NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TOÁN 36: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Dạng 1: khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường vng góc với đáy (α) Từ điểm kẻ đường thẳng vng góc với giao tuyến mặt đáy Khoảng cách đường vng ( SA ⊥ ( α ) ) ( α ) Dạng 2: khoảng cách từ hình chiếu vng góc đỉnh tới mặt phẳng bên mặt đáy Xác định giao tuyến d mặt bên với mặt đáy ( AH ⊥ d ) H Từ hình chiếu dựng đường vng góc với giao tuyến d AK ⊥ SH A AK Từ hình chiếu dựng khoảng cách Dạng 3: Khoảng cách từ điểm bất ky tới mặt phẳng bên Dựa vào tỷ lệ ta lập luận đưa khoảng cách từ điểm Dạng khoảng cách từ hình chiếu tới mp bên Làm giống Dạng 2, kết cuối phải dựa vào tỷ lệ suy a, b Dạng 4: Khoảng cách đường thẳng chéo (α) a, b a / /b Dựng mp chứa Khi khoảng cách khoảng cách từ điểm b (α) thuộc đến mp Từ điểm ta lại lập luận dựa vào tỷ lệ đưa Dạng Vchop = h.Sd Dạng 5: Ta dựa vào thể tích để tính tốn Dạng 6: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa ta làm, ta làm hình học tọa độ BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Cho hình chóp tứ giác cạnh bên (tham khảo hình bên) Tính khoảng cách từ A B S C S ABCD có độ dài cạnh đáy đến mặt phẳng Oxyz ( ABCD ) D 11 Lời giải TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn A AC , BD trung điểm  SO ⊥ AC S⇒ ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ d ( O; ( ABCD ) ) = SO ∆SAC , ∆SBD  SO ⊥ BD Mặt khác cân Ta có: AC ∩ BD = O ⇒ O  AC  SO = SA2 −  ÷ = 9−2 =   Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hình chóp từ A C SABC SA ⊥ ( ABC ) đến mặt phẳng a 2 , ( SAB ) B , SA = a 3, đáy tam giác cạnh a Tính khoảng cách a a C Lời giải D a Chọn B Gọi H Ta có: AB ⇒ CH ⊥ AB CH = a trung điểm CH ⊥ AB a ⇒ CH ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( C , ( SAB ) ) = CH =  CH ⊥ SA TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Cho hình chóp khoảng cách từ A a SABC C có SA ⊥ ( ABC ) đến mặt phẳng B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ a , tam giác ( SAB ) ABC vuông BC = a có , Tính 2a C Lời giải B D a 2 Chọn A Ta có: Câu CB ⊥ AB ⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( C , ( SAB ) ) = CB = a  CB ⊥ SA Cho hình chóp khoảng cách từ A 2a SABC B có SA ⊥ ( ABC ) đến mặt phẳng B a ( SAC ) , tam giác ABC vng C có BC = a , Tính C Lời giải a D a Chọn D Ta có: Câu CB ⊥ AC ⇒ CB ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( B, ( SAC ) ) = CB = a  CB ⊥ SA Cho tứ diện ABCD DA ⊥ ( ABC ) đến mặt phẳng , ( DAB ) ·ABC = 90°, BA = a 3, BC = a Tính khoảng cách từ C TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A a B 2a 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ a C Lời giải: D a Chọn C CB ⊥ AB ⇒ CB ⊥ ( DAB ) ⇒ d ( C , ( DAB ) ) = CB = a  CB ⊥ DA Ta có: Câu Cho hình chóp khoảng cách từ A 2a SABC ∆SAB , C cạnh ( SAB ) đến mặt phẳng B a 2a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính V= biết a3 a C Lời giải: D 3a Chọn A V = d ( C ; ( SAB ) ) S ∆SAB ⇒ d ( C ; ( SAB ) ) Ta có: Câu Cho hình chóp D cách từ A a S ABCD a SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a có đáy hình vng cạnh , Tính khoảng đến mặt phẳng a3 3V = = = 2a S ∆SAB a ( SAB ) B 2a a C Lời giải: D a Chọn A  DA ⊥ AB ⇒ DA ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( D, ( SAB ) ) = DA = a   DA ⊥ SA Ta có: Câu Cho hình chóp cách từ A a C S ABCD a SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a có đáy hình vng cạnh , Tính khoảng đến mặt phẳng ( SAB ) B a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 2a C Lời giải: a D Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn D CB ⊥ AB ⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( C , ( SAB ) ) = CB = a  CB ⊥ SA Ta có: Câu Cho hình chóp S ABCD Tính khoảng cách từ A 2a C có đáy hình chữ nhật ( SAD ) đến mặt phẳng a B AB = a, BC = 2a SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a , a C Lời giải: D a Chọn C CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( C , ( SAD ) ) = CD = a  CD ⊥ SA Ta có: Câu 10 Cho hình chóp đến mặt phẳng A 2a S ABCD ABCD có V = a3 Đáy hình vng cạnh a , tính khoảng cách từ S B 3a a C Lời giải: D 3a Chọn D Ta có:  Mức độ Câu 1 3V 3.a 3 V = d ( S ; ( ABCD ) ) AB ⇒ d ( S ; ( ABCD ) ) = = = 3a 3 AB a2 Cho hình chóp phẳng đáy A 5a S ABC SA = 2a có đáy tam giác vng đỉnh Khoảng cách từ B 5a A đến mặt phẳng C Lời giải 2a B , AB = a SA , vng góc với mặt ( SBC ) D 5a Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có Kẻ  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB )   BC ⊥ SA AH ⊥ SB ⇒ AH Ta có Câu Khi AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ ( SBC ) khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) 4a 2 5a 1 1 ⇒ AH = ⇒ AH = = + = + = 2 2 2 AH SA AB 4a a 4a 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy SA = SB = SC = SD = a A 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ a ABCD hình vng tâm O cạnh B Tính khoảng cách từ điểm B a C a 2a , đến mặt phẳng ( SCD ) D a Lời giải Chọn B ( SOH ) CD OI ⊥ SH H - Gọi trung điểm Trong , kẻ CD ⊥ SO ⇒ CD ⊥ ( SOH ) ⇒ CD ⊥ OI  CD ⊥ SH Có OI ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( O, ( SCD ) ) = OI OI ⊥ SH Mà nên d ( B, ( SCD ) ) = d ( O, ( SCD ) ) = 2OI = - Vì O trung điểm BD nên Có Câu SO.OH SO + OH BD = 2a SO = SD − OD = 5a − 2a = a OH = a ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = a , Cho hình chóp SA = a S ABCD , có đáy hình vng cạnh Khoảng cách từ A đến mặt phẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( SBC ) 3a SA , vng góc với mặt phẳng đáy Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 6a 3a B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ C Lời giải 5a 3a D Chọn D  BC ⊥ AB   BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) Ta có:   ( SAB ) ⊥ ( SBC )  ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB ⇒  ( SAB ) AH ⊥ SB ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) Trong mặt phẳng : Kẻ 1 1 = 2+ = 2+ = 2 AH SA AB a 3a 3a ⇒ Câu d ( A, ( SBC ) ) = AH = Cho hình chóp Khoảng cách từ 3a A SABCD A đến có 3a Chọn D SA ⊥ ( ABCD ) ( SCD ) B , đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD = 2a SA = a , bằng: 3a 2 C 2a D 2a 3 Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU H A Gọi hình chiếu lên 1 2a = 2+ ⇒ AH = 2 AH SA AD Câu Cho hình chóp SA = a A a 2 S ABCD có đáy SD B a 10 AH ⊥ ( SCD ) ta chứng minh ABCD SAB Biết diện tích tam giác 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ hình vng, cạnh bên a2 SA vng góc với đáy Khoảng cách từ điểm C a 10 B D đến a ( SAC ) là: Lời giải Chọn A Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AB ⇒ S SAB = Gọi Cho hình chóp A S ABC hình vng cạnh a a BD = 2 có A ABCD Do BD ⊥ SA; BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) Ta có: Khoảng cách từ điểm A vng 1 a SA AB = a AB = ⇒ AB = a 2 O = AC ∩ BD a ∆SAB ⇒ d ( B, ( SAC ) ) = BO = Câu hay ∆ABC cạnh đến mặt phẳng B a 15 a SA = a Cạnh bên ( SBC ) vng góc với ( ABC ) C a 5 D a Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Chọn B Gọi BC M Ta có trung điểm  BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( SAM )   BC ⊥ SM Trong mặt phẳng ( SAM ) kẻ AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ( SBC ) AH A Vậy khoảng cách từ điểm đến a AM = , SA = a Ta có a 15 1 AH = = + 2 AH AM SA Sử dụng hệ thức ta Câu Cho hình chóp S ABCD trọng tâm tam giác A a 2 ABD có đáy hình vng cạnh , khoảng cách từ điểm B a C a G a , SA ⊥ ( ABCD ) đến mặt phẳng , SA = a ( SBC ) D a Gọi G Lời giải Chọn B Do  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SBC )   BC ⊥ SA TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ AH ⊥ SB SAB SB H , tam giác vuông cân nên trung điểm ( SAB ) ⊥ ( SBC ) SB AH ⊥ SB Do cắt theo giao tuyến Kẻ ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) Trong tam giác vuông ⇒ d ( G, ( SBC ) ) = Câu Cho hình chóp , ta có d ( A, ( SBC ) ) d= A AC d ( G , ( SBC ) ) = có đáy ABC Khoảng cách từ điểm 2a 11 d= B tam giác vuông , GC GC a a ×d ( A, ( SBC ) ) = × = AC 3 S ABC AC = 3a SA = 4a 1 1 a + = ⇔ = ⇔ AH = 2 2 SA AB AH AH a SAB AG ∩ ( SBC ) = { C} ⇒ 6a 29 29 A đến mặt phẳng d= C Lời giải A , biết ( SBC ) 12a 61 61 SA ⊥ ( ABC ) AB = 2a , D a 43 12 Chọn C Ta có SA ⊥ ( ABC )   ⇒ SA ⊥ BC BC ⊂ ( ABC )  Trong Trong Vì ( ABC ) ( SAH ) ∆ABC ∆SAH , kẻ AH ⊥ BC AK ⊥ SH vng Mặt khác có Vì , kẻ AH A nên , mà , mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ SH SH ⊥ BC ⇒ AK ⊥ ( SBC ) BC = AB + AC = 13a AH = đường cao nên vuông A nên TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA AB AC 6a 13 = BC 13 SH = SA2 + AH = hay d ( A, ( SBC ) ) = AK 2a 793 13 Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Mặt khác, SH ⊥ ( ABC ) nên 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( SMH ) ⊥ BC ( SAB ) ( ABC ) Suy góc góc · · SMH SMH = 60° SM SH ⊥ MH MH ; lại có nên góc góc Từ giả thiết suy HK ⊥ ( SAB ) SM K H Gọi hình chiếu lên SMH , SH = MH tan 60° = Xét tam giác vuông Gọi khoảng cách từ I , C, H đến mặt phẳng d( I , ( SAB ) ) , d( C , ( SAB ) ) , d( H , ( SAB ) ) a a a , MH = ⇒ HK = 2 ( SAB ) Cách 1:  d I , SAB = d( C , ( SAB ) ) ( ) ( )   d( H , ( SAB ) ) = d( C , ( SAB ) ) ⇒ d( I , ( SAB ) ) = d( H , ( SAB ) ) = a  Ta có Cách 2: IH đường trung bình tam giác ⇒ d( I , ( SAB ) ) = d( H , ( SAB ) ) = ABCD Câu 10 Cho tứ diện có AC = AD = BC = BD = Khoảng cách từ B nên IH //SB ⇒ IH // ( SAB ) a ( ACD ) ^ ( BCD ) A SBC A ( ABC ) ^ ( ABD ) , mặt phẳng ( BCD ) đến mặt phẳng C Lời giải là: D Chọn D Gọi H, K D ACD trung điểm cân A nên CD AB AH ^ CD Þ AH ^ ( BCD ) Þ d ( A; ( BCD ) ) = AH TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Đặt AH = x HD = AD - AH = 1- x D BCD = D ACD Þ HB = HA = x Þ 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ (hai đường cao tương ứng nhau) x 1 = + = Þ HK = 2 2 HK HA HB x Mặt khác, ta lại có: D ABD cân D nên tam giác vuông K Suy x Û = 1- x Û x = HK = CD Û HK = HD 2 Vậy khoảng cách từ  Mức độ Câu DK ^ AB Þ AH ^ ( ABC ) Þ DK ^ CK Þ D KCD A ( BCD) đến mặt phẳng · · SBA = SCA = 900 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Biết góc đường thẳng SA mặt đáy 450 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) A 15 a B 15 a 15 a C Lời giải D 51 a Chọn B Gọi I trung điểm SA Tam giác SAB SAC tam giác vuông Gọi G trọng tâm tam giác Trong (SAG) kẻ B, C ⇒ IS = IA = IB = IC ABC ⇒ IG ⊥ ( ABC ) SH / / IG ( H ∈ CG ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Dễ thấy IG đường trung bình tam giác TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA SAH ⇒ SH = IG Trang 20 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Tam giác ABC cạnh = Ta có: 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 2a 2a 2a ⇒ AG = = 3 · = 45 (·SA, ( ABC ) ) = (·SA, AH ) = SAH ⇔ IG = AG = ⇒ ∆AIG vuông cân G 2a 4a ⇒ SH = IG = 3 1 a ( 2a ) 4a = SH S ABC = = 3 ⇒ VS ABC Ta có: GA = GB = GC , GA = GH ⇒ GA = GB = GC = GH ⇒ G ( IG đường trung bình tam giác SAH) tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHC ⇔ ·ACH = 900 ⇒ AH đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABHC (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) AH = AG = Ta có: 4a 2a ⇒ CH = AH − AC = 3 2  4a   2a  15a ⇒ SC = SH + HC =  = ÷ + ÷    3 S SAC = 1 15a 15a SC AC = 2a = 2 3 d ( B, ( SAC ) ) = 3VS ABC S SAC Vậy Câu 4a 3 = 2a 15 = 15a 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) 45° Gọi M trung điểm SD , tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng A d= ( SAC ) 2a 1513 89 B d= a 1315 89 C Lời giải d= 2a 1315 89 D d= a 1513 89 Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB ( ∆SAB cân S ) ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB  ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ AB ( cmt ) Ta có  SH ⊥ ( ABCD ) ( ABCD ) Vì , nên hình chiếu vng góc đường thẳng SC lên mặt phẳng · HC , suy ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC , HC ) = SCH = 45° 2 a 17  AB  a HC = HB + BC =  ÷ + BC =  ÷ + ( 2a ) =    2 ∆HBC vuông B , có 2 SH = HC = a 17 ∆SHC vuông cân H , suy d ( M , ( SAC ) ) MS 1 = = ⇒ d ( M , ( SAC ) ) = d ( D , ( SAC ) ) = d ( B , ( SAC ) ) DS 2 d D , ( SAC ) ) Ta có ( d ( B , ( SAC ) ) BA = = ⇒ d ( B , ( SAC ) ) = 2d ( H , ( SAC ) ) d ( H , ( SAC ) ) HA Mặt khác d ( M , ( SAC ) ) = d ( H , ( SAC ) ) Từ ( SAC ) , kẻ HI ⊥ AC kẻ HK ⊥ SI Trong mặt phẳng  AC ⊥ HI ( gt ) ⇒ AC ⊥ ( SHI ) ⇒ AC ⊥ HK  AC ⊥ SH SH ⊥ ABCD ( ) ( )  Ta có   HK ⊥ SI ( gt ) ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( H , ( SAC ) ) = HK  HK ⊥ AC ( cmt )   Ta có 2 ∆ABC vng B , có AC = AB + BC = a + ( 2a ) = a ∆AIH : ∆ABC ⇒ AI IH AH ⇒ IH = BC AH = BC AB = 2a.a = a = = AC AC 2.a AB BC AC TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU SH HI HK = Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ SH + HI = a 17 a 2  a 17   a   ÷ + ÷     = a 1513 89 ∆SHI vuông H , có S ABCD ABCD AB = 2a SAB Cho hình chóp có đáy hình vng với Tam giác vuông S , mặt phẳng ( SBC ) phẳng 2a A ( SAB ) ϕ vng góc với sin ϕ = , với B a ( ABCD ) Biết góc tạo đường thẳng Tính khoảng cách từ C Lời giải 2a C đến ( SBD ) theo a D a SD mặt Chọn A ( SBC ) ( SAD ) d S AD giao tuyến qua song song với SA d D K Kẻ qua đường thẳng song song với , cắt , ta có: Gọi d  ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ SA ⇒ d ⊥ SA ⇒ d ⊥ KD ( 1)    AD ⊥ AB  ( SAB ) ⊥ ( SAD ) ⇒ SB ⊥ ( SAD ) ⇒ SB ⊥ KD ( )    SB ⊥ SA Từ (1) (2) suy KD ⊥ ( SBC ) · KSD , hay góc KSD SD với ( SBC ) góc SD với SK · KSD =ϕ K góc (do tam giác vuông ) Suy SA SA a sin ϕ = ⇔ = ⇔ = ⇔ SA2 = SA2 + 4a ⇔ SA = 2 SD 3 SA + AD Có SB = AB − SA2 = 4a − Ta có TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA a 7a a 14 = ⇒ SB = 2 Trang 23 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Gọi H 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ chân đường vng góc hạ từ SH ⊥ ( ABCD ) S tam giác SAB , ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên Ta có d ( C , ( SBD ) ) = d ( A, ( SBD ) ) = AB d ( H , ( SBD ) ) HB AB AB = d ( H , ( SBD ) ) = d ( H , ( SBD ) ) HB AB SB 4a = d ( H , ( SBD ) ) = d ( H , ( SBD ) ) 7a Tam giác SAB vuông S nên: 1 2 16 a = + = + = ⇒ SH = SH SA SB a 7a 7a Gọi O OA = tâm hình vng AC 2a = =a 2 OB H hình chiếu vng góc lên ta có 7a HE BH BH BA SB 7 2a = = = = 2 = ⇒ HE = a = 2 AO BA BA BA 4a 8 Gọi Gọi Có Vậy Câu E F H hình chiếu vng góc lên , dễ thấy 1 16 32 144 7a = + = 2+ = ⇒ HF = 2 2 HF SH HE 7a 49a 49a 12 Cho hình chóp giác SAC cách A d ( H , ( SBD ) ) = HF SE 8 a 2a d ( C , ( SBD ) ) = d ( H , ( SBD ) ) = = 7 12 3a S ABC vuông SC C AB có đáy tam giác ABC B d ( H , ( SBD ) ) = , suy 7a 12 cạnh Biết góc hai mặt phẳng theo ( SAB ) a , tam giác ( ABC ) SBA vng 60° B , tam Tính khoảng a 3a 13 C Lời giải 3a D 3a Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 24 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU D Gọi Ta có hình chiếu SD ⊥ AB Tương tự có Dễ thấy S ∆SBA = ∆SCA Vậy Ta có ( gt ) · SBD = 60° ACD ( ABC ) , suy SD ⊥ ( ABC ) AB ⊥ ( SBD ) ⇒ BA ⊥ BD vuông C ∆SBD = ∆SCD DC = , suy · tan SBD = , suy BC a nên có SB = SC DB = DC , nên đường phân giác góc Ngồi góc hai mặt phẳng SD a · ⇒ SD = BD tan SBD = 3=a BD ABEC (cạnh huyền cạnh góc vng), suy đường trung trực · DAC = 30° , suy hay tam giác Từ ta chứng minh DA lên mặt phẳng SB ⊥ AB AC ⊥ DC 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ABC ( SAB ) · BAC ( ABC ) BEC Dựng hình bình hành , tam giác tam giác nên tam giác · · CBD = ·ABD − ·ABC = 90° − 60° = 30° CBE BD Có nên phân giác góc EC BI ⊥ EC I Gọi trung điểm 1 1 13 a = + = + = ⇒ DH = 2 DH SD DI a a 13 1 a   ÷ ÷ DH ⊥ SI 3  H Kẻ , ta có: ⇒ d ( D, ( SCE ) ) = a 13 AB // ( SEC ) ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB; ( SCE ) ) = d ( B; ( SCD ) ) = Có TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA BI 3a d ( D; ( SCE ) ) = DI 13 Trang 25 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu S ABCD Cho hình chóp có đáy 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ABCD · BAD = 1200 mặt phẳng vng góc với đáy, CM = 3a A Khoảng cách hai đường thẳng 51 a 17 B 51 a 12 4a ∆SAB hình thoi cạnh SB Gọi C Lời giải , M AM 51 a 17 tam giác nằm CD điểm cạnh cho D 51 a Chọn A Ta có: ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB  Trong ( SAB ) , SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Theo giả thiết ta có: tam giác đều, cạnh ⇒ S ABC = ( 4a ) AB = BC = 4a 4a · BAD = 1200 ⇒ ·ABD = 300 ⇒ ·ABC = 600 nên ∆ABC = 3a SH = 4a = 3a 2 AM = AD + DM − AD.DM cos ·ADM = ( 4a ) + a − 2.4a.a.cos 60° = 13a Ta có: ⇒ AM = a 13 Trên tia đối tia Khi đó, tứ giác CD AMEB lấy điểm E cho hình bình hành CE = a ⇒ BE = AM = a 13 ∆ADM = ∆BCE ⇒ S AMEB = S ABCD = 2S ABC = 2.4 3a = 3a Mặt khác, Ta có:  AM ⊄ ( SBE )  ⇒ AM // ( SBE )  AM // BE  BE ⊂ SBE ( )  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 26 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ d ( AM , SB ) = d ( AM , ( SBE ) ) = d ( A, ( SBE ) ) Do d ( A, ( SBE ) ) d ( H , ( SBE ) ) Ta lại có: ( ABCD ) Trong , gọi K = AB =2 HB ⇒ d ( A, ( SBE ) ) = 2d ( H , ( SBE ) ) F hình chiếu H A lên BE ⇒ HK = 3a 39a 1 S = AF = AMEB = a 13 13 2 EB HK (do đường trung bình  BE ⊥ HK   BE ⊥ SH ( Do SH ⊥ ( ABCD ) ⊃ BE )   HK , SH ⊂ ( SHK )  HK ∩ SH = H ⇒ BE ⊥ ( SHK )  Ta có: BE ⊂ ( SBE ) ⇒ ( SBE ) ⊥ ( SHK ) Mà Ta lại có: , kẻ HI ⊥ SK ( I ∈ SK ) ⇒ HI ⊥ ( SBE ) ⇒ d ( H , ( SBE ) ) = HI SHK H HI Tam giác vuông , đường cao nên 1 1 17 = + = + = 2 2 HI SH HK 48a  39a  3a  ÷  13  ( HI = Do đó: Câu 51 a 17 Cho hình chóp ) d ( AM , SB ) = Vậy S ABC có đáy ABC ( ABC ) SB 51 a 17 a SA ⊥ ( ABC ) tam giác cạnh , , góc đường 75° thẳng mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng giá trị sau đây? (lấy chữ số phần thập phân) A ) ( SBE ) ∩ ( SHK ) = SK ( SHK ) Trong ∆ABF 0.833a B 0.844a 0.855a C Lời giải D AC 0.866a SB gần Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 27 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vì SA ⊥ ( ABC ) nên 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ · (·SB, ( ABC ) ) = (·SB, AB ) = SBA ( · SA = AB.tan SBA = a.tan 75° = a + ) AC // ( SBD ) ACBD · ⇒ SBA = 75° Dựng hình bình hành , ta có d ( AC , SB ) = d ( AC , ( SBD ) ) = d ( A, ( SBD ) ) nên: BD ⊥ AM BD trung điểm , suy SA ⊥ ( ABC ) BD ⊥ ( SAM ) BD ⊥ SA Từ ta có , AH ⊥ SM H ∈ SM BD ⊥ AH Kẻ ( ) AH ⊥ ( SBD )  BD ⊥ AH AH ⊥ SM Từ suy d ( A, ( SBD ) ) = AH Nên Gọi M Tam giác ABD Trong tam giác cạnh SAM a AM = nên vuông A a , ta có 1 1 = + = + 2 AH AM SA a 3 a 2+  ÷   ( ( Vậy Câu )) = d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBD ) ) = AH ≈ 0.844a 25 − 12 3 ⇒ AH = a ≈ 0.844a 3a 25 − 12 S ABC 2a Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy cạnh bên SA AC BM trung điểm cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng A a B 5a C Lời giải 5a 12 D a 37 a Gọi M Chọn D TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 28 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Cách 1: D Gọi Khi đó, O Gọi H Gọi Vẽ trọng tâm tam giác trung điểm HK ⊥ BD K AO HI ⊥ MK I ABC Suy Suy 2a BO = 2a = 3 Mà Vẽ ABDC đỉnh thứ tư hình bình hành AC // BD ⇒ AC // ( MBD ) ⇒ d ( AC , BM ) = d ( AC , ( MBD ) ) = d ( A , ( MBD ) ) Suy SO ⊥ ( ABC ) Suy MH // SO ⇒ MH ⊥ ( ABC ) HK // BO Suy 2a 5a HK = = suy d ( H , ( MBD ) ) = HI Ta có, d ( H , ( MBD ) ) d ( A , ( MBD ) ) Mà = d ( AC , BM ) = Vậy Câu Cho hình chóp vng A a D suy 5a 5a ⇒ d ( H , ( MBD ) ) = HI = 12 12 HD a = ⇒ d ( A , ( MBD ) ) = AD a S.ABCD HI = với có SD vng góc với ( ABCD) CD = 2AD = 2AB = 2a cách hai đường thằng A 1 = + 2 HI MH HK Mà BO OD = = ⇒ HK = BO HK HD  a 37   2a  25a 5a 5a SO = SA − AO =  −  = ⇒ SO = ⇒ MH = ÷ ÷ ÷ ÷     B AC a SM Gọi , M SD = a Đáy ABCD trung điểm BC hình thang Tính khoảng a C Lời giải a D Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 29 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Gọi N trung điểm AB Suy 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ MN đường trung bình ⇒ d( AC, SM ) = d ( AC,( SMN ) ) = d ( I ,( SMN ) ) Ta có ID ∩ ( SMN ) = N ⇒ d( I ,( SMN ) ) = d( D,( SMN ) ) ⇒ d ( I ,( SMN ) ) = d( D,( SMN ) ) ( với IN = DN I = DN ∩ AC AN // CD ⇒ ( ∆ABC ) IN AN IN = = ⇒ = ID CD DN ) ∆DCA ∆ADN Xét có µ =A µ = 90° D AN AD = = AD DC ⇒ ∆ADN = ∆DCA ( c.gc ) · ⇒ ·ADN = DCA ⇒ DN ⊥ AC ⇒ MN ⊥ ( SDN ) Ta có ( SMN ) ⊥ ( SDN )  ( SMN ) ∩ ( SDN ) = SN ⇒ d( D,( SMN ) ) = DH   Trong( SDN ) , DH ⊥ SN ∆SDN vuông ⇒ d( I ,( SMN ) ) D 1 = + ⇒ DH = a 2 DH SD DN : a = d( D,( SMN ) ) = 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 30 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Cho hình chớp S ABCD 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ có đáy hình thoi tâm giác Hình chiếu vng góc S A B a 560 10 cạnh mặt phẳng Tính khoảng cách hai đường thẳng a 560 112 O SA CD a ·ABC = 60° , ( ABCD ) , mặt bên SAB tam trùng với trung điểm AO C Lời giải a 560 D a 560 28 Chọn D Gọi H Ta có: SH ⊥ ( ABCD ) AO trung điểm Theo giả thiết: CD //AB ⇒ CD // ( SAB ) ⇒ d ( SA, CD ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) ) d ( C , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) ) CA = ⇒ d ( C , ( SAB ) ) = 4d ( H , ( SAB ) ) HA Mặt khác: ( ABCD ) HK ⊥ SI HI ⊥ AB I K Trong , kẻ ; kẻ d ( H , ( SAB ) ) = HK Khi đó: 1 = + 2 SHI HK HS HI ( 1) H Tam giác vng nên: Hình thoi có Tam giác Tam giác ·ABC = 60° AIH SAB nên tam giác đồng dạng tam giác nên ⇒ AC = a; BO = ABC a a a IH AH OB AH 4=a ⇒ = ⇒ IH = = AOB OB AB AB a SA = SB = AB = a ( 2) a 15 a SH = SA − AH = a −  ÷ = ( 3) 4 Tam giác SAH vuông H nên TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 2 Trang 31 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU ( 2) Thay ( 3) vào ( 1) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1 112 a 560 = + = ⇒ HK = 2 HK 5a 112  a   a 15   ÷  ÷     ta được: d ( C , ( SAB ) ) = 4d ( H , ( SAB ) ) = Vậy Câu 10 Cho hình chóp AD = CD = a S ABCD Gọi N A trung điểm A có đáy hình thang vng biết thể tích khối chóp a a 560 a 560 = 112 28 B S ABCD a 2 SA D SA ⊥ ( ABCD ) , Tính khoảng cách a3 đường thẳng AB = 2a ; SC DN , , C Lời giải a D a 10 Chọn A 1 3a VS ABCD = SA.S ABCD S ABCD = ( a + 2a ) a = 2 Ta có ; Suy Gọi 3VS ABCD 3a SA = = =a S ABCD 3a AB O M trung điểm , giao điểm a ADCM Ta có tứ giác hình vng cạnh Ta có ( DNM ) ON ON //SC AC DM SC // ( DNM ) chứa nên d ( SC , DN ) = d ( SC , ( DMN ) ) = d ( C , ( DMN ) ) = d ( A, ( DMN ) ) Suy nên DM ⊥ ( SAC ) ( SAC ) AH ⊥ NO DM ⊥ AC DM ⊥ SA Trong kẻ Ta có nên Khi ta có TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 32 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ AH ⊥ NO   ⇒ AH ⊥ ( DMN ) AH ⊥ DM ( DM ⊥ ( SAC ) )  ⇒ d ( A, ( DMN ) ) = AH 1 = + 2 AH AN AO d ( SC , DN ) = Vậy AN = ; a a AO = ; a 2 ⇒ 1 a = + = ⇒ AH = 3a AH 3a a 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 33 ... BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ ) a, đến mặt phẳng A 21a 14 mặt bên SAB tam giác nằm A mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ ( SBD ) có đáy hình vng cạnh 21a B C Lời... AB = BC = a, Cho khối chóp có đáy hình thang vng , AD = 2a S H AD Hình chiếu lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm SH = a d= A 6a Tính khoảng cách B d d =a từ B đến mặt phẳng ( SCD ) d= C Lời... ; ( AMN ) ) = S AMN = S ∆AMN Cho hình chóp khoảng cách từ điểm A a a DB = 2 S ABCD B , cạnh đáy đến mặt phẳng B a ( SCD ) a nên chọn đáp án A , góc mặt bên mặt đáy 60° Tính a C Lời giải D