Vấn đề Tập xác định tập giá trị hàm số Phương pháp y = f (x) ⇔ f (x) ≥ f (x) • Hàm số có nghĩa tồn y= ⇔ f (x) ≠ f (x) f (x) • Hàm số có nghĩa tồn sin u ( x ) ≠ ⇔ u ( x ) ≡ k π , k  ã ã cosu(x) u(x) ≠ • −1≤ sin x, cos x ≤ π + kπ, k∈ ¢ Các ví dụ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: π 2π y = tan(x − ) y = cot2( − 3x) Lời giải π π π 2π cos(x − ) ≠ ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ 6 Điều kiện:  2π  D = ¡ \  + kπ , k∈ ¢  3  TXĐ: 2π 2π 2π π sin( − 3x) ≠ ⇔ − 3x ≠ kπ ⇔ x ≠ −k 3 Điều kiện:  2π π  D = ¡ \  + k , k∈ ¢  9  TXĐ: Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: tan 2x π tan 5x y= + cot(3x + ) y= sin x + sin4x − cos3x Lời giải  π sin x ≠ −1 x ≠ − + k2π    ⇔  π sin(3x + 6) ≠  x ≠ − π + kπ   18 Điều kiện: Vậy TXĐ: Ta có:  π π nπ  D = ¡ \ − + k2π, − + ; k, n∈ ¢  18   π  sin4x − cos3x = sin4x − sin  − 3x÷ 2  x π  7x π  = 2cos + ÷sin  − ÷  4  4 Điều kiện: Vậy TXĐ:   π π   x ≠ 10 + k cos5 x ≠     x π π  cos + ÷ ≠ ⇔  x ≠ + k2π  4   π k2π   7x π   x ≠ − + sin + ≠    ÷ 14      π kπ π π 2mπ  D=¡ \  + , + n2π, − +  14   10 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1− sin 2x y= cos3x − Bài Tìm tập xác định hàm số  2π  D = ¡ \  k , k∈ ¢    A  π  D = ¡ \  k , k∈ ¢    C  π  D = ¡ \  k , k∈ ¢     π  D = ¡ \  k , k∈ ¢    Điều kiện: TXĐ: Lời giải: 2π cos3x − ≠ ⇔ cos3x ≠ ⇔ x ≠ k , k∈ ¢  2π  D = ¡ \  k , k∈ ¢    B D y= 1− cos3x 1+ sin4x Bài Tìm tập xác định hàm số  π π  D = ¡ \ − + k , k∈ ¢    A  3π π  D = ¡ \ − + k , k∈ ¢    C  π π  D = ¡ \ − + k , k∈ ¢     π π  D = ¡ \ − + k , k∈ ¢    B D Lời giải: 1− cos3x ≥ ∀x∈ ¡ ⇔ 1+ sin4x ≠ Do nên hàm số có nghĩa π π ⇔ sin 4x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k , k∈ ¢  π π  D = ¡ \ − + k , k∈ ¢    TXĐ: π y = tan(2x − ) Bài Tìm tập xác định hàm số  3π kπ  D=¡ \  + , k∈ ¢  8  A  3π kπ  D=¡ \  + , k∈ ¢  7  C  3π kπ  D=¡ \  + , k∈ ¢  5   3π kπ  D=¡ \  + , k∈ ¢  4  Lời giải: B D 2x − Điều kiện: Vậy TXĐ: π π 3π π ≠ + kπ ⇔ x ≠ + k , k∈ ¢  3π kπ  D=¡ \  + , k∈ ¢  8  y= 1+ cot2 x 1− sin3x Bài Tìm tập xác định hàm số sau  π n2π  D = ¡ \  kπ, + ; k,n∈ ¢    A  π π n2π  D = ¡ \ k , + ; k,n∈ ¢    C  π n2π  D = ¡ \  kπ, + ; k,n∈ ¢    B D  π n2π  D = ¡ \  kπ, + ; k,n∈ ¢    Lời giải: Điều kiện: Vật TXĐ:  x ≠ kπ  x ≠ kπ  ⇔  π 2π sin3x ≠  x ≠ + k   π n2π  D = ¡ \  kπ, + ; k,n∈ ¢    y= sin2x − cos3x Bài Tìm tập xác định hàm số sau π 2π  D = ¡ \  + k , k2π; k∈ ¢  3  A π 4π  D = ¡ \  + k , k2π; k∈ ¢  5  B C π 2π  D = ¡ \  + k , k2π; k∈ ¢  5  D π 4π  D = ¡ \  + k , k2π; k∈ ¢  7  Lời giải: 5x x sin 2x − cos3x ≠ ⇔ cos sin ≠ 2 : Điều kiện:  5x  5x π  π 2π cos ≠  ≠ + kπ x ≠ + k ⇔ ⇔ ⇔ 5 x x sin ≠  ≠ kπ  x ≠ k2π    2 TXĐ: π 2π  D = ¡ \  + k , k2π; k∈ ¢  5  y= tan 2x 3sin 2x − cos2x Bài Tìm tập xác định hàm số sau π π π π  D = ¡ \  + k , + k ; k∈ ¢  12 4  A π π π π  D = ¡ \  + k , + k ; k∈ ¢  3  C π π π π  D = ¡ \  + k , + k ; k∈ ¢  4  π π π π  D = ¡ \  + k , + k ; k∈ ¢  12 3  Điều kiện: Lời giải:  π π  π x≠ + k  x ≠ + k π   ⇔   3sin 2x − cos2x ≠  2sin(2x − π ) ≠   B D  π π  π π  x ≠ + k  x ≠ + k ⇔ ⇔ 2x − π ≠ kπ x ≠ π + k π  12  TXĐ: π π π π  D = ¡ \  + k , + k ; k∈ ¢  12 4  y= cot x 2sin x − Bài Tìm tập xác định hàm số sau  π 5π  D = ¡ \  kπ, + k2π, + k2π; k∈ ¢  6   A  π π 5π  D = ¡ \  k , + k2π , + k2π; k∈ ¢    C  π 5π  D = ¡ \  kπ, + k2π, + k2π; k∈ ¢     π 5π  D = ¡ \  kπ , + k2π , + k2π; k∈ ¢    Lời giải: Điều kiện:  x ≠ kπ  x ≠ kπ   ⇔  π sin x − ≠ sin x − sin ≠    x ≠ kπ  x ≠ kπ  π   ⇔ ⇔  x ≠ + k2π x π x π  2cos( + 12)sin( − 12) ≠  5π   x ≠ + k2π TXĐ:  π 5π  D = ¡ \  kπ, + k2π, + k2π; k∈ ¢  6   Bài Tìm tập xác định hàm số sau π π y = tan(x − ).cot(x − ) B D A  3π π  D = ¡ \  + kπ , + kπ; k∈ ¢  4  B  3π π  D = ¡ \  + kπ, + kπ; k∈ ¢  4  C π π  D = ¡ \  + kπ, + kπ; k∈ ¢  4  D  3π π  D = ¡ \  + kπ, + kπ; k∈ ¢  5  Lời giải: Điều kiện: TXĐ:  π π   x − ≠ + kπ  x ≠ ⇔    x − π ≠ kπ x ≠   3π + kπ π + kπ  3π π  D = ¡ \  + kπ, + kπ; k∈ ¢  4  π y = tan(2x + ) Bài Tìm tập xác định hàm số sau π π  D = ¡ \  + k , k∈ ¢  3  A π π  D = ¡ \  + k , k∈ ¢  4  C π π  D = ¡ \  + k , k∈ ¢   12  π π  D = ¡ \  + k , k∈ ¢  8  Điều kiện: TXĐ: Lời giải: π π π π 2x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ +k 12 π π  D = ¡ \  + k , k∈ ¢   12  B D y = tan3x.cot5x Bài 10 Tìm tập xác định hàm số sau π π nπ  D = ¡ \  + k , ; k,n ∈ ¢  6  A π π nπ  D = ¡ \  + k , ; k,n ∈ ¢  5  C π π nπ  D = ¡ \  + k , ; k,n ∈ ¢  6  B D π π nπ  D = ¡ \  + k , ; k,n ∈ ¢  4  Lời giải: Điều kiện: TXĐ:  cos3x ≠  x ≠ ⇔  sin5x ≠ x ≠  π π +k nπ π π nπ  D = ¡ \  + k , ; k,n ∈ ¢  6  Vấn đề Giá trị lớn nhỏ hàm số Các ví dụ Ví dụ Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = − 3sin2 2x y = 4sin x cos x + 1 Lời giải: y = 2sin2x + 1 Ta có −1≤ sin 2x ≤ 1⇒ −2 ≤ 2sin 2x ≤ ⇒ −1≤ 2sin 2x + 1≤ Do ⇒ −1 ≤ y ≤ π π y = −1 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ 2x = − + k2π ⇔ x = − + kπ * π y = ⇔ sin2x = 1⇔ x = + kπ * −1 Vậy giá trị lớn hàm số , giá trị nhỏ Ta có: ≤ sin2 x ≤ 1⇒ 1≤ − 3sin2 x ≤ y = ⇔ sin2 x = ⇔ cos x = ⇔ x = * y = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ π + kπ * Vậy giá trị lớn hàm số , giá trị nhỏ Ví dụ Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = 6cos2 x + cos2 2x y = (4sin x − 3cos x)2 − 4(4sin x − 3cos x) + 1 Lời giải: 2 y = 6cos x + (2cos x − 1) = 4cos4 x + 2cos2 x + 1 Ta có: t = cos2 x ⇒ t ∈ 0;1 y = 4t2 + 2t + = f (t) Đặt Khi t f (t) Vậy y = max y = Đặt cos x = ⇔ x = đạt π + kπ cos2 x = ⇔ x = kπ đạt t = 4sin x − 3cos x ⇒ −5 ≤ t ≤ ∀x ∈ ¡ y = t2 − 4t + = (t − 2)2 − Khi đó: t ∈ −5;5 ⇒ −7 ≤ t − ≤ ⇒ ≤ (t − 2)2 ≤ 49 Vì −3 ≤ y ≤ 46 Do y = −3; max y = 46 Vậy Ví dụ Tìm tất giá trị tham số y = (3sin x − 4cos x)2 − 6sin x + 8cos x + 2m− Đặt t = 3sin x − 4cos x ⇒ −5 ≤ t ≤ m để hàm số sau nhận giá trị dương : Lời giải: y = t2 − 2t + 2m− = (t − 1)2 + 2m− Ta có: −5 ≤ t ≤ ⇒ ≤ (t − 1)2 ≤ 36 ⇒ y ≥ 2m− ⇒ y = 2m− Do ⇔ y > ∀x∈ ¡ ⇔ y > Hàm số nhận giá trị dương ⇔ 2m− > ⇔ m> m> Vậy giá trị cần tìm Ví dụ Tìm với x m để hàm số y = 2sin2 x + 4sin x cos x − (3+ 2m)cos2 x + Lời giải: x Hàm số xác định với ⇔ 2sin2 x + 4sin x cos x − (3+ 2m)cos2 x + ≥ ∀x ∈ ¡ • cos x = ⇒ (1) • cos x ≠ xác định (1) (1) ⇔ 2tan2 x + 4tan x − (3+ 2m) + 2(1+ tan2 x) ≥ ta có: ⇔ 4tan x + 4tan x ≥ 1+ 2m ∀x ∈ ¡ ⇔ (2tan x + 1)2 ≥ 2+ 2m ∀x ∈ ¡ ⇔ + 2m≤ ⇔ m≤ −1 x, y rằng: Ví dụ Cho góc nhọn π x+ y = thỏa mãn sin2 x + sin2 y = sin(x + y) (∗) Lời giải: y = sin x, y = cos x Ta có hàm số đồng biến khoảng π π  π x, y, − x, − y ∈  0; ÷ 2  2 Và  π  0; ÷   Chứng minh y = C y = 33− 33+ ; max y = 83 83 D 22 − 22 + ; max y = 83 83 Lời giải: sin6x + 4cos6x + 10 ≥ 10 − 17 > ∀x ∈ ¡ Ta có: 2sin6x − cos6x + y= ⇔ (y − 2)sin6x + (4y + 1)cos6x = − 10y sin6x + 4cos6x + 10 ⇒ (y − 2)2 + (4y + 1)2 ≥ (2 − 10y)2 ⇔ 83y2 − 44y − ≤ ⇔ 22 − 22 + ≤ y≤ 83 83 y = Suy ra: 22 − 22+ ; max y = 83 83 Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = −2 − 5; max y = −2 + A y = −2 − 7; max y = −2 + y = −2 − 3; max y = −2 + C y = −2 − 10; max y = −2 + 10 Xét phương trình: y = 3cos x + sin x − B D Lời giải: 3cos x + sin x = y + ⇔ 32 + 12 ≥ (y + 2)2 ⇔ −2 − 10 ≤ y ≤ −2+ 10 Phương trình có nghiệm y = −2 − 10; max y = −2 + 10 Vậy Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau sin2 2x + 3sin4x y= 2cos2 2x − sin4x + y = A y = B 5− 97 + 97 , max y = 18 18 y = C y = 5− 97 5+ 97 , max y = 4 5− 97 5+ 97 , max y = 8 D − 97 + 97 , max y = 8 Lời giải: y= 6sin4x − cos4x + 2cos4x − 2sin4x + Ta có cos4x − sin 4x + > ∀x ∈ ¡ ( ) ⇔ (6 + 2y)sin4x − (1+ 2y)cos4x = 6y − ⇒ (6 + 2y)2 + (1+ 2y)2 ≥ (6y − 1)2 ⇔ 8y2 − 10y − ≤ ⇔ y = 5− 97 + 97 ≤ y≤ 8 5− 97 5+ 97 , max y = 8 Vậy Bài 32 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = 3(3sin x + 4cos x)2 + 4(3sin x + 4cos x) + A y = ;max y = 96 B y − ;max y = y = 2;max y = C y = − ;max y = 96 Lời giải: Đặt t = 3sin x + 4cos x ⇒ t ∈ −  5;5 Khi đó: y = 3t2 + 4t + = f (t) với t∈ −  5;5 D Do y = f (− ) = − ;max y = f (5) = 96 3 m Bài 33 Tìm x∈ ¡ với để bất phương trình A m≤ m> t = 3sin x − 4cos x ⇒ −5 ≤ t ≤ Đặt Ta có: (3sin x − 4cos x)2 − 6sin x + 8cos x ≥ 2m− B m≤ C m< D Lời giải: y = (3sin x − 4cos x)2 − 6sin x + 8cos x = t2 − 2t = (t − 1)2 − Do −5 ≤ t ≤ ⇒ ≤ (t − 1)2 ≤ 36 ⇒ y = −1 Suy u cầu tốn Bài 34 Tìm m −1≥ 2m− ⇔ m≤ để bất phương trình m≥ A m≥ D 3sin 2x + cos2x ≤ m+ sin 2x + 4cos2 x + m≥ B 5+ 5− Lời giải: y= Đặt 3sin 2x + cos2x sin 2x + 2cos2x + sin2x + 2cos2x + > ∀x ⇒ ¡ (Do hàm số xác định ) ⇔ (3− y)sin2x + (1− 2y)cos2x = 3y Suy ⇔ (3− y)2 + (1− 2y)2 ≥ 9y2 ⇔ 2y2 + 5y − ≤ −5 − −5 + −5+ ≤ y≤ ⇒ max y = 4 với m≥ C x∈ ¡ 5− ⇔ u cầu tốn x∈ ¡ Bài 35 Tìm m −5 + 5− ≤ m+ ⇔ m≥ 4 để bất phương trình 15− 29 10 − < m≤ A 10 − 1< m≤ 4sin 2x + cos2x + 17 ≥2 3cos2x + sin 2x + m+ B 15− 29 10 − 1< m≤ C 15+ 29 D 10 − 1< m< 10 + Trước hết ta có: Lời giải: 3cos2x + sin 2x + m+ ≠ ∀x ∈ ¡  m< −1− 10 ⇔ 32 + 12 < (m+ 1)2 ⇔ m2 + 2m− > ⇔   m> −1+ 10 (*) • m > −1+ 10 ⇒ 3cos2x + sin 2x + m+ > 0, ∀x∈ ¡ Nên 4sin 2x + cos2x + 17 ≥ ⇔ 2sin 2x − 5cos2x ≥ 2m− 15 3cos2x + sin 2x + m+ ⇔ − 29 ≥ 2m− 15 ⇔ m≤ 10 − 1< m≤ 15− 29 15− 29 Suy ra: • m< −1− 10 ⇒ 3cos2x + sin 2x + m+ 1< 0, ∀x ∈ ¡ Nên 4sin 2x + cos2x + 17 ≥ ⇔ 2sin 2x − 5cos2x ≤ 2m− 15 3cos2x + sin 2x + m+ ⇔ 29 ≤ 2m− 15 ⇔ m≥ 15+ 29 (loại) với 15− 29 10 − 1< m≤ Vậy  π x, y ∈  0; ÷  2 Bài 36 Cho sin4 x cos4 y P= + y x giá trị cần tìm thỏa cos2x + cos2y + 2sin(x + y) = Tìm giá trị nhỏ P = A π P = B π P = C 3π D P = π Lời giải: cos2x + cos2y + 2sin(x + y) = ⇔ sin2 x + sin2 y = sin(x + y) Ta có: x+ y = Suy ra: Áp dụng bđt: π a2 b2 (a+ b)2 + ≥ m n m+ n ( sin P≥ Do đó: Bài 37 Tìm k x+ y Suy ra: P = ) x + sin2 y π = π ⇔ x= y= Đẳng thức xảy y= để giá trị nhỏ hàm số k< A ksin x + cos x + lớn k 3k2 + ⇔ k < 2 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin x = − cos x sin x + cos x = ⇒  2 cos x = − sin x    1 = + tan x ⇒ tan x = −1 cos x cos x 1 = + cot x ⇒ cot x = −1 sin x sin x tan x.cot x = ⇒ cot x =    tan x sin x + cos x = − 2sin x cos x  6 2 sin x + cos x = − 3sin x cos x sin x + cos3 x = ( sin x + cos x ) ( − sin x cos x )  3 sin x − cos x = ( sin x − cos x ) ( + sin x cos x ) II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x Góc I + Góc II + − Góc III − cos x + tan x + − + + − cot x + − + − − Góc IV − III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT  Hai cung đối cos ( − x ) = cos x sin ( − x ) = − sin x tan ( − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x  Hai cung bù sin ( π − x ) = sin x cos ( π − x ) = − cos x tan ( π − x ) = − tan x cot ( π − x ) = − cot x  Hai cung phụ π  sin  − x ÷ = cos x 2  π  cos  − x ÷ = sin x 2  π  tan  − x ÷ = cot x 2  π  cot  − x ÷ = tan x 2   Hai cung π sin ( π + x ) = − sin x cos ( π + x ) = − cos x tan ( π + x ) = tan x cot ( π + x ) = cot x  Hai cung π  sin  + x ÷ = cos x 2  π π  tan  + x ÷ = − cot x 2  π  cos  + x ÷ = − sin x 2  π  cot  + x ÷ = − cot x 2   Với k số nguyên ta có: sin ( x + k 2π ) = sin x tan ( x + kπ ) = tan x cot ( x + kπ ) = cot x IV CÔNG THỨC CỘNG cos ( x + k 2π ) = cos x sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y tan ( x + y ) = tan x + tan y − tan x tan y sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y tan ( x − y ) = tan x − tan y + tan x tan y Đặc biệt: TH1: Cơng thức góc nhân đôi:  sin x = 2sin x cos x  2 2 cos x = cos x − sin x = cos x − = − 2sin x  tan x  tan x = − tan x  sin x = Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: TH2: Cơng thức góc nhân ba: − cos x + cos x ; cos x = 2 sin 3x = 3sin x − 4sin x    cos x = cos x − 3cos x V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x+ y x− y cos 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin cos 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 x+ y x− y sin x − sin y = cos sin 2 cos x + cos y = cos cos ( x + y ) + cos ( x − y )  2 sin x sin y = −  cos ( x + y ) − cos ( x − y )  sin x cos y = sin ( x + y ) + sin ( x − y )  cos x sin y = sin ( x + y ) − sin ( x − y )  cos x cos y = Chú ý:    π π   sin x + cos x = sin  x + ÷ = cos  x − ÷ 4 4   π π   sin x − cos x = sin  x − ÷ = − cos  x + ÷ 4 4   u = v + 2kπ sin u = sin v ⇔  u = π − v + k 2π  u = v + k 2π cos u = cos v ⇔  u = −v + k 2π u = v + kπ  tan u = tan v ⇔  π u ≠ + kπ  u = v + kπ cot u = cot v ⇔  u ≠ kπ  Đặc biệt: cos x = ⇔ x = sin x = ⇔ x = kπ sin x = ⇔ x = π + k 2π sin x = −1 ⇔ x = − π + kπ cos x = ⇔ x = k 2π π + k 2π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π Chú ý: −1 ≤ m ≤ sin x = m cos x = m  Điều kiện có nghiệm phương trình là:  Sử dụng thành thạo câu thần “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa phương trình dạng sau phương trình bản: π  π  sin u = cos v ⇔ sin u = sin  − v ÷ cos u = sin v ⇔ cos u = cos  − v ÷ 2  2  sin u = − sin v ⇔ sin u = sin ( −v ) cos u = − cos v ⇔ cos u = cos ( π − v ) cos x =  cos x = ±1 ⇔  sin x = ±1 sin x =  Đối với phương trình khơng nên giải trực tiếp phải giải phương trình thành phần, việc kết hợp nghiệm khó khăn Ta nên dựa vào công thức sin x + cos x = cos x = sin x = ⇔ ⇔ sin x =  cos x = sin x =   để biến đổi sau:  cos x =  cos x − = ⇔ ⇔ cos x =  sin x = 1 − 2sin x =   Tương tự phương trình Bài Giải phương trình sau  π  cos  x − ÷ = − 4   π  2sin  x − ÷+ = 6    π  cos  x + ÷− = 3   Hướng dẫn giải: π π 3π   cos  x − ÷ = − ⇔ cos  x − ÷ = cos 4 4   u = x− π 3π ,v = 4 Ta xác định phương trình π 3π π 3π x− = + k 2π x− = − + k 2π 4 4 , nên dựa vào cơng thức nghiệm ta có x = π + k 2π ; x = − Vậy nghiệm phương trình là:  π  tan  − x ÷ = 3  π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) π π π     π 2sin  x − ÷+ = ⇔ sin  x − ÷ = − ⇔ sin  x − ÷ = sin  − ÷ 6 6 6     3 π π π    x − = − + k 2π  x = − 12 + kπ ⇔ ⇔ ( k ∈¢)  x − π = 4π + k 2π  x = 3π + kπ    π π π π    cos  x + ÷− = ⇔ cos  x + ÷ = ⇔ cos  x + ÷ = cos 3 3 3    π  π π   x + = + k 2π  x = − 12 + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈¢)  x + π = − π + k 2π  x = − 7π + k 2π   12  π π  π  π  tan  − x ÷ = ⇔ tan  − x ÷ = ⇔ tan  − x ÷ = tan 3  3  3  ⇔ π π π − x = + kπ ⇔ x = − k π , ( k ∈ ¢ ) 6 Chú ý: Đối với phương trình cos x ≠ ( sin x ≠ ) tan x = m ( tan x = m ) không cần thiết , m số điều kiện Bài Giải phương trình sau π  sin x = sin  x + ÷ 4   π π   tan  x − ÷ = tan  x + ÷ 4 6        Hướng dẫn giải: π π   sin  x − ÷ = cos  x + ÷ 6 4   π  π  cot  x − ÷+ tan  − x ÷ =     π π   x = − − k 2π x = x + + k 2π   π  4 sin x = sin  x + ữ ,( k Â) π π 4  x = + k  x = π − x − + k 2π   4 π 2π 5π 2π   x + = − x + k π x = + k   π   2π  36 PT ⇔ cos  x + ÷ = cos  − x ÷⇔  ⇔ π π 4    2 x + = −  x = − 11π + k 2π + x + k 2π   12  Do PT có dạng tan u = tan v nên ta cần điều kiện cos u ≠ cos v ≠ Để đơn π π π π  cos  x + ÷ ≠ ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ 6  giản ta chọn điều kiện: Khi đó: π π π π 5π π   tan  x − ÷ = tan  x + ÷ ⇔ 3x − = x + + kπ ⇔ x = + k ,( k ∈¢) 4 6 24   x= 5π π + k ,( k ∈¢) 24 Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: cos u ≠ tan u = tan v  Do biến đổi PT dạng nên ta cần điều kiện cos v ≠ Để đơn giản ta chọn điều kiện: π π π π  cos  − x ÷ ≠ ⇔ − x ≠ + kπ ⇔ x ≠ − − kπ 6  π π π     3π  PT ⇔ cot  x − ÷ = tan  x − ÷ ⇔ tan  x − ÷ = tan  − 2x ÷ 4 6 6      ⇔ x− π 3π 11π π = − x + kπ ⇔ x = + k ( k ∈ ¢) 36 x= Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: Bài Giải phương trình sau cos x −  ( ) + cos x + = (  ) tan x − + tan x + =    Hướng dẫn giải: cos x + 5sin x − = π  sin  x − ÷ = cos2 x 4   π  cos x =  x = ± + k 2π PT ⇔  ⇔ ( k ∈¢) π   x = ± + k 2π cos x =  sin x = ( lo¹i ) PT ⇔ ( − sin x ) + 5sin x − = ⇔ 2sin x − 5sin x + = ⇔  sin x = ( t / m )  2  11π π + k ,( k ∈ ¢) 36 x= π + k 2π x= 5π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) Vậy phương trình có nghiệm: sin x = ( lo¹i )  tan x =  PT ⇔ ⇔ 2sin x − 5sin x + = ⇔  sin x =  tan x =    π 5π x = + k 2π x= + k 2π , ( k ∈ ¢ ) 6 Vậy phương trình có nghiệm: π  − cos  x − ÷ π π  + cos x  PT ⇔ = ⇔ sin x = − cos x ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + k 2  Bài Giải phương trình sau x x sin x + cos4 x = sin x − sin + cos = − 2sin x 2   π  ( sin x + cos x ) − cos  − x ÷ = 2  sin x + cos x = cos x   Hướng dẫn giải: PT ⇔ − 2sin x cos x = sin x −  1 ⇔ − sin 2 x = sin x − 2 sin x = −1 π π ⇔ sin 2 x − 2sin x − = ⇔  ⇔ x = − + k 2π ⇔ x = − + kπ , ( k ∈ ¢ ) sin x = ( lo¹i )   sin x = PT ⇔ − sin x = − 2sin x ⇔ sin x − 4sin x = ⇔  ⇔ x = kπ ( k  ) sin x = loại ( )  sin x =   PT ⇔ 1 − sin 2 x ÷− sin x = ⇔ sin 2 x + sin x − = ⇔    sin x = −2 ( lo¹i ) ⇔ 2x =  π π + k 2π ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) PT ⇔ − 3sin x cos x = − 2sin 2 x ⇔ − sin 2 x = − 2sin 2 x ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k π ,( k ∈¢) Bài Giải phương trình sau sin x + cos x + sin x cos x =  ( sin x + cos6 x ) − sin x cos x − 2sin x cos x = sin x −    = ( A 06 ) ( − ) cos x − 2sin  Hướng dẫn giải: cos x − x π  − ÷   =1 sin x = −1 1 PT ⇔ − sin 2 x + sin x = ⇔ sin 2 x − sin x − = ⇔  2 sin x = ( lo¹i ) ⇔x=− π + kπ , ( k ∈ ¢ )  (A-2006) Điều kiện: π  x ≠ + k 2π  − 2sin x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔  x ≠ 3π + k 2π    PT ⇔ ( sin x + cos x ) − sin x cos x = ⇔ 1 − sin 2 x ÷− sin x =   sin x = π ⇔ 3sin x + sin x − = ⇔  ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) sin x = − ( lo¹i )  x= Kết hợp nghiệm ta thu nghiệm phương trình  5π + k 2π  cos x =  PT ⇔ cos x = − cos x − ⇔ cos x + cos x − = ⇔  cos x = − ( lo¹i )  ⇔ cos x − = ⇔ cos x = ⇔ x = cos x ≠ ⇔ x ≠ ±  Điều kiện: π π π + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) π + k 2π  π  x π  PT ⇔ − cos x − 2sin  − ÷ = cos x − ⇔ − cos x − 1 − cos  x − ÷÷ = −1  2 4   ( ) π π  ⇔ cos x − cos  − x ÷ = ⇔ cos x − sin x = ⇔ tan x = ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) 2  Bài Giải phương trình sau sin x + cos x − sin x = sin x + cos x =  (D-2013)  (B-2013) sin x + 4cos x = + sin x cos x + cos x − cos x − =  (A-2014)  2006) Hướng dẫn giải: PT ⇔ sin x − sin x + cos x = ⇔ cos x sin x + cos x = ⇔ cos x ( 2sin x + 1) =  (D- π π  x = + k   cos x = π  ⇔ ⇔  x = − + k 2π  sin x = −    x = 7π + k 2π   PT ⇔ sin x + + cos x = ⇔ cos x = − sin x ⇔ cos x = sin ( −5 x ) π 2π π   x = − −k x = + x + k 2π   π  ⇔ cos x = cos  + x ÷ ⇔  ⇔ ( k ∈¢) 2   x = − π + k 2π  x = − π − x + k 2π   14  PT ⇔ sin x + cos x = + 2sin x cos x ⇔ sin x ( − cos x ) + ( cos x − 1) = sin x = ( lo¹i ) π ⇔ ( sin x − ) ( − cos x ) = ⇔  ⇔ x = ± + k 2π  cos x =   PT ⇔ cos x − cos x + cos x − = ⇔ −2sin x sin x − 2sin x =  x = kπ sin x = sin x = ⇔ sin x ( sin x + sin x ) = ⇔  ⇔ ⇔  x = ± 2π + k 2π sin x + sin x = cos x + =    ... + sin x cos x ) II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x Góc I + Góc II + − Góc III − cos x + tan x + − + + − cot x + − + − − Góc IV − III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT  Hai cung... sin x = m cos x = m  Điều kiện có nghiệm phương trình là:  Sử dụng thành thạo câu thần “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa phương trình dạng sau phương trình bản: π  π  sin u = cos v ⇔ sin... sin x + cos x + Xét phương trình : ⇔ (1− y)sin x + (2 − y)cos x + 1− 2y = ⇔ (1− y)2 + (2 − y)2 ≥ (1− 2y)2 Phương trình có nghiệm ⇔ y2 + y − ≤ ⇔ −2 ≤ y ≤ Vậy y = −2; max y = CÁC BÀI TOÁN LUYỆN