DẠNG TOÁN 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ - NHẬN DẠNG HÀM SỐ, ĐỒ THỊ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: PHƯƠNG PHÁP Để nhận dạng hàm số biết đồ thị, BBT ta thực bước giải sau: Tùy theo số hệ số cần tìm, lập hệ tương ứng phương trình: Dựa vào điểm đồ thị hàm số qua, điểm cực trị (nếu có), phương trình đường tiệm cận (nếu có) đồ thị hàm số Giải hệ vừa lập, từ suy hàm số cần tìm Để lập hệ phương trình nêu trên, ta cần nhớ kiến thức sau:  Điểm M ( x0 ; y0 ) điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0)  Hàm số bậc ba: D=¡  Tập xác định:  Các dạng đồ thị:  Hàm số bậc bốn: D=¡  Tập xác định:  Các dạng đồ thị: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  Đạo hàm: y = ax + bx + c (a ≠ 0) y = f ( x)  y0 = f ( x0 )   f ′ ( x0 ) = y′ = 3ax + 2bx + c  Đạo hàm: y ′ = 4ax + 2bx Trang y=  Hàm số phân thức:  Tập xác định: ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d  d D = ¡ \ −   c y′ =  Đạo hàm: ad − bc ( cx + d ) y=  Phương trình đường tiệm cận: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang x=− a c đường tiệm cận d c đứng  Các dạng đồ thị:   II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Nhận biết hàm số thông qua đồ thị Nhận biết hàm số thông qua bảng biến thiên … BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình trên? TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang A y = − x4 + 2x2 − y = x − 3x − C B y = x4 − x2 − y = − x + 3x − D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn nhận dạng đồ thị hàm số HƯỚNG GIẢI: Dựa vào kiến thức học đồ thị hàm số, đặc biệt đồ thị hàm số hàm trùng phương ta thấy đáp án Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Đây dạng đồ thị hàm trùng phương có hệ số cao dương, có ba điểm cực trị cắt trục y = x4 − 2x2 − tung điểm có tung độ âm Khi có thỏa mãn Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Hình vẽ sau đồ thị hàm số ? A y = x − 3x + B y= C y = − x3 + x − y = x − 3x − D Lời giải x − x−2 3 Chọn C y = ax3 + bx + cx + d Cách : Từ đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số đa thức bậc : lim y = +∞ ( 1; +∞ ) +) Trên , đồ thị có hướng lên từ trái sáng phải ⇒ +) Đồ thị cắt trục Oy M ( 0; - 2) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA , x →+∞ , a >0 d = −2 Trang A ( - 1; 0) ; B ( 1; 4) +) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị , phương trình y ( 1) =- 4; y ( - 1) = x = 1; x =- phải có hai nghiệm ìï 3a + 2b + c = ìï b = ìï a = ïï ïï ïï ïï 3a - 2b + c = ïï 3a + c = ï b =0 Û í Û ïí í ïï a + b + c + d =- ïï d =- ïï c =- ïï ïï ïï ỵï - a + b - c + d = ỵï a + c =- ỵï d =- y ¢= Û 3ax + 2bx + c = Ta có hệ phương trình Cách : Nhìn đồ thị đáp án đề cho, ta thấy : đồ thị hàm số đa thức bậc ba, có y = ax3 + cx + d dạng +) Đồ thị đường cong kết thúc việc lên theo hướng từ trái sang phải nên lim y = +∞ x →+∞ Do đó, hệ số +) Đồ thị cắt trục Oy a >0 Loại phương án B M ( 0; - 2) , d = −2 ⇒ Loại phương án A A( - 1;0) ; B ( 1; - 4) +) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị , phương trình x = 1; x =- hai nghiệm ⇒ Loại phương án D (vì phương án D có é êx = ê y ¢= x - , y ¢= Û ê ê êx =- ê ë Câu y ¢= phải có ) Vậy, đáp án C Hàm số hàm số sau có đồ thị hàm số hình vẽ đây? y= A x − x2 + C B y = x − x +1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D y = − x3 + x + y = − x3 − x + Trang Lời giải Chọn B Quan sát đồ thị ta thấy: +) Đây dáng đồ thị hàm số trùng phương ⇒ Loại phương án C +) Đồ thị đường cong kết thúc việc xuống theo hướng từ trái sang phải ⇒ lim y =- ¥ xđ+Ơ h s ca lu tha cao nht ca x mang dấu âm ⇒ Loại phương án A +) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ⇔ Đạo hàm hàm số có hai nghiệm phân biệt Loi y Â=- x - ị y ¢< " x Ỵ ¡ phương án D (vì phương án D có Câu Kiểm tra phương án B: hàm số bậc 3, hệ số mãn Vậy đáp án B Hình vẽ sau đồ thị hàm số nào? A y = x4 − x2 − B , y = x −2 éx = y Â=- x + x ị y ¢= Û ê ê ëx = , thoả y = − x4 + x2 − y= C a 0 M ( 0; - 3) , cắt trục tung , , thoả mãn y = f ( x) Câu Cho hàm số có đồ thị hàm số hình sau f ( x) hàm số hàm số sau? f ( x) =- x + x - f ( x ) =- x + x +1 A B f ( x ) =- x + x +1 f ( x) = x - x +1 C D Lời giải Chọn B Quan sát đồ thị, ta thấy: +) Đây dáng đồ thị hàm số đa thức bậc ba, loại phương án D +) Đồ thị đường cong kết thúc việc xuống theo hướng từ trái sang phải, hệ số x luỹ thừa cao mang dấu âm ⇒ Loại phương ánC +) Đồ thị cắt trục Oy M ( 0;1) ⇒ Loại phương án A a " x Ỵ TXD ⇒ hàm số đồng biến khoảng xác định ⇒ Trong hàm số cho, có hàm số cho phương án B thoả mãn điều kiện Vậy, B phương án trả lời Hàm số sau có bảng biến thiên hình vẽ? TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang A C y = x + x +1 y = x3 + x + x - B y = x4 + x2 + y= D Lời giải x +1 x +2 Chọn C Từ bảng biến thiên, ta thấy +) hàm số cần tìm có TXĐ: D=¡ +) hàm số cần tìm đồng biến Câu Do đó, phương án D bị loại ¡ Hàm số bậc hàm số bậc trùng phương học ¡ đơn điệu tồn tập xác định Do đó, phương án A B bị loại y ¢= x + x + 2, y ¢> " x Ỵ ¡ Kiểm tra phương án A C thấy Vậy, đáp án C Trong hàm số cho đây, hàm số có bảng biến thiên hình vẽ sau? A y = − x2 + x + B y = x4 − x2 + C Lời giải y = −x4 + x2 + D y = −x4 − x2 + Chọn D Căn bảng biến thiên, ta cú: lim y =- Ơ xđƠ ch cú hàm số cho phương án A, C, D thoả mãn Loại B y¢ +) hàm số có điểm cực trị ⇒ đổi dấu lần Do vậy, phương án C bị loại +) hàm số cho PA có é ê êx = ê ê y ¢=- x + x; y ¢= Û êx = ê ê ê êx =- ê ë TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇒ y¢ đổi dấu lần Trang x = 0, y '( 0) = +) Điểm cực trị hàm số Phương án A bị loại hàm số cho phương án y ¢=- x +1, y ¢( 0) =1 có ( ) y ¢=- x3 - x =- x x +1 ; y ¢= Û x = 0; Kiểm tra phương án D: y ¢< Û x > 0; y ¢> Û x < Câu (thoả mãn) Vậy, đáp án D Hãy chọn hàm số có bảng biến thiên hình vẽ A y = − x4 + x2 B y = x − x2 C Lời giải Chọn B Quan sát bảng biến thiên, ta thấy: lim y = +Ơ xđƠ lu tha cao nht ca +) A, C bị loại x y = x3 − x2 D y = x + x2 phải bậc chẵn có hệ số dương ⇒ Phương án y = ax + bx + c +) Hai hàm số lại hàm số bậc trùng phương dạng Hàm số cần y ¢= y′ ab < tìm có ba điểm cực trị ⇒ đổi dấu lần ⇒ có ba nghiệm phân biệt ⇔ Chỉ có phương án B thoả mãn điều kiện Vậy, đáp án B Câu 10 Bảng biến thiên bảng biến thiên hàm số nào? y= A −2 x − x +1 y= B 1− 2x x +1 y= C Lời giải 2x 1+ x y= D −2 x x −1 Chọn B Căn vào bảng biến thiên, ta xác định được: x =- 1; y =- +) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang Như vậy, có hai hàm số thoả mãn điều kiện hàm số cho phương án A B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang y ¢< 0, " x Ỵ +) Hàm số cần tìm nghịch biến khoảng xác định ⇒ TXD y Â= ị y Â>0, " x ẻ ( x +1) Xét hàm số cho phương án A: TXĐ ⇒ Phương án A bị loại −3 y′ = ⇒ y′ < 0, ∀ x ∈ ( x + 1) Kiểm tra phương án B: TXĐ, thoả mãn Vậy, đáp án phương án B  Mức độ Câu y = f ( x) Cho hàm số có đồ thị ( C) hình vẽ Hỏi y O A y = x3 + B y = ( x − 1) ( C) đồ thị hàm số ? x −1 y = ( x + 1) C Lời giải Chọn B D y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số a > x = ⇒ y = −1 y = ⇒ x = ; ; suy đáp án B D y = ( x − 1) ⇒ y′ = ( x − 1) = ⇒ x = Mặt khác Ox y= Câu Hàm số y x+2 x −1 O ; nên tiếp tuyến có đồ thị hình vẽ ? y 1 A y = x3 − −2 x B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA −2 O1 x trùng với trục y 2 −2 −1O C Lời giải M ( 1;0 ) y O x D x Trang 10 Dựa vào BBT, ta có: a y = = ⇒ a = 2b ( 1) b +) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang +) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng c x = − =1 ⇒ c = − b ( ) b y′ > ⇒ ac − b > ( 3) +) Lại có ( 1) , ( ) Thay 2b ( −b ) − b > ⇔ 2b2 + b < ⇔ − < b < ( 2) a < 0, b < 0, c > → c>0 Từ suy Vậy chọn C a x +b y= x+c Cho hàm số có bảng biến thiên sau Từ Câu ( 1) vào ( 3) suy a 0, b > 0, c > a < 0, b > 0, c < a < 0, b < 0, c > A B C Lời giải Chọn B Dựa vào BBT, ta có: y = a = − < D a < 0, b < 0, c < +) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang +) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = − c =1 ⇒ c = − < y′ < ⇔ ac − b < ⇔ b > ac ⇒ b > ( −1) ( −1) = > Câu +) Lại có a < 0, b > 0, c < → Vậy chọn B ax − f ( x) = ( a, b, c ∈ ¡ bx + c Cho hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ) có bảng biến thiên sau: Trang 18 Trong số A a, b c có số âm? B C Lời giải D Chọn A f ( x) = Hàm số ax − bx + c ngang đường thẳng x=− có đường tiệm cận đứng đường thẳng hàm f ′( x) = Thay số ac + 3b ( bx + c ) ( 1) , ( ) vào cho  c  − b = −2 c = 2b (1) ⇔   a = 3b (2) a =  b nghịch biến khoảng Cho hàm số ( 3) y = f ( x) Đồ thị hàm số ( −∞; −2 ) ( −2; +∞ ) nên < ⇔ ac + 3b < (3) 6b + 3b < ⇔ − ta < b < Vậyb số âm nên a c số âm Do số Câu đường tiệm cận a y= b Từ bảng biến thiên ta có Vì c b a, b c có số âm có bảng biến thiên sau y = f ( x − 2018 ) + 2019 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA có điểm cực trị? Trang 19 A B Chọn D Đồ thị hàm số đồ thị hàm số u ( x ) = f ( x − 2018 ) + 2019 f ( x) có từ đồ thị hàm số cách tịnh tiến u ( x) Dựa vào bảng biến thiên suy đồ thị hàm số Cho hàm số f ( x) sang phải 2018 đơn vị lên 2019 đơn vị Suy bảng biến thiên Câu D C Lời giải y = f ( x) xác định ¡ g ( x) = u ( x) Biết đồ thị (C ) có điểm cực trị hàm số y= f ( x) hình vẽ y = f ( x) Tìm hàm số hàm số số sau: f ( x ) = x − 3x − f ( x ) = x − x − B A f ( x) = C x − x − Chọn A Xét khoảng (0; +∞) , có D Lời giải y = f ( x ) = f ( x) y= f ( x) f ( x ) = x − x − Dựa vào đồ thị hàm số có điểm cực tiểu f ( x) = x − x − A(2; −5) + Xét hàm số f (0) = −1 ; f ′( x) = 3x − x Có TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 f ′( x) = ⇔ x = f ′′( x) = x − f ′′(2) = > f (2) = −5 nên hàm số đạt cực tiểu x=2 nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu f ( x) = x4 − 8x2 − A(2; −5) + Xét hàm số f (2) = −17 (loại) f ( x) = x − x2 −1 + Xét hàm số f (2) = −9 (loại) f ( x ) = x3 − x − + Xét hàm số f (2) = −1 (loại) y= Câu Cho hàm số T = a − 3b + 2c A T = 12 ax + b x+c có đồ thị hình vẽ a b c , , số nguyên Giá trị biểu thức bằng: B T = 10 T = −7 C Lời giải D T = −9 Chọn D y = −1 lim y = a x →+∞ Đồ thị hàm số hình vẽ có tiệm cận ngang đường thẳng mà y=a a = −1 nên đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang đường thẳng suy −x + b y= x+c Suy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA lim y = a , x →−∞ Trang 21 A ( 0; − ) , B ( 2;0 ) Đồ thị hàm số qua điểm T = a − 3b + 2c = −1 − − = −9 y = f ( x) Câu 10 Cho hàm số = Biết đồ thị hàm số A f ( 1) = ax + b cx + d f ′( x) = Ta có: qua ad − bc Đồ thị hàm số ( 1) ( ) A ( 0; ) A ( 0; ) nên b = 4d ( 1) qua f ′( x) − ta có (0;3) ( 3) nên d = −1 ⇒ c = d ( 2) c Vậy  Mức độ Câu Cho hàm số ad − bc =3 ⇒ ad − bc = 3d ( 3) d2 ad − 4d = 3d ⇒ a = d ( d ≠ ) Thay , vào ta =d =0 (vơ lí ) 7dx + 4d x + f ( x) = = dx + d x +1 Do f ( 2) = hình vẽ đây: Căn theo đồ thị hàm số f ′( x) có đồ thị hàm số f ′( x) qua điểm Khẳng định đúng? 11 f ( 2) = f ( 1) = f ( 2) = 2 B C D Lờigiải f ( x) ( cx + d ) f ( x) ChọnD Đồ thị hàm số suy b  c = −2  b = 0 = −2 + b ⇔   2+c  c = −1 d =0 a=b =c y = f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 Phương trình A f ( − 3x ) + = có nghiệm? B C Lời giải D Chọn A Dựa vào BBT ta có: Xét hàm số  x = −1 ⇒ f ( −1) = f ′( x) = ⇔   x = ⇒ f ( 3) = −3 g ( x ) = f ( − 3x ) + g ′ ( x ) = −3 f ′ ( − 3x ) Ta có:  x = ⇔ 1 − 3x = −1 x = − ⇔ g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( − 3x ) =  1 − 3x = Suy 2  2 g  ÷ = f ( −1) + = g  − ÷ = f ( 3) + = −2 3  3 ; Mặt khác f ′ ( x ) < ⇔ −1 < x < Do ⇔ −1 < − x < ⇔ −2 < −3 x < ⇔ − f ′ ( − 3x ) < 2 < x< 3 Suy ra: g ′ ( x ) = −3 f ′ ( − x ) > ⇔ − < x < TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA nên ta có bảng biến thiên sau Trang 23 Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình Câu Cho hàm số Có bao y = f ( x) nhiêu giá  3sin x − cos x − f  cos x − sin x + A liên tục trị ¡ f ( − 3x ) + = có nghiệm có đồ thị hình vẽ nguyên tham số m để phương trình  ÷ = f ( m + 4m + ) ( 1)  B có nghiệm? C Lời giải D Vô số Chọn A t= Đặt 3sin x −cos x − cos x − sin x + ⇔ ( 2t + 1) cos x − ( t + 3) sin x = −1 − 4t ( *) Phương trình ( *) có nghiệm 2 ⇔ − ≤ t ≤1 t + + t + ≥ t + ( ) ( ) ( ) ⇔ 11 ≤ t ≤1 Suy Từ đồ thị * y = f ( x) y = f ( x) ta có [ 0; +∞ ) đồng biến m + 4m + = ( m + ) ∈ [ 0; +∞ ) * * t ∈ [ 0; +∞ ) Nên  3sin x − cos x − f  cos x − sin x + ( 1)  2 ÷ = f ( m + 4m + )  ⇔ f ( t ) = f ( m + 4m + ) ⇔ t = m + 4m + ⇔ ≤ m + 4m + ≤ ⇔ m + 4m + ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ −1 Phương trình có nghiệm m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −3; −2; −1} Do TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 24 Câu Cho hàm số bậc ba y = x − A −3 y = f ( x) Biết phương trình f ( x) = − có đồ thị B ( C) hình vẽ, đường thẳng có ba nghiệm x1 < x2 < x3 −2 C Lời giải d Giá trị − D có phương trình x1 x3 Chọn C Giả sử f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a ≠ ) Dựa vào đồ thị ta thấy ( C) ( C) cắt trục tung điểm d cắt điểm: D ( 0; ) A ( −1; y A ) , B ( 1;0 ) , C ( 3; yC ) đồ thị nên ta có hệ phương trình: a ( −1) + b ( −1) + c ( −1) + d = −1 − a =   a ( 1) + b ( 1) + c ( 1) + d =  b = −3 ⇔ ⇒ f ( x ) = x − 3x + = ( x − 1) ( x − x − )  c = a ( 3) + b ( 3) + c ( ) + d = −    d = d = Vì x2 = Do Câu nên x1 x3 = −2 Cho hàm số m x1 , x3 nghiệm phương trình x − x − = y = f ( x) để phương trình  f  liên tục ¡  2x   f  ÷÷ = m  x +1  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị có nghiệm Trang 25 A [ −1; 2] B [ 0; 2] [ −1;1] C Lời giải D [ −2; 2] Chọn D x2 + ≥ x ⇒ ∀x ∈ ¡ Vì ta có: Từ đồ thị thấy x ∈ [ −1;1] ⇒ f ( x) ∈ [ −2; ] 2x 2x ≤ ⇒ −1 ≤ ≤1 x +1 x +1 x ∈ [ −2; 2] ⇒ f ( x) ∈ [ −2; 2] Xét phương trình t= Đặt Vì  f   2x   f  ÷÷ = m  x +1  2x u = f  2x   ÷  x +1 x2 + ; t ∈ [ −1;1] ⇒ u ∈ [ −2; 2] ⇒ f (u ) ∈ [ −2; 2] Vậy để phương trình ban đầu có nghiệm nên Câu m ∈ [ −2; 2] Cho hàm số f ( u) = m có nghiệm thuộc đoạn [ −2; 2] y = f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ bên: Có số nguyên dương A B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA m f ( 2sin x + 1) = f ( m ) để phương trình C Lời giải có nghiệm thực? D Trang 26 Chọn D ∀x ∈ ¡ : −1 ≤ 2sin x + ≤ Ta có Căn vào đồ thị ta có −2 ≤ f ( x) ≤ ∀x ∈ [ −1;3] ⇒ −2 ≤ f (2sin x + 1) ≤ ∀x ∈ ¡ Từ suy phương trình f ( 2sin x + 1) = f ( m ) −2 ≤ f (m) ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ có nghiệm thực m , mà nguyên dương nên m Vậy có số nguyên dương thỏa mãn đề Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ m ∈ { 1; 2;3} có đồ thị hình vẽ bên m Có số nguyên để phương trình biệt? A B Chọn A f ( f ( x) − m) = có tất nghiệm thực phân C Lời giải D y = f ( x) * Ta có đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ b c −2 < a < −1 −1 < b < < c < , với , , Ta có  f ( x) − m = a  f ( x) = m + a   f ( f ( x) − m) = ⇔  f ( x) − m = b ⇔  f ( x) = m + b  f x −m = c  f x = m+c  ( )  ( ) Nhận thấy phương trình * Để phương trình ( 3) f ( x) = k ( 1) ( 2) ( 3) , có nhiều nghiệm thực phân biệt với f ( f ( x) − m) = a −3 < k < có nghiệm thực phân biệt phương trình ( 1) ( ) , có nghiệm thực phân biệt TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 27  −3 − a < m < − a −3 < m + a <   −3 < m + b < ⇔ −3 − b < m < − b  −3 < m + c <   −3 − c < m < − c ( 4) ( 5) ( 6) Khi −2 < a < −1 −3 − a > −2 m > −2 Với nên suy 1< c < 1− c < m > −1 = m ( 5) m = −1 + Ta có nên thỏa mãn điều kiện −2 < a < −1 ⇒ < − a < ⇒ −3 − a < −1 = m < < − a + Có nên điều kiện (4) thỏa mãn < c < ⇒ −2 < −c < −1 ⇒ −3 − c < −4 < m = −1 < − c + Có nên điều kiện (6) thỏa mãn m Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn đề Câu Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ f ( f ( x ) + 1) = m m Tổng giá trị nguyên để phương trình 15 13 A B C Lời giải Chọn D Phương trình f ( x) = k < f ( x ) +1 = k +1 < Đặt u = f ( x) +1 có ba nghiệm phân biệt Với x ∈ ( 0; 3) , ta có phương trình TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA ta có f ( u) = m có nghiệm phân biệt 11 D −1 < f ( x ) = k < f ( x ) ∈ ( −13;14 ) hay Trang 28 - Nếu −1 < m < điều kiện < u1 < < u2 < < u3 < f ( x ) + = u3 m=2 phương trình phương trình - Tương tự - Nếu m>2 phương trình , phương trình m = −1 f ( u) = m , u1 , u2 , u3 thỏa mãn f ( x ) + = u1 f ( x ) + = u2 , f ( f ( x ) + 1) = m có hai nghiệm phân biệt f ( x ) + = u1 f ( x ) + = u2 f ( f ( x ) + 1) = m trình có ba nghiệm phân biệt có ba nghiệm phân biệt Do phương trình phân biệt - Nếu f ( u) = m phương trình , có nghiệm u1 = 1, u2 ∈ ( 2; 3) có ba nghiệm phân biệt Do phương có nghiệm phân biệt , phương trình m < −1 f ( f ( x ) + 1) = m phương trình f ( u) = m có nghiệm phân biệt có nghiệm u0 Khi f ( x ) + = u0 ⇔ f ( x ) = u − có ba nghiệm phân biệt  −13 < m < −1 ⇔ −1 < u0 − < ⇔ < u0 < ⇔ −13 < f ( u0 ) < 14  < m < 14 Vậy m ∈ { −12; − 11; ; − 2; 3; 4; ;13} Tổng cần tìm S = −2 + 13 = 11 f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ Câu Cho hàm số ( ( f f f ( f ( x) ) Phương trình A 12 )) =0 B 40 ) có đồ thị hình vẽ bên có tất nghiệm thực phân biệt? C 41 D 16 Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 29 Đặt f k ( x) = f ( ( f ( x )));(k Ta có Xét f ; k = 1; 4) hàm  f3 ( x ) = (1) f ( x) = ⇔   f3 ( x ) = (2)  f ( x ) = (3) (1) : f ( x) = ⇔   f ( x ) = (4)  f ( x ) = (5) (3) : f ( x) = ⇔   f ( x ) = (6) Xét Dựa vào đồ thị thấy (5) có nghiệm, (6) có nghiệm  f ( x) = a1 ∈ (0;1) (7) (4) : f ( x ) = ⇔  f ( x) = a2 ∈ (1;3) (8)  f ( x) = a3 ∈ (3; 4) (9) Xét Theo đồ thị, phương trình (7),(8),(9) có nghiệm phân biệt (7),(8),(9) khơng có phương trình có chung nghiệm  f ( x) = a1 ∈ (0;1) (10)  (2) : f ( x) = ⇔  f ( x) = a2 ∈ (1;3) (11)  f ( x ) = a ∈ (3; 4) (12)  Câu Xét Lập luận tương tự trên, phương trình (10),(11),(12) có nghiệm phân biệt (10), (11),(12) khơng có phương trình có nghiệm chung + + + + + + + = 41 Vậy có tất nghiệm phân biệt y = f ( x ) = ax + bx + cx + d Cho hàm số có bảng biến thiên sau: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 30 | f ( x) |= m Khi có bốn nghiệm phân biệt 1 < m