thức, chuyển vị nghịch đảo ma trận: Để tính ma trận chuyển vị, nghịch đảo định thức, ta thực hiện: - Tạo ma trận - Chọn ma trận - Menu Symbolics / Matrix / Transpose (Invert, Determinant) Transpose: chuyển vị Invert: nghịch đảo Determinant: định thức 2.4.2 Ứng dụng phần mềm tính tốn định thức Wronski Ví dụ 2.3 Xét phương trình vi phân bậc xy − y = (2.21) Giả sử y1 = 1; y2 = x2 nghiệm riêng (2.21) Chứng minh chúng làm thành hệ nghiệm phương trình 28 Lời giải Định thức Wronski tương ứng với phương trình (2.21) là: W (x) = x2 = 2x 2x Định thức không khơng tồn nghiệm thứ y2 = x2 , nên y1 (x); y2 (x) làm thành hệ nghiệm Tính định thức Mathcad a Khởi động Mathcad b Định dạng số, ký hiệu toán học, style - Mennu Fomat / Number : chọn kết xuất số Decimal, chọn đơn vị ảo i OK - Mennu Fomat / Equation : Variables, Modify, chọn font chữ, size OK - Mennu Fomat / Style Xuất hộp thoại Text Style Chọn Normal, Modify, chọn Font chữ, cỡ chữ - OK - OK, close c Tính định thức Wronski Tạo ma trận tương ứng cách sau: - Trên menu: chọn Insert/Matrix - Trên Math: nhắp vào biểu tượng Hình 2.2: - Từ bàn phím: nhấn tổ hợp Ctrl+M Xuất hộp thoại Insert Matrix hình(2.3) 29 Hình 2.3: hình Trong khung Rows chọn số dòng tương ứng Trong khung Columns chọn số cột tương ứng Từ Math, kích vào biểu tượng hình (2.4)sẽ xuất lựa chọn để tính tốn cho Ma trận Hình 2.4: Sau kích vào biểu tượng tính định thức nhập tên Ma trận muốn tính định thức Cuối nhấn tổ hợp phím [Ctrl Enter], lúc hình mathcad hiển thị sau: 30 Hình 2.5: 31 Kết luận Đề tài “Định thức Wronsski ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân” tiến hành nghiên cứu đạt số kết cụ thể sau: 1/ Củng cố hệ thống lại số kiến thức ma trận,định thức, hệ hàm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, hệ Cramer loại nghiệm hệ phương trình tuyến tính 2/ Tìm hiểu trình bày khái niệm định lý liên quan đến định thức Wronsski cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 3/ Áp dụng định thức Wronski cho lý thuyết phương trình vi phân 4/ Bên cạnh cịn mở rộng tìm hiểu trình bày khái niệm định lý định thức Wronsski phương trình vi phân tuyến tính cấp n 5/ Cuối cùng, luận văn ứng dụng phần mềm Mathcad để tính tốn định thức Wronski 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phan Huy Thiện; Phương Trình Vi Phân; Nhà xuất giáo dục Việt Nam, 2010 [2] Nguyễn Duy Thuận; Đại số tuyến tính; Nhà xuất Đại học Sư Phạm, 2003 [3] Lê Hải Trung, Giáo trình Phương Trình Vi Phân; Đà Nẵng, 2011 [4] Nguyễn Thế Hồn-Phạm Phu, Cở sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục, 2007 [5] Lê Thị Bích Hồng, Lập trình tốn học Mathcad Professional, 2008 Tiếng nước ngồi [6] William F Trench, Elementary Differential Equations With Boundary Value Problems, Andrew G Cowles Distinguished Professor Emeritus Department of Mathematics Trinity University San Antonio, Texas, USA, 2011 [7] C Henry Edwards & David E Penney, Elementary Differential Equations, The University of Georgia 33 ... phương trình tuyến tính 2/ Tìm hiểu trình bày khái niệm định lý liên quan đến định thức Wronsski cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 3/ Áp dụng định thức Wronski cho lý thuyết phương trình vi phân. .. sâu vào phân tích định thức Wronski nhằm tìm tính chất để ứng dụng cho lý thuyết phương trình vi phân Bố cục đề tài Đề tài chia làm chương: Chương : Trình bày số khái niệm, định nghĩa, định lý. .. nghiệm hệ phương trình tuyến tính 14 Định thức Wronski ứng dụng 2.1 2.2 2.3 2.4 16 Định nghĩa 16 Định thức Wronski cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 16 Định thức Wronski