❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✣⑨ ◆➂◆● ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ −−− −−− ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣➲ t➔✐✿ ❇×❰❈ ✣❺❯ ❚➐▼ ị ữợ ❚❘×❒◆● ❈➷◆● ◗❯Ý◆❍ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✿ P❍❆◆ ❇⑩ ❚Ü ✿ ✶✵❈❚❚✶ ▲ỵ♣ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ✺✴✷✵✶✹ ▼ư❝ ❧ư❝ ▼Ư❈ ▲Ö❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ▼Ð ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✼ ✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỡ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✷ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ỵ tt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✷✳✷ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞➔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✷✳✸ ❉➔♥ ❝♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✷✳✸✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✷✳✸✳✷ ●✐❛♦ ❝õ❛ ❝→❝ ❞➔♥ ❝♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ■✤➯❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✹✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✹✳✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ ❝➜✉ ❞➔♥✲ ✣➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✹ ✷✳✺ ✷ ▼Ö❈ ▲Ö❈ ✷✳✻ ▼Ö❈ ▲Ö❈ ❉➔♥ t❤÷ì♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✷✳✻✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✷✳✻✳✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✸ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ❙❛✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ♥❣❤✐➯♥ ự t trữớ ữ P ợ ỳ tự t t ữủ tứ qỵ t ổ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✈➔ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✤➣ ❣✐ó♣ ❡♠ ❝↔♠ t❤➜② tü t✐♥ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❜➔✐ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❊♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✤➳♥ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ✤➸ ❡♠ t❤ü❝ ❤✐➺♥ tèt ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ sü t➟♥ t➻♥❤ ❞↕② ❜↔♦ tr♦♥❣ s✉èt ✹ ♥➠♠ ❤å❝ q✉❛✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ t❤➛② ❚r÷ì♥❣ ❈ỉ♥❣ ◗✉ý♥❤✳ ❚❤➛② ✤➣ ♥❤✐➺t t➻♥❤ ữợ ú ù õ t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ❜➔✐ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② tø ✈✐➺❝ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✱ ❝✉♥❣ ❝➜♣ t➔✐ ❧✐➺✉ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➔ ❤➻♥❤ t❤ù❝ tr➻♥❤ ❜➔②✳ ❊♠ ❝ơ♥❣ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣✐ó♣ ✤ï ❡♠ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ q✉❛✳ ❱➻ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ♠➦❝ ❞ò ❜↔♥ t❤➙♥ ✤➣ ❝è ❣➢♥❣ r➜t ♥❤✐➲✉ ♥❤÷♥❣ ❜➔✐ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✈➝♥ ❝á♥ ♥❤✐➲✉ t❤✐➳✉ sât✱ ❤↕♥ ❝❤➳✳ ❑➼♥❤ ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ữủ ỵ õ õ qỵ t ổ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ ❡♠ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ t➜t ❝↔ ♠å✐ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tèt ♥❤➜t ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tốt é ỵ t ỵ tt ởt ỹ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ t ự ỵ tt ụ ❧➔ ♠ët t✐➲♥ ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥ t✐♥ ❤å❝✳ ✣➙② ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥ tr✉② ❝➟♣ ✈➔ t➻♠ ❦✐➳♠ ❞ú ❧✐➺✉✳ ✣➸ ❤✐➸✉ s➙✉ ✈➔ ✈➟♥ ữủ ỳ trữợ t t t tứ ỳ t ữợ ự ú tổ t ữợ t ỵ tt ự t➔✐✿ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ❧➔ t➻♠ ❤✐➸✉✱ ❝❤å♥ ❧å❝✱ s❛✉ ✤â tê♥❣ ❤ñ♣ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ởt qt ró r rữợ t ú tæ✐ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞➔♥✱ t tr ỵ tứ ỵ tt ♠♦❞✉❧✳ ❙❛✉ ✤â ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t✐➳♣ tư❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ❝→❝ t t tữỡ ợ ❝õ❛ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✤➲ t➔✐✿ ✣➲ t➔✐ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞➔♥✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞➔♥ ❝♦♥✱ ỗ ệ ệ ▼Ư❈ ▲Ư❈ ❞➔♥ t❤÷ì♥❣✳ ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ t➔✐ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤õ ②➳✉ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➔✐ ❧✐➺✉ ✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ s♦ s→♥❤✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈➔ tê♥❣ ❤đ♣✳ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ư t❤➸✿ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ t ữợ t t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❦❤→❝ ✈➔ ❝→❝ t❤ỉ♥❣ t✐♥✱ t÷ ❧✐➺✉ tr➯♥ ✐♥t❡r✲ ♥❡t✱ tr➯♥ ❜→♦ ❝❤➼✱ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ tø ✤â ❝❤➢t ❧å❝ ❝→❝ t❤æ♥❣ t✐♥✱ t÷ ❧✐➺✉ ❝➛♥ t❤✐➳t✱ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ s♦ s→♥❤✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈➔ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔ tê♥❣ ❤đ♣ ❧↕✐ ✤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤➲ t➔✐✳ ✺✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❜➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ự ỗ ữỡ ữỡ tự ❜à✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤➲ ❝➟♣ ❝❤õ ②➳✉ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ õ tự tỹ tr ữợ t tr t ữợ ỗ tự tỹ r tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝á♥ ❝â ♠ët ✈➔✐ ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❜✐➳t ❝➛♥ sû ❞ư♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ữỡ ởt số ỵ tt ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞➔♥ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ rã r➔♥❣✳ ❚r♦♥❣ ✤â q✉❛♥ trå♥❣ ❧➔ ♠➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✶✳ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❞➔♥✱ ✤à♥❤ ỵ q ỵ t ❜✐➸✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❞➔♥ ❝♦♥ ✈➔ ■✤➯❛♥✳ ✻ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ▼ët t➟♣ S ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝â t❤ù tü ✭❜ë ♣❤➟♥✮ ♥➳✉ ♥â ✤÷đ❝ tr❛♥❣ ❜à ♠ët q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü ≤ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ (i) a ≤ a, ∀a ∈ S (ii) a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b, ∀a, b ∈ S (iii) a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c, ∀a, b, c S ỵ (S; ) q✉❛♥ ❤➺ ≥ ✈ỵ✐ b ≥ a ⇔ a ≤ b✳ ❑❤✐ ✤â q✉❛♥ ❤➺ ≥ ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü✳ ◆❣♦➔✐ r❛ (i) a ≥ b ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ b ≤ a (ii) a < b ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ a ≤ b ✈➔ a = b (iii) a > b ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ b < a ✼ ✶✳✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❈❍×❒◆● ✶✳ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ❈❤♦ S ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü ✈➔ T ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ S ✳ ▼ët ♣❤➛♥ tû a ∈ S ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝❤➦♥ tr➯♥ ữợ T ợ t T, t ≤ a(a ≤ t)✳ ◆â✐ ❝❤✉♥❣ ♠ët t➟♣ ❝â t õ tr ữợ õ t ổ õ tr ữợ ởt t ❝â t❤ù tü P ✈➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ A ❝õ❛ P A ữủ t ữợ x ∈ A, y ∈ P, y ≤ x t❤➻ t❛ ❝â y ∈ A✳ ❈❤♦ t➟♣ ❝♦♥ H ❝õ❛ t➟♣ õ tự tỹ P t ữợ ữủ s H tr♦♥❣ P t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ↓ pH ✈➔ ↓ pH = {x ∈ P |x ≤ y ✈ỵ✐ y ∈ H} ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❦➼ ❤✐➺✉ ↓ H ❦❤✐ t➟♣ ❝â t❤ù tü P ✤÷đ❝ ❤✐➸✉✳ ◆➳✉ H = {h} t❛ ❝â t❤➸ ❦➼ ❤✐➺✉ ↓ h t❤❛② ❝❤♦ ↓ {h}✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ t➟♣ t➜t ❝↔ t ữợ t õ tự tỹ P DownP ✳ ❑❤✐ ✤â ∅ ∈ DownP ✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✈➟② t❛ ❣å✐ A ❧➔ t➟♣ tr➯♥ ❝õ❛ P ♥➳✉✿ ∀x ∈ A, y ∈ P, x ≤ y t❤➻ t❛ ❝â y ∈ A✳ ❱➔ ❝❤ó♥❣ t❛ sû ỵ pH H ↑ h✳ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ tr➯♥ ❝õ❛ P ỵ upP t õ tự tü (A0 ; ≤) ✈➔ (A1 ; ≤)✱ ♠ët →♥❤ ①↕ ϕ : A0 −→ A1 t❤ä❛ ♠➣♥✿ ∀a, b ∈ A0 : a ≤ b ⇔ ϕ(a) ≤ ϕ(b)✳ õ ữủ ởt ỗ t❤ù tü✳ ◆➳✉ ϕ ❧➔ s♦♥❣ →♥❤ ✈➔ ϕ ❧➔ ỗ t õ t ởt ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✳ ◆➳✉ ❣✐ú❛ (A0 ; ≤) (A1 ; ) tỗ t ởt t❤➻ t❛ ♥â✐ (A0 ; ≤) ✈➔ (A1 ; ≤) ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉ ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ (A0 ; ≤) ∼ = (A1 ; ≤)✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ◆❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠ët ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ♠ët ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ϕ : A0 −→ A1 ✈➔ ϕ−1 : A1 −→ A0 ✳ ϕ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤ ♥➯♥ ϕ−1 ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤✳ ✽ ✶✳✷✳ ❙❒ ✣➬ ❈❍×❒◆● ✶✳ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ∀x, y ∈ A1 , ∃a, b ∈ A0 : ϕ(a) = x, ϕ(b) = y ❙✉② r❛ ϕ−1 (x) = a, ϕ−1 (y) = b x ≤ y ⇔ ϕ(a) ≤ ϕ(b) ⇔ a ≤ b ⇔ ϕ−1 (x) ≤ ϕ−1 (y)✳ ❱➟② ϕ−1 ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✳ ❈❤♦ (A; ≤) ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü✳ ❈→❝ ♣❤➛♥ tû a, b ∈ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ s♦ s→♥❤ ✤÷đ❝ ♥➳✉ a ≤ b ❤♦➦❝ b ≤ a✳ ◆➳✉ a ✈➔ b ❦❤æ♥❣ t❤➸ s♦ s→♥❤ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ a||b✳ ❈❤♦ (A; ≤) ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü ✈➔ (A; ≤) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝â t❤ù tü t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû a, b ∈ A ✤➲✉ s♦ s→♥❤ ữủ (i) N, Z, Q, R ợ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü ❤ì♥ ♥ú❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ t➟♣ ❝â t❤ù tü t✉②➳♥ t➼♥❤✳ (ii) Cn = {0, 1, 2, , n − 1} ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü t✉②➳♥ t➼♥❤✳ (iii) ❈❤♦ t➟♣ S ✳ ❑➼ ❤✐➺✉ P (S) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ S ✳ ◗✉❛♥ ❤➺ ≤ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✿ ∀X, Y ∈ P (S)(X, Y ⊂ S) : X ≤ Y ⇔ X ⊂ Y ✳ ❑❤✐ ✤â P (S) ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ð tr➯♥ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â tự tỹ ỡ ỗ t (iii) ợ S = {u, v}✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ = ∅, a = {u}, b = {v}, = {u, v}✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ♠ỉ t↔ P (S) ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧✐➺t ❦➯ ❝→❝ ❝➦♣ (x, y) ✈ỵ✐ x ≤ y : {(0, 0), (0, a), (0, b), (0, 1), (a, a), (a, 1), (b, b), (b, 1), (1, 1)}✳ ✾ ✶✳✷✳ ❙❒ ✣➬ ❈❍×❒◆● ✶✳ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ❚➜t ❝↔ ❝→❝ ❝➦♣ (x, x) ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❜ä q✉❛ tr♦♥❣ ❞❛♥❤ s→❝❤ ✈➻ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐➳t x ≤ x✳ r x y tỗ t z : z = x, z = y, x ≤ z, z ≤ y t❤➻ ❝➦♣ (x, y) ❝â t❤➸ ❜ä q✉❛ ✈➻ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❜➢❝ ❝➛✉ t❛ ❝â t❤➸ s✉② r❛ x ≤ y ✳ ❱➼ ❞ư ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐➳t r➡♥❣ ≤ a ✈➔ a ≤ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤ỉ♥❣ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❝❤♦ ❜✐➳t ≤ 1✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➔♠ ♥❤÷ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ P (S) ❜➡♥❣ ❝→❝ ❝➦♣ (x, y) ✈ỵ✐ sè ❧÷đ♥❣ ➼t ❤ì♥ ♥❤✐➲✉✱ ❝➦♣ (x, y) ❝â ♥❣❤➽❛ x < y : {(0, a), (0, b), (a, 1), (b, 1)}✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ ❝â t❤ù tü ❤ú✉ ❤↕♥ (P ; ≤) t❛ rót ❣å♥ ❝→❝ ❝➦♣ sè ❝â q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü ✈➔ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû ❜➡♥❣ ởt ợ ộ tỷ ữủ rót ❣å♥ ♥❤÷ t❤➳ t❛ ♥è✐ ❜ð✐ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✳ ởt ữ t t sỡ ỗ tố t❤✐➸✉✮ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü (P ; ≤)✳ ởt sỡ ỗ ổ õ ữớ t ỗ t t õ sỡ ỗ sỡ ỗ P (S) ỡ ỗ P (S) é t ❝â t❤ù tü✳ ❚❤ü❝ ❝❤➜t ✤➙② ❧➔ ❤➻♥❤ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ❝ò♥❣ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü ✈➔ ❧➔ ♠ët sỡ ỗ ì ị ❉⑨◆ ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥✿ id(H) = {x ∈ L|x ≤ h1 ∨ h2 ∨ ∨ hn ,✈ỵ✐ n ≥ 1; h1 , h2 , , hn ∈ H} ❍➺ q✉↔ ✷✳✹✳✸✳ ◆➳✉ H ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ ❞➔♥ L t❤➻ id(H) ❧➔ ■✤➯❛♥ ❝❤➼♥❤✳ ❈❤♦ IdL ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ■✤➯❛♥ ❝õ❛ ❞➔♥ L ✈➔ Id0 L = IdL {∅}✳ ❑❤✐ ✤â IdL ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➔♥ ❝→❝ ■✤➯❛♥ ✈➔ Id0 L ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➔♥ ❝→❝ ■✤➯❛♥ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ❝õ❛ L✳ Ð ✤➙② ❞➔♥ IdL ❝â ❝→❝ ♣❤➨♣ ❤ë✐ ✈➔ t✉②➸♥ t÷ì♥❣ ù♥❣✿ I ∨ J = id(I J) I ∧ J = id(I J) = I J ú t q ữợ id() = ✈➔ ❦❤✐ ✤â ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ❝❤♦ Id0 L ỗ ❈❤♦ ❝→❝ ♥û❛ ❞➔♥ (S0 ; o) ✈➔ (S1 ; o)✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ϕ : S0 −→ S1 ✤÷đ❝ ỗ ỷ a, b S0 : ϕ(aob) = ϕ(a)oϕ(b) ❈❤♦ ❝→❝ ❞➔♥ (L0 ; ∨; ∧) ✈➔ (L1 ; ∨; ∧)✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ϕ : L0 −→ L1 ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔  ♠ët ỗ (a b) = ϕ(a) ∨ ϕ(b)   ϕ(a ∧ b) = ϕ(a) ∧ ϕ(b) ❈❤♦ ❝→❝ ❞➔♥ (L0 ; ∨; ∧) ✈➔ (L1 ; ∨; ∧)✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ϕ : L0 −→ L1 ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✭✤ì♥ ❝➜✉✱ t ỗ ϕ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤ ✭✤ì♥ →♥❤✱ t♦➔♥ →♥❤✮✳ ✷✸ ✷✳✺✳ ✣➬◆● ❈❻❯ ❉⑨◆✲ ✣➃◆● ❈❻❯ ❉⑨◆ ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ị tỗ t ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥ ❣✐ú❛ L0 ✈➔ L1 t❤➻ L0 L1 ữủ ợ ữủ ỵ L0 = L1 ỗ é tø P (S) ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✶✳✶ ✈➔♦ C3 ✳ ❍➻♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ❧➔ ❜↔♦ t♦➔♥ t❤ù tü ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔ ỗ ổ t ổ tự ởt ỗ ữ ổ t ỗ tự ởt ỗ ỵ (L0 ; ; ∧) ✈➔ (L1 ; ∨; ∧)✳ ▼ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü ϕ : L0 −→ L1 ❧➔ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●❙ ϕ : L0 −→ L1 ❧➔ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✳ ❱➻ ϕ ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉  t❤ù tü ♥➯♥ ϕ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤✳ ✭✯✮   c=a∨b ∀a, b ∈ L0 t❛ ✤➦t   d=a∧b • ❚❛ ❝â    a≤c   b≤c ∀c ∈ L1 s❛♦ ❝❤♦✿ ⇒    ϕ(a) ≤ ϕ(c)   ϕ(b) ≤ ϕ(c)    ϕ(a) ≤ c   ϕ(b) ≤ c ✷✹ ✭✶✮✭✈➻ ϕ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✮ ✷✳✺✳ ✣➬◆● ❈❻❯ ❉⑨◆✲ ✣➃◆● ❈❻❯ ❉⑨◆ ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ ⇒    a ≤ ϕ−1 c   b ≤ ϕ−1 c ⇒ c ≤ ϕ−1 (c ) ⇒ ϕ(c) ≤ c ✭✷✮ ❚ø ✭✶✮ ✈➔ ✭✷✮ ⇒ ϕ(a) ∨ ϕ(b) = ϕ(c) ❤❛② ⇒ ϕ(a) ∨ ϕ(b) = ϕ(a ∨ b) ✭✯✯✮      ϕ(d) ≤ ϕ(a)  d≤a ✭✸✮✭✈➻ ϕ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✮ ⇒ • ❚❛ ❝â    ϕ(d) ≤ ϕ(b)  d≤b    d ≤ ϕ(a) ∀d ∈ L1 s❛♦ ❝❤♦✿   d ≤ ϕ(b)    ϕ−1 (d ) ≤ a ⇒   ϕ−1 (d ) ≤ b ⇒ ϕ−1 (d ) ≤ d ⇒ d ≤ ϕ(d) ✭✹✮ ❚ø ✭✸✮ ✈➔ ✭✹✮ ⇒ ϕ(a) ∧ ϕ(b) = ϕ(d) ❤❛② ⇒ ϕ(a) ∧ ϕ(b) = ϕ(a ∧ b) ✭✯✯✯✮ ❚ø ✭✯✮✭✯✯✮✭✯✯✯✮ s✉② r❛ ϕ ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✺✳✷✳ ◆❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥ ❧➔ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥✳ ❈❤♦ ❞➔♥ L ✈➔ K ≤ L ởt ỗ : L K tó ♠➣♥ ϕ(x) = x ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ K ✱ t❤➻ ϕ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ❝♦ rót ✈➔ K ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝♦ rót ❝õ❛ L✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✺✳✸✳ ❈❤♦ ❞➔♥ R ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ✷✺ ✷✳✺✳ ✣➬◆● ❈❻❯ ❉⑨◆✲ ✣➃◆● ❈❻❯ ❉⑨◆ ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ ϕ ✿ R −→ [0; 1]     0(x < 0)    x −→ x(x ∈ [0; 1])       1(x > 1) ❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷đ❝ ϕ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ❝♦ rót ❝õ❛ R✳ ❱➟② [0; 1] ❧➔ ♠ët ❝♦ rót ❝õ❛ R✳ ỵ L0 , L1 , L2 ỗ : L0 L1 ✈➔ φ : L1 −→ L2 ✳ ❑❤✐ ✤â✿ (i) L0 L2 ởt ỗ (i) ◆➳✉ φ, ϕ ❧➔ ❝→❝ ✤ì♥ ❝➜✉ ✭t♦➔♥ ❝➜✉✱ ✤➥♥❣ ❝➜✉✮ t❤➻ φϕ ❝ô♥❣ ✈➟②✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ t❤➜② (ii) ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ (i)✳ ∀x, y ∈ L0 t❛ ❝â✿ • φϕ(x ∨ y) = φ(ϕ(x ∨ y)) = φ(ϕ(x) ∨ ϕ(y)) = φ(ϕ(x)) ∨ φ(ϕ(y)) = φϕ(x) ∨ φϕ(y) • φϕ(x ∧ y) = φ(ϕ(x ∧ y)) = φ(ϕ(x) ∧ ϕ(y)) = φ(ϕ(x)) ((y)) = (x) (y) ỗ ỵ L0 , L1 , L2 ✈ỵ✐ A ≤ L0 , B ≤ L1 ỗ L0 L1 õ (i) ϕ(A) ≤ L1 (ii) ϕ−1 (B) ≤ L0 ✷✻ ✷✳✻✳ ❉⑨◆ ❚❍×❒◆● ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) ∀y, y ∈ ϕ(A) ⇒ ∃x, x ∈ A✿ ϕ(x) = y, ϕ(x ) = y    y ∨ y = ϕ(x) ∨ ϕ(x ) = ϕ(x ∨ x ) ∈ A ⇒ ✭✈➻ x ∨ x , x ∧ x ∈ A✮   y ∧ y = ϕ(x) ∧ ϕ(x ) = ϕ(x ∧ x ) ∈ A ⇒ ϕ(A) ≤ L1 (ii) ∀x, x ∈ ϕ−1 (B) ⇒ ϕ(x), ϕ(x ) ∈ B    ϕ(x) ∨ ϕ(x ) ∈ B ⇒   ϕ(x) ∧ ϕ(x ) ∈ B    ϕ(x ∨ x ) ∈ B ⇒   ϕ(x ∧ x ) ∈ B    x ∨ x ∈ ϕ−1 (B) ⇒   x ∧ x ∈ ϕ−1 (B) ⇒ ϕ−1 (B) ≤ L0 ✷✳✻ ❉➔♥ t❤÷ì♥❣ ✷✳✻✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✻✳✶✳ ◗✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥ ♠ët ❞➔♥ L ữủ q ỗ ữ õ tó ♠➣♥ ❤❛✐ t❤✉ë❝ t➼♥❤ s❛✉ ✤➙②✿ • ∀a0 , a1 , b0 , b1 ∈ L✿ a0 b0 ✈➔ a1 b1 ⇒ a0 ∨ a1 a1 ∨ b1 • ∀a0 , a1 , b0 , b1 ∈ L✿ a0 b0 ✈➔ a1 b1 ⇒ a0 ∧ a1 a1 ∧ b1 ▼ët ♣❤➛♥ tû x ❝â q✉❛♥ ❤➺ ✈ỵ✐ ♣❤➛♥ tû y t ỵ x y ❚❍×❒◆● x ≡ y ✭♠♦❞ ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ ✮✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✻✳✷✳ (i) ❈❤♦ ❞➔♥ L✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ω ✿ xωy ⇔ x = y ι✿ xιy∀x, y L q ỗ ữ tr L ữủ q ỗ ữ t tữớ (ii) R ợ q tự tỹ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✳ ❑❤✐ ✤â q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ xRy ⇔ xy > ởt q ỗ ữ tr R∗ ✳ (iii) ❈❤♦ ❞➔♥ N ♥❤÷ ð ❱❉ ✷✳✶✳✷ (iii)✳ ❑❤✐ ✤â q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✳ xRy ⇔ (x y)2 ởt q ỗ ữ tr N✳ ▼ët ❞➔♥ L ❝❤➾ ❝â ❝â ❤❛✐ q✉❛♥ ❤➺ ỗ ữ t tữớ t õ ữủ ỡ ởt q ỗ ữ tr L✱ ♠ët ♣❤➛♥ tû a ∈ L✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ a/ = {x|x a} ữủ ợ ỗ ữ a ố ợ q tữỡ ữỡ ợ ỗ ữ ợ tữỡ ữỡ ợ ❤❛✐ ♣❤➛♥ tû a, b ❜➜t ❦ý t❛ ✤➲✉ ❝â a/ b/ = ∅ ❤♦➦❝ a/ = b/ ✳ ❚➟♣ ủ ợ ỗ ữ t L ố ợ L tr q ỗ ữ t ủ tữỡ ữủ ỵ L/ ❱➼ ❞ö ✷✳✻✳✸✳ (i) Ð ❱❉ ✷✳✻✳✷✳ (i) t❤➻ ∀x ∈ L : x/ω = {x}, x/ι = L✳ (ii) é (ii) t R õ ợ tữỡ ✤÷ì♥❣ 1/R = R+ ✈➔ −1/R = R− ✳ (iii) é (iii) t N õ ợ tữỡ ữỡ 0/R = 2N ì ì ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ ✈➔ 1/R = + 2N t ỵ ởt q ỗ ữ tr L õ ợ ỗ ữ tr L ởt ỗ ự a/ ởt ợ ỗ ữ tr L ã t x a y a✳ ❉♦ ✤â✿  ✤â ∀x, y ∈ a/     x∨y a  x∨y a∨a ⇔    x∧y a  x∧y a∧a ⇒ a/ ❧➔ ♠ët ❞➔♥ ❝♦♥✳ • ∀x, y ∈ a/ , ∀t ∈ L✿ x ≤ t ≤ y t❤➻ x a ✈➔ y a   t=t∧y ⇒t t∧a ⇒   t∧y t∧a     t=t∨x        t ∨ x (t ∧ a) ∨ x ⇒ t a ❤❛② t ∈ a/ ⇒    (t ∧ a) ∨ x (t ∧ a) ∨ a        (t ∧ a) ∨ a = a ⇒ a/ a/ ởt t ỗ ởt ỗ ởt q ỗ ữ tr L õ t ủ tữỡ L/ ũ ợ q ❤➺ ✿ ✷✾ ✷✳✻✳ ❉⑨◆ ❚❍×❒◆● ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ a/ ∨ b/ = (a ∨ b)/ a/ ∧ b/ = (a ∧ b)/ ❧➔ ♠ët ❞➔♥ ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➔♥ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ L ố ợ q ỗ ữ ữ þ r➡♥❣ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü tr♦♥❣ ❞➔♥ t❤÷ì♥❣ ❧➔ a/ ≤ b/ ⇔ ∃x ∈ a/ , ∃y ∈ b/ : x ≤ y ✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ψ ✿ L −→ L/ x −→ x/ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ỵ ởt t ϕ : L0 −→ L1 ✳ ❑❤✐ ✤â ♠ët q✉❛♥ ❤➺ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ x y ⇔ ϕ(x) = ϕ(y) ởt q ỗ ữ tr L L0 / ∼ = L1 ❜ð✐ ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉✿ ψ ✿ L0 / x/ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ L1 (x) ởt q ỗ ữ ❱➟② t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ψ ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉✳ • ∀x/ , y/ ∈ L0 / : x/ = y/ ⇔x y ⇔ ϕ(x) = ϕ(y) ⇔ ψ(x/ ) = ψ(y/ ) • ∀x/ , y/ ∈ L0 / : ψ(x/ ) = ψ(y/ ) ⇔ ϕ(x) = ϕ(y) ⇔ x y ⇔ x/ = y/ ✸✵ ✷✳✻✳ ❉⑨◆ ì ì ị ❉⑨◆ • ∀a ∈ L1 , ∃x ∈ L0 : ϕ(x) = a ⇔ ψ(x/ ) = a • ∀x/ , y/ ∈ L0 / : ψ(x/ ∨ y/ ) = ψ((x ∨ y)/ ) = ϕ(x ∨ y) = ϕ(x) ∨ ϕ(y) = ψ(x/ ) ∨ ψ(y/ ) • ∀x/ , y/ ∈ L0 / : ψ(x/ ∧ y/ ) = ψ((x ∧ y)/ ) = ϕ(x ∧ y) = ϕ(x) ∧ ϕ(y) = ψ(x/ ) ∧ ψ(y/ ) ố ợ ởt ỗ : L0 L1 ✭❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ♣❤↔✐ t♦➔♥ ❝➜✉✮✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ữủ ữ ỵ ữủ t ỗ ữ ỗ õ s ữủ ỵ ker() tỗ t tỷ 0L1 t❤➻ ϕ−1 (0L1 ) ❧➔ ♠ët ■✤➯❛♥ ❝õ❛ ❞➔♥ L0 ữủ t ỗ ố q ỗ ữ tr ❞➔♥ L✳ ◆➳✉ L/ ❦❤æ♥❣ 0L/ = a/ t❤➻ a/ ❝â ❝❤ù❛ ♣❤➙♥ tû ❧➔ ♠ët ■✤➯❛♥ ❝õ❛ ❞➔♥ L ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤↕t ♥❤➙♥ ■✤➯❛♥ ❝õ❛ q✉❛♥ ❤➺ ỗ ữ ữ ỵ r I t ♥❤➙♥ ■✤➯❛♥ ❝õ❛ ϕ t❤➻ I ❧➔ ❤↕t ♥❤➙♥ ■✤➯❛♥ q ỗ ữ t ỗ ❦➳t ❧✉➟♥✳ P❤➛♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ✷ ❝❤÷ì♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥➯✉ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤➣ ❜✐➳t ✈➔ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥✱ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ s➩ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞➔♥✱ ❜➯♥ ❝↕♥❤ ✤â ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ♥➯✉ ♠ët sè ✈➼ ❞ư ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤➲ t➔✐ ♥➔②✱ ♠➦❝ ❞ị ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ❝è ❣➢♥❣✱ ♥é ❧ü❝✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❞♦ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ s❛✐ sât✳ ❑➼♥❤ ♠♦♥❣ ữủ sỹ tổ qỵ t ổ ❝→❝ ❜↕♥✳ ✸✷ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❚✳ ❆❜❡✱ ❆ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ r❡❧❛t✐✈❡❧② ❜❛❧❛♥❝❡❞ ❧❛tt✐❝❡s✱ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✲ ✈❡rs❛❧✐s ✹✼ ✭✷✵✵✷✮✳ ❬✷❪ ▼✳❊✳ ❆❞❛♠s✱ ❚❤❡ ❋r❛tt✐♥✐ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ♦❢ ❛ ❞✐str✐❜✉t✐✈❡ ❧❛tt✐❝❡✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐s ✸ ✭✶✾✼✸✮✳ ❬✸❪ ▼✳❊✳ ❆❞❛♠s✱ ❑✳❱✳ ❆❞❛r✐❝❤❡✈❛✱ ❲✳ ❉③✐♦❜✐❛❦✱ ❛♥❞ ❆✳❱✳ ❑r❛✈❝❤❡♥❦♦✱ ❖♣❡♥ q✉❡st✐♦♥s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❇✐r❦❤♦❢❢ ❛♥❞ ▼❛❧ts❡✈✳ ❙t✉❞✐❛ ▲♦❣✐❝❛ ✼✽ ✭✷✵✵✹✮✳ ❬✹❪ ▼✳❊✳ ❆❞❛♠s ❛♥❞ ❲✳ ❉③♦❜✐❛❦ ✭❡❞s✮✱ ❙♣❡❝✐❛❧ ■ss✉❡ ♦❢ ❙t✉❞✐❛ ▲♦❣✐❝❛ ♦♥ Pr✐❡st❧❡② ❞✉❛❧✐t②✱ ❙t✉❞✐❛ ▲♦❣✐❝❛ ✺✻ ✭✶✾✽✻✮✳ ❬✺❪ ❑✳❱✳ ❆❞❛r✐❝❤❡✈❛✱ ❱✳❆✳ ●♦r❜✉♥♦✈✱ ❛♥❞ ▼✳❱✳ ❙❡♠❡♥♦✈❛✱ ❖♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♥♦♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❧❛tt✐❝❡s✳ ❚❤❡ ❱✐❦t♦r ❆❧❡❦s❛♥❞r♦✈✐❝❤ ●♦r❜✉♥♦✈ ♠❡♠♦r✐❛❧ ✐ss✉❡✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐s ✹✻ ✭✷✵✵✶✮✳ ❬✻❪ ❑✳❱✳ ❆❞❛r✐❝❤❡✈❛ ❛♥❞ ❏✳❇✳ ◆❛t✐♦♥✱ ▲❛r❣❡st ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛ ❢✐♥✐t❡ ❝♦♥✈❡① ❣❡♦♠❡tr②✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐s ✺✷ ✭✷✵✵✹✮✳ ❬✼❪ ▲✳ ❇②r♥❡✱ ❚✇♦ ❜r✐❡❢ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♦❧❡❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❇✉❧❧✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✺✷ ✭✶✾✹✻✮✳ ✸✸ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❬✽❪ ◆✳ ❈❛s♣❛r❞✱ ❇✳ ▲❡❝❧❡r❝✱ ❛♥❞ ❇✳ ▼♦♥❥❛r❞❡t✱ ❋✐♥✐t❡ P❛rt✐❛❧❧② ❖r✲ ❞❡r❡❞ ❙❡ts✿ ❈♦♥❝❡♣ts✱ ❘❡s✉❧ts✱ ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳ ✭❋r❡♥❝❤✳✮ ▼❛t❤❡♠❛✲ t✐q✉❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭❇❡r❧✐♥✮ ❬▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s❪✱ ✻✵✳ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ❇❡r❧✐♥✱ ✷✵✵✼✳ ①✐✈✰✸✹✵ ♣♣✳ ❬✾❪ ❇✳❆✳ ❉❛✈❡②✱ ❋r❡❡ ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ❞✐str✐❜✉t✐✈❡ ❧❛tt✐❝❡s✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐s ✹ ✭✶✾✼✹✮✳ ❬✶✵❪ ❇✳❆✳ ❉❛✈❡② ❛♥❞ ▼✳ ❍❛✈✐❛r✱ ❆ s❝❤✐③♦♣❤r❡♥✐❝ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❛✐❞s t❤❡ ❡❢❢✐❝✐❡♥t tr❛♥s❢❡r ♦❢ str♦♥❣ ❞✉❛❧✐t✐❡s✳ ❍♦✉st♦♥ ❏✳ ▼❛t❤✳ ✷✻ ✭✷✵✵✵✮✳ ❬✶✶❪ P✳❍✳ ❊❞❡❧♠❛♥ ❛♥❞ ❘✳ ❏❛♠✐s♦♥✱ ❚❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❝♦♥✈❡① ❣❡♦♠❡tr✐❡s✳ ●❡♦♠✳ ❉❡❞✐❝❛t❛ ✶✾ ✭✶✾✽✺✮✳ ❬✶✷❪ ❚✳ ❊✈❛♥s✱ ❋✐♥✐t❡❧② ♣r❡s❡♥t❡❞ ❧♦♦♣s✱ ❧❛tt✐❝❡s✱ ❡t❝✳ ❛r❡ ❍♦♣❢✐❛♥✳ ❏✳ ▲♦♥❞♦♥ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✹✹ ✭✶✾✻✾✮✳ ❬✶✸❪ ●✳❆✳ ❋r❛s❡r✱ ❚❤❡ s❡♠✐❧❛tt✐❝❡ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❞✐str✐❜✉t✐✈❡ s❡♠✐❧❛t✲ t✐❝❡s✱ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✳ ✷✶✼ ✭✶✾✼✻✮✳ ❬✶✹❪ ❘✳ ❋r❡❡s❡✱ ❱❛r✐❡t✐❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠♦❞✉❧❛r ❧❛tt✐❝❡s ♦❢ ✇✐❞t❤ ❢♦✉r✳ ❇✉❧❧✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✼✽ ✭✶✾✼✷✮✳ ❬✶✺❪ ❊✳ ❋r✐❡❞ ❛♥❞ ❊✳❚✳ ❙❝❤♠✐❞t✱ ❙t❛♥❞❛r❞ s✉❜❧❛tt✐❝❡s✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐s ✺ ✭✶✾✼✺✮✳ ❬✶✻❪ ❖✳ ❋r✐♥❦✱ ❈♦♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ♠♦❞✉❧❛r ❧❛tt✐❝❡s ❛♥❞ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ s♣❛❝❡s ♦❢ ✐♥❢✐♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✻✵ ✭✶✾✹✻✮✳ ❬✶✼❪ ◆✳ ❋✉♥❛②❛♠❛ ❛♥❞ ❚✳ ◆❛❦❛②❛♠❛✱ ❖♥ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐✈✐t② ♦❢ ❛ ❧❛tt✐❝❡ ♦❢ ❧❛tt✐❝❡✲❝♦♥❣r✉❡♥❝❡s✳ Pr♦❝✳ ■♠♣✳ ❆❝❛❞✳ ❚♦❦②♦ ✶✽ ✭✶✾✹✷✮✳ ❬✶✽❪ ❍✳ ●❛✐❢♠❛♥✱ ■♥❢✐♥✐t❡ ❜♦♦❧❡❛♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✳ ■✳ ❋✉♥❞✳ ▼❛t❤✳ ✺✹ ✭✶✾✻✹✮✳ ✸✹ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❬✶✾❪ ●❡♦r❣❡ ●r❛t③❡r✱ ▲❛tt✐❝❡ t❤❡♦r②✿ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥✱ ❇✐r❦❤❛✉s❡r✱ ✷✵✶✶✳ ❬✷✵❪ ▼✳ ❍❛✐♠❛♥✱ ❆r❣✉❡s✐❛♥ ❧❛tt✐❝❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t t②♣❡✲✶✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡r✲ s❛❧✐s ✷✽ ✭✶✾✾✶✮✳ ❬✷✶❪ ❆✳❲✳ ❍❛❧❡s✱ ❖♥ t❤❡ ♥♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❢r❡❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❜♦♦❧❡❛♥ ❛❧❣❡❜r❛s✳ ❋✉♥❞✳ ▼❛t❤✳ ✺✹ ✭✶✾✻✹✮✳ ❬✷✷❪ P✳ ❍❛❧❧✱ ❆ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❣r♦✉♣s ♦❢ ♣r✐♠❡ ♣♦✇❡r ♦r❞❡r✳ Pr♦❝✳ ▲♦♥❞♦♥ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✭✷✮ ✸✻ ✭✶✾✸✹✮✳ ❬✷✸❪ ❈✳ ❍❡rr♠❛♥♥✱ ❲❡❛❦ ✭♣r♦❥❡❝t✐✈❡✮ r❛❞✐✉s ❛♥❞ ❢✐♥✐t❡ ❡q✉❛t✐♦♥❛❧ ❜❛s❡s ❢♦r ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❧❛tt✐❝❡s✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐s ✸ ✭✶✾✼✸✮✳ ❬✷✹❪ ❈✳ ❍❡rr♠❛♥♥ ❛♥❞ ▼✳❱✳ ❙❡♠❡♥♦✈❛✱ ❊①✐st❡♥❝❡ ✈❛r✐❡t✐❡s ♦❢ r❡❣✉❧❛r r✐♥❣s ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ♠♦❞✉❧❛r ❧❛tt✐❝❡s✳ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛ ✸✶✹ ✭✷✵✵✼✮✳ ❬✷✺❪ ❉✳ ❍✐❣❣s✱ ▲❛tt✐❝❡s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡✐r ✐❞❡❛❧ ❧❛tt✐❝❡s✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡r✲ s❛❧✐s ✶ ✭✶✾✼✶✮✳ ❬✷✻❪ ❉✳ ❍♦❜❜② ❛♥❞ ❘✳◆✳ ▼❝❑❡♥③✐❡✱ ❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❢✐♥✐t❡ ❛❧❣❡❜r❛s✳ ❈♦♥✲ t❡♠♣♦r❛r② ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ✼✻✳ ❆♠❡r✐❝❛♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙♦❝✐❡t②✱ Pr♦✈✐✲ ❞❡♥❝❡✱ ❘■✱ ✶✾✽✽✳ ①✐✐✰✷✵✸ ♣♣✳ ❬✷✼❪ ▼✳ ❍♦❝❤st❡r✱ Pr✐♠❡ ✐❞❡❛❧ str✉❝t✉r❡ ✐♥ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣s✳ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✶✹✷ ✭✶✾✻✾✮✳ ❬✷✽❪ ❑✳❍✳ ❍♦❢♠❛♥♥ ❛♥❞ ❆✳▲✳ ❙tr❛❧❦❛✱ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ t❤❡♦r② ♦❢ ❝♦♠♣❛❝t ▲❛✇s♦♥ s❡♠✐❧❛tt✐❝❡s✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ●❛❧♦✐s ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s t♦ ❝♦♠♣❛❝t s❡♠✐❧❛tt✐❝❡s✳ ❉✐ss❡rt❛t✐♦♥❡s ▼❛t❤✳ ✶✸✼ ✭✶✾✼✻✮✱ ✺✽ ♣♣✳ ❬✷✾❪ ❉✳❳✳ ❍♦♥❣✱ ❈♦✈❡r✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥s ❛♠♦♥❣ ❧❛tt✐❝❡ ✈❛r✐❡t✐❡s✳ P❛❝✐❢✐❝ ❏✳ ▼❛t❤✳ ✹✵ ✭✶✾✼✷✮✳ ✸✺ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❬✸✵❪ ❆✳ ❍♦r♥✱ ❆ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ❢r❡❡ ❜♦♦❧❡❛♥ ❛❧❣❡❜r❛s✳ Pr♦❝✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✶✾ ✭✶✾✻✽✮✳ ❬✸✶❪ ❙✳ ❍✉❛♥❣ ❛♥❞ ❉✳ ❚❛♠❛r✐✱ Pr♦❜❧❡♠s ♦❢ ❛ss♦❝✐❛t✐✈✐t②✿ ❆ s✐♠♣❧❡ ♣r♦♦❢ ❢♦r t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ s②st❡♠s ♦r❞❡r❡❞ ❜② ❛ s❡♠✐✲❛ss♦❝✐❛t✐✈❡ ❧❛✇✳ ❏✳ ❈♦♠❜✐♥✳ ❚❤❡♦r② ❙❡r✳ ❆ ✶✸ ✭✶✾✼✷✮✳ ❬✸✷❪ ❉✳ ❍✉❣✉❡t✱ ▲❛ str✉❝t✉r❡ ❞✉ tr❡✐❧❧✐s ❞❡s ♣♦❧②❡❞r❡s ❞❡ ♣❛r❛♥t❤❡s❛❣❡s✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐s ✺ ✭✶✾✼✺✮✳ ❬✸✸❪ ❆✳P✳ ❍✉❤♥✱ ❲❡❛❦❧② ❞✐str✐❜✉t✐✈❡ ❧❛tt✐❝❡s✳ ✭❍✉♥❣❛r✐❛♥✳✮ P❤✳❉✳ ❚❤❡s✐s✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❙③❡❣❡❞✱ ✶✾✼✷✳ ❬✸✹❪ ❆✳P✳ ❍✉❤♥✱ ❙❝❤✇❛❝❤ ❞✐str✐❜✉t✐✈❡ ❱❡r❜❛♥❞❡✳ ■✳ ❆❝t❛ ❙❝✐✳ ▼❛t❤✳ ✭❙③❡❣❡❞✮ ✸✸ ✭✶✾✼✷✮✳ ❬✸✺❪ ❆✳❉✳ ❑♦rs❤✉♥♦✈✱ ▼♦♥♦t♦♥❡ ❜♦♦❧❡❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ✭❘✉ss✐❛♥✳✮ ❯s♣❡❦❤✐ ▼❛t✳ ◆❛✉❦ ✺✽ ✭✷✵✵✸✮✳ ❬✸✻❪ ❆✳ ❑♦st✐♥s❦②✱ ❙♦♠❡ ♣r♦❜❧❡♠s ❢♦r r✐♥❣s ❛♥❞ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✳ P❤✳❉✳ ❚❤❡s✐s✱ ❯♥✐✈✳ ❈❛❧✐❢✳✱ ❇❡r❦❡❧❡②✱ ✶✾✼✶✳ ❬✸✼❪ ❱✳ ❑♦✉❜❡❦ ❛♥❞ ❏✳ ❙✐❝❤❧❡r✱ ❆❧♠♦st ❢❢✲✉♥✐✈❡rs❛❧✐t② ✐♠♣❧✐❡s ◗✲✉♥✐✈❡rs❛❧✐t②✳ ❆♣♣❧✳ ❈❛t❡❣✳ ❙tr✉❝t✉r❡s ✶✼ ✭✷✵✵✾✮✳ ❬✸✽❪ ❆✳❱✳ ❑r❛✈❝❤❡♥❦♦✱ ❖♥ ❧❛tt✐❝❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ q✉❛s✐✈❛r✐❡t✐❡s ♦❢ ❣r❛♣❤s ❛♥❞ ❡♥❞♦❣r❛♣❤s✳ ✭❘✉ss✐❛♥✳✮ ❆❧❣❡❜r❛ ✐ ▲♦❣✐❦❛ ✸✻ ✭✶✾✾✼✮✱ ✷✼✸✕✷✽✶❀ tr❛♥s❧❛✲ t✐♦♥ ✐♥ ❆❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ▲♦❣✐❝ ✸✻ ✭✶✾✾✼✮✳ ❬✸✾❪ ❘✳ P❛❞♠❛♥❛❜❤❛♥ ❛♥❞ ❲✳ ▼❝❈✉♥❡✱ ❙✐♥❣❧❡ ✐❞❡♥t✐t✐❡s ❢♦r ❧❛tt✐❝❡ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❢♦r ✇❡❛❦❧② ❛ss♦❝✐❛t✐✈❡ ❧❛tt✐❝❡s✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐s ✸✻ ✭✶✾✾✻✮✳ ✸✻ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❬✹✵❪ ❘✳ P❛❞♠❛♥❛❜❤❛♥✱ ❲✳ ▼❝❈✉♥❡✱ ❛♥❞ ❘✳ ❱❡r♦❢❢✱ ❨❡t ❛♥♦t❤❡r s✐♥❣❧❡ ❧❛✇ ❢♦r ❧❛tt✐❝❡s✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐s ✺✵ ✭✷✵✵✸✮✳ ❬✹✶❪ ❘✳ P❛❞♠❛♥❛❜❤❛♥ ❛♥❞ ❙✳ ❘✉❞❡❛♥✉✱ ❆①✐♦♠s ❢♦r ❧❛tt✐❝❡s ❛♥❞ ❜♦♦❧❡❛♥ ❛❧❣❡❜r❛s✳ ❲♦r❧❞ ❙❝✐❡♥t✐❢✐❝ P✉❜❧✐s❤✐♥❣ ❈♦✳ Pt❡✳ ▲t❞✳✱ ❍❛❝❦❡♥s❛❝❦✱ ◆❏✱ ✷✵✵✽✳ ①✐✐✰✷✶✻ ♣♣✳ ❬✹✷❪ ▲✳ ❙❛♥t♦❝❛♥❛❧❡✱ ❆ ❞✉❛❧✐t② ❢♦r ❢✐♥✐t❡ ❧❛tt✐❝❡s✳ ▼❛♥✉s❝r✐♣t✱ ✷✵✶✵✳ ❬✹✸❪ ▼✳❱✳ ❙❛♣✐r✱ ❚❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ♦❢ q✉❛s✐✈❛r✐❡t✐❡s ♦❢ s❡♠✐❣r♦✉♣s✳ ❆❧❣❡❜r❛ ❯♥✐✲ ✈❡rs❛❧✐s ✷✶ ✭✶✾✽✺✮✳ ❬✹✹❪ ❯✳ ❙❛s❛❦✐ ❛♥❞ ❙✳ ❋✉❥✐✇❛r❛✱ ❚❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ♠❛tr♦✐❞ ❧❛tt✐❝❡s✳ ❏✳ ❙❝✐✳ ❍✐r♦s❤✐♠❛ ❯♥✐✈✳ ❙❡r✳ ❆✲■ ▼❛t❤✳ ✶✺ ✭✶✾✺✷✮✳ ❬✹✺❪ ❋✳ ❲❡❤r✉♥❣✱ ❆ ♥♦♥✲❝♦♦r❞✐♥❛t✐③❛❜❧❡ s❡❝t✐♦♥❛❧❧② ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ♠♦❞✉❧❛r ❧❛tt✐❝❡ ✇✐t❤ ❛ ❧❛r❣❡ ❏♦♥ss♦♥ ❢♦✉r✲❢r❛♠❡✳ ▼❛♥✉s❝r✐♣t✱ ✷✵✶✵✳ ✸✼