ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TỐN −−− −−− PHẠM THỊ CẨM CA CƠNG THỨC TAYLOR VÀ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC Chuyên ngành: Cử nhân Tốn Tin KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Đà Nẵng, 5/2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu CÔNG THỨC TAYLOR 1.1 1.2 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 1.1.2 Một số tính chất đa thức Một số định lý giải tích cổ điển Công thức Taylor 1.2.1 Công thức khai triển Taylor hàm biến số 8 1.2.2 Công thức khai triển Taylor hàm nhiều biến số 21 ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TAYLOR 28 2.1 Ước lượng đánh giá sai số hàm biến số hàm nhiều biến số 28 2.2 2.3 Tính giới hạn hàm số 32 Tìm cực trị hàm số 36 2.3.1 2.3.2 2.4 2.5 Tìm cực trị hàm biến số 36 Tìm cực trị hàm nhiều biến số 38 Tính gần đạo hàm 44 Bài toán nội suy Taylor 50 2.5.1 Bài toán nội suy Taylor hàm biến 50 2.5.2 Bài toán nội suy Taylor hàm nhiều biến 52 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Lời cảm ơn! Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Phan Đức Tuấn, thầy hướng dẫn, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn tận tình suốt trình em thực đề tài Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Tốn Thầy khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em suốt thời gian học tập hồn thành tốt khóa luận Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn lớp động viên, tất người cổ vũ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thành tốt khóa luận Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca Lời nói đầu Lí chọn đề tài Khai triển đa thức nói riêng khai triển hàm số nói chung vấn đề liên quan đến phần quan trọng đại số giải tích toán học Cùng với toán nội suy, tốn khai triển hàm số có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị công cụ đắc lực mơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Lý thuyết khai triển hàm số toán nội suy liên quan đời sớm với cơng trình Taylor, Lagrange, Newton Tuy nhiên, việc xây dựng toán khai triển hàm số thỏa mãn yêu cầu khác việc xây dựng lý thuyết hoàn thiện khai triển hàm số nói chung đến nhiều nhà tốn học tiếp tục nghiên cứu phát triển theo nhiều hướng Lý thuyết toán khai triển hàm số toán nội suy cổ điển có liên quan chặt chẽ đến đặc trưng hàm số tính đơn điệu, tính lồi lõm, tính tuần hồn, mảng kiến thức quan trọng chương trình giải tích Vì thế, để biểu diễn hàm số f (x) hay xấp xỉ hàm số đa thức, để khắc sâu kiến thức học năm học đại học, nên em chọn nghiên cứu đề tài "Công thức khai triển Taylor ứng dụng công thức" Mục đích nghiên cứu Gồm hai chương: - Chương 1: Công thức Taylor + Kiến thức chuẩn bị Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca + Công thức Taylor - Chương 2: Ứng dụng công thức Taylor + Ước lượng đánh giá sai số + Tính giới hạn hàm số + Tìm cực trị hàm số + Tính gần đạo hàm + Bài toán nội suy Taylor Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu khóa luận tìm hiểu, đưa cơng thức khai triển Taylor số ứng dụng công thức Taylor Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Trước tiên đọc tài liệu liên quan đến nội dung đề tài Cụ thể tài liệu viết công thức khai triển Taylor số ứng dụng công thức - Hỏi, trao đổi tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Giới hạn đề tài: Đề tài không sâu vào nghiên cứu tất dạng phần dư công thức khai triển Taylor mà giới thiệu vài dạng phần dư khác công thức, đưa khai triển Maclaurin, trường hợp đặc biệt khai triển Taylor đánh giá phần dư khai triển Taylor hàm số f (x) nêu số ứng dụng công thức khai triển Taylor Trong thời gian tương đối ngắn với hạn chế mặt kiến thức hạn chế kinh nghiệm mặt thực tiễn nên khóa luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận bảo, dạy dỗ thầy cơ, góp ý tận tình bạn để kiến thức thêm hoàn chỉnh khỏi bỡ ngỡ bước vào thực tiễn Đà Nẵng, tháng năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Cẩm Ca Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca Chương CÔNG THỨC TAYLOR 1.1 1.1.1 Kiến thức chuẩn bị Một số tính chất đa thức Định nghĩa 1.1.1 Cho vành A giao hốn có đơn vị Ta gọi đa thức bậc n biến x đa thức có dạng: Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn (an = 0) số ∈ A gọi hệ số, an gọi hệ số bậc cao a0 gọi hệ số tự đa thức Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy vành A ký hiệu A[x] Khi A trường vành A[x] vành giao hốn có đơn vị Các vành đa thức thường gặp Z[x], Q[x], R[x], C[x] Định nghĩa 1.1.2 Cho hai đa thức P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn (an = 0) Q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bn xn (bn = 0) Ta định nghĩa phép toán sau P (x) + Q(x) = a0 + b0 + (a1 + b1 )x + + (an−1 + bn−1 )xn−1 + (an + bn )xn P (x) − Q(x) = (a0 − b0 ) + (a1 − b1 )x + + (an−1 − bn−1 )xn−1 + (an − bn )xn P (x).Q(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + c2n x2n Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca đó, ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 , k = 0, 1, , n Định lý 1.1.1 ([4]) Giả sử A trường, f (x), g(x) hai đa thức khác vành A[x] Khi đó, tồn cặp đa thức q(x), r(x) thuộc A[x] cho f (x) = g(x).q(x) + r(x) với deg(r(x)) < deg(g(x)) Khi r(x) = 0, ta nói f (x) chia hết cho g(x) Nếu f (a) = ta nói a nghiệm f (x) Bài tốn tìm nghiệm f (x) A gọi giải phương trình đại số bậc n a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn (an = 0) A Định lý 1.1.2 ([4]) Giả sử A trường, a ∈ A f (x) ∈ A[x] Khi đó, dư phép chia f (x) cho x − a f (a) Định lý 1.1.3 ([4]) Mỗi đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực Định lý 1.1.4 ([4]) Hai đa thức có bậc ≤ n mà nhận n + giá trị n + giá trị khác đối số đồng 1.1.2 Một số định lý giải tích cổ điển Định nghĩa 1.1.3 Cho tập hợp A ⊂ R có điểm tụ x0 hàm số f : A → R Ta nói f vơ bé x → x0 lim f (x) = x→x0 Tính chất Nếu f, g vơ bé x0 f ± g , f.g vơ bé x0 Tính chất Nếu f vô bé x0 , g hàm số bị chặn lân cận U x0 , tức |g(x)| ≤ M với x ∈ U f.g vô bé x0 f (x) = 0, x→x0 g(x) ta nói f vơ bé bậc cao vô bé g (hoặc g vô bé bậc thấp vô bé f ) ký hiệu f = O(g) Định nghĩa 1.1.4 Cho f, g hai vô bé x0 Nếu lim Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca Xét hàm số xác định lân cận x0 ∈ R Cho x0 số gia ∆x bé cho x0 + ∆x ∈ U Khi số ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) gọi số gia hàm số ứng với số gia đối số ∆x điểm x0 f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆y = có giới hạn hữu ∆x ∆x hạn ∆x → giới hạn gọi đạo hàm hàm f x x0 ký hiệu f (x0 ): Định nghĩa 1.1.5 Nếu tỉ số f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x→0 ∆x f (x0 ) = lim Khi ta nói hàm f khả vi x0 Định lý 1.1.5 (Rolle, [1]) Giả sử hàm số f : [a, b] → R có tính chất: a) f liên tục [a, b]; b) f khả vi (a, b); c) f (a) = f (b) Khi đó, tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (c) = Định lý 1.1.6 (Lagrange, [1]) Giả sử hàm số f : [a, b] → R có tính chất: f liên tục [a, b]; f khả vi (a, b) Khi đó, tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) = f (c)(b − a) Định lý 1.1.7 (Cauchy, [1]) Giả sử hàm f, g : [a, b] → R có tính chất: f g liên tục [a, b]; f g khả vi (a, b) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca Khi đó, tồn c ∈ (a, b) cho [f (b) − f (a)]g (c) = [g(b) − g(a)]f (c) Nếu g (x) = với x ∈ (a, b) cơng thức viết lại f (c) f (b) − f (a) = g (c) g(b) − g(a) Công thức Leibniz, [1]: Cho tập hợp mở U ⊂ R Giả sử f, g : U → R hai hàm khả vi cấp n U Ta có cơng thức Leibniz sau đạo hàm cấp n tích f.g : n Cnk f (k) (x)g (n−k) (x) (n) (f · g) (x) = k=0 Định nghĩa 1.1.6 Hàm f : U → Rm gọi khả vi điểm a = (a1 , a2 , , an ) ∈ U tồn ánh xạ tuyến tính A : Rn → Rm cho: lim h→0 f (a + h) − f (a) − A(h) =0 h hay là: f (a + h) − f (a) − A(h) = ε(h) · h h = (h1 , h2 , , hn ) ∈ Rn , ε(h) vô bé h → 0, tức ε(h) → h → Ánh xạ tuyến tính A họi đạo ánh hay đạo hàm hàm vectơ f thường ký hiệu Df (a) hay f (a) Định lý 1.1.8 ([1]) Giả thiết tập mở U ⊂ Rn , hàm f : U → Rm khả vi a ∈ U Khi tồn ánh xạ tuyến tính A : Rn → Rm cho: f (a + h) − f (a) − A(h) = O( h ) Định lý 1.1.9 (Công thức số gia hữu hạn, [1]) Giả sử U tập hợp mở Rn , [a, b] đoạn chứa U f : U → R hàm khả vi U Khi tồn c ∈ [a, b] cho n f (b) − f (a) = Df (c)(b − a) = i=1 Khóa Luận Tốt Nghiệp ∂f (c)(bi − ) ∂xi SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca a = (a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) Định lý 1.1.10 ([1]) Giả sử U tập hợp mở Rn , f = (f1 , f2 , , fm ) ánh xạ từ U vào Rm a ∈ U Ánh xạ f khả vi a hàm thành phần fi khả vi a Khi Df (a) = (Df1 (a), , Dfm (a)) 1.2 Công thức Taylor 1.2.1 Công thức khai triển Taylor hàm biến số Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] khả vi đến (n + 1) lần khoảng (a, b) Ta đặt vấn đề tìm đa thức Pn (x) có bậc khơng vượt n cho với x0 ∈ (a, b), ta có: f (x0 ) = Pn (x0 ); f (x0 ) = Pn (x0 ); ; f (n) (x0 ) = Pn(n) (x0 ) (1.1) Ta tìm đa thức Pn (x) dạng: Pn (x) := a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · + an (x − x0 )n (1.2) Muốn cần xác định hệ số a0 , a1 , , an theo yêu cầu (1.1) Thật vậy, giá trị x = x0 vào (1.2) ta có: Pn (x) = a0 Hơn nữa, lấy đạo hàm Pn (x) ta có: Pn (x) = a1 +2a2 (x−x0 )+3a3 (x−x0 )2 +· · ·+nan (x−x0 )n−1 (a) (b) Lấy đạo hàm Pn (x) ta có: Pn (x) = 2a2 +3.2a3 (x−x0 )+· · ·+n(n−1)an (x−x0 )n−2 (c) Tiếp tục lấy đạo hàm ta thu được:  (k)   Pn = k!ak +      n j=k+1 j(j − 1) (j − k + 1)aj (x − x0 )j−k (d)       Pn(n) (x) = n!a n Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 40 ε(h) → h → Áp dụng bất đẳng thức (2.1) ta có: f (a + h) − f (a) ≥ λ + ε(h) h > h = đủ nhỏ Từ suy a điểm cực tiểu b) Nếu d2 f (a) xác định âm ta xét hàm g = −f , d2 g(a) xác định dương g có cực tiểu a, từ suy f có cực đại a c) Theo giả thuyết, tồn k1 , k2 ∈ Rn cho D2 f (a)(k1 , k1 ) > D2 f (a)(k2 , k2 ) < Xét hàm gi (t) = f (a + tki ), (i = 1, 2) với t đủ nhỏ Ta có: gi (t) = Df (a + tki )ki , (i = 1, 2) Do gi (0) = 0, i = 1, Hơn nữa, gi (t) = D2 f (a + tki )(ki , ki ), (i = 1, 2) Vì g1 (0) = D2 f (a)(k1 , k1 ) > g2 (0) = D2 f (a)(k2 , k2 ) < Như vậy, t = điểm cực tiểu f (a + tki ) điểm cực đại f (a + tk2 ), a khơng điểm cực trị f Xét trường hợp đặc biệt, với n = ta có dạng tồn phương d2 f (a) có ma trận là:   ∂ f ∂ 2f  ∂x2 ∂x∂y     ∂ f ∂ 2f  ∂x∂y ∂y Khi ta có: D2 f (a)(h, h) = Khóa Luận Tốt Nghiệp ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f (a)h + · (a)h h + (a)h22 2 ∂x ∂x∂y ∂y SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 41 ∂f ∂f (a) = 0, (a) = ∂x ∂y ∂ 2f ∂ 2f B= (a), C = (a) ∂x∂y ∂y Ở đây, h = (h1 , h2 ) Giả sử rằng: ∂ 2f Ký hiệu: A = (a), ∂x2 a) Nếu A > AC − B > dạng toàn phương d2 f (a) xác định dương hàm f đạt cực tiểu a b) Nếu A < AC − B > dạng toàn phương d2 f (a) xác định âm hàm f đạt cực đại a c) Nếu AC − B < định thức cấp hai (chẵn) số âm, theo định lý Sylvester đại số dạng tồn phương d2 f (a) khơng xác định dấu, điểm a khơng điểm cực trị f d) Nếu AC − B = ta chưa thể kết luận Ví dụ 2.3.3 Tìm cực trị hàm f = x3 + y − 3xy Ta có: ∂f = 3x2 − 3y; ∂x ∂f = 3y − 3x ∂y Giải hệ phương trình:  3(x2 − y) = 3(y − x) = Suy điểm dừng: M1 (0, 0) M2 (1, 1) Suy ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f = 6x; = −3; = 6y ∂x2 ∂x∂y ∂y Tại M1 ta có: A=0, B=-3, C=0 AC − B = −9 < 0, suy M1 điểm cực trị f Tại M2 ta có: A=6, B=-3, C=6 AC − B = 27 > Hàm f đạt cực tiểu M2 Ví dụ 2.3.4 Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x2 + λy , λ = Ta có: ∂f ∂f = 2x; = 2λy ∂x ∂y Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 42 Giải hệ phương trình:   2x =  2λy = Suy điểm dừng hàm số: M (0, 0) Suy ∂ 2f ∂ 2f = 2; = 2λ; ∂x2 ∂y ∂ 2f =0 ∂x∂y + Nếu λ > A = > AC − B = 4λ > nên hàm số cho đạt cực tiểu điểm (0, 0) + Nếu λ < AC − B = 4λ < nên hàm số khơng có cực trị điểm (0,0) * Với n = ta có dạng tồn phương d2 f (a) có ma trận là:   ∂ 2f ∂ 2f ∂ f  ∂x2 ∂x∂y ∂x∂z    2   ∂ f ∂ f ∂ f  H=  ∂x∂y ∂y ∂y∂z     ∂ f ∂ 2f ∂ 2f  ∂x∂y ∂y∂z ∂z Tương tự với trường hợp n = 2, giả sử hàm f (x, y, z) có điểm dừng M (x0 , y0 , z0 ), ta đặt: H1 = ∂ 2f , ∂x2 ∂ 2f ∂ 2f ∂x∂y , H2 = ∂x ∂ f ∂ 2f ∂x∂y ∂y ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f ∂x2 ∂x∂y ∂x∂z ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f H3 = ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f ∂x∂y ∂y∂z ∂z i) Nếu H1 , H2 , H3 > hàm f đạt cực tiểu điểm M ii) Nếu H1 < 0, H2 > 0, H3 < hàm f đạt cực đại điểm M iii) Nếu H2 < f khơng đạt cực trị M iv) Nếu H1 H3 < f khơng đạt cực trị điểm M Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 43 Ví dụ 2.3.5 Tìm cực trị hàm f (x, y, z) = x2 y + yz + 32x − z Giải hệ phương trình          ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z = 2xy + 32 = = x2 + z = = y − 2z = Suy điểm dừng hàm số a = (2, −8, −4) Khi dạng tồn phương d2 f (a) có ma trận là:   −16   H=  −1 Ta có: H1 = −16 < 0, H2 = −16 < Do hàm f khơng có cực trị Ví dụ 2.3.6 Tìm cực trị hàm sau: f (x, y, z) = x + z 2y + + (x, y, z = 0) x 2y z Trước tiên ta giải hệ phương trình sau để tìm  điểm dừng:    2y ∂f xz >     = − =0       ∂x  xz  x2 = z ∂f − =0 =0 ⇔ ⇔ x2 x 2y    ∂y    y =    1    ∂f    − =    =0  2  2y z ∂z x = x4    x=z=1  x = z = −1 ⇔ hay  y=1  y=1 2 1 ⇒ f có hai điểm dừng M (1, , 1) N (−1, , −1) 2 Ta có: ∂ 2f 4y ∂ 2f z ∂ 2f = , = , = ∂x2 x3 ∂y y3 ∂z z3        ∂ 2f ∂ 2f −2 = = 2, ∂x∂y ∂y∂x x Khóa Luận Tốt Nghiệp ∂ 2f ∂ 2f = = 0, ∂x∂z ∂z∂x ∂ 2f ∂ 2f −1 = = ∂y∂z ∂z∂y 2y SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 44 Xét điểm M (1, , 1) ta có: H1 = > 0, −2 H2 = = 12 > 0, −2 −2 H3 = −2 −2 = 16 > 0 −2 Suy f đạt cực tiểu điểm M, f (1, , 1) = Xét điểm N (−1, , −1) ta có: −2 −2 −2 −2 H1 = −2 < 0, H2 = = 12 > 0, H3 = −2 −8 −2 = −16 < −2 −8 −2 −2 Suy f đạt cực đại điểm N, f (−1, , −1) = −4 2.4 Tính gần đạo hàm Ta biết cách tính đạo hàm hàm số y = f (x), biểu thức giải tích hàm f (x) biết Nhưng thực tế, thường phải tính đạo hàm hàm số y = f (x) biểu thức giải tích hàm số f (x) không biết, mà biết số cặp giá trị tương ứng x y biểu thức hàm số phức tạp Trong trường hợp ấy, người ta thường dùng phương pháp tính gần đạo hàm cách thay hàm số f (x) [a, b] đa thức Pn (x) lấy Pn (x) làm giá trị gần f (x): f (x) ≈ Pn (x) với x ∈ [a, b] Vì Rn (x) = f (x) − Pn (x), nên sai số đạo hàm rn (x) = Rn (x) = f (x) − Pn (x) Đối với đạo hàm cấp cao hàm số f (x), ta làm tương tự Bài toán đặt sau: Cho hàm số dạng bảng, lập cơng thức để tính gần đạo hàm số cấp hàm số nút lưới xác định Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 45 Giả sử hàm số y = f (x) có khai triển Taylor điểm mà ta cần xét xi+1 xi−1 Khi ta có: f (xi+1 ) = f (xi ) + f (xi ) f (xi ) (xi+1 − xi ) + (xi+1 − xi )2 + 1! 2! f (xi ) f (xi ) (xi−1 − xi ) + (xi−1 − xi )2 + 1! 2! với xi+1 = xi + h, xi−1 = xi − h, với h số > Giả sử biết yi = f (xi ), yi+1 = f (xi+1 ), yi−1 = f (xi−1 ) Khi hai cơng thức viết lại sau: f (xi−1 ) = f (xi ) + (4) yi+1 (5) y y y y y = yi + i h + i h2 + i h3 + i h4 + i h5 + 1! 2! 3! 4! 5! (4) (2.2) (5) y y y y y yi−1 = yi − i h + i h2 − i h3 + i h4 − i h5 + 1! 2! 3! 4! 5! Từ công thức (2.2) suy (2.3) yi yi y (4) yi+1 − yi +h − − h− h − yi = h 2! 3! 4! hay yi = yi+1 − yi + O(h) h (2.4) yi = yi − yi−1 + O(h) h (2.5) Tương tự với (2.3) ta có Lấy (2.2) trừ cho (2.3) vế theo vế ta được: yi = yi+1 − yi−1 y y (5) + h2 − i − h − 2h 3! 5! hay yi+1 − yi−1 + O(h2 ) (2.6) 2h Công thức (2.4) gọi sơ đồ tiến, (2.5) gọi sơ đồ lùi (2.6) gọi sơ đồ trung tâm yi = Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 46 Nhận xét 2.4.1 Các công thức (2.4) (2.5) yêu cầu có thêm điểm lân cận xi để tính đạo hàm bậc xi chúng có độ xác bậc theo h Cơng thức (2.6) cần đến hai điểm lân cận xi có độ xác bậc hai theo h Ta tăng độ xác đạo hàm bậc cách sau: Ta có: (4) yi+2 y y y y = yi + i h + i h2 + i h3 + 16 i h4 + 1! 2! 3! 4! (2.7) y y y y (4) yi−2 = yi − i h + i h2 − i h3 + 16 h − (2.8) 1! 2! 3! 4! Giả sử ta cần lập sơ đồ tiến cho đạo hàm bậc với độ xác bậc hai theo h Muốn ta cần loại bỏ yi biểu thức Ta lấy · (2.2) trừ cho (2.7) vế theo vế, nghĩa là: (4) (5) y y y y y 4yi+1 − yi+2 = 4yi + i h + i h2 + i h3 + i h4 + i h5 + · · · − 1! 2! 3! 4! 5! (4) (5) y y y y y − yi + i h + i h2 + i h3 + 16 i h4 + 32 i h5 + 1! 2! 3! 4! 5! Ta được: (5) y (4) y 4yi+1 − yi+2 − 3yi y + h2 i + h + 14 i h3 + yi = 2h 3! 4! 5! hay −3yi + 4yi+1 − yi+2 + O(h2 ) (2.9) 2h Tương tự, ta lập sơ đồ lùi cho đạo hàm bậc với độ xác bậc hai theo h Ta lấy · (2.2) trừ cho (2.8) vế theo vế, ta được: yi = yi = yi−2 − 4yi−1 + 3yi + O(h2 ) 2h (2.10) Tương tự, ta lập cơng thức tính đạo hàm bậc có độ xác bậc ba theo h sau: Trước tiên ta có: (4) yi+3 (5) y y y y y = yi + i h + i h2 + 27 i h3 + 81 i h4 + 243 i h5 + (2.11) 1! 2! 3! 4! 5! Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 47 Lấy (18 · (2.2)) trừ cho (9 · (2.7)) cộng với (2 · (2.11)) vế theo vế, tức là: 18yi+1 − 9yi+2 + 2yi+3 = (4) (5) y y y y y = 18yi + 18 i h + 18 i h2 + 18 i h3 + 18 i h4 + 18 i h5 + · · · − 1! 2! 3! 4! 5! (4) (5) yi yi yi yi yi − 9yi + 18 h + 36 h + 72 h + 144 h + 288 h + 1! 2! 3! 4! 5! (4) + (5) y y y y y + 2yi + i h + 18 i h2 + 54 i h3 + 162 i h4 + 486 i h5 + 1! 2! 3! 4! 5! Khi ta được: (5) (4) 18yi+1 − 9yi+2 + 2yi+3 y y = 7yi + 6yi h + 36 i h4 + 216 i h5 + 4! 5! Từ suy (4) (5) −11yi + 18yi+1 − 9yi+2 + 2yi+3 y y yi = + h3 −6 i − 36 i h − 6h 4! 5! Hay yi = −11yi + 18yi+1 − 9yi+2 + 2yi+3 + O(h3 ) 6h (2.12) Lại có: (4) (5) y y y y y yi+4 = yi +4 i h+16 i h2 +64 i h3 +256 i h4 +1024 i h5 + (2.13) 1! 2! 3! 4! 5! Lấy 48 · (2.2) trừ cho 36 · (2.7) cộng với 16 · (2.11) trừ cho · (2.13) vế theo vế, ta được: (5) 48yi+1 −36yi+2 +16yi+3 −3yi+4 (6) y y = 25yi +12yi h−288 i h5 −2880 i h6 − 5! 6! Suy (5) (6) −25yi + 48yi+1 − 36yi+2 + 16yi+3 − 3yi+4 y y yi = +h 24 i + 240 i h + 12h 5! 6! Hay −25yi + 48yi+1 − 36yi+2 + 16yi+3 − 3yi+4 + O(h4 ) 12h Cơng thức (2.14) có độ xác bậc bốn theo h yi = Khóa Luận Tốt Nghiệp (2.14) SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 48 Ví dụ 2.4.1 Tính gần f (1), với 3x (x2 + 1) f (x) = x Giải Sử dụng cơng thức tính đạo hàm ta có: ln · 3x x2 + + 2x3x x − 3x x2 + f (x) = x2 3x x3 ln + x ln + x2 − = x2 Suy f (1) = ln(3) ≈ 6.591673732 Sử dụng công thức (2.4) với h=0.001, ta thu f (1) ≈ f (1 + h) − f (1) = 6.598296203 h Sử dụng công thức (2.6) với h=0.001, ta thu f (1) ≈ f (1 + h) − f (1 − h) = 6.591675354 2h Sử dụng công thức (2.9) với h=0.001, ta thu f (1) ≈ −3f (1) + 4f (1 + h) − f (1 + 2h) = 6.591670477 2h Sử dụng công thức (2.12) với h=0.001, ta thu −11f (1) + 18f (1 + h) − 9f (1 + 2h) + 2f (1 + 3h) 6h = 6.591673743 f (1) ≈ Sử dụng công thức (2.14) với h=0.001, ta thu −25f (1) + 48f (1 + h) − 36f (1 + 2h) + 16f (1 + 3h) − 3f (1 + 4h) 12h = 6.591673732 f (1) ≈ Ví dụ 2.4.2 Tính gần y (50) dựa vào bảng giá trị cho sau: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 49 x 45 50 55 60 65 70 y(x) 1,6532125 1,69897 1,7403627 1,7781513 1,8129133 1,845098 Với h=5 Sử dụng công thức (2.4), ta thu được: y (50) ≈ yi+1 − yi = 0.00827854 h Sử dụng công thức (2.6), ta thu được: y (50) ≈ yi+1 − yi−1 = 0.00871502 2h Sử dụng công thức (2.9), ta thu được: y (50) ≈ −3yi + 4yi+1 − yi+2 = 0.00863895 2h Sử dụng công thức (2.12), ta thu được: y (50) ≈ −11yi + 18yi+1 − 9yi+2 + 2yi+3 = 0.00867745 6h Sử dụng công thức (2.14), ta thu được: −25yi + 48yi+1 − 36yi+2 + 16yi+3 − 3yi+4 12h = 0.00868396 y (50) ≈ Giá trị xác đạo hàm bậc y(x) = log x x=50: y (x) = (log x) = ln x ln 10 = 1 · = ≈ 0.00868589 x ln 10 50 · ln 10 Nhận xét 2.4.2 Qua hai ví dụ trên, ta thấy việc tính đạo hàm phương pháp sử dụng cơng thức lập có độ xác tăng dần từ cơng thức (2.4) đến (2.14) so với kết xác tính từ cơng thức đạo hàm Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 50 2.5 2.5.1 Bài toán nội suy Taylor Bài toán nội suy Taylor hàm biến Bài toán Cho x0 , ak ∈ R với k = 0, 1, , N − Hãy xác định đa thức T (x) có bậc không N − thỏa mãn điều kiện: T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, , N − (2.15) Giải Trước hết, ta thấy đa thức n−1 αk (x − x0 )k T (x) = k=0 có bậc deg(T (x)) ≤ N − Tiếp theo, ta cần xác định hệ số αk ∈ R cho T (x) thỏa mãn điều kiện T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, , N − Lần lượt lấy đạo hàm T (x) đến cấp thứ k , với k = 0, 1, , N − x = x0 , nghĩa là: T (k) (x) = k!αk Và sử dụng giả thiết T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, , N − Suy ra, ak αk = , ∀k = 0, 1, , N − k! Thay giá trị αk vào biểu thức T (x), ta thu được: N −1 T (x) = k=0 ak (x − x0 )k k! (2.16) Với k = 0, 1, , N − 1, ta có: N −1 T (k) (x) = ak + aj (x − x0 )j−k (j − k)! j=k+1 Do vậy, đa thức T (x) thỏa điều kiện T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, , N − Cuối cùng, ta chứng minh đa thức T (x) nhận từ (2.16) đa thức thỏa mãn điều kiện toán nội suy Taylor Thật vậy, có đa thức T∗ (x), có bậc deg(T∗ (x)) ≤ N − thỏa Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 51 mãn điều kiện tốn (2.15), đó, đa thức P (x) = T (x)−T∗ (x) có bậc deg(P (x)) ≤ N − đồng thời thỏa mãn điều kiện P (k) (x0 ) = 0, ∀k = 0, 1, , N − Tức là, đa thức P (x) đa thức có bậc khơng q N − mà lại nhận x0 làm nghiệm với bội không nhỏ thua N, nên P (x) ≡ 0, T (x) = T∗ (x) Định nghĩa 2.5.1 Đa thức N −1 T (x) = k=0 ak (x − x0 )k k! gọi đa thức nội suy Taylor Nhận xét 2.5.1 Chú ý đa thức nội suy Taylor T (x) xác định từ (2.16) khai triển Taylor đến cấp N − hàm số T (x) điểm x = x0 Ví dụ 2.5.1 Xác định đa thức bậc ba f (x) thỏa mãn điều kiện sau: f (n) (1) = n3 − 3n2 + n + 1, n = 0, 1, 2, Giải Ta có: n=0 ⇒ f (1) = n=1 ⇒ f (1) = n=2 ⇒ f (1) = −1 n=3 ⇒ f (1) = Theo công thức Taylor ta có: f (1) f (1) f (1) (x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 1! 2! 3! = + · (x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 3 = x − x + 3x − f (x) = f (1) + Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 52 2.5.2 Bài toán nội suy Taylor hàm nhiều biến Bài toán Cho (x0 , y0 ) ∈ R2 số thực aj , i, j ∈ N, ≤ i+j ≤ n Tìm đa thức hai biến P (x, y) có bậc deg (P (x, y)) ≤ n thỏa mãn ∂kp (x0 , y0 ) = aij , i + j = k, k = 0, 1, · · · , n ∂xi ∂y j Giải Trước hết, ta thấy đa thức n αij (x − x0 )i (y − y0 )j , i + j = 0, 1, , n, i, j ∈ N P (x, y) = i+j=0 có bậc deg P (x, y) ≤ n Tiếp theo, ta cần xác định hệ số αij ∈ R cho P (x, y) thỏa mãn điều kiện: ∂ i+j p (x0 , y0 ) = aij , i + j = k, k = 0, 1, , n ∂xi ∂y j Lần lượt lấy đạo hàm P (x, y) đến cấp thứ k , k = 0, 1, 2, , n (x, y) = (x0 , y0 ), ta có: ∂ i+j p (x0 , y0 ) = αij i!j!, i + j = k, k = 0, 1, · · · , n ∂xi ∂y j Sử dụng giả thiết: ∂ i+j p (x0 , y0 ) = aij , i + j = k, k = 0, 1, , n ∂xi ∂y j Ta suy ra, αij = aij , ∀i + j = k, k = 0, 1, , n i!j! Thay giá trị aij vào biểu thức P(x, y), ta thu được: n P (x, y) = aij (x − x0 )i (y − y0 )j , i + j = 0, 1, , n, i, j ∈ N (2.17) i!j! i+j=0 Tương tự trường hợp biến, ta dễ dàng chứng minh đa thức P(x, y) nhận (2.17) đa thức thỏa mãn điều kiện toán Định nghĩa 2.5.2 Đa thức n P (x, y) = aij (x − x0 )i (y − y0 )j , i + j = 0, 1, , n, i, j ∈ N i!j! i+j=0 gọi đa thức nội suy Taylor Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 53 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu Thầy Phan Đức Tuấn cung cấp, em hồn thành đề tài Đề tài đề cập đến công thức khai triển Taylor số ứng dụng cơng thức Những kết trình bày luận văn gồm: Giới thiệu số kiến thức chuẩn bị, đó: • Giới thiệu số tính chất đa thức • Giới thiệu số định lý giải tích cổ điển Giới thiệu công thức khai triển Taylor hàm biến ánh xạ từ Rn vào Rm dạng khác phần dư Giới thiệu số ứng dụng công thức khai triển Taylor việc ước lượng đánh giá sai số, tính giới hạn hàm số, tìm cực trị hàm số, tính gần đạo hàm Vì thời gian nghiên cứu kiến thức cịn hạn chế nên luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến thầy cơ, hội đồng đánh giá toàn thể bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng để khóa luận phát triển tốt Em xin chân thành cảm ơn! Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca 54 Tài liệu tham khảo [1] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn, Giáo trình giải tích, tập I, ĐH Quốc Gia Hà Nội, 2005 [2] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, tập I, NXB Giáo dục, 2010 [3] Nguyễn Đình Trí, Tốn học cao cấp, tập I, tập III, NXBGD, 2006 [4] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, NXBGD, 2005 [5] Nguyễn Duy Tiến, Bài giảng giải tích, tập I, II, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [6] Nguyễn Văn Kh, Lê Mậu Hải, Giải tích tốn học, tập I, NXB Đại học Sư phạm, 2012 [7] Nguyễn Thanh Thủy, Đỗ Đức Giáo, Giải tích tốn học (HD giải tập), tập I, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [8] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXBGD, 2004 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca ... triển Taylor ứng dụng công thức" Mục đích nghiên cứu Gồm hai chương: - Chương 1: Công thức Taylor + Kiến thức chuẩn bị Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Phạm Thị Cẩm Ca + Công thức Taylor - Chương 2: Ứng. .. Taylor 1.2.1 Công thức khai triển Taylor hàm biến số 8 1.2.2 Công thức khai triển Taylor hàm nhiều biến số 21 ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TAYLOR 28 2.1 Ước lượng đánh giá sai... Taylor số ứng dụng công thức - Hỏi, trao đổi tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Giới hạn đề tài: Đề tài không sâu vào nghiên cứu tất dạng phần dư công thức khai triển Taylor mà giới thiệu vài