Phương trình khuếch tán
Các quá trình phân bổ nhiệt độ hoặc khuếch tán hạt trong một môi trường được mô tả bằng phương trình khuếch tán sau đây: ρ∂u
∂t = div(pgradu)−qu+F(x, t), (1.1) ở đây các toán tử div và gradu được xác định bởi: div(pgradu) n
Để xây dựng phương trình truyền nhiệt, ta ký hiệu u(x, t) là nhiệt độ tại điểm x vào thời điểm t, với x là một điểm trong không gian có số chiều hữu hạn Môi trường được coi là đẳng hướng, với ρ(x), c(x) và k(x) lần lượt là mật độ, nhiệt dung riêng và hệ số dẫn nhiệt tại điểm x Cường độ nguồn nhiệt tại điểm x vào thời gian t được ký hiệu là F(x, t) Trong một thể tích V bất kỳ, lượng nhiệt được coi là cân bằng sau khoảng thời gian (t, t + ∆t), với S là biên của V và n là hướng truyền nhiệt qua S Theo định luật Fourier, lượng nhiệt truyền vào V qua mặt S sẽ được xác định.
(kgradu, n)dS∆t, (1.2) bằng, theo công thức Gauss–Osstragradxki:
Khi đó lượng nhiệt được sinh ra trong V là:
Khi đó nhiệt độ trong V sau khoảng thời gian (t, t+ ∆t) là: u(x, t+ ∆t)−u(x, t) ' ∂u
Khi đó nhiệt độ cần thiết để cho vật V thay đổi nhiệt độ là:
Do V có thể lấy tùy ý nên ta nhận được phương trình truyền nhiệt: cρ∂u
∂t = div(kgradu) + F(x, t), (1.6) nếu môi trường là thuần nhất thì c, ρ, k là các hằng số Khi đó (1.6) viết được dưới dạng:
∂x 2 i Khi đó phương trình (1.7) được gọi là phương trình truyền nhiệt.
Bài toán đầu cho phương trình truyền nhiệt
Bài toán đầu (hay còn gọi là bài toán Cauchy) cho phương trình truyền nhiệt nằm ở việc xác định hàm u(x, t) ∈ C 2 ((−∞,+∞) ⊗(0,∞)), thỏa mãn phương trình:
Giá trị max và min nghiệm của phương trình thuần nhất 7
trình thuần nhất Định lý 1.3.1 Nếu hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt thuần nhất
Phương trình ∂x 2 = 0 trong miền G l,T = (−l, l)⊗(0, T) và liên tục trong G l,T = [−l, l]⊗[0, T] sẽ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên phần biên Sl,T Phần biên này được cấu thành từ đoạn [−l, l] trên trục Ox và các đoạn {x = −l, 0 ≤ t ≤ T} cùng {x = l, 0 ≤ t ≤ T}.
Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của u(x, t) trên miền G l,T, trong khi m là giá trị lớn nhất của u(x, t) trên miền S l,T Các giá trị này tồn tại khi hàm u(x, t) liên tục trên G l,T Nếu bất đẳng thức M > m được thỏa mãn, thì sẽ có ít nhất một điểm (x 0 , t 0 ) sao cho u(x 0 , t 0 ) = M, với x 0 thuộc khoảng (−l, l).
Ta đưa vào hàm sau đây: v(x, t) =u(x, t) + M −m
24l 2 (x−x0) 2 và tiến hành xem xét giá trị của v(x, t) trên Sl,T: v| S l,T ≤ m+ M −m
Khi v(x0, t0) = u(x0, t0) = M, hàm v(x, t) không đạt giá trị lớn nhất trong miền G l,T trên S l,T Giả sử giá trị của hàm v(x, t) đạt tại điểm (x1, t1) với x1 ∈ (−l, l) và 0 < t1 ≤ T Điểm (x1, t1) với t1 < T là điểm cực đại địa phương của hàm v(x, t).
Như vậy tại điểm này:
Phương trình (1.10) tại điểm (x₁, t₁) không thỏa mãn vì 12l 2 > 0, điều này chứng tỏ rằng M = m Tương tự, ta cũng chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của hàm u(x, t) đạt được trên Sl,T.
Định lý duy nhất nghiệm của bài toán đầu
đầu Định lý 1.4.1 Nghiệm của bài toán đầu trong lớp hàm hữu hạn với −∞ < x < ∞ và t > 0 là duy nhất
Chứng minh Ta giả sử điều ngược lại: giả sử u1(x, t) và u2(x, t) là hai nghiệm hữu hạn khác nhau của bài toán (1.23) - (1.24) Khi đó
|u 1 (x, t)| ≤ M; |u 2 (x, t)| ≤ M với −∞ < x < ∞; t > 0 Xét hàm u(x, t) u 1 (x, t)−u 2 (x, t), ta có:
Để chứng minh rằng |u(x, t)| = |u1(x, t) − u2(x, t)| ≤ |u1(x, t)| + |u2(x, t)| ≤ 2M, ta nhận thấy rằng u(x, t) là hữu hạn trong miền −∞ < x < ∞; t > 0 và thỏa mãn phương trình (1.10) Với điều kiện u1(x, t)|t=0 = u0(x) và u2(x, t)|t=0 = u0(x), ta có u(x, t) = 0 Tiếp theo, áp dụng định lý về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho nghiệm của bài toán truyền nhiệt trong miền hữu hạn Gl,T với |x| ≤ l và 0 ≤ t ≤ T, trong đó l > 0 và T > 0, ta đưa vào hàm v(x, t) = 4Ml²(x²).
Chứng tỏ rằng v(x, t) là nghiệm của bài toán truyền nhiệt Thật vậy:
2 = 2M, như vậy v(x,0) ≥ u(x,0) và v(±l, t) ≥ 2M ≥ u(±l, t). Áp dụng định lý về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho hiệu của các hàm v(x, t) và ±u(x, t) trong miền G l,T , ta nhận được: v(x,0) ≥ |u(x,0)|, v(±l, t) ≥ |u(±l, t)|.
Khi cố định x = x0 và t = t0 > 0, với l đủ lớn trong (1.11), ta có |u(x0, t0)| ≤ ε cho mọi ε > 0, chứng tỏ rằng u(x0, t0) = 0 Do x0 ∈ (−∞, +∞) và t0 > 0 là tùy ý, ta kết luận rằng u(x, t) = 0 hay u1(x, t) = u2(x, t) với t > 0.
Nghiệm tổng quát của bài toán truyền nhiệt thuần nhất
Xét phương trình sau đây:
Trước tiên ta đi tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng: u(x, t) =X(x)T(t) (1.13) Đặt (1.13) vào (1.12) và tiến hành tách biến, ta nhận được:
Phương trình (1.14) cho ta: T(t) small> −λ 2 a 2 t
Bây giờ ta xem xét phương trình (1.15):
Phương trình đặc trưng (1.15) có nghiệm là à ±iλ, từ đó ta xác định nghiệm X(x) dưới dạng X(x) = A(λ) cosλx + B(λ) sinλx Do đó, nghiệm của phương trình (1.12) được biểu diễn là u(x, t) = (A(λ) cosλx + B(λ) sinλx)e −a 2 λ 2 t với λ là một hằng số tùy ý.
Do tính tuyến tính và thuần nhất của phương trình truyền nhiệt (1.12) nên tổng bất kỳ và mọi biểu diễn tuyến tính P
C λ u λ cũng sẽ là nghiệm của phương trình truyền nhiệt.
Như vậy ta có thể giả sử rằng
−∞ uλdλ cũng sẽ là nghiệm của phương trình truyền nhiệt Do đó ta có thể xác định nó như sau: u(x, t) ∞
Nếu tích phân (1.16) hội tụ đều và cho phép thực hiện phép tính vi phân dưới dấu tích phân một lần theo t và hai lần theo x, thì (1.16) là nghiệm của phương trình (1.12) Hệ thức (1.16) dẫn đến sự quan tâm về tích phân Fourier.
Tích phân Fourier
Cho trước hàm f(x) với −∞ < x < ∞ Xét hàm đã cho trên đoạn [−l, l] và viết nó dưới dạng chuỗi Fourier tương ứng: f(x) = a 0
(a k cos nπ l x+ b k sinnπ l x), ở đây các hệ số a k và b k được tính theo công thức: a k = 1 l l
Giả sử hàm đã cho là khả tích tuyệt đối trên toàn bộ trục số, như vậy
|f(y)|dy < ∞ Ta tiến hành đánh giá a 0 khi l → ∞ :
|f(y)|dy l→∞ −→ 0. Đặt: kπ l = λ k , k = 1,2, và kí hiệu:
∆λ k = λ k+1 −λ k = (k+ 1)π l − kπ l = π l. Khi đó ta có thể viết: a k = 1 l l
Chuyển qua giới hạn biểu thức cuối cùng khi l → ∞ Khi l → ∞ ta có
∆λ k → 0, do đó tổng nhận được có thể xem xét như tích phân theo λ và khi đó ta viết: f(x) = lim l→∞(a 0
−∞ f(y) cosλ(x−y)dydλ. Như vậy ta đã biểu diễn được hàm f(x)dưới dạng tích phân bội Fourier: f(x) = 1
Ta viết lại biểu thức cuối như sau: f(x) = 1
[α(λ) cosλx+ β(λ) sinλx]dλ, với các hàm α(λ) và β(λ) được gọi lần lượt là biến đổi côsin và sinFourier.
Nghiệm của bài toán đầu cho phương trình truyền nhiệt 14
Ta quay trở lại bài toán:
Nghiệm của phương trình (1.27) theo giả thiết, u 0 (x) hữu hạn và liên tục trên toàn bộ trục số: −∞ < x 0 Khi cố định N, chúng ta xem xét J3 Với điều kiện ban đầu, hàm u0(x) là liên tục, nên với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ∆x thỏa mãn |∆x| < δ, có |u0(x + ∆x) - u0(x)| < ε/2.
∆x = −2a√ tη và chọnt > 0đủ nhỏ, sao cho|∆x| = 2a√ t|η| ≤ 2a√ tN < δ khi mà |η| ≤N Khi đó:
Do đó khi t →0 + ta nhận được:
Công thức Poisson
Ta tiến hành nghiên cứu bài toán sau:
Nếu như ta gọi u 1 (x, t) là nghiệm của bài toán:
Còn u 2 (x, t) là nghiệm của bài toán:
Thì khi đó nghiệm u(x,t) của bài toán (1.23) – (1.24) biểu diễn được dưới dạng tổng các nghiệm của (1.25) – (1.26) và (1.27) – (1.28) Thật vậy:
Theo chứng minh ở mục 7 ta có được nghiệm của bài toán (1.27) – (1.28) là: u2(x, t) = 1
Ta tiến hành nghiên cứu bài toán (1.25) – (1.26) :
Trước tiên ta xem xét bài toán:
Lặp lại cách lập luận đã trình bày trong mục 7 ta có được nghiệm của bài toán (1.30) – (1.31) là hàm: v(x, t, τ) = 1
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bài toán không thuần nhất với điều kiện biên thuần nhất, ta xem xét hàm u1(x, t) = t Trong đó, (x−y)²/(4a²(t−τ))dy được sử dụng với điều kiện t > τ.
Ta chứng minh hàm u 1 (x, t) được xác định như trên là nghiệm của phương trình (1.25) khi t > 0 Ta có:
Từ nay trở đi, chúng ta giả định rằng hàm f(x, t) bị chặn với mọi x và t > 0, đồng thời khả vi hai lần theo x và một lần theo t ≥ 0 Nhiệm vụ còn lại là chứng minh rằng giới hạn khi x tiến tới 0 của u1(x, t) là 0.
Ta đánh giá u(x, t) với mọi t > 0 :
Từ điều kiện bị chặn của hàm f(x, t) : |f(x, t)| ≤ M với mọi (x, t) ta có:
Hệ thức cuối cho ta lim x→0 + u1(x, t) = 0.
Như vậy nghiệm của bài toán (1.23) – (1.24):
∂x 2 = f(x, t), u| t=0 = u 0 (x), sẽ là tổng các nghiệm của bài toán (1.25) – (1.26) và (1.27) – (1.28): u(x, t) t
(1.32) Công thức trên còn có tên gọi là công thức Poisson.
Trong công thức Poisson nhận được thì số hạng thứ hai:
−∞ e − (x−y)2 4a 2 t u 0 (y)dy, được gọi là thế vị nhiệt bề mặt, còn số hạng thứ nhất: t
(x−y)2 4a2(t−τ)dy]dτ, được gọi là thế vị nhiệt thể tích Các thuật ngữ trên sẽ được sử dụng thường xuyên trong chương tiếp theo.
Ví dụ Tìm nghiệm của bài toán sau đây:
Ta có f(x, t) =e −t (khuyết x), u| t=0 = e −2x , a = 1 Áp dụng công thức Poisson ta có:
Thế vị nhiệt bề mặt:
Tiến hành biến đổi biểu thức 8yt+(x−y) 4t 2 ta nhận được:
Ta tiến hành tính toán đối với thế vị nhiệt thể tích:
−∞ e −ξ 2 dξ = e −τ Cuối cùng thế vị nhiệt thể tích nhận được: v t
Vậy nghiệm của bài toán đã cho là: u = I 1 + v = e −2x+4t −e −t + 1.
Ta đưa vào kí hiệu sau đây:
24a 2 t, khi đó công thức (1.32) trong trường hợp (không gian) một chiều viết được dưới dạng: u(x, t) t
(1.33) Công thức (1.33) được trong trường hợp n chiều (không gian n chiều) có dạng: u(x 1 , x 2 , , x n , t) t
G n (a, x−y, t−s)u 0 (y 1 , y 2 , , y n )dy 1 dy 2 dy n , trong đó,
Phần mềm Mathematica cho bài toán truyền nhiệt
Sự ra đời và phát triển
Trong các môn học ứng dụng, việc giải quyết các bài toán tính toán cụ thể với thời gian nhanh chóng là rất quan trọng Mathematica là một công cụ lập trình mạnh mẽ, cung cấp hơn 700 hàm trong thư viện, cho phép thực hiện nhiều chức năng đa dạng.
Mathematica, phiên bản đầu tiên được phát hành bởi Wolfram Research vào năm 1988, là một hệ thống phần mềm mạnh mẽ cho các tính toán trên máy tính điện tử Nó tích hợp các phương pháp tính toán ký hiệu, tính toán số, vẽ đồ thị và ngôn ngữ lập trình, và được xem là một trong những thành tựu quan trọng trong lĩnh vực khoa học máy tính.
Mathematica là ngôn ngữ tích hợp đầy đủ nhất các tính toán kỹ thuật.
Ngôn ngữ giải tích, phát triển từ những năm 60 của thế kỷ XX với các ví dụ như Macsyma và Ruduce, dựa trên nguyên lý xử lý dữ liệu tương ứng và chủ yếu phục vụ cho các bài toán vật lý năng lượng cao Tuy nhiên, nhược điểm lớn nhất của các ngôn ngữ này là chúng thường chỉ hoạt động trên các máy tính lớn.
Thế hệ tiếp theo của các ngôn ngữ lập trình bao gồm Mathematica, Maple và Matlab, nổi bật với tốc độ chạy nhanh và khả năng hoạt động hiệu quả trên máy tính cá nhân với bộ nhớ nhỏ Trong số đó, Mathematica được đánh giá cao nhất nhờ giao diện thân thiện, khả năng mô tả đồ thị vượt trội và khả năng xử lý dữ liệu không thua kém các ngôn ngữ tính toán khác.
Mathematica có khả năng mô hình hóa và mô phỏng các hệ thống lớn, bao gồm cả hệ động, giúp mở rộng ứng dụng của nó không chỉ trong vật lý kỹ thuật và toán học mà còn trong sinh học và các lĩnh vực khoa học khác.
Mathematica liên tục được cải tiến với nhiều phiên bản, từ 1.2 đến phiên bản mới nhất 7.0 Phần mềm này không chỉ hỗ trợ mạnh mẽ cho môn Lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng mà còn là công cụ hàng đầu trong các lĩnh vực như Lý thuyết Xác suất và thống kê, Đại số tuyến tính, Phương trình vi phân, giải phương trình và vẽ đồ thị.
Hiện nay, Mathematica là phần mềm phổ biến được giảng dạy tại nhiều trường Cao đẳng và Đại học, đóng vai trò quan trọng trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy cho nhiều môn học khác nhau.
Nghiệm của phương trình truyền nhiệt trong R 1
Bước 1 Trong Mathematica ta nhập hàm thực hiện G bằng cú pháp:
{Định nghĩa hàm G trong Mathematica: #1; #2, #3; lần lượt là các biến của hàm G mà ta hiểu ngầm theo thứ tự là a, x và t}
Bước 2 Thực hiện tổ hợp phím Shift+Enter ta nhận được:
Nhập G(a, x, t) và thực hiện tổ hợp phím Shift+Enter ta nhận được:
{ Hàm G phụ thuộc vào a, x, t Như vậy theo cách định nghĩa trên thì a ứng với #1, x ứng với #2, và t ứng với #3}
{ Câu trả lời cho lệnh In[2] sau khi ấn tổ hợp phím Shift + Enter}
Bước 3 Ta đưa vào các hàm sau đây:
{ Thực hiện phép tính tích phânG(a, x−y, t)u(y) = 1
Nhiệt bề mặt được mô tả bởi công thức −∞ e − (x−y)2 4a 2 t u(y)d(y), trong đó cách viết vo[a − , u − ] thể hiện tích phân phụ thuộc vào hệ số a và điều kiện ban đầu u0 Các lệnh tiếp theo cũng mang ý nghĩa tương tự.
{Lệnh gán để tìm thế vị nhiệt thể tích: tích phân của hàm woo chạy từ
0 đến t, các lệnh tiếp theo có ý nghĩa tương tự}
In[13] := uio[a − , f − ] := ints[wio[a,f]]; Để tiến hành kiểm tra các hàm vừa nhận được, ta nhập:
√ s ds 2a√ π Để kiểm tra nghiệm ta có thể sử dụng hàm sau:
#2), t > 0 && x1 ∈ Reals; x2∈ Reals; x3 ∈ Reals]& l0 := Simplify[(Limit[#4, t → 0, Direction → −1]−#3), x1 ∈ Reals; x2∈ Reals; x3 ∈ Reals]& l := {l1[#1, #2, #3, #4], l0[#1, #2, #3, #4]}&
Để kiểm tra tính chính xác của nghiệm, ta thực hiện hai bước: đầu tiên, kiểm tra biểu thức ∂u/∂t − a² ∂²u/∂x² − f(x, t) với điều kiện l1:=0, nếu đáp số bằng 0 thì biểu thức là đúng Tiếp theo, kiểm tra giới hạn lim t→0+ (u(x, t) − u₀(x)) với điều kiện l0:=0, nếu đáp số cũng bằng 0 thì biểu thức này cũng chính xác Cuối cùng, nếu nhận được l{0,0}, điều đó có nghĩa là nghiệm tìm được là chính xác.
Ví dụ 2.2.1 Tìm nghiệm, kiểm tra và vẽ đồ thị nghiệm của bài toán đầu sau đây (n=1):
In[19] := f221[x−, t−] := 3∗Exp[t]; { nghĩa là ta có f(x, t) = 3e t } In[20] := u0221[x − ] := Exp[−4x]; { nghĩa là ta có u| t=0 = e −4x } In[21] := a221 = 1; { nghĩa là ta có a = 1}
Nghiệm của bài toán có dạng:
Thực hiện lệnh kiểm tra:
In[25] := l[a221, f221[x1, t], u0221[x1], u221[x1,t] ] Out[25] := {0, 0} Để vẽ đồ thị nghiệm của hàm trên, ta thực hiện lệnh:
Ta nhận được đồ thị:
Ví dụ 2.2.2 Tìm nghiệm, kiểm tra và vẽ đồ thị nghiệm của bài toán đầu sau đây (n=1).
In[27] := f222[x − , t − ] := 3∗t ∧ 3; { nghĩa là ta có f(x, t) = 3t 3 } In[28] := u0222[x − ] := cos[x]; { nghĩa là ta có u| t=0 = cosx.}
In[29] := a222 = 1; { nghĩa là ta có a = 1.}
Nghiệm của bài toán có dạng
Thực hiện lệnh kiểm tra:
In[34] := l[a222, f222[x1, t], u0222[x1], u222[x1,t] ] Out[34] := {0, 0} Để vẽ đồ thị nghiệm của hàm trên, ta thực hiện lệnh:
Ta nhận được đồ thị:
Ví dụ 2.2.3 Quay trở lại ví dụ đã trình bày ở chương 1, ta thử so sánh khối lượng công việc tính toán và đáp số của bài toán:
Như vậy nghiệm của bài toán viết được dưới dạng:
In[42] := l[a223, f223[x1, t], u0223[x1], u223[x1, t] ] Out[42] := {0, 0} Để vẽ đồ thị nghiệm của hàm trên, ta thực hiện lệnh:
Ta nhận được đồ thị:
Ví dụ 2.2.4 Tìm nghiệm của bài toán đầu sau đây (n = 1):
Như vậy nghiệm của bài toán tìm được dưới dạng:
Thực hiện lệnh kiểm tra:
In[50] := l[a224, f224[x1, t], u0224[x1], u224[x1, t] ] Out[50] := {0, 0} Để vẽ đồ thị nghiệm của hàm trên, ta thực hiện lệnh:
Ta nhận được đồ thị:
Ví dụ 2.2.5 Tìm nghiệm của bài toán đầu sau đây (n = 1):
Thế vị nhiệt bề mặt của bài toán có thể tìm được bằng hàm vi hoặc vo
Ta sẽ lựa chọn phương án một để cho đơn giản và cũng như trong đó không chứa các hàm Erf và Erfi.
Rút gọn biểu thức cuối bằng câu lệnh:
Ta xác định được thế vị nhiệt bề mặt:
Sử dụng các hàm thực hiện wio và woi để so sánh việc tính toán thế vị nhiệt thể tích:
Cũng có thể sử dụng (cho thế vị nhiệt thể tích) các hàm thực hiện uio và uoi:
Việc tính toán hàm uio (wio) cho thấy sự ưu việt khi không cần thực hiện các phép toán bổ sung để rút gọn hàm số.
Cuối cùng nghiệm của bài toán đã cho biểu diễn được dưới dạng:
Out[65] := {0, 0} Để vẽ đồ thị nghiệm của hàm trên, ta thực hiện lệnh:
Ta nhận được đồ thị:
Ví dụ 2.2.6 Tìm nghiệm của bài toán đầu sau đây (n = 1):
Bài toán đã cho có dạng sau đây:
3; Để tìm thế vị nhiệt bề mặt ta sử dụng hai hàm thực hiện là vo và vi:In[70] := vo[a226,u0226]
Trong trường hợp này, chúng ta chọn hàm thực hiện đầu tiên vì nó không chứa các hàm đặc thù như Erf và Erfi Sau đó, chúng ta tiến hành rút gọn hàm vo.
√15 +t Tiến hành giản ước biểu thức trên mũ của hàm e:
16(15 +t) Cuối cùng ta nhận được thế vị nhiệt bề mặt có dạng:
√15 +t ; Để tìm được thế vị nhiệt thể tích ta tiến hành tính toán đối với hai hàm thực hiện woi và wio:
Ta chọn và tiến hành biến đổi phần thực và phần ảo của hàm woi:
In[77] := woi → PowerExpand[ComplexExpand[woi[a226, f226 ]]]
Ta đi tìm biểu diễn phần ảo Im[woi]của biểu thức trên: In[78] := Im[woi]→ FullSimplify[
Ta đi tìm biểu diễn phần thực Re[woi]của biểu thức trên:
6]) Như vậy ta nhận được biểu thức cho woi bằng cách:
Từ đây ta suy ra công thức thế vị nhiệt thể tích:
12]))) Cuối cùng nghiệm của bài toán tìm được dưới dạng:
In[83] := l[a226, f226[x1,t], u0226[x1], u226[x1,t]]Out[83] := {0, 0} Để vẽ đồ thị nghiệm của hàm trên, ta thực hiện lệnh:
Ta nhận được đồ thị:
Kết luận về đề tài "Bài toán truyền nhiệt và ứng dụng phần mềm Mathematica giải bài toán truyền nhiệt trong không gian một chiều" đã đạt được những kết quả đáng chú ý, bao gồm việc ứng dụng thành công phần mềm Mathematica để phân tích và giải quyết các vấn đề liên quan đến truyền nhiệt trong không gian một chiều Những kết quả này không chỉ góp phần nâng cao hiểu biết về hiện tượng truyền nhiệt mà còn mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu và ứng dụng trong lĩnh vực này.
• Tìm hiểu về bài toán truyền nhiệt trong Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.
• Sử dụng phần mềm Mathematica để giải quyết bài toán truyền nhiệt trong trường hợp n=1
• Có thể sử dụng đề tài như một tài liệu tham khảo cho sinh viên ngànhToán và các đối tượng có chuyên ngành liên quan.